最新初中函数复习专题-适合初三学生

初中函数复习一、基本概念1、常量和变量：在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。

2、函数：⑴定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一．．的值与它对应，我们称y 是x 的函数。

其中x 是自变量，y 是因变量。

⑵函数的表示方法：列表法、图象法和解析法。

⑶自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。

①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数； ④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

二、初中所学的函数 1、正比例函数：（1）、正比例函数的定义：形如)0(≠=k kx y 的形式。

自变量与函数之间是k 倍的关系一般情况下，x 当作自变量，y 作为函数（2）、正比例函数的性质①正比例函数y=kx 的图象是经过（0，0），（1，k ）的一条直线。

②当0>k 时，图象从左到右是上升的趋势，也即是y 随x 的增大而增大。

过一、三象限。

③当0<k 时，图象从左到右是下降的趋势，也即是y 随x 的增大而减小。

过二、四象限。

注意：因为正比例函数y=kx (k ≠0)中的待定系数只有一个k ，因此确定正比例函数的解析式只需x 、y 一组条件，列出一个方程，从而求出k 值。

2、一次函数（1）、一次函数的定义：形如)0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数的形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。

（2）、一次函数与正比例函数的关系)0(≠=k kx y )0,,(≠+=k b k b kx y 且为常数属于正比例 一次函数不属于（3）、一次函数的图象性质①一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）(—k/b，0)的一条直线，也可由y=kx平移得到②当k>0时，y随x的增大而增大，b>0时，图象过第一、二、三象限，b<0时，图象过一、三、四象限③当k<0时，y随x的增大而减小，b>0时，图象过第一、二、四象限，b<0时，图象过二、三、四象限注意：一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式需x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。

3、反比例函数（1）、反比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，0≠k）的形式；x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0．（2）、反比例函数的性质①反比例函数y=kx的图像是双曲线（两个分支）②当k>0时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内，y随x的增大而减小③当k<0时，图像的两个分支分别在第二，四象限内；在每个象限内，y随x的增大而增大k>0 k<0④对称性：反比例函数y=kx的图像是轴对称图形，对称轴是直线y=x或直线y= —x，也是中心对称图形，对称中心是原点⑤在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2 =|k|。

设R是双曲线上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为A，则=∆OAPS k21注意：因为反比例函数y=kx(k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定反比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值①开口方向：当a>0时，开口向上；当②顶点坐标：；③对称轴方程：；有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. （5）、二次函数图象的平移①保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位②平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．一定要记住！ (6)、二次函数的图象与各项系数之间的关系①二次项系数a ；二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．② 一次项系数b ； 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ③ 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．④二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：（1）. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． （7）、二次函数图象的对称，当成结论重点记忆。

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达①. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； ②. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；③. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；④. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．⑤. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．（8）、二次函数与一元二次方程：①. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：(1). 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.（中考常考，重点记忆）(2). 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； (3). 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．②. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；③. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：练习一1、小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y （元）与购买这种商品的件数x （件）之间的函数关系是______________， x 的取值范围是__________；2、函数y=3x x 的自变量x 的取值范围是________；3、一根弹簧原长13厘米，它所挂的重物不能超过16千克，并且每挂重量1千克时，弹簧就伸长0.5厘米。

①写出挂重后弹簧的长y （厘米）与挂重x （千克）之间的函数关系式；②求自变量的取值范围。

4、如图，在边长为4的正方形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 上顺次截取AP ＝BQ ＝CR ＝DH ，得到正方形PQRH ，求正方形PQRH 的面积S 和AP 的长度x 之间的函数关系式 和自变量x 的取值范围。

5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝22，CD ＝10，AD ＝16。