十一学校高三十二月月考 数学试卷(文科)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016届十一学校高三十二月月考 数学试卷（文科）满分：150分 时间：120分钟 2015.12.11一、选择题：（本题共8道小题，每一小题只有一个正确答案，每小题5分满分共40分） 1．已知集合{|(1)(2)0},{|lg 0}A x x x B x x =+->=≥，则集合AB =（ ）（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x <- （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤< 2．“1k =”是“直线1:20l kx y ++=与直线2:0l x ky k +-=平行”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） （A ）14 （B ）18（C ）4 （D ）8 4．抛物线21(0)2x y a a=≠的焦点坐标是（ ） （A ）(,0)2a（B ）(,0)2a 或(,0)2a -（C ）10)8a （， （D ）10)8a （，或10)8a-（，5. 右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的侧面积为是（） （A ）33（B ）314+（C ）310+ （D ）37+6．过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线,MA MB （,A B 为切点），则MA MB ⋅=（ ） （A ）12- （B ）32- （C ）12（D ）32424命题人 杨春艳1主视图左视图俯视图8. 在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组002x y x y y ≥≤+⎧⎪-≤⎨⎪⎩所表示的平面区域为D ，在映射:u x yT v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，则由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 二、填空题：（本题共6道小题，每小题5分满分共30分） 9． 设复数z 满足32iz i =-+，则z 的共轭复数z =______10．已知直线1:360l x y +-=与直线2:0,(0,02)l kx y m k m -+=><<，12,l l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k =11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是13，则双曲线22221x y a b -=的两条渐近线方程为______.12.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,5a b ==，并且53ABCS=,则边c 的长度为________13.已知过定点(1,0)-的动圆与直线1x =相切，则此动圆圆心轨迹方程是_________.14.已知点(3,4)P 和圆22:(2)4C x y -+=，,A B 是圆C 上的两个动点，且||23AB =，则圆心到直线AB 的距离d =________；()OP OA OB ⋅+（O 为坐标原点）的取值范围是________.三、解答题：（本题共6道小题，每小题都要求写出必要的详细解答步骤，满分共80分）15．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为22nn n S a =-，（Ⅰ）求14,a a （Ⅱ）证明:2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅲ）求{}n a 的前n 项和S n .16．（本小题满分13分）已知函数()4cos sin()(0)4f x x x πωωω=⋅+>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π的单调区间.17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，直线12:24,:1l y x l y x =-=-，设圆C 的半径为1，圆心在1l 上． （Ⅰ）若圆心C 也在直线2l 上，①求圆C 的方程；②过点(20)A ，作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆在直线2l 截得的弦长为2，求圆C 的方程.18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点 D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知函数32()ln ,()2f x x x g x x ax x ==+-+（Ⅰ）如果函数()g x 的单调减区间为1(,1)3-,求函数()g x 的解析式; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求函数()g x 的图像过点(1,1)P 的切线方程;（Ⅲ）对任意的(0,)x ∈+∞,若不等式2()()2f x g x '≤+恒成立,求实数a 的取值范围. DE B A P C D E B A P C20．（本小题满分14分）已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为（0,1），离心率为e =25， 过椭圆的右焦点F 的与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于A ,B 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C ,B ,N 三点共线？ 若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设(,0)M m 是线段OF （O 为坐标原点）上的一个动点，且()MA MB AB +⊥ , 求m 的取值范围.1-8 D A B C D D B C 9)23i - 10) 3 11)223y x =±12)2113)24y x =- 14)1;[2,22]14.2OA OB OM += (M 是AB 的中点)|CM|=1，M 的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆 法一：OP OM ⋅ 的几何意义是OM 在OP 的投影OM 1与||OP 的积.当MM 1与OP 垂直时，OM 1达到最大与最小，（就是向直线做垂线，垂足为C 1，|OC 1|加减半径）法二：M 的轨迹方程为：22(2)1x y -+=令2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩所以()2OP OA OB OP OM ⋅+=⋅2(3,4)(2cos ,sin )θθ=⋅+=12+（6cos 8sin )θθ+ 最大值22，最小值215．解：（1）因为1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==2n = 时，222222,6;S a a =-= 3n = 时，33328,16;S a a =-=4n = 时，444216,40;S a a =-=…………………………4分（2）由题设 22n n n S a =- 11122n n n S a +++=-以上两式相减：11222nn n n a a a ++=--即：122nn n a a +-=，1122n n n n a a ++-=12 (常数)（3）由（2）111(1)(1)222n na n n =+-=+，即()112n n a n -=+⋅ 所以12(1)222n n nn S n n -=+-=⋅ . …………………………12分16．解：（Ⅰ）f (x )＝4cos ωx sin (ωx ＋π4)＝22sin ωx cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin (2ωx ＋π4)＋2．…………………………4分因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而2π2ω＝π，故ω＝1． …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x )＝2sin (2x ＋π4)＋2．若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4．当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，区间[π8，π2]上单调递减．…………………………13分17．解：（Ⅰ）①由题设，圆心C 是直线24,1y x y x =-=-的交点，解得点(3,2)C ．所以圆的方程是22(3)(2)1x x -+-= …………………………3分② 由题可知，若切线的斜率不存在，直线2x =是圆C 的切线 若切线的斜率存在，设为k ，设切线方程为(2)y k x =-， 所以2|322|11k k k --=+，解得34k =，即3460x y --=. 综上所求切线方程为2y =和3460x y --=. …………………………7分（Ⅱ）因为圆心在直线1l 上，所以设圆心C 的坐标为(,24)a a -因为圆在直线2l 截得的弦长为2，∴半弦长为22，且半径为1， 所以圆心C 到直线2l 的距离为2221()22-=即|241|222a a -+-=， …………………………10分 所以|3|1a -=，截得42a a ==或，所以圆心分别为4,4,(2,0)（） 所以所求圆C 的方程为22(4)(4)1x y -+-=或22(2)1x y -+=……………………13分 18． 解：（Ⅰ）因为点E 是AC 中点，点D 为PA 的中点，所以DE ∥PC ．又因为DE ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以DE ∥平面PBC ． ………….4分（Ⅱ）因为平面PAC ⊥面ABC , 平面PAC 平面ABC =AC ,又PA ⊂平面PAC ，PA AC ⊥，所以PA ⊥面ABC . 所以PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，且PA AB=A ，所以BC ⊥面PAB ． ……….9分（Ⅲ）当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行．取AB 中点F ，连EF ，连DF . 由（Ⅰ）可知DE ∥平面PBC ．因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点，所以EF ∥BC ．又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， D E A P C所以平面DEF ∥平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．……….14分19． 解:（Ⅰ）2()3210g x x ax '=+-<的解集是1(,1)3-,所以将1x =代入方程23210x ax +-=1a ∴=-,32()2g x x x x ∴=--+ …………………………4分（Ⅱ）2()321g x x x '=--，设切点为00(,)x y 所以切线的斜率为2000()321k g x x x '==-- 又因为切线过点（1,1），所以切线方程为2001(21)(1)y x x x -=--- …………………………6分因为切点在切线上也在曲线上所以3200002000021(21)(1)y x x x y x x x ⎧=--+⎪⎨-=---⎪⎩ 所以000001,21x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以切线方程为1y = 或20x y +-= …………………………9分 （Ⅲ）22ln 3212x x x ax ≤+-+在(0,)x ∈+∞上恒成立31ln 22a x x x ∴≥--…………………………11分 设31()ln 22x h x x x =--,22131(1)(31)()222x x h x x x x -+'∴=-+=- 令1()0,1,3h x x x '=∴==-(舍)当01x <<时,()0h x '>,当1x >时,()0h x '<1x ∴=时,()h x 取得最大值,max ()2h x =- 2a ∴≥-a ∴的取值范围是[)2,-+∞ …………………………14分20．解：（Ⅰ）由已知b =1，由e =25 得22245a b a -=，所以25,a = 椭圆的方程为2215x y += ………3分 （Ⅱ）右焦点为F (2,0) ………………4分 设直线l 的方程为(2),(0)y k x k =-≠由2255(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩ 得2222(15)202050k x k x k +-+-= ………………6分 0∆> 恒成立设1122(),(,)A x y B x y ，由根与系数的关系21222122201520515k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………7分因为点C 与点A 关于x 轴对称，所以11(,)C x y -，假设存在0(,0)N x 满足题意，022011(,),(,)BN x x y CN x x y =--=- 因为C ,B ,N 三点共线，所以//BN CN所以021201()()x x y y x x -=-- ，即1202112()y y x x y x y +=+ ，因此1221012(2)(2)(2)(2)k x x k x x x k x k x -+-=-+- 12121222()4x x x x x x -+=+- 2222222052022151520415k k k k k k -⋅-⋅++=-+ =52所以存在定点5(,0)2N ,使得C ,B ,N 三点共线 ………………10分(Ⅲ)由已知02m ≤≤，而1122(,)(,)MA MB x m y x m y +=-+-=1212(2,)x x m y y +-+2121(,)AB x x y y =--，因为()MA MB AB +⊥所以1212(2,)x x m y y +-+2121(,)0x x y y ⋅--=， ………………12分即12211212(2)()((2)(2))((2)(2))0x x m x x k x k x k x k x +--+-+----= ，因为12x x ≠ 所以2212(1)()240k x x m k ++--= ，22815k m k =+即2085m k m =>-，所以805m << .即当805m <<时()MA MB AB +⊥.………………14分。