一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘
老高考适用2023高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步
(2)因为0~9中的质数为2,3,5,7,共有4个数字; 0~9中奇数为1,3,5,7,9,共有5个数字; 0~9中偶数为0,2,4,6,8,共有5个数字;
故由分步乘法计数原理可知,他可选择的不同密码的个数为4×5×5=100.
名师点析使用分步乘法计数原理的原则 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需要几个步骤. (2)将完成这件事划分几个步骤完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当 所有步骤都完成了,整个事件才算完成,这是分步的基础,也是关键.从计数 上来看,各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.
2.3个班分别从5个景点中选择一处游览,不同的选法种数为( ) A.243
答案 B 解析 因为第1个班有5种选法,第2个班有5种选法,第3个班有5种选法,
由分步乘法计数原理可得,不同的选法有5×5×5=125(种).
故选B.
3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不
同的报名方法有
对点训练1(1)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠
送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )
种种
种种
(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经
过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有
种.
答案 (1)B (2)6
解析 (1)分两种情况:①4位朋友中有2个人得到画册,有 C42=6(种)赠送方法; ②4位朋友中只有1个人得到画册,有 C41=4(种)赠送方法.由分类加法计数原
若2区与4区不同色,先涂2区,有3种涂法,再涂4区,有2种涂法,此时3区与5区
高三数学一轮复习 第11章第1课时课件
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数 原理和分步乘法计数原理是考查的热 点．题型为选择题、填空题，分值在5分左 右，属中档题．两个计数原理较少单独考 查，一般与排列、组合的知识相结合命 题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一 步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方 法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点 的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．
高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.1 分类加法计数原理与分步乘法计
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版的全部内容。
11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理真题演练集训理新人教A版1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（)A．24 B．18 C．12 D．9答案：B解析：由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18（种)走法，故选B。
2．[2016·新课标全国卷Ⅲ］定义“规范01数列”｛a n｝如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…,a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个 B．16个C．14个 D．12个答案：C解析：由题意可得，a1＝0,a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1,且满足对任意k≤8,都有a1,a2，…，a k中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列"有00001111,00010111，00011011，00011101，00100111,00101011，00101101，00110011，00110101,01000111，01001011,01001101，01010011，01010101，共14个．3．［2016·四川卷]用数字1，2，3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为（)A．24 B．48C．60 D．72答案：D解析：由题意可知，个位可以从1,3，5中任选一个，有A1，3种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有A4，4种方法，所以奇数的个数为A错误!A错误!＝3×4×3×2×1＝72，故选D。
2017版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第1讲 分类计数原理与分步计数原理课件 理
3.混合问题一般是先分类再分步.
4. 要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚， 便于探索规律.
[易错防范]
1. 切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要
分步进行.
②丙、丁分到两个不同班仅有 A2 2＝2 种分法. 由分步乘法计数原理，不同的分法为 2×(2＋2)＝8( 种).
答案 (1)10 (2)8
考点三 两个计数原理的综合应用
【例3】 (1)用a代表红色球，b代表蓝色球.由分类加法原理及
分步乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所 有取法可由 (1 ＋a)(1＋ b) 的展开式1＋ a＋ b＋ ab 表示出来， 如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab” 则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，写出一个乘积式，
【训练3】 (1) 如图所示，一个地区分为五个行政
区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用 同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着 色方法共有________种. (2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则
称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸
答案 (1)(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5) (2)96
规律方法
(1)①注意在综合应用两个原理解决问题时，一
般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理 . ②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地 列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化. (2)解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区 域分步完成.第(2)题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是 否同色分类处理.
【名师一号】高考数学一轮总复习 10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
知识点二
分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法，…，完成第 n 步 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法.
知识点三
两个原理的区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 完成一件事情 的不同方法的种数． 它们的区别在于： 分类加法计数原理与分类 有 关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理与 分步 有关，各个步骤 相互依存 各个步骤都完成了，这件事才算完成． ，只有
解析 当 x＝1,2,3,4,5 时，y 值依次有 5,4,3,2,1 个，由分类加
法计数原理，不同的数据对(x，y)共有 5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
答案 15
知识点二 3.判一判
分步乘法计数原理
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法 是各不相同的．( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何 一个单独的步骤都能完成这件事．( )
对 点 自 测 知识点一 1.判一判 (1) 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相 同．( ) 分类加法计数原理
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成 这件事．( )
答案 (1)× (2)√
2 ．若 x， y∈ N*，且 x ＋ y≤6 ，则有序自然数对 (x， y) 共有 __________个．
备考知考情 独立考查两个计数原理的题目出现的较少， 但有时也会出现， 重点考查两个计数原理的应用，有时会利用分类讨论思想进行讨 论求解.
J 基础回扣· 自主学习
高考总复习课标版数学 计数原理、概率、随机变量及其分布列-分类加法、分步乘法计数原理-主干知识梳理
分．
核
2．三个注意点
心
考 点
(1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步．
突 破
(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准．
(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连．
第6页
第十一章 第一节
高考总复习 ·课标版 ·数学 （理）
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
核 心 考 点 突 破
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第十一章 第一节
高考总复习 ·课标版 ·数学 （理）
(2)因为 a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当 a＝0 时，b
主 可能为－1 或 1 或 0 或 2，即 b 有 4 种不同的选法；②当 a≠0 时，
干
知 依题意得 Δ＝4－4ab≥0，所以 ab≤1.当 a＝－1 时，b 有 4 种不
心
考 点
4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有
突 破
6×5×4＝120 种．
[答案] (1)A (2)120
第22页
第十一章 第一节
高考总复习 ·课标版 ·数学 （理）
[拓展探究] (1)本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至
主 多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有
主 干
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相
知 识
同．(
)
梳
理
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成
这件事．( )
核 心
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法
考
点 是各不相同的．( )
突
破
高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分布乘法计数原理课件理
②80
(2)5
(3)20
利用分类加法计数原理解题时的注意事项 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准 要统一，不能遗漏； (2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于 某一类，不能重复．
[典题 2] (1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由 一层到五层的走法有( A．10 种 C．52 )
已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若 a，b， c∈M，则： (1)y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个不同的二次函 数？其中偶函数有多少个？ (2)y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个图象开口向上 的二次函数？
答案：(1)D (2)120
[探究 1]
本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人
至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不 限”，则有多少种不同的报名方法？
解： 每人都可以从这三个比赛项目中选报一 项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘法计数 原理，可得不同的报名方法共有 36＝729 种．
B．25 种 D．24 种
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人， 且每人至多参加一项，则不同的报名方法有________种．
[听前试做]
(1)由一层到二层、由二层到三层、由三层
到四层、由四层到五层各有 2 种走法，故共有 2×2×2×2 ＝24 种不同的走法． (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项 目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法， 第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同 的报名方法共有 6×5×4＝120 种．
(3)在分步乘法计数原理中， 每个步骤中完成这个步 骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的， 其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
2020高考数学大一轮复习计数原理、概率、随机变量及其分布1第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理
[迁移探究 1] (变条件)在本例(1)中，若 m∈{1，2，…，k}，n ∈{1，2，…，k}(k∈N*)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？ 解：因为 m>n. 当 m＝k 时，n＝1，2，…，k－1. 当 m＝k－1 时，n＝1，2，…，k－2. … 当 m＝3 时，n＝1，2. 当 m＝2 时，n＝1. 所以共有 1＋2＋…＋(k－1)＝k（k2－1）(个)．
分类加法计数原理的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类． (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于 不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以 用分类加法计数原理．
1．如图，从 A 到 O 有________种不同的走法(不重复过一点)．
3．从－1, 0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)＝ ax2＋bx＋c 的系数，则可组成________个不同的二次函数，其 中偶函数有________个(用数学作答)． 解析：一个二次函数对应着 a，b，c(a≠0)的一组取值，a 的取 法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数 原理知共有 3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数， 则 b＝0，同上可知共有 3×2＝6(个)偶函数． 答案：18 6
利用分步乘法计数原理解题的策略 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任 务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得 到总方法数． [提醒] 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干 扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
两个计数原理的综合应用(多维探究)
角度一 涂色、种植问题
全国通用近年高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步
（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理新人教B版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理新人教B版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1。
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;2。
会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
知识梳理1。
分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法。
则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n 种不同的方法。
2。
分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法。
3。
分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步"问题，各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.[常用结论与微点提醒］1。
高考数学一轮复习第十一篇计数原理第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【2021年高考会这样考】考察分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用．【复习指导】复习时要弄清分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联络，这是解排列组合问题的根底．根底梳理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事情一共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情一共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．两个原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的根底并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的HY是“不重不漏，一步完成〞．而分步乘法计数原理中，各个步骤互相依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“互相HY，多步完成〞．类比加法与乘法的关系，在特定的情况下分步乘法计数原理可简化运用分类加法计数原理的过程．双基自测1．(人教A版教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数一共有( )．A．238个 B．232个 C．174个 D．168个解析可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数一共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数一共有3A33＝18(个)，故一共有192－18＝174(个)．答案 C2．(2021·模拟)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．如今从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，那么一一共可以组成多少个集合( )．A．24个 B．36个 C．26个 D．27个解析C14C13＋C14C12＋C13C12＝26，应选C.答案 C3．(2021·调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选的课程中恰有1门一样的选法有( )．A．6种 B．12种 C．24种 D．30种解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门一样的选法一共有4×3×2＝24(种)，应选C.答案 C4．(2021·)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．假设所用数字只有0和1，那么与信息0110至多有两个对应位置上的数字一样的信息个数为( )．A．10 B．11 C．12 D．15解析假设4个位置的数字都不同的信息个数为1；假设恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34；假设恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C34＋C24＝11. 答案 B5．某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，假设某个焊点脱落，整个电路就不通，如今发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况一共有________种．解析法一当线路不通时焊点脱落的可能情况一共有2×2×2×2－1＝15(种)．法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C i4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况一共C14＋C24＋C34＋C44＝15(种)．答案15考向一分类加法计数原理【例1】►(2021·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，那么不同的赠送方法一共有( )．A．4种 B．10种 C．18种 D．20种[审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．解析赠送一本画册，3本集邮册，一共4种方法；赠送2本画册，2本集邮册一共C24种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法一共4＋C24＝10(种)．答案 B分类时，首先要确定一个恰当的分类HY，然后进展分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．【训练1】如下图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公一共边的三角形有________个．解析把与正八边形有公一共边的三角形分为两类：第一类，有一条公一共边的三角形一共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公一共边的三角形一共有8(个)．由分类加法计数原理知，一共有32＋8＝40(个)．答案40考向二分步乘法计数原理【例2】►(2021·)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数一共有________个(用数字答题)．[审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．解析法一用2,3组成四位数一共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或者不出现3的一共2个，因此满足条件的四位数一共有16－2＝14(个)．法二满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，一共有4个；第二类含有三个2，一个3一共有4个；第三类含有二个2，二个3一共有C24＝6(个)，因此满足条件的四位数一共有2×4＋C24＝14(个)．答案14此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间互相联络，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原那么是步与步之间的方法“互相HY，逐步完成〞．【训练2】由数字1,2,3,4，(1)可组成多少个3位数；(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．解(1)百位数一共有4种排法；十位数一共有4种排法；个位数一共有4种排法，根据分步计数原理一共可组成43＝64个3位数．(2)百位上一共有4种排法；十位上一共有3种排法；个位上一共有2种排法，由分步计数原理一共可排成没有重复数字的3位数4×3×2＝24(个)．(3)排出的三位数分别是432、431、421、321，一共4个．考向三涂色问题【例3】►如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？[审题视点] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜色．解法一如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理一共有5×4×3×3＝180种涂色方法．法二由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不一样，一共有A35＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知一共有60×3＝180种涂法．涂色问题的本质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中假设出现某一步需分情况说明时还要进展分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个根本原理和排列组合的知识灵敏处理．【训练3】如下图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，假如只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．解法一可分为两大步进展，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不一样，它们一共有5×4×3＝60种染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，假设C染2，那么D可染3或者4或者5，有3种染法；假设C染4，那么D可染3或者5，有2种染法，假设C染5，那么D可染3或者4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．法二以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进展分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法一共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．法三按所用颜色种数分类第一类，5种颜色全用，一共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，那么必有某两个顶点同色(A与C，或者B与D)，一共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，那么A与C、B与D必定同色，一共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．标准解答20——如何解决涂色问题【问题研究】涂色问题是由两个根本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考察考生的思维连接性与敏捷性，加之涂色问题的兴趣性，自然成为新课标高考的命题热点.【解决方案】涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，详细操作法和按照颜色的数目进展分类法是解决这类问题的首选方法.【例如】► (本小题满分是12分)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田〞字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，假如颜色可以反复使用，一共有多少种不同的涂色方法？颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法．1 23 4[解答示范] 如下图，将41个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．(2分)①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180种不同的涂法；(6分)②当第2个、第3个小方格涂一样颜色时，有4种涂法，由于相邻西格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知．有5×4×4＝80种不同的涂法．(10分)由分类加法计数原理可得，一共有180＋80＝260种不同的涂法．(12分)在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用，不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题，当颜色允许重复使用时，要充分利用两个计数原理分析解决问题．【试一试】(2021·)给n个自上而下相连的正方形着黑色或者白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下列图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案一共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案一共有________种．(结果用数值表示)[尝试解答] (1)当n＝6时，假如没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有C25＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有C34＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知一共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43(种)．答案21 43本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高考数学精讲课件：计数原理与概率、随机变量及其分布 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
角度三：集合问题
解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类， 常用的结论有 a1，a2，a3，„，an 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个．
4．(2015· 黄冈质检)设集合 I＝{1,2,3,4,5}．选择集合 I 的两个非空 子集 A 和 B，若集合 B 中最小的元素大于集合 A 中最大的元 素，则不同的选择方法共有 A．50 种 C．48 种 B．49 种 D．47 种 ( )
解析：从 5 个元素中选出 2 个元素，小的给集合 A，大的给集合 B，
3 有 C2 ＝ 10 种选择方法；从 5 个元素中选出 3 个元素，有 C 5 5＝10 种选
择方法，再把这 3 个元素从小到大排列，中间有 2 个空，用一个隔板 将其隔开，一边给集合 A，一边给集合 B，方法种数是 2，故此时有 10×2＝20 种选择方法；从 5 个元素中选出 4 个元素，有 C4 5＝5 种选 择方法，从小到大排列，中间有 3 个空，用一个隔板将其隔开，一边 给集合 A，一边给集合 B，方法种数是 3，故此时有 5×3＝15 种选择 方法；从 5 个元素中选出 5 个元素，有 C5 5＝1 种选择方法，同理隔开 方法有 4 种， 故此时有 1×4＝4 种选择方法． 根据分类加法计数原理， 总计为 10＋20＋15＋4＝49 种选择方法．故选 B.
解析：从中选出2名男医生的选法有C2 6＝15种，从中选出1名 女医生的选法有C1 5＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75 种，故选C.
考点三
两个原理的应用 (常考常新型考点——多角探明)
[多角探明]
两个原理的应用类型主要有：
(1)涂色问题；
(2)几何问题； (3)集合问题.
高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理新人
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
2．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进 行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任 务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数， 最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到 总数．
3．混合问题一般是先分类再分步． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清 楚，便于探索规律．
(2)第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二节 课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共 有 2×4×3＝24(种)排法．
因此不同的安排方案共有 12＋24＝36(种)．
角度三 几何问题 [典题 5] 已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( C ) A．40 B．16 C．13 D．10
[典题 1] (1)[2017·重庆铜梁第一中学月考]如果把个位 数是 1，且恰好有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那 么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好 数”共有( C )
A．9 个 B．3 个 C．12 个 D．6 个
2022版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．
()
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件
事．
()
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独
的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完
成．
()
(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同
种数为
()
A．120
B．210
C．336
D．504
(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，
y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________(用数字作答)．
【答案】(1)D (2)10 【解析】(1)分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新 节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法，故共有7×8×9＝ 504种不同的插法． (2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5 种取法．由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10(个)．
【答案】(1)A (2)120 【解析】(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种 不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法， 第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有6×2×1＝12种不同的 排列方法． (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一 个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根 据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种．
第十一章
计数原理、概率、 随机变量及其分布
数据分析：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论， 素养阐 概括和形成知识
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2.如图,一条电路由A到B接通时,有不同的线路的种数为( (A)3 (B)7 (C)8 (D)12
C )
解析:3+1+2×2=8.
3.4名学生参加三个体育运动项目的比赛,每名学生可以参加任何一项 比赛,每个项目产生一名冠军,则各项冠军获得者的不同情况种数为 ( B (A)81 ) (B)64 (C)32 (D)27
解析:第一个项目的冠军获得情况有4种,同理第二、三个项目的冠军获
得情况各有4种,故各项冠军获得者的不同情况有4×4×4=64(种).
4.从一个小组的10名同学中产生一名组长、一名学生代表,则组长和学 生代表不允许重复和允许重复的选法分别有 种、 种.
解析:不允许重复时,组长选法有10种、学生代表选法有9种,根据分步 乘法计数原理,得选法有10×9=90(种);如果允许重复,则组长和学生代 表的选法均为10种,根据分步乘法计数原理,得选法共有10×10
定义
区别
各种方法相互独立,用其中 各个步骤中的方法互相依存, 任何一种方法都可以完成 只有各个步骤都完成才能做完 这件事 这件事
夯基自测
1.乘积(a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)(d1+d2+d3+d4)的展开式中共有不 同的项的个数为( D (A)16 (B)24 (C)48 解析:2×3×4×4=96. ) (D)96
考点二 分步乘法计数原理
【例2】 (1)某单位有甲乙丙丁四个部门,甲部门有工作人员8名、乙部 门有工作人员10名、丙部门有工作人员12名、丁部门有工作人员15名, 现从该单位四个部门中各选派一名志愿者参加社会公益活动,共有多少 种不同的选派方法? (2)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级 台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法有多少种? 解:(1)选派工作人员可以分四个步骤完成.第一步从甲部门选派一人,有 8种不同的选派方法;第二步从乙部门选派一人,有10种不同的选派方法; 第三步从丙部门选派一人,有12种不同的选派方法;第四步从丁部门选派 一人,有15种不同的选派方法.根据分步乘法计数原理,共有不同的选派 方法数8×10×12×15=14 400(种). (2)甲有7种站法、乙也有7种站法、丙也有7种站法,故不考虑限制共有 站法7×7×7=343(种),其中三个人站在同一台阶上的有7种站法,故符合 本题要求的不同站法有343-7=336(种).
第 1节
分类加法计数原理与分步乘法计数
原理
最新考纲 2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个 1.理解分类加法计数原理 原理解决一些简单的实际问题. 和分步乘法计数原理.
知识链条完善
考点专项突破 易混易错辨析
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.分类加法计数原理中,各类中方法都能独立完成一件事吗? 提示:都能. 2.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理?
第十一篇
计数原理、概率、随机
变量及其分布(必修3、选修2—3)
六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图 命题特点 1.本篇在高考中一般考查 1 个小题和 1 个解答题,占 12～17 分. 2.从考查内容来看,(1)利用计数原理 解决实际问题,有时与古典概型综合 考查. (2)几何概型较少考查. (3)对二项式定理的考查主要是利用 通项公式求特定项. (4)对正态分布的考查,可以单独考查 也可能在解答题中出现. (5)以实际问题为背景,以二项分布、 超几何体为载体,考查分布列、 期望等 是高考的热点题型.
反思归纳
本题是分类加法计数原理的直接应用,解题时首先把问
题分类(不重复也不遗漏),确定每类中的方法数,最后按照分类加法计 数原理得出结果.
【即时训练】 x,y是两个正整数,则满足x+y≤10的数对(x,y)有多少个? 解:当x=1时,y=1,2,3,4,5,6,7,8,9,有数对9个; 当x=2时,y=1,2,3,4,5,6,7,8有数对8个; 同理可得当x=3,4,5,6,7,8,9时分别有数对7,6,5,4,3,2,1个. 根据分类加法计数原理可得,共有数对9+8+…+2&知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事,用分
类加法计数原理;如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部 分,用分步乘法计数原理.
知识梳理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
原理 分类加法计数原理 异同点 完成一件事有两类不同方 案,在第1类方案中有m种不 同的方法,在第2类方案中 有n种不同的方法.那么完 成这件事共有N=m+n种不同 的方法 完成一件事需要两个步骤,做 第1步有m种不同的方法,做第2 步有n种不同的方法,那么完成 这件事共有N=m×n种不同的方 法 分步乘法计数原理
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 分类加法计数原理
【例1】 某单位有甲乙丙丁四个部门,甲部门有工作人员8名、乙部门有
工作人员10名、丙部门有工作人员12名、丁部门有工作人员15名,现从 该单位选派一名志愿者参加社会公益活动,共有多少种不同的选派方法. 解:从甲部门选派有8种不同的选派方法、从乙部门选派有10种不同的选 派方法、从丙部门选派有12种不同的选派方法、从丁部门选派有15种不 同的选派方法.根据分类加法计数原理,共有不同的选派方法数 8+10+12+15=45(种).
=100(种).
答案:90 100
5.用1,5,9,13中的任意一个数作分子,4,8,12,16中的任意一个数作 分母,可构成 分数. 解析:由于1,5,9,13是奇数,4,8,12,16是偶数,所以以1,5,9,13中的 任意一个为分子,都可以与4,8,12,16中的一个构成分数,因此可以分 两步构成分数:第一步,选分子,有4种选法,第二步,选分母,也有4种 选法,共有分数4×4=16(个);真分数分四类:分子为1时,分母可以从 4,8,12,16中选一个,有4个;分子为5时,分母可以从8,12,16中选一个, 有3个;分子为9时,分母可以从12,16中选一个,有2个;分子为13时,分 母只能选16,有1个.所以共有真分数4+3+2+1=10(个). 答案:16 10 个不同的分数,可构成 个不同的真