函数的应用(

第三章 函数的应用3.1 函数与方程一、考点聚焦1．函数零点的概念对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。

（2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。

（3）一般我们只讨论函数的实数零点。

（4）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。

2、函数零点的判断如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(<∙b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

但要注意：如果函数)(x f y =在],[b a 上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.0)()(<∙b f a f3．函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数)(x f 的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是)(x f 的零点。

4．函数零点具有的性质注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程0)(=x f 没有实数根，则函数)(x f 没有零点。

5、二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法。

用二分法求函数零点近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在的区间。

6．用二分法求函数零点的近似值的探究在应用二分法求函数的变号零点的近似值0x 时，从精确度出发，确定需经过多次取区间],[b a 的中点找到零点的近似值，使其达到精确度的要求。

注意：这里指的精确度是指区间],[b a 的长度。

能力测试题(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·广东四校联考]函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)答案：A解析：f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，f (2)＝11>0，f (3)＝32>0，f (4)＝71>0，则f (0)·f (1)＝－2<0且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．2. 若函数f (x )＝bx ＋2有一个零点为13，则g (x )＝x 2＋5x ＋b 的零点是( )A. －13B. 1或－6C. －1或6D. 1或6 答案：B解析：∵13是函数f (x )的零点，∴f (13)＝0，即13b ＋2＝0，解得b ＝－6.∴g (x )＝x 2＋5x －6.令g (x )＝0，即x 2＋5x －6＝0，也就是(x －1)(x ＋6)＝0， 解得x ＝1或x ＝－6.∴函数g (x )有两个零点1、－6.3. 如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f (x )零点的区间是( )A. [－2.1，－1]B. [1.9,2.3]C. [4.1,5]D. [5,6.1]答案：B解析：由图象易知，函数f (x )在区间[1.9,2.3]上不能用二分法求出函数的零点． 4. [2013·湖北八校二联]已知函数f (x )＝2x －log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是( )A. x 0<aB. x 0>aC. x 0<bD. x 0<c答案：D解析：画出函数y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象可知，满足条件的c 只能在函数f (x )的零点的左边，故不可能出现x 0<c .5. 已知关于x 的方程x ln x ＝ax ＋1(a ∈R)，下列说法正确的是( ) A. 有两不等根 B. 只有一正根 C. 无实数根 D. 不能确定答案：B解析：由x ln x ＝ax ＋1(a ∈R)知x >0，∴ln x ＝a ＋1x ，作出函数y 1＝ln x 与y 2＝a ＋1x 的图象，易知选B.6. [2013·深圳调研]已知符号函数sgn (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn (ln x )－ln x 的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：当x >1时，ln x >0，sgn (ln x )＝1； 当x ＝1时，ln x ＝0，sgn (ln x )＝0； 当0<x <1，ln x <0，sgn (ln x )＝－1. ∴f (x )＝sgn (ln x )－ln x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1.由f (x )＝0得，x ＝e 或1或1e ，故选C.二、填空题7. [2012·浙江绍兴二模]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________． 答案：1＋2，1解析：求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1.8. [2013·南昌模拟]已知[x ] 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于 ________.答案：2解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x 2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln2－1<0，f (e)＝lne －2e>0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.9. [2013·金版原创]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0－x 2－2x ，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案：(0,1)解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0－x 2－2x ，x <0的图象，由图象可知，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则0<m <1，因此m 的取值范围是(0,1)．三、解答题10. 若g (x )＝x ＋e 2x (x >0)，g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围．解：法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点． 法二：作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根且e 2>0， 故根据根与系数的关系得m >0，故⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.11. [2013·苏州模拟]是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．解：若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：当f (－1)＝0时a ＝1， 所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.12．[2013·揭阳联考]已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b 、c ∈R)． (1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b 、c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．解：(1)依题意，x 1＝－1，x 2＝1是方程x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c .即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0，解得15<b <57，所以实数b 的取值范围为15<b <57.经典习题精讲A 级1．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )的对应表A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．03．(2012·天津模拟)函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈[1,2]上近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在的区间为( )A ．[1,1.25]B ．[1.25,1.5]C ．[1.5,2]D ．不能确定5．若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x >0)，－1x(x <0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( ) A ．5B ．7C ．8D ．106．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．7．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线y 2＝ax 的焦点的横坐标，则a ＝________. 8．下列是函数f (x )在区间[1,2]上一些点的函数值.由此可判断：方程f (x )＝0的一个近似解为________．(精确度为0.1，且近似解保留两位有效数字)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.11．若A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ＋b ，1b ＋a ，1，且A ＝B ，f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)求f (x )零点的个数；(2)当x ∈[－1,2]时，求f (x )的值域；(3)若x ∈[1，m ]时，f (x )∈[1，m ]，求m 的值．B 级1．(2012·山东潍坊高考模拟)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．判断方程lgx ＋x ＝3的解所在的区间为___ _。