2018年苏教版数学必修1 第1章 1.2 第2课时 全集、补集

第2课时全集、补集
1．了解全集与空集的意义，理解补集的含义．(重点)
2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)
[基础·初探]
教材整理补集、全集的概念
阅读教材P9思考至例3，完成下列问题．
1．补集
(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A 的补集，记为∁S A(读作“A在S中的补集”)．
(2)符号表示
∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．
(3)图形表示：
图1-2-2
2．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个集合的补集中一定含有元素．()
(2)研究A在U中的补集时，A必须是U的子集．()
(3)一个集合的补集的补集是其自身．()
【答案】(1)×(2)√(3)√
2．U＝{x|－1＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁U A＝________.
【解析】根据补集的定义，所求为在U中但不在A中的元素组成的集合，所以∁U A＝{x|－1＜x≤0}．
【答案】{x|－1＜x≤0}
[小组合作型]
(1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则∁U A等于________；
(2)已知集合U＝{x∈N|x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则∁U A＝__________，∁U B＝________.
【精彩点拨】(1)利用数轴将集合表示出来再求补集；
(2)利用列举法表示出全集U，集合A，B，再求A，B的补集．
【自主解答】(1)在数轴上表示出全集U，集合A，如图所示，根据补集的概念可知∁U A＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}．
(2)U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
因为A＝{小于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，所以∁U A＝{0,2,4,6,8,10}．
因为B＝{小于11的素数}＝{2,3,5,7}，所以∁U B＝{0,1,4,6,8,9,10}．
【答案】(1){x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}
(2){0,2,4,6,8,10}{0,1,4,6,8,9,10}
1．求补集∁U A的关键是确定全集U及集合A的元素．常见补集的求解方法
有：
(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．
(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．
(3)利用Venn图求解．
2．补集是以全集为前提建立的，即A一定是U的子集，∁U A也一定是U的子集，求解有关问题时，一定要充分利用这种包含关系．
[再练一题]
1．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－2<x≤4}，则∁U A＝________.
【解析】将全集U，集合A表示在数轴上，如图所示．
∴∁U A＝{x|－3≤x≤－2或x>4}．
【答案】{x|－3≤x≤－2或x>4}
[探究共研型]
探究1若U U
【提示】由Venn图可知，若M⊆N，∁U M⊇∁U N.
反之，若∁U M⊇∁U N，则M⊆N，即M⊆N⇔∁U M⊇∁U N.
探究2若M⊆N，针对M应考虑的两种情况是什么？
【提示】两种情况是M＝∅和M≠∅.
已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a －1}且A⊆∁U B，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁U B，然后再利用A ⊆∁U B得关于a的不等式求解即可．
【自主解答】若B＝∅，则a＋1>2a－1，∴a<2.
此时∁U B＝R，∴A⊆∁U B；
若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时∁U B＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，
由于A⊆∁U B，如图，
则a＋1>5，∴a>4，
∴实数a的取值范围为a<2或a>4.
解决此类问题应注意以下几点：
(1)空集作为特殊情况，不能忽略；
(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；
(3)端点值能否取到，应注意分析．
[再练一题]
2．设全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤a}，若∁U M∁U N，则a的取值范围是________．
【解析】因为∁U M＝{x|x≥2}，∁U N＝{x|x>a}，于是由∁U M∁U N，得a<2，所以a的取值范围是a<2.
【答案】a<2
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则∁U B＝________.
【解析】根据补集的定义∁U B＝{x|x∈U且x∉B}＝{1,2}．
【答案】{1,2}
2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.
【解析】A＝{x|x≥1}，∴∁U A＝{x|x<1}．
【答案】{x|x<1}
3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－3<x≤2}，则∁U A＝________. 【解析】∁U A＝{x|－4≤x≤－3，或2<x<5}．
【答案】{x|－4≤x≤－3，或2<x<5}
4．设S＝{x∈N|0≤x≤4}，A＝{x∈N|0<x<4}，则∁S A＝________.
【解析】S＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，∴∁S A＝{0,4}．
【答案】{0,4}
5．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}．
(1)求∁U A，∁U B;
(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．
【解】(1)∵A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}，
∴借助于数轴知∁U A＝{x|x<3，或x≥10}，
∁U B＝{x|x≤2，或x>7}．
(2)要使A⊆C，只需a<3即可．
∴a的取值范围为{a|a<3}．。