第9讲：一次函数与正比例函数_教案
一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数教案教案标题：一次函数与正比例函数教案教案目标：1. 学生能够理解一次函数与正比例函数的概念和特征。
2. 学生能够区分一次函数与正比例函数的区别。
3. 学生能够应用一次函数与正比例函数解决实际问题。
教学资源：1. 教材：包含一次函数与正比例函数的相关知识点和例题。
2. 教具：白板、马克笔、计算器。
3. 实例：一次函数与正比例函数的实际应用例子。
教学步骤：引入：1. 引导学生回顾函数的基本概念，并提问是否了解一次函数和正比例函数的定义和特征。
2. 引导学生思考一次函数和正比例函数的区别，并鼓励他们提出自己的观点。
探究：1. 通过一个具体的例子，引导学生理解一次函数的定义和特征。
例如：y = 2x + 3。
- 解释其中的斜率和截距的含义。
- 让学生画出函数图像，并观察斜率和截距对图像的影响。
2. 通过另一个具体的例子，引导学生理解正比例函数的定义和特征。
例如：y = 3x。
- 解释比例系数的含义。
- 让学生画出函数图像，并观察比例系数对图像的影响。
巩固：1. 让学生自主完成一些练习题，巩固对一次函数和正比例函数的理解和应用能力。
2. 提供一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数解决问题。
例如：根据某商品的价格与数量的关系，求解不同数量下的价格。
拓展：1. 引导学生思考一次函数和正比例函数在实际生活中的应用，并让他们找出更多的例子。
2. 鼓励学生探索其他类型的函数，并比较它们与一次函数和正比例函数的区别。
总结：1. 总结一次函数和正比例函数的定义和特征。
2. 强调一次函数和正比例函数在解决实际问题中的应用。
3. 鼓励学生继续探索函数的更多知识和应用。
评估：1. 设计一些评估题目，检查学生对一次函数和正比例函数的理解和应用能力。
2. 观察学生在课堂练习和实际问题解决中的表现。
一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数教案一、教学目标1. 理解正比例函数的定义及其图像特征。
2. 掌握一次函数的定义及其图像特征。
3. 能够区分正比例函数和一次函数，并正确应用。
4. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：正比例函数和一次函数的定义及其图像特征。
2. 教学难点：一次函数的图像特征和应用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、黑板、投影仪、教学卡片、练习题。
2. 教学工具：直尺、圆规、彩笔。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如购物时商品的价格与数量的关系，引入正比例函数和一次函数的概念。
2. 讲解：讲解正比例函数的定义及其图像特征，一次函数的定义及其图像特征。
通过示例和图形的展示，让学生直观地理解正比例函数和一次函数的图像特征。
3. 练习：让学生通过练习题，运用所学的正比例函数和一次函数的知识，解决问题。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性。
2. 练习题的正确率：检查学生完成练习题的正确率，评估学生对正比例函数和一次函数的理解程度。
3. 学生作品：评估学生在课堂活动中的作品，如绘图和解决问题的能力。
六、教学拓展1. 引入实际问题：通过展示一些实际问题，如物体运动的速度与时间的关系，让学生运用一次函数和正比例函数的知识解决问题。
2. 函数图像的变换：讲解一次函数图像的平移和缩放变换，让学生理解函数图像的变换规律。
七、课堂活动1. 分组讨论：将学生分成小组，让他们讨论一次函数和正比例函数在实际生活中的应用，并展示给全班同学。
2. 游戏：设计一个有关一次函数和正比例函数的游戏，让学生在游戏中加深对函数的理解和应用。
八、课后作业1. 完成教材中的相关练习题。
2. 选择一个实际问题，运用一次函数和正比例函数的知识解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
九、教学反馈1. 课后与学生交流：通过与学生的交流，了解学生在课堂上的学习情况，以及对一次函数和正比例函数的理解程度。
一次函数与正比例函数(优质课)获奖课件
1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之 间的关系.
2.能根据所给条件，写出简单的一次函数、正比例函数 表达式.
什么叫函数? 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并
且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应， 那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量.
y=3-x，
y=2. x=3，
y=-2. x=2，
y=1.
3x+2y=8. y=2x，
x+y=3. y=1-x，
3x+2y=5.
1.二元一次方程组
x=４ A.
y=３ x=２ C. y=４
x+2y=10 的解是( C )
y=2x
x=3 B.
y=６
x=４ D.
y=2
2.下列各式是二元一次方程的是( A )
1．（南充·中考）如图，小球从点A运动到点B，速度
v（m/s）和时间t（s）的函数关系式是v＝2t．如果小球
运动到点B时的速度为6 m/s，那么小球从点A到点B的时间
是（ C ）．
A. 1 s
B. 2 s
C. 3 s
A
D. 4 s
B
2. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本 0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本. (1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量 x（本）之间的函数关系式. (2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量 x（本）之间的函数关系式. (3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
如： 2x+3=5, y+6=8. 3.解下列方程：
最新北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》教学设计(精品教案)
最新北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》教学设计(精品教案)1.探究：引导学生观察生活中的实例，探究变量之间的关系，初步感受函数的概念。
2.归纳：通过多个实例，引导学生总结一次函数和正比例函数的概念和特点。
3.巩固和反馈：通过练和讨论，巩固学生的知识点，及时反馈学生的问题和疑惑。
2.研究方法：学生需要积极参与探究和讨论，注重归纳总结，勤于练和思考，及时反馈自己的问题和困惑。
五、教学内容分析本节课的主要内容是一次函数和正比例函数的概念和特点，以及如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式。
教学重点是理解一次函数和正比例函数的概念，教学难点是能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，需要发展学生的抽象思维能力。
六、教学过程设计1.引入新知识：通过一些实例引导学生思考变量之间的关系，初步感受函数的概念。
2.讲解一次函数和正比例函数的概念和特点，引导学生总结归纳。
3.演示如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式，让学生进行练。
4.讨论和解决学生的问题和疑惑，及时给予反馈。
5.巩固练：让学生通过实例练，巩固所学知识。
6.总结归纳：让学生总结一次函数和正比例函数的概念和特点，及如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式。
七、教学资源准备教师需要准备课件、实例、练题等教学资源，以及黑板、白板、笔等教学工具。
八、教学评估方法教师可以通过学生的课堂表现、练成绩、小组讨论等方式进行评估，及时发现学生的问题和困惑，做好及时反馈和指导。
同时，教师可以通过课后作业和考试等方式进行综合评估。
教学过程设计本节课设计了七个环节：复引入、新课讲述、巩固练、知识提高、反馈练、课堂小结和布置作业。
复引入在这个环节，教师提出了三个问题，分别是什么是函数、函数有哪些表示方式和在现实生活中有哪些问题可以归结为函数问题。
这个环节的意图是为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，采用了“复旧知识，诱导新内容”的引入方法。
问题(1)(2)复上节课的内容，问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活，提高学生的运用意识。
《一次函数与正比例函数》说课稿
《一次函数与正比例函数》教材分析《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第四章《一次函数》的第二节。
本节内容安排了1个课时，让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的。
教学目标1、理解一次函数和正比例函数的概念；2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式；3、经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；4、经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力；5、体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学，用数学的兴趣；6、在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的信息。
教学重难点【教学重点】理解一次函数和正比例函数的概念。
【教学难点】能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的抽象思维能力。
课前准备学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；教师准备课件，图片，三角板。
教学过程第一环节：复习引入内容：复习上节课学习的函数，教师提出问题a)什么是函数b)函数有哪些表示方式c)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子呢？意图：为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力。
这里采用了“复习旧知识诱导新内容”的引入方法。
问题(1)(2)复习上节课的内容，问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活，提高学生的运用意识。
效果：问题(1)(2)学生都能快而准的回答，问题(3)是在一个开放的环境中回答，学生不能很准确的表述出来，可让学生互相补充，也可教师进行补充、完善。
通过学生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程，初步形成数学建模的思想，感受成功的喜悦。
人教版八年级教案-一次函数与正比例函数(2)
4.2 一次函數與正比例函數一、學生起點分析在七年級下期學生已經探索了變數之間關係，在此基礎上，本章前一節繼續通過對變數關係的考察，讓學生初步體會函數的概念，能判斷兩變數之間的關係是否可看作函數。
本節課進一步研究其中最簡單的一種函數——一次函數.由於有前面內容的鋪墊，學生已經會建立變數之間的關係，可能有部分學生表述上還不太規範，在教學中，教師要注意糾正學生的一些錯誤習慣，如將解析式寫成+=-=-等，培養學生良好的書寫習慣.x y x y1,1二、教學任務分析《一次函數》是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級(上) 第四章《一次函數》的第二節.本節內容安排了1個課時：讓學生理解一次函數和正比例函數的概念，能根據已知資訊寫出簡單的一次函數運算式，並初步形成利用函數的觀點認識現實世界的意識和能力.與原傳統教材相比，新教材更注重借助生活中的實際背景，讓學生經歷一般規律的探究過程來理解一次函數和正比例函數的概念；同時，新教材調整了知識的安排順序，原來教材正比例函數在一次函數前面，而新教材是將正比例函數作為一次函數特殊情況給出來的.本節課教學目標分析是：(1)理解一次函數和正比例函數的概念；(2)能根據所給條件寫出簡單的一次函數運算式.(3)經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力；(4)經歷從實際問題中得到函數關係式這一過程，發展學生的數學應用能力.(5)體驗生活中的數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯繫，激發學生學數學、用數學的興趣.(6)在探索過程中體驗成功的喜悅，樹立學習的自信心.本節課教學重點是：理解一次函數和正比例函數的概念.本節課教學難點是：能根據所給條件寫出簡單的一次函數運算式,發展學生的抽象思維能力.三、教學過程設計本節課設計了七個環節: 第一環節:復習引入；第二環節：新課講述；第三環節：鞏固練習；第四環節：知識提高；第五環節：回饋練習；第六環節：課堂小結；第七環節：佈置作業.第一環節：復習引入內容：復習上節課學習的函數,教師提出問題:(1)什麼是函數?(2)函數有哪些表示方式?(3)在現實生活中有許多問題都可以歸結為函數問題,大家能不能舉一些例子呢?意圖：為了激發學生的求知欲望,吸引同學們的注意力,這裏採用了“復習舊知識,誘導新內容”的引入方法.問題(1)(2)復習上節課的內容,問題(3)是讓學生把所學知識運用於實際生活,提高學生的運用意識.效果：問題(1)(2)學生都能快而准的回答,問題(3)是在一個開放的環境中回答,學生不能很準確的表述出來,可讓學生互相補充,也可教師進行補充、完善.通過學生親身經歷了感受函數在生活中的運用過程,初步形成數學建模的思想,感受成功的喜悅,充分體現了本節課的情感、態度目標.若課堂氣氛比較沉悶,也可由教師先舉例,讓學生來列函數運算式,激發學生的學習激情,再讓學生舉例:(如可補充如下習題)①假設某學生騎自行車的速度為10km/h,則他騎自行車用的時間t(h)和所走過的路程s之間的關係是什麼?②上網費用是2元/小時,則上網t(小時),費用y(元)的關係式是什麼?第二環節：新課講述內容：例1 某彈簧的自然長度為3cm,在彈簧限度內,所掛物體的品質x每增加1kg,彈簧長度y增加0.5cm.(1)計算所掛物體的品質分別為1kg、2kg、3kg、4kg、5kg時的彈簧長度,並填入下表:(2)你能寫出x與y之間的關係式嗎?答案(1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) 30.5y x.例2 某輛汽車油箱有汽油100L,汽車每行駛50km耗油9L.(1)完成下表:y/L(2)你能寫出x與y之間的關係式嗎?(3)汽車行駛的路程x可以無限增大嗎?有沒有一個取值範圍?剩餘油量y呢?答案(1) 100、91、82、73、64、46；(2) x與y之間的關係式為1000.18y x；(3) 汽車行駛路程x不可能無限增大,因為汽油只有100L,每行駛50km耗油9L,行駛560km後,油箱就沒有油了,所以x不會超過560km.y代表油箱剩餘油量,所以y應該小於100但不能小於零.通過觀察、探索、總結,歸納出一次函數與正比例函數的概念:一般地,若兩個變數x,y間的關係式可以表示成y kx b(,k b為常數,k≠0)的形式,則稱y是x的一次函數(x是引數,y為因變數).特別地,當0b時,則y是x 的正比例函數.意圖：從生動有趣的問題情景(彈簧的長度、汽車油箱中的餘油量)出發,通過對一般規律的探索過程,從實際問題中抽象出一次函數和正比例函數的概念.效果：從兩個具體問題的函數運算式出發，互相討論,教師在教學上恰當地設疑立障,引導學生大膽猜想,勇於探索,鼓勵學生積極思維,總結出一次函數的定義，提高學生的分析問題、解決問題、總結歸納的能力.主要從函數解析式這一角度去研究一次函數，這是學生第一次正式接觸函數的運算式，教學中可根據學生狀況多加一些例子，讓學生逐步學會從函數運算式去認識函數，進一步掌握一次函數的定義.第三環節：鞏固練習內容:1.在函數(1)3y x ,(2)5y x ,(3)4y x ,(4)223y x x , (5)2y x (6)12y x 中是一次函數的是 ,是正比例函數的是 .2.若函數(63)44y m x n 是一次函數,則,m n 應滿足的條件是 ；若是正比例函數,則,m n 應滿足的條件是 .3.當k = 時,函數28(3)5k y k x 是關於x 的一次函數.意圖：對本節知識進行鞏固練習.效果：學生基本能交好的獨立完成練習題,收到了較好的教學效果.在第3題中,學生易忘記3k≠0的條件,而錯誤的將答案寫成±3.第四環節：知識提高內容：例3 寫出下列各題中x 與y 之間的關係式,並判斷:y 是否為x 的一次函數?是否為正比例函數?(1)汽車以60千米/時的速度勻速行駛,行駛路程y (千米)與行駛時間x (時)之間的關係；(2)圓的面積y (釐米2)與它的半徑x (釐米)之間的關係；(3)一棵樹現在高50釐米,每個月長高2釐米,x 個月後這棵樹的高度為y (釐米),則y 與x 的關係.答案: (1)由路程=速度×時間,得60yx ,y 是x 的一次函數,也是x 的正比例函數；(2)由圓的面積公式,得2y x ,y 不是x 的一次函數,也不是x 的正比例函數；(3)這棵樹每月長高2釐米,x個月長高了2x釐米,因而5020y x,y 是x的一次函數,但不是x的正比例函數.例4 某地區電話的月租費為25元,在此基礎上,可免費打50次市話(每次3分鐘),超過50次後,每次0.2元.(1)寫出每月電話費y(元)與通話次數x(x＞50)的函數關係式；(2)求出月通話150次的電話費；(3)如果某月通話費為53.6元,求該月通話的次數.分析:解決此類問題首先要理解題意,然後找出相等關係.此題相等關係為:每月通話費=月租費+超過50次後電話費.答案: (1)根據題意得: 25(50)y x×0.2,即0.215y x；(2)當150x時,0.2y×1501545；(3)因為53.6＞25,可知通話次數大於50次,即當53.6y時,求x的值.53.60.215x,解得193x.意圖：通過豐富的現實背景的例題,進一步理解一次函數和正比例函數的概念,根據所給的條件寫出簡單的一次函數的運算式,讓學生體會數學的廣泛應用,發展學生的抽象思維能力.充分加強數學與現實的聯繫,促進學生新的認知結構的建立和數學應用能力的發展.效果：根據已知條件寫出簡單的一次函數的運算式,教學時,學生會出現一定的差異,此時,要給予學生足夠的思考時間,必要的時候可組織學生交流討論,而不能是簡單的“告訴”.另外,在教學上還必須注意培養學生的書面表達能力,這些都是邏輯思維訓練的一部分.在例4中的(1)中,易錯解為250.2y x.應讓學生仔細審題,找准等量關係；(2)、(3)兩問是給定引數的值,求函數數值，這類問題的實質就是解方程.第五環節：回饋練習內容:1.下列語句中,具有正比例函數關係的是( )(A) 長方形花壇的面積不變,長y與寬x之間的關係；(B) 正方形的周長不變,邊長x與面積S之間的關係；(C) 三角形的一條邊不變,這條邊上的高h與面積S之間的關係；(D) 圓的面積為S,半徑為r,S與r之間的關係.2．我國現行個人工資、薪金所得稅徵收辦法規定：月收入低於1600元的部分不收稅；月收入超過1600元但低於2100元的部分徵收5%的所得稅……如果某人月收入1960元.他應繳納個人工資、薪金所得稅為（19601600）×5%=18（元）.（1）當月收入大於1600元而又小於2100元時，寫出應繳納所得稅y（元）與月收入x（元）之間的關係式.（2）某人月收入為1760元，他應該繳納所得稅多少元？（3）如果某人本月繳所得稅19.2元，那麼此人本月工資、薪金是多少以元？意圖：對本節知識進行鞏固練習.效果：學生基本能較好地獨立完成練習題,收到了較好的教學效果.在第2題,學生容易遺忘幾何的相關內容,在此教師可作適當的提醒,讓學生更順利地完成習題.第六環節: 課堂小結內容:這節課我們學習了一類很有用的函數——一次函數，只要解析式可以表示成y kx b（,k b為常數，k≠0）的形式的函數則稱為一次函數.正比例函數是一次函數當0b時的特殊情形.（方式：師生互相交流總結.）目的：鼓勵學生結合本節課的學習內容,談談自己的收穫和感想,進一步鞏固本節課的知識.實際效果：學生暢所欲言自己對本節課的感受與收穫,都能準確的說出一次函數與正比例函數的概念.但學生容易忽略一次函數與實際生活的聯繫,教師應做適當補充.第七環節：佈置作業1．根據下表寫出,x y之間的一個關係式.x10123y2. 某電信公司手機的A類收費標準如下：不管通話時間多長，每部手機每月必須繳月租費50元，另外，每通話1分鐘交費0.4元.（1）寫出每月應繳費用y（元）與通話時間x（分）之間的關係式；（2）某手機用戶這個月通話時間為152分，他應繳費多少元？（3）如果該手機用戶本月預交了200元的話費，那麼該用戶本月可通話多長時間？3．某電信公司手機的B類收費標準如下：沒有月租費，但每通話1分鐘收費0.6元.按照此類收費標準，分別完成第2題中的各小題.4．根據上面第2，3題中的條件，完成下列各題：（1）若每月平均通話時間為300分，你選擇哪類收費方式？（2）每月通話多長時間時，按A，B兩類收費標準繳費，所交話費相等？四、教學設計反思1．本課時在初中數學學習中的重要性函數是初中階段數學學習的一個重要內容，學生又是第一次接觸函數，充分考慮學生的接受能力，本節從生動有趣的問題情景出發，通過對一般規律的探索過程，從實際問題中抽象出一次函數和正比例函數的概念.又通過具有豐富的現實背景的例題，進一步理解一次函數和正比例函數的概念，為下一步學習《一次函數圖象》奠定基礎，並形成用函數觀點認識現實世界的能力與意識.2．怎樣對學生進行引導本節課的教學對像是初二學生,他們的參與意識較強,思維活躍,對研究常量的計算問題已掌握了一定的方法,但對函數、變數的變化規律的學習剛剛開始,抽象概括概念的能力尚顯不足,為此，我力求以下三個方面對學生進行引導:(1)從創設問題情景入手,通過知識再現,孕育教學過程；(2)從學生活動出發,通過以舊引新,順勢教學過程；(3)借助探索,通過思維深入,領悟教學過程.3．注意改進的方面在討論之前，應該留給學生充分的獨立思考的時間，不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問。
一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数教案【教案】一次函数与正比例函数教学目标：1. 理解一次函数和正比例函数的概念和特点；2. 能够根据给定的问题建立一次函数或正比例函数的数学模型；3. 掌握一次函数和正比例函数的图像特点和性质。
教学重点：1. 一次函数和正比例函数的定义和特点；2. 一次函数和正比例函数的图像特点；3. 理解数学模型的建立过程。
教学难点：1. 能够能够根据给定的问题建立一次函数或正比例函数的数学模型；2. 理解数学模型的建立过程。
教学准备：1. 教师准备课件和黑板；2. 学生准备笔记本和学习资料。
教学过程：Step 1 引入：1. 在黑板上写出以下问题：a) 如果一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，4 小时能行驶多远？b) 如果一辆汽车以每小时 50 公里的速度行驶，几小时能够到达 500 公里的目标地？2. 提问：你能找到这两个问题的相似之处吗？Step 2 导入概念：1. 向学生介绍一次函数和正比例函数的概念。
2. 在黑板上写出一次函数和正比例函数的定义。
Step 3 一次函数的图像特点：1. 讲解一次函数的图像特点：表示一次函数 y=kx+b 的图像为一条直线。
2. 展示一次函数图像特点的例子，并进行解释。
3. 在黑板上绘制一条一次函数的图像，并强调对应关系。
Step 4 正比例函数的图像特点：1. 讲解正比例函数的图像特点：表示正比例函数 y=kx 的图像为通过原点的直线。
2. 展示正比例函数图像特点的例子，并进行解释。
3. 在黑板上绘制一条正比例函数的图像，并强调对应关系。
Step 5 建立数学模型：1. 给出一些需求或问题，让学生根据给定的条件建立一次函数或正比例函数的数学模型。
2. 学生根据问题进行分组讨论，其中一名组员写在黑板上。
Step 6 练习：1. 号召全班一起讨论并解决一些实际问题，让学生运用所学的知识建立数学模型并求解。
2. 选择一些学生上台进行演示，并进行点评和讲解。
初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 一次函数一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数一、教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级上册第四章第二节的内容，在学生掌握了变量之间的关系、函数概念的基础上继续学习本节内容。
一次函数的研究方法具有一般性和代表性，为学习后面的反比例函数、二次函数奠定了基础，起着承上启下的作用。
二、学情分析认知基础：学生刚刚学习了函数的概念，在应用与理解时并不是很熟练、透彻，需要通过本节内容进一步加深巩固，对于规律性的问题，需进一步加强训练。
活动经验基础：在第一节函数的学习中，学生已经接触了较为丰富的生活实例，他们的参与意识和活动能力都很强，有一定的生活经验，因此在教学时，教师应结合学生的生活实际和认知状况，选择丰富的生活素材，启发学生从实例中归纳出一次函数的概念，加深理解，体会数学的广泛应用。
三、教学任务分析知识与技能目标(1)掌握一次函数和正比例函数的概念。
(2)能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。
过程与方法目标(1)经历一次函数概念的抽象过程。
(2)体会模型思想，发展符号意识与数学应用能力。
情感与态度价值观目标（1）感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。
（2）在探索过程中体验成功的喜悦，树立学生学习的自信心。
教学重点：掌握一次函数、正比例函数的概念；教学难点：能根据条件求出一次函数的关系式。
四、教法与学法分析说教学方法：针对八年级学生的年龄特点和本班的实际情况，遵循学生的认知规律，采用分组讨论法、引导发现法、讲练结合法为主的教法，让学生充分经历抽象一次函数模型的过程。
同时借助多媒体为辅进行演示、以增加课堂容量和教学的直观性。
学法指导：结合本节课的内容以及学生的心理特点，在学法上，引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方法，让学生经历观察思考，交流讨论，归纳总结，以及将结论推广应用的过程。
五、教学过程分析（一）测1、下列关系式中，哪个不是表示y是x的函数（）A. y=2xB. y=x2C. y2 =xD. y=-2x+11、什么是函数？2、函数有哪些表达方式？（二）探情景1、某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x 每增加1kg,弹簧长度y 增加.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg 、2kg 、3kg 、4kg 、5kg 时的弹簧长度,并填入下表:(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?（三）得学生观察三个函数关系式30.5y x ，y = ，z=60 的共同特征？①等式左右两边为整式②自变量前的系数k 是常数且不为0③x 的次数为1④常数项b 可以为一切实数总结：一般地,若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b (k,b 为常数, k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 是自变量,y 为因变量).特别地,当b=0时,则y 是x 的正比例函数. 思考：一次函数与正比例函数的关系是什么?（四）辨练习：判断下列函数关系式中，一次函数是 ，正比例函数是 。
一次函数与正比例函数 说课稿
说课班级：XXXX班姓名：XXX《一次函数与正比例函数》说课稿老师、同学们大家好，我叫XXX。
今天我说课的内容是《一次函数与正比例函数》，下面我从说教材、说教案、说教法三个方面来向大家呈现这堂课。
一、说教材我选择的是北师大版初中数学数学教材，这节课的内容处在八年级上册第四章第二节，以下是我的教材分析：（一）前情提要（4.1）在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。
在此基础上，本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数；由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有少部分学生表述上还不太标准，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，培养学生良好的书写习惯。
（二）本节内容（4.2）在课前准备工作中，我对比了以下两版教材：从数学自身的发展过程看，变量和函数的引入标志着数学从初等数学向变量数学的迈进。
而一次函数是初中阶段研究的较为简单、应用较为广泛的函数，它的研究方法具有一般性和代表性，为后面的二次函数、反比例函数的学习都奠定了基础。
同时，在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不等式都存在于一次函数中。
三者相互依存，紧密联系，也为方程、不等式、函数解法的补充提供了新的途径。
（三）后续学习（4.3，4.4）前一节学习过了函数，本节课学习一次函数与正比例函数，下节课学习一次函数的图像，了解图像的特点，k的意义等等；可以看出，学习好一次函数就相当于拿到了进入函数大家族的钥匙，所以学好本节课的内容对后续的学习至关重要！二、说教案教案的设计我将从教学目标、教学重难点、教学环节设置、板书设计这四个方面来为大家进行说明：（一）教学目标由知识技能、数学思考、情感态度这三个维度展开：1.知识技能根据微格教学的特点，我将本节课的教学目标设置为：理解一次函数与正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
4.2 一次函数与正比例函数——教案
4.2 一次函数与正比例函数——教案教学目标知识与技能:理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系；利用一次函数和正比例函数解决实际问题；过程与方法：经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；情感态度与价值观：体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。
教学重点：理解一次函数和正比例函数的概念教学难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力。
教具：授课教师：授课时间：授课班级：教学过程：一、回顾与思考1.什么叫函数?在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们的称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量. 2.表示函数的方法一般有：列表法、关系式法、图象法3、在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识。
二、新课讲解做一做：1. 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：x/kg 0 1 2 3 4 5y/cm(2)你能写出x 与y 之间的关系吗？答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) 30.5y x =+. 2.某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km 耗油6 L. (1) 完成下表： 汽车行驶路程x/km0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 油箱剩余汽油量y/L(2) 你能写出x 与y 的关系式吗? （3）请写出z 与x 的关系式. 答案 (1) 0，6，12，18，24，36；60，54，48，42，36，24；(2) （3）议一议:上面的三个函数关系式: (1)y=3+0.5x ，(2)y=0.12x,(3) y=60－0.12x,小组内讨论一下,这三个函数关系式有什么关系吗？ 分析：常数 常数 归纳概念：一次函数：若两个变量 x 、y 之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b 为常数，k ≠0）的形 式，则称y 是x 的一次函数.（x 为自变量）正比例函数：当b=0时，即y=kx (k,为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数.关键:(1)是含有两个变量的等式；（2）y,x 的次数都是1；（3）k ≠0思考：正比例函数与一次函数有什么关系？ （学生小组讨论后派代表回答）正比例函数是一次函数的特殊情形。
一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数教案第一章：一次函数的概念与性质1.1 一次函数的定义引导学生了解一次函数的定义，即函数表达式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的形式。
通过实际例子，让学生理解一次函数的图像是一条直线。
1.2 一次函数的斜率与截距解释斜率k和截距b的概念，并引导学生通过函数表达式理解它们的含义。
利用实际例子，展示斜率和截距如何影响函数图像的位置和斜率。
1.3 一次函数的图像利用图形工具，展示不同斜率和截距的一次函数图像。
引导学生观察图像的特性，如斜率和截距对图像的影响。
第二章：正比例函数的概念与性质2.1 正比例函数的定义引导学生了解正比例函数的定义，即函数表达式为y=kx（k为常数）的形式。
解释正比例函数是一种特殊的一次函数，其截距b为0。
2.2 正比例函数的斜率与图像解释正比例函数的斜率代表比例常数k，并展示不同k值的图像。
引导学生观察正比例函数图像的特点，如通过原点、斜率为正或负等。
2.3 正比例函数的应用通过实际例子，展示正比例函数在实际生活中的应用，如购物时商品的价格与数量的关系。
引导学生理解正比例函数的局限性，即仅限于变量间成正比的情况。
第三章：一次函数与正比例函数的关系3.1 一次函数与正比例函数的转化解释一次函数可以通过移项转化为正比例函数的形式。
引导学生掌握如何将一次函数y=kx+b转化为正比例函数y=kx。
3.2 一次函数与正比例函数的图像关系利用图形工具，展示一次函数和正比例函数图像之间的关系。
引导学生观察当截距b为0时，一次函数图像与正比例函数图像的相似性。
3.3 一次函数与正比例函数的交点解释一次函数与正比例函数的交点是两个函数图像的交点。
引导学生利用图形工具，找出一次函数与正比例函数的交点，并分析其含义。
第四章：一次函数与正比例函数的应用4.1 线性方程的解法引导学生掌握线性方程的解法，包括代入法、消元法等。
通过实际例子，展示如何利用一次函数和正比例函数解决实际问题。
北师大版八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数(教案)
在小组讨论环节，学生们积极参与，提出了许多有创意的想法。我在这个过程中扮演了一个引导者的角色，适时地提出问题，引导他们进行深入思考。从成果分享来看，学生们对一次函数与正比例函数的理解有了明显提高。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数与正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：展示不同k值的正比例函数图像，说明k值对图像斜率的影响。
（3）一次函数与正比例函数在实际问题中的应用，如线性关系的数据分析、趋势预测等。
-举例：分析某商品销售额与时间的关系，利用一次函数进行趋势预测。
2.教学难点
（1）理解一次函数图像的斜率和截距的物理意义，以及如何从图像中读取这些信息。
-难点解析：学生可能难以将图像的几何特征与函数表达式中的参数联系起来，需要通过图示和实例来强化理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与正比例函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k为斜率，b为截距；而正比例函数是特殊的一次函数，形如y=kx，它通过原点。这两个概念在描述现实世界的线性关系方面具有重要意义。
一次函数与正比例函数教案
一次函数与正比例函数教案第一章：一次函数的概念与性质1.1 一次函数的定义引导学生了解一次函数的定义，即形如y = kx + b （k、b 为常数，k 不等于0）的函数。
通过实际例子，让学生理解一次函数的组成和意义。
1.2 一次函数的图像引导学生了解一次函数图像是一条直线，并掌握直线的斜率和截距的概念。
1.3 一次函数的性质引导学生掌握一次函数的增减性和过原点性质。
举例说明一次函数在实际生活中的应用，如成本与数量的关系等。
第二章：正比例函数的概念与性质2.1 正比例函数的定义引导学生了解正比例函数的定义，即形如y = kx （k 为常数）的函数。
通过实际例子，让学生理解正比例函数的组成和意义。
2.2 正比例函数的图像引导学生了解正比例函数图像是一条通过原点的直线。
2.3 正比例函数的性质引导学生掌握正比例函数的单调性和过原点性质。
举例说明正比例函数在实际生活中的应用，如速度与时间的关系等。
第三章：一次函数与正比例函数的关系3.1 一次函数与正比例函数的联系引导学生了解一次函数和正比例函数之间的关系，即一次函数可以看作是正比例函数的一种特殊形式。
3.2 一次函数与正比例函数的转化引导学生掌握如何将一次函数转化为正比例函数，以及如何将正比例函数转化为一次函数。
3.3 一次函数与正比例函数的应用通过实际例子，让学生了解一次函数和正比例函数在实际生活中的应用，如商品价格与数量的关系等。
第四章：一次函数与正比例函数的图像解析4.1 一次函数图像的解析引导学生掌握如何从一次函数的图像中获得斜率和截距的信息。
4.2 正比例函数图像的解析引导学生掌握如何从正比例函数的图像中获得斜率的信息。
4.3 一次函数与正比例函数图像的比较引导学生了解一次函数图像和正比例函数图像的异同，并掌握如何判断一个函数是一次函数还是正比例函数。
第五章：一次函数与正比例函数的综合应用5.1 实际问题转化为一次函数与正比例函数的问题引导学生学会将实际问题转化为一次函数与正比例函数的问题，并利用相关性质解决。
北师大版八年级上册第4.2一次函数与正比例函数(教案)
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案
北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要包括一次函数和正比例函数的定义、性质和图象。
这一部分内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，对于图象和方程有一定的认识。
但是一次函数和正比例函数的概念和性质可能对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.学会绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数和正比例函数的定义和性质。
2.绘制一次函数和正比例函数的图象。
3.运用一次函数和正比例函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题和具体例子引导学生理解和掌握一次函数和正比例函数的概念和性质，通过绘制图象和解决实际问题来巩固知识。
六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。
2.教学案例和实际问题。
3.绘图工具，如直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数和正比例函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。
2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现一次函数和正比例函数的定义和性质，结合实际例子进行解释和说明。
引导学生积极参与，提出问题和困惑。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，通过绘制一次函数和正比例函数的图象来加深对概念和性质的理解。
可以给出一些具体的函数表达式，让学生根据性质来判断图象的形状和位置。
4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数的知识。
可以设置一些选择题、填空题或者解答题，检查学生对知识的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和正比例函数的应用场景，例如：经济学中的成本和收益模型、物理学中的速度和时间模型等。
一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案
一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b，其中x 是自变量，y是因变量。
正比例函数是一次函数的特别形式，即一次函数y=kx+b中，假设b=0，即所谓“y 轴上的截距”为零，那么为正比例函数。
以下是我整理的一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案，欢送大家借鉴与参考!4.2一次函数与正比例函数：教案二、教学任务分析《一次函数》是义务教育课程标准北师大版试验教科书八年级(上) 第四章《一次函数》的其次节.本节内容支配了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能依据确定信息写出简洁的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点相识现实世界的意识和实力.与原传统教材相比，新教材更注意借助生活中的实际背景，让学生经验一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念;同时，新教材调整了学问的支配依次，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特别状况给出来的.本节课教学目标分析是：(1)理解一次函数和正比例函数的概念;(2)能依据所给条件写出简洁的一次函数表达式.(3)经验一般规律的探究过程，开展学生的抽象思维实力;(4)经验从实际问题中得到函数关系式这一过程，开展学生的数学应用实力.(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的亲密联系，激发学生学数学、用数学的爱好.(6)在探究过程中体验胜利的喜悦，树立学习的自信念.本节课教学重点是：理解一次函数和正比例函数的概念.本节课教学难点是：能依据所给条件写出简洁的一次函数表达式,开展学生的抽象思维实力.三、教学过程设计本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入;其次环节：新课讲解并描述;第三环节：稳固练习;第四环节：学问提高;第五环节：反应练习;第六环节：课堂小结;第七环节：布置作业.第一环节：复习引入内容：复习上节课学习的函数,老师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有很多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的留意力,这里采纳了“复习旧学问,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识.效果：问题(1)(2)学生都能快而准的答复,问题(3)是在一个开放的环境中答复,学生不能很精确的表述出来,可让学生相互补充,也可老师进展补充、完善.通过学生亲身经验了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受胜利的喜悦,充分表达了本节课的情感、看法目标.假设课堂气氛比拟沉闷,也可由老师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题)①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,那么他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么?②上网费用是2元/小时,那么上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?《4.2一次函数与正比例函数》同步测试1.以下变量之间的改变关系不是一次函数的是( )A.圆的周长和它的半径B.圆的面积和它的半径C.2x+y=5中的y和xD.正方形的周长C和它的边长a2.以下说法中不正确的选项是( )A.一次函数不必须是正比例函数B.不是一次函数就必须不是正比例函数C.正比例函数是特别的一次函数D.不是正比例函数就必须不是一次函数3.假设函数y=x+3+b是正比例函数，那么b=____.4.对于函数y=(k-3)x+k+3，当k=____时，它是正比例函数;当k____时，它是一次函数.5.确定一次函数y=2x+1，当x=0时，函数y的值是____.6.把式子3x-y=2写成y=kx+b的形式，那么y= ，其中k=____，b=____.当x=-2时，y=____;当y=0时，x= .7.火车“动车组”以250千米/时的速度行驶，那么行驶的路程s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系式是，它是函数.(填“正比例”或“一次”)8.某城市的出租车收费标准如下：3公里内起步价为10元，超过3公里以后，以每公里2.4元记价.假设某人坐出租车行驶x公里，付给司机19.6元，那么x= .9.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过视察可以发觉：第4个图形中，火柴棒有____根，第n个图形中，火柴棒有根，假设用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数，那么y与x的函数关系式是，y是x的____函数.4.2一次函数与正比例函数：课后练习1.确定一个正比例函数的图象经过点(-2，4)，那么这个正比例函数的表达式是2.确定一次函数y=kx+5的图象经过点(-1，2)，那么k=一次函数与正比例函数北师大版数学初二上册教案。
最新北师版八年级初二数学上册《一次函数与正比例函数》名师精品教案
4．2 一次函数与正比例函数1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点) 2．掌握正比例函数的概念．(重点)一、情境导入生活中，我们常常见到各式各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min ；旋转两圈，表示时间过了2min ……那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？二、合作探究探究点一：一次函数与正比例函数【类型一】 一次函数与正比例函数的识别下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y ＝－x －4; (2)y ＝5x 2－6；(3)y ＝2πx; (4)y ＝－x2；(5)y ＝1x； (6)y ＝8x 2＋x(1－8x)．解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为y ＝kx ＋b(k≠0，k 、b 是常数)的形式，如果x 的次数是1，则是一次函数，否则不是一次函数；在一次函数中，如果常数项b ＝0，那么它是正比例函数．解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数．方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零； 判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．【类型二】 根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值已知函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1. (1)若它是一次函数，求m 的值；(2)若它是正比例函数，求m 的值．解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义x 的指数m 2－24＝1，且一次项系数m －5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m ＋1＝0这个条件．解：(1)因为y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数，所以m 2－24＝1且m －5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m ＝－5.所以当m ＝－5时，函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数．(2)因为y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函数，所以m 2－24＝1且m －5≠0且m ＋1＝0.所以m ＝±5且m≠5且m ＝－1，则这样的m 不存在，所以函数y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1不可能为正比例函数．方法总结：函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b ＝0时，一次函数为正比例函数．探究点二：一次函数关系式的确定某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用以生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：产品 资源/吨 )甲 乙 矿石 10 4 煤48煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除需原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．(1)写出m 与x 的关系式；(2)写出y 与x 的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围)解析：(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量x 变化时，那么乙产品的产量m 将随之变化，m 和x 是动态变化的两个量；(2)题目中的等量关系为总利润y ＝甲产品的利润＋乙产品的利润．解：(1)因为4m ＋10x ＝300，所以m ＝150－5x2.(2)生产1吨甲产品获利为4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产1吨乙产品获利为5500－4×200－8×400－500＝1000(元)．所以y ＝600x ＋1000m.将m ＝150－5x2代入，得y ＝600x ＋1000×150－5x2，即y ＝－1900x ＋75000.方法总结：根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解．三、板书设计一次函数⎩⎪⎨⎪⎧一次函数的概念正比例函数的概念函数关系式的确定经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．学习名言警句：1.在科学上面没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望到达光辉的顶点。
一次函数与正比例函数教案
课题：一次函数与正比例函数●教学目标：知识与技能目标：1、经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，开展符合意义2、理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式过程与方法目标1、经历一般规律的探索过程、开展学生的抽象思维能力。
2、通过由信息写一次函数表达式的过程，开展学生的数学应用能力。
情感与态度目标1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，开展学生的数学思维。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，开展学生的数学应用能力●重点：将实际问题用一次函数表示●难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,开展学生的抽象思维能力.●教学流程：一、课前回忆1.函数一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数.2、函数的表示法：①图象法、②列表法、③解析式法〔关系式法〕二、情境引入探究1：某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:(2)你能写出x与y之间的关系式吗"答案(1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；y x.(2) 30.5探究2：某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.(1)完成下表:(2)你能写出x与y之间的关系式吗"(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗"有没有一个取值X围"剩余油量y呢"答案(1) 100、91、82、73、64、46；y x；(2) x与y之间的关系式为1000.18(3) 汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零.思考：这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.归纳：一次函数的定义一般地,假设两个变量x,y间的关系式可以表示成y kx b(,k b为常数,k≠0)的形式,b时,那么y是x的正比例那么称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当0函数.注意：1. k≠02.x的次数为13．常数k可以取任意实数当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，那么称y是x的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数练习1：1、以下语句中,具有正比例函数关系的是( C).A.长方形花坛的面积不变, 长y与宽x之间的关系;B.正方形的周长不变, 边长x与面积S之间的关系;C.三角形的一条边不变, 这条边上的高h与S之间的关系;D.圆的面积为S , 半径为r , S 与r之间的关系.2、以下说法正确的选项是〔D〕A.一次函数是正比例函数.B.正比例函数不是一次函数.C.不是正比例函数就不是一次函数.D.正比例函数是一次函数.3、当m= _1或0__ 时，函数y=x m+4x-5〔x≠0〕是一个一次函数。
北师大八年级数学教案-一次函数与正比例函数
4．2 一次函數與正比例函數1．掌握一次函數的概念，能根據條件寫出一次函數的關係式；(重點) 2．掌握正比例函數的概念．(重點)一、情境導入生活中，我們常常見到各式各樣的鐘錶．時鐘的秒針每旋轉一圈，表示時間過了1min ；旋轉兩圈，表示時間過了2min ……那麼，秒針走過的圈數與經過的時間之間的關係如何表示呢？二、合作探究探究點一：一次函數與正比例函數【類型一】 一次函數與正比例函數的識別下列函數關係式中，哪些是一次函數，哪些是正比例函數？ (1)y ＝－x －4; (2)y ＝5x 2－6； (3)y ＝2πx; (4)y ＝－x2；(5)y ＝1x； (6)y ＝8x 2＋x(1－8x)．解析：首先看每個函數的運算式能否變形轉化為y ＝kx ＋b(k≠0，k 、b 是常數)的形式，如果x 的次數是1，則是一次函數，否則不是一次函數；在一次函數中，如果常數項b ＝0，那麼它是正比例函數．解：(1)是一次函數，不是正比例函數； (2)不是一次函數，也不是正比例函數； (3)是一次函數，也是正比例函數； (4)是一次函數，也是正比例函數； (5)不是一次函數，也不是正比例函數； (6)是一次函數，也是正比例函數．方法總結：一個函數是一次函數的條件：引數是一次整式，一次項係數不為零； 判斷一個函數是正比例函數的條件：引數是一次整式，一次項係數不為零，常數項為零．【類型二】 根據一次函數與正比例函數的定義求字母的值 已知函數y ＝(m －5)xm －24＋m ＋1. (1)若它是一次函數，求m 的值；(2)若它是正比例函數，求m 的值．解析：(1)要使函數是一次函數，根據一次函數的定義x 的指數m 2－24＝1，且一次項係數m －5≠0；(2)要使函數是正比例函數，除了滿足上述條件外，還需加上m ＋1＝0這個條件．解：(1)因為y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函數，所以m 2－24＝1且m －5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m ＝－5.所以當m ＝－5時，函數y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函數．(2)因為y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1是一次函數，所以m 2－24＝1且m －5≠0且m ＋1＝0.所以m ＝±5且m≠5且m ＝－1，則這樣的m 不存在，所以函數y ＝(m －5)xm 2－24＋m ＋1不可能為正比例函數．方法總結：函數是一次函數，則k≠0，且引數的次數為1.當b ＝0時，一次函數為正比例函數．探究點二：一次函數關係式的確定某公司以每噸200元的價格購進某種礦石原料300噸，用以生產甲、乙兩種產品，生產1噸甲產品或1噸乙產品所需該礦石和煤原料的噸數如下表：產品 資源/噸 ) 甲 乙煤的價格為400元/噸，生產1噸甲產品除需原料費用外，還需其他費用400元，甲產品每噸售價4600元；生產1噸乙產品除原料費用外，還需其他費用500元，乙產品每噸售價5500元．現將該礦石原料全部用完，設生產甲產品x 噸，乙產品m 噸，公司獲得的總利潤為y 元．(1)寫出m 與x 的關係式；(2)寫出y 與x 的函數關係式．(不要求寫引數的取值範圍)解析：(1)因為礦石的總量一定，當生產的甲產品的數量x 變化時，那麼乙產品的產量m 將隨之變化，m 和x 是動態變化的兩個量；(2)題目中的等量關係為總利潤y ＝甲產品的利潤＋乙產品的利潤．解：(1)因為4m ＋10x ＝300，所以m ＝150－5x2.(2)生產1噸甲產品獲利為4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生產1噸乙產品獲利為5500－4×200－8×400－500＝1000(元)．所以y ＝600x ＋1000m.將m ＝150－5x2代入，得y ＝600x ＋1000×150－5x2，即y ＝－1900x ＋75000.方法總結：根據條件求一次函數的關係式時，要找准題中所給的等量關係，然後求解．三、板書設計一次函數⎩⎪⎨⎪⎧一次函数的概念正比例函数的概念函数关系式的确定經歷一般規律的探索過程，培養學生的抽象思維能力，經歷從實際問題中得到函數關係式這一過程，提升學生的數學應用能力．體驗生活中數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯繫，激發學生學數學、用數學的興趣．使學生在探索過程中體驗成功的喜悅，樹立學習的自信心．。
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B.正方形的面积和边长之间的关系
C.三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系
D.匀速运动中，路程和时间之间的关系
4.下列函数： ； ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ .其中是一次函数的个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
答案与解析
1.【答案】 ，
【解析】用关系式表示函数.
A.S是变量 B.t是变量
C.v是变量 D.S是常量
2.假设甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图，那么可知道：
（1）这是一次米赛跑；
（2）甲、乙两人中先到达终点是.
3.如果函数 是一次函数，则此函数的关系式为（ ）
A． B. C. D.
答案与解析
1.【答案】A
【解析】函数中变量与常量的判定.
（3）此人本月工资薪金是x元，根据题意得：
（x-2000）×5%=1.92，
解得：x=2038.4，
则此人本月工资薪金是2038.4元．
【解析】用关系式表示函数的应用.
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：
（1）当月收入大于2000元而又小于2500元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式；
（2）某人月收入为2100元，他应缴所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税1.92元，那么此人本月工资薪金是多少元？
答案与解析
1.【答案】（1）a≠3时；（2）
【解析】本题主要考查一次函数及正比例函数的概念.
2.【答案】（1）100米； （2）甲．
【解析】由图像表示函数关系.
3.【答案】D
【解析】本题主要考查一次函数的概念.
1.等腰三角形顶角的度数y（单位：度）与底角的度数x（单位：度）之间的函数关系式及x的取值范围是（ ）
A． B.
C． D.
2.如果函数 是一次函数，那么 的取值范围是____________.
本节课从生活实例中引入函数的概念，注意引导学生探索发现及由实例到数学模型的抽象思维能力．
【知识导图】
1.如图所示堆放钢管.
（1）填表
层数
1
2
3
…
x
钢管总数
（2）对于给定的层数，钢管的总数确定吗？
1.如图所示堆放钢管.
（1）填表
层数
1
2
3
…
x
钢管总数
（2）对于给定的层数，钢管的总数确定吗？
2、声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系：y= x+331，x≥0，
（1）当x分别为5，15，30时，你能求出相应的y值吗？
（2）给出任意x，你能求出对应的y值吗？
在上面各例中，都有两个变量，给定其中一个变量的值，相应地就确定了另外一个变量的值。
一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
3
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）你能写出x与y之间的关系式吗？
分析：当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做自变量；数值始终不变的量叫做常量；
函数有三种表示形式：
（1）解析式法；（2）列表法；（3）图象法
函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
答案与解析
1.【答案】C
【解析】用关系式表示函数及自变量的取值范围.
2.【答案】
【解析】本题主要考查一次函数的概念.
3.【答案】(1) ；(2)11；(3)
【解析】本题主要考查正比例关系式及函数求值.
4.【答案】
【解析】（1）Q=200+15t，0≤t≤40.（2）注水40min可以把水池注满.（3）380L
2.【答案】 ， ； 是 的一次函数.
【解析】用关系式表示函数的应用.
3.【答案】解：（1）∵月收入大于2000元而又小于2500元，
∴应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式为；
y=（x-2000）×5%
=0.05x-100；
（2）根据题意得：
（2100-2000）×5%=5（元），
答：他应缴所得税5元．
4、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
5、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
6、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
教学重点
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学难点
会根据已知信息写出一次函数的表达式。
【教学建议】
适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
函数及其表示方法
函数的值及自变量的取值范围
一次函数与正比例函数
教学目标
1、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。
2、判断两个变量之间的关系是否可看作函数。
3、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
1.已知函数 .
（1）当 取何值时，这个函数是一次函数？（2）当 取何值时，这个函数是正比例函数？
2.如图,在三角形ABC中,∠B与∠C的平分线交于点P,
设∠A= ,∠BPC= ,当∠A变化时,求 与 之间的函数关
系式,并判断 是不是 的一次函数.
3.我国现行个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入低于2000元的部分不收税；月收入超过2000元但低于2500元的部分征收5%的所得税…如某人月收入2300元，他应缴个人工资薪金所得税为（2300-2000）×5%=15（元）．
2、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千克耗油9升。
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升
你能写出x与y之间的关系吗？（y=100-0.18x或y=100- ）
3、一次函数，正比例函数的概念
上面的两个函数关系式为y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
类型一函数及其表示
1.对于圆的面积公式S=πR2,下列说法中，正确的为（ ）
A.π是自变量B.R2是自变量
C.R是自变量D.πR2是自变量
【解析】C
【总结与反思】自变量与因变量.
2.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（ ）
A． B. C. D.
【解析】C
【总结与反思】函数的概念.
3.已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：
【总结与反思】函数求值.
2.函数 中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. ，且
【解析】D
【总结与反思】自变量的取值范围.
类型三一次函数及正比例函数
1.下列函数中，一次函数是（ ）
A． B. C. D.
【解析】B
【总结与反思】一次函数概念.
2.下列函数中，是正比例函数的是（）
A.y =-8x B . C.y=5 +6 D.y=-0.5x-1
x
-1
0
1
Y
-1
1
3
则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
A. B. C. D.
【解析】B
【总结与反思】用关系式表示函数.
类型二函数值及自变量的取值范围
1.已知： 求：（1）求当x取1，-1时的值；（2）求当 时x的值．
【解析】(1) x=1时,y=-3， x=-1时，y= ；
（2） 时,x= , y= 时，x=-3， y=-2时， ．
1.【答案】C
【解析】本题主要考查函数的概念.
2.【答案】B
【解析】本题主要考查正比例函数的概念.
3.【答案】A
【解析】本题主要考查一次函数的概念
4.【答案】C
【解析】本题主要考查一次函数与正比例函数的区别.
1.下列各曲线中，反映了变量y是x的函数的是（ ）