两角和与差公式导学案
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一 两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 答案 tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到.思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到. 梳理名称简记符号公式 使用条件 两角和的正切 T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β均不等于k π＋π2(k ∈Z )两角差的正切 T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z )知识点二 两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 .答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝ .答案 π4解析 因为tan α＝12，tan β＝13，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.因为α，β均为锐角， 所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ . 答案 －43解析 由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－43.类型二 正切公式的逆用 例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ ；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝ .答案 (1)3 (2)－1解析 (1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.跟踪训练2 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan 60°＝33.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值. 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1).① 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －sin A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾.∴由①得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3. 又∵0<C <π，∴C ＝π3.1.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B.－13 C.3 D.－3 答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2.已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.－17 B.－7 C.17 D.7答案 D解析 由cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝35， 所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－341－34＝7. 故选D.3.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1 B.2 C.－2 D.不确定 答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.4.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ .答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .答案 43解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.课时作业一、选择题1.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17 B.16 C.57 D.56答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.2.3tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( ) A.2 B.23 C. 3 D.0答案 C解析 ∵tan(23°＋97°)＝tan 23°＋tan 97°1－tan 23°tan 97°＝tan 120°＝－3，∴tan 23°＋tan 97°＝－3＋3tan 23°tan 97°， ∴原式＝3tan 23°tan 97°－(－3＋3tan 23°tan 97°) ＝ 3.3.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A.322B.2213 C.1318 D.16答案 A解析 因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.4.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形.5.若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1) 答案 B解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a ).6.设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.－13B.13C.－3D.3答案 B解析 由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2. tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝2－11＋2＝13. 7.在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于( ) A.30° B.45° C.120° D.60°答案 D解析 由公式变形得tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B ) ＝－tan C (1－tan A tan B ) ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . ∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝3 3. 又∵tan 2B ＝tan A tan C ， ∴tan 3B ＝33， ∴tan B ＝3，∴B ＝60°. 二、填空题8.已知tan α＝12，则tan (π4＋α)－11＋tan (π4＋α)的值是 .答案 129.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝ .答案3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.10.已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ .答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α，∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α， ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝ .答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6， ∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12，tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD ＝12－131＋12×13 ＝17. 12.若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为 . 答案3π4三、解答题13.已知tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，求：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4的值； (2)tan(α＋β)的值. 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11＋2×1＝22－3. 四、探究与拓展14.如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝ . 答案 －32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1. 又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
【原创】人教新课标A版必修4：3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（导学案+教案）
【原创】⼈教新课标A版必修4：3.1两⾓和与差的正弦、余弦和正切公式（导学案+教案）导学案两⾓和与差的正弦、余弦公式【⽬标及要求】1．掌握两⾓和与两⾓差的正弦、余弦公式．2．能正确运⽤三⾓公式进⾏简单的三⾓函数式的化简、求值、证明．【课前预习案】：2、诱导公式1）sin()cos()tan()παπαπα+=??+=??+=? 2）sin()cos()tan()ααα-=??-=??-=? 3）sin()cos()tan()παπαπα-=??-=??-=?4）sin()2cos()2παπα?-=-=?? 5） sin()2cos()2παπα?+=+=?? 3、同⾓三⾓函数基本关系平⽅关系（1）_______________ 商数关系（2）_______________ 4、两⾓差的余弦公式)(βα-Ccos()αβ-=c o s 15o= 【课内探究案】1、问题⼀：cos 75?o=设计问题解决⽅案2、探究⼀：探究两⾓和的余弦公式思考1：注意到α＋β＝α―(？)，结合)(βα-C ，推导cos(α＋β)。
)cos(βα+=cos(())α-=________________（学⽣独⽴完成，组内核对）思考2：上述公式就是两⾓和的余弦公式，记作)(βα+C ，该公式有什么特点？如何记忆？ 3、学以致⽤（⼀）求值 cos 75=化简 =+)6c o s (απ诱导公式)2cos(sin απα-=，则?)2cos()sin(-=+πβα。
分别⽤sin ,cos ,sin ,cos ααββ表⽰)sin(βα+。
))(2cos()sin(-=+πβα=))()cos((+=____________________________（学⽣独⽴完成，组内核对）思考4：如何求)sin(βα-？有哪些⽅法可以实现？①()()sin cos()2παβ=-－②sin()sin(())αβα-=+——学⽣讨论交流⽅法（组内讨论，邻近组间交流结果）)sin(βα-=____________________________________思考5：上述公式就是两⾓和与差的正弦公式，分别记作)(βα+S ，)(βα-S ，这两个公式有什么特点？如何记忆？5、学以致⽤（⼆）求值sin 75=化简=-)43sin(απ【理论迁移与技能提升】例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限的⾓，sin()4πα-求、cos(πα+、sin()4πα+的值。
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计、导学案、同步练习
第五章三角函数《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。
让学生感受数形结合及转化的思想方法。
发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
【教学目标与核心素养】【教学重难点】教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。
【教学过程】合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A1P1，AP．若把扇形分别与点A1,P1重合．根据圆《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案【学习目标】1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．【重点难点】重点：了解两角差的余弦公式的推导过程．难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等【知识梳理】1两角和与差的余弦公式2 两角和与差的正弦公式3两角和与差的正切公式【学习过程】 问题探究１.两角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系不妨令α≠2kπ＋β，k ∈Z ． 如图5.5.1，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点A （１，０），以x 轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点A 1（cosα，sinα）， P 1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A 1P 1，AP ．若把扇形OAP,绕着点O 旋转β角，则点A ，P 分别与点A 1,P 1重合．根据圆的旋转对称性可知，AP ̂与A 1P 1̂ 重合，从而， 所以AP ＝A 1P 1 根据两点间的距离公式，得[cos (α−β)−1]2+[s in (α−β)]2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2， 化简得:cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ当α=2kπ＋β （k ∈Z ）时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角α，β有cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ （Ｃ（α－β））此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).典例解析例１ 利用公式cos (α−β)证明：（１）cos (π2-α)= sinα ; （２）cos (π-α)= cosα．例２ 已知sinα=45，α∈(π2,π), cosβ=−513，β是第三象限角，求cos (α−β)的值．由公式cos (α−β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式cos (α−β)为基础来推导其他公式． 例如，比较cos (α−β)与cos (α+β)，并注意到α＋β与 α−β之间的联系：α+β＝α−（−β）则由公式cos (α−β)， 有cos (α+β)=cos[α−(−β)]＝cosαcos (−β)+sinαsin (−β)=cosαcosβ−sinαsinβ于是得到了两角和的余弦公式，简记作C （α＋β）． cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ． 问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据Ｃ（α＋β），Ｃ（α－β）及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin （α＋β），sin （α－β）的公式吗？通过推导，可以得到：s in (α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ，（S （α＋β）） s in (α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ;（S （α－β））你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ(α±β)，Ｓ(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan (α+β)，tan (α−β)的公式吗？通过推导，可以得到： tan (α+β)=tan α+tanβ1−tan αtanβT(α+β) tan (α−β)=tan α−tanβ1+tan αtanβT(α−β)和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式Ｓ(α＋β)，Ｃ(α＋β)，Ｔ(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，Ｓ(α－β)，Ｃ(α－β)，Ｔ(α－β)都叫做差角公式． 典例解析例3.已知sinα=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α),cos (π4+α),tan (α−π4)的值．由以上解答可以看到，在本题条件下有sin (π4−α)=cos (π4+α)．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明?例４ 利用和（差）角公式计算下列各式的值： （１）sin72°cos42°－cos72°sin42°; （ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ; （ 3 ）1+tan 15°1−tan 15°;【达标检测】1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )A ．cos 100°B ．sin 100°C ．32D ．12 2.已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－210B ．210C ．－25D ．253．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A ．3365 B ．－3365 C ．5475 D ．－5475 4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.5．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.参考答案： 知识梳理1.cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β2.sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β3.tan α＋tan β1－tan αtan βtan α－tan β1＋tan αtan β学习过程 典例解析例１证明: (1)cos (π2-α)= cos π2cos α+sin π2sinβsinα=0＋1×sinα=sinα． (2)cos (π-α)== cosπcos α+sinπsinβsinα=(-1)×cosα+o ．＝－ cosα． 例２解：由sinα=45，α∈(π2,π),得cosα=−√1−sinα2=−√1−(45)2=−35 又由cosβ=−513，β是第三象限角，得sinβ=−√1−cosβ2=−√1−(−513)2=−1213．所以cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−35) ×(−513)+(45) ×(−1213)=−3365 例3.解 ： 由 sinα=−35，α是第四象限角， 得cosα=√1−sinα2=√1−(−35)2=45 所以 tanα=sin αcosα=−3545= - 34于是有sin (π4−α)=sin π4cos α−cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;cos (π4+α)=cos π4cos α−sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;tan (α−π4)=tan α−tanπ41+ tan αtanπ4= tan α−11+ tan α=−34−11+(−34)=−7例 ４ 分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ． 解 ：（ １ ） 由公式 S （α － β ） ， 得 sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°=12（2） 由公式 C （α +β ） ， 得cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0 （3） 由公式 T （α +β ）及tan 45°=1， 得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°tan 45°−tan 15°=tan (45°+15°)=tan 60°=√3三、达标检测1． 【解析】 原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32. 【答案】 C2.【解析】 因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B ． 【答案】 B3．【解析】 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A ．【答案】 A 4．【解析】 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.【答案】 15．【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步练习一基础巩固1．的值是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ） A ． B ． C ．D ．3．已知，则为第三象限角，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ． 4．若，，且，均为钝角，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知，则的值为（ ）ABC ．D ．6．计算：______________7．，且是第四象限角，则______. 8．不用计算器，求值：。
两角和与差的正弦余弦正切公式导学案
两角和与差的正弦余弦正切公式导学案导学案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学目标：1.理解两角和与差的概念；2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；3.能够运用两角和与差的公式解决相关问题。
导学思路：1.引入问题：如果要计算两个角的正弦、余弦、正切函数值，我们能用到哪些公式呢？2.引出两角和与差的概念；3.探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式；4.运用公式解决相关问题。
一、引入问题在三角函数中，我们学过单个角的正弦、余弦、正切公式，但如果要计算两个角的正弦、余弦、正切函数值，我们能用到哪些公式呢？请思考并回答。
二、两角和与差的概念1.两角和的概念：假设角A和角B是两个角，我们可以定义一个角，使其边分别是角A 和角B的边的延长线，这个角叫做两角和。
用符号表示为：A+B。
2.两角差的概念：假设角A和角B是两个角，我们可以定义一个角，使其边分别是角A 和角B的边的延长线，这个角叫做两角差。
用符号表示为：A-B。
三、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.正弦的两角和与差公式：s in(A + B) = sinA · cosB + cosA · sinBsin(A - B) = sinA · cosB - cosA · sinB2.余弦的两角和与差公式：cos(A + B) = cosA · cosB - sinA · sinBcos(A - B) = cosA · cosB + sinA · sinB3.正切的两角和与差公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA · tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA · tanB)四、运用公式解决问题例题1：已知sinA = 1/5，cosB = 3/5，且角A和角B互余，求sin(A + B)和sin(A - B)的值。
苏教版必修4高中数学3.1.3两角和与差的正切公式word导
3.1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方式。
2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。
3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【学习重点难点】能按照两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习进程】（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=2.新知tan(α+β)的公式的推导(α+β)≠0tan(α+β)注意：1°必需在概念域范围内利用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能利用那个公式，只能用诱导公式。
2°注意公式的结构，尤其是符号。
（二）典型例题选讲：例1：已知tan α= ,tan β=-2 求tan(α+β),tan(α-β), α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180° 31例2：求下列各式的值：（1） （2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°例3：已知sin(2α+β)+2sin β=0 求证tan α=3tan(α+β)例4：已知tan θ和tan( -θ)是方程χ2+p χ+q=0的两个根，证明：p-q+1=0.例5：已知tan α=3(1+m),tan(-β)3(tan αtan β+m),又α，β都是钝角，求α+β的值.︒-︒+75tan 175tan 14π【课堂练习】1.若tan A tan B =tan A +tab B +1，则cos(A +B )的值为 .2.在△ABC 中，若0＜tanA ·tabB ＜1则△ABC 必然是 .3.在△ABC 中，tanA+tanB+tanC=33,tan 2B=tanAtanC,则∠B 等于 . 4. = .5.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.【课堂小结】︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2131)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+。
3.1.2两角和与差的正弦、正切公式-导学案
导学案年级： 高一 科目： 数学 主备： 审核：课题：两角和与差的正弦、正切公式 课型：新授课 课时 :2 课时 【三维目标】●知识与技能：能利用两角和与差的余弦公式，利用化归思想等推导出两角和与差的正弦、正切公式，体会它们的内在联系并进行简单的应用。
●过程与方法:进一步提高学生运用对比、联系、转化的观点去处理和分析问题的自觉性。
●情感态度与价值观：培养学生积极动手，勇于探索，善于发现，团结协作，独立意识以及不断超越自我的创新品质。
【学习重点】：引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推导出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。
【学习难点】：掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。
【教学资源】教师导学过程(导案)学生学习活动(学案) 【导学过程1:】复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；（2）()cos sin =α； （3）()()=αtan . 【学生学习活动1:】（1）回忆上节课所学知识，诱导公式和同角的基本关系为本节课学习作铺垫【导学过程2:】 讲授新课怎样由上述知识得到两角和与差的正弦和正切公式呢？活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+【学生学习活动2:】活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ 活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-小结1：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±活动3、学生动手完成两角和的正切公式推导()()()()系同角三角函数的基本关βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin tan -+=-+=++=+ 活动4、怎样继而得到两角差的正切公式；观察两角和与差的 正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想－－－－βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan +-=-+=+=小结2：()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±其中，,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈将()βα+S 、()βα+C 、()βα+T 称为和角公式；()βα-S 、()βα-C 、()βα-T 称为差角公式。
苏教版必修4高中数学3.1.2两角和与差的正弦公式word导
3.1.2 两角和与差的正弦公式【学习目标】一、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方式。
二、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
3、掌握诱导公式 s in =co s α，sin = cos α,sin =- cos α, sin =- cos α,【学习重点难点】 （一）预习指导： 两角和与差的余弦公式：（二）大体概念： 大体概念：1.两角和的正弦公式的推导 sin(α+β)=sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β（二）、典型例题选讲：例１求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23⎪⎭⎫⎝⎛-απ23例２：已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.例３：已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值例４：（１）已知sin(α-β)= ,si n(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.【课堂练习】１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为2.已知 ＜α＜ ，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.3.已知sin α+sin β= ,求cos α+cos β的范围.3252βαtan tan 312131544π43π4π5343π135224.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.5.已知sin α+sin β= cos α+cos β= 求cos(α-β)6.化简2cos χ-6sin χ解：咱们取得一组有效的公式： （1）sin α±sin α=2sin =2cos .（3）sin α3±cos α=2sin =2cos（4）αsin α+bco s α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ)7.化解3cos χχsin -8.求证：co s χ+sin χ=2cos （χ - ）21101βαtan tan 5354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα 4π9.求证：c os α+3sin α=2sin （ ）.10.已知 ，求函数у=cos （ ）-cos的值域.11.求 的值.【课堂小结】απ+6⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πχχπ-12⎝⎛⎪⎭⎫+χπ125︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2。
高中数学必修四导学案-两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、学情分析五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈ 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈． （二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 4442210πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎝⎭⎝ 43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？ 3tan tan 144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==； （3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x -=-=-思考：余弦分别等于2和2的. （三）反思总结，当堂检测。
3.1.2---两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学案
课堂因为你的参与而精彩 课堂因为你的展示而绚丽
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，
2. 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用
两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用
=-)cos(βα ,
=--)](cos[βα = ,
即=+)cos(βα 【探究新知】
阅读课本129128P P -,并把结果填入下面框中： 温馨提示：仔细观察认识两角和与差正弦公式的特征， 不要混淆
【例题讲解】
例3、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的值.
例4、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin 72cos 42cos72sin 42- ；（2）cos 20cos70sin 20sin 70- ；
课堂因为你的参与而精彩 课堂因为你的展示而绚丽
【当堂检测】 1. 求值：
= 15sin
= 75cos
= 75sin
= 15tan
2.已知,3tan =α，求)4
tan(π
α+的值
1.课本137页：7-13
2.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛
⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
3.已知3335
0,cos ,sin 4
4
4
5
4
13
ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (导学案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1课时）班级 姓名一、学习目标：1. 在学习两角差的余弦公式的基础上，能导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系，能用自己的话简洁地概括出公式的特点。
2.能应用公式解决比较简单简单的求值、化简、恒等证明的有关问题。
3. 应用两角和与差的正弦、余弦公式，解决“ααcos sin b a +”型化简问题。
学习重点：两角和与差的正弦、余弦公式的准确运用二、学习过程（一）教材核心知识及推导过程cos()αβ-=cos()αβ+==+)s i n (βαsin()αβ-=自我总结4个公式的特点(二)预习自测：()()._________s i n s i n c o s c o s 1=---ββαββα、 2、计算下列各式的值（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -（2） 70sin 20sin 70cos 20cos -（三）自主探究---三角函数的求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值. 分析解答.________3sin ,2,23,51cos 1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则、若变式 总结（四）自主发展1---配凑角求值例2、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ- 分析解答变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos2α的值。
总结自主发展2---公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用 例3、计算12cos 12sin3ππ+的值分析解答变式3、教材练习总结公式（当堂检测放于后） 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）班级 姓名学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用学习过程（一）两角和与差的正弦、余弦公式cos()αβ-= cos()αβ+==+)s i n (βα sin()αβ-=如何以上公式推导tan()αβ+和tan()αβ-？（二）两角和与差的正切公式t a n ()αβ+=t a n ()αβ-= 自我总结以上6个公式的特点(三)预习自测：1、计算下列各式的值35tan 95tan 135tan -95tan 1+）（15tan 115tan 12-+）（ （四）自主探究1---三角函数求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα和⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习导学案(简单点)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习导学案一、知识储备1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 二、知识导学知识自测：1、sin165º= （ ）A ．21 B ．23 C ．426+ D ． 426- 2、sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）A ．23B ．21C ．23D ．21- 3、已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 4、化简2sin （4π－x ）·sin （4π+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x题型一 三角函数公式的基本应用例1(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )(2)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin α＋π4＝________.题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )A. 2B.22C.12 D.32(2)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于()A.2525B.255 C.2525或255 D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．三、课后追踪1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ） A.14122、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ）A.3-B.3C.13-D.133、cos 5πcos 52π的值等于（ ）A ．41B ．21C ．2D ．44、 已知02A π<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ） A.425 B.725 C.1225 D.24255． cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32 B.22 C.12 D ．16．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35 B.45 C.74 D.34 7．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ等于( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－338．若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sin π＋α2－cos π＋α2sin π－α2－cos π－α2等于() A.12 B ．－12 C ．2 D ．－29．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.1318 B.1322 C.322 D.1610.sin 250°1＋sin 10°＝________.11．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.12．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 13．已知函数2()2cos 2sin f x x x =+.(1)求()3f π的值；(2)求()f x 的最大值和最小值．14.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值．。
三角函数、解三角形 第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学案
第3课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【学习目标】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 【预习单】1．若cos α＝－45.α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．2.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．3．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． 4.已知tan =37，tan π6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= .【活动单】例1（1）已知sin α=23，cos β=-34，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.（2）计算：000000sin7cos15sin8cos7-sin15sin8+⋅⋅= .（3） 若α，β均为钝角，且sin α=5，cos β=-10，则α+β= .例2.已知α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α＝______，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝______．例3.化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+-x)+tan(12°+x)]=.练习：在非直角三角形ABC 中， 若角A ，B ，C 成等差数列，且tan Atan C=2+tan A 的值.【巩固单】1.在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),则sin =( )A. B.- C. D.2.若0<α<,-<β<0,cos ,cos ,则cos 等于( )A. B.- C. D.-3.函数f (x )=cos x-sin -sin 在[0,π]的值域为( )A.[-1,1]B.[-2,1]C.[-2,2]D.4.若α+β=,则tan α·tan β-tan α-tan β的值为( )A. B.1 C.-1 D.-5.若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223 C ．－1 D ．±1 6.4sin 80°-=( ) A.B.-C.D.2-37.对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12B.13C.14 D ．与a 0有关的一个值8.(多选)下列选项中,值为的是( )A.cos 72°·cos 36°B.sin sinC.D.cos 215°9．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．10.计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= .11. 求值：tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°=.12.已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.13.已知tan α=3tan ,则= .14.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．15. 若cos(α+β)=45，sin(α-β)=35，且3π2<α+β<2π，π2<α-β<π，求cos 2β 的值.16.已知α，β，γ均为锐角，且tan α=4，tan β=711，tan γ=12，求α+β+γ的值.【反思单】第3课 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【学习目标】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式. 【知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β； cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . [三角函数公式的变形]（1）公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan α·tan β). （2）辅助角公式:a sin x+b cos x=sin(x+φ)(a 2+b 2≠0),其中sin φ=,cos φ=.2．三角函数公式关系【预习单】1．若cos α＝－45.α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210.答案：－72102.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.答案：223．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________． 解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°， 所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，所以原式＝3－3tan 20°tan40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案： 3 4.已知tan π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=37，tan π6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= . 1[易错纠偏](1)不会逆用公式，找不到思路； (2)不会合理配角出错； (3)忽视角的范围用错公式． 【活动单】考点一：利用两角和(差)公式进行化简、求值 例1（1）已知sin α=23，cos β=-34，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.（2）计算：000000sin7cos15sin8cos7-sin15sin8+⋅⋅= . 2-（3） 若α，β均为钝角，且sin cos β=，则α+β= .7π4考点二：目标角与已知角之间的变换例2.已知α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α＝______，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝______．【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以0<α－π6<π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－19＝223，所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝13×32＋223×12＝3＋226， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 考点三：公式的逆用及变形 例3.化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+3[tan(18°-x)+tan(12°+x)]=.1练习：在非直角三角形ABC 中， 若角A ，B ，C 成等差数列，且tan Atan C=2+3，求tan A 的值.tan A=1或tan A=2+3.【巩固单】1.在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),则sin =( )A. B.- C. D.解析:∵在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合,终边过点(-,-),∴sinα==-,cos α==-,则sin =-sin =-sin αcos -cos αsin .故选D .2.若0<α<,-<β<0,cos ,cos ,则cos 等于( )A. B.- C. D.-解析cos=cos=cos cos+sin sin.∵0<α<,则+α<,∴sin.又-<β<0,则,∴sin.故cos.故选C.3.函数f(x)=cos x-sin-sin在[0,π]的值域为()A.[-1,1]B.[-2,1]C.[-2,2]D.解：f(x)=cos x-sin x-cos x-sin x+cos x=cos x-sin x=2cos∵0≤x≤π,x+,则当x+=π时,函数取得最小值2cos π=-2,当x+时,函数取得最大值2cos=2=1,即函数的值域为[-2,1].故选B.4.若α+β=,则tan α·tan β-tan α-tan β的值为()A. B.1C.-1D.-解析:∵α+β=,∴tan(α+β)==tanπ-=-,可得tan α+tan β=-(1-tan αtan β),∴tan α·tan β-tan α-tan β=tan αtan β-(tan α+tan β)=tan αtan β+tan αtan β=.故选A .5.若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223 C ．－1 D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 6.4sin 80°-=( ) A.B.-C.D.2-3解：4sin 80°-====-故选B .7.对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12B.13C.14D ．与a 0有关的一个值解析：选A.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫5π6－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝⎛⎭⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝⎛⎭⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝32（sin 2a 0＋cos 2a 0）3＝12. 8.(多选)下列选项中,值为的是( )A.cos 72°·cos 36°B.sin sinC. D.cos 215°解析: (1)对于A,cos 36°·cos 72°=,故A 正确;对于B,sin sin =sin cos 2sin cos sin ,故B 正确;对于C,原式==4,故C 错误; 对于D,cos 2 15°=-(2cos 2 15°-1)=-cos 30°=-,故D 错误.故选AB . 9．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．解析：tan β＝tan[α－(α－β)] ＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝3－21＋3×2＝17.答案：1710.计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= . 22 11. 求值：tan 20°+tan 40°+3tan 20°tan 40°= .312.已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：513.已知tan α=3tan ,则= .解：tan α=3tan ,则14.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.15. 若cos(α+β)=45，sin(α-β)=35，且3π2<α+β<2π，π2<α-β<π，求cos 2β 的值.-1. 16.已知α，β，γ均为锐角，且tan α=4，tan β=711，tan γ=12，求α+β+γ的值. 所以α+β+γ=3π4.【反思单】。
北师大版数学必修四：《两角和与差的三角函数的应用》导学案(含解析)
第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):答案第4课时两角和与差的三角函数的应用知识体系梳理问题1:cos(α-β)cos(α+β)sin α·cos β+cos α·sin βsin α·cos β-cos α·sin β问题2:(1)tan(α+β)(1-tan αtan β)tan(α-β)(1+tan αtan β)(2)(3)tan(α+β)tan αtan β(4)-tan(α-β)tan αtan β问题3:(α+β)(β-α)(α-β)(β-α)(α-β)基础学习交流1.C原式=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin(45°-15°)=.2.C cos(α+)=cos[(+α)-(-)]=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-),而+α∈(,),-∈(,),∴sin(+α)=,sin(-)=,∴cos(α+)=×+×=.3.∵α∈(0,),∴α+∈(,),∴sin(α+)=,∴cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)cos+sin(α+)sin=×+×=.4.解:3sin x-cos x=2(sin x-cos x)=2sin(x-),又∵φ∈(-π,π),∴φ=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式===tan 15°=tan(60°-45°)===2-.(2)原式=(2sin 50°+sin 10°×)·sin 80°=(2sin 50°+2sin 10°×)×cos 10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]=2sin(50°+10°)=2×=.【小结】对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:①化为特殊角的三角函数值;②化为正、负相消的项,消去求值;③化分子、分母出现公约数进行约分求值.探究二:【解析】(1)∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,∴⇒⇒==2,∴tan A=2tan B.(2)∵<A+B<π,sin(A+B)=,∴ tan(A+B)=-,即=-,将tan A=2tan B代入上式并整理,得2tan2B-4tan B-1=0,解得tan B=,舍去负值,得tan B=,∴ tan A=2tan B=2+.设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=,由AB=3,得CD=2+,∴AB边上的高等于2+.【小结】利用三角函数公式解三角形问题时,不仅要考虑使公式本身有意义的角度范围,还要考虑三角形内角需满足的要求.探究三:【错解】∵0<α<,0<β<,∴ 0<α+β<π,又∵cos α=,cos β=,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,又∵0<α+β<π,∴α+β=或.[问题]α+β会等于吗?[结论]通过求三角函数值求角度时,最好求角度范围内是单调函数的三角函数值,可避免进一步讨论或出错.α+β≠,∵α、β都是锐角,sin α=<,sin β=<,∴0<α<,0<β<,0<α+β<.于是,正确解答如下:∵0<α<,0<β<,∴ 0<α+β<π,又∵cos α=,cos β=,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.又∵在0~π之间,余弦值为的角只有,∴α+β=.思维拓展应用应用一:A原式=sin(43°-13°)=sin 30°=,故选A.应用二:A根据韦达定理,有tan A+tan B=-,tan A tan B=-,则tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=2.应用三:∵A、B均为钝角且sin A=,sin B=,∴cos A=-=-=-,cos B=-=-=-.∴cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B=-×(-)-×=.①又∵<A<π,<B<π,∴π<A+B<2π.②由①②,知A+B=.基础智能检测1.A原式=sin[(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-·cos[(θ+45°)-30°]=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.2.C cos x+cos(x-)=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x=(cos x+sin x)=cos(x-)=-1.3.sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A⇒sin B cos A=sin(C+A)=sin B,又sin B≠0,所以cos A=.4.解:∵0<β<<α<,∴<+α<π,<+β<π.又cos(-α)=sin(+α)=,∴cos(+α)=-=-,cos(+β)=-=-.∴sin[π+(α+β)]=sin[(+α)+(+β)]=sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)=×(-)-×=-.∴sin(α+β)=.全新视角拓展(1)由单位圆中三角函数的定义,可得cos α=,cos β=.由于α,β为锐角,所以sin α==,sin β==.从而tan α=7,tan β=,所以tan(α+β)===-3.(2)因为tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===-1,又0<α<,0<β<,所以0<α+2β<,从而α+2β=.思维导图构建sin(x+φ)cos(x-θ)。
3.1.2两角和与差的正切公式(二) 导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4
3.1.2 两角和与差的正切公式（二）一、学习目标、细解考纲1、能利用两角和与差的正余弦公式导出两角和与差的正切公式2、掌握两角和与差的正切公式及变形运用3、通过公式的推导和应用提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养二、自主学习—————（素养催化剂）(阅读教材128131P -的内容，完成以下问题)1、两角和与差的正切公式（1）()()+tan ______T αβαβ+=：（2）()()-tan ______T αβαβ-=：2、在使用正切公式时，需要注意()(),,22k k Z k k Z ππαπβπ≠+∈≠+∈ (),2k k Z παβπ+≠+∈()2k k Z παβπ-≠+∈ 3、两角和与差的正切公式的变形（1）tan tan ________αβ+=()tan tan tan tan tan ________αβαβαβ+++=tan tan ______αβ⋅=（2）tan tan ________αβ-=例3、求值（1）（教材130页例4（30（2）0000tan 25tan 3525tan 35++变式3、求值（1）0000cos15sin15cos15sin15-+ （2）0000tan 35tan8535tan85+四、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）拓展1、在ABC 中，若tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos C 的值为（ ）A 、2-B 、2C 、12D 、12- 思考1、已知锐角ABC ，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=拓展2、(教材改编）若,αβ均为钝角，且()()1tan 1tan 2αβ--=，求αβ+思考2、(教材改编）已知tan ,tan αβ是方程240x -+=的两根，且(),,0αβπ∈-，求αβ+五、备选例题例1、 (教材改编）已知tan 2α=（1）求3tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求22sin 2sin sin cos 2cos ααααα+-的值．例2、(教材改编）已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求22sin sin 2cos 4ααπα+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值六、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。
人教版高中数学全套教案导学案3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学过程1、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请写出。
②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?结论1、C(α+β).③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?结论2、S(α+β)、S(α-β).⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出ta n(α-β)=?tan （α+β）=？结论3、由此推得两角和、差的正切公式，简记为T 、T⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.归纳总结以上六个公式的推导过程，得出以下逻辑联系图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式2、应用示例例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.练习：课本课后练习1、2、3、4、题例2 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+练习：课本课后练习5、6、7、题例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α).（两种方法）练习：化简下列各式：（1）3sinx+cosx;（2）2cosx-6sinx.3、课堂小结通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.4、作业布置习题3.1 A 组7、13(1) (3) (5) (7) (9)。
两角和与差的正弦、余弦函数导学案
两角和与差的正弦、余弦函数导学案第三章第二节两角和与差的三角函数（一）3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数斗鸡中学高一数学备课组设计人：强彩红评审人：张博【学习目标】1.利用两角差的余弦三角函数公式推导两角和与差的其它三角公式2.初步理解两角和与差的正弦、余弦公式的结构及功能3.能熟练利用公式解决简单的化简、求值问题.【学习重点】两角和与差的正弦、余弦三角函数公式的推导【学习难点】能熟练利用公式解决简单的化简、求值问题.【学习方法】阅读课本，独立完成导学案【学习过程】一、自主学习1.两角和与差的余弦2.两角和与差的余弦公式是cos(+)()=，其中，为2. 两角和与差的正弦两角和与差的正弦sin(+)sin()= 其中，为二、公式推导sin(+)=sincos+cos sin ,sin()=sincosɧ 38;cossin.证明: 在两角和的余弦公式中, 利用诱导公式, 可得到(+)cos+cos ;sin,即sin(+)=sincos+cos sin.用代替上面公式中的 ,可得到sin(-)=sincos(-)+ cossin(-),三．活用公式例1．计算：(1)cos65cos115cos25sin115;(2)cos70cos20+sin110ɨ 16;sin20.例2.已知sin= ，cos= 均为锐角，求cos ()的值.例3.（1）已知均为锐角且，求的值（2）已知均为锐角，且，，求的值三、巩固公式1.下列关系式中一定成立的是（）A. BD.2. 的值为（）A. B. C. D，，则已知，且，求的值四、归纳整理1.本节课所学的知识内容有哪些？2.本节课学习过程中，还有哪些不明白的地方，请提出来。
2020高考数学两角和与差的三角函数导学案(4页)
2020高考数学两角和与差的三角函数导学案【学习目标】1. 掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式，了解它们的内在联系。
2. 能运用上述公式进行简单的恒等变换。
【学习难点】三角公式的灵活运用[自主学习]1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝_____________________cos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)1－tanα tanβ＝4．常见的角的变换：2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β＝(α－)－(－β)； ＝[典型例析]例1.求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值. )tan(tan tan βαβα++α2βα+2βα-2βα+2β2α)4()4(x x ++-ππ2π3ο80sin 22例2. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．变式训练：设cos （－）=－，sin （－β）=，且＜＜π，0＜β＜， ∈4π43π∈4πcos 4π5343π135α2β912α322πα2π求cos （+β）.例3．化简sin 2·sin 2+cos 2cos 2-cos2·cos2.变式训练：化简：（1）sin +cos ; ααβαβ21αβ2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π6⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π(2）.[当堂检测]⒈ 的值为___________.⒉ 若，且为第三象限角，则的值为_________________________3如果，那么的值等于_____________________4._____________.[学后反思]____________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos m =---αβααβαsin )cos(cos )sin(ββcos 21)4tan(,43)tan(=-=+πββα)4tan(πα+=︒+︒15cos 15sin。
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第十四讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用． 自主梳理
1．(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)两角和与差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2
，k ∈Z ) 其变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2．辅助角公式
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，
其中⎩⎪⎨⎪⎧ cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角． 自我检测
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )
A.12
B.33
C.22
D.32
2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435
，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45
3．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是( )
A.π2
B ．π
C ．2π
D ．4π 4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫π3，π2
B.⎝⎛⎭
⎫π3，π C.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 D.⎝⎛⎭
⎫π3，3π2
探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)
例1 求值：
(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．
变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°
； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6
＋θ)．
探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
例2 已知0<β<π4<α<3π4
，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．
变式迁移2 (2011·广州模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12
. (1)求tan α的值；
(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)
的值．
探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)
例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210
. (1)求sin α的值； (2)求β的值．
变式迁移3 (2011·岳阳模拟)若sin A ＝55，sin B ＝1010
，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435
，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45
2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233
，则sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6的值是( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.23
3．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝
⎛⎭⎫α＋4π3等于( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.14
4．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是( )
A ．x ＝5π4
B ．x ＝3π4
C ．x ＝－π4
D ．x ＝－π2
5．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为( )
A.π6
B.56
π C.π或5π D.π或2π
6．如图，
图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点
P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33
－ sin α13·sin α2＋α33
＝________. 7．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12
，则tan(α－β)＝________. 8．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513
.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17
，求2α－β的值．
答案
课后练习区
1．D 2.D 3.B 4.A 5.A 6．－12 7.－211 8.3 －23
π 9．解 (1)35. (2)2α－β＝－3π4.。