运筹学课件第五章 整数规划
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序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
0
5 -2 3 3 8 1 6
√
√
√
√
√
√
√
√
z≥0 z≥ 5
√
√
√
√
z≥ 8
第三节
0-1型整数规划
5x1+ 5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7 25
xi=0或1 i=1,2,…,7 课本P136
第三节
0-1型整数规划
二、0-1型整数规划的解法 方法：隐枚举法 基本上此法可以从所有变量等于零出发（初始 点），然后依次指定一些变量取值为1，直到获得 一个可行解，并把第一个可行解的目标函数值作 为一个过滤条件，继续计算，直到获得最优解。 例： Max Z=3x1-2x2 +5x3 x1+2x2 - x3 2 x1+4x2 + x3 4 s.t. x1+ x2 3 4x2 + x3 6 xj = 0或1
2x1+9x2 40
s.t. 11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数
第一节 整数规划的数学模型
x2
5 D 4 3
2
I(2,4)
B(9.2,2.4)
1
0 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10 x1
松弛问题最优解B(9.2,2.4)，Z=58.8，而原整数规划最 优 解 I(2,4) ， Z=58 。 而 B 附 近 四 个 整 数 点 （ 9,2) ， (10,2)，(9,3)，(10,3)都不是整数规划最优解。
n
第一节 整数规划的数学模型
分类：整数规划中，如果所有的变量取值都要 求是整数，就称为纯整数规划或全整数规划；如 果仅是其中一部分变量取值为整数，则称为混合 整数规划；如果变量只能取值0或1，则称为0-1型 整数规划。 二、整数规划的例子 课本 P124
第一节 整数规划的数学模型
三、解的特点 结合例题来讨论： Max Z=3x1+13x2
第一节 整数规划的数学模型
一、数学模型的一般形式
max min z c j x j
j 1
n
a ij x j ( , )bi , i 1,2, , m j 1 st . j 1,2, , n xj 0 x1 , x 2 , , x n中部分或全部取整数
增加过滤条件后做了20次运算，而原问题需要 计算23× 4=32次运算（3个变量，4个约束条件）。
为进一步减少计算，常按价值系数的大小顺序重新 排列各变量。对于最大化问题，可按系数由小到 大的顺序排列；对于最小化问题，则按系数由大 到小顺序排列。
第四节 指派问题
一、指派问题的标准形式及数学模型 在生活中经常会遇到这样的问题，某单位需要指 派n个人去完成n项任务，每个人只做一项工作， 同时，每项工作只由一个人完成。由于各人的专 长不同，每个人完成各项任务的效率也不同。于 是产生了应指派哪一个人去完成哪一项任务，使 完成n项任务的总效率最高（如所用的时间为最 少）。我们把这类问题称之为指派问题或分派问 题。
第 五 章
整
数
规
划
第一节 整数规划的数学模型
决策问题中经常有整数要求，如人数、件数、 机器台数、货物箱数……要求部分或全部变量取 整数值的数学规划称为 整数规划 （IP），可分成 线性和非线性两类。 任何整数规划（IP） ，不考虑整数条件，所得到的 问题称为整数规划的松驰问题 。若松弛问题是一 个线性规划问题，则称该整数规划为整数线性规 划。 整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前只能 解中等规模的线性整数规划问题，而非线性整数 规划问题，还没有好的办法。
第二节 分支定界法
在上述过程中穿插分支定界和剪枝：
定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作 为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。
剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优 或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清 为止。
第三节
0-1型整数规划
一、0-1变量及其应用 某些特殊问题，需要做是否选择，故将变量设置为0 或1，一般而言，1代表选择，0代表不选择。 若变量只能取值0或1，则称其为0-1变量。 例：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品及 每种物品的重要性系数和重量如下表，假定登山 队员可携带最大重量为25公斤。
第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数
max c x Ax b s .t . x 0
1、整数ຫໍສະໝຸດ Baidu划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
启示： 非整数点不是可行解，对于求解没有意义，故切割 掉可行域中的非可行解，不妨碍整数规划问题的 优化求解。
x1 2 P1 x1 6 x1 3 x1 7 x2 3 x2 4 x2 2 P2 P3 P4 P5
P
x2 3
第一节 整数规划的数学模型
x2 5 D 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7A 8 9 10 x1 I(2,4) B(9.2,2.4)
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
0
5 -2 3 3 8 1 6
√
√
√
√
√
√
√
√
z≥0 z≥ 5
√
√
√
√
z≥ 8
第三节
0-1型整数规划
5x1+ 5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7 25
xi=0或1 i=1,2,…,7 课本P136
第三节
0-1型整数规划
二、0-1型整数规划的解法 方法：隐枚举法 基本上此法可以从所有变量等于零出发（初始 点），然后依次指定一些变量取值为1，直到获得 一个可行解，并把第一个可行解的目标函数值作 为一个过滤条件，继续计算，直到获得最优解。 例： Max Z=3x1-2x2 +5x3 x1+2x2 - x3 2 x1+4x2 + x3 4 s.t. x1+ x2 3 4x2 + x3 6 xj = 0或1
2x1+9x2 40
s.t. 11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数
第一节 整数规划的数学模型
x2
5 D 4 3
2
I(2,4)
B(9.2,2.4)
1
0 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10 x1
松弛问题最优解B(9.2,2.4)，Z=58.8，而原整数规划最 优 解 I(2,4) ， Z=58 。 而 B 附 近 四 个 整 数 点 （ 9,2) ， (10,2)，(9,3)，(10,3)都不是整数规划最优解。
n
第一节 整数规划的数学模型
分类：整数规划中，如果所有的变量取值都要 求是整数，就称为纯整数规划或全整数规划；如 果仅是其中一部分变量取值为整数，则称为混合 整数规划；如果变量只能取值0或1，则称为0-1型 整数规划。 二、整数规划的例子 课本 P124
第一节 整数规划的数学模型
三、解的特点 结合例题来讨论： Max Z=3x1+13x2
第一节 整数规划的数学模型
一、数学模型的一般形式
max min z c j x j
j 1
n
a ij x j ( , )bi , i 1,2, , m j 1 st . j 1,2, , n xj 0 x1 , x 2 , , x n中部分或全部取整数
增加过滤条件后做了20次运算，而原问题需要 计算23× 4=32次运算（3个变量，4个约束条件）。
为进一步减少计算，常按价值系数的大小顺序重新 排列各变量。对于最大化问题，可按系数由小到 大的顺序排列；对于最小化问题，则按系数由大 到小顺序排列。
第四节 指派问题
一、指派问题的标准形式及数学模型 在生活中经常会遇到这样的问题，某单位需要指 派n个人去完成n项任务，每个人只做一项工作， 同时，每项工作只由一个人完成。由于各人的专 长不同，每个人完成各项任务的效率也不同。于 是产生了应指派哪一个人去完成哪一项任务，使 完成n项任务的总效率最高（如所用的时间为最 少）。我们把这类问题称之为指派问题或分派问 题。
第 五 章
整
数
规
划
第一节 整数规划的数学模型
决策问题中经常有整数要求，如人数、件数、 机器台数、货物箱数……要求部分或全部变量取 整数值的数学规划称为 整数规划 （IP），可分成 线性和非线性两类。 任何整数规划（IP） ，不考虑整数条件，所得到的 问题称为整数规划的松驰问题 。若松弛问题是一 个线性规划问题，则称该整数规划为整数线性规 划。 整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前只能 解中等规模的线性整数规划问题，而非线性整数 规划问题，还没有好的办法。
第二节 分支定界法
在上述过程中穿插分支定界和剪枝：
定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作 为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。
剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优 或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清 为止。
第三节
0-1型整数规划
一、0-1变量及其应用 某些特殊问题，需要做是否选择，故将变量设置为0 或1，一般而言，1代表选择，0代表不选择。 若变量只能取值0或1，则称其为0-1变量。 例：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品及 每种物品的重要性系数和重量如下表，假定登山 队员可携带最大重量为25公斤。
第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数
max c x Ax b s .t . x 0
1、整数ຫໍສະໝຸດ Baidu划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
启示： 非整数点不是可行解，对于求解没有意义，故切割 掉可行域中的非可行解，不妨碍整数规划问题的 优化求解。
x1 2 P1 x1 6 x1 3 x1 7 x2 3 x2 4 x2 2 P2 P3 P4 P5
P
x2 3
第一节 整数规划的数学模型
x2 5 D 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7A 8 9 10 x1 I(2,4) B(9.2,2.4)
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。