高中数学学业分层测评苏教版必修
高中数学学业分层测评13苏教版必修3word版本
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.数据123,127,131,151,157,135,129,138,147,152,134,121,142,143的茎叶图中，茎应取________.【解析】 在茎叶图中“叶”应是数据中的最后一位，从而茎就确定了.【答案】 12、13、14、152.在如图2221所示的茎叶图中落在[20,40]上的频数为________.图2221【解析】 茎叶图中给出了12个数据，其中在[20,40]上有8个.【答案】 83.一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图2222(单位：cm)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是________.图2222【解析】 根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19,20,21,23,24,31,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,10,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数为26＋302＝28，因此24＋28＝52.【答案】 524.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图2223所示，则中位数与众数分别为________、________. 【导学号：90200048】图2223【解析】 由题中茎叶图可知这40个数据中，中间两个数据都是23.因此中位数为23＋232＝23.这40个数据中23出现的次数最多共4次，因此众数为23.【答案】 23 235.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图2224，根据茎叶图，________班的平均身高较高.图2224【解析】 由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间；因此乙班平均身高高于甲班.【答案】 乙6.一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图2225，图2225记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为________.【解析】10＋11＋0＋3＋x ＋8＋97＝7，∴x ＝8. 【答案】 87.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图2226所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________.图2226【解析】由茎叶图知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61 ,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.【答案】46,45,568.(2015·常州高一月考)从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图2227.根据茎叶图，下列描述正确的是________.(填序号)①甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐；②甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐；③乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐；④乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐.图2227【解析】根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27，而乙种树苗的平均高度为30，但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布集中.【答案】④二、解答题9.参加某赛季的甲、乙两支球队，统计两队队员的身高(单位：cm)如下：甲队队员：194,187,199,207,203,205,209,199,183,215,219,206,201,208；乙队队员：179,192,218,223,187,194,205,207,185,197,199,209,214,189.(1)用茎叶图表示两队队员的身高；(2)根据茎叶图判断哪个队队员的身高整齐一些.【解】(1)茎叶图如下(以十位和百位为茎，个位为叶)：(2)甲队队员的身高整齐一些.10.某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验.两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：kg)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443 ,445,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412 ,415,416,422,430.(1)画出茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论.【解】(1)茎叶图如下图所示：(2)用茎叶图处理现有的数据，不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中具体数据.(3)通过观察茎叶图，可以发现，品种A的平均亩产量为411.1 kg，品种B的平均亩产量为397.8 kg，由此可知品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高，但品种A的亩产量不够稳定，而品种B 的亩产量比较稳定.[能力提升]1.甲、乙两个小组各8名同学的英语口语测试成绩的茎叶图如图2228所示.甲、乙两组的平均数与中位数之差较大的组是________.图2228【解析】 由茎叶图可知，甲的平均数和中位数分别是83.625和83.5，乙的平均数和中位数分别是82.25和81，故乙的平均数和中位数的差较大.【答案】 乙2.某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如图2229所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清.若记分员计算无误，则数字x 应该是________. 【导学号：90200049】图2229【解析】 当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91， 当x <4时，89＋89＋92＋93＋＋＋92＋917＝91，∴x ＝1.【答案】 13.从甲、乙两个品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356由以上数据设计了茎叶图如图2230所示：图2230根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①______________________________________________；②______________________________________________.【解析】由茎叶图可以看出甲棉花纤维的长度比较分散，乙棉花纤维的长度比较集中(大部分集中在312～337之间)，还可以看出乙的平均长度应大于310，而甲的平均长度要小于310等，通过分析可以得到答案.【答案】①甲棉花纤维的长度比较分散，乙棉花纤维的长度比较集中②甲棉花纤维长度的平均值小于乙棉花纤维长度的平均值(答案不唯一)4.50辆汽车经过某一段公路的时速记录如图2231所示：图2231将其分成7组并要求：(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；(3)根据上述结果，估计汽车时速在哪组的几率最大？【解】(1)由茎叶图知，数据最大值为33，最小值为13，分为7组，组距为3，则频率分布表为：(2)(3)汽车时速在[21.5,24.5)内的几率最大，为0.22.。
高中数学(苏教版)分层精练-必修1 -第1章 集合 单元测试 Word版含解析
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1.下列六个关系式：①{a ，b }⊆{b ，a }；②{a ，b }＝{b ，a }；③{0}＝∅；④0∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅⊆{0}．其中正确的个数为________．解析：①②④⑥是正确的．答案：42.下列各对象可以组成集合的是________．①与1非常接近的全体实数；②某校2013～2014学年度第一学期全体高一学生；③高一年级视力比较好的同学；④与无理数π相差很小的全体实数．解析：据集合的概念判断，只有②可以组成集合．答案：②3.已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________. 解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}4.集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 解析：∵A ∪B ＝{0，1，2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0，1，2，4，6}，∴{a ，a 2}＝{4，16}，∴a ＝4.答案：45.设集合A ＝{－1，4，8}，B ＝{－1，a ＋2，a 2＋4}，若A ＝B ，则实数a 的值为________． 解析：∵A ＝B ，∴①⎩⎨⎧a ＋2＝4a 2＋4＝8或②⎩⎨⎧a ＋2＝8a 2＋4＝4， 由①得a ＝2，此时B ＝{－1，4，8}满足题意，②无解，∴a ＝2.答案：26.已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1，3，2m －1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________． 解析：∵A ⊆B ，∴A 中元素都是B 的元素，即m 2＝2m －1，解得m ＝1.答案：17.若集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x <m }满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅，则实数m ＝________. 解析：结合数轴知，当且仅当m ＝3时满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅.答案：38.设集合A ＝{1，4，x }，B ＝{1，x 2}，且A ∪B ＝{1，4，x }，则满足条件的实数x 的个数是________．解析：由题意知x 2＝4或x 2＝x ，所以x ＝0，1，2，－2，经检验知x ＝0，2，－2符合题意，x ＝1不符合题意，故有3个．答案：39.已知集合M ⊆{4，7，8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有________个． 解析：M 可以为∅，{4}，{4，7}，{8}，{8，7}，{7}．答案：610.已知集合A ＝{x |y ＝ 1－x 2，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则A ∩B 为________． 解析：由1－x 2≥0得，－1≤x ≤1，∵x ∈Z ，∴A ＝{－1，0，1}．当x ∈A 时，y ＝x 2＋1∈{2，1}，即B ＝{1，2}，∴A ∩B ＝{1}．答案：{1}11.集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，Q ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则P ∩Q ＝________.解析：P ∩Q ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝2，}＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，}＝{(1，－1)}． 答案：{(1，－1)}12.设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q}，若P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{x | x ＋12<2，x ∈R }，则P －Q ＝________. 解析：由定义P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q}，求P －Q 可检验P ＝{1，2，3，4}中的元素在不在Q ＝{x | x ＋12<2，x ∈R }中，所有在P 中不在Q 中的元素即为P －Q 中的元素，故P －Q ＝{4}．答案：{4}13.设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P*Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P*Q 中元素的个数是________．解析：按P*Q 的定义，P*Q 中元素为2，－2，0，共3个．答案：314.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：不含“孤立元”的集合就是在集合中有与k 相邻的元素，故符合题意的集合有：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．答案：6二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，集合B ＝{x |3<x <9}．求(1)∁U (A ∪B )；(2)A ∩∁U B .解：(1)∵A ∪B ＝{x |2≤x <9}，∴∁U (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥9}．(2)∵∁U B ＝{x |x ≤3或x ≥9}，∴A ∩∁U B ＝{x |2≤x ≤3}．16.(本小题满分14分)设全集U ＝{2，4，－(a －3)2}，集合A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A＝{－1}，求实数a 的值．解：由∁U A ＝{－1}，可得⎩⎨⎧－1∈U ，－1∉A ，所以⎩⎨⎧－（a －3）2＝－1，a 2－a ＋2≠－1，解得a ＝4或a ＝2. 当a ＝2时，A ＝{2，4}，满足A ⊆U ，符合题意；当a ＝4时，A ＝{2，14}，不满足A ⊆U ，故舍去．综上，a 的值为2.17.(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x ≤5，故A ＝{x |－2≤x ≤5}．①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2.由B ⊆A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5，解得－3≤p ≤3.∴2≤p ≤3.②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2.由①②得p 的取值范围是p ≤3.18.(本小题满分16分)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)若A 是空集，则方程ax 2－3x ＋2＝0没有根，则a ≠0且Δ＝9－8a <0，即a >98.(2)若A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0有一个根，①当a ≠0且Δ＝9－8a ＝0时，则a ＝98； ②当a ＝0时，方程为－3x ＋2＝0，只有一个根．综上，a ＝0或98. (3)若A 中至多只有一个元素，则A 是空集或A 只有一个元素，故a ＝0或a ≥98. 19.(本小题满分16分)某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U ＝{某班50名学生}，A ＝{会讲英语的学生}，B ＝{会讲日语的学生}，A ∩B ＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．20.(本小题满分16分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ，又A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}，所以集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅，有Δ＝a 2－4(a 2－12)<0⇒a 2>16⇒a <－4或a >4；②当B 是单元素集合时，有Δ＝0⇒a 2＝16⇒a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}⊄A ，若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；③当B ＝{－2，4}时，有－2，4是关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根⇒⎩⎨⎧－2＋4＝－a （－2）×4＝a 2－12⇒a ＝－2. 此时，B ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}⊆A .综上可知，B ∪A ＝A 时，实数a 的取值范围是a <－4或a ≥4或a ＝－2. 所以B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为－4≤a <4，且a ≠－2.。
苏教版高中数学必修2学业分层测评20 圆的一般方程 Word版含解析
学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为________． 【解析】 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，122．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________． 【解析】 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114. 【答案】1143．动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是____________． 【解析】 圆的半径r ＝124＋k 2－2k ＋＝k 2－2k ＋3＝k －2＋2≥ 2.【答案】 [2，＋∞)4．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝532＋－2＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】 25．圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为________．【解析】圆(x－2)2＋y2＝9，圆心C(2,0)，半径为3.AB⊥CP，k CP＝1－0 3－2＝1，∴k AB＝－1，∴直线AB的方程为y－1＝－1(x－3)，即x＋y－4＝0.【答案】x＋y－4＝06．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．【解析】直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝|1－0＋2|2＝322，所以圆到直线AB的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×AB ×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2.【答案】 3－ 27．(2016·无锡高一检测)若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为__________. 【导学号：60420083】【解析】 ∵l 1，l 2过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，∴⎩⎨⎧D ＝6，E ＝－2，∴D ＋E ＝4.【答案】 48．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．【解析】 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14二、解答题9．设A (－c,0)，B (c,0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹．【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得x ＋c 2＋y 2x －c2＋y2＝a 2， 化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)·y 2＝0. 当a ＝1时， 方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12. 所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆． 10．(2016·常州高一检测)已知过点A (0,1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且O M →·O N →＝12，求k 的值．【解】 (1)∵直线l 过点A (0,1)且方向向量a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由|2k －3＋1|k 2＋1<1，得4－73<k <4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，∴O M →·O N →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k ＋k 1＋k 2＋8＝12，∴4k＋k 1＋k 2＝4，解得k ＝1.[能力提升]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是________．【解析】 设P (x ，y )，则PM ⊥PN . 又k PM ＝y －0x －－＝y x ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝y x －2(x ≠2)，∵k PM ·k PN ＝－1，∴yx ＋2·yx －2＝－1，即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形，因此不成立，同理当x ＝－2时，也不成立．故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．【答案】 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)2．若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝__________. 【导学号：60420084】【解析】 若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆，则有k 2＋4－4k 2>0，解得0≤k 2<43，而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4.要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k ＝0时，r 取得最大值为1，此时直线方程为y ＝－x ＋2，由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1，又因为0°≤α<180°，所以α＝135°.【答案】 135°3．若光线从点A (1,1)出发，则经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(x －7)2＝4的最短路程等于________．【解析】 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为A ′C －2，A ′C ＝62＋62＝62， ∴所求的最短路程为62－2. 【答案】 62－24．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．【解】 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知，r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎪⎫t －372＋167，∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。
高中数学 学业分层测评10 苏教版必修3
学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.某超市想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每日的销量总额，采取如下方法：从某发票的存根中随机抽出一张，如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，…，915号抽出，发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法为________.【解析】 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张.从第一组中抽取15号，以后各组抽15＋50n (n ＝1,2，…，18)号，符合系统抽样的特点.【答案】 系统抽样2.从2 013个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________.【解析】 先从2 013个个体中剔除13个，则分段间隔为2 00020＝100. 【答案】 1003.某班级共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知2号、28号、41号同学在样本中，那么还有一个同学的学号是________.【解析】 由题意知k ＝524＝13，∴还有一个同学的学号为2＋13＝15. 【答案】 154.某企业利用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，若每一个职工入样的可能性为0.2，则该企业的职工人数为________.【解析】 系统抽样中，每个个体被抽到是等可能的，设该企业职工人数为n ，则60n＝0.2，故n ＝300.【答案】 3005.(2015·扬州高一检测)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成二十组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第十六组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________.【解析】 因为第十六组的号码在121～128号范围内，所以125是第十六组的第5个号，因此第一组确定的号码为5.【答案】 56.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生.【解析】 ∵组距为5，∴(8－3)×5＋12＝37.【答案】 377.一个总体有80个个体，编号为0,1,2，…，79，依次将其分成8个小组，组号为0,1,2，…，79，要用系统抽样法抽取一个容量为8的样本，若在第0组随机抽取一个号码为6，则所抽到的8个号码分别为________.【解析】 k ＝808＝10，∴在第1组抽取的号码为16，第2组为16＋10＝26，第3组6＋3×10＝36，…，第7组6＋10×7＝76.则所抽8个号码为6,16,26,36,46,56,66,76.【答案】 6,16,26,36,46,56,66,768.在一次竞选中，规定一个人获胜的条件是：(1)在竞选中得票最多；(2)得票数不低于总票数的一半.如果在计票时，周鹏得票数据丢失，试根据统计数据回答问题：【解析】 根据条件，如果周鹏获胜，周鹏的得票数x 不低于总票数的一半，即x300＋100＋30＋60＋x ≥12⇒x ≥490，且x ∈N 即周鹏得票数至少为490票. 【答案】 490二、解答题9.为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告.你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？【解】 交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量.由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况.改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可.如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.10.某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？【解】 (1)将1 001名普通工人用随机方式编号.(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1 000名职工重新编号(分别为0001,0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含1 00040＝25个个体. (3)在第一段0001,0002，…，0025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码.(4)将编号为0003,0028,0053，…，0978的个体抽出.(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1,2， (20)(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签.(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀.(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号.(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出.以上得到的个体便是代表队成员.[能力提升]1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________.【解析】 抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *.∴24120≤k ＋x 020≤36. ∵x 020∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤120，1， ∴k ＝24,25,26， (35)∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.【答案】 122.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为________. 【导学号：90200038】【解析】 由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人.【答案】 25,17,83.采用系统抽样从含有8 000个个体的总体(编号为0000,0001，…，7999)中抽取一个容量为50的样本，则最后一段编号的范围为________，已知最后一个入样编号是7894，则开头5个入样编号是________.【解析】因8 000÷50＝160，所以最后一段的编号为编号最后的160个编号，即从7840到7999共160个编号.从7840到7894共55个数，所以从0000到第55个编号应为0054，然后逐个加上160得，0214,0374,0534,0694.【答案】7840～7999 0054,0214,0374,0534,06944.一个总体中有1 000个个体，随机编号为0,1,2,3，…，999，以编号顺序将其平均分成10个小组，组号依次为0,1,2,3，…，9，要用系统抽样方法抽取一容量为10的样本，规定：如果在第0小组中随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组中的号码，即第k小组中抽取的号码的后两位数字与x＋33k的后两位数字相同.(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，求x的取值范围.【解】(1)当x＝24时，所抽取样本的10个号码依次为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.由所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，可得x的取值可能为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
苏教版高中数学必修二第2章学业分层测评12.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是________．(填序号)①频率分布折线图与总体密度曲线无关；②频率分布折线图就是总体密度曲线；③样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线；④如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线．【解析】由总体密度曲线定义知④正确．【答案】④2．为了解高二年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，所得结果如下：(单位：cm)149159142160156163145150148151156144148149153143168168152155在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4 cm，那么组数为________．【解析】极大值为168，极小值为142，极差为168－142＝26，根据组距＝极差组数，知组数为7. 【答案】 73．一个容量为40的样本数据，分组后，组距与频数如下：[5,10)5个；[10,15)14个；[15,20)9个；[20,25)5个；[25,30)4个；[30,35]3个．则样本在区间[20，＋∞)上的频率为________．【解析】 由题意知在区间[20，＋∞)上的样本数为5＋4＋3＝12个，故所求频率为1240＝0.3.【答案】 0.34．如图2-2-5是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据填空．图2-2-5(1)样本数据在范围[6,10)内的频率为________； (2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________． 【解析】 (1)样本数据在[6,10)内频率为0.08×4＝0.32. (2)在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36. 【答案】 (1)0.32 (2)365．在样本频率分布直方图中，共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积的和的14，且样本容量为100，则中间一组的频数为________．【解析】 设中间一个小矩形的面积为x ，由题意得x 1－x ＝14，解得x ＝15，故中间一组的频数为100×15＝20.【答案】 206．为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图2-2-6.根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是________．图2-2-6【解析】 依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4 000.【答案】 4 0007．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2-2-7，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________.【导学号：11032040】图2-2-7【解析】 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m ＝0.3，m ＝50.【答案】 508．对某市“两学一做”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图2-2-8)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：图2-2-8(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“两学一做”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．【解析】 设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5×(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.志愿者年龄在[25,35)的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.【答案】 (1)0.04 (2)440 二、解答题9．某工厂对一批产品进行了抽样检测，图2-2-9是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是多少？图2-2-9【解】 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.10．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).分组 [122， 126) [126， 130) [130， 134) [134， 138) [138， 142) 人数58102233分组 [142， 146) [146， 150) [150， 154) [154， 158] 人数201165(1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm 的人数占总人数的百分比． 【解】 (1)样本频率分布表如下：分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计1201(2)其频率分布直方图如下：(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm 的人数占总人数的19%.[能力提升]1．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下，则表中字母m、n、M、N所对应的数值分别为________、________、________、________.组别频数频率[145.5,149.5)80.16[149.5,153.5)60.12[153.5,157.5)140.28[157.5,161.5)100.20[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]m n合计M N【解析】由题意知样本容量为80.16＝50，故M＝50，从而m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，所以n＝450＝0.08；N＝1.【答案】40.0850 12．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图2-2-10)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．图2-2-10【解析】由题意知1－(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3，故a＝0.3 10＝0.030；由分层抽样的方法知，在[140,150]内的学生中选取的人数为18×0.010.03＋0.02＋0.01＝18×16＝3人．【答案】 0.030 33．某市数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图2-2-11所示，已知130～140分数段的人数为90人，求90～100分数段的人数a ＝________，则下边的流程图(图2-2-12)的功能是________．图2-2-11 图2-2-12【解析】 ①在频率分布图中，由题意可得900.05＝a0.45，∴a ＝810. ②在图2中，∵a ＝810， n ←1时，S ←1，S ←1×1， n ←2时，S ←1×1，S ←1×1×2， n ←3时，S ←1×2，S ←1×2×3， 依此循环，n >810时终止循环，输出S . 此时S ＝1×2×3×4× (810)故该流程图的功能是计算并输出1×2×3×4×…×810的值． 【答案】 810 计算并输出1×2×3×…×810的值4．从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，被抽取的学生的身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，如图2-2-13是按上述分组方法得到的频率分布直方图．图2-2-13(1)根据已知条件填写下面表格：组别12345678样本数(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数．【解】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，∴第七组的人数为0.06×50＝3.同理可得各组人数如下：组别12345678样本数2410101543 2(2)由频率分布直方图得后三组的频率为0.016×5＋0.06＋0.008×5＝0.18.估计这所学校高三年级身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144.。
高中数学 学业分层测评15 苏教版必修3(2021年整理)
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学业分层测评(十五）（建议用时：45分钟)［学业达标］一、填空题1。
一组数据1，3，x的方差为错误!,则x＝________.【解析】由错误!＝错误!＝错误!，且s2＝错误!×错误!＝错误!，得x2－4x＋4＝0,∴x＝2。
【答案】22。
某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9,5,4,9,10,7,4.则平均命中环数为________；命中环数的标准差为________.【解析】平均数为错误!(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；方差为s2＝错误!（0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4，所以s＝2.【答案】7 23.某样本的5个数据分别为x,8,10，11,9，已知这组数据的平均数为10，则其方差为________.【解析】由题意知x＋8＋10＋11＋9＝50，解得x＝12，故方差s2＝错误![（12－10）2＋(8－10）2＋(10－10）2＋（11－10）2＋(9－10）2]＝2。
【答案】24。
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2，3，4，5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表：【解析】∵错误!甲＝7,s错误!＝错误!（12＋02＋02＋12＋02）＝错误!，错误!乙＝7，s错误!＝错误!(12＋02＋12＋02＋22）＝错误!，∴s错误!〈s错误!,∴方差中较小的一个为s错误!,即s2＝错误!.【答案】错误!5.对划艇运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度（单位：m/s）的数据如下：甲27,38，30,37，35,31;乙33,29,38,34,28，36.根据以上数据，可以判断________更优秀.【解析】错误!甲＝错误!（27＋38＋30＋37＋35＋31）＝33(m/s)。
1.1.4直观图画法学业分层测评3 高中数学 必修二 苏教版 含答案
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是________．(填序号)(1)正三角形的直观图仍然是正三角形；(2)平行四边形的直观图一定是平行四边形；(3)正方形的直观图是正方形；(4)圆的直观图是圆．【解析】由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故(1)(3)错误；又圆的直观图为椭圆，故(4)错误．【答案】(2)2．如图1－1－36为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是________．图1－1－36①②③④【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．【答案】③3．如图1－1－37所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是________．图1－1－37【解析】由题图可知，在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为直角边上的一条中线，显然斜边AC最长．【答案】AC4．如图1－1－38所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．图1－1－38【解析】由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝22S直观图，得12·OB·h＝22×12×2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4 2.【答案】4 25．如图1－1－39所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm.【导学号：41292013】图1－1－39【解析】由于平行性不变，O′A′∥B′C′，故在原图形中，OA綊BC，∴四边形OABC为平行四边形，且对角线OB⊥OA，对角线OB＝22，则AB＝12＋(22)2＝3.∴原图形的周长为l＝3×2＋1×2＝8.【答案】86．如图1－1－40所示，为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy 中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．图1－1－40【解析】画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为2 2.【答案】2 27.如图1－1－41是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．图1－1－41【解析】由题图易知△AOB中，底边OB＝4，又∵底边OB的高线长为8，∴面积S＝12×4×8＝16.【答案】168．如图1－1－42所示，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．图1－1－42【解析】由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形，且OP＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.【答案】10二、解答题9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．【解】画法：第一步，画轴，如图(1)，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(1)(2)第二步，画底面，以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y′轴上取线段PQ，使PQ＝32cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面．第三步，画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.第四步，成图，顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图1－1－43，∠ABC＝45°，DC⊥AD，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积.【导学号：41292014】图1－1－43【解】在直观图①中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，①则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝22，而四边形AECD为矩形，AD＝1，②∴EC ＝AD ＝1.∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1.由此可得原图形如图②，在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.[能力提升]1．利用斜二测画法画边长为1 cm 的正方形的直观图，正确的是图1－1－44中的________(填序号)．① ② ③ ④图1－1－44【解析】 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.故④正确．【答案】 ④2．如图1－1－45，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中O ′C ′＝O ′A ′＝2O ′B ′，则以下说法正确的是__________(填序号).【导学号：41292015】图1－1－45(1)△ABC是钝角三角形；(2)△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形；(3)△ABC是等腰直角三角形；(4)△ABC是等边三角形．【解析】将其恢复成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC ＝A′C′＝2，故△ABC是等腰直角三角形．【答案】(3)3.如图1－1－46，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________ cm2.图1－1－46【解析】由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA ＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．【答案】矩形84．已知△ABC的面积为62a2，它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形，根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形，并计算△A′B′C′的面积．【解】(1)取B′C′所在的直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，建立坐标系x′O′y′；(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点，在△A′B′C′中，设它的边长为x，∵O′A′＝32x，∠A′M′O′＝45°，∴O′A′＝O′M′＝32x，故A′M′＝62x；(3)在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧，取到点O距离为x2的点B，C，在x轴O点左侧取到原点O距离为32x的点M，过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA＝6x，连结AB，AC，则△ABC为△A′B′C′的原图形，由S△ABC ＝62a2，得12x×6x＝62a2，∴x＝a，故△A′B′C′的面积为34a2.。
高中数学 学业分层测评2 苏教版必修2
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法正确的是________．①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形；④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形．【解析】由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．【答案】③2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．【解析】连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．【答案】两个圆锥的组合体3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．图1124【解析】一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．【答案】一个六棱柱中挖去一个圆柱4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是________．【解析】由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面．【答案】圆锥的侧面5．如图1125所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的. 【导学号：60420008】图1125【解析】旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．【答案】圆锥、圆柱6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．①②③④图1126【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】①②③7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为________．【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.【答案】 38．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．【解析】因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S ＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.【答案】πS二、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．【解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，解得r＝2 cm.所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高2r＝4 cm.10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图1127所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．图1127【解】 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O 1C ＝R ，设圆锥的截面圆的半径O 1D 为x .因为OA ＝AB ＝R ，所以△OAB 是等腰直角三角形．又CD ∥OA ，则CD ＝BC ，所以x ＝l ，故截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．[能力提升]1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是________．【解析】 如图以AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．【答案】 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥2．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到点G 的最短距离是________cm. 【导学号：60420009】【解析】 如图所示，E ′F ＝12×2π×52＝52π(cm)，∴最短距离E ′G ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．【答案】52π2＋4 3．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．【解析】 由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r ＝AB2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12. 【答案】 124．如图1128所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：图1128(1)绳子的最短长度的平方f (x )； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．【解】 将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ，∴SR ＝SA ·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数， ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。
高中数学学业分层测评苏教版必修_41
学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.若Int(x)表示不超过x的最大整数，对于下列等式：①Int(10.01)＝10；②Int(－1)＝－1；③Int(－5.2)＝－5.其中正确的有________个.【解析】①②正确，③错误.因为Int(x)表示的是不超过x的最大整数，所以Int(－5.2)＝－6.【答案】 22.给出下列等式：①Mod(2,3)＝3；②Mod(3,2)＝2；③Mod(2,3)＝1；④Mod(3,2)＝1.成立的有________.(写出成立的等式的序号)【解析】Mod(a，b)表示a除以b所得的余数，所以Mod(2,3)＝2，Mod(3,2)＝1.【答案】④3.1 037和425的最大公约数是________.【解析】∵1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.【答案】174.如果a，b是整数，且a>b>0，r＝Mod(a，b)，则a与b的最大公约数与下面的________相等.(填写正确答案的序号)①r；②b；③b－r；④b与r的最大公约数.【解析】根据辗转相除法的算法思想，就是将较大的数的最大公约数转化为较小的数的最大公约数.【答案】④5.下列伪代码的运行结果是________. 【导学号：90200028】【解析】此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数.a、b的值依次是：(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→(48,12)→(36,12)→(24,12)→(12,12).∴输出12.【答案】126.(2015·全国卷Ⅱ改编)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图144，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝________.图144【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为a＝14，b＝18；b＝4；a＝10；a＝6；a＝2；b＝2，此时a＝b＝2，程序结束，输出a的值为2.【答案】 27.将下面给出的用二分法求方程x2－2＝0的近似根(误差不超过0.001)的一个算法补充完整：S1 令f(x)＝x2－2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1＝1，x2＝2；S2 令m＝________，判断f(m)是否为0，若f(m)＝0，则m即为所求；若否，则判断________的符号；S3 若________，则x1←m；否则x2←m；S4 判断________<0.001是否成立，若是，则x1，x2之间的任意值均为满足条件的近似根，若否，________.【答案】x1＋x22f(x1)f(m) f(x1)f(m)>0 |x1－x2| 转S28.下面给出的伪代码是求1 000以内被3除余数为2，被7除余数为3的所有自然数之和，请补充完整.【解析】被3除余数为2，被7除余数为3是本算法的约束条件，所以条件语句的判断条件为Mod(i,3)＝2 And Mod(i,7)＝3；题目要求所有自然数之和，所以s←s＋i.【答案】Mod(i,3)＝2 And Mod(i,7)＝3 s←s＋i二、解答题9.已知如图145所示的流程图(其中m、n为正整数).(1)这个算法的功能是什么？(2)当m＝286，n＝91时，输出的结果是什么？图145.【解】(1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数.(2)∵286＝91×3＋13,91＝13×7，∴286与91的最大公约数是13.故运行结果为13.10.在平面直角坐标系中作出函数f (x )＝1x 和g (x )＝lg x 的图象，根据图象判断方程lg x ＝1x的解的范围，再用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001)的算法用伪代码表示..【解】 图象为：设h (x )＝1x－lg x . ∵h (2)＝12－lg 2>0，h (3)＝13－lg 3<0， ∴h (x )＝0在(2,3)内有解.伪代码为：[能力提升]1.用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________.【解析】 294＝84×3＋42,84＝42×2，故需要做2次.【答案】 22.如图146所示的流程图，输出的结果是________.图146【解析】 由86>68得a ＝18，b ＝68，由68>18得b ＝50，a ＝18；由50>18得b ＝32，a ＝18；由32>18得b ＝14，a ＝18；由18>14得a ＝4，b ＝14；由14>4得b ＝10，a ＝4；由10>4得b ＝6，a ＝4；由6>4得b ＝2，a ＝4；由4>2得a ＝2，b ＝2.满足a ＝b ，输出2.【答案】 23.下面一段伪代码的功能是________.【解析】 由代码含义可知，m 满足的条件是除以2余1，除以3余2，除以5余3，又m 逐个增大，故输出的m 是满足条件的最小正整数.【答案】 求关于x 、y 、z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2x ＋1m ＝3y ＋2m ＝5z ＋3的最小正整数4.有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g ，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？.【解】 每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数.343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49.∴147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7. 所以每瓶最多装7克.。
高中数学学业分层测评15苏教版必修2word版本
学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在直角坐标系中，直线3x ＋3y －3＝0的斜率是________．【解析】 直线3x ＋3y －3＝0化为斜截式得y ＝－33x ＋1，故直线的斜率为－33. 【答案】 －33 2．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ＝________，b ＝________. 【导学号：60420062】【解析】 由ax ＋by －1＝0在y 轴上截距为－1， ∴1b＝－1，b ＝－1.又3x －y －3＝0的倾斜角为60°. ∴直线ax ＋by －1＝0的斜率－a b＝tan 120°， ∴a ＝－ 3.【答案】 － 3 －13．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若l 经过原点和第二、四象限，则A ，B ，C 应满足________．【解析】l 过原点，则C ＝0，又过二、四象限， 则－A B <0，即A B>0即AB >0. 【答案】AB >0且C ＝04．若方程(a 2－a －2)x ＋(a 2＋a －6)y ＋a ＋1＝0表示垂直于y 轴的直线，则a 为________．【解析】 因为方程表示垂直于y 轴的直线，所以a 2－a －2＝0且a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.【答案】 －15．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________．【解析】 该方程类似于直线的一般方程，若它表示一条直线，则x ，y 的系数不同时为0.解2m 2＋m －3＝0，得m ＝－32或m ＝1；解m 2－m ＝0，得m ＝1或m ＝0.综上可知实数需满足m ≠1. 【答案】m ≠16．直线mx ＋my ＋x －y －3m －1＝0恒过定点，则此定点是________．【解析】mx ＋my ＋x －y －3m －1＝0，(x ＋y －3)m ＋(x －y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1.【答案】 (2,1)7．已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数k 的取值范围是________．【解析】 令x ＝0，则y ＝k ；令y ＝0，则x ＝－2k ，所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是S ＝12|－2k |·|k |≤1，即k 2≤1，所以－1≤k ≤1. 【答案】 [－1,1]8．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞) 二、解答题9．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程．【解】 (1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25， 此时直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0. (2)当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x 2a ＋y a＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，此时直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.10．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．【解】 (1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6，解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意，∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m2－2m －32m2＋m －1＝1，2m2＋m －1≠0，解得m ＝43. (3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6，解得m ＝53或m ＝－2. [能力提升]1．对于直线l ：ax ＋ay －1a＝0(a ≠0)，下列说法正确的是________(填序号)． (1)无论a 如何变化，直线l 的倾斜角大小不变；(2)无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限；(3)无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限；(4)当a 取不同数值时，可得到一组平行直线．【解析】 对于(3)，当a >0时，直线l ：ax ＋ay －1a＝0(a ≠0)的斜率小于0，则直线l 必经过第四象限，故(3)是错误的．【答案】 (1)(2)(4)2．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，则经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线的方程为________．【解析】 依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上． 同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．因为两点确定一条直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.【答案】 2x ＋3y ＋1＝03．斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为________. 【导学号：60420063】【解析】 设直线方程为y ＝34x ＋b ， 令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4b 3＝6，∴b ＝±3，所以所求直线方程为3x －4y －12＝0或3x －4y ＋12＝0.【答案】 3x －4y －12＝0或3x －4y ＋12＝04．已知直线l 的方程为y ＝ax ＋2a ＋1.(1)求直线l 恒过的一个定点；(2)如果当x ∈(－1,1)时，y >0恒成立，求a 的取值范围．【解】 (1)原方程可化为y －1＝a (x ＋2)，所以直线l 恒过定点(－2,1)．(2)令y ＝f (x )＝ax ＋2a ＋1，∵f (x )>0对x ∈(－1,1)恒成立，且方程y ＝ax ＋2a ＋1表示直线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －，，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2a ＋1≥0，a ＋2a ＋1≥0，解得a ≥－13.故满足题意的a 的取值范围为a ≥－13.。
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学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.“x←3×5”，“x←x＋1”是某一伪代码中的先后相邻两个语句，那么下列说法正确的是________.(填序号)①x←3×5的意思是x←3×5＝15，此式与算术中式子是一样的；②x←3×5是将数值15赋给x；③x←3×5可以写成3×5←x；④x←x＋1语句在执行“←”右边x的值是15，执行后左边x的值是16.【解析】赋值语句中的“←”与算术上的“＝”是不一样的，式子两边的值也不能互换，而x←x＋1是将x＋1的值赋给x.故②④正确.【答案】②④2.给出下列伪代码，输入x，y的值分别为2,3，则输出________.【解析】该程序的运行过程是：输入2,3A←2x←3y←2输出3,2.【答案】3,23.下列伪代码的运行结果为________.【解析】∵a←10，b←15，a←2a＋3b，∴a＝2×10＋3×15＝65，∴a＝65.【答案】654.下列伪代码执行后的结果为3，则输入的x值为________.【解析】由题意得：x2＋2x＝3，解方程得x＝1或x＝－3.【答案】－3或15.下列伪代码执行后，变量a，b的值分别为________.【导学号：90200016】【解析】根据赋值语句的意义，先把a＋b＝35赋给a，然后把a－b＝35－20＝15赋给b，最后再把a－b＝35－15＝20赋给a.【答案】20,156.读如下两个伪代码，完成下列题目.(1)①输出的结果为________.(2)若①②输出的结果相同，则伪代码②输入的值为________.【解析】(1)输出的结果应为x＝2×3＝6.(2)由条件知x2＋6＝6，∴x＝0.应输入x＝0.【答案】(1)6 (2)07.下面的伪代码表示的算法的功能是________，输出的结果为________.【解析】按算法语句的顺序执行A的值依次为1,3,6,10,15，因此算法的功能是求1＋2＋3＋4＋5的值，结果为15.【答案】计算1＋2＋3＋4＋5的值158.给出伪代码如下：试运用上面的伪代码设计一个实际问题：____________________________________________________________________________________________.【答案】求用长度为l的细绳分别围成一个正方形和一个圆时的面积，只要输入l，就可以输出相应正方形的面积S1和圆的面积S2二、解答题9.把如下所示的伪代码用流程图表示出来..【解】流程图如下：10.已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，画出计算P，Q两点间距离的流程图，并写出其伪代码. .【解】流程图为：伪代码为：[能力提升]1.下面伪代码的运行结果为________.【解析】a ＝b ＝3，b ＝c ＋2＝4＋2＝6，c ＝b ＋4＝6＋4＝10.∴d ＝13(a ＋b ＋c )＝13(3＋6＋10)＝193. 【答案】1932.给出下列伪代码：若输出的A 的值为120，则输入的A 的值为________.【解析】 该语句的功能是计算A ×2×3×4×5的值，由120＝A ×2×3×4×5得A ＝1，即输入A 的值为1.【答案】 13.下列是某一算法的伪代码(x MOD y 表示整数x 除以整数y 的余数)，当输入的x ，y 分别为16和5时，输出的结果为________.【解析】 第一句输入x ←16，y ←5，第二句A ←xy ＝80，第三句B 取x 除以y 的余数，所以B ＝1.第四句C ←80×5＋1＝401.【答案】 80,1,4014.已知一个正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，试写出一个伪代码来求解这个正三棱柱的表面积和体积，并画出流程图..【解】伪代码如下：流程图如图所示：。
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学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.下列关于流程图的说法正确的是________.(填序号)①用流程图表示算法直观、形象，容易理解；②流程图能清楚地展现算法的逻辑结构，是算法的一种表现形式；③在流程图中，起止框是任何流程不可少的；④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置.【解析】由流程图的概念知①②③④都正确.【答案】①②③④2.如图129所示的流程图最终输出结果是________.图129【解析】第二步中y＝2，第三步中y＝22＋1＝5.【答案】 53.如图1210所示的流程图表示的算法意义是________.图1210【解析】由平面几何知识知r为三边长分别为3,4,5的直角三角形内切圆半径，S表示内切圆面积.【答案】求边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积4.如图1211所画流程图是已知直角三角形两条直角边a、b求斜边c的算法，其中正确的是________.(填序号)图1211【解析】根据流程图的功能知，对于②计算顺序不对，对于③输入、输出框不对，对于④处理框不对，所以只有①对.【答案】①5.给出下列流程图1212：图1212若输出的结果为2，则①处的处理框内应填的是________.【解析】由题意知，处理框中应是x的值，由(2x＋3)－3＝2，得x＝1.故应填x←1.【答案】x←16.阅读下列流程图1213，若输出结果为6，则图中的x＝________.图1213【解析】 由流程图可得(x ＋2)＋3＝6，解得x ＝1. 【答案】 17.已知两点A (7，－4)，B (－5,6)，完成下面所给的求线段AB 垂直平分线方程的算法. S1求线段AB 的中点C 的坐标，得C 点坐标为________； S2求线段AB 的斜率，得k AB ←________； S3求线段AB 中垂线的斜率，得k ←________；S4求线段AB 的垂直平分线方程为_________________________. 【解析】 (1)由中点坐标公式：设C (x 0，y 0)，则x 0＝7＋－2＝1，y 0＝－4＋62＝1，∴C点坐标为(1,1).(2)由斜率公式知：k AB ＝6－－－5－7＝－56.(3)直线AB 的中垂线的斜率与直线AB 的斜率互为负倒数，∴k ＝65.(4)由点斜式方程得y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.【答案】 (1,1) －56656x －5y －1＝08.流程图1214结束时x 、y 的值分别是________.图1214【解析】当x＝1，y＝2时y＝x＋y＝3，x＝y＋1＝3＋1＝4，y＝x＋1＝4＋1＝5，t＝x＝4，x＝y＝5，y＝t＝4.【答案】5,4二、解答题9.已知函数y＝2x＋3，设计一个算法，若给出函数图象上任一点的横坐标x(由键盘输入)，求该点到坐标原点的距离，并画出流程图..【解】算法如下：S1 输入横坐标的值x.S2 计算y←2x＋3.S3 计算d←x2＋y2.S4 输出d.流程图如图：10. 如图1215所示的流程图，当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和下列各小题的条件回答下面几个问题.图1215(1)该流程图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为3时，求输出的f(x)的值；(3)要想使输出的值最大，求输入的x的值..【解】(1)该流程图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题.(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4).因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x.因为f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)max＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.[能力提升]1.写出流程图1216的运行结果. 【导学号：90200006】图1216(1)S ＝________.(2)若R ＝8，则a ＝________.【解析】 (1)由流程图知S ＝24＋42＝52，故应填52.(2)由流程图可得a ＝32×82＝32×2＝64.故填64. 【答案】 (1)52(2)642.如图1217是计算图中的阴影部分面积的一个流程图，则①中应该填________.图1217【解析】 设阴影部分面积为M ，则M ＝x 2－π·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4x 2.【答案】M ←⎝⎛⎭⎪⎫1－π4x 23.已知一个三角形三条边长分别为a ，b ，c ，利用海伦—秦九韶公式(令p ＝a ＋b ＋c2，则三角形的面积S ＝－－－).图1218是一个用海伦—秦九韶公式求三角形面积的流程图.图1218则当a ＝5，b ＝6，c ＝7时，输出的S ＝________. 【解析】 由流程图的意义知p ＝5＋6＋72＝9，所以S ＝－－－＝216＝6 6.【答案】 6 64.有关专家猜测，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这对我国经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2015年的价格是10 000元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格..【解】 用P 表示钢琴的价格，则有： 2016年P ＝10 000×(1＋3%)＝10 300； 2017年P ＝10 300×(1＋3%)＝10 609； 2018年P ＝10 609×(1＋3%)＝10 927.27； 2019年P ＝10 927.27×(1＋3%)≈11 255.09. 因此，价格的变化情况表为：。
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学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂α，CD⊄α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是________．【解析】由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．【答案】平行或异面2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列四个命题正确的是________．①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l相交．【解析】依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．【答案】②3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是__________. 【导学号：60420022】图1244【解析】过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立．【答案】①④4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图1245中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．图1245【解析】 由题意知EF ∥AC ，FG ∥PB ，∴AC ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，即有2条与平面EFG 平行的线段．【答案】 25．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 是A 1B 1的中点，N 是AB 上的点，且AN ∶NB ＝1∶2，过D 1，M ，N 的平面交AD 于点G ，则NG ＝__________.【解析】 过D 1，M ，N 的平面与AD 的交点G 位置如图，其中AG ∶GD ＝2∶1，AG ＝23a ，AN ＝13a ，在Rt △AGN 中，NG ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝53a . 【答案】53a 6．如图1246，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F ，则四边形BCFE 的形状一定是______．图1246【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .∵平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 为梯形． 【答案】 梯形7．如图1247，三棱锥A BCD 中E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.图1247【解析】∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，HG ∥AC .∴EF ＝HG ＝BEBA ·m .同理，EH ＝FG ＝AEAB ·n ，∴BE AB ·m ＝AEAB ·n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n . 【答案】m ∶n8．如图1248，α∩β＝CD ，α∩γ＝EF ，β∩γ＝AB ，若AB ∥α，则CD 与EF 的位置关系是________．图1248【解析】∵⎭⎪⎬⎪⎫AB∥αα∩β＝CD AB ⊂β⇒AB ∥CD ，同理可证AB ∥EF ，∴EF ∥CD . 【答案】 平行 二、解答题9．如图1249，已知A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点．求证：AB 1∥平面DBC 1.图1249【证明】∵A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形． 连结B 1C 交BC 1于点E ， 则B 1E ＝EC .连结DE ，在△AB 1C 中， ∵AD ＝DC ，B 1E ＝EC ，∴DE ∥AB 1. 又∵AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1， ∴AB 1∥平面DBC 1.10．如图1250，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.图1250【证明】∵AC∥A1C1，而AC⊄平面A1EC1，A1C1⊂平面A1EC1.∴AC∥平面A1EC1.而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC⊂平面AB1C，∴AC∥FG.[能力提升]1．如图1251所示，A是平面BCD外一点，E，F，H分别是BD，DC，AB的中点，设过这三点的平面为α，则在下图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有________________条．图1251【解析】如图，过F作FG∥AD交AC于G，显然平面EFGH就是平面α.在△BCD中，EF∥BC，EF⊂α，BC⊄α，∴BC∥α.同理，AD∥α.所以在所给的6条直线中，与平面α平行的有2条．【答案】 22．如图1252，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图1252【解析】因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC ，又因为点E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.【答案】 23．在四面体A BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是____________________．【解析】 连结AM 并延长交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点，由EM MA ＝ENNB得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .【答案】 平面ABC ，平面ABD4．已知直线l 是过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与平面ABCD 所在平面的交线．图1253求证：B 1D 1∥l . 【证明】∵BB 1═∥DD 1， ∴四边形BDD 1B 1是平行四边形， ∴B 1D 1∥BD .∵B 1D 1⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴B 1D 1∥平面ABCD ，∵平面AB 1D 1∩平面ABCD ＝l ，B 1D 1⊂平面AB 1D 1， ∴B 1D 1∥l .。
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学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________________．【解析】 由直线的两点式方程得y －25－2＝x －－2－－，整理得x －y ＋3＝0.【答案】x －y ＋3＝02．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程________．①可以写成两点式或截距式；②可以写成两点式或斜截式或点斜式；③可以写成点斜式或截距式；④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．【解析】 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．【答案】②3．直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则a ________0，b ________0. 【解析】 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.【答案】 < >4．若直线l 过定点(－1，－1)和(2,5)，且点(2 017，a )在l 上，则a 的值为________．【解析】∵(－1，－1)，(2,5)，(2 017，a )三点共线，∴5－－2－－＝a －52 017－2，∴a ＝4 035. 【答案】 4 0355．经过点A (2,1)，在x 轴上的截距为－2的直线方程是________. 【导学号：60420059】【解析】 由题意知直线过两点(2,1)，(－2,0)，由两点式方程可得所求直线的方程为y －01－0＝x ＋22＋2，即x －4y ＋2＝0. 【答案】x －4y ＋2＝06．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．图215【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置．【答案】①7．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________．【解析】AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x03＋y04＝1，即4x 0＋3y 0＝12. 【答案】 128．直线mx ＋ny ＋p ＝0(mn ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则m ，n ，p 满足的条件是________．【解析】 当p ＝0时，直线在两轴上的截距相等，当p ≠0时，因mn ≠0，∴－p m ＝－p n， 即m ＝n .【答案】p ＝0或p ≠0且m ＝n二、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解】 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．【解】 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ －5a ＋－4b ＝1，12|a|·|b|＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4.故直线l 的方程为x 5－y 2＝1或－2x 5＋y 4＝1. 即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.[能力提升]1．过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线的方程为__________．【解析】 当b ＝0时，设直线方程为y ＝kx ，则2k ＝－1，所以k ＝－12，所以直线方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0. 当b ≠0时，设直线方程为x 3b ＋y b ＝1，则23b ＋－1b ＝1，解得b ＝－13. 所以直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0.【答案】x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝02．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x的取值范围是______． 【解析】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23， 所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 3．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________．【解析】 由A ，B ，P 三点共线，得y －0x －3＝4－00－3， 即y ＝－43(x －3)，x ∈[0,3]． ∴xy ＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43－＝－43(x 2－3x ) ＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3. 当x ＝32时，xy 取得最大值3，此时x ＝32，y ＝2，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 34．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差的绝对值为3，求直线l 的方程．【解】 由题意可知，设直线l 与两坐标轴的交点分别为(a,0)，(0，b )，且有a ＞0，b ＞0，根据题中两个条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ S ＝12ab ＝2，|a －b|＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4.所以直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y 4＝1.。
高中数学学业分层测评19苏教版必修3word版本
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.用随机模拟的方法来估计圆周率π的近似值.在正方形中随机撒一把芝麻，如果撒了1 000颗芝麻，落在正方形内切圆内的芝麻点数为778颗，那么这次模拟中π的近似值是________.【解析】 根据几何概型及用频率估计概率的思想，πR24R2＝π4＝7781 000，其中R 为正方形内切圆的半径，解得π＝3.112.【答案】 3.1122.已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________.【解析】 欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴x ∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23.【答案】233.如图335，在平面直角坐标系中，∠xOT ＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是________. 【导学号：90200075】图335【解析】 以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件.记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P (A )＝60°360°＝16. 【答案】164.若将一个质点随机投入如图336所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________.图336【解析】 由题意AB ＝2，BC ＝1，可知长方形ABCD 的面积S ＝2×1＝2，以AB 为直径的半圆的面积S 1＝12×π×12＝π2.故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝π22＝π4.【答案】π45.一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________.【解析】 边长为3,4,5构成直角三角形，P ＝－1－＋－1－＋－1－3＋4＋5＝612＝12. 【答案】126.一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________.【解析】 由题意知，三角形ABC 为直角三角形，则S △ABC ＝12×6×8＝24，记“恰在到顶点A 或B 或C 的距离小于1”为事件A . 则事件A 发生的图形为图中阴影部分面积， ∴P (A )＝12×π×124＝π48.【答案】π487.(2015·苏州高二检测)已知集合A ＝{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}，现在集合内任取一点，使得x 2＋y 2≤1的概率是________.【解析】 集合A 表示的平面图形是如图所示的边长为1的正方形，其内切圆为x 2＋y 2＝1.设“在集合内取一点，使得x 2＋y 2≤1”为事件A ，即所取的点在单位圆x 2＋y 2＝1上或内部.由几何概型知P (A )＝π4.【答案】π48.已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC ＜12V S ABC的概率是________.【解析】 如图，由V P ABC ＜12V S ABC 知，P 点在三棱锥S ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VSA0B0C0VSABC ＝1－18＝78.【答案】78二、解答题9.两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率.【解】 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23.两人到达约见地点所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13212＝89. 10.已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y ).(1)求当x ，y ∈R 时，点P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率； (2)求当x ，y ∈Z 时，点P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率.【解】 (1)如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界).又S 正方形ABCD ＝4×4＝16，S 扇形＝π，∴P 1＝S 扇形S 正方形ABCD ＝π16.(2)若x ，y ∈Z ，则点P 的坐标有(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1,1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)共25个，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的有(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)共5个，∴点P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率P 1＝525＝15.[能力提升]1.如图337，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆.现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________.图337【解析】 由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π cm 2，故所求概率为77π81π＝7781. 【答案】77812.已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是________.【解析】 由A ∩B ≠∅的概率为1知直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有公共点，故圆心到直线的距离不大于半径1，即|a|2≤1.解得－2≤a ≤ 2. 【答案】 [－2，2]3.在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 距离大于1的概率为________.【解析】 与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半球面(如图)，半球体积为V 1＝12×43π×13＝2π3.“点P 与点O 距离大于1”事件对应的区域体积为23－2π3，则点P 与点O 距离大于1的概率是23－2π323＝1－π12.【答案】 1－π124.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 【导学号：90200076】【解】 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”.当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根等价于Δ＝4a 2－4b 2≥0, 即a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2).其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}.构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }.(如图阴影区域所示) 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。
高中数学学业分层测评23苏教版必修2word版本
2016-2017学年高中数学学业分层测评23 苏教版必修2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.【答案】02．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．其中叙述正确的序号是________．【解析】由图形几何性质知①②③错，④正确．【答案】④3.图233如图233所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC ＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．【解析】∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．【答案】(0,0,1)4.图234如图234，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．【解析】由点B1的坐标为(a，a，a)知点D1的坐标为(0,0，a)．【答案】 (0,0，a )5．已知点M 到三个坐标平面的距离都是1，且点M 的三个坐标同号，则点M 的坐标为________． 【解析】 根据点M 到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M (1,1,1)或(－1，－1，－1)．【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)6．已知点P ′在x 轴正半轴上，OP ′＝2，PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，PP ′＝1，则点P ′和P 的坐标分别为________，________. 【导学号：60420093】【解析】 由于P ′在x 轴的正半轴上，故点P ′的坐标为(2,0,0)，又PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，故P 点坐标为(2,0，±1)．【答案】 (2,0,0) (2,0，±1) 7.图235正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图235所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为________．【解析】 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，138.图236如图236, M OAB 是棱长为a 的正四面体，顶点M 在底面OAB 上的射影为H ，则M 的坐标是________．【解析】 由M OAB 是棱长为a 的正四面体知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，A (0，a,0)，O (0,0,0)． 又点H 为△OAB 的中心知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，0， 从而得M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，63a . 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫36a ，a2，63a 二、解答题9．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．【解】 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连结BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1均在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝⎛⎭⎪⎫32，0，1.图23710．如图237，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．【解】∵ABCD A 1B 1C 1D 1为长方体，∴可以以顶点A 为原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，∴∠ABD 就是直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角，∠ABD ＝30°， ∴Rt △BAD 中，由AB ＝2，AE ⊥BD ，∠ABD ＝30°可解得AD ＝AB ·tan 30°＝2×33＝233，BD ＝2AD ＝433，AE ＝1. 过点E 在平面ABCD 内作AB 的垂线EM ，垂足为点M ，∴Rt △AEM 中，EM ＝AE ·sin 60°＝32， AM ＝AE ·cos 60°＝12.又长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，F 为A 1B 1的中点，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，A 1(0,0,1)，B 1(2,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，233，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，F (1,0,1)． [能力提升]1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是________．【解析】 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称． 【答案】 关于y 轴对称2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为________．【解析】 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4,0，－6)．【答案】 (－4,0，－6)3.图238如图238所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，则写出A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．A ________，B ________，C ________，D ________，P ________，E ________.【解析】如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，与过点A 与AB 垂直的直线AG 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0. 【答案】 (0,0,0) (1,0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 (0,0,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0(答案不唯一)4.图239如图239所示，AF ，DE 分别是圆O ，圆O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8，BC 是圆O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6 2.所以OA＝OB＝OC＝OF＝3 2.如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，所以A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。
高中数学学业分层测评22苏教版必修.doc
【答yip2高中数学学业分层测评22苏教必修2(建议用时：45分钟)［学业达标］一、填空题1・圆x +y+4JT—4y+7 = 0 与圆x +y —4^r—10y—7 = 0 的位置关系是___________ .【解析】圆x +y +4^r一4y+7 = 0的圆心是^(—2, 2),半径长_n = l；圆x y——10y—7=0的圆心是G(2, 5),半径长匕=6,贝| GG| =5=匕一乃，故两圆内切.【答案】内切2.两圆相交于点A(l f 3), B(m,—1),两圆的圆心均在直线/：x—y+c=0 _b,则刃+ c= _________ .【解析】由题意可知，ABV1,由于ki=l,故k A B= — 1,3 + 1即--- =一1,解得刃=5.又個的中点在直线1±,故3 — l + c=0,解得c=~2,所1 一m以加+c=5 —2 = 3.【答案】33.两圆x+y=r与(X—3)2+ (y+l)2=r外切，则正实数/的值是____________________ ・【解析】由题意，得2/= ~—=^/10,4.圆G： (^+2)2 + (y—刃尸=9 与圆G：(x—ni)2 + (y+l)2=4 相切，则加的值为 ______ .【导学号:6040］【解析】圆G：(JT+2)2+ (y—ZZ7)2=9的圆心为(一2, ni),半径长为3,圆G：(x—ni)2 + (y+1)2=4的圆心为(加，—1),半径长为2.当G, G外切时有—2_m~+~= 3 + 2,即m +3/77—10 = 0,解得加=2 或m=—5；当G, G 内切时有 ~—2—m~~~m+ ° = 3—2,即駢+3加+2 = 0,解得刃=一1或m=—2.【答案】一5, —2, —1, 25.已知半径为1的动圆与圆(x—5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是【解析】动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5, —7)为圆心，以3或5为半径的圆.【答案】匕一5尸+ (尸+7)2=25或(x—5尸+ (y+7)2 = 96.两个圆G：x +y+2^+2y+l = 0与G：x +y —4x—2y+3 = 0的公切线有且仅有【解析】Ci： (x+l)?+(y+1)2=1,G： (x—2)2+ (y—1)2=2.圆心距d= CG= + M- + =^J13.d>ri+r2=l+y/2f・•・两圆G与G相外离有4条公切线.【答案】47.点户在圆x +y—8x—4y+ll = 0上，点0在圆x + y+4x+2y+l = 0 _L,则户0的最小值是_________ .【解析】若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为CxG—n—n. O -4)2+(y-2)2=9 的圆心为G(4,2),半径n=3； (^+2)2+(y+l)2=4 的圆心为G(—2, —1),半径12=2.又GG=3谚，显然两圆外离，所以户0的最小值是3^5-5.【答案】3^5-58.与直线x+y—2=0和曲线x -\-y~\2x~ 12y+64=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_______ •【导学号：6041]【解析】依题意，已知曲线为一个圆，其标准方程为(厂6)2十(y—6)2=8,所以所求圆的圆心在直线y=x上，直径为已知圆圆心到直线x+y—2 = 0的距离减去已知圆半径，即Zf仰3迈,设所求圆的圆心为(a, S),b=a,得a= Z>=|,所以所求圆的标准方程为二、解答题9.圆C■的半径为3, 圆心C在直线2/+尸0上且在X轴的下方，/轴被圆C截得的弦长劭为2&.(1)求圆C的方程;⑵若圆£与圆C关于直线2^-4y+5 = 0对称，试判断两圆的位置关系.【解】(1)设圆心坐标为(a, —2a),贝lj圆的方程为(x—a尸+(y+2a)—9,作Q丄/轴于点在RtAABC中，CB=3, AB=y/5,:.CA=2,所以| —2日| =2=>日=±1,又因为点Q在轴的下方，所以a=l,即C(l, 一2),所以圆的方程为：匕一1)2+ (y+2)2=9.(2)点C(l, —2)到直线的距离为 ,|/卧+砌+C| | 2+8 + 5| 3萌、一Q—寸才+F —寸4+16 - 2 > ' 所以圆C与直线2x—4y+5 = 0相离. 而圆E与圆C关于直线2x—4y+5=0对称，所以圆E与直线2x—4y+5 = 0也相离，故两圆相离.10.设M= {(x, y) | y=y]2a—x, a〉0}, N= {(x, y) \ (jr—1)2+(y—A J3)2= S2,a>Q}, 且〃仃榜0,求a的最大值和最小值.【解】％={(x, y) | y=y]2a—x , a>0},即{(x, y) | x + y=2a , y20},表示以原点。
高中数学 学业分层测评6 苏教版必修3(2021年整理)
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学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1。
下列伪代码的条件语句中,判断的条件是________.【解析】由伪代码知判断的条件为“x>0”,故填x>0.【答案】x>02.根据如图所示的伪代码,当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为________.【解析】此题伪代码的含义是输出两数的较大者,所以m＝3.【答案】33.为了在执行下面的伪代码之后输出y＝25，输入的x应该是________。
【解析】伪代码对应的函数是y＝错误!由错误!或错误!得x＝－6或x＝6.【答案】－6或64。
下列伪代码，若输入2,3，则伪代码执行结果为________。
【解析】由于2<3，故由程序知t←2，a←3，b←2.故输出的b，a分别为2，3。
【答案】2,35.给出下面伪代码：如果输入x1＝3,x2＝5，那么执行此伪代码后的输出结果是________。
【解析】x1＝3，x2＝5，不满足条件x1＝x2，因此不执行语句x1←x1＋x2，而直接执行y←x1＋x2,所以y＝8,最后输出8.【答案】86.（2015·泰州高一月考）下面伪代码的输出结果为________。
【导学号：90200020】【解析】由于5>0,故程序执行“Else”后面的语句，从而y＝－20＋3＝－17，所以a ＝5－（－17)＝22,故输出a的值为22.【答案】227。
高中数学 学业分层测评1 苏教版必修2(2021年整理)
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学业分层测评(一）(建议用时：45分钟）[学业达标]一、填空题1．下列说法中正确的个数是________．①棱柱的面中，至少有两个面互相平行;②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；③棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；④棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形．【解析】棱柱的面中，有两个底面,所以至少有两个面互相平行,故①正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面,②错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，③错误．棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面可能是平行四边形，④错误．【答案】12．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为______(填序号)．图1.1。
11【解析】结合棱锥的定义可知，①不符合其定义，故填①.【答案】①3．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号）①矩形;②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】在正方体ABCD.A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定:①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A。
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2016-2017学年高中数学学业分层测评22 苏教版必修2（建议用时:45分钟）［学业达标]一、填空题1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是________．【解析】圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2,2），半径长r1＝1；圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2,5)，半径长r2＝6,则|C1C2|＝5＝r2－r1,故两圆内切．【答案】内切2．两圆相交于点A(1,3）,B（m，－1)，两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m＋c ＝________.【解析】由题意可知，AB⊥l，由于k l＝1，故k AB＝－1，即错误!＝－1，解得m＝5.又AB的中点在直线l上，故3－1＋c＝0，解得c＝－2，所以m ＋c＝5－2＝3.【答案】33．两圆x2＋y2＝r2与(x－3）2＋(y＋1)2＝r2外切,则正实数r的值是__________．【解析】由题意，得2r＝错误!＝错误!,∴r＝错误!。
【答案】错误!4．圆C1：（x＋2）2＋(y－m）2＝9与圆C2：(x－m)2＋（y＋1）2＝4相切,则m的值为________。
【导学号：60420090】【解析】圆C1:（x＋2)2＋（y－m)2＝9的圆心为（－2,m),半径长为3,圆C2:(x－m）2＋（y＋1)2＝4的圆心为（m,－1）,半径长为2。
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学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列有四个结论，其中正确的是________． (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； (2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥． 【解析】 (1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．【答案】 (4)2．一个正四棱柱的对角线的长是9 cm ，全面积等于144 cm 2，则这个棱柱的侧面积为________ cm 2.【解析】 设底面边长，侧棱长分别为a cm ，l cm ，⎩⎨⎧a 2＋a 2＋l 2＝9，2a 2＋4al ＝144，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，l ＝7，∴S 侧＝4×4×7＝112 cm 2.【答案】 1123．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________. 【导学号：60420037】【解析】 由题意可知S 侧＝2×5×23＋5×4＝20＋20 3. 【答案】 20＋20 34．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．【解析】 ∵l ＝R ＋r2，∴S 侧＝π(R ＋r )l ＝2πl 2＝32π，∴l ＝4.【答案】 45．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为153，则正三棱台的侧面积S 1与底面积之和S 2的大小关系为__________．【解析】 斜高h ′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤36×4－22＝2，S 1＝12×(3×2＋3×4)×2＝92，S 2＝34×22＋34×42＝53， ∴S 1>S 2. 【答案】 S 1>S 26．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m ，则全面积的最大值为________． 【解析】 设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πmr . ∴当r ＝πm2π2－π＝m2π－1时，S 全有最大值πm24π－1.【答案】πm24π－17．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．【解析】 如图，连结A 1D 1，AD 1，则易知AD 1为正六边形最长的对角线， 由棱柱的性质，得AA 1⊥A 1D 1，在Rt △AA 1D 1中，AD 1＝13，AA 1＝5，A 1D 1＝132－52＝12，由正六棱柱的性质A 1B 1＝12A 1D 1＝6，S 棱柱侧面积＝6×6×5＝180.【答案】 1808．如图132，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．图132【解析】 设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1AB 1C 为四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.【答案】 1∶ 3 二、解答题9.如图133所示，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO ′和较小的棱锥PO ′.图133(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱为12 cm ，小棱锥底面边长为4 cm ，求截得棱台的侧面积和全面积．【解】 (1)设正六棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b ，则截面的边长为a2，∴S 大棱锥侧＝12c 1h 1＝12×6a ×b 2－a 24＝3ab 2－a 24，S 小棱锥侧＝12c 2h 2＝12×3a ×12b 2－a 24＝34a b 2－a 24，S 棱台侧＝12(c 1＋c 2)(h 1－h 2)＝12(6a ＋3a )×12b 2－a 24＝94ab 2－a 24，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3.(2)S 侧＝12(c 1＋c 2)(h 1－h 2)＝1442(cm 2)，S 上＝6×12×4×4×sin 60°＝243(cm 2)， S 下＝6×12×8×8×sin 60°＝963(cm 2)，∴S 全＝S 侧＋S 上＋S 下 ＝1442＋1203(cm 2)．10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm 2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【解】 法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm.即A ′O ′＝x cm ，AO ＝3x cm(O ′，O 分别为上、下底面圆心)，过A ′作AB 的垂线，垂足为点D .在Rt △AA ′D 中，∠AA ′D ＝45°，AD ＝AO －A ′O ′＝2x cm ，所以A ′D ＝AD ＝2x cm ，又S 轴截面＝12(A ′B ′＋AB )·A ′D ＝12×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm 和21 cm.法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA ′，BB ′交OO ′的延长线于点S (O ′，O 分别为上、下底面圆心)．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x cm ， 又SO ′＝A ′O ′＝x cm ，所以OO ′＝2x cm. 又S 轴截面＝12×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别为7 cm ，21 cm.[能力提升]1．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________． 【解析】 S ＝3π2＋2·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π2＋92π或S ＝3π2＋2·π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3π2＋12π.【答案】 3π2＋92π或3π2＋12π2．如图134，三棱锥S ABC 中底面△ABC 为正三角形，边长为a ，侧面SAC 也是正三角形，且侧面SAC ⊥底面ABC ，则三棱锥的侧面积为________. 【导学号：60420038】图134【解析】 取AC 的中点M ，连结SM ，MB .∵△SAC ，△ABC 为全等正三角形， ∴SM ⊥AC ，BM ⊥AC ， 且SM ＝BM ＝32a ，△SAB ≌△SCB .又∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC .SM ⊂平面SAC ，∴SM ⊥平面ABC .过M 作ME ⊥BC 于点E ，连结SE ，则SE ⊥BC . 在Rt △BMC 中，ME ·BC ＝MB ·MC ， ∴ME ＝34a ，可求SE ＝SM 2＋ME 2＝154a . ∴S △SBC ＝12BC ·SE ＝158a 2，∴S 侧＝S △SAC ＋2S △SBC ＝3＋154a 2. 【答案】3＋154a 23．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h 1，h 2，h ，则h 1∶h 2∶h ＝__________.【解析】 由题意可把三棱锥A 1ABC 与四棱锥A 1BCC 1B 1拼成如图所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为63.而四棱锥A 1BCC 1B 1的高为22，则h 1∶h 2∶h ＝22∶63∶63＝3∶2∶2. 【答案】3∶2∶24．如图135所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m 铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01 m 2)．图135【解】 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1.2－2r ，∴塑料片面积S＝πr 2＋2πr (1.2－2r )＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r )＝－3π(r －0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S 有最大值0.48π，约为1.51平方米．。