第八章 8.2双曲线
双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义及其标准方程在数学的广袤天地中，双曲线是一种充满魅力和独特性质的曲线。
它不仅在数学理论中占据重要地位，还在物理学、工程学等众多领域有着广泛的应用。
让我们一同来深入探索双曲线的定义及其标准方程。
首先，我们来明确双曲线的定义。
双曲线可以简单地理解为平面内到两个定点的距离之差的绝对值为定值（这个定值小于两个定点之间的距离）的点的轨迹。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距。
为了更直观地理解这个定义，我们可以想象一下。
假设在平面上有两个固定的点 F₁和 F₂，然后有一个动点 P。
如果点 P 到点 F₁和 F₂的距离之差的绝对值始终保持不变，并且这个差值小于 F₁和 F₂之间的距离，那么点 P 运动所形成的轨迹就是一条双曲线。
接下来，我们看看双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程分为两种情况：焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上。
当双曲线的焦点在 x 轴上时，其标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中 a 表示双曲线实半轴的长度，b 表示虚半轴的长度。
在这个方程中，我们可以通过一些关键的参数来描述双曲线的特征。
比如，双曲线的渐近线方程为＼（y ＝＼pm\frac{b}｛a}x\）。
渐近线是双曲线的重要特征之一，它反映了双曲线在无穷远处的走向。
当双曲线的焦点在 y 轴上时，标准方程则为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
为了更好地理解双曲线的标准方程，我们可以通过一些具体的数值例子来进行分析。
假设 a ＝ 3，b ＝ 4，当焦点在 x 轴上时，方程为＼（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝ 1\）。
我们可以通过这个方程来计算出双曲线的顶点坐标、焦点坐标等重要信息。
双曲线的顶点坐标为＼（（＼pm a, 0) ＼），即＼（（＼pm 3, 0) ＼）。
焦点坐标为＼（（＼pm c, 0) ＼），其中＼（ c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2} ＼），在这里＼（ c ＝＼sqrt{9 ＋ 16} ＝ 5 ＼），所以焦点坐标为＼（（＼pm 5, 0) ＼）。
高考数学复习 第八章 圆锥曲线方程8-2双曲线课件
||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据
填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线
上．
______________________________________________
__________________________.
|MC1|＝r＋ ，|MC2|＝r－
故得|MC1|－|MC2|＝ 在④的情况下，同理得|MC2|
－|MC1|＝
由③④得|MC1|－|MC2|＝±
根 据 双 曲 线 定 义 ， 可 知 点 M 的 轨 迹 是 以 C1( － 4,0) 、
C2(4,0)为焦点的双曲线，且a＝ c＝4，b2＝c2－a2＝14，
答案：该学生回答不正确，应为|PF2|＝17 解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|＝2a， ∴|PF2|＝17.
(2008·长沙一中18，N是线段MF1的中
点，O为坐标原点，则|ON|等于
()
A．4 C．1
B．2 D.
答案：A
●回归教材
解析：若方程
表示双曲线，则(2－
m)(m－3)＜0⇔(m－2)(m－3)＞0⇒m＜2或m＞3.故选B.
答案：B
2．(2009·天津，4)设双曲线
的
虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 ( )
解析：由题意得b＝1，c＝ 线的渐近线方程为y＝ 即y＝
答案：C
，∴a＝ ，∴双曲 故选C.
●易错知识 一、忽视焦点的位置产生的混淆 1．若双曲线的渐近线方程是y＝ 焦距为10，则双 曲线方程为______________________________．
双曲线知识点
双曲线：注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
202新数学复习第八章平面解析几何8.2直线的交点与距离公式学案含解析
第二节直线的交点与距离公式课标要求考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1。
高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离．2．常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目．3．题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.知识点一两条直线平行与垂直的判定知识点二两条直线的交点知识点三三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式．（2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．思考辨析判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×”)(1）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交．(×)（2）点P（x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为错误!。
（×）(3）直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√）(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(√）（5）若点A，B关于直线l：y＝kx＋b（k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－错误!，且线段AB的中点在直线l上．(√)解析：（1）当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合．（2）应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为错误!.(3）因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．（4）两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离．（5）根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于－错误!，且线段AB的中点在直线l上．2．小题热身(1）已知直线（k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2（k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为(C)A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2（2）直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直,则a的值为（D)A．－3 B．－错误!C．2 D．3(3）直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a 的值为错误!。
高考数学复习全套课件 第八章 第二节 双曲线.ppt
B.[ ,+∞)
C.(1, +1]
D.[ +1, +∞)
解析：设右支上一点P(x0，y0)，P到左准线距离为：x0＋
P到右焦点距离为ex0－a，∴x0＋ ＝ex0－a.
∴x0＝a·
≥a.∴e2－2e－1≤0，
解得1－ ≤e≤1＋ ，又∵e>1，∴1<e≤1＋
答案：C
3．双曲线 －y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线
若
成立，则λ的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
解析：设△PF1F2的内切圆半径为R，
S ＝ |PF1|·R，S ＝ |PF2|·R，
S
＝ |F1F2|·R，
∴|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，
∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，
∴λ＝
答案：B
1．(2010·合肥摸拟)已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的
e＝
c a
(e>1 )
x＝
y＝
标准方程
＝1(a>0，b>0)
＝1(a>0，b>0)
若点P在右半支上， 若点P在上半支上，
性质
焦 半
则|PF1|＝ ex1＋a ， | PF2|＝ ex1－a ；
则|PF1|＝ey1＋a ， |PF2|＝ ey1－a ；
若点P在左半支上， 若点P在下半支上，
径 则|PF1|＝ －(ex1＋a)， 则|PF1|＝ －(ey1＋a)，
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线 方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线． (2)求已知渐近线的双曲线的方程． (3)渐近线的斜率与离心率的关系．
双曲线及其标准方程完整版课件
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
2006年高考第一轮复习数学8.2 双曲线
8.2 双曲线定义1.到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （＞1）的点的轨迹方程1. 22a x －22by =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0）2.22a y －22b x =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 性质H ：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）1.范围：|x |≥a ，y ∈R2.对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）4.渐近线：y =a b x ，y =－a bx 5.离心率：e =a c∈（1，+∞）6.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 27.焦半径：P （x ，y ）∈H ， P 在右支上， r 1=|PF 1|=ex +a ， r 2=|PF 2|=ex －a ； P 在左支上， r 1=|PF 1|=－（ex +a ）， r 2=|PF 2|=－（ex －a ）对于焦点在y 轴上的双曲线22a y －22bx =1（a ＞0，b ＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？●点击双基1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x解析：由双曲线方程可得焦点在x 轴上，a =2，b =3.∴渐近线方程为y =±ab x =±23x .答案：A2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =1解析：可设所求双曲线方程为22x －y 2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2.答案：A3.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是A.10B.7732 C.27 D.532解析：利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532.答案：D4.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.解析：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±374）.易求它到中心的距离为316. 答案：3165.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.解析：利用双曲线的定义.答案：92x －162y =1（x ＞0）●典例剖析【例1】 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.剖析：设双曲线方程为22a x －22by =1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为22a x －22by =1，a b =34， 22)3(a -－22)32(b =1，解得a 2=49，b 2=4. 所以双曲线的方程为492x －42y =1.（2）设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25. 又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：（1）设所求双曲线方程为92x －162y ＝λ（λ≠0），将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x －162y ＝41.（2）设双曲线方程为k x-162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.评述：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）.【例2】 （2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.剖析：由|PM |－|PN |=2m ，得||PM |－|PN ||=2|m |.知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、由题意，得y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值 范围.解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2，即y =±2x （x ≠0）.①因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得||PM |－|PN ||<|MN |=2. ∵||PM |－|PN ||=2|m |>0，∴0<|m |<1.因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上.故22mx －221m y -=1.②将①代入②，并解得x 2=22251)1(m m m --，∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0. 解得0<|m |<55， 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）. 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.【例3】 如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列.（1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.剖析：可以验证F 为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y 1+y 3的值.为求出AC 的中垂线所过定点，不妨设想作出A 与C 关于y 轴的对称点A ′与C ′.由双曲线的对称性，易知A ′与C ′也在双曲线上，且A ′、B 、C ′满足题设条件，所以A ′C ′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y 轴对称.所以定点应在y 轴上.（1）解：c =1312+=5，故F 为双曲线的焦点，设准线为l ，离心率为e ，由题设有2|FB |=|F A |+|FC |. ①分别过A 、B 、C 作x 轴的垂线AA 2、BB 2、CC 2，交l 于A 1、B 1、C 1，则由双曲线第二定义有|FB |=e |BB 1|，|F A |=e |AA 1|，|FC |=e |CC 1|，代入①式，得2e |BB 1|=e |AA 1|+e |CC 1|，即2|BB 1|=|AA 1|+|CC 1|.于是两边均加上准线与x 轴距离的2倍，有 2|BB 2|=|AA 2|+|CC 2|，此即2×6=y 1+y 3，可见y 1+y 3=12. （2）证明：AC 的中垂线方程为 y －231y y +=－3131y y x x --（x －231x x +），即y －6=－3131y y x x --x +)(2312321y y x x --.②由于A 、C 均在双曲线上，所以有1221y －1321x =1，1223y －1323x =1.相减得132321x x -=122321y y -.于是有312321y y x x --=1213（y 1+y 3）=1213·12=13，故②变为y =－3131y y x x --x +225，易知此直线过定点D （0，225）.评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC 的中点，中点问题往往把A 、C 的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.●闯关训练 夯实基础1.（2004年天津，4）设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于A.1或5B.6C.7D.9解析：由渐近线方程y =23x ，且a =2， ∴b =3.据定义有|PF 2|－|PF 1|=4， ∴|PF 2|=7. 答案：C2.（2005年春季北京，5）“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：由ab <0，得a >0，b <0或a <0，b >0.由此可知a 与b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然. 答案：C3.（2003年上海）给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________________. 解析：易知P 与F 1在y 轴的同侧，|PF 2|－|PF 1|=2a ，∴|PF 2|=17. 答案：|PF 2|=174.过点A （0，2）可以作____________条直线与双曲线x 2－42y ＝1有且只有一个公共点.解析：数形结合，两切线、两交线. 答案：45.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.解：（1）由16x 2－9y 2=144得92x －162y =1，∴a =3，b =4，c =5.焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），离心率e =35，渐近线方程为y =±34x . （2）||PF 1|－|PF 2||=6，cos ∠F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF -+=||||2||||||2|)||(|2122121221PF PF F F PF PF PF PF -+-=641006436-+ =0.∴∠F 1PF 2=90°.6.已知双曲线x 2－22y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点.（1）求直线AB 的方程； （2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦.（1）解：设过P （1，2）点的直线AB 方程为y －2=k （x －1）， 代入双曲线方程得（2－k 2）x 2+（2k 2－4k ）x －（k 4－4k +6）=0. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=－22242k k k --，由已知221x x +=x p =1， ∴24222--k k k =2.解得k =1.又k =1时，Δ=16＞0，从而直线AB 方程为x －y +1=0.（2）证明：按同样方法求得k =2，而当k =2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在. 培养能力7.双曲线kx 2－y 2＝1，右焦点为F ，斜率大于0的渐近线为l ，l 与右准线交于A ，F A 与左准线交于B ，与双曲线左支交于C ，若B 为AC 的中点，求双曲线方程.解：由题意k ＞0，c =k11+， 渐近线方程l 为y =k x ， 准线方程为x =±kc 1，于是A （kc1，kc k ），直线F A 的方程为 y =21)(kcc x k --， 于是B （－kc 1，)1(122-+kc c k kc ）. 由B 是AC 中点，则x C =2x B －x A ＝－kc3， y C =2y B －y A ＝)1(322-+kc c k kc .将x C 、y C 代入方程kx 2－y 2＝1，得 k 2c 4－10kc 2＋25＝0. 解得k （1+k1）＝5，则k ＝4. 所以双曲线方程为4x 2－y 2＝1．8.（理）已知l 1、l 2是过点P （－2，0）的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线 y 2－x 2＝1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.（1）求l 1的斜率k 1的取值范围；（2）若｜A 1B 1｜＝5｜A 2B 2｜，求l 1、l 2的方程.解：（1）显然l 1、l 2斜率都存在，否则l 1、l 2与曲线不相交.设l 1的斜率为k 1，则l 1的方程为y ＝k 1（x ＋2）.y ＝k 1（x ＋2）， 联立得y 2－x 2＝1，消去y 得（k 12－1）x 2＋22k 12x ＋2k 12－1＝0.①根据题意得k 12－1≠0，②Δ1＞0，即有12k 12－4＞0.③完全类似地有211k －1≠0，④Δ2＞0，即有12·211k －4＞0，⑤从而k 1∈（－3，－33）∪（33，3）且k 1≠±1. （2）由弦长公式得 ｜A 1B 1｜＝211k +22121)1(412--k k .⑥完全类似地有｜A 2B 2｜＝2111k +22121)1(412--k k .⑦∵｜A 1B 1｜＝5｜A 2B 2｜， ∴k 1＝±2，k 2＝22.从而 l 1：y ＝2（x ＋2），l 2：y ＝－22（x ＋2）或l 1：y ＝－2（x ＋2），l 2：y ＝22（x ＋2）．（文）在双曲线162x －92y ＝1上求一点M ，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M 点到两准线的距离．解：设M （x 1，y 1），左右两焦点F 1、F 2，由双曲线第二定义得 ｜MF 1｜＝ex 1＋a ，｜MF 2｜＝ex 1－a ， 由已知2（ex 1＋a ）＝3（ex 1－a ），把e =45，a =4代入，得x 1＝16，y 1＝±315.∴点M 的坐标为（16，±315）.双曲线准线方程为x =±c a 2=±516.∴M （16，±315）到准线的距离为1254或1951． 探究创新9.（2003年春季上海）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线C ′：22a x －22by =1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解：类似的性质为若MN 是双曲线22a x －22by =1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ）， 则点N 的坐标为（－m ，－n ），其中22am －22b n =1.又设点P 的坐标为（x ，y ）， 由k PM =m x n y --，k PN =mx n y ++， 得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --，将y 2=22a b x 2－b 2，n 2=22ab m 2－b 2，代入得k PM ·k PN =22ab .评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.●思悟小结本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点：1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏； （2）已知渐近线的方程bx ±ay =0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上.2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.3.解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量. ●教师下载中心 教学点睛本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在教学中注意以下几点：1.双曲线中有一个重要的Rt △OAB （如下图），它的三边长分别是a 、b 、c .易见c 2=a 2+b 2，若记∠AOB =θ，则e =a c =θcos 1.2.双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||=2a ，其中2a ＜|F 1F 2|，这里要注意两点： （1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.3.参数a 、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a ＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2+b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要AB ＜0且C ≠0，就是双曲线的方程.4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P 到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是a x±by =0，则可把双曲线方程表示为22a x －22by =λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程.拓展题例【例1】 已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?解：设在左支上存在P 点，使|PF 1|2=|PF 2|·d ，由双曲线的第二定义知dPF ||1=||||12PF PF =e ，即|PF 2|=e |PF 1|. ① 再由双曲线的第一定义，得|PF 2|－|PF 1|=2a .②由①②，解得|PF 1|=12-e a ，|PF 2|=12-e ae， ∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，∴12-e a +12-e ae≥2c .③利用e =ac，由③得e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤1+2. ∵e >1，∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项. 【例2】 设双曲线的中心在原点，准线平行于x 轴，离心率为25，且点P （0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.分析：由双曲线中心在原点，准线平行于x 轴，可设双曲线的方程为22a y －22b x =1.由离心率为25，可得a 2+b 2=（25a ）2=c 2. 由点P （0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问题来讨论，得到a 、b 应满足的另一关系式.从而求出a 2、b 2，本题得解.解：依题意，设双曲线的方程为22a y －22bx =1（a >0，b >0）.∵e =a c=25，c 2=a 2+b 2，∴a 2=4b 2. 设M （x ，y ）为双曲线上任一点，则 |PM |2=x 2+（y －5）2=b 2（22ay －1）+（y －5）2=45（y －4）2+5－b 2（|y |≥2b ）. ①若4≥2b ，则当y =4时，|PM |min 2=5－b 2=4，得b 2=1，a 2=4.从而所求双曲线方程为42y －x 2=1.②若4<2b ，则当y =2b 时，|PM |min 2=4b 2－20b +25=4，得b =27（舍去b =23），b 2=449，a 2=49.从而所求双曲线方程为492y －4942x =1.。
高中数学第八章第6讲双曲线
第6讲双曲线,[学生用书P158])1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1.教材习题改编 双曲线y 264－x 216＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．20B ．16C ．12D ．8A [解析] 设P 到另一个焦点的距离为d ， 则|d －4|＝2×8＝16， 所以d ＝20，故选A.2.教材习题改编 双曲线C 的焦点为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 220－y 24＝1B ．x 220－y 216＝1C ．y 220－x 216＝1D ．y 220－x 24＝1B [解析] 2a ＝|（－5＋6）2＋22－|（－5－6）2＋22＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.。
双曲线的性质及计算方法
双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。
双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。
1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。
其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。
这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。
（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。
（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。
焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。
常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。
（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。
（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。
二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。
2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。
通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。
双曲线的标准方程教案
双曲线的标准方程教案第一章：双曲线的基本概念1.1 实轴、虚轴和焦点1.2 实半轴、虚半轴和焦距1.3 双曲线的定义第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程的引入2.2 双曲线的标准方程的推导2.3 双曲线的标准方程的形式第三章：双曲线的性质3.1 双曲线的开口方向和大小3.2 双曲线的渐近线3.3 双曲线的离心率第四章：双曲线的图形4.1 双曲线的图形特征4.2 双曲线的对称性4.3 双曲线的渐近线图形第五章：双曲线方程的应用5.1 双曲线在实际问题中的应用5.2 双曲线方程在几何问题中的应用5.3 双曲线方程在其他领域的应用第六章：双曲线的参数方程6.2 双曲线的参数方程的推导6.3 双曲线的参数方程的应用第七章：双曲线的渐近线方程7.1 双曲线的渐近线方程的引入7.2 双曲线的渐近线方程的推导7.3 双曲线的渐近线方程的应用第八章：双曲线的图像变换8.1 双曲线图像的平移8.2 双曲线图像的缩放8.3 双曲线图像的旋转第九章：双曲线与其他曲线的交点9.1 双曲线与椭圆的交点9.2 双曲线与抛物线的交点9.3 双曲线与其他曲线的交点问题第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用第六章：双曲线的渐近线方程6.1 双曲线的渐近线方程的引入6.2 双曲线的渐近线方程的推导第七章：双曲线的图像变换7.1 双曲线图像的平移7.2 双曲线图像的缩放7.3 双曲线图像的旋转第八章：双曲线与其他曲线的交点8.1 双曲线与椭圆的交点8.2 双曲线与抛物线的交点8.3 双曲线与其他曲线的交点问题第九章：双曲线方程的应用9.1 双曲线方程在实际问题中的应用9.2 双曲线方程在几何问题中的应用9.3 双曲线方程在其他领域的应用第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用教案内容简要概述：第一章：双曲线的基本概念，介绍了实轴、虚轴、焦点、实半轴、虚半轴和焦距等基本概念，并通过具体实例让学生理解双曲线的定义。
初中双曲线知识点
初中双曲线知识点
双曲线是初中数学中的一个重要概念，以下是一些关于双曲线的知识点：
1. 定义：双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
也可以定义为平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的点的轨迹。
定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
2. 性质：双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。
双曲线有两条过中心的渐近线，其交点位于双曲线的对称中心。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂，对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
3. 方程：在平面直角坐标系中，如果二元二次方程
F(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0满足一定条件，则其图像为双曲线。
以上是关于双曲线的一些基本知识点，包括其定义、性质和方程。
掌握这些知识点有助于更好地理解和应用双曲线的概念。
高考数学理一轮复习 8-2双曲线精品课件
x＝ ，x＝－
y＝ ，y＝－
y＝ x，y＝－ x， y＝ x，y＝－ x
3.双曲线特例． (1)等轴双曲线的方程可为 x2－y2＝λ(λ≠0) ．
(2)共轭双曲线的方程可为
.
(3)共渐近线的双曲线的方程可为
．
4．双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦 点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝ |PF2|.
备考例题 1
已知椭圆xa221＋by212＝1(a1＞b1＞0)与双曲线
x2 a22
－yb222＝1(a2＞0，b2＞0)有公共焦点 F1、F2，设 P 是它们的一个
交点．
(1)试用 b1，b2 表示△F1PF2 的面积； (2)当 b1＋b2＝m(m＞0)是常数时，求△F1PF2 面积的最大 值．
[分析] 在△PF1F2中利用余弦定理得出|F1F2|、|PF1|、 |PF2|的关系，再利用双曲线定义，得到|PF1|·|PF2|与a、b、c 的关系，再利用三角形面积得到关于a，b，c的方程，解方
程组求得a，b，c，从而得到双曲线方程．
即 4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2＝2 3，
(1)求双曲线的离心率； (2)若此双曲线过 N( 3，2)，求此双曲线的方程； (3)在(2)的条件下的双曲线的虚轴端点分别为 B1，B2(B2 在 x 轴的正半轴上)，点 A，B 在该双曲线上，且B→2A＝μB→2B，求B→1A⊥B→1B 时直线 AB 的方程．
[分析] 第(1)问先由向量关系判断四边形OF1PM的形状， 进而得到a，c的关系，求出离心率．第(2)问设出双曲线方 程，将N点坐标代入得到；第(3)问，先设出直线方程，与 双曲线方程联立，再由根与系数的关系得到．
双曲线知识点讲解
双曲线知识点讲解双曲线在数学中是一个非常重要的曲线形状。
它具有许多有趣的特性和应用。
在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、基本性质和一些常见的应用。
1. 双曲线的定义双曲线定义为平面上的点P到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a。
也就是说，对于平面上的任意点P，有|PF1 - PF2| = 2a。
这两个给定点称为焦点，常数2a称为双曲线的离心率。
双曲线可以用参数方程表示为x = a * cosh(t)和y = b * sinh(t)，其中a和b分别表示双曲线的半轴长度，cosh(t)和sinh(t)分别是双曲函数的余弦和正弦函数。
2. 双曲线的基本性质双曲线具有许多有趣的性质，以下是其中一些重要的性质：•双曲线是对称的：双曲线关于x轴和y轴都是对称的，即当(x, y)在双曲线上时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在双曲线上。
•双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是x = a和x = -a。
当x 趋近于正无穷大或负无穷大时，双曲线趋近于这两条直线。
•双曲线的焦点和直线关系：双曲线上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即|PF1 + PF2| = 2a。
•双曲线的离心率：离心率e是双曲线的一个重要参数，它等于焦点与顶点之间的距离与顶点到中心的距离的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
3. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•光学抛物面：双曲线是抛物面的一种特殊情况。
抛物面经常用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。
双曲线的抛物面形状可以将平行光线聚焦到一个点上。
•交通流动：交通工程中的交叉口设计通常使用双曲线形状来保证车辆在转弯时平稳过渡。
双曲线的曲率变化较为平缓，能够减小车辆转弯时的离心力。
•经济学中的边际效用曲线：在经济学中，边际效用曲线描述了消费者对不同数量商品的边际效用变化。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
8.2双曲线
第八章 圆锥曲线方程二 双曲线【考点阐述】双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质． 【考试要求】（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 【考题分类】（一）选择题（共13题） 1.（福建卷理11文12）双曲线22221x y ab==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞解：如图，设2P F m =，12(0)F P F θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，22c e am===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。
2.（海南宁夏卷文2）双曲线221102xy-=的焦距为（ ）【标准答案】Ｄ【试题解析】由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是2==c c 【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量,,a b c 的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ【备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高 3.（湖南卷理8）若双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)【答案】B【解析】2033,22aex a e a a a c-=⨯->+23520,e e ⇒-->2e ∴>或13e <-(舍去),(2,],e ∴∈+∞故选B.4.（湖南卷文10）．双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A． B．)+∞ C．(1,1] D．1,)+∞ 【答案】C【解析】200aex a x c-=+20(1)ae x a c⇒-=+2(1),aa e a c⇒+≥-1111,a e ce∴-≤+=+2210,e e ⇒--≤11e ⇒-≤≤+而双曲线的离心率1,e>(1,1],e ∴∈故选Ｃ.5.（辽宁卷文11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。
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8.2 双曲线巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.双曲线的定义 第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 即||MF 1|-|MF 2||=2a(<|F 1F 2|).M 为动点，F 1、F 2为定点，a 为常数.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数.3.焦半径公式M(x 0,y 0)为22a x -22by =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.链接·拓展(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.二、点击双基1.(2004北京春季高考)双曲线42x -92y =1的渐近线方程是（ ）A.y=±23x B.y=±32x C.y=±49x D.y=±94x 解析：由双曲线方程可得焦点在x 轴上,a=2,b=3. ∴渐近线方程为y=±a b x=±23x. 答案：A2.过点(2，-2)且与双曲线22x -y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A.22y -42x =1B.42x -22y =1C.42y -22x =1D.22x -42y =1解析：可设所求双曲线方程为22x -y 2=λ，把(2，-2)点坐标代入方程得λ=-2.答案：A3.如果双曲线642x -362y =1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线的距离是（ ）A.10B.7732 C.27 D.532解析：利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 答案：D4.与圆A:(x+5)2+y 2=49和圆B ：(x-5)2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为___________ ____________________________. 解析：利用双曲线的定义.答案：92x -162y =1(x ＞0)5.已知圆C 过双曲线92x -162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.解析：由双曲线的几何性质易知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,±374).易求它到中心的距离为316.答案：316 诱思·实例点拨【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为16，准线方程为y=±29; (2)虚轴长为12，离心率为45; (3)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±23x. 剖析：要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a 和b.解：(1)由准线方程为y=±29，可知双曲线的焦点在y 轴上. 设所求双曲线的方程为22a y -22b x =1(a>0,b>0). 由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==,29,1622c a c 解得a=6,c=8.所以b 2=c 2-a 2=64-36=28.因此，所求双曲线的方程为362y -282x =1.(2)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为22a x -22b y =1.由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.45,122a c b解得b=6,c=45a. ∴b 2=c 2-a 2=169a 2=36,a=8.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为642x -362y =1.同理可求焦点在y 轴上的双曲线的方程为642y -362x =1.因此，所要求的双曲线的方程为642x -362y =1和642y -362x =1.(3)方法一：当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为22a x -22b y =1.由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==,23,62a b a 解得a=3,b=29.所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为92x -42y =1.同理可求焦点在y 轴上的双曲线的方程为92y -42x =1.因此所求双曲线方程为92x -4812y =1或92y -42x =1.方法二：设双曲线方程为42x -92y =λ(λ≠0).当λ>0时，2λ4=6,∴λ=49.此时双曲线的方程为92x -4812y =1.当λ<0时，2-λ9=6,∴λ=-1.此时双曲线方程为92y -42x =1.讲评：本题考查双曲线方程，关键是求a 、b,在解题过程中应熟悉各元素(a 、b 、c 、e 及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by=0，可设双曲线方程为a 2x 2-b 2y 2=λ(λ≠0).但要注意双曲线的焦点在哪条坐标轴上，不要漏解.【例2】 设点P 到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x 轴、y 轴距离之比为2,求m 的取值范围.剖析：由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知点P 的轨迹是双曲线,由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2,知点P 的轨迹是直线,由交轨法求得点P 的坐标,进而可求得m 的取值范围. 解：设点P 的坐标为(x,y),依题意得||||x y =2,即y=±2x(x ≠0). ① 因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN||<|MN|=2. ∵||PM|-|PN||=2|m|>0,∴0<|m|<1.因此,点P 在以M 、N 为焦点,实轴长为2|m|的双曲线上.故22m x -221m y -=1. ② 将①代入②,并解得x 2=22251)1(mm m --, ∵1-m 2>0,∴1-5m 2>0. 解得0<|m|<55, 即m 的取值范围为(-55,0)∪(0,55). 讲评：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.【例3】 若F 1、F 2分别为双曲线22a y -22bx =1的下、上焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的下支上，点M 在上准线上，且满足F 2=，F 1=λ(||11P F F +||11O F F )(λ>0). (1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过N(3,2)，求此双曲线的方程；(3)若过N(3,2)的双曲线的虚轴端点分别为B 1、B 2(B 2在x 轴正半轴上)，点A 、B 在双曲线上，且B 2=μB 2，求B 1⊥B 1时直线AB 的方程. 解：(1)F 2=⇒1OF =,∴PF 1OM 为平行四边形. 又M F 1=λ(||11P F F +||11O F F )知M 在∠PF 1O 的角平分线上，∴四边形PF 1OM 为菱形，且边长为|1PF |=|F 1|=c. ∴|2PF |=2a+|1PF |=2a+c.由第二定义知||||2PM PF =e,即cca +2=e. ∴e2+1=e 且e>1⇒e=2. (2)由e=2，∴c=2a,即b 2=3a 2.双曲线方程为22a y -223ax =1.又(3,2)在双曲线上，∴24a -233a=1. ∴a 2=3.∴双曲线方程为32y -92x =1.(3)由A B 2=μB B 2知AB 过点B 2，若AB ⊥x 轴，即l AB :x=3，此时AB 1与BB 1不垂直.设直线AB 的方程为y=kx-3k,代入32y -92x =1,得(3k 2-1)x 2-18k 2x+27k 2-9=0.由题知3k 2-1≠0且Δ>0，即k 2>61且k 2≠31. 设交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),B 1=(x 1+3,y 1),B 1=(x 2+3,y 2). ∵B 1⊥B 1,∴B 1·B 1=0,即x 1x 2+3(x 1+x 2)+9+y 1y 2=0.此时⎪⎩⎪⎨⎧=∙-=+.9,1318212221x x k k x xy 1·y 2=k 2(x 1-3)(x 2-3) =k 2［x 1x 2-3(x 1+x 2)+9］=k 2(18-135422-k k )=131822--k k .∴9+3131822-k k +9+131822--k k =0.∴5k 2=1.∴k=±55. ∴直线AB 的方程为y=55x-553或y=-55x+553.讲评：本题考查双曲线方程及性质，双曲线与向量知识交汇问题是近年高考考查的方向.。