【真题】16年江西省赣州市十三县(市)联考高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2015-2016学年江西省赣州市十三县（市）联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A（1，2），B（﹣1，3），则=（）A．1+i B．i C．1﹣i D．﹣i2．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x＞0，x∈R}，则A∩（∁R B）=（）A．[1，2]B．[0，2]C．[1，4]D．[0，4]3．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1；命q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2x≤0”D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题4．（5分）“x≥0”是“log（x+2）＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知α∈（0，π），且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三点A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定8．（5分）假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f（x）=sinx﹣cosx；②f（x）=（sinx+cosx）；③f（x）=sinx+2；④f（x）=2cosx则其中与其他函数不属于“互为生成函数”的是（）A．①B．②C．③D．④9．（5分）设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点B．f（x）在上是减函数C．f（x）的一个对称中心是D．f（x）的最大值是A11．（5分）设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足2x0+y0=4，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1]D．[1，+∞）12．（5分）函数f（x）=﹣﹣sinx﹣2x的定义域为R，数列{a n}是公差为d的等差数列，且a1+a2+a3+a4+…+a2015＜0，记m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015），关于实数m，下列说法正确的是（）A．m恒为负数B．当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数C．m恒为正数D．当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2）则f（8）的值为．14．（5分）已知方程x2+2x+2a﹣1=0在（1，3]上有解，则实数a的取值范围为．15．（5分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．16．（5分）已知直线y=mx（m∈R）与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|+|2x+1|恒成立，求x的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+q n（q＞0），求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．20．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（+）•，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，）的取值范围．21．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a4=20，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣2x2+3x（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：存在m∈（0，+∞），使得f（m）=f（）（Ⅲ）记函数y=f（x）的图象为曲线Γ．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线Γ上的不同两点．如果在曲线Γ上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线Γ在点M处的切线平行于直线AB，则称函数f（x）存在“中值伴随切线”，试问：函数f（x）是否存在“中值伴随切线”？请说明理由．2015-2016学年江西省赣州市十三县（市）联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A（1，2），B（﹣1，3），则=（）A．1+i B．i C．1﹣i D．﹣i【解答】解：由复数的几何意义可知z1=1+2i，z2=﹣1+3i，∴，故选：A．2．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x＞0，x∈R}，则A∩（∁R B）=（）A．[1，2]B．[0，2]C．[1，4]D．[0，4]【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x＞0，x∈R}={x＞4，或x＜0}，∴B={x|0≤x≤4}，∴A∩（C R B）={x|0≤x≤2}．故选：B．3．（5分）下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1；命q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2x≤0”D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题【解答】解：命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，二者是互为逆否命题，A正确；命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1是真命题；命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0是假命题，∴p∨q为真命题，B正确；根据全称命题的否定是特称命题，对命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2x≤0”，C正确；命题若am2＜bm2，则a＜b的逆命题是若a＜b，则am2＜bm2，它是假命题，如m=0时命题不成立，∴D错误．故选：D．4．（5分）“x≥0”是“log（x+2）＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：log（x+2）＜2=，∴x+2＞，即x＞﹣，∵“x≥0”⇒x＞﹣，反之则不能∴“x≥0”是“log（x+2）＜2”的充分不必要条件，故选：B．5．（5分）已知α∈（0，π），且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，α∈（0，π），∴1+2sinαcosα=，∴sin2α=﹣，且sinα＞0，cosα＜0，∴cosα﹣sinα=﹣=﹣，∴cos2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=﹣．故选：C．6．（5分）已知三点A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣2，3），；向量在向量方向上的投影为：cos=．故选：A．7．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选：C．8．（5分）假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f（x）=sinx﹣cosx；②f（x）=（sinx+cosx）；③f（x）=sinx+2；④f（x）=2cosx则其中与其他函数不属于“互为生成函数”的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵①f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）；②f（x）=（sinx+cosx）=2sin（x+）；③f（x）=sinx+2；④f（x）=2cosx=2sin（x+），故只有③与其他函数不属于“互为生成函数”，故选：C．9．（5分）设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx）′+（cosx）′=x（sinx）′+（x）′sinx+（cosx）′=xcosx+sinx﹣sinx=xcosx∴k=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0故选：B．10．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（）A．f（x）的图象过点B．f（x）在上是减函数C．f（x）的一个对称中心是D．f（x）的最大值是A【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期π，所以ω==2；函数图象关于直线对称，所以，因为，所以φ=，函数的解析式为f（x）=Asin（2x+），f（x）的图象过点不正确；f（x）在上不是减函数，所以B不正确，f（x）的最大值是|A|，所以D不正确；x=时，函数f（x）=0，所以f（x）的一个对称中心是，正确；故选：C．11．（5分）设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足2x0+y0=4，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1]D．[1，+∞）【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（m，﹣m），直线ax﹣y+1=0过定点B（0，1），则y=ax+1，由得，即交点坐标为（1，a+1），由得，即F（1，2）若a=0，此时对应的直线为BC，此时C（1，a+1），不等式组对应的区域为△BCE，由图象知，不存在点P（x0，y0），满足2x0+y0=4，若a＞0，此时对应的直线为BA，此时A（1，a+1），不等式组对应的区域为△ABE，由图象知，若存在点P（x0，y0），满足2x0+y0=4，则点F（1，2）必在直线y=ax+1的下方或在直线上，即满足不等式ax﹣y+1≥0，即a﹣2+1≥0，即a≥1，若a＜0，此时对应的直线为BD，此时不等式组对应的区域为△BCD，由图象知，若存在点P（x0，y0），满足2x0+y0=4，则直线BD的斜率k=a小于直线2x+y=4的斜率﹣2，即a＜﹣2，综上a＜﹣2或a≥1，故选：A．12．（5分）函数f（x）=﹣﹣sinx﹣2x的定义域为R，数列{a n}是公差为d 的等差数列，且a1+a2+a3+a4+…+a2015＜0，记m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015），关于实数m，下列说法正确的是（）A．m恒为负数B．当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数C．m恒为正数D．当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数【解答】解：解：∵函数f（x）=﹣﹣sinx﹣2x定义域为R，是奇函数，且它的导数f′（x）=﹣x2﹣cosx﹣2＜0，故函数f（x）在R上是减函数．数列{a n}是公差为d的等差数列，当d＞0时，数列为递增数列，由a1+a2+a3+a4+…+a2015＜0，可得a2015＜﹣a1，∴f（a2015）＞f（﹣a1）=﹣f（a1），∴f（a1）+f（a2015）＞0．同理可得，f（a2）+f（a2014）＞0，f（a3）+f（a2013）＞0，…故m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2015）=f（a1）+f（a2015）+f（a2）+f（a2014）+f（a3）+f（a2013）+…+f（a1007）+f（a1009）+f（1008）＞0．当d＜0时，数列为递减数列，同理求得m＞0．当d=0时，该数列为常数数列，每一项都小于0，故有f（a n）＞0，故m=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2012）+f（a2015）＞0，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2）则f（8）的值为2．【解答】解：∵y=f（x）为幂函数，∴设f（x）=xα，∵y=f（x）的图象过点（4，2），∴4α=22α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（8）=2．故答案为：2．14．（5分）已知方程x2+2x+2a﹣1=0在（1，3]上有解，则实数a的取值范围为[﹣7，﹣1）．【解答】解：由x2+2x+2a﹣1=0得2a=﹣x2﹣2x+1，设f（x）=﹣x2﹣2x+1，则f（x）=﹣x2﹣2x+1=﹣（x+1）2+2，∵1＜x≤3，∴f（3）≤f（x）＜f（1），即﹣14≤f（x）＜﹣2由﹣14≤2a＜﹣2，解得﹣7≤a＜﹣1，即实数a的取值范围为[﹣7，﹣1）．故答案为：[﹣7，﹣1）．15．（5分）如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．【解答】解：由题意，设，则===（1﹣n）+．∵=m+，∴，∴．故答案为：．16．（5分）已知直线y=mx（m∈R）与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是．【解答】解：画出函数，（如图）．由图可知，当直线y=mx（m∈R）与函数的图象相切时，即直线y=mx过切点A（1，）时，有唯一解，∴m=，结合图象得：直线y=mx（m∈R）与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是m＞故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|+|2x+1|恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，∴+=（a+b）（+）=5++≥9，故+的最小值为9，（5分）（2）∵对于a，b∈（0，+∞），使+≥|2x﹣1|+|2x+1|恒成立，所以，|2x﹣1|+|2x+1|≤9，（7分）即|x﹣|+|x+|≤，若x≥，则不等式等价为x﹣+x+≤，即2x≤，则≤x≤，若﹣＜x＜，则不等式等价为﹣x++x+≤，即1≤成立，此时，﹣＜x＜，若x≤﹣，则不等式等价为﹣（x﹣）﹣（x+）≤，即﹣2x≤，则﹣≤x≤﹣，综上﹣≤x≤．（10分）18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+q n（q＞0），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】（本小题满分10分）解：（1）∵等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14，∴，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．…（4分）（2）∵b n=a n+q n（q＞0），a n=2n﹣1，∴，当q=1时，b n=2n，则S n=2（1+2+3+…+n）=2×=n（n+1）．…（6分）当q＞0，q≠1时，则S n=2（1+2+3+…+n）﹣n+=2×﹣n+=n（n+1）﹣n+．∴．…（10分）19．（12分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．即2ax+a+b=2x，所以，∴，所以f（x）=x2﹣x+1（2）由题意得x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线，所以g（x）在[﹣1，1]上递减．故只需最小值g（1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m＞0，解得m＜﹣1．20．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（+）•，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，）的取值范围．【解答】解：（1）∵=（sinx，），=（cosx，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，即tanx=﹣，则cos2x﹣sin2x=cos2x﹣2sinxcosx====；（2）f（x）=2（+）•=2（sinxcosx+cos2x+）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵a=，b=2，sinB=，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，∴A=，∴原式=sin（2x+）﹣，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴1≤sin（2x+）≤，则≤sin（2x+）﹣≤﹣．即所求式子的范围为[，﹣]．21．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a4=20，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则有2（a3+2）=（a2+a4），又a2+a4=20，可得a3=8，a2+a4=20，即，解之得或；又∵数列{a n}单调递增，∴，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n；（2）∵b n=a n log a n=2n log2n=﹣n•2n，∴S n=b1+b2+…+b n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣…﹣n•2n，2S n=﹣22﹣2•23﹣…﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1，∴；∵S n+n•2n+1＞50，∴2n+1﹣2＞50，∴2n+1＞52，∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣2x2+3x（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：存在m∈（0，+∞），使得f（m）=f（）（Ⅲ）记函数y=f（x）的图象为曲线Γ．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线Γ上的不同两点．如果在曲线Γ上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线Γ在点M处的切线平行于直线AB，则称函数f（x）存在“中值伴随切线”，试问：函数f（x）是否存在“中值伴随切线”？请说明理由．【解答】解：（I）f'（x）=﹣4x+3=（x＞0），f'（x）=0⇒x=1，x∈（0，1）时，f'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0；故x=1时f（x）有极大值1，无极小值．（Ⅱ）构造函数：F（x）=f（x）﹣f（）=lnx﹣2x2+3x﹣（ln2﹣+）=lnx﹣2x2+3x+ln2﹣1，由（I）知f（1）＞f（），故F（1）＞0，又F（e）=﹣2e2+3e+ln2=e（3﹣2e）+ln2＜0，所以函数F（x）在区间（1，e）上存在零点．即存在m∈（1，+∞），使得f（m）=f （）．（Ⅲ）k AB==﹣2（x1+x2）+3，f'（x0）=+3=，假设存在“中值伴随切线”，则有k AB=f'（x0），可得：=⇒=2×⇒=2×，令=t，则lnt=2﹣，构g（t）=lnt﹣2×，有g'（t）=﹣=0 恒成立，故函数g（t）单调递增，无零点，所以函数f（x）不存在“中值伴随切线”．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。