三维晶格振动
晶格振动简介
一维原子链第一布里渊区内的色散关系：
4
m
sin
qa 2
q
在长波长极限区，即 q 0 时，格波就是弹性波。 qa qa sin Y 2 2 和弹性波的结果一致。 vs aq m
a
m a
随着 q的增长，ω 数值逐渐偏离线性关系，变得平缓， 在布里渊区边界，格波频率达到极大值。
运动方程： 考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平 衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子 偏离其平衡位置的位移为 n
n 2
n1
n
n1
n 2
为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力 做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生 相对位移（例如 n1 n ）后势能发生变化是V(a+δ) ， 将它在平衡位置附近做泰勒展开：
解的物理意义： 格波
整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。
2 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 的 q
nq Ae
i t naq
2 如： ma na l ,(m, n, l 都是整数）。 q 有： um A exp i t maq A exp i t naq exp(i 2 l )
由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一 种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与 连续介质弹性波的重大区别。
由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息， 为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。
见Kittel P70 图
周期性边界条件（Born－Karman 边界条件）
上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界 条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结 果呢？ Born－Karman 最早利用周期性边界条件解决了此问题， 成为固体理论的一个典范。
3.2三维晶格振动
−
π π <q≤ 2 2
u2n = u2(n+ N )
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数 ， 晶体的原胞数N， 晶体的原胞数 格波振动频率数目=晶体的自由度数， 晶体的自由度数 晶体的自由度数， 格波的支数 =原胞内原子的自由度数。 原胞内原子的自由度数 原胞内原子的自由度数。
ω
ωm
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
色散关系 波矢q范围 波矢 范围 B--K条件 条件 波矢q取值 波矢 取值
u2n+1 = B e
'
u2n = Ae i[qna+qb−ωt ]
i (qna−ωt )
= Be
i (qna−ωt )
12 (β1 + β2 ) 16mMβ1β2 2 qa 2 sin ( ) ω2 = (m + M) ± (m + M) − 2mM 2 (β1 + β2 )2
3
(2π)3 每个波矢代表点占有的体积为： 每个波矢代表点占有的体积为： Vc l q′ = q + K h u α ( q ′ ) = A α s e − i (ω t − R l .( q + K h ) ) s l − i (ω t − R l .q ) = Aαs e = uα ( q ) s
(2)运动方程和解 运动方程和解
l m s uα = ⋅ ⋅ ⋅ (α=1,2,3；s=1,2,3,···,n) ； s [ (α=3,s=n)共有 个方程 共有3n个方程 共有 个方程]
..
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。 上式的右端是位移的线性代数式。
′ 试探解： 试探解：uα l = A α s e i [(R l + r s ). q − ω t ] = A α s e i (R l . q − ω t )
固体物理：第三章 晶格振动总结-
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E
3N
e kBT
1
1 2
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目 或格波振动模式数目是否是一回事？
• 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨 论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近
似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效 成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
晶格振动知识点总结
晶格振动知识点总结一、晶格振动的基本概念晶体是由离子、原子或分子按一定的周期性排列而成的，因此在晶体中存在着晶格振动。
晶格振动是晶体结构中原子或离子在平衡位置附近作微小振动的一种运动形式。
晶格振动可以分为纵波和横波，纵波是振动方向与传播方向相同的波，而横波是振动方向与传播方向垂直的波。
晶格振动的频率与波数有关，它的频率与相邻的格点的质量和弹性常数有关。
二、晶格振动的特性1. 波数和频率关系对于有限晶格系统，其振动频率与波数之间存在一定的关系。
波数是振幅不同节点之间的间距，而频率是振动的快慢。
在晶体中，振动频率与波数之间存在的关系叫做色散关系。
晶格振动的色散关系可以通过简正坐标的福利叶动力学理论来描述。
2. 声子声子是描述晶体中原子或分子的振动状态的一种粒子状态，它是晶格振动的量子，可以理解为晶格振动的激发态。
声子的能量和动量取决于晶体的结构和材料的属性。
声子的性质对于理解固体材料的热力学性质和电子输运等具有重要意义。
3. 热容晶体的热容是指在单位温度变化下单位质量的物质所吸收或释放的热量。
热容受到晶格振动的影响，由于晶格振动的激发使得晶体中的振动能量增加，从而导致热容的增加。
晶格振动的频率和振幅都会影响晶体的热容。
三、晶格振动的热力学性质1. 声子态密度声子态密度是描述声子激发的集中程度的参数，它是声子频率与波数的函数。
声子态密度与物质的热容、传热系数、热导率等热力学性质有密切关系。
2. 热导率热导率是描述物质传热能力的物理量，它受到晶格振动的影响。
晶体中的声子态密度和振动频率都会影响热导率，声子散射和声子声波会对热导率产生影响。
3. 热膨胀系数热膨胀系数描述了物质在温度变化下的线膨胀率。
晶格振动会对物质的热膨胀系数产生一定的影响，特别在低温下，晶格振动会对热膨胀系数的温度依赖性产生较大的影响。
四、晶体中的声子散射声子与声子之间的相互作用会导致声子的散射，导致声子输运的阻尼。
声子之间的散射包括晶格常数的不均匀性引起的声子散射、声子与晶格缺陷相互作用引起的声子散射以及声子与声子之间的散射等。
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
这是由2N个方程组成的联立方程组。同样，该方程组 应该具有下列形式的格波解，只是由于P原子和Q原子质量 的不同，其格波解的振幅不同：
固体物理学中的晶格振动
固体物理学中的晶格振动晶格振动是固体物理学中一个重要的研究课题，涉及到材料的结构、热力学性质以及电子传输等多个方面。
晶格振动指的是晶体中原子的振动行为，这种振动是由原子间的相互作用引起的，形成了固体的稳定结构。
晶格振动的研究与材料的热传导性能密切相关。
晶格结构中的原子通过弹性束缚力相互作用，形成了周期性的振动。
这些振动可以看作是一连串的微小位移，沿着晶格的方向传播。
振动的传播速度和强度影响了材料的导热性能。
热导率是材料导热性能的一个重要指标，与晶格振动密切相关。
因此，研究晶格振动对于理解热传导机制以及开发高效热电材料具有重要意义。
晶格振动还涉及到材料的光学性质。
尤其是在光电子学和半导体器件中，晶格振动的研究对于理解材料的光学响应和能带结构具有重要意义。
晶格振动可以通过散射实验来研究，如X射线散射和中子散射等技术。
借助于这些实验手段，研究人员可以探测晶格振动的频率、强度以及耦合效应。
晶格振动的理论基础是固体物理学中的晶格动力学理论。
根据这个理论，晶格振动可以视为离散的荷质点在周期势场中的运动。
通过数学方法可以得到晶格振动的频率和振动模式等信息。
晶格动力学理论也可以用来解释晶格振动的热力学性质，如热容和热膨胀等。
从实际研究的角度来看，现代固体物理学中涌现了许多晶格振动的相关研究领域。
一个重要的研究方向是声子学，它研究的是固体中的声子，即晶格振动的量子态。
声子学的实验技术既包括晶格振动的散射实验，也包括通过激光和超导器件等手段产生和探测声子的方法。
另一个研究领域是热声学，它研究的是晶格振动和热传导之间的相互作用。
热声学研究的对象是晶体中热激励所引起的声学振动，从而揭示了热力学和声学性质之间的联系。
此外，也有一些新颖的研究方向在固体的晶格振动领域获得了突破性的进展。
例如，超导态材料中的相场调控、拓扑绝缘体中的表面声子等。
这些研究不仅提供了新的理论认识，也为应用领域的发展提供了基础。
总的来说，固体物理学中的晶格振动是一个广泛而具有深度的研究领域。
固体物理：3-2 三维晶格的振动
每一个波矢q，对应三支声学波(每个(q)为一支），
3n-3支光学波，总共N3+ N(3n-3)=3nN个晶格振动数
目，3nN为原子自由度数之和。
原胞数
结论： 1）晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数； 2）格波振动模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和。
9
光学纵波 光学横波 声学纵波
声学横波
X
K L
三维晶格振动的问题及其复杂， 难以得到晶格振动的近似解， 通过对比一维复式格子，来推 导三维晶格振动的形式解
晶格振动的 普遍规律
3
a1,a2,a3为晶体原胞的基矢，沿基矢方向晶体各有N1,N2,N3 个原胞。共有N= N1N2N3个原胞；晶体由n种不同原子构成， 原子的质量分别为m1,m2…mn ，每个原胞中n个不同原子平 衡位置的相对坐标为r1,r2…rn.设顶点的位置矢量为
原子的位置准连续
2u x 2
q Ae 2 i(qx t )
q 2u
2u t 2
2Aei(qx t )
2u
长声学波
弹性波
14
二、长光学波
15
16
17
18
19
20
21
22
Rl l1a1 l2a2 l3a3
的原胞中n个原子在t时刻偏离起平衡位置的位移为
第p个原子在方向的运动方程为 ：
第l个原胞中
第n个原子
简谐近似下，位
移的线性代数式
4
试探解：
q一定，对于晶格中同一种原子，qrp相位一定
方向
Ap共有3n个
3n个线性齐次方程组
Ap非零，则系
数行列式为零
3n个的实根
5
3n个的实根中，有三个根，当波矢q0时， 0,声学支
3.4 三维晶格振动格波量子——声子 一、三维晶格振动
( ) d 2u
dt 2
= βa2 2m + M
∂2u ∂x 2
=
v
2
A
∂2u ∂x 2
上式即为宏观弹性波的波动方程，其中
β
vA = a 2(m + M )
是用微观参数表示的弹性波的波速。
固体中的长声学波就是弹性波。对于长声学波，晶格可以看作是连续介 质。波长λ比晶格常数a大得多。
这里的 变换形式，称为动力学矩阵。
是力常数 矩阵的傅里叶
以下方程是 3n 个有限的关于未知系数
的线性齐次方程组。要使
得该方程组有非零解，则其系数行列式等于0。
由此可以解除 3n 个色散关系：
这里的 3n 就是一个元胞内的自由度数目。 3支声学支（元胞的质心自由度，代表了原子的整体振动），其中包含 2 支横波，1支纵波。 3n-3支光学支（代表了元胞内原子的相对振动），其中包含 2（n-1）支横 波，（n-1）支纵波。
光学波的频率随q变化很小，在实际计算中，将其视为与波矢q无关的常数。 在三支声学波中一支是纵波，两支是横波。 当q 很小时， ω 与q 成比例，这 时，声学波与弹性波一样，波速为常数，而且就是弹性波的速度。
频率ω 和波矢q的关系曲线。 沿[100]及[111]轴两支横波 简并。 (图中横坐标以2π/l为单位， 其中l代表有关轴向的格点 间距)
=
, ������������������������������������−������������������������������������������������
∑������������ ������������������������������������−������������������������������������������������
晶格振动的简正模式
晶格振动的简正模式
晶格振动是固态物质中晶体结构中的原子或离子相互作用导致的周期性振动。
晶格振
动可以通过简正模式来描述，简正模式是晶格振动中的最基本振动模式。
在晶格振动中，不同的原子或离子可能以不同的方式振动，而简正模式描述的是这些
振动模式。
简正模式通常用数学表达式表示，可以由谐振子的振动模式推导而来。
以一个具有周期性晶体结构的一维链格子为例，假设每个格点上的原子质量相同，我
们可以推导出以下的简正模式：
1. 长度振动模式：晶格链上的每个原子在与相邻原子的相互作用下，沿着链的方向
上来回振动。
这个模式描述了晶体中的声波。
2. 横向振动模式：晶格链上的每个原子在与相邻原子的相互作用下，垂直于链的方
向上振动。
这个模式描述了晶体中的光学波。
3. 弯曲振动模式：晶格链上相邻原子之间的键角度发生变化，导致整个链弯曲振动。
这个模式描述了晶体中的扭曲波。
4. 涨落振动模式：晶格链上的原子以相反的方向进行不规则的涨落振动。
这个模式
描述了晶体中的热涨落。
这些简正模式描述了晶格振动的基本特性，同时还可以进一步推广到二维和三维的晶
体结构中。
这些简正模式的分析可以帮助我们理解晶格振动的性质，从而研究和设计新型
材料的热学、声学和光学性质。
固体物理第10讲、三维晶格振动
2
第2n+1个M原子的方程 M 2n1 (22n1 2n2 2n ) 第2n个m原子的方程 m2n (22n 2n1 2n1)
—— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式：2n Aei[t(2na)q]
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
15
第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解形式为：
将方程解代回3n个运动方程
16
—— 3n个线性齐次方程
—— 系数行列式为零条件，得到3n个 j ( j 1, 2, 3, 3n)
长波极限
3个
——
趋于一致
24
q
Si
25
GaAs
26
三、二维布里渊区 —— 1、正方格子的布里渊区 正方格子的基矢 倒格子原胞基矢
27
第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程
—— 第一布里渊区 大小
28
第二布里渊区 由4个倒格点
的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
29
第三布里渊区 由4个倒格点
—— 声学波
7
q的取值 M和m原子振动波函数
相邻原胞之间位相差
波矢q的值 q —— 第一布里渊区
2a
2a 布里渊区大小 / a
采用周期性边界条件
q h 22aN8 Nhomakorabeaq的取值
q h 2 —— h为整数
2aN
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q
Na
第一布里渊区允许的q值的数目 / N
固体物理基础第3章 晶格振动理论
得到:
m2A(eiqdeiqd)B2A M2B(eiqdeiqd)A2B
(3.13)
该方程与n无关，表明所有联立方程对于格波形式的解(式
(3.12))的角频率ω和波数q都满足该方程。进一步将其整理成
14
第3章 晶格振动理论
基于如下的物理考虑：首先，晶体的宏观热性质取决于 组成晶体的绝大多数原子的运动状态；其次，晶体边界(表 面)原子的数目远小于晶体内部原子数目，因此对晶体热性 质的影响很小；第三，按照近邻作用近似，边界原子对内部 原子运动状态的影响很小。于是，玻恩-卡曼提出了这样的 周期性边界条件：假定由数目巨大的N个原子组成的一维单 原子链首尾衔接(间距也为a)，构成一个如图3.3所示的半径 很大的圆环，局部范围内原子沿环方向的振动仍然可以看做
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
a→Δx
na→x
μn=μ(na，t)→μ(x，t) μn-1=μ(na-a，t)→μ(x-Δx，t) μn+1=μ(na+a，t)→μ(x+Δx，t)
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近 似），电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例：
q1
q2
2
1
2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
固体物理学中的晶格振动与声子理论
固体物理学中的晶格振动与声子理论晶体是由原子或分子按照一定的规则排列形成的三维空间周期性结构。
在晶体中，原子或分子不是静止不动的，而是以不同的方式振动。
这种振动称为晶格振动，它是固体物理学中的一个重要研究课题，与晶体的性质和行为密切相关。
晶格振动是晶体中原子或分子的协同振动。
晶格振动可以分为长波和短波两种类型。
长波振动是指原子或分子在晶格中以相对偏移的方式振动，而短波振动则是指原子或分子在晶格中以体积变化的方式进行振动。
晶格振动是通过声波传播的，因为声波是介质中粒子振动的传递方式。
声子理论是描述固体中晶格振动的重要理论框架。
根据声子理论，晶体中的振动可以看做是自由度离散的量子力学系统。
它引入了一个新的物理量，即声子，它代表了晶格中的元激发，类似于固体中的粒子。
声子具有能量和动量，并且可以在固体中传播和相互作用。
声子的能量与振动模式相关。
在晶体中，存在不同的振动模式，每种振动模式对应一个特定的波矢和频率。
通过声子理论，可以计算出不同振动模式的能量，进而获得晶体中的频谱信息。
频谱信息反映了晶体中的振动性质，可以用来解释和预测材料的热力学性质、电子结构等。
声子理论还可以解释和预测晶体的热传导性能。
晶体的热传导是通过声子的散射传递热量的，因此理解声子的传播性质对于研究和优化热传导材料至关重要。
通过声子理论，可以计算声子的群速度和散射率，进而预测材料的热导率。
这对于设计新的热障涂层、热电材料等具有重要意义。
声子理论也在纳米材料和低维材料中发挥着重要作用。
在这些材料中，表面效应和尺寸效应导致晶格振动的变化，进而影响材料的性质。
声子理论可以用来研究这种尺寸效应，并解释纳米材料的热力学性质、凝聚态物理行为等。
总之，固体物理学中的晶格振动与声子理论是研究晶体性质和行为的重要工具。
通过声子理论，可以揭示晶体中振动模式的能量、频率和传播性质，进而解释和预测材料的热力学性质、热传导性能等。
声子理论在材料科学和凝聚态物理研究中具有广泛的应用前景。
晶格振动与晶体热膨胀的关联
晶格振动与晶体热膨胀的关联晶体是由晶格组成的，晶格是一个由原子、离子或分子等排列而形成的三维结构。
晶格的振动是指晶格中原子、离子或分子在温度变化时通过相互碰撞而发生的振动。
而晶体的热膨胀则是指在温度变化下，晶体的尺寸也会发生相应的变化。
晶格振动与晶体热膨胀之间存在着紧密的联系。
晶体的热膨胀是由晶格振动引起的。
在晶体内，原子之间通过键结构相连，形成了晶体的稳定结构。
在温度升高的过程中，晶体会吸收热能，导致晶格的振动加剧。
原子、离子或分子之间的距离由于振动而发生变化，导致晶体的尺寸扩大，即发生热膨胀现象。
晶格振动的强弱与晶体热膨胀的程度有直接的关系。
当晶格振动剧烈时，晶体的热膨胀也相对较大；当晶格振动较弱时，晶体的热膨胀也相对较小。
因此，晶格振动对晶体热膨胀的影响是不可忽视的。
晶格的振动可以通过多种方式来描述，其中最常见的是声子理论。
声子是晶体中的一种元激发，代表着晶格振动的量子。
通过声子理论，我们可以计算出晶格振动的频率和振幅，进而推导出晶体的热膨胀系数。
晶体的热膨胀系数描述了晶体单位温度变化下长度变化的比例关系。
一般情况下，晶体的热膨胀系数是正值，即随着温度升高，晶体的尺寸会扩大。
不同晶体的热膨胀系数大小各不相同，这与晶体的结构、键结构等因素有关。
晶格振动与晶体热膨胀的关系还可以通过实验来验证。
通过测量晶体在不同温度下的长度变化，可以得到晶体的热膨胀系数。
同时，可以通过利用红外光谱等技术来研究晶体中原子、离子或分子的振动情况，从而确定晶格振动的特性。
总结起来，晶格振动与晶体热膨胀之间有着密切的关联。
晶格振动的强弱影响着晶体的热膨胀程度，而晶体的热膨胀系数描述了晶体长度随温度变化的比例关系。
通过实验和理论计算，我们可以深入研究晶体的热膨胀机制，为材料科学和工程技术提供有价值的参考。
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三维晶格的振动
由于边界条件允许的 q 分布密度为 V/(2π)³, 因此不同 q 的总数应当是
(倒 格 子 原 胞 体 积 ） V /(2)3 N
和晶体中包含的原胞数目相同. 对于每个 q 有 3 个
声学波, (3n－3) 个光学波, 所以不同的格波的总数是
N(33n3) 3nN
正好等于晶体 Nn 个原子的自由度。这表明, 上述的格波已概括了晶体的全部振动模
往往只限于计算它们之间的库仑作用
对于长光学波, 可以用以上的唯象方程求解晶格振动
在这样的宏观理论中, 把静电学方程与唯象方程的介电 极化结合起来, 就相当于考虑了电荷之间的库仑作用
在立方晶体中长光学波有横波和纵波，其 W 可以
分别用 WT 和 WL 表示, 则有
uur
uur
WT 0, WL 0
uur
M M
μ＋、μ－为正、负离子的位移
而且建立了下面一对宏观的运动方程
W&r& r
r b11Wr
r
b12
E r
P b21W b22E
黄昆方程
P 是宏观极化强度, E 是宏观电场强度
第一个方程是决定离子相对振动的动力学方程
第二个方程表示除去正、负离子相对位移产生 极化, 还要考虑宏观电场存在时的附加极化
但是把 q 的取值范围选为上述倒格子原胞并不是最方 便的, 通常是选为第一布里渊区(也称简约布里渊区)
做由原点出发的各倒格 子矢量的垂直平分面, 由 这些平面所围成的最小 体积就是第一布里渊区
可以证明第一布里渊区的体积等于倒格子原胞的体积, 第一布里渊区具有环绕原点更为对称的优点
3. 晶格振动谱
将 (0EP)0代入
uEr0b12b22W uurL
晶格振动谱的实验测定方法
（2）确定声子的频率 E 'n En (q)
根据入射中子和散射中子方向的几何关系
确定声子的波矢
p
p'
q
Gn
（3）得到声子的振动谱 (q) ~ q
对于中子非弹性散射实验，入射中子的动量（包括方向） 和能量是已知的，散射中子的动量和能量也是可以测定的。 在一个选定的方向测量散射中子，会发现只能得到特定 能量的中子，由此可以确定出具有特定波矢的声子能量。 变化入射中子相对于晶体的方向以及探测散射中子的方向， 最终可以确定出整个声子谱。
中子的非弹性散射目前是测定声子谱最有效的方法。
下图为90K下钠晶体[110]方向的振动谱．最高 的—支是声学纵波，以下两支是声学横波．
Bragg条件的 X 射线散射类型称为漫散射。
2. 用X射线测量晶格振动的主要困难在于频率漂移难以确定，
不过 X 光源普遍，且入射光光源强度大，特别是同步辐射光源的建
立为晶格振动的研究带来很多方便。
光与TO声子以及LO声子相互作用示意图
中子散射
中子源
反应堆中产生的 慢中子流
单色器
2
准 直 器 样品
实验测定晶格振动谱的意义
☆晶格振动是影响固体很多性质的重要因素， 而且只要 T≠0K，原子的热运动就是理解固体 性质时不可忽视的因素。所以从实验上观测晶格 振动的规律是固体微观结构研究的重要内容。
☆晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映：
1. 晶格振动色散关系 ω = ω j (q)
2. 态密度： g (ω) = f (ω)
格中产生，或者吸收一个声子 ☆散射光子的频率和波矢
晶格振动频谱的测定方法
☆能量守恒： ☆收一 个声子，“-”号对 应放出一个声子
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于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵
波，两支横波。 推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由 运动方程可以解得3s个与q的关系式（即色散 关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波 （一支纵波Longitudinal Transverse Optical，两支横波 Acoustical），3(s－1)支为光学波。
又由晶格的周期性，得
C , C ,0 C
只要两个原胞的相对位置不变，力常数都一样。
设格波解：
i t q R A e
平面波形式
带入运动方程得：
2 m A 0
, 1,2,3
, 0,1,2, , N 1
(l)和(l’) 是第l和第l’个原子分别沿和方向的位移。
力常数
2U C , C , 0
与求导次序无关
LO TO 两重简并 LA TA 两重简并
纵向振动相关的恢复力比横向的要大些，通常纵支比横支的位置高些
，＝1，2，3
其中
i q R R ＝ C e
久期方程
11 m 2 12 13 21 22 m 2 23 0 31 32 33 m 2
当 q 0时，可以解得与q的三个关系式， q，对应
§5.3 三维晶格振动
一、三维简单晶格的振动 l
l’ 0 第ℓ个原子的位矢:
l-l’
R 1 a1 2 a 2 3 a 3
在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U0＝0）：
1 U C , 2
, ,
第l个原子的运动方程：
U m C , ,
这里考虑了晶体中所有原子的相互作用。晶体中各 力常数之间并不全是独立的，而必须满足：
C , 0
，＝1，2ห้องสมุดไป่ตู้3
当晶体所有的原子位移都等于同一个矢量d, 这相当于整个晶体作平行 移动，原子之间的距离不变，因此不会在原子之间产生作用力.