线代复习题

试题A

一、选择题

1、设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）。

（A ）当(0)a a =≠A 时，a =B ；（B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B ；（C ）当0≠A 时，0=B ； （D ）当0=A 时，0=B 。 2、设A 是三阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得到B ，再把B 的第二列加到第三列得到C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（ ）。

（A ）0

101

0010

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭； （B ）01010100

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭； （C ）0

1010001

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭； （D ）0

1110000

1⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

。 3、设A 是n 阶矩阵（2≥n ），下列等式正确的是（ ）。

（A ）)0()(*

*

≠=k kA

kA ； （B ）)0()(*

*≠=k A

k kA n ；

（C ）)0()(*

1

*≠=-k A

k kA ； （D ）*

1

*)(A k

kA n -=。

4、设有n 维向量组12m ⋅⋅⋅ααα，，,与⋅⋅⋅12m ββ,β，，，若存在两组不全为零的数12m λλλ⋅⋅⋅，，,和12k k k m ⋅⋅⋅，，,使

11111m m m k k k k 0m m m λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝则（ ） (A)12m ⋅⋅⋅ααα，，

,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性相关；(B) 12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性无关； (C) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，

，＋，－，，－线性无关；(D) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性相关。 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）

5、三阶实矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=32

4202

423

A 的全部特征值为 ，绝对值最大的特征值的特征向量是 。 6、设三阶矩阵A 的行列式

3=A ，则=--*

1

23A

A

。

7、方程⎩⎨⎧-==-2

23321x x x 的通解为 。8、=))((det k i E ， =-1

),(det j i E 。

三、计算题（本题共2小题，每题10分，满分20分。计算要写出演算步骤）

9、24

23

22

21

12114322,

32

1

4

214300324321

M

M

M

M

A A D +-+-+=

和求设。10、4

4

4

4

22221111

d

c

b

a

d c b a d c b a D =

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）

11、设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，证明B 可逆，并求1

-AB

。

12、设a 是n 阶非零列向量，E 是n 阶单位矩阵，证明T

T

2()

A E aa a a =-

是正交矩阵。

五、解答题（本题共3小题，第13、第15题各10分，第14题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、求λ，使方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-+=+-+=++-λ

4321

43214321114724212x x x x x x x x x x x x 有解，并求通解。

14、设有向量组⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=

1222,1132,1123,13214

32

1αααα （1）求向量组的秩和向量组的一个极大线性无关组；（2）把其余向量表示成该极大线性无关组的线性组合； （3）判定二次型x x f T

),,,(4321αααα=的正定性。

15、已知矩阵A 的伴随矩阵⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=80

3

01010

0100001

*

A ，且E BA

ABA 31

1

+=--，求B 。

试题B

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设 )(ij a =A ，)(ij b =B 是两个n 阶方阵，则AB 的第i 行是（ ）。 （A ）

B 的各行的线性组合，组合系数是A 的第i 行各元素；A 的各行的线性组合，组合系数是B 的第i 行各元素； （B ）

B 的各列的线性组合，组合系数是A 的第i 行各元素；B 的各行的线性组合，组合系数是A 的第i 列各元素．

2、设4阶方阵A 的秩为2，其伴随矩阵*

A 的秩为( ).(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4

3、设A 是三阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得到B ，再把B 的第二列加到第三列得到C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（ ）.

（A ）0

101

0010

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭ （B ）01010100

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭ （C ）0

1010001

1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭ （D ）0

1110000

1⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

4、设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ）。

（A ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（B ）232k 11αααββ，，，＋线性相关； （C ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（D ）232k 11αααββ，，，＋线性相关。 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

5、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1

213A -⎛⎫

⎪⎝⎭

的一个特征值为 。

6、已知向量123(1,1,1),(1,2,4),(1,3,9)T

T

T

===ααα及(1,1,3)T

=β，则β由123,,ααα的线性表示式为 。 7、设3阶方阵A 的2=A ，*

A 为A 的伴随矩阵，则*

A

A 为 。8、=))(,(det k j i E ， =-1

))

((det k i E 。

三、计算题（本题共2小题，第1小题10分，第2小题8分，满分18分。计算要写出演算步骤）