第四章 数学思维与

•
（六）判断与推理
• 所谓判断就是反映对象本身及其某些属性
和联系存在或不存在的思维方式。掌握命 题的结构、命题的基本形式及其关系，以 及命题的充分条件和必要条件等都是数学 判断的基本内容。 • 推理就是由一个或几个判断推出另一个新 的判断的思维过程。在数学中，不论是定 理的证明、公式的推导、习题的解答，还 是在实际工作中与数学有关的问题的提炼 与解决，都需要推理能力。
• 2.正向思维与逆向思维 • 问题 求解 形式逻辑思维和辩 • 直接证明与间接证明 证逻辑思维的一般 含义的理解 • 3.逻辑思维与形象思维 • 逻辑思维是指按照逻辑的规律、方法和形
式，有步骤、有根据地从已知的知识和条 件推导出新结论的思维。它包括形式逻辑 思维和辩证逻辑思维。形象思维是未经过 步步分析、无清晰的步骤，而对问题突然 间的领悟、理解或给出答案的思维 • 直观感知 某种猜想 逻辑证明
第二节 数学思维与数学教学
• 数学思维的成分主要包括逻辑思维、形象
思维和创造思维。 • 三者的含义、区别和联系。
二 数学思维的一般方法
• 数学思维的一般方法指数学思维过程中常
运用到基本方法。从数学活动过程看分为 两个层次：经验性思维方法和逻辑思维方 法。前者指观察、实验、猜想、类比、想 象、直觉、不完全归纳等；后者指化归、 演绎、分析、综合、形式化和公理化等。 • 在具体的数学教学过程中主要包括：观察 与实验、分析与综合、演绎与化归、概括 与抽象、特殊化与一般化、判断与推理、 化归与映射等。
2 2
构造和实数完备性定理。
•
• 数学思维的深刻性 • 是指思维活动的抽象概括性和逻辑推理水平。表
现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事 物中把握住他的本质，而不被一些表面现象所迷 惑，特别是能在学习中克服思维表面性、绝对化
• 与不求甚解的毛病。例怎样理解
a ( a 0), a a (a 0), 0(a 0).
• 思维的灵活性 • 思维灵活性主要表现在能根据具体问题作具体分析，
善于根据问题的特征，灵活地运用相关的概念、公 式、法则、定理，使用简单、优异的方法，顺利地 解决问题。能自如地从一种运算转换为另一种运算； 能实现一题多解，一题多变；能超脱习惯解法的束 缚；能从已知因素中迅速看出新因素；能从隐蔽形 式中迅速分清实质；能顺利地改造知识、技能及其 体系以适应变化了的条件。 例：一条船在两地间来回行驶，共用8h。去时是顺 流而应，回来时逆水而行。已知回去时的速度比来 时的速度慢20km，前4h比后4h多行驶60km。求两 地间的距离与来回的速度。
•
二、形象思维能力的培养
• 数学形象思维的载体是客观实物的原型或模型，以
及各种几何图形、数学符号、图标、图像与公式等 外部材料。这些材料表现出一定程度的直观性，同 时又具有高度的概括性。例：
设a, b, c, x都是实数, 且a b c, 试求y x a x b x c 的最小值.
二、分析与综合
• 分析：执果索因。是将需要证明的命题的结论本 •
身作为论证的出发点，通过逻辑证明的步骤，直 到这个结论归结为已知的真命题。 所谓综合，就是指从条件推导到由条件产生的结 果的一种思维方法。一般是先找出适当的真命题， 按照逻辑论证的步骤，逐步将这个真命题变形到 我们需要的证明结论上去。 分析与综合是结合起来使用的。分析通向发现之 路，而综合是通向论证之路。
• 2.矛盾律：在同一论证过程中，对同一对象的两 •
个互相矛盾的判断不能同真，其中至少有一个是 假的。它的公式是：A不是A，或者 P P 。 3.排中律：在同一论证过程中，对同一对象的肯 定判断和否定判断，这两个判断必有一个是真的。 它的公式是或是A或是 A 。即排除第三种情况。或 者 P P 4. 充足理由律：对于任何判断都必须有充足的根 据（理由），才被认为是对的，或者说：正确的 判断必须有充足理由。它的公式是：所以有B是因 为有A”，或A是B的充足理由。
•
• 数学思维的敏捷性 • 是指思维活动过程的简缩性和快速性，表现为思
考问题是能敏锐的、熟练地、正确地、快速地做 出反应。它在数学活动中的主要表现是能减缩运 算环节和推理过程，直接得出结论，走非常规的 路。 2 例：m为何值时，方程 x 2mx (m 12) 0 的两根 都比2大。
•
•
（三）演绎与归纳 • 演绎是根据已知的事实或真命题去进行推
理的方式。代数命题和平几命题的证明。 • 归纳是通过对某类数学对象若干特殊情形 的分析得出一般性结论的思维方法。分为 不完全归纳和完全归纳。比如写出n×n的 正方形里所有的正方形的个数，正弦定理 的证明，圆周角定理的证明等。
（四）概括与抽象
第四节 数学思维能力的培养
• • • • • • •
一、逻辑思维能力的培养 重视概念和原理的学习 发展学生分析、综合、比较、抽象和概括的能力。 帮助学生掌握逻辑推理的方法 帮助学生掌握逻辑推理的基本规律 形式逻辑的基本规律有：同一律，矛盾律，排中 律和充足理由律。 1.同一律：在同一论证过程中，使用的概念和判 断必须保持同一性，亦即确定性。它的公式是：A 是A或P P。
• 所谓概括，就是摆脱具体内容，并且在各
种对象、关系运算的结构中，抽取出相似 的一般的和本质的东西的思维过程。层次 性、阶段性、抽象性等。 • 抽象，就是在头脑中舍弃所研究对象的某 些非本质的特征，揭示其本质特征的思维 过程。是逐次概括的结果。
（五）特殊化与一般化
• 在数学中特殊化是把所研究的数学问题从原来的
•
• •
（二）数学思维的基本方式
• 1.发散思维与收敛思维 • 发散思维又叫求异思维，它是指由某一条
件或事实出发，从各个方面思考，产生出 多种答案，即它的思考方向是向外散发。 • 收敛思维又叫求同思维或集中思维，它是 指有所提供的条件或实施聚合起来，朝着 同一方向思考，得出确定的答案，即它的 思考方向是趋于同一的。
•
• 数学思维的独创性 • 指思维活动的创新精神，表现在能独力地
发现问题、分析问题和解决问题，主动地 提出新的见解和采用新的方法。在学习数 学知识时思维的独立性表现为能独立思考， 求新立异，用不同的命题形式重现定理， 以定理为原命题，讨论其他命题形式是否 成立；能从类比和归纳中提出新见解，不 用一般常用方法解题。思维都创新常常作 为思维深刻性的结果表现出来。 • 例：罗巴切夫斯基非欧几何的诞生过程。
3.中学数学创新思维能力应达到的目标
• 能用新的观念、新的方法去探索新的数学
关系和数学结构，追求解决问题的方式、 方法或结果的新颖独特；能够及时地改变 原有的思维进程和方向，克服大脑中思维 定势的消极影响，寻找解决问题的新途径； 能缩短运算环节和推理过程，甚至舍弃中 间环节，直接获得对事物本质的认识；能 勇于进行数学反驳，敢于对权威的观点提 出异议。
特征的能力。 • 多让学生练习观察； • 鼓励学生进行猜想
三、创新思维能力的培养 • 1.含义：创新思维是指具有创新精神的人捕
捉到新颖、有价值的信息并把它输入大脑 后，进行分析、整理，抓住事物的本质， 通过研究、推理、判断后形成新颖、独创、 科学的解决问题的办法、计划或观点的思 维过程。创新思维是由形象思维、集中思 维、发散思维和灵感思维结合后组成的高 级思维。 • 2.创新思维特点 • 独创性、抗压性、实践性和综合性、全面 性和多向性、飞跃性。
•
四、数学思维的教学原则
• 数学思维教学的严谨性原则 • 概念（公设、原始概念和定义的概念） • 公理、定理 知识体系 • 数学思维的量力性原则 • 认识能力的发展，数学严谨性发展本身具
有相对性，智力发展的可塑性 • 数学教学中如何贯彻严谨性与量力性原则 相结合 • 策略：融合、螺旋式、循环上升，逐步形 式化和数学化。
发现事物之间的多方面的联系，找出多种解 决问题的办法，并能推广到类似的问题中去。 对一种很好的方法或能论，能从多方面设想， 探求这种方法或理论使用的各种问题，扩大 它的使用范围。 例2：自然数基数理论、实数的
cos x 2sin x 例1求y (0<x< )的最小值. sin x cos x 2
（七）化归与映射
映射 原问题 原像关系 R 映射关系 新问题 R+
化归
检验
还原 反演
定映 求解 求得映像 X+
解
原问题解 求得原像 x
转换
三中学生的数学思维发展特点
• 中学生的思维有直观形象向抽象逻辑思维转换， •
•
可塑性强，但思维能能力发展需依赖直观和行动 思维等； 思维发展呈现出阶段性特征，但也具有跳跃性和 螺旋形； 数学教育在某种程度上可改进或提升思维的发展 水平，但人类的生物成熟程度和进化程度以及大 脑发育态势对数学思维水平的发展起着十分重要 的制约和限制作用。 中学生学习不同的数学知识分支或不同的概念、 原理和思想方法，可能具有不同的思维发展过程 和水平。
4.培养数学创造性思维能力的基本途径
• 转变观念，鼓励进行数学推广、提倡问题
解决多样化。 • 鼓励进行数学猜想 • 鼓励进行数学反驳、反思 • 拓广学生知识面 • 引导学生适当的参加科研活动 • 重视创造意识品质的培养 • 创设问题情境 • 改进测试方法和评价标准，促进学生创新 思维发展。
• 4.再现性思维与创造性思维 • 再现性思维就是一般性思维，它是运用所
获得的知识和经验，按现成的方法或程序 去解决问题的思维，它的创新成分少。创 造性思维是在已有的知识和经验的基础上， 对问题找出答案、发现新关系或创造方法 的思维，它是思维的高级形式。二Fra bibliotek数学思维的品质
• 数学思维的广阔性 • 表现在能多方面、多角度去思考问题，善于
（一）观察与实验 • 观察是人们通过视觉对数学对象的特征、
形式、结构及关系的辨认，从而发现某些 规律或性质的思维方法。 • 实验是指根据课题的研究目的，认为的创 造条件、控制和模拟客观对象，在有利的 条件下获取信息的思维方法。 • 观察是实验的基础，而实验又是观察得到 的性质或规律得以重现或验证。 • 韦达定理的教学，平面几何图形、解析几 何的性质或定理等。