(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.1 函数的概念及其表示方法(练)
(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.1 函数的概念课件
计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时
应购买19个还是20个易损零件?
解析 (1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,
所以y与x的函数解析式为y= 350(8x00∈x0,N 5) .7 0( 04, 分xx )1199,
+2=1.
1 2
2
5.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=
x
2 x
3,
x
1,
则f(f(-3))=
, f(x)的最小值是
.
lg(x2 1), x 1,
答案 0;2 2 -3
解析 ∵-3<1,∴f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,
2
当x> 1 时, 2
f(x)+f
x
1 2
=2x+ 2x
1 2
>1恒成立.
综上,x的取值范围为 14
,
.
2.(2017山东文改编,9,5分)设f(x)=
x,0 x 1, 2(x 1), x 1.
若f(a)=f(a+1),则f 1a =
.
答案 [0,1)
解析
由
x 0, 1 x
0,
解得0≤x<1.
三年模拟
A组 2015—2017年高考模拟·基础题组
(时间：25分钟 分值：40分)
填空题(每题5分,共40分)
1.(2017苏锡常镇四市教学情况调研,3)函数f(x)= ln(41x
(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_2函数的单调性与最值教师用书理苏
第二章函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的单调性与最值教师用书理苏教版1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 叫做y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得条件 对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0) 对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)结论 f (x 0)为最大值 f (x 0)为最小值【知识拓展】 函数单调性的常用结论 (1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数.(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ].(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)所有的单调函数都有最值.( × )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( √ )1.(教材改编)下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是________.(填序号) ①y ＝1x；②y ＝2x －1；③y ＝1－x ；④y ＝(2x －1)2.答案 ②解析 ①y ＝1x在(0，2)上为减函数；②y ＝2x －1在(0，2)上为增函数； ③y ＝1－x 在(0，2)上为减函数；④y ＝(2x －1)2在(－∞，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数.2.(教材改编)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为__________；单调减区间为__________.答案 [0，＋∞) (－∞，0)解析 当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数.3.(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________. 答案 (－∞，1]解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示.由图象可知函数f (x )的单调递增区间是[a ，＋∞)， 由[1，2]⊆[a ，＋∞)，可得a ≤1.4.(2016·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2x －3(x >0)的单调增区间为________. 答案 (0，＋∞)解析 函数的对称轴为x ＝－1，又x >0， 所以函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞). 5.(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.题型一 确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)(2016·连云港模拟)函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间是______________.(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为____________. 答案 (1)(－∞，－2) (2)(－∞，－1]，[0，1]解析 (1)因为y ＝12log t ，t >0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2). (2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图.由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数. 命题点2 解析式含参数的函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝axx 2－1(a >0)，用定义法判断函数f (x )在(－1，1)上的单调性.解 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1，1)上为减函数. 引申探究如何用导数法求解例2?解 f ′(x )＝a ·x 2－1－ax ·2x x 2－12＝－a x 2＋1x 2－12，∵a >0，∴f ′(x )<0在(－1，1)上恒成立， 故函数f (x )在(－1，1)上为减函数. 思维升华 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为__________. 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，则t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1， 所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减， 在[3，＋∞)上单调递增.所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞).(2)已知函数f (x )＝ln x ＋mx 2(m ∈R )，求函数f (x )的单调区间. 解 (导数法)依题意知f (x )的定义域为(0，＋∞). 对f (x )求导，得f ′(x )＝1x ＋2mx ＝1＋2mx2x.当m ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当m <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ －12m. 当x ∈(0，－12m)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0， －12m)上单调递增； 当x ∈(－12m，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－12m，＋∞)上单调递减. 题型二 函数的最值例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，又x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )＝1－12x 2>0，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.②f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞).(ⅰ)当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0， 所以－3<a ≤0.(ⅱ)当0<a ≤1时，f ′(x )＝1－a x2，因为x ∈[1，＋∞)，所以f ′(x )≥0，即f (x )在[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝a ＋3， 即a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，1].思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________.(2)函数f (x )＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值为________.答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，∴x ＝1时，y min ＝1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f (x )＝x 2＋8x －1＝x －12＋2x －1＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2≥2 x －1·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，f (x )min ＝8. 方法二 (导数法)f ′(x )＝x －4x ＋2x －12，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝－2(舍去). 当1<x <4时，f ′(x )<0，f (x )在(1，4)上是递减的；当x >4时，f ′(x )>0，f (x )在(4，＋∞)上是递增的，所以f (x )在x ＝4处取到极小值也是最小值， 即f (x )min ＝f (4)＝8. 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________. 答案 b >a >c解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f (－12)＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .命题点2 解函数不等式例5 (2017·苏州月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，则满足19(log )f x >0的x 的集合为________________.答案 {x |0<x <13或1<x ＜3}解析 由题意知f (12)＝0，f (－12)＝0，由19(log )f x >0，得19log >12，或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是____________.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.答案 (1)[－14，0] (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，2－a ×1＋1≤a ，解得32≤a <2，所以a 的取值范围是[32，2).思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝x (ex－1e x )，若f (x 1)<f (x 2)，则下面正确的式子为________. ①x 1>x 2; ②x 1＋x 2＝0； ③x 1<x 2;④x 21<x 22.(2)(2016·宿迁模拟)要使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)④ (2)(－∞，－4)解析 (1)f (－x )＝－x (1e x －e x)＝f (x )，∴f (x )在R 上为偶函数，f ′(x )＝e x －1e x ＋x (e x ＋1ex )，∴当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|， ∴x 21<x 22.(2)由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数. 又函数y ＝2x ＋k x －2＝2x －2＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2，因其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4.1.解抽象函数不等式典例(14分)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [3分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[5分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数. [7分] (2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[9分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3，2). [14分]解函数不等式问题的一般步骤第一步：(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步：(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.1.(2016·南京模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是________. ①y ＝－x ＋1; ②y ＝11－x ；③y ＝－(x －1)2;④y ＝31－x.答案 ②解析 ①中，函数在(1，＋∞)上为减函数，③中，函数在(1，＋∞)上为减函数，④中，函数在(1，＋∞)上为减函数.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是__________. 答案 [1，2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，当x ≥2时，f (x )为增函数，当x <2时，(－∞，1]是函数f (x )的增区间； [1，2]是函数f (x )的减区间.3.定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________.答案 6解析 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，4－a2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案 [4，8)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a2＋2，解得4≤a ＜8.*5.函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (x 3)＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x ).则f (13)＋f (18)＝________.答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f (13)＝12f (1)＝12.令x ＝13，可得f (19)＝12f (13)＝14.由③结合f (13)＝12，可知f (23)＝12，令x ＝23，可得f (29)＝12f (23)＝14，因为19<18<29且函数f (x )在[0，1]上为非减函数，所以f (18)＝14， 所以f (13)＋f (18)＝34.6.已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.答案 3解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.8.(2017·江苏天一中学月考)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________. 答案 32解析 方法一f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <12，x ＋1，x ≥12，f (x )在(－∞，12)和[12，＋∞)上分别为减函数和增函数，∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.方法二 作函数f (x )的图象如图所示，由图知当x ＝12时，[f (x )]min ＝f (12)＝32.9.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. 答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2.函数的单调递增区间为[－a2，＋∞)， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.*10.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3， 同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).11.(2016·江苏新海中学期中)已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2(a ＞0)在区间[0，1]内有一个最大值－5，则a 的值为________. 答案 54解析 f (x )＝－4(x －a2)2－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为(a2，－4a ).①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0，1]上递增.∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，∴a ＝±1＜2(舍去).②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f (a2)＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0，2).12.(2016·江苏泰州中学月考)已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0，3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 二次函数y ＝x 2－2x －t 图象的对称轴为x ＝1，函数y ＝|x 2－2x －t |的图象是将二次函数y ＝x 2－2x －t 的图象在x 轴下方的部分翻到x 轴上方(x 轴上方部分不变)得到的.由区间[0，3]上的最大值为2，知y max ＝f (3)＝|3－t |＝2，解得t ＝1或5；检验t ＝5时，f (0)＝5>2不符，而t ＝1时满足题意.13.函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a 的值. 解 f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0，2]上是增函数.∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2. ②当0<a2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0，4)，舍去.③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0，2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.14.(2016·江苏南通中学质检)已知函数f (x )＝－(x ＋1)2＋2|x ＋1|＋3. (1)试求函数f (x )的单调区间，并指出相应的单调性；(2)若f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当x ≥－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2－2(x ＋1)＋1]＋4＝－[(x ＋1)－1]2＋4＝－x 2＋4，当x <－1时，f (x )＝－[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＋4 ＝－[(x ＋1)＋1]2＋4＝－(x ＋2)2＋4，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ≥－1，－x ＋22＋4x <－1，其大致图象如图所示.由图易知函数f (x )在区间(－∞，－2]，(－1，0]上单调递增，在区间(－2，－1]，(0，＋∞)上单调递减.(2)易知2a 2＋a ＋1>0且3a 2＋2a ＋1>0恒成立，由(1)知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 故由f (2a 2＋a ＋1)<f (3a 2－2a ＋1)， 得2a 2＋a ＋1>3a 2－2a ＋1，即a2－3a<0，解得0<a<3，∴a的取值范围为{a|0<a<3}.。
专题2-11 函数与方程讲-2018年高考数学一轮复习讲练测
【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 若函数f (x )＝x 2－x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】Δ＝1－4a >0，解得a <14.2．[教材改编] 函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是________． 【解析】易知函数f (x )单调递增，且f (2)<0，f (3)>0，故存在唯一的零点． 3．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－2x 2＋x 的零点是________．【解析】 解方程x 3－2x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0和1.题组二 常错题4．(1)函数f (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上存在零点，则实数a 的取值范围是________； (2)函数f (x )＝x 2－1在区间(－2，2)上零点的个数为________．5．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】二次函数图像的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.6．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是________． 【解析】Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4.题组一 常考题7．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________． ①y ＝e x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝sin x ；④y ＝cos x ； ⑤y ＝ln |x |.【解析】y ＝e x 2，y ＝x 2＋1是偶函数，但没有零点；y ＝sin x 是奇函数，有零点；y ＝cosx ，y ＝ln |x |是偶函数，且有零点．8．函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2－x 2的零点个数为________.【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2 判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )；(3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论． 3 函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________． 【答案】(1,2)．【1-2】函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个． 【答案】2【解析】令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【思想方法】(1)等价转化思想． (2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质 考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0【解析】令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知当x＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．如：已知集合(){}2,20x y xmx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，显然AB ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞。
江苏专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值课件文
考试要求 1.函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义， B级要求；2.运用函数图象研究函数的单调性，B级要求．
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
知识梳理
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内
某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
定 义
t 在(0，＋∞)上是
减函数，∴函数 f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即 f(x)单调递增区间
为(－∞，－2)．
答案 (－∞，－2)
(2)解 法一 设－1<x1<x2<1， f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝ x1a－x12－xx2－1 1，由于－1<x1<x2<1， 所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递减； 当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递增．
(1)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－ x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数． ( ) (2)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( )
(3)对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数．
2．(必修 1P44 习题 2 改编)如果二次函数 f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b 在 区间(－∞，1)上是减函数，则实数 a 的取值范围为________． 解析 二次函数的对称轴方程为 x＝－a－3 1， 由题意知－a－3 1≥1，即 a≤－2. 答案 (－∞，－2]
高考数学(江苏版)一轮配套课件：§2.1 函数的概念
.
解析 因为函数f(x2-2x-3)的定义域为(0,2),所以f(x2-2x-3)中的自变量x的 取值范围是(0,2),令t=x2-2x-3,因为t=(x-1)2-4,x∈(0,2),所以t∈(-4,-3),从而f (t)的定义域为(-4,-3),即函数f(x)的定义域为(-4,-3). 答案 (-4,-3)
7 2
1 2
=f(3)=f
5 2
=f1
2
5 2
1 2
=f(2)=f
3 2
=f1
2
3 2
1 2
=f(1).
∵-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),
∴f(1)=f[-(-1)]=-f(-1), ∵x<0时,f(x)=x3-1,∴f(-1)=(-1)3-1=-2, ∴f(1)=2,从而f(6)=2. 答案 2
高考数学
第二章 函 数
§2.1 函数的概念
知识清单
一、函数与映射的相关概念 1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A、B是两个非空① 数集 A、B
设A、B是两个非空② 集合
如果按照某种确定的对应关系f,使对 如果按照某一个确定的对应关系f,使对
对应关 于集合A中的③ 任意 一个数
于集合A中的⑥ 任意 一个元素x,在
•
例2 求下列函数的定义域:
(1)f(x)= | x; 2 | 1
log 2 ( x 1)
(2)f(x)= l.n(x 1)
x2 3x 4
| x 2 | 1 0,
解析
(1)要使函数f(x)有意义,则
x
1解 得0 , x≥3,因此函数f(x)的
lo g 2 ( x 1) 0 ,
定义域为[3,+∞).
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章第2讲函数的定义域与值域分层演练直击高考文
第2讲 函数的定义域与值域1．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.[答案] {x |x ≥4，且x ≠5}2．若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． [解析] 因为x 有意义，所以x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，所以当x ＝0时，y min ＝－5. [答案] [－5，＋∞) 3．函数y ＝1x 2＋2的值域为________． [解析] 因为x 2＋2≥2，所以0<1x 2＋2≤12. 所以0<y ≤12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y ≤124．(2018·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 014]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是________．[解析] 令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 014]可知，0≤t ≤2 014，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 014，解得－1≤x ≤2 013，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 013]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 013，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 013.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 013]． [答案] [－1，1)∪(1，2 013]6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． [解析] y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 即y max ＝14.[答案] 147．(2018·南昌模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]8．已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为________．[解析] 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1，1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1，0}，其子集的个数为23＝8.[答案] 89．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．[解析] 由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.[答案] 1010．函数y ＝2x －1－13－4x 的值域为________． [解析] 法一：(换元法)设13－4x ＝t ， 则t ≥0，x ＝13－t24，于是y ＝g (t )＝2·13－t24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112，故函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，11211. (1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x2的定义域． (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1，1]，求f (x )的定义域．[解] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3， 所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)．(2)因为f (2x)的定义域为[－1，1]， 即－1≤x ≤1，所以12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 12．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则a ＝________，b ＝________．[解析] 因为f (x )＝12(x －1)2＋a －12，所以其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.[答案] 3232．(2018·徐州质检)已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．[解析] 列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．[答案] 93．已知函数f (x )＝log 13(－|x |＋3)的定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对．[解析] 由f (x )＝log 13(－|x |＋3)的值域是[－1，0]，易知t (x )＝|x |的值域是[0，2]，因为定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，所以符合条件的(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5对．[答案] 54．(2018·常州调研)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是________．[解析] 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 5．若函数f (x )＝ （a 2－1）x 2＋（a －1）x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[解] 由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立． ①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意；②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a －1）2－4（a 2－1）×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9. 综上，可得实数a 的取值范围是[1，9]．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m ＜n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．[解] (1) f (x )＝－x 2＋2x .(2)由f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f (x )max ＝1，所以4n ≤1，即n ≤14＜1.故f (x )在[m ，n ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n＝0，满足条件．7．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． [解] (1)因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负数， 所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3>0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。
江苏专版高考数学一轮复习第二章函数2.1函数的概念讲义
画师时圳和式站构閒唏・件喷明踊一鳥知 兀对为奇歯数，.通过求导和堆本不静式嚇定 贰開性，为将已州不警述转化为一元—-It 车雪戌捉供了慄障.("0命題舰遂｝ -------------------囱曲軀对肃数的考叠丛*方位帕，它的难 度可以控制在齐种档抚一本題肚点芾杏r 函 數的奇偶性、单调性，同吋爭査r 导致、 垒木不穿式、一元二衣不等式弊问讥点. 综合炜强.厂❺解答过程｝1]-叮一 答案：L 日解析：易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称J__3x 口上3-x a'■' f(x)=x -2x+e, ••• f( -x)=(-x ) -2(-x)+e -_ 2 x “ 2 2又 f '(x)=3x -2+e + > 3x -2+2=3x > 0(当且仅当x=0 时，取“=”),所以f(x)在R 上单调递增， 所以 f(a-1)+f(2a ) <0 ? f(a- a 》a -1,解得-1< a < .=-X 3+2X +，-e x =-f(x), • f(x)为奇函数，考纲解读§ 2.1 函数的概念命题探究■^US?gj -----------------------------转化专化归思思一単核心考点〕=函JkWM 性.单沛性、挛导公式、 菇本术令朮、一元二出不爭止的解法一21) < f( -2a ) ?-(20C 江苏，11. 5分)已恸函坳刃其中 亡是自然对數的屁数.苟8- J)+ 川血库0,慟英數。
的堰值范刖 是,厂❸预备知溟〕 ------------1. M 的商愷性、削假性.2,求导益式.基集本不零式一4.斛一元—秋不等式的片眩一梓)思路分析)很晞珂的解析成胃斯嗣的奇個性和单卿件一 井制用这些性质将已知不等式转化为一元一 抚不紳式"从而求琳，内容解读五年咼考统计常考题型 预测热度考点要求2013201420152016 20171.函数的基本概 1. 求定义域或值域 B 5题 填空题念2. 函数关系判断 5分 2.函数的表一示方 1. 求函数值 B11题 填空题法2. 求函数解析式 5分解答题1. 求函数值填空题 3.分段函数2. 求参数. B★★★3. 解不等式解答题分析解读 函数的概念是学习函数的基础，重点考查函数定义域和值域的求法题•五年高考考点一函数的基本概念1. (2017山东理改编,1,5分)设函数y= 的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则 A A B= ______ . 答案［-2,1)2. (2016 江苏,5,5 分)函数y= 的定义域是 ________ .答案［-3,1］3. (2016课标全国H 改编,10,5分)函数y=10lg x 的定义域和值域分别是 _____________ , _______ . 答案(0,+ g )；(0,+ 8)24. (2014江西改编,2,5分)函数f(x)=ln(x -x)的定义域为 ________________________ . 答案(-g ,0) U (1,+ g)］5. (2014山东改编,3,5分)函数f(x)= ：的定义域为 _________________ .6.(2013陕西理改编,1,5分)设全集为R,函数f(x)= •• 的定义域为M,则？R M 为答案(-g,-1) U (1,+ g) 考点二函数的表示方法1. (2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1,1)上,f(x)=答案-'般和常见的初等函数综合命答案U (2,+ g)中a € R.若f=f ,则f(5a)的值是F 2jx i — 3. x l r llfftx 2 +1). x < 1.2.(2015 浙江,10,6 分)已知函数 f(x)= 贝U f(f(-3))=是.答案 0；2 -3答案b +鬥4. ________________________________________________________________________________ (2014 江西改编,3,5 分)已知函数 f(x)=5 |x| ,g(x)=ax 2-x(a € R).若 f[g(1)]=1, 贝U a= ___________________ 答案 1 考点三分段函数r JB 心1. (2017课标全国川文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f >1的x 的取值范围(^.0 < x < 1.2.(2017 山东文改编,9,5 分)设 f(x)=' 若 f(a)=f(a+1).答案 6J + log 2(2 - x)F x < 1, 2工 ”M 13. (2015 课标 H 改编,5,5 分)设函数 f(x)= 贝U f(-2)+f(log 212)= ________ .答案 94. (2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x €[-1,1)时，J - 4宀密-1 x < 0,I.° 咗 k < i+ 戸「 b)f(x)=则 f = _______ .答案 1教师用书专用(5)2+ x B x < 0. (-Z,x 0.5. (2014浙江,15,5分)设函数f(x)= 若f(f(a))< 2,则实数a 的取值范围是 ___________答案 (-8,]三年模拟 _______ ,f(x)的最小值3.(2015山东改编,10,5分)设函数f(x)=x < 1,'1则满足 f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是答案1—+ CQ41A组2016—2018年模拟•基础题组考点一函数的基本概念1. (2017江苏徐州沛县中学第一次质检___________________ ，4)函数y=lg(3x+1)+ -'的定义域是Jxx > - -h I Lx 2I 答案I 31r3x. - 12. ___________________________________________________ (2017江苏泰州二中期初，6)函数y的值域为答案{y € R|y丰3}3. (苏教必1,二,3,8,变式)函数f(x)= + 的定义域为________ .答案(-3,0]4. (2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考，8)函数f(x)=：的定义域是答案[-2,2]5. (2017江苏前黄高级中学上学期第二次学情调研，1)函数#：_ ■ 八三的定义域为A,值域为B,则A U B= _______ .答案[-4,3]考点二函数的表示方法6. (2018江苏淮安、宿迁高三期中)已知函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD不含A(0,1),B(1,1),0(0,0),C(-1,-1),D(0,-1) 五个点.则满足题意的f(x)的一个解析式为_________ .为________ .答案-I I 一也上W Q.10. (2018江苏无锡高三期中)若函数f(x)= 则f(5)=答案2(0；艸或/3答案f(x)=Li e (一i h0)\出工匚(0, 1))7.(苏教必1,二,11,变式)已知函数f(x)的定义域为(0,+ a),且f(x)=2f ■- -1,贝U f(x)=答案+•8.(苏教必1,二,11,变式)已知函数f(x)满足f =log ,则f(x)的解析式是答案f(x)=-log 2X考点三分段函数9.(2018江苏天一中学调研)f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x)=3^,0 < x < 1,3| 十l t x9 1±的值/ - jf + 8,Jf 2.11. (2018江苏常熟期中)若函数f(x)二’(a>0,且1)的值域为[6,+ ),贝U实数a的取值范围是________ .答案(1,2]JlOgg (X + I) |, - I < X7T1 tan—x n0 < x < 1TI 212. (2016江苏扬州中学期初质检，6)设函数f(x)=答案1B组2016—2018年模拟•提升题组(满分：20分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共20分)1. (2018江苏金陵中学月考)已知函数沪的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________ .答案0<k<1 或1<k<2斗2. (苏教必1,二,1,13,变式)已知函数f(x)= --1的定义域是[a,B](a, B€ Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,B)共有__________ 个.答案 53. (2016江苏南通海安期末,14)在平面直角坐标系xOy中，将函数y= (x € [0,2])的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角0 ,若？[0, a ],旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则a的最大值是________ .TT答案X + 14. 函数f(x)=亦’•叨* 1的值域为 __________ .晶1T答案CJC组2016—2018年模拟•方法题组方法1求函数的定义域ax + 121. 若函数y= 的定义域为R,则实数a的取值范围是___________ .答案[0,3)方法2求函数解析式的常用方法2. 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 求f(x)的表达式. 解析解法一：令x=y,则由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).•/f(0)=1, ••• f(x) -x(2x-x+1)=1,即f(x)=x +x+1.解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).再令-y=x,代入上式，得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1).则f(x)=x 2+x+1.方法3分段函数的相关问题(1 +出工E3. 已知f(x)= ' I其中i是虚数单位，则f(f(1-i))= 答案3。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.11 函数与方程(测)-数学备课大师【全免费】
专题2.11 函数与方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知函数311,,()11,,x f x x x x ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩若关于x的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1(0,)2【解析】3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),()11|3|,[1,),xx f x x x x -⎧∈⎪=+⎨⎪--∈+∞⎩则函数1()()F x f x π=-的所有零点之和为 ． 【答案】112π-【解析】试题分析：由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为12345,,x x x x x ，，，满足1234516,,612x x x x x π+=-=+=-，因此所有零点之和为112π-4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】23a <≤ 【解析】试题分析：()()0()1f x g x f x -=⇒=，所以要有4个零点，需满足21,1+11,23(1)1,1,a a a a a ⎧>-≤⎪⇒<≤⎨->>⎪⎩5. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭【解析】26. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，x x x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________. 【答案】605 【解析】7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】若函数2,0ln ,0x a x y x a x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,2ln2+ 【解析】试题分析:由题设可知函数a x y -=2与函数x a x y ln +-=在给定的区间]0,2(-和区间)2,0(内分别有一个根,结合图象可得⎪⎩⎪⎨⎧>+->-≤-02ln 2040a a a ,即⎪⎩⎪⎨⎧+<<≥2ln 240a a a ,所以2ln 20+<≤a ,故应填答案[)0,2ln 2+.8.已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，则m 的取值范围为 . 【答案】m ＝－29. [x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是 ．【答案】2【解析】作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.10. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点. ②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示教案文解析版
１．函数的概念（１）定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f（x），x∈A.（２）函数的定义域、值域：在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．（３）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（４）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（５）函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．２．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]１．（２0１9·无锡一中期中测试）函数f（x）＝ln（x２—x）的定义域为________．解析：由题意知，x２—x＞0，即x＜0或x＞１．则函数的定义域为（—∞，0）∪（１，＋∞）．答案：（—∞，0）∪（１，＋∞）２．已知f（错误!）＝x—１，则f（２）＝________.解析：令错误!＝２，则x＝４，所以f（２）＝３．答案：３３．（２0１9·海头高级中学高三期中）若函数f（x）＝错误!则f（错误!）＋f（—错误!）＝________.答案：５４．已知函数f（x）＝错误!若f（x）＝２，则x＝________.解析：依题意得当x≤１时，３x＝２，所以x＝log３２；当x＞１时，—x＝２，x＝—２（舍去）．故x＝log３２．答案：log３２１．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．２．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]１．（２0１9·常州一中检测）若函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为错误!＞１，所以f错误!＝log２错误!，又因为log２错误!＜１，所以f错误!＝２23log2—２＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·苏州中学测试）已知f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１，则函数f（x）的解析式为________．解析：用错误!代替３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１中的x，得３f错误!＋５f（x）＝３x＋１，所以错误!２×５—１×３得f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）．答案：f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）错误!错误![题组练透]１．（２0１8·常州期末）函数y＝错误!＋lg（x＋２）的定义域为________．解析：由题意可得错误!解得—２＜x≤１，故所求函数的定义域为（—２,１]．答案：（—２,１]２．（２0１8·南通中学高三测试）函数y＝错误!的定义域为________________．解析：由函数y＝错误!得错误!解得错误!即—１≤x≤１且x≠—错误!，所以所求函数的定义域为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若函数y＝f（x）的定义域是[１,２0１9]，则函数g（x）＝错误!的定义域是________．解析：令t＝x＋１，由已知函数的定义域为[１,２0１9]，可知１≤t≤２0１9．要使函数f（x＋１）有意义，则有１≤x＋１≤２0１9，解得0≤x≤２0１8，故函数f（x＋１）的定义域为[0，２0１8]．所以使函数g（x）有意义的条件是错误!解得0≤x＜１或１＜x≤２0１8．故函数g（x）的定义域为[0,１）∪（１，２0１8]．答案：[0,１）∪（１,２0１8]４．（２0１8·南京师范大学附中模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由题意得log（２x—３）≥0⇒0＜２x—３≤１⇒错误!＜x≤２，即函数f（x）的定义域是错误!.12答案：错误![谨记通法]函数定义域的求解策略（１）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解．（２）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解．（３）抽象函数：１若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；２若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域．错误!错误![典例引领]（１）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，求f（x）；（２）已知f错误!＝x２＋错误!，求f（x）的解析式；（３）已知f错误!＝lg x，求f（x）的解析式；（４）已知函数f（x）满足f（—x）＋２f（x）＝２x，求f（x）的解析式；（５）已知f（0）＝１，对任意的实数x，y都有f（x—y）＝f（x）—y（２x—y＋１），求f（x）的解析式．解：（１）（待定系数法）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax２＋bx，又由f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，得a（x＋１）２＋b（x＋１）＝ax２＋bx＋x＋１，即ax２＋（２a＋b）x＋a＋b＝ax２＋（b＋１）x＋１，所以错误!解得a＝b＝错误!.所以f（x）＝错误!x２＋错误!x，x∈R.（２）（配凑法）由于f错误!＝x２＋错误!＝错误!２—２，所以f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２，故f（x）的解析式是f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２．（３）（换元法）令错误!＋１＝t得x＝错误!，代入得f（t）＝lg错误!，又x＞0，所以t＞１，故f（x）的解析式是f（x）＝lg错误!，x＞１．（４）（解方程组法）由f（—x）＋２f（x）＝２x，１得f（x）＋２f（—x）＝２—x，２１×２—２，得，３f（x）＝２x＋１—２—x.即f（x）＝错误!.所以f（x）的解析式是f（x）＝错误!.（５）（赋值法）令x＝0，得f（—y）＝f（0）—y（—y＋１）＝１＋y２—y，所以f（y）＝y２＋y＋１，即f（x）＝x２＋x＋１．[由题悟法]求函数解析式的５种方法１．（２0１9·如皋测试）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝x＋２，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝kx＋b，由f（f（x））＝x＋２，可得k（kx＋b）＋b＝x＋２，即k２x＋kb＋b＝x＋２，所以k２＝１，kb＋b＝２，解得k＝１，b＝１，即f（x）＝x＋１．答案：x＋１２．已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，求f（x）的解析式．解：法一：（换元法）设t＝错误!＋１，则x＝（t—１）２，t≥１，代入原式有f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—２t＋１＋２t—２＝t２—１．故f（x）＝x２—１，x≥１．法二：（配凑法）因为x＋２错误!＝（错误!）２＋２错误!＋１—１＝（错误!＋１）２—１，所以f（错误!＋１）＝（错误!＋１）２—１，错误!＋１≥１，即f（x）＝x２—１，x≥１．错误!错误![锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：（１）分段函数的求值问题；（２）求参数或自变量的值与范围；（３）分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题１．设函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为—１＜错误!—１≤0，所以f错误!＝错误!＝错误!，则f错误!＝f错误!＝tan 错误!＝１．答案：１角度二：求参数或自变量的值与范围２．已知f（x）＝错误!若f（a）＝错误!，则a＝________.解析：若a≥0，由f（a）＝错误!得，a 12＝错误!，解得a＝错误!；若a＜0，则|sin a|＝错误!，a∈错误!，解得a＝—错误!.综上可知，a＝错误!或—错误!.答案：错误!或—错误!角度三：分段函数与不等式问题３．（２0１8·如东期末）设函数f（x）＝错误!则使得f（２x＋１）＞f（x—１）成立的x的取值范围是________．解析：当x＞0时，f（—x）＝x２e x＝f（x），且为增函数，同理当x＜0时，f（—x）＝错误!＝f（x），且为减函数，所以f（x）关于y轴对称，且左减右增．要使f（２x＋１）＞f（x—１），则需|２x＋１|＞|x—１|，两边平方化简得x２＋２x＞0，解得x＜—２或x＞0，故所求x的取值范围是（—∞，—２）∪（0，＋∞）．答案：（—∞，—２）∪（0，＋∞）[通法在握]１．分段函数的求值问题的解题思路（１）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．（２）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．２．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]１．（２0１9·姜堰中学测试）已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x—90）＝错误!则f （１0）—f（—１00）的值为________．解析：因为f（１0）＝f（１00—90）＝lg １00＝２，f（—１00）＝f（—１0—90）＝—（—１0）＝１0，所以f（１0）—f（—１00）＝２—１0＝—8．答案：—8２．（２0１8·无锡高三第一学期期末）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝—x２—２x—２．若存在a ∈R，使得f（a）＋g（b）＝0，则实数b的取值范围是________．解析：当x≤—错误!时，f（x）＝１＋错误!＜１，此时f（x）＝１＋错误!＝１＋错误!—错误!在错误!上单调递减，易求得f（x）∈[—7,１）；当x＞—错误!时，f（x）＝log错误!，12此时f（x）在错误!上单调递减，易求得f（x）∈（—∞，２），∴f（x）的值域为（—∞，２）．故存在a∈R，使得f（a）＋g（b）＝0⇒—g（b）＝f（a）∈（—∞，２）⇒b２＋２b＋２＜２⇒b ∈（—２,0）．答案：（—２,0）３．（２0１8·南通期末）已知函数f（x）＝错误!则不等式f（x２—２）＋f（x）＜0的解集为__________．解析：函数f（x）＝错误!的图象如图所示，所以f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，所以不等式f（x２—２）＋f（x）＜0⇔f（x２—２）＜f（—x）⇔x２—２＜—x，解得—２＜x＜１，所以原不等式的解集为（—２,１）．答案：（—２,１）一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·淮安调研）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由lg（５—x２）≥0，得５—x２≥１，即x２≤４，解得—２≤x≤２．∴函数f（x）＝错误!的定义域是[—２,２]．答案：[—２,２]２．（２0１8·苏州高三期中调研）函数y＝错误!的定义域为________．解析：由错误!解得x＞１，且x≠２，所以函数的定义域为（１,２）∪（２，＋∞）．答案：（１,２）∪（２，＋∞）３．已知f错误!＝２x—５，且f（a）＝6，则a＝________.解析：令t＝错误!x—１，则x＝２t＋２，f（t）＝２（２t＋２）—５＝４t—１，则４a—１＝6，解得a＝错误!.答案：错误!４．已知f（x）是一次函数，满足３f（x＋１）＝6x＋４，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（x＋１）＝a（x＋１）＋b＝ax＋a＋b，依题设，３ax＋３a＋３b＝6x＋４，∴错误!∴错误!则f（x）＝２x—错误!.答案：２x—错误!５．（２0１9·盐城模考）已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝３，则f（a）＝________.解析：因为f（0）＝３，所以a—２＝３，即a＝５，所以f（a）＝f（５）＝9．答案：96．设函数f（x）＝错误!则f（f（２））＝________，函数f（x）的值域是________．解析：因为f（２）＝错误!，所以f（f（２））＝f错误!＝—错误!.当x＞１时，f（x）∈（0,１），当x≤１时，f（x）∈[—３，＋∞），所以f（x）∈[—３，＋∞）．答案：—错误![—３，＋∞）二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·如东高级中学高三学情调研）设函数f（x）＝错误!则f（—２）＋f（log２１２）＝________.解析：因为f（—２）＝１＋log２４＝３，f（log２１２）＝２log２１２—１＝6，所以f（—２）＋f（log２１２）＝9．答案：9２．（２0１8·苏州期末）函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：画出f（x）的图象如图所示，可看出函数的值域为（—∞，１]．答案：（—∞，１]３．（２0１8·南京名校联考）f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为f错误!＝log３错误!＝—２，所以f错误!＝f（—２）＝错误!—２＝9．答案：9４．（２0１9·南通调研）函数f（x）＝错误!＋lg（x＋１）的定义域是________．解析：由题意得错误!⇒x＞—１且x≠１，所以函数f（x）的定义域是（—１,１）∪（１，＋∞）．答案：（—１,１）∪（１，＋∞）５．（２0１8·启东中学检测）已知函数y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，则函数y＝f（x）的定义域为________．解析：因为y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，所以x∈[—错误!，错误!]，x２—１∈[—１,２]，所以y＝f（x）的定义域为[—１，２]．答案：[—１,２]6．已知具有性质：f错误!＝—f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：１y＝x—错误!；２y＝x＋错误!；３y＝错误!其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于１，f（x）＝x—错误!，f错误!＝错误!—x＝—f（x），满足；对于２，f错误!＝错误!＋x ＝f（x），不满足；对于３，f错误!＝错误!即f错误!＝错误!故f错误!＝—f（x），满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是１３.答案：１３7．（２0１9·扬州一模）若函数f（x）＝错误!为奇函数，则f（g（２））＝________.解析：因为函数f（x）＝错误!为奇函数，所以当x＞0时，—x＜0，则f（—x）＝２x—２＝—f（x），所以f（x）＝—２x＋２，即g（x）＝—２x＋２．所以g（２）＝—２２＋２＝—２，f（g（２））＝f（—２）＝２２—２＝２．答案：２8．已知函数f（x）＝错误!若f（１）＝错误!，则f（３）＝________.解析：由f（１）＝错误!，可得a＝错误!，所以f（３）＝错误!２＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·泰州一调）设函数f（x）＝错误!若f（x）＞２，则x的取值范围是________．解析：不等式f（x）＞２可化为错误!或错误!解得x＞错误!或x＜—１．答案：（—∞，—１）∪错误!１0．（２0１9·无锡一中月考）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log错误!f（x）的定义域是________．解析：要使函数g（x）有意义，需f（x）＞0，由f（x）的图象可知，当x∈（２,8]时，f（x）＞0．答案：（２,8]１１．（２0１9·南京金陵中学月考）二次函数f（x）满足f（x＋１）—f（x）＝２x，且f（0）＝１．（１）求f（x）的解析式；（２）若在区间[—１,１]上，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝２x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．解：（１）由f（0）＝１，可设f（x）＝ax２＋bx＋１（a≠0），故f（x＋１）—f（x）＝a（x＋１）２＋b（x＋１）＋１—（ax２＋bx＋１）＝２ax＋a＋b，由题意得错误!解得错误!故f（x）＝x２—x＋１．（２）由题意，得x２—x＋１＞２x＋m，即x２—３x＋１＞m，对x∈[—１,１]恒成立．令g（x）＝x２—３x＋１，则问题可转化为g（x）min＞m，又因为g（x）在[—１,１]上递减，所以g（x）min＝g （１）＝—１，故m＜—１，即实数m的取值范围为（—∞，—１）．１２．（２0１8·南京期末）已知二次函数f（x）满足f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点．（１）求二次函数f（x）的解析式；（２）已知集合U＝[１,４]，B＝错误!，求∁U B.解：（１）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），因为f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点，所以错误!解得a＝３，b＝—２，所以f（x）＝３x２—２x.（２）y＝错误!＝３—错误!，当x∈[１,４]时，函数y＝３—错误!是增函数，当x＝１时，y取得最小值１；当x＝４时，y取得最大值错误!，所以B＝错误!，又集合U＝[１,４]，故∁U B＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知实数a≠0，函数f（x）＝错误!若f（１—a）＝f（１＋a），则a＝________.解析：当a＞0时，１—a＜１,１＋a＞１．由f（１—a）＝f（１＋a）得２—２a＋a＝—１—a—２a，解得a＝—错误!，不合题意；当a＜0时，１—a＞１,１＋a＜１，由f（１—a）＝f（１＋a）得—１＋a—２a＝２＋２a＋a，解得a＝—错误!，所以a的值为—错误!.答案：—错误!２．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋２）＝２f（x），若当0≤x≤２时，f（x）＝x（２—x），则当—４≤x≤—２时，f（x）＝________.解析：由题意知f（x＋４）＝２f（x＋２）＝４f（x），当—４≤x≤—２时，0≤x＋４≤２，所以f（x）＝错误!f（x＋４）＝错误!（x＋４）[２—（x＋４）]＝—错误!（x＋４）（x＋２），所以当—４≤x≤—２时，f（x）＝—错误!（x＋４）（x＋２）．答案：—错误!（x＋４）（x＋２）３．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：y＝错误!＋mx＋n（m，n是常数）．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图．（１）求出y关于x的函数表达式；（２）如果要求刹车距离不超过２５．２米，求行驶的最大速度．解：（１）由题意及函数图象，得错误!解得m＝错误!，n＝0，所以y＝错误!＋错误!（x≥0）．（２）令错误!＋错误!≤２５．２，得—7２≤x≤70．因为x≥0，所以0≤x≤70．故行驶的最大速度是70千米/时．。
专题2-1 函数的概念及其表示方法讲-2018年高考数学一
【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号) ①y ＝±x ；②y 2＝x －1；③y ＝x －2＋1－x ； ④y ＝x 2－2(x ∈N )． 【答案】④2．[教材改编] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －2，x >0，x ＋a ，x ≤0，若f [f (e)]＝2a ，则实数a ＝________．【答案】－1【解析】因为f (e)＝ln e －2＝－1，所以f [f (e)]＝f (－1)＝－1＋a ＝2a ，解得a ＝－1. 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．①f ：x →y ＝12x; ②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x; ④f ：x →y ＝x .【答案】③【解析】 ③中当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q .5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为______________．【答案】x ≤－2或0≤x ≤106．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 【答案】f (x )＝x 2－1(x ≥0)【解析】令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】9【解析】设函数y ＝x 2的定义域为D ，其值域为{1，4}，易知D 的所有情形的个数，即是同族函数的个数．D 的所有情形为{－1，2}，{－1，－2}，{1，2}，{1，－2}，{－1，1，2}，{－1，1，－2}，{－1，2，－2}，{1，2，－2}，{－1，1，2，－2}，共9个，故答案为9. 题组三 常考题8． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 3（3－x ），x <1，x 2＋2，x ≥1，则f (－6)＋f (2)＝________.【答案】9【解析】 f (－6)＝1＋log 3(3＋6)＝1＋log 39＝1＋2＝3，f (2)＝22＋2＝6， 所以f (－6)＋f (2)＝3＋6＝9.【知识清单】1．函数映射的概念2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【考点深度剖析】本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像，仍是2018年高考考查的重要内容．【重点难点突破】考点1 函数与映射的概念 【1-1】 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0－1，x <0表示同一个函数．(2)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(3)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 【答案】(2)．【1-2】 给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线；④f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．其中正确的有________． 【答案】①【解析】由函数的定义知①正确．②中满足f (x )＝x －3＋2－x 的x 不存在，所以②不正确．③中y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．【1-3】 (1)(2017·南通调研)函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是____________．【答案】(1)(1，＋∞) (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}规律方法 【思想方法】一、①判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．②判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．③函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 二、求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f(x)的定义域为[a ，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b 求出；若已知f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ，b]时的值域．【温馨提醒】不要混淆“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数． 考点2 求函数的解析式【2-1】 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．【答案】f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．【2-2】 已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－1(x ≥1)．【2-3】 定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．【解析】当x ∈(－1,1)时，有 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． ①以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)． ② 由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．【思想方法】1.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )． 2.分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【温馨提醒】解决函数的一些问题时，要注意“定义域优先”的原则．当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 考点三 分段函数【3－1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.【答案】9【解析】根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.【3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(1)12(2)(－∞，8]【思想方法】(1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【温馨提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【易错试题常警惕】1．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.【答案】x2－1(x≥1)【解析】令x＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．点睛：复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】 (－∞，8]点睛：分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．。
2018年高考数学一轮复习讲练测江苏版讲 专题2.11 函数
【最新考纲解读】【考点深度剖析】1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点．2．由函数y＝f(x)在闭区间a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间a，b]上有零点的充分不必要条件．【课前检测训练】判一判](1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( )解析错误.若f′(x)>0，则f(x)为增函数；但f(x)为增函数时，应有f′(x)≥0，如函数y ＝x3.(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( )解析错误.可能有多个极大值也可能没有极大值.(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )解析正确.(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.( )解析错误.例如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数为0，但f(0)不是它的极值.(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )解析 正确.当函数在区间的端点处取得最值时，该最值就不是极值. 练一练]1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________解析 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y′＝x －1x ＝x －1x ＋1x ，令y′≤0，则可得0<x≤1. 答案 (0,1]2．如图是f(x)的导函数f ′(x)的图像，则f(x)的极小值点的个数为________.解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 13．已知f(x)＝x 3－ax 在1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________.解析 f ′(x)＝3x 2－a ≥0，即a ≤3x 2，又∵x ∈1，＋∞)，∴a ≤3，即a 的最大值是3. 答案 34．函数f(x)＝x33＋x 2－3x －4在0,2]上的最小值是________.答案 －173【经典例题精析】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________． 【答案】(1,2)．【解析】法一：函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，所以函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．法二：作出函数y ＝log 3x 与y ＝－x ＋2的图像(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内．【1-2】函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 【基础知识】 1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2．二分法对于在区间a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点． 考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个． 【答案】2⎩⎪log 2x ，x >0，【答案】4【解析】由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1.可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． 【基础知识】函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )； (3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论． 【思想方法】 (1)等价转化思想． (2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质 考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0⎩⎪x －3ax ＋a ，x >0________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1【基础知识】函数零点与函数交点关系 【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质 【易错题型大揭秘】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围． 如：已知集合(){}2,20x y xmx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，显然AB ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 【解析】 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.。
2018高考江苏版(理)数学一轮复习讲义： 第2章 热点探究课1 函数的图象与性质
热点探究课(一) 函数的图象与性质[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．热点1 函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为________. 【导学号：62172064】⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.] [迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．[对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |log 2x |，0＜x ＜2，x ＋22x，x ≥2，若0＜a＜b ＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则ab f (c )的范围是________． (1,2) [如图所示，∵0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，∴－log 2a ＝log 2b ，即ab ＝1，又由图可知12＜f (c )＜1，故1＜1f (c )＜2， ∴ab f (c )＝1f (c )∈(1,2)．] 热点2 函数性质的综合应用。
精选江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数及其表示教师用书理苏教版
第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示教师用书理苏教版1.函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域.(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.3.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【知识拓展】求函数定义域常见结论(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x －∞，a ，x 2，x ∈[a ，＋若f (2)＝4，则a 的取值范围为________.答案 (－∞，2]解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]. 2.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 答案 [－3，1]解析 要使原函数有意义，需满足3－2x －x 2≥0， 解得－3≤x ≤1，故函数的定义域为[－3，1]. 3.(教材改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数， 则f (g (π))的值为________. 答案 0解析 由题意得，g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.4.(教材改编)如果f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0，1时，f (x )＝________.答案1x －1解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.5.已知f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))的定义域为________. 答案 {x |x ≠－2且x ≠－1} 解析 因为f (x )＝1x ＋1， 所以f (x )的定义域为{x |x ≠－1}， 则在f (f (x ))中，f (x )≠－1，即1x ＋1≠－1， 解得x ≠－2，所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －x表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________. 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－x的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是________.①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2； ④f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2.答案 (1)2 (2)④解析 (1)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象.(2)①中两个函数的定义域不同；②中y ＝x 0的x 不能取0；③中两函数的对应法则不同. 题型二 函数的定义域问题 命题点1 求函数的定义域 例2 (1)(教材改编)函数f (x )＝x －4－2x的定义域用区间表示为____________.(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________.答案 (1)[0，1)∪(1，2) (2)[0，1)解析 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －1≠0，x ≥0，4－2x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ≥0，x <2.∴函数f (x )的定义域为[0，1)∪(1，2). (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1， 又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0，1). 引申探究例2(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]”，则函数g (x )＝f x x －1的定义域为________________.答案 [12，1)∪(1，32]解析 由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[1，3]，令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32].命题点2 已知函数的定义域求参数范围例3 (1)若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________.(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)[－1，0] (2)[0，3) 解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ， 所以222x ax a+-－1≥0对x ∈R 恒成立，即222x ax a+-≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. (2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数t ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点. 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3).思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.(1)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y＝______________. (2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______________.答案 (1)[32，2) (2)[0，34)解析 (1)要使函数y需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，12log －x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立. ①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m2－4×m ×3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，m m－或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m m－解得0<m <34.由①②得0≤m ＜34.题型三 求函数解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).(1)已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，求f (x )；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x ). 解 (1)设x －1x ＝t ，则x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.(2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb ＋b ， 即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1，∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋14.2.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______________.(2)(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是____________.思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.解析 (1)当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意.当a <0时，1－a >1，1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意.(2)由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.答案 (1)－34 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞1.下列各组函数中，表示同一函数的是________.①y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3；②y ＝x 2－1与y ＝x －1； ③y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)； ④y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z . 答案 ③解析 ①中两函数的定义域不同；②，④中两函数的对应法则不同. 2.(2016·江苏苏锡常镇调研)函数f (x )＝x －x 2x －1的定义域为__________.答案 (0，1)∪(1，2)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2>0，x －1≠0，解得0<x <1或1<x <2，故所求函数的定义域为(0，1)∪(1，2). 3.给出下列函数：①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |；③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .其中满足f (2x )＝2f (x )的是________.(填序号) 答案 ①②④解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等. 对于①，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于②，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于③，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于④，f (2x )＝－2x ＝2f (x ). 故只有③不满足f (2x )＝2f (x ).4.(2016·南通模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为________.答案 1或－22解析 ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝ea －1＝1⇒a ＝1.5.设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为____________.答案 (－4，－1)∪(1，4)解析 ∵2＋x 2－x ＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，解得－4＜x ＜－1或1＜x ＜4，∴所求的定义域为(－4，－1)∪(1，4).6.(2016·江苏淮阴中学期中)从集合A 到集合B 的映射f ：x →x 2＋1，若A ＝{－2，－1，0，1，2}，则B 中至少有________个元素. 答案 3解析 根据映射的定义可得x ＝±2→y ＝5，x ＝±1→y ＝2，x ＝0→y ＝1，所以集合B 为{1，2，5}，故集合B 中至少有3个元素.7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2， x ≤0，－x 2， x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.答案 2解析 当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)；当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解.8.(2016·苏州暑假测试)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为____________. 答案 8或－83解析 当m >0时，2－m <2，2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2，2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－83.9.(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0， 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. *10.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________.答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足. 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋，－2<x <0，2x ＋1，0≤x ＜2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值. 解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12) ＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32， 当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a ＝－5(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝ 5.。
2018江苏高考数学总复习要点——知识篇(全套)
2
x2 y 2
2
2
⑸ 数量积的运算律
①交换律：
a b b a
②对数乘的结合律： ( a) b (a b) a (b)
③分配律： (a b) c a c b c
注意： 数量积不满足结合律，即：
coS(-α)=cos α ， 偶
tan(-α)=—tan α ，奇
Sin(2π-α)=—sin α ， 奇，周期函数
coS(2π-α)=cos α ， 偶，周期函数
tan(2π-α)=—tan α ，奇，周期函数
三、基本初等函数（2）三角恒等变
换
•
•
•
•
•
3正余弦正切的诱导公式
公式三（仅正弦不变号）
1)概念
一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向
规定如下：
• ① ՜ = ՜
• ②当>0时， ՜的方向与 ՜的方向相同；
• 当 <0时， ՜的方向与 ՜的方向相反；
• 特别地，当 =0时， ՜=՜
0
五、平面向量
• b=2RsinB
• c=2RsinC
• 注：∆ =
1
absinC
2
= 2 外接圆半径
四、解三角形
•
•
•
•
2余弦定理及其应用
2 = 2 + 2 − 2
2 = 2 + 2 − 2
2 = 2 + 2 − 2
• =
2 + 2 −2
（1）概念
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.1 函数的概念及其表示方法(练)
专题2.1 函数的概念及其表示方法【基础巩固】1．【2017·扬州中学质检】函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】使函数f (x )有意义需满足x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．2．【2017·衡水中学月考】设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下： 映射f 的对应法则映射g 的对应法则则f [g (1)]的值为________．【答案】1【解析】由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4， 由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1.3．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 【答案】[－3,1]【解析】要使函数有意义，则3－2x －x 2≥0， ∴x 2＋2x －3≤0，解之得－3≤x ≤1. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.【答案】－2【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1.∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 5．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝________. 【答案】x ＋1【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1.6．【2017·盐城中学一模】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x，log 3x x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【答案】9【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 7．在函数①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x；④y ＝1x中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的有________(填序号)． 【答案】④【能力提升】8．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________(填序号)．①y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10；②y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310；③y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410；④y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510. 【答案】②【解析】设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10， 当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1.9．【2016·江苏卷】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25【解析】由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.10．【2017·南师大附中一模】设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的【解析】式可以是________(填序号)．①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝e x－1； ③f (x )＝x ＋4x；④f (x )＝tan x .【答案】③11．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．【答案】f (x )＝－log 2 x【解析】根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22【解析】由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.【思维拓展】13．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．【答案】(0,1]【解析】要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0,1]．14．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.给出下列四个结论：①|x |＝x |sgn x |；②|x |＝x sgn|x |；③|x |＝|x |sgn x ；④|x |＝x sgn x . 其中正确的结论是________(填序号)． 【答案】④【解析】当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ； 当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x .15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (x )的最小值是________．【答案】22－3 【解析】当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。
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专题2.1 函数的概念及其表示方法
【基础巩固】
1．【2017·扬州中学质检】函数f (x )＝log 2(x 2
＋2x －3)的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】使函数f (x )有意义需满足x 2
＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
2．【2017·衡水中学月考】设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下： 映射f 的对应法则
映射g 的对应法则
则f [g (1)]的值为________．【答案】1
【解析】由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4， 由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1.
3．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2
的定义域是________． 【答案】[－3,1]
【解析】要使函数有意义，则3－2x －x 2≥0， ∴x 2
＋2x －3≤0，解之得－3≤x ≤1. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x 3
，x <0，－tan x ，0≤x <π
2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.
【答案】－2
【解析】∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝－tan π4＝－1.
∴f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3
＝－2. 5．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝________. 【答案】x ＋1
【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2
x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2
＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1.
6．【2017·盐城中学一模】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x x
，log 3x x ，则f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.
【答案】9
【解析】∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫19＝log 319＝－2，
∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2
＝9. 7．在函数①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x
；④y ＝1
x
中，其定义域和值域分别与函数y ＝10
lg x
的定义域和值域相同的有________(填序号)． 【答案】④
【能力提升】
8．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________(填序号)．
①y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10；②y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310；③y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410；④y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤x ＋510. 【答案】②
【解析】设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，
当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 10， 当6<α≤9时，⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 10＋1.
9．【2016·江苏卷】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25
【解析】由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12
＝110
，
∴－12＋a ＝110，则a ＝35
，
故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25
.
10．【2017·南师大附中一模】设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 2
0≥x 2
0，则f (x )的【解析】式可以是________(填序号)．
①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝e x
－1； ③f (x )＝x ＋4x
；④f (x )＝tan x .
【答案】③
11．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋|x |＝log 2
x |x |，则f (x )的解析式是________．
【答案】f (x )＝－log 2 x
【解析】根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝log 2x ，则f (x )＝log 21x
＝－log 2x .
12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x
，x ≤0，
|log 2x |，x >0，则使f (x )＝1
2
的x 的集合为________．
【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
－1，2，22
【解析】由题意知，若x ≤0，则2x
＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212
或
x ＝2－12，故x 的集合为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫
－1，2，22.
【思维拓展】
13．函数f (x )＝ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1x ＋1－x 2
的定义域为________．
【答案】(0,1]
【解析】要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1x
>0，
x ≠0，
1－x 2
≥0
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1
⇒0<x ≤1.∴f (x )
的定义域为(0,1]．
14．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0.
给出下列四个结论：
①|x |＝x |sgn x |；②|x |＝x sgn|x |；③|x |＝|x |sgn x ；④|x |＝x sgn x . 其中正确的结论是________(填序号)． 【答案】④
【解析】当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ； 当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x .
15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －1，x <1，2x
，x ≥1，
则满足f (f (a ))＝2
f (a )
的a 的取值范围是________．
【答案】⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞
16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2x
－3，x ≥1，
x 2＋，x <1，则f (x )的最小值是________．
【答案】22－3 【解析】
当x ≥1时，f (x )＝x ＋2
x
－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；
当x <1时，f (x )＝lg(x 2
＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。