2014全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题1(数学)
2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 圆锥曲线
圆锥曲线(推荐时间:70分钟）1．如图，F1,F2分别是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2＝60°。
(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为40错误!，求a,b的值．解（1）设椭圆的半焦距为c。
由题意可知，△AF1F2为等边三角形，所以b＝错误!c，b2＝3c2,a2＝4c2，a＝2c，所以e＝错误!.(2）方法一因为a2＝4c2,b2＝3c2，所以直线AB的方程可设为y＝－错误!(x－c）．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B错误!。
所以｜AB|＝错误!·错误!＝错误!c。
由S△AF1B＝12｜AF1｜·|AB|sin∠F1AB＝错误!a·错误!c·错误!＝错误!a2＝40错误!，解得a＝10，b＝5错误!。
方法二设｜AB｜＝t。
因为｜AF2｜＝a，所以｜BF2|＝t－a。
由椭圆定义|BF1|＋|BF2｜＝2a可知，｜BF1｜＝3a－t。
再由余弦定理（3a－t）2＝a2＋t2－2at cos 60°可得，t＝错误!a。
由S△AF1B＝错误!a·错误!a·错误!＝错误!a2＝40错误!知,a＝10，b＝5错误!.2．已知△ABC中,点A，B的坐标分别为(－错误!,0)，（错误!，0），点C 在x轴上方．(1)若点C坐标为(2，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程;(2)过点P(m,0）作倾斜角为错误!π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q（1，0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．解（1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，c＝错误!，2a＝|AC|＋｜BC|＝4,b＝错误!,椭圆方程为错误!＋错误!＝1。
（2）直线l的方程为y＝－（x－m)，令M（x1，y1),N（x2，y2),由方程组错误!得3x2－4mx＋2m2－4＝0，即错误!若Q恰在以MN为直径的圆上，则错误!·错误!＝－1，则m2＋1－(m＋1）(x1＋x2）＋2x1x2＝0，3m2－4m－5＝0，解得m＝错误!.将m值代入Δ＝－8m2＋48〉0。
2014高考题---圆锥曲线(含答案)
高考数学试题汇编---圆锥曲线1. 【2014高考安徽卷文第3题】抛物线241x y =的准线方程是（ ）A. 1-=yB. 2-=yC. 1-=xD. 2-=x2. 【2014高考全国1卷文第4题】已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a （ ） A. 2 B.26 C. 25D. 1 3. 【2014高考大纲卷文第9题】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ） A.22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y+= 4. 【2014高考大纲卷文第11题】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（ ）A. 2B. 22C.4D.425. 【2014高考天津卷卷文第6题】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A .120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 6. 【2014高考广东卷文第8题】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ）A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等7. 【2014高考江西卷文第9题】过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 8. 【2014高考辽宁卷文第8题】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 9. 【2014高考全国2卷文第10题】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A ）303（B ）6 （C ）12 （D ）73 10. 【2014高考湖北卷文第8题】设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 311. 【2014高考重庆卷文第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )2 B.15 C.4 D.1712. 【2014高考四川卷文第10题】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．1728D ．101.【2014高考陕西卷文第11题】抛物线24y x =的准线方程为________.2. 【2014高考四川卷文第11题】双曲线2214x y -=的离心率等于____________. 3. 【2014高考上海卷文第4题】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 【2014高考北京卷文第10题】设双曲线C 的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点为()1,0，则C 的方程为 .5. 【2014高考浙江卷文第17题】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .6. 【2014高考江西卷文第14题】设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________.7. 【2014高考辽宁卷文第15题】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .8. 【2014高考湖南卷文第14题】平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = (1) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； (2) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （1） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.31. 【2014高考江西文第20题】，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y=相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求CMN ∆面积的最大值.35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （1）求椭圆的方程； （2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.38. 【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.40. 【2014高考重庆文第21题】如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.答案与解析：一、选择题：1-5：ADACA 6-10：DACCA 11-12：DB 二、填空题：1、1-=x2、25 3、2-=x 4、122=-y x 5、25 6、337、12 8、()()∞+⋃∞，，11-- 三、解答题：23. 【2014高考安徽卷文第21题】设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = (3) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ；(4) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率. 【答案】（1）5；（2）22. 【解析】试题分析：（1）由题意11||3||,||4AF F B AB ==可以求得11||3,||1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,||||28a AF AF a =+==.故21||2||835AF a AF =-=-=.（2）设出1||F B k =，则0k>且1||3,||4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的PBA M Fyx关系()(3)a k a k +-=，从而3a k =，212||3||,||5AF k AF BF k ===，则2222||||||BF F A AB =+，24. 【2014高考北京卷文第19题】已知椭圆C ：2224x y +=. （2） 求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.25. 【2014高考大纲卷文第22题】已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.26. 【2014高考福建卷文第21题】已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（2）求曲线Γ的方程；（3）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定||6AB =.试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则22|(3)|(0)(1)2y x y --=-+-=，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-， 所以22(0)(1)1x y y -+-=+， 化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.27. 【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题.28. 【2014高考湖北卷文第22题】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C . （1）求轨迹为C 的方程（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围. 【答案】（1）⎩⎨⎧<≥=)0(,)0(42x o x x y ；（2）当),21()1,(+∞--∞∈ k 时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点； 当)0,21[}21,1{--∈ k 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有两个公共点；当)21,0()211( -∈k 时，故此时直线l 与轨迹C 恰有三个公共点.所以此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点)1,41(.当0≠k 时，方程①的判别式为)12(162-+-=∆k k ②设直线l 与x 轴的交点为)0,(0x ，则由)2(1+=-x k y ，令0=y ，得kk x 120+=③ （i ）若⎩⎨⎧<<∆000x ，由②③解得1-<k 或21>k .即当),21()1,(+∞--∞∈ k 时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰有一个公共点. （ii ）若⎩⎨⎧<=∆000x 或⎩⎨⎧≥>∆000x ，由②③解得}21,1{-∈k 或021<≤-k ，29. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.【考点定位】椭圆双曲线向量向量内积30. 【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.由1F C AB ⊥得323()13b b a c c c ⋅-=-+，即42243b a c c =+，∴222224()3a c a c c -=+，化简得55c e a ==． 【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系． 31. 【2014高考江西文第20题】，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.（2）证明：动点D 在定直线上；（3）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.32. 【2014高考辽宁文第20题】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:+3l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.xyOP【答案】（Ⅰ）(2,2)；（Ⅱ）22163x y += 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设切点P 00(x ,y )00(x 0,,y 0)>>，由圆的切线的性质，根据半径OP 的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为004x x y y +=，建立目标函数000014482S x y x y =⋅⋅=．故要求面积最小值，26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=． 【考点定位】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．33. 【2014高考全国2文第20题】设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）7,27a b == 【解析】34. 【2014高考山东文第21题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求CMN ∆面积的最大值.由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mkx x k +=-+，因此121222()214my y k x x m k+=++=+， 由题意知，12x x ≠所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，35. 【2014高考陕西文第20题】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. （2）求椭圆的方程；（3）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||53||4AB CD =，求直线l 的方程.试题解析：（1）由题意可得312222bcaa b c⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,3,1a b c===∴直线l 的方程为1323y x =-+或1323y x =--考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.36. 【2014高考上海文第22题】在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分割线.37. 【2014高考四川文第20题】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 其判别式22168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩，解得1m =±. 此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积. 38.【2014高考天津文第18题】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.39. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =； （1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）)32,322(-M 或)32,322(M ；（2）1355256. 【解析】PBA M Fyx40. 【2014高考重庆文第21题】如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.由（Ⅰ）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P 得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y20. 【2014高考浙江文第22题】已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =； （1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.21.【2013浙江文22】已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点.若直线AO 、BO 分别交直线l ：y=x-2于M 、N 两点，求|MN|的最小值.PBA M Fyx。
2014届高考数学(理科)专题教学案：圆锥曲线的综合问题(含答案)
常考问题13 圆锥曲线的综合问题[真题感悟](2013·山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，由题意知2b2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图，由题意知|F 1M ||MF 2|＝|PF 1||PF 2|，即|PF 1|4－|PF 1|＝c ＋m c －m ＝3＋m 3－m ，整理得m ＝32(|PF 1|－2)． 又a －c <|PF 1|<a ＋c ，即2－3<|PF 1|<2＋ 3. ∴－32<m <32.故m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.法二 由题意知PF 1→·PM→|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM→|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM→|PF 2→|.设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0. 所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k x －x 0，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.所以Δ＝0.即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0.故k ＝－x 04y 0，由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0.所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 0x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0y 0＝－8.所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[考题分析] 题型 解答题难度 中档 有关椭圆、双曲线等知识的综合考查．高档 有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.1．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算． 2．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]； ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]； ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]； ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有①|OP |≥a ； ②|PF 1|≥c －a . 3．定点、定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 4．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.热点一 圆锥曲线的弦长问题【例1】 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40 3，求a ，b 的值．解 (1)设椭圆的半焦距为c .由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，所以b ＝3c ，b 2＝3c 2，a 2＝4c 2，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一 因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 所以直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－3 35c .所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1||AB | sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°， 可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403，知a ＝10，b ＝5 3.[规律方法] 在解析几何问题中，转化题目条件或者设参数解决问题时，根据题目条件，选择适当的变量是解题的一个关键，能够起到简化运算的作用(本例中可设|AB |＝t )．【训练1】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，A F →＝2F B →.(1) 求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2c －2a 3a 2＋b2. 因为A F →＝2F B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2c －2a 3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a＝23. (2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23，得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 热点二 定点、定值问题【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． (1)解 由题意知b ＝22＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 32＝1.(2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② 法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20， 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋43y 0－4282y 0－32＝8－4y 20＋43y 0－4282y 0－32＝32y 20－96y 0＋7282y 0－32＝82y 0－3282y 0－32＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 法二 设T (x ，y )联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3，因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋3y －422＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．[规律方法] (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【训练2】 (2013·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． (1)解 因为焦距为1，且焦点在x 轴上，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c.直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)，①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限． 解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2. 即点P 在定直线x ＋y ＝1上． 热点三 最值、范围问题【例3】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ABCD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 1－y 2x 1－x 2＝－1，由此可得b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12.所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.所以a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.所以可得|AB |＝463；由题意可设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 所以设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，解得x 1＝－2m ＋18－2m23，x 2＝－2m －18－2m 23，则|CD |＝2|x 1－x 2|＝439－m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3， 所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.[规律方法] 求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．【训练3】 已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A的坐标为(2,0)．(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；(2)若m＝3，求PA的最大值与最小值；(3)若PA的最小值为MA，求实数m的取值范围．解 (1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3， ∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则 PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3) ∴当x ＝94时，PA min ＝22；当x ＝－3时，PA max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m 2 ＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )． ∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1m2＞0， ∴2m 2m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2.备课札记：希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
2014年高考数学真题解析之圆锥真题(理科)
2014高考圆锥曲线真题汇总（理科）1．（满分14分）如图在平面直角坐标系x o y 中，12,F F 分别是椭圆顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.2．已知点A ()02-，,椭圆F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。
当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.3．已知椭圆C （0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii T 的坐标. 4．（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.5．如图，曲线C 由上半椭部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为（1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程. 6．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 7．（本小题满分13分）如图，已知双曲线()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥的右焦点1a ,点2a 分别在1b 的两条渐近线上，1b 轴，2112,a a b b ξη=-=-∥3n =(ξ为坐标原点）.（1）求双曲线ξ的方程；（2）过η上一点()p c 的直线与直线()p c 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，. 8（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 9．（本小题满分13分）的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.10的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，，12DF F ∆的面积为 （1）求该椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..11动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（１）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（２）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.12．（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已1232F F （1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线13．设1F ,2F 分别是椭圆M 是C 上一点且2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MNC 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2a,b.14．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.15．如图,O 为坐标原点,的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.16．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C .（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.17．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C的交点为Q （1）求C 的方程； （2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 18．已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.19．如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点. （1）证明：;//2211B A B A（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点.记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ,.参考答案1．（1（2【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,a b c的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,a b c 的方程，另外（2）要求离心率，就是要列出关于,,a b c 的一个等式，题设条件是1FC AB ⊥，即11F C AB k k ⋅=-，求1F C k ，必须求得C 的坐标，由已知写出2BF 方程，与椭圆方程联立可解得A 点坐标11(,)x y ，则11(,)C x y -，由此1F C k 可得，代入11F C A Bk k⋅=-可得关于,,a b c 的等式，再由可得e 的方程，可求得e . 试题解析：（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b，，解得1b =．∴椭圆方程为 （2）直线2BF 方程为联立方程组，解得A 点坐标为，则C 点坐标为又，由1F C A B ⊥得，即4223b a c c =+，∴22222()3a c a c c -=+，化简得【考点】椭圆标准方程，椭圆离心率，直线与直线的位置关系．2．（I （II 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（I ）由直线AF 求得2a =，再利用222b a c =-求b ，进而可确定椭圆E 的方程；（II ）依题意直线l 的斜率存在，故可设直线l 方程为2y kx =-，和椭圆方程联立得22(14k )x 16120kx +-+=．利用弦长公式表示利用点到直线l 的距离求OPQ ∆的高从而三角形OPQ ∆的面积可表示为关于变量k 的函数解析式()f k ，再求函数最大值及相应的k 值，故直线l 的方程确定．试题解析：（I ）设右焦点(c,0)F ，由条件知，，所以2a =，222b ac =-1=．故椭圆E 的方程为（II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设直线:l 2y kx =-，1122(x ,y ),Q(x ,y )P ．将2y kx =-得22(14k )x 16120kx +-+=．当216(4k 3)0∆=->，即又点O 到直线PQ 的距离d =所以OPQ ∆的面积则0t >，，当且仅当2t =时，0∆>．所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为 【考点定位】1、椭圆的标准方程及简单几何性质；2、弦长公式；3、函数的最值．3．（2）(3,0)T - 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析）【解析】试题分析：（1）因为焦距为4，所以2c =，由此可求出,a b 的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=.（ⅰ）设PQ 的中点为00(,)M x y ，求出,OM OT k k ，只要O M O T k k=，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用m 表示出PQ ，TF 可得：再根据取等号的条件，可得T 的坐标.试题解答：（1）2c =，又（2）椭圆方程化为2236x y +=.（ⅰ）设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 设PQ 的中点为00(,)M x y ，则又TF 的方程为0(2)y m x -=-+，则3x =-得y m =，OT 过PQ 的中点，即OT 平分线段PQ.当1m =±时取等号，此时T 的坐标为(3,1)T -±.【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4．(1)证明见解析；（2（3）证明见解析. 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析） 【解析】试题分析：本题属于新定义问题，（1）我们只要利用题设定义求出η的值，若0η<，则结论就可得证；（2）直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，首先直线与曲线无交点，即直线方程与曲线方程联立方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩，方程组应无实解，方程组变形为22(14)10k x --=，此方程就无实解，注意分类讨论，按二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线y kx =的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹E 的设其方程为y kx =，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数22()(1)44F x k x kx =+-+与的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断．()y F x =是开口方向向上的二次函数，()y G x =是幂函数，其图象一定有交点，因此直线y kx =不是E 的分隔线，过原点的直线还有一条就是0x =，它显然与曲线E 无交点，又曲线E 上两点(1,2),(1,2)-一定在直线0x =两侧，故它是分隔线，结论得证．试题解析：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔. （2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴ 又对任意点(1,0)和(1,0)-在曲线2221x y -=上，满足20k η=-<，被直线y kx =分隔，所以所求k 的范围是（3）由题得，设(,)M x y ，∴ 化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅= ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =. 联立方程，2222432[(2)]1(1)4410x y x k x kx x y kx⎧+-⋅=⇒+-+-=⎨=⎩.令2432()(1)441F x k x kx x =+-+-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0F F k =-⋅-+<， 所以方程()0F x =有实解，直线y kx =与曲线E 有交点．直线y kx =不是曲线E 的分隔线． ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.显然0x =与曲线222[(2)]1x y x +-⋅=没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线0x =是E 分隔线．综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线. 【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.5．（1）2a =，1b =；【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷带解析） 【解析】试题分析：（1）由上半椭圆和部分抛物22:1(0)C y x y =-+≤公共点为,A B ，得1b =，设2C 的半焦距为c ，由2221a c b -==，解得2a =；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为，(1,0)B ，易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，故可设其方程为(1)(0)y k x k =-≠，并代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-=，，又(1,0)B ，得得点P 的坐标同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----，最后由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ,故直线l试题解析：（1）在1C 方程中，令0y =，得(,0),(,0)A b B b - 在2C 方程中，令0y =，得(1,0),(1,0)A B - 所以1b =设2C 的半焦距为c ，由及2221a c b -==，解得2a = 所以2a =，1b =（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为，(1,0)B 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中，整理得：2222(4)240k x k x k +-+-= （*）设点P 的坐标(,)P P x y又(1,0)B ，得所以点P 的坐标为同理，由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- ，(1,2)AQ k k =-+u u u rAP AQ ⊥Q0AP AQ ∴⋅=u u u r u u u r ,0k ≠Q ，4(2)0k k ∴-+=，解得故直线l 的方程为考点：椭圆和抛物线的几何性质；直线与圆锥曲线的综合问题.6．（I ）24y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16. 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷带解析） 【解析】试题分析：（I 解得3t p =+或3t =-（舍去）.得2p =.抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，可得02D x x =+，即0(2,0)D x +，直线AB 根据直线1l和直线AB 平行，可设直线1l 的方程为直线AE 恒过点(1,0)F .注意当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，得到结论：直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 设直线AE 的方程为+1x my =，根据点00(,)A x y 在直线AE 上， ，再设11(,)B x y ，直线AB应用点B 到直线AE从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值. 试题解析：（I设(,0)(0)D t t >，则FD因为||||FA FD =， 解得3t p =+或3t =-（舍去）. ，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>， 因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为设(,)E E E x y ，则当204y ≠时， 可得直线AE由2004y x =，直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ，设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上，设11(,)B x y ，直线AB由于00y≠，所以点B到直线AE的距离为则ABE∆的面积即01x=时等号成立.所以ABE∆的面积的最小值为16.考点：抛物线的定义及其几何性质，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用.7．（12【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷带解析）【解析】试题分析：（1）求双曲线ξ的方程就是要确定a的值，用a,c表示条件：1b轴，2112,a a b b ξη=-=-∥3n =，即可得：直线OBOAAB ⊥OB ，解得23a =，故双曲线C2）本题证.分别用坐标表示直线l 与AF及直线l 与直线的交点为)，并利用化简.： 试题解析：（1）设(,0)F c ，因为1b =，所以直线OB又直线OA又因为AB ⊥OB ，解得23a =，故双曲线C （2）由（1，则直线l 的方程为因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF直线l 与直线因为是C考点：双曲线方程，直线的交点8．（1（2）220013x y +=.【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）【解析】 试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. 试题解析：（1解得2b =，因此椭圆C 的标准方程为（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 化简得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k k x y y --+-=的两根，则化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题. 9．存在【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷带解析） 【解析】试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==,(2)首先分类讨论直线l 的位置..再讨论直线l 不垂直于x 轴,由OAB ∆的面积恒为8,由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线l 有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.所以从而双曲线E (2)由(1)知,双曲线E设直线l 与x 轴相交于点C.当l x ⊥轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,又因为OAB ∆的面积为8,此时双曲线E 的方程为 若存在满足条件的双曲线E,则E 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E.设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k>2或k<-2.记1122(,),(,)Ax y Bx y .由2y x y kx m=⎧⎨=+⎩,得,同理得.由得,由得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<,所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,又因为224(4)m k =-.所以∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E,且E考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.10．（1（2【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析）【解析】试题分析：（1）由题设知()()12,0,,0F c F c -其中222c ab =- 结合条件12DF F ∆的面积为，可求c 的值，再利用椭圆的定义和勾股定理即可求得,a b 的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点为()()111222,,,P x y P x y 由圆的对称性可知1212,x x y y =-=，利用()()111222,,,P x y P x y 在圆上及11220PF P F ⋅=u u u u r u u u u r确定交点的坐标，进而得到圆的方程.解：（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，故1c =.，由112DF F F ⊥得（2）如答（21）图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--u u u u r u u u u r ，再由11F P ⊥22F P得()221110x y -++=，即211340x x +=，10x =.当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C . 由11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P ，知21CP CP ⊥，又12||||CP CP =故圆C 的半考点：1、圆的标准方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆的位置关系；4、平面向量的数量积的应用.11．（1）点P 的坐标为（2）详见解析． 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷带解析） 【解析】试题分析：（1）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标，由已知椭圆动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，可设出直线l 的方程为()0y kx m k =+<，结合椭圆方程，得，消去y 得，()22222222220ba kxa kmx a m ab +++-=，令0∆=，得22220b m a k -+=，即2222b a k m +=，代入原式得点P 的坐标为，再由点P 在第一象，可得点P 的坐标为（2）点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -，由直线1l 过原点O 且与l 垂直，得直线1l 的方程为0x ky +=，利用点到直线距离公式可得，即，由式子特点，需消去k 即可，注意到即可证明．（1）设直线l 的方程为()0y k x m k =+<，由，消去y 得，()22222222220ba kxa kmx a m ab +++-=，由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故0∆=，即22220b m a k -+=，解得点P 的坐标为，由点P 在第一象限，故点P 的坐标为 （2）由于直线1l 过原点O ，且与l 垂直，故直线1l 的方程为0x ky +=，所以点P 到直线1l 的距离，整理得，因为时等号成立，所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.点评：本题主要考查椭圆的几何性质，点单直线距离，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何得基本思想方法，基本不等式应用等综合解题能力。
2014全国各地数学高考试题圆锥曲线、数列、导数专项训练答案
考点14 圆锥曲线及其标准方程【4】（A ，新课标Ⅰ，理10）、C 解析：如图所示,过点Q 作QM l ⊥ 于M ，则||||QM QF =， ∵4FP FQ = ∴||3||4PQ PF = 由相似三角形的性质，可知||||||4PQ QM PF =，∴||||3QF QM ==. 【5】（A ，广东，文8）、D 解析：05k <<，∴50k ->，160k ->，从而两曲线都为双曲线，又16(5)(16)5k k +-=-+，故两双曲线的焦距相等.【6】（A ，广东，理4）、D 解析：09k <<，∴90k ->，250k ->，故两曲线都为双曲线，又25(9)(9)k k +-=-+，故两双曲线的焦距相等.【9】（B ，全国大纲，文9理6）、A解析：1AF B ∆的周长为11||||||AF AB F B ++1221||||||||AF AF F B F B =+++ 1221(||||)(||||)AF AF F B F B =+++ 224433a a a a =+==⇒=.而离心率33331333c e c a a ==⇒=⨯=⨯=， 所以222312b a c =-=-=， 从而所求椭圆的方程为22132x y +=. 【10】（B ，全国大纲，理9）、A解析：根据双曲线定义可得12||||2F A F A a -=，又因为12||2||F A F A =，所以21||2,||4AF a AF a ==，而离心率22ce c a a==⇒=，所以12||4F F a =，在12AF F ∆中，由余弦定理得222212121212||||||cos 2||||AF F F AF AF F AF F F +-∠=2224161612244a a a a a +-==⨯⨯.【11】（B ，全国大纲，文11）、C解析：设双曲线右焦点坐标为(,0)c ，由双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=得：223bc a b =+，结合222a b c +=和2ca=得：2c =，所以24c =. 【12】（B ，天津，文6理5）、AQ (2,0)Px y F O M第4题图解析：∵渐近线斜率为2，∴2=b a，∵焦点为（-5，0），∴5c =，∵222+=a b c ，∴225,20==a b .【13】（B ，重庆，文8）、D解析：由题意223,12|PF |-|PF b ab =-（|）得,3422ab b a -=得b a =4，4=ab， 所以1722222=+===ab a ac a c e . 【14】（B ，重庆，理8）、B解析：设P 在右支上，12||||2PF PF a -=，因12129||||3,||.||,4PF PF b PF PF ab +==所以 212(||||)PF PF -=212(||||)PF PF +-124PF PF ⋅，即ab b a 99422-=，由222c b a =+得35=a c . 【16】（B ，山东，理10）、A 解析：由已知得2231()1()2b b aa-⋅+=， 所以12b a =，双曲线的渐近线方程为12y x =±， 即20x y ±=.【17】(B ，辽宁，理10)、D 解析：∵点()2,3A -在抛物线2:2C y px =的准线上，∴2,42pp -=-=，∴()2,0F ，设过A 的切线的斜率为k ，则切线方程为()32y k x -=+.解方程组()2328y k x y x⎧-=+⎪⎨=⎪⎩， 得23208y k y k ⋅-++=. ∵方程组只有一组解，∴方程有一个解()()2142308kk ∆=--⨯+=， ∴()2230k k -+=，∴22320k k +-=，∴12k =，或2k =-(负值舍去). AB O Fyx第17题图∴214028y y ⋅-+=，∴216640y y -+=， ∴()8,8B ，∴804823k -==-. 【18】（C ，湖北，理9）、A解析：设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=， 所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为6021=∠PF F ，由余弦定理得))(()()(41121212a a a a a a a a c -+--++=，所以212234a a c +=，即221134e e +=， 由柯西不等式知：111433e e +≤. 【19】（C ，福建，理9）、D解析：圆22(6)2x y +-=的圆心(0,6)C ,半径2r =，设 00(,)Q x y ，则2200110x y +=， 22220000(6)1010(6)CQ x y y y =+-=-+- 2029()503y =-++，当023y =-时，CQ 取得最大值52，所以PQ 的最大值是5262r +=.【20】（A ，北京，文10）、221x y -=解析：由题意知双曲线焦点在x 轴上，2=c ，据顶点坐标知1a =.由221c a +=求得1b =，则双曲线C 的方程为221x y -=.【21】（A ，北京，理11）、22-=1312x y ；2y x =±． 解析：双曲线1422=-x y 的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为x y 2±=.设C ：mx y =-224并将点()2,2代入C 的方程，解得3-=m 故C 的方程为3422-=-x y ，即112322=-yx ．【22】（A ，上海，文4理3）、2x =-解析：因椭圆 22195x y +=的2c =，所以22p=，所以抛物线的准线方程为2x =-. 【23】（A ，四川，文11）、52解析：由题意，1,2==b a ，所以5=c所以，25==a c e . 【24】（A ，陕西，文11）、1-=x解析：由抛物线准线定义知，准线方程为：1-=x .【25】（B ，江西，文14）、33解析：设点O 为坐标原点，在12Rt F F B ∆中，O 为12F F 的中点，2BF x ⊥轴，OD x ⊥轴，所以点D 为1F B 的中点，又1AD F B ⊥，所以1AF AB =，由椭圆对称性知122AF AB AF ==，通径22b AB a =，所以21232b AF AF a a +==，易得33e =. 【26】（B ，安徽，理14）、12322=+y x解析：由题意，22b AF =，)3,35(2b c B --代入椭圆方程中得：32,3122==b c ，所以:E 12322=+y x .【27】(B ，辽宁，文15理15)、12解析：设线段MN 的中点为P ，连结12,PF PF .∵M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ， ∴1222412AN BN F P F P a +=+==.OxyBANF 1F 2MPE FG xyAB CD O第27题图 第28题图【28】（B ，湖南，理15）、2+1解析：如图，因为原点O 为AD 的中点，抛物线()2:20M y px p =>经过点C ，所以点D为抛物线M 的焦点、直线AB 为抛物线M 的准线.又因为点F 在抛物线M 上，所以DF a b =+，即2b a b =+，解得21ba=+. 【29】（C ，山东，文15）、y x =±解析：由题意知2224p a c +=，所以2p b =，所以 由点(,)c b -在双曲线上可得222c a =，即a b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±.【30】（B ，重庆，理21）解析：（I ）设).0,(),0,(21c F c F -其中222b ac -=由22121=DF F F 得.2222211c F F DF ==从而.222221221121==⋅=∆c F F DF S F DF 故1=c 从而.221=DF 由211F F DF ⊥得292212122=+=F F DF DF 因此.2232=DF 所以22221=+=DF DF a ，故2=a ，.1222=-=c ab 因此，所求椭圆的标准方程为.1222=+y x （II ）如下页图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆222x y +1=相交，111(,)P x y ，222(,)P x y 是两个交点，10y >,20y >.2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥.由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =，121||2||PP x =. 由（I ）知).0,1(),0,1(21F F -所以1111(1,)FP x y =+， 2211(1,)F P x y =--. 再由2211P F P F ⊥得0)1(2121=++-y x .由椭圆方程,122121=+y x 知1)1(22121=++x x ， 即043121=+x x 解得 143x =-或10x =.当01=x 时，21,P P 重合，此时题设要求的圆不存在.当341-=x 时，过21,P P 分别与2211,P F P F 垂直的直线的交点即为圆心C . 由2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥，21CP CP ⊥，又.21CP CP =故圆C 的半径.2342221211===x P P CP 【31】（C ，重庆，文21）解析：（I ）设12(,0),(,0)F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =得1212222F F DF c ==从而，c F F DF S F ΔDF 222221221121===1c = 从而22DF 1=，112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，所以2322DF = yxP 1P 2DF 1F 2OC第30(II)、31(II)题图所以12222a DF DF =+=，故2a =，2b =221a c -=.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=.（II ）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，111222(,),(,)P x y P x y 是两个交点，01>y ，02>y ，1122,F P F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥.由圆和椭圆的对称性易知2112,x x y y =-=由（I ）知12(1,0),(1,0)F F -. 所以11112211(1,),(1,)F P x y F P x y =+=-- 再由1122F P F P ⊥得2211(1)0x y -++=.由椭圆方程得2121)1(21+=-x x ，即043121=+x x ，解得341-=x ，或01=x . 当10x =时，12,P P 重合，题设要求的圆不存在.当143x =-时，过12,P P 分别与1122,F P F P 垂直的直线的交点即为圆心C .由2211,P F P F 是圆C 的切线，且2211P F P F ⊥，21CP CP ⊥，又.21CP CP =故圆C 的半径.2342221211===x P P CP 设0(0,)C y ,由111CP F P ⊥,得10111 1.1y y y x x -⋅=-+ 而11113y x =+=，故05.3y =综上，存在满足题设条件的圆，其方程为22532()39x y +-=. 考点15 直线与圆锥曲线【1】（B ，新课标II ，文10）、C解析：法1 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线方程得3(,0)4F ，依题设直线AB 方程为33()34y x =-，由方程组233()343y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消y 得2219216x x -+0=， ∴21AB k a =+V 144191344=+-12=.法2 易得抛物线23y x =的焦点()3,04F ，从而直线AB 的方程为：33()34y x =-. 由233()343x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩消y 得21616890x x -+=，所以12212x x +=，12||=3122x x AB ++=.【2】（B ，新课标II ，理10）、D解析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线方程得3(,0)4F ，依题意设直线AB 方程为33()34y x =-，由方程组233()343y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩消x 得293304y y --=，∴1233y y +=，1294y y =-， ∴12y y -21212()46y y y y =+-=，012113962244A B S OF y y ∆∴=⨯⨯-=⨯⨯=.【3】（B ，湖北，文8）、A 解析：由于b a ,是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，所以sin cos a b θθ+=-，0ab =过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点 的直线为222()b a y a x a b a--=--， 即y =(b+a)x -ab ，即sin cos y x θθ=-，因为双曲线22221cos sin x y θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-，所以过),(2a a A ),(2b b B ，两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为0．【4】（C ，四川，文10理10）、B解析：由题意)0,41(F ，设),(),,(222121y y B y y A ，由2=⋅OB OA ，知2212221=+y y y y ，所以221-=y y 或1，又点B A ,在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以221-=y y .而AFO ∆的面积⨯=211S ||81||4111y y =⨯，设直线AB 与x 轴的交点为C ，直线AB 的方程为)(212122121y x y y y y y y ---=-，令0=y ，知21y y x -=，即2||=OC ，所以ABO ∆的面积|2|||22111122y y y y S +=-⨯⨯=，故=+21S S |2|||89||81|2|11111y y y y y +=++3≥，当且仅当|2|||8911y y =，即34||1=y 时等号成立.【5】（B ，江西，理15）、22解析：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则2A B x x +=，2A B y y +=，将,A B 两点代入椭圆方程得222222221(1)1(2)A AB B x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由(1)(2)-得 22()()()()0A B A B A B A B x x x x y y y y a b +-+-+=则22221()02a b +⋅-=，即222222()a b a c ==-，可得离心率22e =. 【6】（B ，浙江，文17理16）、52解析：不妨设A 点为直线30x y m -+=与渐近线b y x a =的交点，联立30x y m by x a -+=⎧⎪⎨=⎪⎩可得：33am x b abm y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即A 点的坐标为,33am bm A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，同理可得,33am bm B b a b a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.令AB 中点为C ，则()()()()223,3333ma mb C b a b a b a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭.由PA PB =，所以PC AB ⊥，即1PC AB k k ⋅=-.因为13AB k =，所以3PC k =-.因为点(),0P m ，所以()()()()()2222223333=3933mb b a b a b ma a b a m b a b a +-=----+- 所以，222554542c a e e =⇒=⇒=. 【7】（B ，湖南，文14）、()1(1)-∞-+∞，，解析：机器人的运动轨迹方程为24y x =，设过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =+，代入24y x =，整理得2222(24)0k x k x k +-+=，所以22222(24)416160k k k k ∆=--⨯⨯=-+<，解得：()1(1)k ∈-∞-+∞，，.【8】（B ，新课标I ，理20）解析：（I ）设(,0)F c ，∵2233c =∴3c = 又∵32c a =∴2a =∴2222(3)1b =-=故E 的方程为2214x y +=. （II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设:2l y kx =-，()11,P x y ，22(,)Q x y ，由22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得 22(14)16120k x kx +-+=. ∵直线l 与E 交于P 、Q 两点∴()222=(16)412(14)16430k k k ∆--⋅⋅+=->即234k >∴222224143=11441k k PQ k k k ∆+⋅-+=++ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+.∴OPQ ∆的面积221443241OPQk S d PQ k ∆-=⋅=+ 设243(0)k t t -=>，则2243k t =+∴244414424OPQ t S t t t ∆==≤=++ 当且仅当2t =即72k =±时等号成立所以，当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为722y x =-或722y x =--. 【9】（B ，新课标II ，文20理20）解析：(I)根据22c a b =-及题设知2(,)b M c a，223b ac =，将222b ac =-代入223b ac =，解得12c a =，2c a =-（舍去）.故C 的离心率是12.(II)由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =……①，由 15MN F N =得112DF F N =.设11(,)N x y ，由题意知10y <，则112(),22,c x c y --=⎧⎨-=⎩即113,21,x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程，得2229114c a b +=. ②将①及22c a b =-代入②得229(4)1144a a a a-+=，解得7a =，2428b a ==故，7a =，27b =. 【10】（B ，湖北，文22理21）解析：（I ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+，即22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（II ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<. 依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+ 由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =.故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①216(21)k k ∆=-+- ②，设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，得kk x 120+-=. ③ （i ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1-<k ，或21>k .即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l与轨迹C 恰好有一个公共点.（ii ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（iii ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（I ）（II ）可知，当(,1)k ∈-∞-1(,)2+∞ {0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.【11】（B ，江西，文20） 解析：（I ）设直线AB 方程为2y kx =+，代入24x y =，得24(2)x kx =+，即2480x kx --=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：128x x =-，直线AO的方程为11yy x x =；BD 的方程为2x x =.解得交点D 的坐标为2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.由于128x x =-，2114x y =，则有121122112y x y x x y x x ===-， 因此动点D 在定直线2y =-上（0x ≠）.（II ）依题意知切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为(0)y ax b a =+≠，代入24x y =得24()x ax b =+，即2440x ax b --=，由2(4)160a a ∆=+=，化简整理得2b a =-，故切线l 的方程可写为2y ax a =-.分别令2 2y y ==-、得 1222(,2), (,2) N a N a a a+-+-，则222222122()4()8MN MN a a a a-=-+-+=，即2221MN MN -为定值8.【12】（B ，江苏，文理17） 解析：（I ）22==a BF ，又⎪⎭⎫ ⎝⎛3134，C ，∴131234222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b ，解得1=b .所以椭圆方程为1222=+y x ； （II ）直线2BF 方程为1=+byc x ，与椭圆方程12222=+b y a x 联立方程组，解得A 的坐标为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+223222,2c a b c a c a ， 则C 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++223222,2c a b c a c a .∴13233F C b k a c c=+，又c bk AB -=， 由AB C F ⊥1得32313b b a c c c ⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭即42243b a c c =+，∴()4222223c c a c a +=-，化简得55==a c e . 【13】（B ，安徽，理19）解析：（I ）设直线21,l l 的方程分别为)0,(,2121≠==k k x k y x k y ，则由,1x k y =x p y 122=联立得).2,2(112111k p k p A 由,1x k y =x p y 222=联立得).2,2(122122k p k p A 同理可得),2,2(212211k p k p B ).2,2(222222k p k p B 所以)22,22(112121122111k p k p k p k p B A --= ),11,11(21221221k k k k p --= )22,22(122221222222k pk p k p k p B A --=),11,11(21221222k k k k p --=故,222111B A p pB A =所以，.//2211B A B A（II ）由（I ）知，.//2211B A B A 同理可得 .//,//22112211A C A C C B C B所以111222~A B C A B C ∆∆因此，2221121)(B A B A S S =.又由（I ）中的 ,222111B A p p B A =知.212211p p B A B A =故.222121p p S S =【14】（B ，辽宁，文20）解析：（I ）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由于22000042x y x y +=≥，知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为()2,2.（II ）设C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>.点()()1122,,,A x y B x y .由点P 在C 上知22221a b +=，并由222213x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b ++-=， 又12,x x 是方程的根，因此12221224362x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.由11223,3y x y x =+=+，得241224824822b b AB x x b -+=-=⋅. 由点P 到直线l 的距离为32及13222PAB S AB ==△得429180b b -+=， 解得26b =或3，因此236,3b a ==(舍去)或223,6b a ==.从而所求的C 的方程为22163x y +=. 【15】（B ，辽宁，理20）解析：（I ）设切点坐标为()00,x y ()000,0x y >>， 则切线斜率为0x y -，切线方程为 ()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=， 此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为000014482S x y x y =⋅⋅=. 由于22000042x y x y +=≥，知当且仅当002x y ==时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此P 点的坐标为()2,2.由题意知222222213a b a b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221,2a b ==，故1C 的方程为2212y x -=. （II ）由（I ）知2C 的焦点坐标为()()3,0,3,0-，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >. 由()2,2P在2C 上，得22112213b b +=+，解得213b =，因此2C 的方程22163x y +=. 显然，l 不是直线0y =.设l 的方程为3x my =+，点()11,A x y ，()22,B x y .由223163x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得 ()2222330m y my ++-=，又12,y y 是方程的根，因此11212223232m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②由113x my =+，223x my =+，得1222122432662x x m m x x m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩③④因为()112,2AP x y =--，()222,2BP x y =--，由题意知0AP BP ⋅=，所以()12122x x x x -+ ()1212240y y y y +-++= ⑤ 将①②③④代入⑤整理得222646110m m -+-=，解得3612m =-或612m =-+. 因此直线l 的方程为36(1)302x y ---=或 6(1)302x y ++-=.【16】（B ，陕西，文20）解析：（I ）由题设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===，，，222213c a b a c b 解得1,3,2===c b a ，∴椭圆的方程为13422=+y x . （II ）由题设，以21,F F 为直径的圆的方程为122=+y x ，圆心到直线l 的距离52m d =，由1<d 得25<m .(*)∴212d CD -= 2245525412m m -=-=.设),(11y x A ，),(22y x B ，由221,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得 0322=-+-m mx x ，由求根公式可得m x x =+21，3221-=m x x .∴[])3(4)21(1222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=m m AB24215m -=.由435=CD AB 得 145422=--mm ，解得33±=m ，满足(*).∴直线l 的方程为3321+-=x y 或3321--=x y .【17】（B ，陕西，理20）解析：（I ）在1C ，2C 的方程中，令0=y ，可得1=b ，且)0,1(-A ，)0,1(B 是上半椭圆1C 的左右顶点.设1C 的半焦距为c ，由23=a c 及1222==-b c a 得 2=a .2=∴a ，1=b .（II ）法1 由（I ）知，上半椭圆1C 的方程为)0(1422≥=+y x y .易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为)0)(1(≠-=k x k y ，代入1C 的方程，整理得042)4(2222=-+-+k x k x k （*）.设点P 的坐标为),(P P y x ， 直线l 过点B ，∴1=x 是（*）的一个根.由求根公式，得，4422+-=k k x P ，从而482+-=k k y P ，点P 的坐标为)48,44(222+-+-k kk k .同理，由2(1)(0),1(0),y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为)2,1(2k k k ----. )4,(422-+=∴k k kAP ， )2,1(+-=k k AQ .AQ AP ⊥ ∴0=⋅AQ AP ，即[]0)2(44222=+-+-k k k k ，0≠k ，0)2(4=+-∴k k ，解得38-=k .经检验，38-=k 符合题意，故直线l 的方程为)1(38--=x y .法2 设直线l 的方程为)0(1≠+=m my x ，其余同解法1.【18】（C ，全国大纲，文22理21）解析：（I ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=， 所以8PQ p =，0822p p QF x p=+=+， 由题设得85824p p p+=⨯.解得2p =-或2p =， 所以C 的方程为24y x =.（II ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠），代入24y x =得2440y my --=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-，故AB 的中点为2(21,2)D m m +.222114(1)AB m y y m =+-=+.又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入24y x =，并整理得：2244(23)0y y m m +-+=. 设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m+=-，2344(23)y y m =-+.故MN 的中点为2222(23,)E m m m++-.22432214(1)211m m MN y y m m ++=+-=， 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=，即22222224(1)(2)(2)m m m m+++++222224(1)(21)m m m++= 化简得210m -=，解得1m =或1m =-.所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=.【19】（C ，北京，文19）解析：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为12422=+y x . 所以42=a ，22=b ，从而2222=-=b a c . 因此2=a ，2=c .故椭圆C 的离心率22==a c e . （II ）法1 设点A ，B 的坐标分别为()2,t ，()00,y x ，其中00≠x . 因为OB OA ⊥，所以0=⋅OB OA 即0200=+y tx ，解得02x y t -=，又422020=+y x ，所以()()202022-+-=y t x AB=()20200022-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x =4420202020+++x y y x=4822020++x x （4020≤<x ）. 4822020≥+x x （4020≤<x ），且当420=x 时等号成立. ∴28AB ≥.故线段AB 长度的最小值为22. （II ）法2 设00(,)A x y ，00(,)B y x λλ-，则02200224x x y λ=⎧⎨+=⎩ ∴ 2024x λ=2202220y λλ-=≥ ∴ 2220021||2(1)OA x y λ=+=+∴ 22||2(1)OB λ=+∴ 2222222(1)||||||AB OA OB λλ+=+=2212(2)2(22)8λλ=++≥+=当且仅当21λ=时取等号，故线段AB 长度的最小值为22. 【20】（C ，北京，理19）解析：（I ）椭圆的标准方程为：12422=+y x ，2=a ，2=b ，则2=c ，离心率22==a c e ． （II ）由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为kx y =．又OB OA ⊥.法1：①当0=k 时，()0,2±A ，易知)2,0(B ，此时直线AB 的方程为2=+y x 或2=+-y x ．原点到直线AB 的距离为2，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．②当0≠k 时，直线OB 的方程为x ky 1-=， 联立⎩⎨⎧=+=4222y x kx y 得点A 的坐标 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k k或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-22212,212k k k ； 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=21y x k y 得点B 的坐标()2,2k -，由点A 的坐标的对称性知，无妨取点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k kA 进行计算，于是直线AB 的方程为：()222212222212kk y x k kk-+-=+++=()k x kk k k 22112122++++-，即02221121222=++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k y k k x k k ，原点到直线AB 的距离 2211212222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=k k k k k d ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．综上知，直线AB 一定与圆222=+y x 相切．法2：①当0=k 时，()0,2±A ，易知)2,0(B ，此时2=OA ，2=OB ，222222=+=AB ，原点到直线AB 的距离22222=⨯=⋅=AB OBOA d ，此时直线AB 与圆222=+y x 相切．②当0≠k 时，直线OB 的方程为x ky 1-=，设()11,y x A ，()22,y x B ，则121x k OA +=， ()221y k OB -+=212k +=，联立⎩⎨⎧=+=4222y x kx y 得点A 的坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++22212,212k k k或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-22212,212k k k ； 于是22221121k k x k OA A ++=+=，212k OB +=．()()()2222221122142114kk k k k AB ++=++++=． 所以()22112212211222222=+++⋅++=⋅=k k k kk ABOB OA d ，直线AB 与圆222=+y x 相切．综上知，直线AB 一定与圆222=+y x 相切． （II ）法3：设00(,)A x y ，00(,)B y x λλ-，则02200224x x y λ=⎧⎨+=⎩ ∴ 2024x λ=2202220y λλ-=≥即21λ≥ ∴ 2220021||2(1)OA x y λ=+=+∴ 22||2(1)OB λ=+∴ 2222222(1)||||||AB OA OB λλ+=+=设点O 到直线AB 的距离为d ，则2222||||2||OA OB d AB ⋅==即2d = 所以直线AB 与圆222xy +=相切.【21】（C ，天津，文18）解析：（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为（c ，0）.由1232=AB F F ，可得2223a b c +=，又 222b ac =-，则2212c a =.所以椭圆离心率22e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212+=x y c c，设00(,)P x y 由1(,0)F c -，(0,)B c 有100(,)F P x c y =+，1(,)F B c c =，由已知，110FB FP ⋅=，即00()0x c c y c ++=又0c ≠，故有000x y c ++=. ①，因为点P 在椭圆上，故22002212+=x y c c. ②.由①②可得200340x cx +=，而点P 不是椭圆顶点， 故043x =-代入①得03c y =即点P 的坐标为4(,)33c c-. 设圆的圆心为11(,)T x y ，则142323c c c x -+==-，12323c ccy +==，进而圆的半径22115(0)()3r x y c c =-+-=.由已知有22222TF MF r =+，又222MF =，故有222225()(0)8339c c c c ++-=+，解得23c =所以，所求椭圆为22163+=x y .【22】（C ，天津，理18）解析：（I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为)0,(c 由1232=AB F F ，可得2223a b c +=， 又222b ac =-，则2212c a =. 所以椭圆离心率e =22. （II ）由（I ）知222a c =，22b =c .故椭圆方程为222212+=x y c c，设00P x ,y .（）由1F c 0,B(0,c)（-，），有100F P =x +c,y （），1F B =c,c （），因为以线段PB 为直径的圆经过点1F ，所以11F P F B =0⋅，即00()0x c c y c ++=，又0c ≠，故有000x y c ++=①，因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+= ②.由①②可得043020=+cx x . 而点P 不是椭圆顶点，故c x 340-=代入①得30cy =即点P 的坐标为)3,34(cc -.设圆的圆心为),(11y x T ，则1402323c c x -+==-，12323c cc y +==，进而圆的半径22115(0)()3r x y c c =-+-= 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =，由l 与圆相切，可得1121kx y r k -=+，即222()53331c k c c k --=+,整理得2810k k -+=，解得154±=k .所以，直线l 的斜率为415+或415-. 【23】（C ，上海，文22理22）解析：理解点被直线分割、直线为曲线的一条分割线是解题的关键.（I ）、（II ）只需直接用题设的定义即可.（I ）因(121)(12)0+-⋅--<，所以又定义知，点A 、B 被直线10x y +-=分割. （II ）双曲线的渐近线为12y x =±，当12k ≤-或12k ≥时，把y kx =代入双曲线2241x y -=得22(14)1k x -=.因2140k -≤，故上述方程无实数解，即直线y kx =与双曲线2241x y -=不相交，又存在两点(1,0),(1,0)-满足20k η=-<，根据分割线的定义，12k ≤-或12k ≥.（Ⅲ）法1 设(,)M x y ，根据题设得E 方程是22(2)||1x y x +-⋅=(0)x ≠.因0x =不满足上述方程，且以x -代x 上述方程不变知曲线关于y 对称，所以直线0x =是的一条分割线.若y kx =是E 的另一条分割线，代入E 的方程得222[(2)]1x kx x +-⋅=. 要直接证明这个方程有解是困难的，变形为2221(2)x kx x +-=，记221(2)y x kx =+-，221y x =，则1y 是开口向上的二次函数，2y 是关于y 轴对称的幂函数，它们总有交点，即直线y kx =与E 有交点，与分隔线的定义矛盾.所以E 有且仅有一条分割线0x =. （Ⅲ）法2（数形结合法）曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=满足：由(,)(,)F x y F x y -=知，曲线E 关于y 轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =-知，曲线E 关于y =2轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =--知，曲线E 关于点(0,2)中心对称；222221(2)10(2)=0x y x y x x+-⋅-=⇒--≥， [)(]1,00,1,x ∈-取曲线E 在y 右侧且20x →时y 趋于无穷大，可得y 轴为曲线E 的渐近线，得曲线E 上点的纵坐标范围为y ∈R ，数形结合可得曲线E 上任意一点与原点连线的斜率范围为R ，即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线.即通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分割线.（Ⅲ）法3（函数方程思想1）对于任意一条直线()y a a =∈R 与曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=，由22(),(2)10.y a a x y x =∈⎧⎪⎨+-⋅-=⎪⎩R 得 422(2)10x a x +--=，令2t x =，得 22(2)10t a t +--=.因2(2)40a ∆=-+>恒成立，且1210t t =-<，所以方程有正实数解0t ，存在与之相应的00x ≠，从而在E 上存在00(,)x y ，其与原点连线的直线斜率存在.即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线.所以，通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分割线.（Ⅲ）法4（函数方程思想2）对于任意一条直线()y kx k =∈R 与曲线E ：22(,)(2)10F x y x y x =+-⋅-=，由22(2)10.y kx x y x =⎧⎪⎨+-⋅-=⎪⎩得 222(1)2410k x kx x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，得方程2432(1)2410,k x kx x +-+-=令2432()(1)241f x k x kx x =+-+-，22(0)1,(1)(1)30,(1)(1)10(0)(1)0,(0)(1)0f f k f k f f f f =--=++>=-+><-<由函数的零点存在性定理，无论k 取何实数，函数()f x 在区间(0,1)(1,0)-和有实根，则过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分割线. 【24】（C ，江西，理20）解析：（I ）设(,0)F c ，可知21c a =+，直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 方程为1()y x c a =-，直线OA 的方程为1y x a=，则(,)c A c a ，(,)22c c B a -，()322AB c c a a k c a c --==-.又因为AB OB ⊥，所以31()1a a⋅-=-，解得 23a =，故双曲线C 的方程为2213x y -=.（II ）由（I ）知直线l 的方程为0013x xy y -=0(0)y ≠与直线AF ：2x =交点0023(2,)3x M y -；与直线32x =的交点0363(,)26x N y -. 则202220022200020(23)(3)(23)4(36)1333(2)4(6)x MF y x x y x NF y --==⋅-+-+ 由220013x y -=，代入整理得2243MF NF=，所求定值 为233MF NF=. 【25】（C ，四川，文20）解析：（I ）由已知可得，236==c a c ，， 所以6=a . 又由222c b a +=，解得2=b ，所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . （II ）设T 点的坐标为()m ,3-，则直线TF 的斜率m m k TF -=----=)2(30.当0≠m 时，直线PQ 的斜率mk PQ 1=，直线PQ 方程是2-=my x . 当0=m 时，直线PQ 方程是2-=x ，也符合2-=my x 的形式.设()()2211,,,y x Q y x P ，将直线PQ 的方程与椭圆方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x m y x ，消去x ，得()024322=--+my y m，其判别式为 ()0381622>++=∆m m .所以32,34221221+-=⋅+=+m y y m m y y ， ()312422121+-=-+=+m y y m x x .因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以QT OP =，即()()2211,3,y m x y x ---=所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=+343312221221m m y y m x x解得1±=m .此时，四边形OPTQ 的面积 212122y y OF S S OPQ OPTQ -⋅⋅⨯==32324)34(2222=+-⋅-+=m m m .【26】（C ，四川，理20）解析：（I ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧=-==+42222222b a c b b a ，解得2,622==b a .所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . （II ）（i ）由（I ）可得F 的坐标是)0,2(-，设T 点的坐标是),3(m -，则直线TF 的斜率m m k TF -=----=)2(30.当0≠m 时，直线PQ 的斜率mk PQ 1=，直线PQ 的方程是2-=my x . 当0=m 时，直线PQ 的方程是2-=x ，也符合2-=my x 的形式.设),(),,(2211y x Q y x P ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126222y x my x . 消去x ，得024)3(22=--+my y m ， 其判别式0)3(81622>++=m m ∆.所以32,34221221+-=+=+m y y m m y y ， 3124)(22121+-=-+=+m y y m x x .所以PQ 的中点M 的坐标为)32,36(22++-m mm 直线OM 的斜率3mk OM -=.又直线OT 的斜率3mk OT -=，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . （ii ）由（i ）可得，1||2+=m TF ，221221)()(||y y x x PQ -+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+-⋅-++=m m m m3)1(2422++=m m . 所以，222||1(3)||241TF m PQ m +=⋅+ 33)44(241)4141(24122=+⋅≥++++⋅=m m 当且仅当14122+=+m m ，即1±=m 时，等号成立，此时||||PQ TF 取得最小值.所以当||||PQ TF 最小时，T 点的坐标是)1,3(-或)1,3(--.【27】（C ，广东，文20理20） 解析：（I ）依题可知5c =，53c e a ==， 3a ∴=，222b a c =-=.∴椭圆C 的标准方程为22194x y += ①. （II ）法1 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标为(32±±，）；当切线的斜率存在且不为0时，设切线的方程为00()y y k x x -=- ②. 联立①②消去y ，得220049()36x kx y kx ++-=，即2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++-+--=因为直线与椭圆相切，所以0∆=，即2220000[18()]4(49)[9()36]0k y kx k y kx --+--=化简得2220000(9)2(4)0x k x y k y --+-= ③， 过点P 的两条切线互相垂直，∴③中的两根满足：121k k =-，∴2020419y x -=--，即220013x y += ④当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标满足④，所以点P 的轨迹方程为2213x y +=.（II ）法2 记两切线为12l l ，，依题意可设010cos :sin x x t l y y t θθ=+⎧⎨=+⎩ ②， 020cos()2:sin()2x x t l y y t πθπθ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ③，联立①②，消去x y ，，得 22004(cos )9(sin )36x t y t θθ+++=，即2200(45sin )(8cos 18sin )t x y t θθθ+++220049360x y ++-=，由0∆=，得200)sin 18cos 8(y x θθ+222004(45sin )(4936)x y θ=++-，化简得 200(4cos 9sin )x y θ+20(45sin )(4x θ=++ 20936)y - ④同理，得200[4cos()9sin()]22x y ππθθ+++22200[45sin ()](4936)2x y πθ=+++-，即)3694)(cos 9sin 4(20000-++-=y x y x θθ ⑤④+⑤，得)3694(1381620202020-+=+y x y x ， 化简，得132020=+y x .所以点P 的轨迹方程为2213x y +=.（II ）法3 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标为(32±±，）；当切线的斜率存在且不为0时，设切线的方程为00()y y k x x -=-.令3x X =，2yY =，则3x X =，2y Y =. 于是椭圆22194x y +=转化为圆221X Y +=，切线00()y y k x x -=-转化为00320kX Y kx y --+=.由于伸缩变换后圆与直线仍是相切的，故圆心到直线的距离00221(3)(2)kx y d k -+==+-，即2200()94kx y k -+=+，化简得2220000(9)240x k x y k y --+-= ②，过点P 的两条切线互相垂直，∴②中的两根满足：121k k =-，∴2020419y x -=--，即220013x y += ③， 当切线的斜率为0或不存在时，P 的坐标满足③，所以点P 的轨迹方程为2213x y +=. 【28】（C ，山东，文21）解析：（Ｉ）由题意知2232a b a -=，可得 224a b =，椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=，将y x =代入可得55ax =±，因此 25410255a ⨯=，可得2a =，因此1b =，所 以椭圆C 的方程为2214x y +=． （II ）（i ）设11(,)A x y 11(0)x y ≠，22(,)D x y ，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又 AD AB ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-．设直线 AD 的方程是y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠．由2214y kx mx y =++=⎧⎪⎨⎪⎩可得 222(14)8440k x mkx m +++-=，所以221418k mkx x +-=+，因此221214122)(k mm x x k y y +=++=+，由题意12x x ≠-，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，所以直线BD 的方程为1111()4yy y x x x +=+，令0y =得13x x =，即1(3,0)M x ,可得1212yk x =-,所以1212k k =-，即12λ=-，因此，存在常数12λ=-使得结论成立．（ii ）直线BD 的方程1111()4yy y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -，由（i ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393248S x y x y =⋅⋅=，因为22111114x x y y ≤+=，当且仅当 11222x y ==时取等号，此时S 取最大值98，所以OMN ∆面积的最大值为98． 【29】（C ，山东，理21） 解析：（I ）由题意知(,0)2p F ，即32pAF =+，代 入cos 323p AF π+⋅=得2p =，即C 的方程是24y x =； （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ．设00(,)A x y0(0)x ≠，11(,0)(1)D x x >，由FA FD =知1011x x -=+，即102x x =+，也即0(2,0)D x +，所以00012AB y yk x x ==--．设直线1l 的方程是02y y x b =-+，代入抛物线24y x =有22200(4)04y x by x b -++=，由0∆=知020by +=，解得20044(,)E y y - （1）若204y ≠时，0E AE E y y k x x -==-02020444y y y y --=-02044y y -，直线AE 的方程为00204()4y y y x x y -=--，整理得0204(1)4yy x y =--，恒过定点(1,0)；（2）若204y =时，直线AE 的方程为1x =，也过(1,0)； 综上所述，直线AE 恒过定点(1,0)F ． （ii ）由（i ）知直线AE 恒过定点(1,0)F ，所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为1x my =+，因为点00(,)A x y 在直线AE 上，代入得001x m y -=，设22(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--，因为00y ≠，所以0022x y x y =-++， 代入抛物线24y x =有2008840y y x y +--=， 所以0208y y y +=-，2008y y y =--，20044x x x =++，所以点B 到直线AE 的距离是000002484()14(1)1x m y x y x d x m ++++-+==+ 0014()x x =+，则ABE ∆的面积 00001114()(2)162S x x x x =⋅+++≥，当且仅当001x x =，即01x =时取等号．所以ABE ∆的面积最小值为16.【30】（C ，安徽，文21）。
专题08 圆锥曲线(理)(测试)-2014年高考数学二轮复习精品资料(解析版)
（一） 选择题（12*5=60分）1. 【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】设a ∈R ，则“1a =”是“直线10ax y -+=与直线10x ay --=平行”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 【改编自广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α（ ） A ．4π B.3πC. 23πD. 34π3. 【改编自2012年高考陕西卷理科】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(1,1)P 的直线，则（ ）（A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能４．【江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期月考高三数学】当且仅当m r n ≤≤时，两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点，则n m -的值为 ．５．【广东省六校2014届高三第一次联考试题】若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切，则此圆恒过定点（ ） A.(0,2)B.(0,3)-C.(0,3)D.(0,6)６．【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级第三次模拟考试】经过点1(1,)2，渐近线与圆22(3)1x y -+=相切的双曲线的标准方程为( )A ．2281x y -= B ．22241x y -= C ．2281y x -= D ．22421x y -=７．【改编自2012年高考安徽卷理科】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若A 点到准线的距离为3,则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C2()D８．【江西省2014届新课程高三第三次适应性测试】设,P Q 是双曲线22x y -=上关于原点O 对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角，则折叠后线段PQ 长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．4９．【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】抛物线x y 122=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆ 为等边三角形时，则FPM ∆的外接圆的方程为( )A.. 5)5()3(22=±+-y x B. 48)34()3(22=±+-y xC. 9)3()3(22=±+-y x D. 28)72()3(22=±+-y x10．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线11．【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A.2 B.3 C.23 D.2612．【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．1D（二） 填空题（4*5=20分）13. 【江西抚州一中2013-2014学年高三年级第四次同步考试】已知实数y x ,满足01422=+-+x y x ，则xy的最大值为 .14．【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.15．【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .16．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为（三） 解答题（10+5*12=70分）17. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18．【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A M B M =-，求点M 的轨迹方程．将2y =代入c x y =得210516x c x +=，19．【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】设F 为抛物线px y 22= (0>p )的焦点，,,R S T 为该抛物线上三点，若=++，且6=++ （Ⅰ）求抛物线22y px =的方程；（Ⅱ）M 点的坐标为(m ,0)其中0>m ，过点F 作斜率为1k 的直线与抛物线交于A 、B 两点，A 、B 两点的横坐标均不为m ，连结AM 、BM 并延长交抛物线于C 、D 两点，设直线CD 的斜率为2k ．若421=k k ，求m 的值.20．【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点12,F F 和上下两个顶点12,B B 是一个边长为2且∠F 1B 1F 2为60的菱形的四个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2 ，斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE 、AF 分别交直线3x =于点M 、N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '.求证:k k '⋅为定值.21．【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线x y +M 于A,B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (Ι)求M 的方程；（Ⅱ）C,D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形面积的最大值所以可得22．【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知定点(3,0)G -，S 是圆22:(3)72C x y -+=（C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E .设点E 的轨迹为M.(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得直线l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．化简得227m <，解得m -<<.（四）附加题（15分）23. 【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】已知椭圆：22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点到两焦点距离之和为，左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是右准线上任意一点，过2F 作直 线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点H ，满足MP MH PN HN=，试证明点H 恒在一定直线上．所以点H 恒在直线2320x y +-=上．。
2014年圆锥曲线专题高考题(一)1
2014年圆锥曲线专题高考题（一）一．选择题1. （2014大纲）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13 C ．24 D ．23【答案】A ．2.（2014大纲）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ．3.（2014福建）设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D4、(2014四川)已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A 、2B 、3C 、1728D 、10 【答案】BB y y y y y y y S S y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y OB OA OB OA OB OA OB OA S y S y y y y y y y y y y OB OA OB OA y y y y B y y A F x y AOB AOF AOB AOF 选，即））（设.32892≥289282244444θtan ∴5111)1)(1(222||||θcos θtan θtan 21θsin 21,4121∴2-01-(2∴2,θ,0,0),,(),,(),0,41(∴1111111ΔΔ1112112141121412221222122212221222122422141Δ1Δ212121212221212221212=•+=++=++=+=++=++=++=++=+++=++=++===••=•••=••===+=+=>=<<>=5.(2014重庆)设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34B.35C.49D.3B.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==6.(2014新课标I)已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m【答案】：A由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+ 设()33,0Fm +，一条渐近线33y x m=，即0x my -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离331m d m+=+=3，选A. . 7.(2014新课标I)已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2【答案】：C过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==选C8.（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【答案】D..3416-82-8),0,2(∴8,016-6m -163)-8(m 283-m 4∴.,0),8(.4,82,8,)3,2-(2222222D m m m m k F m m m m m k k m m m B y k y y x y A BF AB 选解得，则，设即求导得：所以在准线上=====+=+==>==′•= 9. (2014新课标II)设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.334 B.938C. 6332D. 94【答案】D..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===10.(2014天津)已知双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 【答案】A依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=. 11. (2014广东)若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.12.(2014山东)已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=13. (2014湖北)已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.433B.233C.3D.2 B二．填空题1.(2014湖南).如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.2.(2014上海)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】 x=-22-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为 3.（2014浙江）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________524.(2014北京)设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________.5.(2014安徽)若F 1，F 2分别是椭圆E ：1222=+by x （0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若B F AF 113=，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 . 12322=+y x6.(2014江西)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为【答案】22()()()()()()112222112222222212121212222222,,11012220222A x yB x y x y a b x y a bx x x x y y y y a b a b a b e +=+=-+-+∴+=-⨯∴+=∴=∴=设则 7. （2014辽宁）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【答案】1212122222)052(),0,5-2(,),0,0(.),05(),05-(2121=+∴=•=+=+BN AN a Q F Q F BN AN B A MN Q M F F ，，则的中点是线段令用特值法，，如图，焦点。
2009届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题1(数学)
2009届全国名校真题模拟专题训练08圆锥曲线三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得 依题意25520(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。
全国名校高中数学题库--圆锥曲线
uuu v uuu v
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
即⎜ x −
⎛ ⎝
4 ⎞ 2 16 4⎞ 16 ⎛ ⎟ +y = （y≠0）. ∴点 R 的轨迹方程为 ⎜ x − ⎟ +y2= （y≠0）. 3⎠ 9 3⎠ 9 ⎝
2
2
6、已知动圆过定点 (1, 0 ) ，且与直线 x = −1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程；(2) 是否存在直线 l ，使 l 过点（0，1） ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP ⋅ OQ = 0 ？若存在，求出直线 l 的方 程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设 M 为动圆圆心， F (1, 0 ) ，过点 M 作直线 x = −1 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF = MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 x = −1 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨 迹为抛物线，其中 F (1, 0 ) 为焦点， x = −1 为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y 2 = 4 x （2）由题可设直线 l 的方程为 x = k ( y − 1)( k ≠ 0) ，
即k
2
由⎨
⎧ x = k ( y − 1)
2
得 y 2 − 4ky + 4k = 0
高考数学圆锥曲线专题训练(附答案解析)
高中数学圆锥曲线专题*注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡阅卷人一、单选题（共10题；共20分）得分1. ( 2分) 波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.2. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.3. ( 2分) 已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4. ( 2分) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.5. ( 2分) 关于曲线：性质的叙述，正确的是（）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点6. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（）A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝97. ( 2分) 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.8. ( 2分) 在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9. ( 2分) 已知，及抛物线方程为，点在抛物线上，则使得为直角三角形的点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. ( 2分) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共10题；共10分）得分11. ( 1分) 已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为________12. ( 1分) 设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长________．13. ( 1分) 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为________.14. ( 1分) 若椭圆的离心率为，则的短轴长为________．15. ( 1分) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.16. ( 1分) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为________17. ( 1分) 已知双曲线的下焦点为，虚轴的右端点为，点在的上支，为坐标原点，直线和直线的倾斜角分别为，，若，则的最小值为________．18. ( 1分) 已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.19. ( 1分) 椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，已知，则________.20. ( 1分) 已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B| ，则点F1到直线AB的距离为________．阅卷人三、解答题（共30题；共280分）得分21. ( 10分) 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF2⊥F1F2，△F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．（1）求椭圆E与抛物线C的方程；（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．22. ( 10分) 椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．23. ( 10分) 已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+ =1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．（1）求椭圆E的方程；（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．24. ( 10分) 设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2．以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2．（Ⅰ）求椭圆C2的方程；（Ⅱ）设N（0，﹣2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C2于异于N的A、B两点．（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．（ⅱ）以B为圆心，以BF2为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．25. ( 10分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）求直线MN的斜率．26. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且• =0，△GF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．27. ( 10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.28. ( 10分) 设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．29. ( 10分) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．30. ( 10分) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．31. ( 10分) 已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(I)求C的方程；(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限, 轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上.32. ( 10分) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由33. ( 5分) 已知点P（x，y）满足条件．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O：x2+y2=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若，求直线l的斜率．34. ( 5分) 设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．35. ( 15分) 已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若的面积等于，求的值.36. ( 5分) 如图，曲线Γ由曲线C1：（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：（a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．37. ( 5分) 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．38. ( 10分) 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.39. ( 10分) 已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．40. ( 5分) 已知椭圆E: 过点(0,1)且离心率.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.41. ( 10分) 已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4. （1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.42. ( 10分) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.43. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．44. ( 10分) 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程.45. ( 10分) 已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点(都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.46. ( 10分) 已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．47. ( 10分) 已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C 上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．48. ( 10分) 已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．49. ( 10分) 已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.50. ( 10分) 如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则 =2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故答案为：D．【分析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则利用两点距离公式得出，∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，利用三角形面积公式求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式结合离心率公式变形求出椭圆的离心率。
高中数学圆锥曲线试题含答案
理数圆锥曲线1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()A. B. C. D.[答案] 1.A[解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,∴cos∠AF2F1===.故选A.2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1[答案] 2.A[解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3[答案] 3.B[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,于是∴m·n=··⇒m=3n.∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等[答案] 4.A[解析] 4.∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0.∴-=1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它们的焦距相等,故选A.5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6[答案] 5.D[解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|====≤5,故|PQ|max=5+=6.6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0[答案] 6.A[解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] 7.A[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（）A． B． C．D．[答案] 8. B[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，在抛物线方程中，令可得，即从而可得，，因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，所以直线的方程为，故选B．9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（）A. B.C. D.[答案] 9. D[解析] 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.[答案] 10.[解析] 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,+=1②.①、②两式相减并整理得=-·.把已知条件代入上式得,-=-×,∴=,故椭圆的离心率e==.11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.[答案] 11.1+[解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,从而有即∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,又>1,∴=1+.12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为____________.[答案] 12.x2+y2=1[解析] 12.不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).又∵|AF1|=3|F1B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,∴b2=.故椭圆E的方程为x2+y2=1.13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.[答案] 13.[解析] 13.由得A,由得B,则线段AB的中点为M.由题意得PM⊥AB,∴k PM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________.[答案] 14. y=3[解析] 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.[答案] 15.查看解析[解析] 15.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.[答案] 16.查看解析[解析] 16.(Ⅰ)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率k TF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率k OM=-,又直线OT的斜率k OT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.[答案] 17.查看解析[解析] 17.(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.18. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N. 证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.[答案] 18.查看解析[解析] 18.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.19. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C 1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.[答案] 19.查看解析[解析] 19.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点. 设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(x P,y P),∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得x P=,从而y P=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.20.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF 2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.[答案] 20.查看解析[解析] 20.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.21.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.(Ⅰ)求C1的方程;(Ⅱ)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.[答案] 21.查看解析[解析] 21.(Ⅰ)设切点坐标为(x 0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.22.(2012太原高三月考，20,12分)已知曲线C:x2+=1.(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;(Ⅱ)如果直线l的斜率为,且过点M(0,-2),直线l与曲线C交于A、B两点,又·=-,求曲线C的方程.[答案] 22.(Ⅰ)设E(x0,y0),P(x,y),则F(x0,0),∵=3,∴(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),∴代入曲线C中得x2+=1为所求的P点的轨迹方程.(2分)①当λ=时,P点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)②当0<λ<时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆;(4分)③当λ>时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆;(5分)④当λ<0时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线.(6分)(Ⅱ)由题设知直线l的方程为y=x-2,代入曲线C中得(λ+2)x 2-4x+4-λ=0,(7分)令A(x1,y1),B(x2,y2),∵以上方程有两解,∴Δ=32-4(λ+2)(4-λ)>0,且λ+2≠0,(8分)∴λ>2或λ<0且λ≠-2,x1+x2=,x1·x2=.又·=x1·x2+(y1+2)(y2+2)=3x1·x2==-.(10分)解得λ=-14,(11分)∴曲线C的方程是x2-=1.(12分)22.23.(2012山西大学附中高三十月月考，21，12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.（I）求椭圆的方程；（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.[答案] 23.（I）由题意得，∴，∴.由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，∴，∴∴椭圆C的方程为（II）设，直线AB的方程为则，，直线AB的方程与椭圆C的方程联立得消去得整理得则是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∴，整理得，∴，∴O到直线AB的距离即O到直线AB的距离定值. ……8分∴，当且仅当OA=OB时取“=”号.∴，又，∴,即弦AB的长度的最小值是23.24.(2012广东省“六校教研协作体”高三11月联考,20，14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（１）求椭圆的方程；（２）已知动直线与椭圆相交于、两点，①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②已知点，求证：为定值.[答案] 24.（1）由题意得……2分解得，所以椭圆C的方程为.…4分（2）①设，直线方程与椭圆C的方程联立得消去，整理得，……6分则是关于的方程两个不相等的实数根，恒成立，，……7分又中点的横坐标为，所以，解得.…………9分②则，由①知，，所以，…………11分…………12分.…14分24.。
2014年全国高考十、圆锥曲线(逐题详解)
2014年全国高考数学试题分类汇圆锥曲线1.【2014年重庆卷（理08）】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3【答案】B【解析】由于22121212(||||)(||||)4||||PF PF PF PF PF PF +--=⋅，所以22949b a ab -= 分解因式得(34)(3)0433,4,5b a b a a b a b c λλλ-+=⇒=⇒=== 所以离心率53c e a ==，选择B2.【2014年福建卷（理09）】设P ，Q 分别为圆x 2+（y ﹣6）2=2和椭圆+y 2=1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ． 5 B ． + C ． 7+ D ． 6【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x ，y ），则∵圆x 2+（y ﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为， ∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P ，Q 两点间的最大距离是5+=6．故选：D3.【2014年辽宁卷（理10）】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．43【答案】D【解析】∵点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p ＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C ：y 2=8x ，在第一象限的方程为y=2，设切点B （m ，n ），则n=2，又导数y ′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B （8，8），又F （2，0），∴直线BF 的斜率为，故选D4.【2014年全国大纲卷（06）】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A【解析】∵△AF 1B 的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A5.【2014年全国大纲卷（09）】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ） A ．14 B ．13 C ．24 D ．23【答案】A【解析】∵双曲线C 的离心率为2，∴e=，即c=2a ，点A 在双曲线上，则|F 1A|﹣|F 2A|=2a ，又|F 1A|=2|F 2A|，∴解得|F 1A|=4a ，|F 2A|=2a ，||F 1F 2|=2c ，则由余弦定理得cos ∠AF 2F 1===，故选：A6.【2014年山东卷（理10）】已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+by a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±【答案】A【解析】()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==+==-∴==∴=∴=±7.【2014年四川卷（理10）】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是A ．2B ．3C ．1728D ．10 【答案】B 【解析】 方法1：设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，直线AB 与x轴的交点(0,)M m （不妨假设10y >）由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m = 于是121111111192922()2322488ABO AFO S S y y y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯⨯=+≥⋅= 当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=” 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3方法2：8.【2014年天津卷（理05）】已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.9.【2014年全国新课标Ⅰ（理04）】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+ 设()33,0Fm +，一条渐近线33y x m=，即0x my -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离331m d m+=+=3，选A. .10.【2014年全国新课标Ⅰ（理10）】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2【答案】：C【解析】：过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==11.【2014年全国新课标Ⅱ（理10）】设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.334 B.938C. 6332D. 94【答案】 D 【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===12.【2014年广东卷（理04）】若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】∵09k <<，∴90k ->，250k ->，∴曲线221259x y k +=-与221259x y k +=-均是双曲线，且222c a b =+=25(9)k +-=(25)9k -+，即焦距相等.故选D.13.【2014年湖北卷（理09）】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.433 B.233C.3D.2 【答案】 A【解析】 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为123F PF π∠=，由余弦定理得22211114()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，所以212234aa c +=，即2122122221)(2124ca c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e-≤+， 利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为433.第II 部分14.【2014年上海卷（理03）】若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【答案】2x =-【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =-15.【2014年上海卷（理14）】 已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0A P A Q +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]m ∈【解析】：根据题意，A 是PQ 中点，即622P QP x x x m ++==，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈16.【2014年浙江卷（理16）】设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>两条渐近线分别交于点A 、B ，若点(P m ，0)满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是__________. 【答案】【解析】双曲线（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线方程为y=±x ，则与直线x ﹣3y+m=0联立，可得A （，），B （﹣，），∴AB 中点坐标为（，），∵点P （m ，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b ，∴=b ，∴e==．故答案为：17.【2014年江西卷（理15）】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 【答案】22【解析】()()()()()()112222112222222212121212222222,,11012220222A x yB x y x y a b x y a bx x x x y y y y a b a b a b e +=+=-+-+∴+=-⨯∴+=∴=∴=设则18.【2014年北京卷（理11）】设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 【答案】y=±2x 【解析】与﹣x 2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x 2=m ，（m ≠0），∵双曲线C 经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x 2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x ，故答案为：，y=±2x19.【2014年安徽卷（理14）】设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF B F AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____________．【答案】12322=+y x yOF F A【解析】设)0,(),0,(21c F c F -，由x AF ⊥2轴得),(2b c A ，又由B F AF 113=得)3,35(2b c B --代入椭圆 得92522=+b c ，将221b c -=代入得12332222=+⇒=y x b20.【2014年湖南卷（理15）】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________.【答案】21+ 【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+.21.【2014年辽宁卷（理15）】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .【答案】12【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得，，∵Q 在椭圆C 上，∴|QF 1|+|QF 2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．第III 部分22.【2014年陕西卷（理20）】（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.解 （I ）在C 1,C 2 的方程中，令y=0，可得b=1，且A （- 1 ，0），B(1，0)是上班椭圆C 1的左右顶点。
全国名校高考专题训练8圆锥曲线填空题(数学)
全国名校高考专题训练08圆锥曲线二、填空题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a (x +1)的准线方程是x = -3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0)2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y 2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是： 。
答案：y 2=－8x3、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知P 为双曲线191622=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______； 答案：5164、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 . 答案：1＜e ≤25、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，则椭圆的离心率e = . 答案：3－16、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：107、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)若双曲线19222=-y ax ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：28、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+e R b a by a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．答案：[π4,π3].2ca≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴43ππθ≤≤ 9、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x=上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b ＝_________ . 答案：5或－1310、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C （x ，y ）满足2=，则动点C 的轨迹方程是 . 答案：14122=+y x 11、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则=+BF AF .答案：812、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且焦点在y 轴上的双曲线的离心率为答案：45 13、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则BFAF 11+＝ 。
2014年高考理科数学试题分类汇编_圆锥曲线与方程_word版含答案
2014年高考数学试题汇编 圆锥曲线一．选择题1. （2014大纲）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13 C ．4 D ．32. （2014大纲）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 3（2014福建）设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.264、(2014四川)已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A 、2B 、3C 、8D 5(2014重庆)设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ）A.34B.35C.49D.36(2014新课标I).已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .B .3CD .3m7(2014新课标I).已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF = A .72 B .52C .3D .28. （2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．439. (2014新课标II)设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 9410(2014天津)已知双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 11. (2014广东)若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等12(2014山东)已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b+=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（A ）0x =（B 0y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=13. (2014湖北)已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2 二．填空题1(2014湖南).如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.2 (2014上海)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.3（2014浙江）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________4(2014北京)设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.5(2014安徽)若F 1，F 2分别是椭圆E ：1222=+by x （0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若B F AF 113=，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 . 6. (2014江西)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为7. （2014辽宁）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .三.解答题1. (2014广东)（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3， （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程2. (2014江苏) (本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.3(2014陕西)（本小题满分13分）如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为2（1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l的方程.4. (2014新课标II)（本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .5(2014安徽)（本小题满分 13 分）如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p ）和2E ：x p y 222=（02>p ），过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ，2E 分别交于1A ，2A 两点，2l 与1E ，2E 分别交于1B ，2B 两点．（I ）证明：11B A ∥22B A ；（Ⅱ）过O 作直线l （异于1l ，2l ）与1E ，2E 分别交于1C ，2C 两点．记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ，求21S S 的值． 6(2014江西)（本小题满分13分）如图，已知双曲线)0(1222>=-a y a x C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a xx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值 7. (2014新课标I) (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆的焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程. 8(2014天津)（本小题满分13分）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12AB F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.9. (2014湖南)如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b-=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知12e e =,且241F F =. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.10、(2014四川) (本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
2014年各地高考理科数学试题分类汇编-圆锥曲线
2014年各地高考理科数学试题分类汇编-圆锥曲线D的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C的方程为 （ ） A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】A ．6. （全国大纲卷）9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13C ．4D ．3【答案】A ．7. （全国大纲卷）21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)ypx p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设0,4Q x ，代入22y px，得0888,,.22p p x PQQF x ppp．由题设得85824ppp，解得2p （舍去）或2p ，∴C 的方程为24yx；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为10xmy m，代入24y x得2440ymy ．设1122,,,,A x yB x y 则124,y y m124y y ．故AB的中点为2221221,2,141D m m ABm y y m ．又l '的斜率为,m l 的方程为2123xy m m ．将上式代入24yx ，并整理得224423y y m m．设3344,,,,M x y B x y 则234344,423y y y y m m．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y m mm +⎛⎫++-=-=⎪⎝⎭．由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN，从而22211,44AB DEMN 即()()()2222222244121224122m m m m m m m++⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得210m，解得1m 或1m．所求直线l 的方程为10xy 或1xy ．8. （山东卷）10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（A ）02x =±y （B ）2=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±答案：A9（山东卷）21.（本小题满分14分） 已知抛物线）＞0(2:2p px yC =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA FD =，学科网当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形。
2009--2014年山东省高考数学真题分类--圆锥曲线解答题
高考数学真题分类——圆锥曲线解答题1、（2014理21）已知抛物线C ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA|=|FD|，当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形。
（I ）求C 的方程；（II ）若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，（i ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ii ）△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
2、（2013理22）椭圆()2222:+10x y C a b a b=>>的左、右焦点分别是12F F ，,，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12PF PF ，,设∠12F P F 的角平分线 P M 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线，使得与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线12PF PF ，的斜率分别为12,k k ，若k ≠0，试证明1211k k +为定值，并求出这个定值。
3、（2012理21）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34。
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M l ：y=kx+14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12≤k ≤2时，的最小值。
4、（2011理22）已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ ∆的面积2OPQ S ∆=，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由．5、（2010理21）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为)12(4+，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点的任一点，直线1PF 和2PF与椭圆的交点分别为A 、 B 和C 、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k ； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得CD AB CD AB ⋅=+λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.6、（2009理22） 设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2 ，两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
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2009届全国名校真题模拟专题训练08圆锥曲线三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得 依题意25520(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。
解：（1）略；（2）A(2+3,2－3), B(2－3,2+3)或A(2－3,2+3), B(2+3,2－3) 4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v =(1,21)为方向向量的直线l 过点(0, 45)，抛物线C ：px y 22=(p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线上．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若02=+⋅p OB OA (O 为原点，A 、B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．解：（Ⅰ）由题意可得直线l ：4521+=x y ① 过原点垂直于l 的直线方程为 x y 2-= ② 解①②得21-=x ． ∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上． ∴2212⨯-=-p ，2=p ∴抛物线C 的方程为x y 42=．（Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x N ， 由02=+⋅p OB OA ，得042121=++y y x x ． 又1214x y =，2224x y =． 解得 821-=y y ③ 直线ON ：x x y y 22=，即x y y 24= ④ 由③、④及1y y =得，点N 的轨迹方程为2-=x )0(≠y ．5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB 过y 轴上一点),0(m P ，斜率为k ，两端点A ，B 到y 轴距离之差为k 4)0(>k ，（1）求以O 为顶点，y 轴为对称轴，且过A ，B 两点的抛物线方程；（2）设Q 为抛物线准线上任意一点，过Q 作抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：直线MN 过一定点； 解：（1）设抛物线方程为)0(22>=p py x ，AB 的方程为m kx y +=， 联立消y 整理，得0222=--pm pkx x ；∴pk x x 221=+， 又依题有pk k x x 24||21==+，∴2=p ，∴抛物线方程为y x 42=；（2）设M )4,(211x x ，N )4,(222x x ，)1,(0-x Q ，∵21x k MQ =， ∴MQ 的方程为⇒-=-)(241121x x x x y 042121=+-y x x x ；∵MQ 过Q ，∴0420121=--x x x ，同理0420222=--x x x∴21,x x 为方程04202=--x x x 的两个根；∴421-=x x ； 又421x x k MN+=，∴MN 的方程为)(4412121x x x x x y -+=-∴1421++=x x x y ，显然直线MN 过点)1,0( 6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=NP GQ NQ NP . （I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS +=是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=02PN GQ NQ NP Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半焦距5=c ，∴短半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14922=+y x ………5分 （2）因为OB OA OS +=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得|OS |=|AB |，则四边形OASB 为矩形0=⋅∴OB OA若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2，由⎪⎩⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得 0,0916=⋅>=⋅∴OB OA OB OA 与矛盾，故l 的斜率存在. ………7分设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=0)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①)]2()][2([2121--=x k x k y y4920]4)(2[2221212+-=++-=k k x x x x k ② ……………9分 把①、②代入2302121±==+k y y x x 得∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等.7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y =41x 2的焦点，离心率等于552. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA =λ1AF ，MB =λ2BF ，求证λ1+λ2为定值.解：（I ）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则由题意知b = 1..5.55211.55222222=∴=-=-∴a aa b a 即 ∴椭圆C 的方程为 .1522=+y x …………………………………………………5分 （II ）方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A易知F 点的坐标为（2，0）.分8.1,12).,2(),(,1011111110111 λλλλλ+=+=∴--=-∴=y y x y x y y x AF MA将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(51210211=+++λλλy去分母整理得.0551020121=-++y λλ …………………………………………10分,05510,.05510:,2221202222的两个根是方程可得由同理=-++∴=-++=y x x y BF MB λλλλλ.1021-=+∴λλ …………………………………………………………12分方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 又易知F 点的坐标为（2，0）.显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是).2(-=x k y将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得.052020)51(2222=-+-+k x k x k ……………………………………7分.51520,512022212221kk x x k k x x +-=+=+∴ ……………………………………8分 又.2,2,,22211121x x x x BF MB AF MA -=-===λλλλ将各点坐标代入得 .10)(242)(22221212121221121-==++--+=-+-=+∴ x x x x x x x x x x x x λλ 8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=，0RP PM ⋅=.（Ⅰ）⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使AB AN λ=，且163AB ||=.解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由230PM MQ += 得P(0，2y -)，Q(,03x).由0,RP PM ⋅=得(3，2y -)·(x ，32y )＝0,即x y 42= 又点Q 在x 轴的正半轴上，0>∴x 故点M 的轨迹C 的方程是24(0)y x x =>.……6分（Ⅱ）解法一：由题意可知N 为抛物线C:y 2＝4x 的焦点，且A 、B 为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点。