第九章线性系统的状态空间综合法
线性系统状态空间分析和运动解
线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。
它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。
状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。
在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。
状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。
假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。
状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。
常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。
稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。
在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。
特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。
如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。
可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。
在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。
可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。
在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。
除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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第九章-线性系统的状态空间综合法PPT课件
③对线性定常系统，在[t0，t1]上考虑与在[0，t1-t0]上考虑是等价的，即
可控性与t0无关。
④系统可控 系统状态完全可控
若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控； ⑤终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。
4
第4页/共82页
4）状态可达与系统可达
对系统： x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) t Tt
sI A B 0 1 0 11 00
0 0 1 00 11 0 0 5 22 00
对于 1 有2 ： 0
0 1 0 0 0 1
rank 1I A
B rank 0
0
0 0
1 0 1 0 4 0 1 0 1
0 0 5 0 2 0
16
第16页/共82页
对于 1 有：5
5 1 0 0 0 1
该系统是完全可控的.
20
第20页/共82页
③设 为1 5重特征根，有如下约当型
1 1
1 1
AJ
1 1
1 55
B
BB43
B5 5p
结论：只要
B3
B
4
行线性无关,系统状态完全可控。
B5
B3
即
rankB4
行
数
系统状态完全可控。
B5
注：输入的维数p>λi所对应的约当块的块数时，系统可能可控；
当 R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=2=n，系统可控 当R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=1<n，系统不可控 由电路图可知： R1 R2时,C，1 C2 x1 x2
即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
iL
R3 R1
第9章线性系统的状态空间分析与综合PPT课件
b 0u (n)
b 1u (n1)
*
b
n
1
u
bnu
选在取由状包态含变状量态的变原量则的: n个微 分x 2 议 x程1 构h 1成u 的系
统状态议程解中任何一个微 x 分n 议x n程 1 均h n不 1 u 含有
作用函数的导数项。
X AX BU
x1 y b 0u
y CX DU
掌握和运用可控性判据和可观性判据。
*
4
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控
系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 稳定性分析。
*
5
状态空间方法基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析
单输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。
采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁 明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。
*
6
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
x 2
y (2)
x 1 x 2
所以
x
2
x3
x
3
x1
2x 2
3x3
r
X AX Br
*
19
0 1 0
0
其中
A
0
0
1
B
0
- 1 - 2 - 3
1
C 1 0 0
第九章 线性系统的状态空间分析与综合(3)
(9 2 2 2 )
与该状态方程对应的可控性矩阵S是一个右下三角阵，其主 对角线元素均为1，故d et S 0 ，系统一定可控，这就是形如 式（9-222）中的A，b称为可控标准型名称的由来。其可控 性矩阵S形如
13
S b
Ab
0 0 n 1 A b 0 0 1
x P
1
如果系统能控，则
n 1
B]
则必
.
x A x bu
15
其中：
A PAP
0 0 A 0 a 0 1 0 0 1 0 a1 0 a2
1
b Pb
0 0 1 a n 1
对偶系统一定可控，但不是可控标准型。 可利用已知的化为可控标准型的原理和步骤，先将对偶系统 化为可控标准型，再使用一次对偶原理，便可获得可观测 标准型。
27
计算步骤： 1）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测矩阵 V 2 ）
V2 c
T
A c
1
T
T
(A )
T
n 1
c
T
(9 2 4 1)
，变换后的
(9 2 0 6 ) 令 x Px 式中 P 为非奇异变换矩阵，它将 x 变换为 x 动态方程为
式中
x A x b u , y cx
1
(9 2 0 7 ) (9 2 0 8)
4
A P
A P , b P b , c cP
1
线性变换的目的 使 A 阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算， 并不会改变系统的原有特性，故称为等价变换。 待获得所需结果后，再引入反变换关系 x P 换算回原来的状态空间中去，得出最终结果。 下面概括地给出本章常用的几种线性变换关系。
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
线性系统的状态空间分析与综合
ɺ x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ]
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ]
6、输出方程 描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数 关系的代数方程组。 关系的代数方程组。
y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
y (
9、线性系统 f 系统状态空间表达式中， 均是线性函数。 系统状态空间表达式中， 和 g 均是线性函数。
10、 10、线性系统的状态空间表达式 状态方程为一阶向量线性微分方程或一阶向量线性 差分方程，输出方程是向量代数方程。 差分方程，输出方程是向量代数方程。
ɺ x(t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t ) y (t ) = C (t )x(t ) + D(t )u(t )
9.1 9.2 9.3 9.4
线性系统的状态空间描述 线性系统的可控性与可观测性 李雅普诺夫稳定性分析 线性定常系统的反馈结构及状态 观测器
9.1线性系统的状态空间描述 9.1线性系统的状态空间描述 一、系统数学描述的两种基本类型
系统外部描述：输入-输出描述。 系统外部描述：输入-输出描述。 系统内部描述：状态空间描述，对系统的 系统内部描述：状态空间描述， 一种完全描述，表征系统所有动力学特征。 一种完全描述，表征系统所有动力学特征。
7、状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。
ɺ x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ] y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ] y (t k ) = g[x(t k ), u(t k ), t k ]
线性系统的状态空间分析法
第九章线性系统的状态空间分析法一、教学目的和要求通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。
三、教学内容：以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。
1、系统数学描述的两种基本方法一种是外部描述。
一种是内部描述。
对比举例2、系统描述中常用的基本概念输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形3、系统状态空间描述常用的基本概念状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。
将概念讲解、举例、对比来加深理解。
4、举例熟悉对概念理解5、根据系统机理建立状态空间表达式方法步骤：①确定输入输出向量；②根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程；③选择状态变量，根据方程建立状态方程；④列写输出方程；⑤将状态方程、输出方程变换为向量—矩阵形式。
举例：RLC网络（单输入-单输出）；机械位移系统（双输入-三输出）第一节 线性系统的状态空间描述一、教学目的和要求掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点由传递函数建立状态空间表达式 三、教学内容：1、由系统微分方程建立状态空间表达式方法（单输入-单输出） （1）系统输入量中不含倒数项。
()(1)(2)12100...n n n n n y a y a y a y a y uβ∙----+++++=式中y ,u 分别为系统的输出、输入量；0110,,...,,n a a a β-是由系统特性确定的常数。
由于给定n 个初值1(0),(0),...(0)yn y y - 及t ≧0的u （t ）时，可唯一确定t>0时系统得的行为，可选取n 个状态变量为(1),,...,12n x y x y x y n -===，故上式可化为12231 (011210)x xx xxx nn x a x a x a x un n n y xβ∙∙∙∙∙∙∙===-=----+-=再将上式写成向量-矩阵形式，并画出状态变量图。
10第九章线性系统状态空间分析
选择状态变量如下：
x1 y1 (1) x y 1 x1 2 ( 2) 2 x y x 3 1 xn y1( n 1) x n 1
1 x2 x x 2 x3 x n 1 xn n a0 x1 a1 x2 ... an 1 xn u (t ) x
9.2 线性系统状态空间基础
整理成状态空间表达式，得：
1 x 1 0 x1 0 C ui (t ) 1 R x2 1 / L 2 x L L x1 Y [1 0] x 2 1 0 0 C X ui (t ) 或简写成： X 1 R 1 / L L L Y [1 0] X
9.2 线性系统状态空间基础
（1）式和（2）式已经化成没有零点/极点的形 式，分别进行拉氏变换得：
(1) y1( n ) an1 y1( n1) ... a1 y1(1) a0 y1 u (t ) 1 y1( n1) bn 2 y1( n2) ... b1 y1(1) b0 y1 (2) z (t ) bn
9.2 线性系统状态空间基础
9.2.2 状态空间的实现
【例9-1】如下图所示的RLC电路，输入是 ui (t )，输出 是 u0 (t )。试建立该电路的状态空间表达式。
i (t )
R L
解：根据基尔霍夫电压定律、 电流定律，得
C
ui (t )
u0 (t )
di(t ) L R * i (t ) u0 (t ) ui (t ) dt i (t ) C du0 (t ) dt
《现代控制理论》线性系统的状态空间描述
关键：选取输出量导数为状态变量
【例】
设系统
u
y
y
y
y
6
7
41
6
=
+
+
+
&
&
&
&
&
&
解:
选择状态变量
令：
3.从微分方程出发
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
则:
b. 系统输入量中含有导数
原则：使状态方程不含u的导数。
系统输入量中含有导数
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
由上式求导得：
整理得：
则：
续
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
注 意：这种方法不适用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。
注 意
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
【例】
状态空间表达式为：
【例】 已知状态转移矩阵为
，试求
和A。
拉氏反变换，有
则
【例】试求状态方程的解。
，初始条件为
解：
拉氏变换法例题
线性定常连续系统状态方程的解
则：
三、 状态转移矩阵的性质 [要求熟练掌握]
证明：
有
成立
状态转移矩阵的性质
线性定常连续系统状态方程的解
5.
6.
7.
证明：
续
线性定常连续系统状态方程的解
其中：
（2）可观测标准型状态空间表达式为：
其中：
可观测标准形例题
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
线性系统的状态空间分析与综合
线性系统的状态空间分析与综合第九章线性系统的状态空间分析与综合⼀、教学⽬的与要求：通过本章内容的学习，使学⽣建⽴起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据⽅法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。
⼆、授课主要内容：1．线性系统的状态空间描述2．线性系统的可控性与可观测性3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学⽣的要求（掌握、熟悉、了解、⾃学）1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法与其他数学描述（微分⽅程、传递函数矩阵）之间的关系。
2.掌握采⽤状态空间表述的系统运动分析⽅法，状态转移矩阵的概念和求解。
3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间的对偶性。
4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构造能控、能观测标准形的线性变换⽅法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解⽅法。
5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计⽅法，理解分离定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。
重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。
四、主要外语词汇线性系统 linear system状态空间 state space状态⽅程 state equation状态向量 state vector传递函数矩阵 translation function matrix状态转换矩阵 state-transition matrix可观测标准形 observational standard model可控标准形 manipulative standard model李亚普诺夫⽅程Lyaponov equation状态观测器 state observation machine对偶原理 principle of duality五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输⼊变量、输出变量各指什么？2．通过机理分析法建⽴系统状态空间模型的主要步骤有哪些？3．何为多变量系统？如何⽤传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。
线性系统的状态综合
的差异来判断原系统的稳定性。这种方法需要找到合适的参考系统。
03
频域分析法
对于线性时变系统，可以通过傅里叶变换等方法将其转换到频域进行分
析。通过观察系统频率响应的特性来判断系统的稳定性。这种方法适用
于具有周期性变化系数的线性时变系统。
05
线性系统的状态综合方法
状态反馈控制
状态反馈控制器的设计
控制器参数优化
线性系统的状态综合
目
CONTENCT
录
• 引言 • 线性系统的状态空间描述 • 线性系统的能控性和能观性 • 线性系统的稳定性分析 • 线性系统的状态综合方法 • 线性系统状态综合的应用实例
01
引言
线性系统的基本概念
线性系统定义
线性系统是指其输出与输入之间满足线性叠加原理 的系统，即输出的变化量与输入的变化量成正比。
优化设计
基于状态综合结果，对机械系统的 结构、参数和控制策略进行优化设 计，提高系统的动态性能和稳定性。
电力系统状态综合
1 2 3
稳态分析
通过测量电力系统的电压、电流和功率等参数， 分析系统的稳态特性，评估系统的供电质量和稳 定性。
暂态过程分析
利用状态综合技术对电力系统的暂态过程进行建 模和分析，研究系统在故障、切换和操作等情况 下的动态行为。
在实际应用中，通常希望一个系统既具有能控性又 具有能观性，这样可以更好地对系统进行状态综合 和控制设计。
04
线性系统的稳定性分析
稳定性的定义和分类
稳Hale Waihona Puke 性定义系统受到扰动后，能够恢复到原来的 平衡状态或者趋近于另一个新的平衡 状态的能力。
稳定性分类
根据系统受到扰动后的表现，可分为 渐近稳定、临界稳定（或中立稳定） 和不稳定三类。
线形系统的状态空间分析与综合
y(t)C(t)x(t)
的可观测性。输出响应成为
y(t)C (t) (t,t0)x0
下面给出系统可观测性的有关定义。
系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻
t0 Tt ，存在一个有限时刻t1Tt,t1t0，对于所有
，
系统的t输t出0,t1 能惟一确定状态向量 的初值，则称系统
不可控。 PBH秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条
件是，对矩阵 A的所有特征值 i(i1,2, ,n)，
ra in A kB n ; i1,2, ,n
均成立，或等价地表示为 ra s I A n B k n , s C
即(sIA)和 B是左互质的。
其中 (t,t0)为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，
可得输出响应为
若定y ( 义t) C ( t) ( t,t0 ) x 0 C ( t) ( t,) B () u () d D ( t) u ( t)
y (t) y (t) C (t) (t,)B ()u ()d D (t)u (t)
在
内是y (完t ) 全可观测的，简称可观x(测t0 )。如果对于一切
系统t0都,t1是 可观测的，则称系统在
内完全可观测。 t1 t0
t0,
11
二、 线性系统的可控性与可观测性（11）
系统不可观测： 对于线性时变系统，如果取定初始时
刻t0 Tt，存在一个有限时刻t1Tt,t1t0，对于所有
其中，A (t)B ,(t)C ,(t)和 D (t)分别为 (n n )(n , p )(q , n ) 和 (q p )
的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程
线性系统的状态空间分析法
0
1
u
即
X AX Bu
其中
A
0 - 2
1
-
3
B
0
1
y
CX
1
0
x x
1 2
C 1 0
例2.设某控制系统的方框图如下,
试写出该系统的状态空间表达式。
R(S) +
1
Y(S)
_
s(s1)(s2)
1
解: Y(s) s(s 1)(s 2)
解:
a1 9 a2 8 a3 0 b0 0 b1 1 b2 4 b3 1 h1 b1 - a1b0 1 - 9 0 1 h2 (b2 - a2b0 ) - a1h1 (4 - 8 0) - 91 -5 h3 (b3 - a3b0 ) - a2h1 - a1h2 (1- 0 0) - 8 1 - 9 (-5) 38
试写出该系统的状态空间表达式。方框图如下：
u
+
X 2
X2 X1
X1 y
-3 -2
解: 选取 x1 y
x2 x 1 y
则有 x 1 x 2
x2 2x1 3x2 u
x 1
x 2
-
0 2
-
1 x1
3
x
2
状态空间表达式也不同。
2.作用函数含导数项时的n阶线性系统的状态空
间表达式
(1).直接法:
y (n) a1y (n1) an1y an y b 0u(n) b1u(n1) bn1u bnu
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1
Sb AbR31C1 R3C2
R31C1R31C1R11C1R32C 11C2 R31C2R31C2R21C2R32C 11C2
当 R 1R 2,且 C 1C 2时， rankS=2=n，系统可控 当R 1R 2,且 C 1C 2时， rankS=1<n，系统不可控
由电路图可知：R1R2,C 时1，C2 x1 x2 即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
对于 1 有5：
5 1 0 0 0 1
ran 1kIA Bran0 0k
5 0
10 5 1
1 0
1 04
0 0 5 5 2 0
对于 1 有：5
5 1 0 0 0 1
ran 1IkABran 0 0 k5 1 0 50Fra bibliotek11 0
1 04
0 0 5 5 2 0
满足PBH判据充要条件，所以该系统可控。
其中：W (0,t) t1eAtBT B eATtdt——格拉姆矩阵 0
显然，用此判据需要求eAt，再求积分。通常只用于理论分析、证明。
2）秩判据
（A,B）状态完全可控 可控性矩阵S满秩 。
其中：S B A A 2 B B A n 1 B
即当 rank(S)=n （满秩），则系统完全可控 。
例9-3 判断已知系统的可控性。
x 1 1 x20 x3 0
3 2 1
2x1 2 0x21 3x3 1
1 11u u12
解：可控性判别阵为:
S BAA B 2 B
2 1 33 22 55 44
1
1
22
22
44
44
1 1 22 22 44 44
可见，rankS=2<3，系统不可控。
uC1 uC2
C1
C2
R1
R2
3）PBH判据(由波波夫、贝尔维奇提出，豪塔斯应用)
判据：(A,B)状态完全可控
对系统矩阵A的所有特征值λi ，有：
rank[λiI-A B] = n， i=1,2,3…n 成立，则系统完全可控。
例9-7 已知线性定常系统的状态方程，试判断系统可控性。
0 1 0 0 0 1
Ui(s) 1/L
sX1 1/s X1=iL
-s1 sX2 1/s X2=uc
-s2
电桥平衡时，uc≡0，即电容上的电压uc不受输入电压ui控制 。
例9-5 网络如图，试用可控性判据判断其可控性。
解：该电路的微分方程为：
R 3 i1 i2 x 1 x 2 u
x 1R 1 i2 x 2R 2 i4 i1i2i3i4 x 1C 11i1 x 2C 12i3 其中：
4）PBH特征向量判据
判据：(A,B)状态完全可控
对A的任意特征值λi ，均有满足：
α α
T T
A B
i
0
α
T
的特征向量 α0
该判据主要用于理论分析，特别是线性系统的复域分析。
5）约当规范型判据
① A为对角标准型，且A的特征值 1,2,n 互异）
1
x
2
x Bu
n
结论：当 AΛ时，B无全零行，则系统可控。
例9-8 已知线性定常系统，试判定系统的可控性。
x1 8 x20 x3 0
0 1 0
0x1 0 0x23 2x3 0
1 02uu12
解：规范型中B阵不包含元素全为零的的行，故系统完全可控.
②约当标准型（设 1 为m重特征根），
1 1
1 1
AJ
1
... ...
1
B
1mm
Bm m1
R 1 R 2 R 3 R 4 (R 1 R 2 )R (3 R 4 )
u
rankS=1<n=2，系统不可控。
由状态方程易知，此时 x2是不可控变量。
iL
L
R1
iL R3
uc R2 C
R4
x x 1 2L 1R R 11 R R 202R R 33 R R 44
C 1R1 1R 02R3 1R4x x1 2L 1 0u
3）系统不完全可控
状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的。
几点说明:
①要求（t0，t1）是有限时间间隔；对转移的形式和路线没有要求， 即可控性表征系统运动的一个定性的特性； ②关于u(t)：对u(t)的幅值没有限制，但要求必须是容许控制，即：
tt0|u i(t)|2d tt0,t T t,i1,2...p...
x 0 0 1 0x 1 0u 0 0 0 1 0 1 0 0 5 0 2 0
解：1）利用秩判据：
0 1 11 00....
可控性矩阵 S B A A 2 B A 3 B 10
0
00
11
....
1 00 11....
rank (S) =
4 = n，所以该系统可控。
2
0
00
55....
1 1
0 0 0
0
1
1
0
0
1
0 2 0
A
1 21
B
0
0
0 0
4
0
02
1 2 0
2
0
3
3
5
3 0 0
1 0 0 0 2 0 0 0 4
1 2 0 0 3 3 3 0 0
br11 1 0 0 B1 br12 0 2 0
br13 0 0 4
B2bbrr222110
结论：只要 Bm 不是全零行,则系统完全可控。 例9-9 已知系统矩阵及输入矩阵，试判断其可控性。
1 1 | 0
A
0 —
1 —
| —
0
—
0
0
|
2
1
B
21 —
20
4
35
—
30
J最后一行不全为零 Λ块对应的B没有全零行
该系统是完全可控的.
③设
为5重特征根，有如下约当型
1
1 1
若不能由y(t)(t∈Tt)唯一确定所有状态x(t0),则称系统不完全可观测， 简称不可观测。
9-1-4 线性定常系统可控性判据
考虑线性定常系统：
x (t)A(tx )B(tu )
x(t)——n维向量； u(t)——p维向量；系统简记为：(A,B)
1)格拉姆矩阵判据
（A，B）状态完全可控
存在t1，使W(0,t)非奇异，
iL
R3 R1
i2
i1
C x1
1
u
R2
i4 i3 C2x2=y
例9-6 网络如图，试用可控性判据判断其可控性。
解：设 x1uC 1,x2uC2 得状态方程：
xx 12R011C1
0 1
1
xx12R11C1u
R2C2
R2C2
u
1
S[b
Ab]
R1C1 1
R2C2
(R11C1)2
(R21C2)2
当R 1R 2,且 C 1C 2时，rankS=1<n，系统不可控 由电路图可知：R 1R 2,且 C 时1，C 2 x1 x2 即不能通过u使x1，x2到达任意状态。
亦即u(t)的每一个分量ui(t)在Tt上平方可积；
③对线性定常系统，在[t0，t1]上考虑与在[0，t1-t0]上考虑是等价的，即
可控性与t0无关。 ④系统可控 系统状态完全可控
若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控； ⑤终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。
4）状态可达与系统可达
状态可达：初始坐标原点 u(t) 某终端状态xf 系统可控：状态完全可控，体现x0的任意性 系统可达：状态完全可达，体现xf的任意性 应指出：线性定常系统：可控性与可达是等价的；
但对离散系统和时变系统，严格地讲，二者并不等价。
9-1-3 可观测性的基本概念
考虑线性时变系统,u(t)=0：
x(t) A(t)x(t) y(t) C(t)x(t)
其可控性矩阵为：
Sb
1
AbL
0
L12 RR11RR22
R3R4 R3R4
L1CR1R2R2
R4 R3R4
当 R4 R2 时，rankS=2=n，系统可控。
R3 R4 R1 R2
当电桥处于平衡状态，由于R1R4=R2R3，使得：
R 2 R 4 R 2 (R 3 R 4 ) R 4 (R 1 R 2 ) 0
b2=0，x2不可控 c1=0，x1不可观
c2=0，x2不可观
例9-2 已知系统状态空间表达式，
x
1
0
1 1
x
b1 b2
u
y c1 c2x
x x12 11xx12xb22ub1u y c1x1 c2x2
U(s) b1
- λ1
sX1 1/s X1 c1
Y(s)
b2
sX2 1/s X2 c2
例9-4 桥式网络如图，试用可控性判据判断可控性。
解：该桥式电路的微分方程为： iLi1i2i3i4 R4i4ucR3i3 R1i1ucR2i2 LddL itR1i1R3i3 u
iL
L u
R1
R2
uc
C
iL
R3
R4
选取状态变量x1=iL ，x2=uc ，消去中间变量，得：
x x 1 2C 1L 1R R 1 R R 1 1 2 R R R 2 22 R R 3 R R 3 3 4R R R 4 44 L 1C 1R R 1R 1 1 1R R 22 R R 3R 3 1 3R R 44x x1 2L 1 0u
设：初始时刻t0；初始状态x(t0)；时间定义区间：Tt=(t0，t) 在有限时间(t0→t1)内，能由输出y(t) (t∈Tt)唯一确定初态值x(t0),