【数学】福建省连江文笔中学2015届高三上学期期中考试(理)

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福建省连江文笔中学高三数学上学期期中试卷理

福建省连江文笔中学2014—2015学年高三上学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）函数()2lg 21y x =+的定义域是（）．A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 在平面直角坐标系中,若角α的顶点在坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边经过点(3,4)P -，则cos α的值为（）．A.54-B.53-C.53D.54 下列命题错误的是（）． A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”B ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在R x ∈0,使得0102<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x xD ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件设33=a ,2)31(-=b ,2log 3=c ，则（）．A. c b a >> B ．a c b >> C. b a c >> D. b c a >>方程21log x x =的实根所在区间为（）．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B. ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C.()2,1 D. ()3,2定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有1212()(()())0x x f x f x -->，则当*n N ∈时，有（）．A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C．(1)()(1)fn fn fn+<-<-D．(1)(1)()f n f n f n+<-<-若1ln,0,()1,0,xxf xxx⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩则不等式1)(->xf的解集为（）．A．(,1)(,)e-∞-+∞U B．(,1)(0,)e-∞-UC．(1,0)(,)e-+∞U D．(1,0)(0,)e-U已知tan()34πα-=，则1sin cosαα的值为（）．A．52-B．75C．52D．75-函数y＝ln1|2x－3|的图像为（）．A B C D将函数sin2y x=的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）．A.cos2y x= B.22cosy x=C.)42sin(1π++=xyD.22siny x=已知函数()f x的定义域为R，对于任意实数x都有(2)()f x f x+=且()()f x f x-=，当[0,1]x∈时，2()f x x=．若在区间[1,3]-内，()()g x f x mx m=++有且只有4个零点，则实数m的取值范围是（）．A.1[,0)4-B．1(,0)4-C．1(0,]4D．1(0,)4设函数)(xf是定义在R上的奇函数，且0)2(=f，当0>x时,有2()()xf x f xx'-<恒成立，则不等式)(2>xfx的解集为（）．A.),2()0,2(+∞-YB.)2,0()0,2(Y -C.),2()2,(+∞--∞YD.)2,0()2,(Y --∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）若 11(2)3ln 2(1)ax dx a x +=+>⎰，则a 的值是 ★★★ ．已知命题“存在012,2<++∈ax x R x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 ★★★ ．已知135sin ,53)cos(-==-ββα,且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈,则sin α= ★★★ ．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如[2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-, 这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么3333[log 1 ]+[log 2 ]+[log 3 ]+[log 243 ]+L L 的值为 ★★★ ．解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．)（本小题满分12分）（本小题满分12分）已知集合{}73|<≤=x x A ,{}0)10)(2(|<--=x x x B ,{}a x a x C <<-=5|.（Ⅰ）求B A Y ,B AC R I )(;（Ⅱ）若()B A C Y ⊆,求a 的取值范围.（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,0,)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图像如图所示．（Ⅰ）试确定()f x 的解析式;（Ⅱ）若12f απ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（本小题满分12分）已知函数21()sin cos (,0)2f x x x x x ωωωω=-∈>R 的最小正周期为π2．（Ⅰ）求)()(x f x f 的表达式和的单调递增区间；（Ⅱ）求]65,6[)(ππ-在区间x f 的最大值和最小值．（本小题满分12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x<11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与2214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．（Ⅰ）求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；（Ⅱ）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．（本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x x ax a R x =-+∈．(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()y f x =在定义域内是减函数，求a 的取值范围．（本小题满分14分）已知函数()13(0)f x a nx ax a =--≠ （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()y f x =的图像在点()()2,2f 处的切线的倾斜角为45°，那么实数m 在什么范围取值时，函数32()()2m g x x x f x ⎡⎤'=++⎢⎥⎣⎦在区间()2,3内总存在极值？（Ⅲ）求证：*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 1(2,)2345n n n n n ⨯⨯⨯⨯⨯<≥∈N L ．参考答案及评分细则一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．） 1－12 BCBAC CBAAB AD 部分详解：6．依题意，()f x 在(],0-∞上为增函数，由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在()0,+∞上为减函数，故()()()()11f n f n f n f n +>=->-．7．方法一（特值淘汰）：依次取1,2x =-．方法二：不等式1)(->x f 等价于0,11ln 1ln ,x x e >⎧⎪⎨>-=⎪⎩或0,11.x x <⎧⎪⎨>-⎪⎩解得0x e <<，或1x <-．8．由已知，tan 131tan αα-=+，解得tan 2α=-．故2221sin cos tan 15sin cos sin cos tan 2αααααααα++===-． 10．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即cos2y x =的图象，再向上平移1个单位，得到cos21y x =+，即22cos y x =的图象．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）13．214．()(),11,-∞-+∞U 15．653316．857 部分详解：14．依题意，2440a ∆=->，解得1a >，或1a <-．15．易得()412sin ,cos 513αββ-==，故 ()()()4123533sin sin sin cos cos sin 51351365ααββαββαββ⎛⎫⎡⎤=-+=-+-=⨯+⨯-= ⎪⎣⎦⎝⎭．16．依题意，当13n ≤<时，30log 1n ≤<，则[]3log 0n =；当233n ≤<时，31log 2n ≤<，则[]3log 1n =；…；当4533n ≤<时，34log 5n ≤<，则[]3log 4n =；当53243n ==时，[]3log 2435=．所以原式()()()2540311334335857=⨯-+⨯-++⨯-+=L ．三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．) 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由0)10)(2(<--x x ，得102<<x ， ∴ {}102|<<=x x B ， 1分∴{}102|<<=x x B A Y , 3分 ∵{}73|≥<=x x x A C R 或,4分∴{}10732|)(<≤<<=x x x B A C R 或I ． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知{}102|<<=x x B A Y , ①当C=φ时,满足()B A C Y ⊆,此时a a ≥-5,得25≤a ; 8分②当C≠φ时,要()B A C Y ⊆,则⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-，，，10255a a a a 解得325≤<a . 11分综上所述，a 的取值范围为(],3-∞．12分18．（本小题满分12分）解：由图象可知，5112,4632T A ==-=， 2分 ∴22,T T πωπ===． 3分将点1,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2sin f x x πϕ=+，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 4分∵2πϕ<，∴6πϕ=． 5分∴()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 6分（Ⅱ）由2f απ⎛⎫= ⎪⎝⎭得12sin 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故1sin 64πα⎛⎫+=⎪⎝⎭． 8分∴21cos cos sin 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()1cos21222x f x x ωω-=- 1分12cos22x x ωω=-sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 2分∵222T ππω==， ∴12ω=． 3分 ∴()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 4分由22,262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z，得222,33k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，6分∴()f x 的单调增区间为22,2,33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 7分（Ⅱ）由5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得2,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 8分∴当63x ππ-=-，即6x π=-时，()min sin 3f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 10分当62x ππ-=，即23x π=时，()max sin 12f x π==． 12分（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设5858－u ＝k2214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1分 ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k 2214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得k ＝2. 3分 ∴u ＝－22214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋5858＝－2x2＋21x ＋18. 4分 ∴y ＝(－2x2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x3＋33x2－108x －108(6<x<11)． 6分（Ⅱ）y ′＝－6x2＋66x －108＝－6(x2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)． 7分令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 8分当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0. 9分∴函数y ＝－2x3＋33x2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． 10分∴当x ＝9时，y 取最大值，且ymax ＝135， 11分∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． 12分（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 当1a =时,2()ln f x x x x =-+，故(1)1f =，从而切点为(1,1)． 1分 ∵222122()1x x f x x x x -+-'=--=， 3分 ∴()12k f '==-切， 4分∴切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=. 6分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．7分212()f x a x x '=--，8分∵函数()y f x =在定义域内是减函数，∴'212()0f x a x x =--≤在(0,)+∞上恒成立，即22122x a x x x -≥-=在(0,)+∞上恒成立， 9分方法一：设22()x g x x -=，(0,)x ∈+∞22'44(2)24()x x x x x g x x x --⋅-+==令'()0g x =得10x =（舍去），24x =∵(0,4)x ∈时'()0g x >，()g x 单调递增，(4,)x ∈+∞时'()0g x <，()g x 单调递减 ∴max 1()(4)8g x g ==． 11分∴a 的取值范围为1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 12分方法二：设22()x g x x -=，(0,)x ∈+∞．设1t x =，则2()2,g x y t t ==-+(0,)t ∈+∞， ∴当14t =即4x =时，max 1()(4)8g x g ==． 11分∴a 的取值范围为1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 12分（本小题满分14分）（Ⅰ）()ln 3(0)f x a x ax a =--≠Q(1)().(0).a a x f x a x x x -'∴=-=>2分当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞； 3分当0a <时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)． 4分（Ⅱ）Q 函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒(2)1f '∴=，于是2a =-，2()2f x x -'=+． 6分322()22mg x x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦32(2)2.2m x x x =++- 2()3(4) 2.g x x m x '=++- 7分要使函数()g x 在区间(2,3)内总存在极值. ∴只需(2)0(3)0g g '<⎧⎨'>⎩，即得3793m -<<-，当3793m -<<-时，函数()g x 在区间(2,3)内总存在极值 9分（Ⅲ）令1a =-，此时()ln 3,f x x x =-+-(1)2f =-， 10分由（Ⅰ）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增， ∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10.x x -+-> ∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞都成立． 12分*, 2.n N n ∈≥Q0ln 1,n n ∴<<-于是ln 10,n n n n -<< 13分*ln 2ln3ln 4ln 12311(2,)234234n n n n N n n n -∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈L L ． 14分。

福建省师大附中2015届高三数学上学期期中试题理

福建师大附中2014-2015学年第一学期期中考试卷高三数学 (理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，若{}Q=0P ，则Q=P （ ****** ） A ．{}3,0 B ． {}3,0,1 C ．{}3,0,2 D ．{}3,0,1,2 2．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ******** ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>3．已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥ ，则实数k =（ *******）9.2A -.0B .C 3 D.1524．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ *******） A. 2 B. 4 C. 22 D.24 5．下列有关命题的说法正确的是 ( ****** ) A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题； B ．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的充分不必要条件；C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”；D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．6．函数)22(cos log )(21ππ<<-=x x x f 的图象大致是( ******* )7．设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA ＝4i ＋2j ，OB ＝3i ＋4j，则△OAB 的面积等于( ******* )A.15B.10C. 7.5D.5 8．要得到函数sin(2)6y x π=+的图象,只需将函数sin(2)y x =的图象( *******)A ．左移12π个单位B ．右移12π个单位C ．左移512π个单位D ．右移512π个单位9．已知函数1cos sin 32sin 2)(2-+=x x x x f 的图象关于点（ϕ，0)对称，则 ϕ的值可以是( ***** )A. -6π C. -12π10.已知函数x x x f cos sin )(-=，若)(x f '是()f x 的导函数，且满足)(2)(x f x f ='，则=-+xx x2sin cos sin 122（ ******* ）A ．3-B ．3C ．519 D ．519- 11．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是( ******) A ．(sin )(cos )f f αβ< B ．(cos )(cos )f f αβ< C ．(cos )(cos )f f αβ> D ．(sin )(cos )f f αβ>12．已知函数1log )(2-=x x f ，且关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有6个不同的实数解，若最小实数解为3-，则b a +的值为( ******* ) A ．3- B ．2- C ．0 D ．2第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置.13．设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ== ，，，，若b a //，则=θtan _******______.14．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =_******__. 15．如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是_******__.16．若函数32()3f x x ax x =--在区间[1,)+∞是增函数，则实数a 的取值范是_******__. 17．对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数：①2()f x x =，22)(-=x x g ； ②()f x =()2g x x =+；③x x f -=e )(，1()g x x=-； ④()f x ln x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上存在唯一“友好点”的是_******__. (填上所有正确的序号) 三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知矩阵A =⎪⎭⎫⎝⎛b a 12有一个属于特征值1的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ；(Ⅱ) 若矩阵B =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下的像的方程. 19．（本小题满分14分）已知向量33(cos ,sin ),(cos(),sin())444343x x x x a b ππ==+-+ ; 令2()(),f x a b =+ （1）求()f x 解析式及单调递增区间；（2）若5[,]66x ππ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值；(3) 若()f x =52，求sin()6x π-的值。

福建省福州三中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案

福州三中2014—2015学年度高三第一学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本太题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给潞的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设函数()f x =M ，函数()1(1)g x n x =+的定义域为N ，则（） A ．(1,1]M N ⋂=- B ．(,1)R C N =-∞- C ．M N R ⋂=D ．[1,)R C M =+∞2．复数z 满足（z —3）（2+i ）=5（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A ．2+i B ．2－i C ．5+i D ．5－i 3．正项等比数列{a n }中，若l0g 2（a 1a 9）=4，则a 3a 7等于（） A ．16 B ．－16 C ．10D ．2564．设()1x e f x x =-则函数()f x 的单调递增区间是（ jA ．（－∞ 2）B ．（2,+ ∞）C ．（0,＋∞）D ．（－∞,l ）和（1,2）5．若函数|2|()3x f x c --=-的图像与女轴有公共点，则实数c 的取值范围是（）A ．[1,0)-B ．[0，1]C ．(0,1]D ．[1,)+∞6．若α为锐角，且sin :sin 8:52αα=，则cos α的值为（）A ．45B ．1225C ．825D ．7257．若||||2||a b a b a +=-=，则向量a b +与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．设向量(cos55,sin55),(cos25,sin 25)a b =︒︒=︒︒，若t 是实数，则||a tb -的最小值为（）A ．2B ．12C ．1 D149．已知函数2014sin (01)()1(1)x x f x og x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a+b+c的取值范围是（） A ．（1, 2014） B ．（1, 2015）C ．（2, 2015）D ．[2, 2015]10．若在数列{a n }中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++=（常数），则称数列{a n }为“等方和数列”，称p 为“等方和”，若数列{a n }为“等方和数列”，其前n 项和为Sn ，且“等方和”为1，首项a 1=1，则S 2014的最大值与最小值之和为（） A ．2014 B ．1007 C ．－1 D ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y=0上，则sin cos()sin()sin()2θπθπθπθ+-=--+ 。

福建省福州市格致中学2015届高三春季高考期中考试数学 Word版含答案

福州格致中学14-15上学期半期考试高三数学（高职班）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本题有12个小题，每小题5分，共60分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卡中 1．设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1，2,3,4,}，集合Q={3,4,5}，则()U P C Q ⋂=（） A ． {1,2,3,4,6 B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2．已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（） A 、-2B 、0C 、1D 、23．下列函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．2log y x =B ．221y x x =-+D ．1y x =4．,a b R ∈,下列命题正确的是（）A ．若,a b > 则22a b >B ．若,a b >则22a b >D ．若,a b ≠则22a b ≠5．若实数x,y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则Z =x -2y 的最小值是（）A ．0B ．32- C ．-2 D ．-1 6．下列选项叙述错误的是（）A ．命题“若1x ≠,则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．若命题P ：2,10,x R x x ∀∈++≠则2:,10p x R x x ⌝∃∈++= C ．若p q ∨为真命题，则p,q 均为真命题 D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件7.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()32xf x x a a R =-+∈，则()2f -=（）A ．1- B ．4- C ．1 D ．48．函数()2sinx cosx 1y =--是 ( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数9. 等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8,m a =则m 为（） A ．12 B ．8 C ．6 D ．410．若不等式()200ax bx c a ++<≠的解集为∅ （） A.0,0a <∆> B.0,0a <∆≤ C.0,0a >∆≤ D.0,0a >∆≥11.若0,0,a b >>且函数()32422f x x ax bx =--+在x =1处有极值，则ab 的最大值等于（）A.2B.3C.6D.912.二次函数()f x 满足()()4,f x f x +=-且()()21,03,f f ==若()f x 在[]0,m 上有最小值1，最大值3，则实数m 的取值范围是（） A.()0,+∞ B.[)2,+∞ C.(]0,2 D.[]2,4第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知平面向量(1,3),(4,2),a b =-=-a b λ+与a 垂直，则λ是14．若不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a -b =15．曲线ln y x =在点M (e ,1)16．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C 所有正确结论的编号）。

福建省福州市2015届高三上学期教学质量检查数学理试题 Word版含答案

福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷（满分：150分;完卷时间：120分钟）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等．若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z 的共轭复数所对应的点为（）． A ．1Z B ．2Z C ．3ZD ．4Z2．已知πtan()34+=α，则tan α的值是（）．A ．2B ．12C ．1-D ．3-3．已知A ⊂≠B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（）． A ．8 B ．15 C ．29 D ．365．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）． A ．1π B ．2π C ．3πD ．126．已知函数()lg(1)=-f x x 的值域为(,1]-∞，则函数()f x 的定义域为（）．A ．[9,)-+∞B ．[0,)+∞C ．(9,1)-D ．[9,1)-7．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生0或1的随机数，用0表第1题图第4题图第5题图xy Z 3Z 1Z 4O Z 2示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（）． A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.658． ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若cos 2cos A bB a==，则角C 的大小为（）． A ．60︒B ． 75︒C ．90︒D ．120︒9．若双曲线2222:1x y a bΓ-=（0,0a b >>）的右焦点()4,0到其渐近线的距离为23，则双曲线Γ的离心率为（）． A ．2B ．3C ．2D ．410．定义运算“*”为：,0,2,0a b ab a a b a +<⎧⎪*=⎨⎪⎩≥.若函数()(1)f x x x =+*，则该函数的图象大致是（）．xy –1–2–3112345Oxy –1–2–3112345OABCD11．已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为()()()0,1,2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（）． A ．423-B ．31-C ．31+D ．312．已知直线:l y ax b =+与曲线:Γ1x y y=+没有公共点．若平行于l 的直线与曲线Γ有且只有一个公共点，则符合条件的直线l （）． A ．不存在B ．恰有一条C ．恰有两条D ．有无数条第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．若变量,x y 满足约束条件0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤，则z x y =+的最小值为 ★★★ ．14．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则016,,,a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数．．的和等于 ★★★ ．15．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为 ★★★ ． 16. 若数列{}n a 满足112n n n a a a +-+≥（2n ≥），则称数列{}n a 为凹数列．已知等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，则d 的取值范围为 ★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，1a ，2a 是方程2320x x -+=的两根．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定，现记X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X 的分布列和均值（数学期望）.19.（本小题满分12分）已知函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点．（Ⅰ）试判断OPQ ∆的形状，并说明理由．（Ⅱ）若将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角02ααπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，顶点,P Q ''恰好同时落在曲线ky x=()0x >上（如图所示），求实数k 的值．20.（本小题满分12分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （14m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变xyP'Q'QPO第19题图化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中()10,06,4.4,682x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤ (Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.（本小题满分12分）已知抛物线Γ的顶点为坐标原点，焦点为(0,1)F ．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 为抛物线Γ的准线上的任意一点，过点P 作抛物线Γ的切线PA 与PB ，切点分别为,A B ，求证：直线AB 恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题．．．，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．22.（本小题满分14分）已知函数()()e sin cos ,cos 2e x x f x x x g x x x =-=-，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）12ππ0,,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．福州市2014－2015学年度第一学期高三质量检查理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，13．2- 14．32 15．36+ 16．(,2]-∞ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根分别为1,2， ····························································· 1分依题意得11a =，22a =． ····································································································· 2分所以2q =， ···························································································································· 3分所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． ············································································· 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知22n n n a n ⋅=⋅， ······················································································· 5分所以212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， ·············································· ①23121222(1)22n n n S n n +⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⨯， ·························· ② 由①－②得23222n S -=+++⋅⋅⋅122n n n ++-⨯， ··················································································· 8分即 1222212nn n S n +-⋅-=-⨯-， ··························································································· 11分所以12(1)2n n S n +=+-⋅． ································································································· 12分 18．本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解法一：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A 、B 、C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ··································································· 2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种． ······························································································································· 3分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． ···················································· 4分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．）（Ⅱ）因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． ····································· 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··························································································· 9分故X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 6 P164 332 1564 516 1564 332 16410分所以()1315515310123456364326416643264E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故所求的期望为3． ············································································································ 12分解法二：因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12． ····································· 1分（Ⅰ）设事件M 为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则2323331111()2222P M C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ············································································· 4分（Ⅱ）因为X 为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以1~6,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭． ··············································································································· 5分所以()060611102264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51611631226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2426111522264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3336112053226416P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4246111542264P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()515611635226432P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()6661116.2264P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··························································································· 9分故X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 6 P164 332 1564 516 1564 332 16410分所以()1632E X =⨯=．故所求的期望为3． ·········································································································· 12分 19．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解法一：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形．················································································ 1分理由如下：因为函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =． ······················································································································· 2分又因为P 为函数()f x 图象的最高点，所以点P 坐标为(223)，，所以4OP =， ······································································· 4分又因为Q 坐标为(4,0)，所以22(24)(230)4PQ =-+-=，所以OPQ ∆为等边三角形． ······························································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,， ················ 7分代入k y x =，得216cos sin 8sin(2π)333k αααππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且16sin cos 8sin 2k ααα==， ····························································································· 9分所以2sin 2sin(2π)3αα=+，结合22sin (2)cos (2)1αα+=，02απ<<，解得1sin 22α=，·················································································································· 11分所以4k =，所以所求的实数k 的值为4． ········································································ 12分解法二：（Ⅰ）OPQ ∆为等边三角形． ·············································································· 1分理由如下：因为函数()23sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2π84T ==π，所以函数()f x 的半周期为4，所以4OQ =， ····································· 2分因为P 为函数()f x 的图象的最高点，所以点P 坐标为(223)，，所以4OP =，所以OP OQ =． ········································ 4分又因为直线OP 的斜率2332k ==，所以60POQ ∠=︒，所以OPQ ∆为等边三角形． ······························································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，4OP OQ ==，所以点P ',Q '的坐标分别为4cos 4sin 33αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,(4cos 4sin )αα,， ·················· 7分因为点P ',Q '在函数(0)ky x x=>的图象上，所以16cos sin ,3316sin cos k k ⎧ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=⎩αααα, ···················································································· 8分所以28sin(2π),38sin 2k k ⎧=+⎪⎨⎪=⎩αα,······································································································· 9分消去k 得， 2sin 2sin(2π)3αα=+，所以22sin 2sin 2cos πcos2sin π33ααα=+，所以33sin 2cos 222αα=，所以3tan 23α=， ······························································· 10分又因为 02απ<<，所以26απ=，所以1sin 22α=， ······················································ 11分所以4k =．所以所求的实数k 的值为4． ········································································ 12分解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OPQ ∆为等边三角形．因为函数(0)ky x x=>的图象关于直线y x =对称， ·························································· 8分由图象可知，当12απ=时，点P ',Q '恰在函数(0)ky x x=>的图象上． ······················· 10分此时点Q '的坐标为(4cos 4sin )1212ππ,， ············································································· 11分所以16sin cos 8sin 412126k πππ===，所以所求的实数k 的值为4． ······························ 12分20．本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（I ）因为3m =，所以30,06,4312,682x xy x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤． ························································· 1分当06x <≤时，由3024x+≥，解得x ≤11，此时06x <≤； ········································· 3分当68x ≤≤时，由31222x -≥，解得203x ≤，此时2063x ≤≤． ······························ 5分综上所述，2003x ≤≤．故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时． ································ 6分（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， ························ 8分因为10822mx x -+-≥对6x ≤≤8恒成立，即281210x x m -+≥对6x ≤≤8恒成立，等价于2max 812)10x x m -+≥(，6x ≤≤8． ········································································· 9分令2812()10x x g x -+=，则函数2(4)4()10x g x --=在[6,8]是单调递增函数， ··············· 10分当x =8时，函数2812()10x x g x -+=取得最大值为65， ·················································· 11分所以65m ≥，所以所求的m 的最小值为65． ··································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）当6x ≤≤8时，110102(4)[]824(6)2my x m x x x =⨯-+=-++--， ························ 8分注意到18y x =-及2102my x =-（14m ≤≤且m ∈R ）均关于x 在[6,8]上单调递减，则1082my x x =-+-关于x 在[6,8]上单调递减， ································································ 10分。

2016年福建省福州市连江二中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2015-2016学年福建省福州市连江二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜2m}，且A⊆∁R B，那么m的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）已知tan2α=，α∈（0，），则=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）由函数y=e x，y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（）A．1 B． e C．e D．24．（5分）在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项之和为（）A．126 B．26 C．13 D．125．（5分）已知p：x≤k，q：＜1，如果￢p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围（）A．（2，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]6．（5分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．7．（5分）已知f（x+1）为偶函数，且f（x）在（1，+∞）上递减，a=f（2），b=f （log32），c=f（），则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c8．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．9．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x110．（5分）如图，在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=（）A．3 B．4 C．5 D．不能确定11．（5分）设等比数列{a n}的前n项积为，已知a m﹣1a m+1﹣2a m=0，=128，则m值（）且T2m﹣1A．3 B．4 C．5 D．612．（5分）设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），e为自然对数的底数．若f′（x）lnx＞．则（）A．f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＞f（e2）B．f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＜f （e2）C．f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＜f（e2）D．f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＞f （e2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是．14．（5分）在△ABC中，若面积S=a2﹣（b﹣c）2，则sin=．15．（5分）已知，为相互垂直的单位向量，若向量λ+与+λ的夹角等于60°，则实数λ=．16．（5分）已知=（﹣，n+1），=（S n，n）且⊥，其中S n是数列{a n}的前n项和的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R），（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使得不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x都成立？若存在，求t，若不存在，说明理由．18．（12分）在△ABC中，已知2cos（B﹣C）+1=4cosBcosC（1）求角A的大小；=2，求b+c．（2）若a=2，S△ABC19．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（1+cosβ，﹣sinβ）．（1）若α=，β∈（0，π），且⊥，求β；（2）若β=α，求•的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为．（Ⅰ）若f（α+）=，0＜α＜π，求sinα；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣k是在[0，π]上有零点，求实数k的取值范围．21．（12分）已知正项数列{a n}的前n和为S n，且是与（a n+1）2的等比中项．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b1=a1且b n=2b n﹣1+3，求数列{b n}的通项公式（3）在（2）的条件下，若c n=a n（b n+3），求{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知函数f（x）=（x∈（0，+∞））．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意的x≥1，都有f（x）≥k（x+）+2，求实数k的取值范围．2015-2016学年福建省福州市连江二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜2m}，且A⊆∁R B，那么m的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵全集为R，B={x|x＜2m}，∴∁R B={x|x≥2m}，∵A={x|x＞2}，A⊆∁R B，∴2m≤2，即m≤1，则m的值可以为1．故选：A．2．（5分）已知tan2α=，α∈（0，），则=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：由tan2α==，α∈（0，），整理得：3tan2α+8tanα﹣3=0，即（3tanα﹣1）（tanα+3）=0，解得：tanα=或tanα=﹣3（舍去），则原式===﹣2．故选：D．3．（5分）由函数y=e x，y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（）A．1 B． e C．e D．2【解答】解：由题意得到函数y=e x，y=e的图象交点为坐标是（1，e），故由直线y=e，y轴以及曲线y=e x围成的图形的面积为：∫01（e﹣e x）dx=（ex﹣e x）=1．故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项之和为（）A．126 B．26 C．13 D．12【解答】解：在等差数列{a n}中，由3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，得3×2a4+2×3a10=24，即6（a4+a10）=24，a4+a10=4．∴=．故选：B．5．（5分）已知p：x≤k，q：＜1，如果￢p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围（）A．（2，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p：x≤k，∴￢p：x＞k，∵￢p是q的充分不必要条件，∴k≥2，故选：C．6．（5分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选：B．7．（5分）已知f（x+1）为偶函数，且f（x）在（1，+∞）上递减，a=f（2），b=f （log32），c=f（），则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：函数y=f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），∴函数y=f（x）关于x=1对称，∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，∴f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则f（2）=f（0），∵0＜＜log32，∴f（0）＜f（）＜f（log32），故a＜c＜b，故选：C．8．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【解答】解：∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选：D．10．（5分）如图，在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=（）A．3 B．4 C．5 D．不能确定【解答】解：∵D是BC边的中点，∴，由向量的运算法则可得=，∴=•==（32﹣12）=4．故选：B．11．（5分）设等比数列{a n}的前n项积为，已知a m﹣1a m+1﹣2a m=0，=128，则m值（）且T2m﹣1A．3 B．4 C．5 D．6a m+1﹣2a m=0，∴由等比数列的性质可得，a m2﹣2a m=0【解答】解：∵a m﹣1∵a m≠0，∴a m=2=a1a2…a2m﹣1=（a1a2m﹣1）•（a2a2m﹣2）…a m=a m2m﹣2a m=a m2m﹣1=22m﹣1=128∵T2m﹣1∴2m﹣1=7，∴m=4故选：B．12．（5分）设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），e为自然对数的底数．若f′（x）lnx＞．则（）A．f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＞f（e2）B．f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＜f （e2）C．f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＜f（e2）D．f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＞f（e2）【解答】解：由题意得：x∈（0，+∞），令函数F（x）=，∴F′（x）=又f′（x）lnx＞，∴F′（x）＞0，∴函数F（x）在（0，+∞）上是增函数，∴F（e）＞F（2），即：，∴f（2）＜f（e）ln2，F（e）＜F（e2），即：，∴2f（2）＜f（e2）；故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+mx0﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是m∈∅．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x02+mx0﹣3＜0”为假命题，∴其否定“∀x∈R，x2+mx﹣3≥0”为真命题．则△=m2+12≤0，得m∈∅．故答案为：m∈∅．14．（5分）在△ABC中，若面积S=a2﹣（b﹣c）2，则sin=．【解答】解：根据S=bcsinA，又a2=b2+c2﹣2bccosA，则S=a2﹣（b﹣c）2=a2﹣b2﹣c2+2bc=﹣2bccosA+2bc=bcsinA，化简得：sinA=﹣4cosA+4①，又sin2A+cos2A=1②，联立①②，解得：cosA==1﹣2sin2，可得：sin2=，所以：由∈（0，），可得：sin=．故答案为：．15．（5分）已知，为相互垂直的单位向量，若向量λ+与+λ的夹角等于60°，则实数λ=2±．【解答】解：∵，为相互垂直的单位向量，不妨设、直角坐标系中x、y轴上的单位向量，则向量λ+=（λ，1），+λ=（1，λ）．∵向量λ+与+λ的夹角等于60°，则有cos60°==，解得：λ=2±，故答案为：2±．16．（5分）已知=（﹣，n+1），=（S n，n）且⊥，其中S n是数列{a n}的前n项和的最大值为．【解答】解：由=（﹣，n+1），=（S n，n），⊥，∴﹣•S n+（n+1）•n=0，S n=n（n+1），当n=1时，S1=×2=3，当n≥2时，S n=n（n﹣1），两式相减得：a n=3n，∴==•=•≤•=•=，当且仅当n=，即n=3，∴的最大值．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R），（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使得不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x都成立？若存在，求t，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵∴f（x）是奇函数（2）假设存在∵f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0恒成立即存在t=﹣使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0恒成立18．（12分）在△ABC中，已知2cos（B﹣C）+1=4cosBcosC（1）求角A的大小；（2）若a=2，S=2，求b+c．△ABC【解答】解：（1）2cos（B﹣C）+1=4cosBcosC，∴2cosBcosC+2sinBsinC+1=4cosBcosC，化为：cos（B+C）=﹣cosA=，A∈（0，π），解得A=．（2）由题意可得：S=2=bcsin，可得bc=8．△ABCa2=28=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣bc，化为：（b+c）2=36，解得b+c=6．19．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（1+cosβ，﹣sinβ）．（1）若α=，β∈（0，π），且⊥，求β；（2）若β=α，求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵，∴，整理得．∴=，（k∈Z）．∵β∈（0，π），取k=0可得．（Ⅱ）∵β=α，∴．令t=cosα，t∈[﹣1，1]，∴．∴当t=1时，，当时，．∴的取值范围为．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为．（Ⅰ）若f（α+）=，0＜α＜π，求sinα；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣k是在[0，π]上有零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，A=2，T==，∴ω=3，∴f（x）=2sin（3x+） (2)分又f（α+）=2sin[3（+）+]=2sin（2α+）=2cos2α=，∴cos2α=…4分∴sin2α==，又0＜α＜π，∴sinα=…6分（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）=2sin[3（x﹣）+]=2sin（3x﹣）的图象，…8分则函数y=g（x）﹣k=2sin（3x﹣）﹣k，∵x∈[0，π]，∴3x﹣∈[﹣，]，∴﹣≤2sin（3x﹣）≤2…11分∵函数y=g（x）﹣k在[0，π]上有零点，∴y=g（x）与y=k在[0，π]上有交点，∴实数k的取值范围是[﹣，2]…12分21．（12分）已知正项数列{a n}的前n和为S n，且是与（a n+1）2的等比中项．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若b1=a1且b n=2b n﹣1+3，求数列{b n}的通项公式（3）在（2）的条件下，若c n=a n（b n+3），求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）证明：∵是与（a n+1）2的等比中项，∴S n=•（a n+1）2，∴n≥2时，S n﹣1=•（a n﹣1+1）2，两式相减可得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列各项为正，a n+a n﹣1≠0，∴a n﹣a n﹣1=2∵n=1时，S1=•（a1+1）2，∴a1=1∴数列{a n}是以1为首项，公差为2的等差数列∴a n=2n﹣1；（2）∵b n=2b n﹣1+3，∴b n+3=2（b n﹣1+3），∴数列{b n+3}是公比为2的等比数列∵b1=a1=1，∴b1+3=4，∴b n+3=2n+1∴b n=2n+1﹣3；（3）在（2）的条件下，c n=a n（b n+3）=（2n﹣1）•2n+1，∴T n=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣1）•2n+1，2T n=1×23+3×24+5×25+…+（2n﹣1）•2n+2，两式相减得：﹣T n=1×22+2×23+2×24+…+2×2n+1﹣（2n﹣1）•2n+2，=2（）﹣4﹣（2n﹣1）•2n+2，=2×2n+2﹣12﹣（2n﹣1）•2n+2，∴T n=（2n﹣3）•2n+2+12，∴{c n}的前n项和T n=（2n﹣3）•2n+2+12．22．（12分）已知函数f（x）=（x∈（0，+∞））．（Ⅰ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若对任意的x ≥1，都有f （x ）≥k （x +）+2，求实数k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），f'（x ）=0解得x=e ．f'（x ）＞0解得0＜x ＜e ，此时f （x ）为增函数， f'（x ）＜0解得e ＜x ，此时f （x ）为减函数．所以f （x ）在x=e 取极大值．（Ⅱ）等价于lnx ﹣kx 2﹣2x ﹣3k ≥0，设函数g （x ）=lnx ﹣kx 2﹣2x ﹣3k （x ≥1），所以g （1）≥0．．当时，设h （x ）=﹣2kx 2﹣2x +1，其开口向上，对称轴，h （1）=﹣2k ﹣1≥0，所以h （x ）≥0恒成立．所以g'（x ）≥0恒成立，即g （x ）在x ≥1上为增函数，所以g （x ）≥g （1）=0．所以实数k 的取值范围为．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

福建省连江县文笔中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

福建省福州市连江县文笔中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个正确）1．（5分）在△ABC中，等于（）A．B．C．D．2．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）3．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d4．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），那么a4的值为（）A．4B．8C．15 D．315．（5分）在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：26．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+7．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．448．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5D．39．（5分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形10．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣211．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．12．（5分）在数列{a n}中，如果存在常数T（T∈N+），使得a n+T=a n对于任意正整数n均成立，那么就称数列{a n}为周期数列，其中T叫做数列{a n}的周期．已知数列{x n}满足x n+2=|x n+1﹣x n|（n∈N*），若x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），当数列{x n}的周期为3时，则数列{x n}的前2012项的和S2012为（）A．1339 B．1340 C．1341 D．1342二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=°．14．（4分）若S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则a3+a4+a5=．15．（4分）已知t＞0，则函数的最小值为．16．（4分）等差数列{a n} 中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是（填序号）．三、解答题：（本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2﹣7x+10＞0的解集为B．（1）求A∪B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a+b的值．18．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求{a n b n}的前n项和公式．19．（12分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．20．（12分）（文）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；（2）若a=，b+c=3，求△ABC的面积．21．（13分）美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价﹣成本﹣促销费）；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．22．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=n（n+1），b n是a n与a n+1的等差中项．（Ⅰ）求b n；（Ⅱ）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若满足不等式b n+λ＜T n的正整数n有且仅有两个，求实数λ的取值范围．福建省福州市连江县文笔中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个正确）1．（5分）在△ABC中，等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用正弦定理化简，即可得到正确的选项．解答：解：根据正弦定理=得：=．故选B点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．解答：解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．3．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项A、B、C，利用不等式的性质可得C正确．解答：解：当c=0时，A、B不成立．对于a＞b，由于ab＞0，故有，即，故C 正确．对于a＞b，c＞d，当a=2，b=1，c=10，d=1，显然有a﹣c＜b﹣d，故D不正确．故选C．点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．4．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），那么a4的值为（）A．4B．8C．15 D．31考点：数列递推式．专题：计算题．分析：由数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），分别令n=1，2，3，能够依次求出a2，a3和a4．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N+），∴a2=2a1+1=2+1=3，a3=2a2+1=6+1=7，a4=2a3+1=14+1=15．故选C．点评：本题考查数列的递推式，是基础题．解题时要认真审题，仔细求解，注意数列递推公式的合理运用．5．（5分）在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据三角形内角和定理，结合A：B：C=1：2：3，算出A=，B=且C=，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=，即可得到a：b：c 的值．解答：解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，∴设A=x，则B=2x，C=3x，由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=∴A=，B=且C=，可得△ABC是直角三角形∵sinA==，∴c=2a，得b==因此，a：b：c=1：：2故选：D点评：本题给出三角形三个角的比值，求它的三条边之比．着重考查了三角形内角和定理、三角函数在直角三角形中的定义等知识，属于基础题．6．（5分）下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由基本不等式：一正，二定，三相等，分别对各个选项进行验证即可的答案．解答：解：基本不等式的应用要把握三条：一正，二定，三相等，缺一不可．故选项A，x≠0不能满足一正；选项C，y=x+（x＞0）≥=4；选项D，当时取等号，此时x2=﹣1，矛盾；故只由选项B正确．故选B点评：本题考查基本不等式，把握基本不等式的三个条件是解决问题的关键，属基础题．7．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式可得S11==，运算求得结果．解答：解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，∴S11 ===22，故选C．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5D．3考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．点评：本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：应用正弦定理和已知条件可得，进而得到sin（A﹣B）=0，故有A﹣B=0，得到△ABC为等腰三角形．解答：解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，∴，又由正弦定理可得，∴，sinAcosB﹣cosAsinB=0，sin（A﹣B）=0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B=0，故△ABC为等腰三角形，故选D．点评：本题考查正弦定理的应用，根据三角函数值求角的大小，推出sin（A﹣B）=0 是解题的关键．10．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．解答：解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．11．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：常规题型．分析：由已知，求出a，c，确定f（x），再求出y=f（﹣x）的解析式，确定图象．解答：解：由已知得，﹣2，1是方程ax2﹣x﹣c=0的两根，分别代入，解得a=﹣1，c=﹣2．∴f （x）=﹣x2﹣x+2．从而函数y=f（﹣x）=﹣x2+﹣x+2=﹣（x﹣2）（x+1）它的图象是开口向下的抛物线，与x轴交与（﹣1，0）（2，0）两点．故选B．点评：本题考查函数中二次的图象．“三个二次”联系密切，关系丰富，问题之间可相互转化处理，也体现了数形结合的思想方法．12．（5分）在数列{a n}中，如果存在常数T（T∈N+），使得a n+T=a n对于任意正整数n均成立，那么就称数列{a n}为周期数列，其中T叫做数列{a n}的周期．已知数列{x n}满足x n+2=|x n+1﹣x n|（n∈N*），若x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），当数列{x n}的周期为3时，则数列{x n}的前2012项的和S2012为（）A．1339 B．1340 C．1341 D．1342考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：新定义．分析：利用x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），x n+2=|x n+1﹣x n|（n∈N*）．可得x3=|x2﹣x1|=1﹣a．x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，再利用周期为3可得x4=x1，a≠0，于是2a﹣1=1，解得a，可得x1+x2+x3=1+a+1﹣a=2．再利用周期性可得S2012=670×（x1+x2+x3）+x1+x2即可得出．解答：解：∵x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），x n+2=|x n+1﹣x n|（n∈N*）．∴x3=|x2﹣x1|=1﹣a．x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，∵x4=x1，a≠0，∴2a﹣1=1，解得a=1．∴x1+x2+x3=1+a+1﹣a=2．∴S2012=670×（x1+x2+x3）+x1+x2=1340+1+a=1342．点评：本题考查了数列的周期性和绝对值的意义、新定义，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=120°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先根据a2=b2+bc+c2，求得bc=﹣（b2+c2﹣a2）代入余弦定理中可求得cosA，进而求得A．解答：解：根据余弦定理可知cosA=∵a2=b2+bc+c2，∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）∴cosA=﹣∴A=120°故答案为120°点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．14．（4分）若S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则a3+a4+a5=21．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由数列的性质可知a3+a4+a5=s5﹣s2，代入即可求解解答：解：∵S n=n2，∴a3+a4+a5=s5﹣s2=52﹣22=21故答案为：21点评：本题主要考查了数列知识的简单应用，属于基础试题15．（4分）已知t＞0，则函数的最小值为﹣2．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：将函数变为﹣4，用基本不等式求解即可．解答：解：，当且仅当t=1时等号成立，故y min=﹣2．点评：考查灵活变形的能力及基本不等式．16．（4分）等差数列{a n} 中，S n是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是S n中的最大值．其中正确的是①②④（填序号）．考点：等差数列的性质．分析：由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8﹣a7＜0，②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案．解答：解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正确②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确③由于d＜0，所以a1最大③错误④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确故答案为：①②④点评：本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯．三、解答题：（本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为A，不等式x2﹣7x+10＞0的解集为B．（1）求A∪B；（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求a+b的值．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：计算题．分析：（1）分别求出已知不等式的解集确定出A与B，找出A与B的并集即可；（2）求出A与B的交集，即为已知不等式的解集为（﹣1，2），利用方程与不等式的关系得到x2+ax+b=0的根为﹣1和2，利用韦达定理求出a与b的值，即可求出a+b的值．解答：解：（1）由x2﹣2x﹣3＜0，解得：1＜x＜3，∴A=（﹣1，3），由x2﹣7x+10＞0，解得：x＜2或x＞5，∴B=（﹣∞，2）∪（5，+∞），∴A∪B=（﹣∞，3）∪（5，+∞）；（2）∵A=（﹣1，3），B=（﹣∞，2）∪（5，+∞），∴A∩B=（﹣1，2），∴不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣1，2），即x2+ax+b=0的根为﹣1，2，∴﹣1+2=﹣a，﹣1×2=b，即a=﹣1，b=﹣2，则a+b=﹣3．点评：此题考查了交集及其运算，并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求{a n b n}的前n项和公式．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）设公差为d，由a3=﹣6，a6=0可得a1，d的方程组，易求a1，d，根据等差数列通项公式可求得a n；（Ⅱ）表示出a n b n，利用错位相减法可求得其前n项和；解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差d．∵a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a1+a2+a3=﹣10+（﹣8）+（﹣6）=﹣24，b1=﹣8，∴﹣8q=﹣24，解得q=3，所以，则a n b n=（2n﹣12）•（﹣8）•3n﹣1=﹣16（n﹣6）3n﹣1，设{b n}的前n项和为S n，则﹣…+（n﹣6）•3n﹣1﹣5•3﹣4•32﹣3•33﹣…+（n﹣6）•3n﹣5+3+32+…+3n﹣1﹣（n﹣6）•3n﹣5+．点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式、数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．19．（12分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：在△ABC中利用三角形内角和求得∠BCA和∠BAC，则BC可求得，最后利用正弦定理求得AC．解答：解：在△ABC中，∠ABC=155°﹣125°=30°，∠BCA=180°﹣155°+80°=105°，∠BAC=180°﹣30°﹣105°=45°，BC=×50=25，由正弦定理，得∴AC==（浬）答：船与灯塔间的距离为浬．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立三角函数的数学模型，运用三角函数的基础知识来解决实际问题．20．（12分）（文）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角B，A，C成等差数列．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；（2）若a=，b+c=3，求△ABC的面积．考点：等差数列的性质；三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题．分析：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形的内角和公式知A=60°，再由余弦定理和已知的条件可得cos A==，解得m的值．（2）由（1）知A=60°，又已知a=，故由余弦定理得，结合条件求得bc=2，由此求得△ABC的面积．解答：解：（1）由角B，A，C成等差数列以及三角形的内角和公式知A=60°，又由a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形得=．再由余弦定理可得cos A==，解得m=1．…（4分）（2）由（1）知A=60°，又已知a=，故由余弦定理得，∴（b+c）2﹣3bc=3．∵已知b+c=3，∴9﹣3bc=3，∴bc=2．∴．…（8分）点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，三角形中的几何运算以及正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．21．（13分）美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价﹣成本﹣促销费）；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据利润=总售价﹣成本﹣促销费，即可建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立即可．解答：解：（1）根据利润=总售价﹣成本﹣促销费，可得y=P（）﹣（10+2P）﹣x∵，∴，即，（x≥0）；（2）∵x≥0，∴x+1≥1，∴≤17﹣4=13，当且仅当，即x=1万元时，y取得最大值13万元∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．22．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=n（n+1），b n是a n与a n+1的等差中项．（Ⅰ）求b n；（Ⅱ）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若满足不等式b n+λ＜T n的正整数n有且仅有两个，求实数λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先由数列{a n}的前n项和S n求a n，然后利用等差中项求b n；（Ⅱ）将b n=n+代入c n求出c n=，相邻项相消求出T n，然后代入b n+λ＜T n构造了函数f（n）=T n﹣b n在（0，+∞）且n∈N*上是减函数，利用函数解题即可．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n；故a n=n．又b n是a n与a n+1的等差中项，所以b n=，得b n=n+．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，所以T n=1﹣．设f（n）=T n﹣b n==，则f（n）在（0，+∞）且n∈N*上是减函数．因为满足不等式b n+λ＜T n的正整数有且仅有两个，所以应满足解得﹣≤λ＜．点评：本题综合了数列，不等式以及函数的相关知识解题，难点在于构造函数f（n），利用函数性质解题；突破口是采取的思路是通性通法，顺着思路向下解题即可．。

[20141113]连江文笔中学2014-2015学年度第一学期期中考试卷(文科数学)

连江文笔中学2014－2015学年度第一学期期中考试高三文科数学试卷（满分：150分完卷时间：120分钟）命题：周章权审核：陈维乐第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．全集{}54321U ，，，，=，集合{}{}41M 531N ，，，，==，则U NM ð等于（）． A ．}5,3{ B ．}5,1{C ．}5,4{D ．}3,1{2．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（）． A ．34-B ． 43-C ．43 D ．34 3． “y x =”是“x y =”的（）．A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知,a b +∈R 且1a b +=，则ab 的最大值等于（）．A ．1B ．14C ．12D 5．经过点)14,2(-且平行于直线4270x y -+=的直线方程是（）．A ．290x y -+=B ．4290x y -+=C ．2180x y --=D ．2180x y ++=6．在等比数列{}n a 中，已知5127=a a ，则891011a a a a 的值为（）．A ．10B ．25C ．50D ．757．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是（）．A ．sin()6y x π=+B ．)32sin(π+=x y C ．sin()3y x π=-D ．)62sin(π-=x y8．设2log 3a =,31(),2b =sin90c ︒=，则（）．A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．如果变量,x y 满足条件220,20,210,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩那么z x y =-的最大值（）．A ．2B ．54C ．1-D ．110．设()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，()1f x x =+，则()y f x =的图像与圆22220x y x y +--=的公共点的个数是（）． A ．1个 B ．2个C ． 3个D ．4个11．函数2sin 2xy x =-的图象大致是（）．12．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则123x x x ++的取值范围是（）． ABCD ．)6,311(第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．函数)3(log 443x x y -+-=的定义域是 ★★★ ．14．已知函数()x f y =的图象在3=x 处的切线方程为72+-=x y ，则()()33f f '+的值是 ★★★ ．15．已知命题:0p m <，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>成立，若“p ∧q ”为真命题，则实数m 的取值范围是 ★★★ ． 16．在平面直角坐标系中，若点N M ,同时满足：①点N M ,都在函数()y f x =图象上； ②点N M ,关于原点对称，则称点对),(N M 是函数()y f x =的一个“望点对”（规定点对),(N M 与点对),(M N 是同一个“望点对”）．那么函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->=)0(2)0(1)(2x xx x x x f 的“望点对”的个数为★★★ ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个顶点是)2,0(C ),6,6(),0,4(A B . （Ⅰ）求AB 边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求AC 边上的中线所在直线的方程．18．（本小题满分12分）已知函数()2(sin cos )cos f x x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x ，求()x f 的值域．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n s , 52515,7s a a =+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令11.n n n b a a +=，求数列{}n b 的前2014项的和2014T ．20．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,a b c 且53cos ,2==B a ．（Ⅰ）若4=b , 求sin B ，A sin 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值．21．（本小题满分12分）已知已知圆C 经过(2,4)A 、(3,5)B 两点，且圆心C 在直线220x y --=上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线3y kx =+与圆C 有公共点，求实数k 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知函数x ax x x f 221ln )(2--=．（Ⅰ）若函数)(x f 在2=x 处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当21-=a 时，关于x 的方程b x x f +-=21)(在[]4,1上有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．。

数学上学期期中试题-连江一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案适应性考试(三)

福建省福州市连江一中2014—2015学年高二上学期期中考试适应性练习(三)一、选择题1、下列命题中正确的是（）A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a ，2b ，2c 是等比数列D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a ，2b ，2c 是等差数列2、对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是（）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 3、已知等比数列前三项依次为33,22,++x x x ，那么481-是此数列第（）项 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4、下列结论正确的是（）A. 当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B. 21,0≥+>xx x 时当C. 21,2的最小值为时当x x x +≥ D.无最大值时当xx x 1,20-≤< 5、若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则=+ncm a （）A. 4B. 3C. 2D. 1 6、设x,y 为正实数,且xy-(x+y)=1,则（）A. x+y ≥22+2B. xy ≤2+1 C. x+y ≤(2+1)2 D. xy ≥22+27、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x | －21< x <31}，则a + b 的值为（）A. －10B. －14C. 10D. 14 8、在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．209、若⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，则目标函数y x z 2+=的取值范围是( )A ．[2，6] B.[2，5] C.[3，6] D .[3，5] 10、ABC ∆的内角,,ABC 的对边分别为,,a b c 。

2015学年第一学期期中考试高三数学(理)试卷

嵊州中学2015学年第一学期期中考试高三数学（理）试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

1. 已知集合{}{}2,1,,0==N x M ，若{}2=N M ，则=N M ( ) A.{}2,1,,0x B. {}2,1,0 C. {}2,1,0,2 D.不能确定2. 已知()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21,则“021>+x x ”是“()()121<⋅x f x f ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3. 已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向右平移6π个单位后得到函数()()x x g ωsin =的图像，则函数()f x 的图像( ) A ．关于直线512x π=对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点5(,0)12π对称 D ．关于点(,0)12π对称 4. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝2ln(1)x x -+，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．95.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A. 当m 与α平行时，若m 与n 不平行，则n 与α不平行 B. 当m 与α平行时，若α与β不平行，则m 与β不平行 C. 当α与β平行时，若m 与α不平行，则m 与β不平行 D. 当α与β平行时，若m 与α不垂直，则m 与β不垂直6.已知圆C 的半径为1，点P 是圆C 上的一定点，B A ,是圆C 上的两个动点，且PA PB =，则⋅的最小值是( )A. 13-B. 21-C. 22-D. 33-7. 已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是( )A ．11211-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πfB ．⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf fC ．()x f 是奇函数D ．()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ8. 已知函数())0(212<-+=x e x x f x 与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是-( )A ． )1,(e -∞ B ． ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee - 第Ⅱ卷二、填空題:（本大题共7小题，第9-14题，每小题6分，15题4分，共40分）9. 函数()22cos )2sin cos f x x x x x =-+的最小正周期为，单调递增区间为10.已知f(x)=2log (1),0f (2),0x x x x -+≤⎧⎨->⎩，则f(1)= f(f(100))=11．若变量y x ,满足约束条件20302x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且z x y =-的最小值为3-,则22y x +的最小值是；实数m 的值为 12．某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为；外接球的体积为13. 设a ，b ，e 1=，1=⋅e a ，2=⋅e b，2=+的最小值为，b a ⋅的最小值为。

2015年福建省福州市闽清高中等四校联考高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2014-2015学年福建省福州市闽清高中等四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．99 C．101 D．1022．（5分）若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（）A．＞B．＜C．＜D．＞3．（5分）设{a n}是等比数列，且a2、a3是方程x2﹣x﹣2013=0的两个根，则a1a4=（）A．2013 B．﹣2013 C．1 D．﹣14．（5分）已知△ABC的三个内角为A、B、C满足sin2（A+C）＞sin2A+sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．（5分）已知实数x，y满足约束条件’则z=2x﹣y的取值范围是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[1，3]D．[0，2]6．（5分）已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则角A等于（）A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．28 B．24 C．21 D．78．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：19．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足b n=（n ∈N*），T n是数列{b n}的前n项和，则T9等于（）A．B．C．D．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈[1，4]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，3]B．[，]C．[]D．[，3]二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，）11．（4分）不等式x2+x﹣2≤0的解集是．12．（4分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=，A=，则sinB=．13．（4分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，则cosB的最小值．14．（4分）已知a＞0，b＞0且4b+3a=ab，则a+b的最小值是．15．（4分）给出数列，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，）16．（13分）已知函数f（x）=﹣3x+27，数列{b n}满足b n=f（n），试判断数列{b n}是否为等差数列，并求{b n}的前n项和S n的最大值．17．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．18．（13分）（1）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，求不等式﹣x2+bx+a＞0的解集．（2）若不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对任意x∈R均成立，求实数a的取值范围．19．（13分）如果直线l1：2x﹣y+2=0，l2：8x﹣y﹣4=0与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求a+b的最小值．20．（14分）如图，为测量某建筑物AB的高度及取景点C与F之间的距离（点B，C，D，F 在同一水平面上，AB⊥平面BCF，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组的同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为45°，30°，30°．若∠FCB=60°，CD=16（﹣1）m．（1）求建筑物AB的高度；（2）求取景点C与F之间的距离．21．（14分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n﹣（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）试比较T n与的大小．2014-2015学年福建省福州市闽清高中等四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，）1．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．99 C．101 D．102【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=2，∴a51=1+50×2=101．故选：C．2．（5分）若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（）A．＞B．＜C．＜D．＞【解答】解：∵c＞d＞0，∴，∵a＞b＞0，∴，故选：A．3．（5分）设{a n}是等比数列，且a2、a3是方程x2﹣x﹣2013=0的两个根，则a1a4=（）A．2013 B．﹣2013 C．1 D．﹣1【解答】解：∵a2、a3是方程x2﹣x﹣2013=0的两个根，∴由韦达定理可得a2a3=﹣2013，又∵{a n}是等比数列，∴a1a4=a2a3=﹣2013故选：B．4．（5分）已知△ABC的三个内角为A、B、C满足sin2（A+C）＞sin2A+sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：△ABC的三个内角为A、B、C满足sin2（A+C）=sin2B＞sin2A+sin2C，∴由正弦定理得：b2＞a2+c2，∴cosB=＜0，B∈（0，π），∴B为钝角，∴△ABC的形状是钝角三角形，故选：C．5．（5分）已知实数x，y满足约束条件’则z=2x﹣y的取值范围是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[1，3]D．[0，2]【解答】解：根据约束条件画出可行域由图得当z=2x﹣y过点A（1，2）时，Z最小为0．当z=2x﹣y过点B（2，2）时，Z最大为2．故所求z=2x﹣y的取值范围是[0，2]故选：D．6．（5分）已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则角A等于（）A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【解答】解：由题意△ABC的面积为，且b=2，c=，∴=，可得sinA=，∴A=60°或120°．故选：D．7．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．28 B．24 C．21 D．7【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4+a6=3a4=12，∴a4=4，∴S7==7a4=7×4=28．故选：A．8．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．9．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足b n=（n ∈N*），T n是数列{b n}的前n项和，则T9等于（）A．B．C．D．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1=2．∵S n=n2+n，可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，上式也成立．∴．∴==．∴T n==．∴．故选：D．10．（5分）若不等式≤a≤在t∈[1，4]上恒成立，则a的取值范围是（）A．[，3]B．[，]C．[]D．[，3]【解答】解：令f（t）=，g（t）=，t∈[1，4]，∵令f（t）==，∴t+在[1，3]上单调递减，（3，4]单调递增，∴f（t）在[1，3]上单调递增，（3，4]单调递减，上单调递增，∴f（t）max=f（3）=；同理可得g（t）==在t∈[1，4]上单调递减，∴g（t）min=g（4）=．∴f（t）max≤a≤g（t）min，即．故选：B．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，）11．（4分）不等式x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤1} ．【解答】解：不等式x2+x﹣2≤0可化为（x﹣1）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤1；∴原不等式的解集是{x|﹣2≤x≤1}．故答案为：{x|﹣2≤x≤1}．12．（4分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=，A=，则sinB=．【解答】解：由正弦定理知：，从而有sinB===．故答案为：．13．（4分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，则cosB的最小值．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，∴b2=ac，cosB==，∴当且仅当a=c时，cosB取最小值．故答案为：．14．（4分）已知a＞0，b＞0且4b+3a=ab，则a+b的最小值是．【解答】解：∵a＞0，b＞0且4b+3a=ab，∴＞0，解得a＞4．则a+b=a+=a﹣4++7≥+7=+7．当且仅当a=4+2时取等号．∴a +b 的最小值是7+4．故答案为：7+4．15．（4分）给出数列，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是 4901 ．【解答】解：值等于1的项只有，，，…， ∴第50个值等于1的应该是，那么它前面一定有这么多个项：分子分母和为2的有1个：；分子分母和为3的有2个：，；分子分母和为4的有3个：，；…分子分母和为99的有98个：，…，．分子分母和为100的有99个：，…，，，，…，，．∴它前面共有（1+2+3+4+…+98）+49=4900， ∴它是第4901项．故答案为：4901．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，）16．（13分）已知函数f （x ）=﹣3x +27，数列{b n }满足b n =f （n ），试判断数列{b n }是否为等差数列，并求{b n }的前n 项和S n 的最大值．【解答】解：取任意n ≥11，b n +1﹣b n =f （n +1）﹣f （n ）=﹣3（n +1）+27﹣[﹣3n +27]=﹣3b 1=f （1）=24，bn=f （n ）=﹣3n +27根据等差数列定义，﹛bn ﹜是首项为24，公差为﹣3的等差数列．S n===可以看做是一个一元二次函数，函数开口向下，对称轴是n=，∵n是正整数，∴取离n最近的正整数8和9，得S8=S9=108．则S n的最大项是S8=S9=108．17．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．18．（13分）（1）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，求不等式﹣x2+bx+a＞0的解集．（2）若不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对任意x∈R均成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[﹣，﹣]，∴方程ax2﹣bx﹣1=0的两个实数根是﹣，﹣；∴，解得a=﹣6，b=5；∴不等式﹣x2+bx+a＞0化为x2﹣5x+6＜0，解得2＜x＜3；∴不等式﹣x2+bx+a＞0的解集是{x|2＜x＜3}．（2）∵不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2可化为（a+2）x2+4x+a﹣1＞0，对任意的实数x均成立，∴，即，解得a＞2；∴实数a的取值范围是{a|a＞2}．19．（13分）如果直线l1：2x﹣y+2=0，l2：8x﹣y﹣4=0与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求a+b的最小值．【解答】解：设P（x，y）为封闭区域中的任意点则P（x，y）满足约束条件…（3分）可行域如图所示…（6分）目标函数的最优解为B（1，4）…（8分）依题意将B（1，4）代入Z=abx+y（a＞0，b＞0）得最大值8，解得ab=4…（10分）有基本不等式得：（当且仅当a=b=2时，等号成立）故a+b的最小值为4…（12分）20．（14分）如图，为测量某建筑物AB的高度及取景点C与F之间的距离（点B，C，D，F 在同一水平面上，AB⊥平面BCF，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组的同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为45°，30°，30°．若∠FCB=60°，CD=16（﹣1）m．（1）求建筑物AB的高度；（2）求取景点C与F之间的距离．【解答】解：（1）设AB=x，在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴BC=x，AC=x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2在△ADC中，由正弦定理得，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5∴x=16即建筑物AB的高度为16 m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴BC=16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8在Rt△AFB中，∠AFB=30°，∴由tan30°=可得：FB=16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9在△BCF中，设CF=y，∵∠BCF=60°，∴由余弦定理得：BF2=BC2+FC2﹣2BC•FC•cos 60°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10∴（16）2=162+y2﹣2•16•y•cos 60°，即y2﹣16y﹣512=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12∴y1=32，y2=﹣16（负数舍去），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13即景点C与F之间的距离为32 m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1421．（14分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n﹣（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）试比较T n与的大小．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=﹣（2﹣2+2﹣3+…+2﹣n）=﹣=又a1=，也适合上式，所以a n=（n∈N*）．（2）由（1）得a n=，所以b n=na n=，∴T n=1×2×2﹣2+…+n×2﹣n，①，∴T n=1×2﹣2+2×2﹣3+…+n×2﹣n﹣1，②．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7由①﹣②得，T n=2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣n﹣n×2﹣n﹣1，∴T n=1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+21﹣n﹣n×2﹣n=﹣n×2﹣n=2﹣（3）因为T n﹣=（2﹣）﹣=﹣=所以确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．当n=1时，21＜2×1+1；当n=2时，22＜2×2+1；当n=3时，23＞2×3+1；当n=4时，24＜2×4+1；可猜想当n≥3时，2n＜2n+1；综上所述，当n=1或n=2时，T n＜；当n≥3时，T n＞赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

福建省福州市格致中学2015届高三数学上学期期中试卷

福建省福州市格致中学2015届高三上学期期中考试数学试卷第I 卷（选择题共60分）注意:黄色部分为答案一、选择题（本题有12个小题，每小题5分，共60分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卡中 1．设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1，2,3,4,}，集合Q={3,4,5}，则()U P C Q ⋂=（）A ． {1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2} 2．已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（） A 、-2B 、0C 、1D 、23．下列函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．2log y x =B ．221y x x =-+D ．1y x =4．,a b R ∈,下列命题正确的是（） A ．若,a b > 则22a b >B ．若,a b >则22a b >D ．若,a b ≠则22a b ≠5．若实数x,y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则Z=x-2y 的最小值是（）A ．0B ．32-C ．-2D ．-16．下列选项叙述错误的是（）A ．命题“若1x ≠,则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．若命题P ：2,10,x R x x ∀∈++≠则2:,10p x R x x ⌝∃∈++= C ．若p q ∨为真命题，则p,q 均为真命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 7.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()32x f x x a a R =-+∈，则()2f -=（）A ．1- B ．4- C ．1 D ．48．函数()2sinx cosx 1y =--是 ( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数 9. 等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8,m a =则m 为（）A ．12B ．8C ．6D ．4 10．若不等式()200ax bx c a ++<≠的解集为∅ （）A.0,0a <∆>B.0,0a <∆≤C.0,0a >∆≤D.0,0a >∆≥11.若0,0,a b >>且函数()32422f x x ax bx =--+在x=1处有极值，则ab 的最大值等于（）A.2B.3C.6D.9 二次函数()f x 满足()()4,f x f x +=-且()()21,03,f f ==若()f x 在[]0,m 上有最小值1，最大值3，则实数m 的取值范围是（）()0,+∞ B.[)2,+∞ C.(]0,2 D.[]2,4第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题4分，共16分） 13．已知平面向量(1,3),(4,2),a b =-=-a b λ+与a 垂直，则λ是 1-14．若不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a-b= 10- 15．曲线ln y x =在点M(e,1)处的切线的方程为函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像为C ，如下结论中正确的是 (2) (3) （写出所有正确结论的编号）。