《电路》第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

一、信号的分类
i
1、正弦信号
2、非正弦信号
不是按正弦规律变化的信号
O 图中电流是正弦信号还是非正弦信号？
π 2π ωt
非正弦信号
例 交直流共存电路 +V
波形可以分解
uC’ UC0
uC’’ +
二. 非正弦周期交流信号
(1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f (t) f (t kT )
例1 半波整流电路的输出信号
k
K为偶数 K为奇数
ak

2

2
0
iS
(t ) cos
kt
d (t )

2Im


1 sin kt
k

0

0
is 的展开式为：
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
3

1 sin 5t
5
)
周期性方波波形分解
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
is3
is5
iS
Im
T/2 T
Akm 矩形波的频谱图
t
0 3 5 7
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
3

1 sin5
5
t
)
§13-3 有效值、平均值和平均功率
一. 非正弦周期函数的有效值

若 i(t ) I0 Ikm cos(kt k ) k 1
1
51C

1 5 106 1000 1012

0.2(KΩ )
51L 5 106 103 5kΩ
Z (51 )

( R jXL5)( jXC 5) R j(5 XL5 XC 5)

208.3

89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
3
Im
t
1 sin 5t )
T/2 T
5
代入已知数据： I m 157 μA,
T 6.28 μs
直流分量
I0

Im 2
157 78.5 μA 2
基波最大值
I1m

2Im


2 1.57 3.14
100 A
三次谐波最大值
I3m

1 3
I1m

33.3A
五次谐波最大值
I1

Z (1）
100 106 2
50

5000 2
mV
(c)三次谐波作用 is3 33.3 sin 3 106 t
1
31C

1 3 106 1000 1012

0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )

(R R
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 2
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57 mV
U 1

5000mV 2
U 3

12.47 2


89.2
mV
U 5

4.166 2


89.53 mV
u U0 u1 u3 u5
例2 周期性锯齿波
t
例3 脉冲电路中的脉冲信号
T
t
§13-2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量
基波（和原 函数同频）
f (t) A0 A1m cos(1t 1) A2m cos(21t 2 )
二次谐波 （2倍频）
Anm cos(n1t n )

i(t ) I0 Ikm cos(kt ik ) k 1
P 1
T
u idt
T0
利用三角函数的正交性，得：

P U0 I0 Uk Ik cosk k 1 P0 P1 P2 ......
( k uk ik )
P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
（2） 对各种频率的谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5A
电容断路，电感短路:
IS0
R u0
U0 RI S0 20 78 .5106 1.57 mV
（b) 基波作用 is1 100sin106 t
1
1C

1 106 1000 1012
分量有效值平方和的方根。
二. 非正弦周期函数的平均值

若 i(t ) I0 Ik cos(kt k ) k 1
则其平均值为：
1
I AV
T
T
0 i(t )dt I0
正弦量的平均值为0
三. 非正弦周期交流电路的平均功率

u(t ) U0 U km cos(kt uk ) k 1
结论 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
§13-4 非正弦周期交流电路的计算
一. 计算步骤
1. 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开 成若干种频率的谐波信号；
2. 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号 分别应用相量法计算；
（注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相当于 开路、L相于短路。）
3. 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
二. 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
i R 20、 L 1mH、C 1000 pF
Im 157μA、 T 6.28S
S
R
Cu L
解 （1）已知方波信号的展开式为：
iS
iS

Im 2

2Im

(s in t

1 sin 3t
0
1
ak
2
0 f (t )cos k1t d(1t )
bk

1

2
0 f (t )sin k1t d(1t )
求出a0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
例1
周期性方波信号的分解
iS
解 图示矩形波电流在一个周期内
的表达式为：
Im
iS
Fra Baidu bibliotek(t
)


I
m

0
0 t T 2
T tT 2
t
T/2 T
直流分量： IO

1 T
T 0
iS
(t) dt

1 T
T /2
0 Imdt

Im 2
1
谐波分量：bK
2
0 iS ( t )sin k t d ( t )

Im

( 1 cos k
k
t
)

0


0 2Im
第十三章 非正弦周期电流电路
1. 周期函数分解为付里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 3. 非正弦周期电流电路的计算
§13-1 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周 期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技 术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
1k
1L 106 103 1k XL>>R
R
iS
C L
u
Z(1 )

( R jX L ) ( jX C ) X L XC
R j( X L XC )
R

L RC

50k
Z(1 ) 50KΩ is1 100 sin106 t μ A
U 1

高次谐波

f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1

f (t) A0 Akm cos(k1t k ) 表示成： k 1
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t

f (t) a0 [ak cos k1t bk sin k1t]
1.57 5000 sint
12.47 sin( 3t 89.2 )
4.166 sin(5t 89.53 ) mV
则有效值:
I 1 T i 2 t d (t)
T0

1 T
T 0
I0

k 1
I km
cos
kt
k
2
d (t)
利用三角函数的正交性得：
I
I
2 0

k 1
I
2 km
2
I
I
2 0

I12

I
2 2




结论
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波
I5m

1 5
I1m

20 μA
角频率

2
T

2 3.14 6.28 106
10 6
rad/s
电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5 A
is1 100 sin106 t A
is3 33.3sin 3 106 t A is5 20sin 5 106 t A
3

1 sin 5t
5
)
直流分量
t
基波
t
三次谐波
五次谐波 七次谐波
t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0 s1 s3 s5
iS

Im 2

2Im

(sint

1 sin 3t
3

1 sin5
5
t
)
IS0
is1
系数之间 的关系为
k 1
A0 a0
Akm ak2 bk2
ak Akm cosk bk Akm sink
k

arctan
bk ak

f (t) a0 [ak cos k1t bk sin k1t] k 1
系数的计算：
a0

1 T
T
f (t)dt
jXL3)( jXC 3) j( XL3 XC 3)
374.5 89.190
U 3

IS 3

Z(31 )
106 33.3
2
374.5 89.190
12.47 89.20 mV 2
(d)五次谐波作用 is5 20sin 5 106 t A