2002年全国高中数学联合竞赛试卷答案

二○○二年全国高中数学联合竞赛

试题参考答案及评分标准

说明：

1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各

题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。

2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次

评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。 一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 2

2

1--x x 的单调递增区间是

(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0⇒x<-1或x>3，令f(x)=u 2

1log

, u= x 2

-2x-3，故选A

2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2

解：B 3、 函数f(x)=

2

2

1x x x

-

-

(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线

13

4=+y x 椭圆

19

16

2

2

=+

y

x

相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点

P 共有

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2

π

)，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。

S=1

1

OBP OAP S S ∆∆+=

ααcos 432

1sin 342

1⨯⨯+

⨯⨯=6(sin α+cos α)=)4

sin(26πα+

∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6

∴626)(max 1

-=∆AB P S

∵626-<3

∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个

元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有

(A) 50

100C (B) 50

90C (C) 49

100C (D) 49

99C

解：不妨设b 1

，使得

第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为49

99C ，则这样的映射共有49

99C ，故选D 。

6、 由曲线x 2=4y, x 2= -4y, x=4, x= -4围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为V 1，满足x 2+y 2≤16,

x 2+(y -2)2≥4, x 2+(y +2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则

(A) V 1=

2

1V 2 (B) V 1=

3

2V 2 (C) V 1=V 2 (D) V 1=2V 2

解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积 ∵S 1=π(42-4|y|) ,

S 2=π(42

-y 2

)-π[4-(2-|y|)2

]=π(42

-4|y|) ∴ S 1=S 2

由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故远C 。 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、 已知复数Z 1,Z 2满足|Z 1|=2, |Z 2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则

2

121z z z z -+= 。

解：由余弦定理得|Z 1+Z 2|=19, |Z 1-Z 2|=7,

2

121z z z z -+=

7

133

8、 将二项式n

x

x )21(4+

的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的指数

是整数的项共有 个。 解：不难求出前三项的系数分别是)1(8

1,

2

1,1-n n n ，

∵)1(8

11212-+

=⋅

n n n

∴当n=8时，4

3161)2

1

(r r

r

n r x

C T -+= (r=0,1,2,…，8) ∴r=0,4,8,即有3个 9、 如图，点P 1,P 2,…,P 10分别是四面体点或棱的中点，那么在同

一平面上的四点组(P 1, P i , P j, P k )(1

这样三点组有3

5C 个，三个侧面共有33

5C 个。

其次，含P 1的每条棱上三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在一个平面上，这

样的四点组有3个 ∴共有33

5C ＋3＝33个

10、 已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1且对任意x ∈R 都有

f(x+5)≥f(x)+5 f(x+1)≤

f(x)+1

P 9 8 P

10