哈师大附中2018高三第三次模拟考试数学试题(有答案)
东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2018-2019学年高三第三次模拟数学(理)试题
哈师大附中2018-2019学年高三第三次模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数z 满足12z i i （i 是虚数单位），则z（）A.2B.2C.1D.52.2lg 34Ax yxx，212x By y，则A B （）A.0,2B.1,2C.2,4D.4,03.下列函数中，既是偶函数，又在区间0,单调递减的函数是（）A.3yx B.ln y x C.cos y x D.2xy 4.等比数列n a ，若124a ，188a ，则36a 为（）A.32B.64C.128D.256 5.已知0,2，且2cos 2cos4，则sin 2的值为（）88 C.886.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a（）A.0B.9C.18D.54第6题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.83 B.43C.823D.423第7题8.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）555109.已知AB AC ，ABAC ，点M 满足1AMt AB t AC ，若3BAM，则t 的值为（）A.32 B.21 C.312D.31210.中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点，1,0F c ，2,0F c ，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F 且25PF ，若椭圆1C 的离心率132,53e ，则双曲线的离心率2e 的范围是（）A.35,23B.5,23C.2,3 D.3,3211.三棱锥P ABC 中，底面ABC 满足BA BC ，2ABC，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为（）A.2B.3C.23D.3312.设函数ln f x xxm ，若曲线11cos 22e e yx上存在00,x y ，使得0f f y y 成立，则实数m 的取值范围为（）A.20,1e e B.20,1ee C.20,1ee D.20,1ee 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13.某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x______.14.平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有PABPCDSPA PB S PC PD（其中PAB S 、PCDS分别为PAB 、PCD 的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有P ABE PCDFV V ______（其中PABEV 、PCDFV 分别为四面体P ABE —、P CDF —的体积）.15.已知数列n a 满足24cos πna nn n ，则n a 的前50项的和为______.16.已知圆22:25C xy，过点2,3M 作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知0π3x 是函数sin cos 0f x m xx m ＞的一条对称轴，且f x 的最小正周期为（Ⅰ）求m 值和f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设角A ，B ，C 为ABC 的三个内角，对应边分别为a ，b ，c ，若2f B，3b ，求2c a的取值范围.18.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5，0.5,1，，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望.（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在棱台ABC FED中，DEF与ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC平面B C D E，四边形BCDE为直角梯形，BC CD，1CD，N为CE中点，,0AM AF R＞.（Ⅰ）为何值时，MN∥平面ABC？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:10x yC a ba b＞＞的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且。
哈师大附中2018 年5月高三第三次模拟考试文科数学试卷(附答案)
哈师大附中2018 年5月高三第三次模拟考试文科数学试卷（附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合则=（ ）A ．B ．C ．D ． 2.已知为虚数单位,=( ）A ．B ．C ．D ．3..已知等差数列,则数列的公差( ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．24.与椭园共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为( ） A ． B ． C. D ．5.已知互不相同的直线和平面,则下列命题正确的是( ） C 若 。
na= 1.pN 7- m 。
n y- n,l /r, 则 m 11 " ; D.若aLy.plLy.则a//p.A ．若与为异面直线,,则B ．若.则C.若, 则 D ．若.则6.执行下面的程序框图，若,则输出的=( ）{}{}2=1,2,4,=2A B x R x ∈>A B {}1{}4{}24，{}124，，i ()23i i i +-3+2i 3+2i 3-2i -3-2i {}2357,2,15n a a a a a =++={}n a =d 22:162y x C +==y 2213y x -=2213x y -=2213x y -=2213y x -=,,l m n ,y αρ，l m ,l m αβ⊂⊂//αβ //,,l a m αββ⊂⊂//l m ,,,//l y m y n l αββαγ=== //m n .a γβγ⊥⊥//a β0.9p =nA ．5B ．4 C.3 D ．27.已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A ．B ．．8.设点满足约束条件,且,则这样的点共有( ）个A ．12B ．11 C.10 D ．99.动直线与圆交于点,则弦最短为( ）A ．2B ．．10.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)
哈师大附中2018 年高三第三次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，找到两集合的公共元素即可.详解：或，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A又属于集合B的元素的集合.2. 已知为虚数单位,=( ）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先利用复数模的定义求出，从而利用可得结果.详解：根据复数模的定义可得，故选A.点睛：本题主要考查复数模的定义以及复数的简单运算，属于简单题.3. 已知等差数列,则数列的公差( ）A. 0B. 1C. -1D. 2【答案】B详解：，，，可得，故选B.点睛：本题主要考查等差数列的定义与下标性质，意在考查对基本概念与基本性质掌握的熟练程度，属于简单题.4. 与椭园共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为( ）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由椭圆方程可得椭圆的焦点，从而可得双曲线的焦点，结合双曲线渐近线方程可求得，从而可得结果.详解：的焦点坐标为，双曲线焦点，可得，由渐近线方程为，得，，双曲线的标准方程为，故选D.点睛：求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.5. 已知互不相同的直线和平面,则下列命题正确的是( ）A. 若与为异面直线,,则B. 若.则C. 若, 则D. 若.则【答案】C.【解析】分析：对于，可利用面面平行的判定定理进行判断；对于，可利用线面平行的判定定理进行判断；对于，可利用面面垂直的性质进行判断.详解：若与为异面直线，，则与平行或相交，错，排除；若，则与平行或异面，错，排除；若，则或相交，错，排除，故选C.点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6. 执行下面的程序框图，若,则输出的=( ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第三次循环，；，退出循环，输出，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三视图，作出几何体的直观图，观察截得几何体的结构特征，利用正三角形与直角三角形面积公式以及正方形面积公式计算即可.详解：由三视图可知正方体边长为，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，故该几何体的表面积为：，故选B. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 设点满足约束条件,且,则这样的点共有( ）个A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】A【解析】分析：由约束条件画出可行域，根据可行域，利用,可逐一写出满足条件的点，从而可得结果.详解：画出表示的可行域，由图可知，满足，得，共有，，共个，故选A.点睛：本题主要考查利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用，数形结合思想的应用和运算求解能力，本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确找出满足条件的点，属于中档题．9. 动直线与圆交于点,则弦最短为( ）A. 2B.C. 6D.【答案】D【解析】分析：首先判断出直线经过定点，可得在圆内，从而可得当时，最短，利用勾股定理可得结果.详解：直线化为直线过定点，可得在圆内，当时，最短，由，可得，，，故选D.点睛：探索曲线过定点的常见方法：可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点).10. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
2018年黑龙江省哈师大附中高考数学三模试卷(文科)(解析版)
7.已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
8.设点 满足约束条件 ，且 ， ，则这样的点共有（）个
A. B. C. D.
9.动直线 与圆 交于点 ，则弦 最短为（）
A. B. C. D.
10.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在 年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当 时，该黑色三角形内共去掉（）个小三角形．
利用复数模的计算公式及复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】
．
3.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由已知求得 ，再由等差数列的通项公式求解．
【解答】
在等差数列 中，
由 ，即 ，得
又 ，
∴ ．
4.
【答案】
D
【考点】
双曲线的特性
【解析】
根据题意，求出椭圆 的焦点坐标，分析可得要求双曲线的焦点在 轴上，且 ，设其方程为 ，分析可得 ，由双曲线的渐近线方程可得 ，解可得 、 的值，将 、 的值代入双曲线的方程，计算可得答案．
乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．…
甲同学的不低于 分的成绩有 个设为 ， ，乙同学的不低于 分的成绩有 个，设为 ， ，
现从甲乙两位同学的不低于 的成绩中任意选出 个成绩有：
【数学】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟考试数学(理)试题含解析(1)
哈师大附中2018 年高三第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先将分式不等式转化为整式不等式，之后按照一元二次不等式的解法求得结果，注意分母不等于零的条件，之后按照交集的求解方法求得结果.详解：解不等式，可得，所以集合，又，利用交集中元素的特征，求得，故选D......................2. 已知复数，则复数的模为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先根据复数的运算法则先将复数化简，这里注意的一是乘方运算，二是除法运算，三是乘法运算，之后借助于复数模的定义求得结果.详解：由题意知，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题，在解题的过程中，要明确复数的运算法则，将复数化简，之后应用复数模的定义求得结果.3. 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩，若已知,则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A. 0.85B. 0.65C. 0.35D. 0.15【答案】D【解析】分析：首先利用正态分布的性质，可以确定其概率密度曲线关于直线对称，从而得知，再根据，可以确定，最后利用概率的性质求得结果.详解：根据题意，结合正态分布的性质，可知，从而求得，故选D.点睛：该题考查的是有关正态分布的概率问题的求解问题，在解题的过程中，需要明确概率密度曲线的轴对称性，再结合其总体为1，所以对称轴两边各占0.5，再减去已知的，剩下的就是要求的.4. 已知等比数列的前项和为,若，则=（）A. 2B.C. 4D. 1【答案】A【解析】分析：首先根据数列的前项和的特征，将之间的关系，可以转化为详解：根据，可以求得与的倍数关系，根据等比数列的性质，求得，从而求得的值.，即，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，最后要求的结果是第四项，而已知数列的首项，所以可以得知下一步的任务应该去求有关公比所满足的条件，根据题中所给的式子，从而求得，而根据，从而求得最后的结果.5. 已知，则=（ )A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先根据差角公式将题中所给的式子拆开，化简得到，之后将其平方，求得，利用正弦的倍角公式求得结果.详解：因为，所以，将式子两边平方得，所以，故选B.点睛：该题考查的是三角函数求值问题，在解题的过程中，需要应用余弦的差角公式将其拆开，化简，得到，根据结论同角的正余弦值的和、差、积是知一求二的，途径就是平方，之后借助于平方关系，进而求得.6. 非零向量满足;,则与夹角的大小为（ ）A. 135°B. 120°C. 60°D. 45°【答案】A【解析】分析：首先根据向量的数量积等于零，将其展开，得到与的关系，再根据向量的模相等，可以求得与的关系，两式联立可以求得，再根据两个向量夹角余弦值的公式，求得其夹角的余弦值为，结合角的范围，确定出角的大小.详解：因为，即，因为，可得，整理可得，所以有，设与的夹角为，则有，又因为，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关向量所成角的余弦值，方法就是应用公式求解：向量的数量积比上模的乘积即为结果，在求解的过程中，需要去判断式子中所涉及到的量的关系，应用题中的条件，求得两个向量的模之间的关系，从而最后求得结果.7. 下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，分析还原几何体，如果是特殊的几何体，那就直接应用体积公式求得结果，如果是不规则的几何体，需要对几何体进行加工，采用割补法，将其转化为特殊的几何体来完成，最后代入体积公式，求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，可知其可以由正方体切割而成，最后切割的结果为底面是完整的，其余两个顶点分别是正对内侧的两条竖直方向的棱中点和端点，在求其体积时，过底面的对角线竖直方向切开，切为一个四棱锥和一个三棱锥，最后求得体积，故选B.点睛：该题考查的是根据三视图研究几何体的特征的问题，这类问题解决的通法就是还原几何体，之后应用体积公式进行求解即可得结果，并且大多数几何体都可以放到正方体中来研究，即题中所涉及的几何体是由正方体切割而成的，用减法算也可以，如果直接求，就需要切割为一个四棱锥和一个三棱锥来完成.8. 已知实数满足,则函数存在极值的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先分析三次函数无极值的条件，即为导数大于等于零恒成立，找出对应的范围，注意到题中所给的的范围，从而可以确定该题为几何概型，利用定积分求得阴影的面积，之后应用概率公式求得结果，注意此时我们所求的是无极值的概率，而题中要求的是有极值的概率，还需要做减法运算.详解：函数的导数，若函数无极值，则恒成立，即，即，作出不等式对应的平面区域如图所示：则阴影部分的面积为，则由几何概型的概率公式，可得函数无极值的概率为，所以函数有极值的概率为，故选A.9. 执行下面的程序框图，若输入的值分别为1,2,输出的值为4,则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先分析框图，明确程序框图所解决的问题是什么，确定为对数列求和之后，看看是什么样的数列，还有就是再看看对应的和都是多少，再去分析循环的次数，必须保证循环几次就不能往后走了，同时得需要保证能运行到此处，从而就能够确定出对应参数的取值范围.详解：根据题中所给的程序框图，可以判断出，根据判断框里的条件，就要求，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图中有关参数范围的问题，在求解的过程中，要时刻关注着循环的次数，要做到不多不少，再结合对应数列的和的问题求得结果.10. 已知点，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，，的面积为，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题的条件，可以断定对应的焦点三角形为直角三角形，之后利用焦点三角形的面积公式求得的值，再结合条件双曲线的两条渐近线垂直，得到其为等轴双曲线，从而求得双曲线的方程.详解：根据题中条件，可以断定，根据焦点三角形面积公式可得，可以确定，又因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，可知该双曲线是等轴双曲线，所以双曲线的方程为，故选B.点睛：该题考查的是有关双曲线的方程的求解问题，该题涉及到的知识点有直角三角形的外心在斜边中点、焦点三角形的面积公式、渐近线垂直的条件等，根据这些条件，可以确定出双曲线方程中所涉及到的有关量，从而求导结果.11. 棱长为2的正方体中，为棱中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为（）A. 5B.C.D. 6【答案】C【解析】分析：结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.详解：取BC中点M，取中点N，则四边形即为所求的截面，根据正方体的性质，可以求得，根据各边长，可以断定四边形为菱形，所以其面积，故选C.点睛：该题考查的是有关平面截正方体所得截面图形的面积问题，这就要求首先得确定截面图形的位置，之后根据正方体的性质，确定出截面多边形是一个四个边都相等的四边形，即为菱形，接着求其两条对角线的长度，之后应用面积公式求得结果.12. 已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析，将函数的大致图像画出来，可以判断出函数有四个零点时对应参数的范围，并且可以断定有两个正根，两个负根，以及两个负根和为定值，从而确定出其积的取值范围，两个正根可以解方程，之后用两根和来断定，最后根据题的条件，确定出其取值范围.详解：根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像，可知要使函数有四个不同的零点，则有，并且有，且，从而可以确定，令，则有，从而有，所以有，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点由函数图像的对称性，对勾函数图像的走向，函数零点个数向向函数图像交点个数靠拢，总之要想最对改题目，必须将基础知识抓牢.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若弦中点到轴的距离为5,则= __________．【答案】12.【解析】分析：首先利用题的条件求得弦的中点到抛物线的准线的距离，之后分别从弦的端点向抛物线的准线作垂线，利用梯形的中位线等于上下底边和的一半，再结合抛物线的定义求得焦点弦长.详解：根据题意可知，抛物线的准线方程为，从而可以确定弦的中点到抛物线的准线的距离等于，此时分别从两点向准线作垂线，垂足为，根据梯形中位线的性质，可知，根据抛物线的定义，可知，故答案是12.点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长的问题，在求解的过程中，要求我们时刻关注抛物线的定义，从而求得结果，这里需要借助于梯形的中位线的长度公式，再者就是到坐标轴的距离转化为到准线的距离这是关键的一步.14. 设满足约束条件,则的最小值为__________．【答案】-2.【解析】分析：首先根据约束条件画出可行域，根据截距型目标函数变形为，根据的几何意义，可知直线越往上，就越小，从而确定出在直线过哪个点时截距最大，从而确定出最优解是谁，联立求得结果，代入求得目标函数的最小值.详解：根据约束条件画出相应的可行域，可知其为一个封闭的三角形区域，由，可得，根据的几何意义，可以确定其在直线和直线的交点处取得最小值，由解得，代入求得，从而确定出最小值为.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意解题步骤，首先要画出可行域，之后是根据目标函数的形式，来断定其为哪种类型，式子的形式有整式型、分式型和平方和型，对应着截距、斜率和距离，根据不同的形式，找出最优解的位置，代入求得结果.15. .已知数列满足.记，则数列的前项和=__________．【答案】.【解析】分析：首先从题中所给的递推公式推出数列成等差数列，利用等差数列的通项公式求得，代入题中的条件，可以求得，可以发现是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，用错位相减法求和即可得结果.详解：由得，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即，记，则（1），式子两边都乘以2得（2），两式相减得：所以，故答案为.点睛：该题考查的是有关数列求和的问题，涉及的知识点有由倒数型的递推公式通过构造等差数列求得通项公式，以及错位相减法求和，在操作的过程中，需要时刻保持头脑清醒，再者就是在求和时，涉及到等比数列求和时，一定要分清项数.16. 已知定义在上的函数满足:①在上为增函数;若时，成立，则实数的取值范围为__________．【答案】.【解析】分析：首先根据，得到函数的图像关于直线对称，再由其在上为增函数，推出其在上是减函数，得到函数随着自变量的变化，函数值的变化趋势，从而利用，得到，化简求值即可得结果.详解：根据题意，可知函数的图像关于直线对称，因为其在上为增函数，则在上是减函数，并且距离自变量离1越近，则函数值越小，由可得，，化简得，因为，所以，所以该不等式可以化为，即不等式组在上恒成立，从而有，解得，故答案为.点睛：该题是对有关函数的性质的综合考查，涉及的知识点有函数图像的对称性，函数图像的单调性，函数值的大小与自变量的大小的关系，绝对值不等式的解法，以及不等式在某个区间上恒成立的问题，注意对不等式的转化，找到相应的不等式组，从而可以求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数,直线是函数图像的一条对称轴。
【全国百强校首发】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018届高三第三次模拟考试数学(理)试题(图片版)
数学三模答案（理科）一、选择题二、填空题13. 12 ; 14. -2 ;15. ; 16. .三、解答题17.解：（1）……………….1分是函数图像的一条对称轴………………………………….2分………………………………….4分，的增区间为：……….6分（2）…………….……….8分（方法一）在中，由余弦定理：…………….……….12分（方法二）由（1）知在中，由正弦定理：…………….……….10分…………….……….12分18.解（1）甲班数学分数的中位数：…………….……….1分乙班数学分数的中位数：…………….……….2分…………….……….4分（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；…….6分甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度. …….8分（3）有频率分布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人，设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A …….9分则…….10分…….11分所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为. …….12分19解：(1)证明：取中点，连接又四边形为平行四边形……………….……….4分(2)面面,面面面面面又两两互相垂直如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系……………….……….6分则设平面,平面的法向量分别为则取……………….……….8分取……………….……….9分……………….……….11分二面角的平面角的余弦值为. ……………….……….12分20.解：（I ）由已知得：椭圆方程为……………….……….4分（II ）设（易知存在斜率，且），设由条件知：……………….……….6分联立(1)(2)得：……………….………8分点到直线的距离……………….………10分且……………….………11分所以当时：. ……………….………12分21.解：（Ⅰ），……………….………1分由题意有，解得．……………….………2分故，，，所以在为增函数，在为减函数．……………….………3分故有当时，．……………….………4分（Ⅱ）证明：（ⅰ），由（Ⅰ）知，所以，即. ……………….………6分又因为，所以，故.………….………8分（过程略）（ⅱ）法一：由（1）知……………….………12分法二：，构造函数，，因为，所以，即当时，，所以在为增函数，所以，即，故.……………….………12分22.（1）曲线的直角坐标方程为：……………….………3分曲线的普通方程为：……………….………5分（2）将的参数方程：代入的方程：得：……………..7分由的几何意义可得：……………10分23.解：（1）……………3分所以解集为：……………5分(2)……………7分所以的取值范围为：……………10分。
黑龙江省哈师大东北师大辽宁实验东北三省三校2018届高三第三次联合模拟数学理
黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2018届东北三省三校高三第三次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则=（）A. B ． C ． D ．2.已知复数，则复数的模为（）A ．5B ．C ．D ．3.在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩，若已知,则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A ．0.85B ．0.65C ．0.35D ．0.154.已知等比数列的前项和为,若，则（）A ．2B ． C.4 D ．15.已知，则=（ )A ．B ． C. D ．6.非零向量满足;,则与夹角的大小为（）A ．135°B ．120° C.60° D ．45°7.下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）1=0,0.1.2.31x A x B x A B -10.1，01，-10，021-2)2i zi （z 531052~85.9X N 8085=0.35P X n a n Sn 11,3;a Sn S 4a 24cos 45a sin 2a 7-257251-515,a b 0a b a a b a b bA ．B ． C. D．8.已知实数满足,则函数存在极值的概率为（）A ． B ． C.D ．9.执行下面的程序框图，若输入的值分别为1,2,输出的值为4,则的取值范围为（）A ．B ． C.D ．10.已知点分别是双曲线,的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上,的面积为4,且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的方程为（）A ． B ． C. D ．11.棱长为2的正方体中，为棱中点，过点，且与平面平行的正738393103,a b 01,01a b 321f x x ax bx 19132589,S a n m 37m 715m 1531m 3163m 12F F 2222:1(0x y C a a b ，b>0)O P C 122F F OP 12PF F C 22122x y 22144x y 2284x y 22124x y 1111ABCD A BC D E AD 1B 1A BE。
哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-2． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．2403． 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=4．函数的零点所在区间为（ ）A ．（3，4）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（0，1）5． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B = ð（ ） A.{}|12x x <≤ B.{}|21x x -≤< C. {}|21x x -≤≤ D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.6． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，47． 已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A B B = C ．()R A B ≠∅ ð D ．()R A B R = ð 8． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinAB ．2bcosAC ．2bsinBD ．2bcosB9． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 10．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n- B ．122n +- C ．21n - D ．121n +-11．已知1()21x f x =+，则331(log 2)(log )2f f +=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．412．如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．14．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.15．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.16．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018年黑龙江省哈师大附中高考数学三模试卷(文科)
2018年黑龙江省哈师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 集合A={1, 2, 4}，B={x∈R|x2>2}，则A∩B=()A.{4}B.{1}C.{1, 2, 4}D.{2, 4}2. 已知i为虚数单位，(|2i|+3i)i=()A.3+2iB.−3+2iC.−3−2iD.3−2i3. 已知等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，则数列{a n}的公差d=()A.1B.0C.2D.−14. 与椭圆C:y26+x22=1共焦点且渐近线方程为y=±√3x的双曲线的标准方程为（）A.x23−y2=1 B.x2−y23=1 C.y23−x2=1 D.y2−x23=15. 已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A.若α // β，l⊂α，m⊂β，则l // m；B.若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α // β；C.若α⊥β，β⊥γ，则α // β．D.若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l // γ，则m // n；6. 执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（）A.5 B.6 C.4 D.37. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.18+2√3B.20+2√3C.20+√3D.18+√38. 设点(x, y)满足约束条件{x−y+3≥0x−5y−1≤03x+y−3≤0，且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有（）个A.11B.12C.9D.109. 动直线l：x+my+2m−2=0(m∈R)与圆C：x2+y2−2x+4y−4=0交于点A，B，则弦AB最短为（）A.2√5B.2C.4√2D.610. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n =6时，该黑色三角形内共去掉（ ）个小三角形．A.121B.81C.1093D.36411. 在正三角形ABC 中，D 是AC 上的动点，且AB =3，则BD →∗BC →的最小值为（ ） A.94B.9C.92D.27412. 若函数f(x)=2x +sin x ⋅cos x +a cos x 在(−∞, +∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.[−1, 3]B.[−1, 1]C.[−3, −1]D.[−3, 3]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数f(x)=a x−2015+2017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为________．14. 在区间[2, a]上随机取一个数x ，若x ≥4的概率是23，则实数a 的值为________．15. 当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是________${_{（2）}}$．16. 已知函数f(x)为定义域为R 的偶函数，且满足f(12+x)＝f(32−x)，当x ∈[−1, 0]时f(x)＝−x ．若函数F(x)＝f(x)+x+41−2x在区间[−9, 10]上的所有零点之和为________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）17. 已知函数f(x)=4√3sin x cos x +sin 2x −3cos 2x +1． (Ⅰ)求函数f(x)的对称中心及最小正周期；(Ⅱ)△ABC 的外接圆直径为3√3，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(π6)=23a ，且a cos B +b sin B =c ，求sin B 的值．18. 哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分15，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；(Ⅰ)根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(Ⅱ)根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； (Ⅲ)现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率．19. 已知△ABC 中，AB ⊥BC ，BC =2，AB =4，分别取边AB ，AC 的中点D ，E ，将△ADE 沿DE 折起到△AD 1E 的位置，使A 1D ⊥BD ，设点M 为棱A 1D 的中点，点P 为A 1B 的中点，棱BC 上的点N 满足BN =3NC ． (Ⅰ)求证：MN // 平面A 1EC ； (Ⅱ)求三棱锥N −PCE 的体积．20. 已知抛物线C:x 2=8y 与直线l:y =kx +1交于A ，B 不同两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，所得的两条切线相交于点P ． (Ⅰ)求证OA →∗OB →为定值；(Ⅱ)求△ABP 的面积的最小值及此时的直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=axe x (a ∈R)，g(x)=ln x +kx +1(k ∈R)．(Ⅰ)若k=−1，求函数g(x)的单调区间；(Ⅱ)若k=1时有f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ．(I)若曲线C2，参数方程为：{x=t cosαy=1+t sinα（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程(Ⅱ)若曲线C2，参数方程为{x=t cosαy=1+t sinα（t为参数），A(0, 1)，且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求1 |AP|+1|AQ|的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数f(x)=|2x+b|+|2x−b|．(I)若b=1．解不等式f(x)>4．(Ⅱ)若不等式f(a)>|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．参考答案与试题解析2018年黑龙江省哈师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】双曲体的某性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】平面的基使性质及钡论【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】平面常量数草积的超同及其运算律【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题利用验我研究务能的单调性函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】此题暂无答案【考点】指数表数层图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】进位制【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】函数零都问判定定理函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）17.【答案】此题暂无答案【考点】三角都数升恒害涉换及化简求值正弦射可的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】茎叶图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】此题暂无答案【考点】抛物表的身解【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】此题暂无答案【考点】绝对常不等至的保法与目明不等式三成立的最题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2018年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}2．（5分）已知复数z=，则复数z的模为（）A．5B．C．D．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），若已知P（80＜X≤85）=0.35，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.154．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S10=3S5，则a6=（）A．2B．C．4D．15．（5分）已知cos（）=，则sin2α=（）A．B．C．D．6．（5分）非零向量，满足；||=||，，则与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°7．（5分）如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行下面的程序框图，若输入S，a的值分别为1，2，输出的n值为4，则m的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤63 10．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．612．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，若弦AB中点到x轴的距离为5，则|AB|=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，记C n=，则数列{C n}的前n项和C1+C2+…+C n=．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；若x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：（I）根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）若规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D分别为S′B，S′A 的中点，将△S′CD沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）若实数x，y满足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）若x＞2，证明：y＞1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}【解答】解：∵集合A={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0}．故选：D．2．（5分）已知复数z=，则复数z的模为（）A．5B．C．D．【解答】解：∵z==，∴|z|=||==．故选：B．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），若已知P（80＜X≤85）=0.35，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.15【解答】解：∵学生成绩X服从正态分布N（85，9），∴其图象关于直线x=85对称，∵P（80＜X≤85）=0.35，∴P（85＜X≤90）=P（80＜X≤85）=0.35，∴P（X＞90）=0.5﹣P（85＜X≤90）=0.5﹣0.35=0.15．故选：D．4．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S10=3S5，则a6=（）A．2B．C．4D．1【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1=1，S10=3S5，∴=3×，可得：q5+1=3，解得q5=2．则a6=1×2=2．故选：A．5．（5分）已知cos（）=，则sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（）=，即cosα+sinα=，平方可得+sinαcosα=，∴sinαcosα=，则sin2α=2sinαcosα=，故选：B．6．（5分）非零向量，满足；||=||，，则与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°【解答】解：根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，若||=||，，即||=||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°=135°，故选：A．7．（5分）如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图得到几何体的复原图为：所以：V=，故选：B．8．（5分）已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：对f（x）=x3﹣ax2+bx+1求导数可得f′（x）=3x2﹣2ax+b，由函数有极值可得△=4a2﹣12b＞0，即b＜a2，∴满足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，∴满足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部分，由定积分可得S==a3=，而正方形的面积为1，∴所求概率为P=，故选：A．9．（5分）执行下面的程序框图，若输入S，a的值分别为1，2，输出的n值为4，则m的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤63【解答】解：根据程序框图：S=1，a=2，n=1，当1＜m时，S=1+21=3，a=2，n=2，当3＜m时，S=3+22=7，a=2，n=3，当7＜m时，S=7+23=15，a=2，n=4，输出n=4，故：7＜m≤15，故选：B．10．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，∵△PF1F2的面积为4，∴|PF1|•|PF2|=8，∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，∴（|PF1|﹣|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|，由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，∴4a2=4c2﹣16，∴b2=4，∵该双曲线的两条渐近线互相垂直，∴a=b，∴双曲线C的方程为﹣=1，故选：B．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．6【解答】解：取BC中点F，A1D1中点G，连结DF、B1F、DB1、DG、GB1，GF，∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，∴BE∥DF，A1E∥GD，又A1E∩BE=E，DG∩DF=D，A1E、BE⊂平面A1BE，DG、DF⊂平面DFB1G，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G，∵DF=FB1=B1G=DG=，DB1==2，GF=2=2，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为：===2．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）=e，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y=a，可得e=e=x3+﹣3=x4+﹣3，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，x3﹣x4=﹣=，可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4﹣2x2﹣x22=﹣（x2+1）2+5，在﹣1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，若弦AB中点到x轴的距离为5，则|AB|=6．【解答】解法一：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），过焦点的直线方程为y=kx+1，联立，得x2﹣4kx﹣4=0，△=16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2，∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=10，解得k2=2，设直线AB的倾斜角为θ，则tan2θ=2，sin2θ=，cos2θ=，∴|AB|===12．解法二：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=10，∴|AB|=y1+y2+p=12．故答案为：12．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为﹣2．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，A（﹣1，1），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，记C n=，则数列{C n}的前n 项和C1+C2+…+C n=n•2n．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a n+1=，可得：，所以{}是等差数列，首项为：1，公差为：，所以=1+（n﹣1）=，C n==（n+1）•2n﹣1．令T n=C1+C2+…+C n=2×21﹣1+3×22﹣1+4×23﹣1+…+（n+1）•2n﹣1，…①，2T n=2×22﹣1+3×23﹣1+4×24﹣1+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n，…②，①﹣②可得：﹣T n=2+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n=﹣n•2n．T n=n•2n．故答案为：n•2n．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；若x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，则实数a的取值范围为（0，2）．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）的函数图象关于直线x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，∵当x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，∴|ax﹣1|＜|1﹣（x﹣1）|在[，1]上恒成立，即x﹣2＜ax﹣1＜2﹣x在[，1]上恒成立，∴1﹣＜a＜﹣1在[，1]上恒成立．设m（x）=1﹣，n（x）=﹣1，x∈[，1]，m（x）的最大值为m（1）=0，n（x）的最小值为n（1）=2．∴0＜a＜2．故答案为：（0，2）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长【解答】解：（Ⅰ）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）==sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ω﹣），由于直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．所以f（）=±2，所以•ω﹣=k，（k∈Z），所以．由于0＜ω＜1，所以：当k=0时，ω=所以f（x）=2sin（x﹣）．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z），（Ⅱ）由于f（A）=，所以A﹣=kπ，解得A=k，由于A∈（0，π），则A=．在△ABC中，由余弦定理：，所以：，即b2﹣3b﹣4=0，解得b=4或﹣1（舍去）．故：b=4．18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：（I）根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）若规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．【解答】解：（1）根据茎叶图得：甲班数学分数的中位数：=118，乙班数学分数的中位数：=128．（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（3）有频率分布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人，设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A则P（A）=×=，所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D分别为S′B，S′A 的中点，将△S′CD沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取SA中点F，连接DF，EF，∵SE=EB，SF=FA，∴EF∥AB，EF=，又∵CD∥AB，CD=，∴CD=EF，CD∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形，则CE∥FD．∵CE⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，∴CE∥平面SAD；（Ⅱ）解：∵面SCD⊥面ABCD，面SCD∩面ABCD=CD，SD⊥CD，SD⊂面SCD，∴SD⊥面ABCD，∵AD，CD⊂面ABCD，∴SD⊥AD，SD⊥CD．又∵AD⊥DC，∴DA，DC，DS两两互相垂直，如图所示，分别以DA，DC，DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2），B（2，4，0），E（1，2，1），，，，设平面ECA，平面ECB的法向量分别为，，则，取y1=1，可得；，取y2=﹣1，得．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣EC﹣B的平面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值【解答】解：（I）由已知得：，解得a=2，c=，∴b2=4﹣3=1椭圆方程为+y2=1（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，且x1+x2=，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2，∵|PQ|=•=，点O到直线的距离d==S△OPQ=|PQ|•d==≤1，当m2=1时取等号，此时直线l的方程为y=±x±1时，S的最大值为1．△OPQ21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）若实数x，y满足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）若x＞2，证明：y＞1．【解答】（1）由点（1，f（1））在切线上可知，f（1）=﹣e+e﹣1=﹣1，即切点为（1，﹣1）又f'（x）=﹣ae x+（1﹣ax）e x=e x（1﹣ax﹣a），由题可知f'（1）=﹣e，则f'（1）=e1（1﹣2a）=﹣e，则1﹣2a=﹣1，解得a=1，即f（x）=（1﹣x）e x+b，又由f（1）=﹣1，可得b=﹣1，故a=1，b=﹣1；即f（x）=（1﹣x）e x﹣1；由上知f'（x）=e x（1﹣x﹣1）=﹣xe x，当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故．（2）由实数x，y满足xe y=e x﹣1（x＞0）可得，，即，（i）先证y＜x，，由（1）知f（x）=（1﹣x）e x﹣1＜0=f（x）max，则有，即证得y＜x；再证明y＞0，令g（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则g'（x）=e x﹣1＞0（x＞0），故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=0，故在（0，+∞）上恒有e x＞x+1，即，则，即y＞0，综上，0＜y＜x，证毕．（ii）由（1）可知，，令，则，又由上可知，x＞0时，恒有（1﹣x）e x﹣1＜0，则xe x﹣e x+1＞0恒成立，故恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递增，则有，又因为故h（2）＞e，则h（x）＞e，即x＞2时，h（x）＞e，即e y＞e，即y＞1，故x＞2时，y＞1；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：（α为参数），∴曲线C2的普通方程：x2+（y﹣1）2=t2．（II）将C2的参数方程：（α为参数），代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0，∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈（2，2]，∴∈（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
哈师大附中高三第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则=（）A. B. C. D.2. 已知复数，则复数的模为（）A. 5B.C.D.3. 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩，若已知,则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A. 0.85B. 0.65C. 0.35D. 0.154. 已知等比数列的前项和为,若，则=（）A. 2B.C. 4D. 15. 已知，则=（ )A. B. C. D.6. 非零向量满足; ,则与夹角的大小为（）A. 135°B. 120°C. 60°D. 45°7. 下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8. 已知实数满足,则函数存在极值的概率为（）9. 执行下面的程序框图，若输入的值分别为1,2,输出的值为4,则的取值范围为（）A. B. C. D.10. 已知点，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，，的面积为，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.11. 棱长为2的正方体中，为棱中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为（）A. 5B.C.D. 612. 已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为则的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若弦中点到轴的距离为5,则=__________．14. 设满足约束条件,则的最小值为__________．15. .已知数列满足.记，则数列的前项和=__________．16. 已知定义在上的函数满足:①在上为增函数;若时，成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数,直线是函数图像的一条对称轴。
2018年东北三省三校（哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}2．（5分）已知复数z=，那么复数z的模为（）A．5B．C．D．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），假设已知P（80＜X≤85）=0.35，那么从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.154．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，假设a1=1，S10=3S5，那么a6=（）A．2B．C．4D．15．（5分）已知cos（）=，那么sin2α=（）A．B．C．D．6．（5分）非零向量，知足；||=||，，那么与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°7．（5分）如图是某几何体的视图，那么该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数a，b知足0≤a≤1，0≤b≤1，那么函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行下面的程序框图，假设输入S，a的值别离为1，2，输出的n值为4，那么m 的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤6310．（5分）已知点F1，F2别离是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右核心，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线相互垂直，那么双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．612．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，那么x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的核心F的直线与抛物线C交于A、B两点，假设弦AB中点到x 轴的距离为5，那么|AB|=．14．（5分）设x，y知足约束条件，那么z=x﹣y的最小值为．15．（5分）已知数列{a n}知足a1=1，a n+1=，记C n=，那么数列{C n}的前n项和C1+C2+…+C n=．16．（5分）已知概念在R上的函数f（x）知足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；假设x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，那么实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每一个班级20名同窗，现有甲、乙两班本次考试数学分数如以下茎叶图所示：（I）依照茎叶图求甲、乙两班同窗数学分数的中位数，并将乙班同窗的分数的频率散布直方图填充完整；（Ⅱ）依照茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同窗数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）假设规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同窗中，依照各班成绩为优秀的同窗人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同窗参加数学提优培训，求这12位同窗中恰含甲、乙两班所有140分以上的同窗的概率．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D别离为S′B，S′A的中点，将△S′CD 沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右核心为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，假设|PF|的最大值和最小值别离为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设只是原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，假设直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）假设实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）假设x＞2，证明：y＞1．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）假设曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程（Ⅱ）假设曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点别离为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）假设b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）假设不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}【解答】解：∵集合A={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0}．应选：D．2．（5分）已知复数z=，那么复数z的模为（）A．5B．C．D．【解答】解：∵z==，∴|z|=||==．应选：B．3．（5分）在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N（85.9），假设已知P（80＜X≤85）=0.35，那么从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A．0.85B．0.65C．0.35D．0.15【解答】解：∵学生成绩X服从正态散布N（85，9），∴其图象关于直线x=85对称，∵P（80＜X≤85）=0.35，∴P（85＜X≤90）=P（80＜X≤85）=0.35，∴P（X＞90）=0.5﹣P（85＜X≤90）=0.5﹣0.35=0.15．应选：D．4．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，假设a1=1，S10=3S5，那么a6=（）A．2B．C．4D．1【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1=1，S10=3S5，∴=3×，可得：q5+1=3，解得q5=2．那么a6=1×2=2．应选：A．5．（5分）已知cos（）=，那么sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（）=，即cosα+sinα=，平方可得+sinαcosα=，∴sinαcosα=，那么sin2α=2sinαcosα=，应选：B．6．（5分）非零向量，知足；||=||，，那么与夹角的大小为（）A．135°B．120°C．60°D．45°【解答】解：依照题意，设=，=，那么﹣=﹣=，若||=||，，即||=||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°=135°，应选：A．7．（5分）如图是某几何体的视图，那么该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：依照三视图取得几何体的恢复图为：因此：V=，应选：B．8．（5分）已知实数a，b知足0≤a≤1，0≤b≤1，那么函数f（x）=x3﹣ax2+bx+1存在极值的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：对f（x）=x3﹣ax2+bx+1求导数可得f′（x）=3x2﹣2ax+b，由函数有极值可得△=4a2﹣12b＞0，即b＜a2，∴知足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，∴知足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部份，由定积分可得S==a3=，而正方形的面积为1，∴所求概率为P=，应选：A．9．（5分）执行下面的程序框图，假设输入S，a的值别离为1，2，输出的n值为4，那么m的取值范围为（）A．3＜m≤7B．7＜m≤15C．15＜m≤31D．31＜m≤63【解答】解：依照程序框图：S=1，a=2，n=1，当1＜m时，S=1+21=3，a=2，n=2，当3＜m时，S=3+22=7，a=2，n=3，当7＜m时，S=7+23=15，a=2，n=4，输出n=4，故：7＜m≤15，应选：B．10．（5分）已知点F1，F2别离是双曲线C：（a＞0，b＞0），的左、右核心，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线相互垂直，那么双曲线C的方程为（）A．B．C．=1D．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，∵△PF1F2的面积为4，∴|PF1|•|PF2|=8，∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，∴（|PF1|﹣|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|，由双曲线概念可得|PF1|﹣|PF2|=2a，∴4a2=4c2﹣16，∴b2=4，∵该双曲线的两条渐近线相互垂直，∴a=b，∴双曲线C的方程为﹣=1，应选：B．11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A．5B．2C．2D．6【解答】解：取BC中点F，A1D1中点G，连结DF、B1F、DB1、DG、GB1，GF，∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，∴BE∥DF，A1E∥GD，又A1E∩BE=E，DG∩DF=D，A1E、BE⊂平面A1BE，DG、DF⊂平面DFB1G，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G，∵DF=FB1=B1G=DG=，DB1==2，GF=2=2，∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为：===2．应选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，那么x1x2+x3x4的取值范围为（）A．[4，5）B．（4，5]C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）=e，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，和直线y=a，可得e=e=x3+﹣3=x4+﹣3，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，x3﹣x4=﹣=，可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4﹣2x2﹣x22=﹣（x2+1）2+5，在﹣1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．应选：A．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）过抛物线C：x2=4y的核心F的直线与抛物线C交于A、B两点，假设弦AB中点到x 轴的距离为5，那么|AB|=6．【解答】解法一：抛物线C：x2=4y的核心F（0，1），过核心的直线方程为y=kx+1，联立，得x2﹣4kx﹣4=0，△=16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2，∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=10，解得k2=2，设直线AB的倾斜角为θ，那么tan2θ=2，sin2θ=，cos2θ=，∴|AB|===12．解法二：抛物线C：x2=4y的核心F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵弦AB中点到x轴的距离为5，∴y1+y2=10，∴|AB|=y1+y2+p=12．故答案为：12．14．（5分）设x，y知足约束条件，那么z=x﹣y的最小值为﹣2．【解答】解：由x，y知足约束条件作出可行域如图，A（﹣1，1），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z 有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）已知数列{a n}知足a1=1，a n+1=，记C n=，那么数列{C n}的前n项和C1+C2+…+C n= n•2n．【解答】解：数列{a n}知足a1=1，a n+1=，可得：，因此{}是等差数列，首项为：1，公差为：，因此=1+（n﹣1）=，C n==（n+1）•2n﹣1．令T n=C1+C2+…+C n=2×21﹣1+3×22﹣1+4×23﹣1+…+（n+1）•2n﹣1，…①，2T n=2×22﹣1+3×23﹣1+4×24﹣1+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n，…②，①﹣②可得：﹣T n=2+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n=﹣n•2n．T n=n•2n．故答案为：n•2n．16．（5分）已知概念在R上的函数f（x）知足：①f（1+x）=f（1﹣x），②在[1，+∞）上为增函数；假设x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，那么实数a的取值范围为（0，2）．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）的函数图象关于直线x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，∵当x∈[]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，∴|ax﹣1|＜|1﹣（x﹣1）|在[，1]上恒成立，即x﹣2＜ax﹣1＜2﹣x在[，1]上恒成立，∴1﹣＜a＜﹣1在[，1]上恒成立．设m（x）=1﹣，n（x）=﹣1，x∈[，1]，m（x）的最大值为m（1）=0，n（x）的最小值为n（1）=2．∴0＜a＜2．故答案为：（0，2）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=，直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=，求b边长【解答】解：（Ⅰ）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）==sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ω﹣），由于直线x=是函数f（x）图象的一条对称轴．因此f（）=±2，因此•ω﹣=k，（k∈Z），因此．由于0＜ω＜1，因此：当k=0时，ω=因此f（x）=2sin（x﹣）．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），因此函数的单调递增区间为[]（k∈Z），（Ⅱ）由于f（A）=，因此A﹣=kπ，解得A=k，由于A∈（0，π），那么A=．在△ABC中，由余弦定理：，因此：，即b2﹣3b﹣4=0，解得b=4或﹣1（舍去）．故：b=4．18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，每一个班级20名同窗，现有甲、乙两班本次考试数学分数如以下茎叶图所示：（I）依照茎叶图求甲、乙两班同窗数学分数的中位数，并将乙班同窗的分数的频率散布直方图填充完整；（Ⅱ）依照茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同窗数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅲ）假设规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同窗中，依照各班成绩为优秀的同窗人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同窗参加数学提优培训，求这12位同窗中恰含甲、乙两班所有140分以上的同窗的概率．【解答】解：（1）依照茎叶图得：甲班数学分数的中位数：=118，乙班数学分数的中位数：=128．（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（3）有频率散布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数别离为10、14，假设从中分层抽样选出12人，那么应从甲、乙两班各选出5人、7人，设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同窗”为事件A那么P（A）=×=，因此选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同窗的概率为．19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D别离为S′B，S′A的中点，将△S′CD 沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取SA中点F，连接DF，EF，∵SE=EB，SF=FA，∴EF∥AB，EF=，又∵CD∥AB，CD=，∴CD=EF，CD∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形，那么CE∥FD．∵CE⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，∴CE∥平面SAD；（Ⅱ）解：∵面SCD⊥面ABCD，面SCD∩面ABCD=CD，SD⊥CD，SD⊂面SCD，∴SD⊥面ABCD，∵AD，CD⊂面ABCD，∴SD⊥AD，SD⊥CD．又∵AD⊥DC，∴DA，DC，DS两两相互垂直，如下图，别离以DA，DC，DS为x，y，z轴成立空间直角坐标系D﹣xyz．那么A（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2），B（2，4，0），E（1，2，1），，，，设平面ECA，平面ECB的法向量别离为，，则，取y1=1，可得；，取y2=﹣1，得．∴cos＜＞=．∴二面角A﹣EC﹣B的平面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右核心为F（c，0），点P为椭圆C上的动点，假设|PF|的最大值和最小值别离为2和2．（I）求椭圆C的方程（Ⅱ）设只是原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，假设直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值【解答】解：（I）由已知得：，解得a=2，c=，∴b2=4﹣3=1椭圆方程为+y2=1（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，且x1+x2=，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即+m2=0，又m≠0，因此k2=，即k=±．由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2，∵|PQ|=•=，点O到直线的距离d==S△OPQ=|PQ|•d==≤1，当m2=1时取等号，的最大值为1．现在直线l的方程为y=±x±1时，S△OPQ21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）e x+b在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣ex+e﹣1．（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值；（2）假设实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）．（i）证明：0＜y＜x；（ii）假设x＞2，证明：y＞1．【解答】（1）由点（1，f（1））在切线上可知，f（1）=﹣e+e﹣1=﹣1，即切点为（1，﹣1）又f'（x）=﹣ae x+（1﹣ax）e x=e x（1﹣ax﹣a），由题可知f'（1）=﹣e，那么f'（1）=e1（1﹣2a）=﹣e，那么1﹣2a=﹣1，解得a=1，即f（x）=（1﹣x）e x+b，又由f（1）=﹣1，可得b=﹣1，故a=1，b=﹣1；即f（x）=（1﹣x）e x﹣1；由上知f'（x）=e x（1﹣x﹣1）=﹣xe x，当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故．（2）由实数x，y知足xe y=e x﹣1（x＞0）可得，，即，（i）先证y＜x，，由（1）知f（x）=（1﹣x）e x﹣1＜0=f（x）max，那么有，即证得y＜x；再证明y＞0，令g（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），那么g'（x）=e x﹣1＞0（x＞0），故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=0，故在（0，+∞）上恒有e x＞x+1，即，则，即y＞0，综上，0＜y＜x，证毕．（ii）由（1）可知，，令，那么，又由上可知，x＞0时，恒有（1﹣x）e x﹣1＜0，那么xe x﹣e x+1＞0恒成立，故恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递增，那么有，又因为故h（2）＞e，那么h（x）＞e，即x＞2时，h（x）＞e，即e y＞e，即y＞1，故x＞2时，y＞1；请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）假设曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程（Ⅱ）假设曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点别离为P，Q，求的取值范围，【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：（α为参数），∴曲线C2的一般方程：x2+（y﹣1）2=t2．（II）将C2的参数方程：（α为参数），代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0，∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈（2，2]，∴∈（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）假设b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）假设不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三第三次模拟考试数学(文)试题
众志成城卧虎藏龙地豪气干云秣马砺兵锋芒尽露披星戴月时书香盈耳含英咀华学业必成哈师大附中2018-2019 学年高三第三次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60 分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
一、选择题：本大题共12 个小题, 每小题 5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合 2A= 1,2,4 , B= x R x 2 则A B =（）A．1 B ．4 C ．2，4 D ．1，2，42. 已知i 为虚数单位, 2i 3i i =( ）A．-3+2i B ．3+2 i C ．3-2i D ．-3-2i3.. 已知等差数列a,a 2,a a a 15, 则数列a n 的公差d=(）n 2 3 5 7A．0 B ．1 C ．-1 D ．24. 与椭园2 2y xC : 1 共焦点且渐近线方程为y= 3x的双曲线的标准方程为( ）6 2A．2y2 1x B ．32x32 1y C.2x2 1y D ．32y32 1x5. 已知互不相同的直线l ,m, n 和平面，, y , 则下列命题正确的是( ）C 若。
na= 1.pN 7- m 。
n y- n,l /r, 则m 11 " ;D.若aLy.plLy. 则a//p.A．若l 与m为异面直线, l ,m, 则/ / B ．若/ / , l a, m . 则l / /mC.若l,y m, y n,l / / , 则m / /n D ．若a . . 则a / /6. 执行下面的程序框图，若p 0.9, 则输出的n=( ）A．5 B ．4 C.3 D ．27. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A．20+2 3 B ．18+2 3 C. 18+ 3 D ．20+ 3x y 3 08. 设点x，y 满足约束条件, 且x Z,y Z , 则这样的点共有( ）个x 5y 1 03x y 3 0A．12 B ．11 C.10 D ．99. 动直线l : x my 2m 2 0 m R 与圆 2 2C : x y 2x 4y 4 0交于点A,B ,则弦AB 最短为( ）A．2 B ．2 5 C.6 D ．4 210. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(文科)
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4} 2．（5分）已知i为虚数单位，（|2i|+3i）i=（）A．﹣3+2i B．3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i 3．（5分）已知等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，则数列{a n}的公差d=（）A．0B．1C．﹣1D．24．（5分）与椭圆C：共焦点且渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为（）A．x2B．C．y2D．5．（5分）已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（）A．6B．5C．4D．37．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20B．18C．18D．20+8．（5分）设点（x，y）满足约束条件，且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有（）个A．12B．11C．10D．99．（5分）动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，则弦AB的最短为（）A．2B．2C．6D．410．（5分）分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n=6时，该黑色三角形内共去掉（）个小三角形．A．81B．121C．364D．109311．（5分）在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3，则的最小值为（）A．9B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣3，﹣1]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=a x﹣2015+2017（a＞0且a≠1）所过的定点坐标为．14．（5分）在区间[2，a]上随机取一个数x，若x≥4的概率是，则实数a的值为．15．（5分）当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来．表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是（2）16．（5分）已知函数f（x）为定义域为R的偶函数，且满足f（+x）=f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时f（x）=﹣x．若函数F（x）=f（x）+在区间[﹣9，10]上的所有零点之和为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）17．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心及最小正周期；（Ⅱ）△ABC的外接圆直径为3，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f （）=，且acosB+bsinB=c，求sinB的值．18．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，分别取边AB，AC的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N满足BN=3NC．（Ⅰ）求证：MN∥平面A1EC；（Ⅱ）求三棱锥N﹣PCE的体积．20．（12分）已知抛物线C：x2=8y与直线l：y=kx+1交于A，B不同两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，所得的两条切线相交于点P．（Ⅰ）求证为定值；（Ⅱ）求△ABP的面积的最小值及此时的直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=axe x（a∈R），g（x）=lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若k=﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若k=1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{2，4}D．{1，2，4}【解答】解：∵集合A={1，2，4}，B={x∈R|x2＞2}={x|x＜﹣或x＞}，∴A∩B={2，4}．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，（|2i|+3i）i=（）A．﹣3+2i B．3+2i C．3﹣2i D．﹣3﹣2i【解答】解：（|2i|+3i）i=（2+3i）i=﹣3+2i．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}，a2=2，a3+a5+a7=15，则数列{a n}的公差d=（）A．0B．1C．﹣1D．2【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a5+a7=15，即3a5=15，得a5=5．又a2=2，∴．故选：B．4．（5分）与椭圆C：共焦点且渐近线方程为y=的双曲线的标准方程为（）A．x2B．C．y2D．【解答】解：根据题意，椭圆C：的焦点为（0，±2），则要求双曲线的焦点在y轴上，且c=2，设其方程为﹣=1，则有a2+b2=4，又由双曲线的渐近线为y=，则有=，解可得a2=3，b2=1，则双曲线的标准方程为：﹣x2=1；故选：D．5．（5分）已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．【解答】解：在A中，若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l与m平行或异面，故B错误；在C中，若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则由线面平行的性质定理得m∥n，故C正确；在D中，若α⊥β，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：执行如图所示的程序框图，有P=0.9，n=1，S=0，满足条件S＜P，有S=，n=2；满足条件S＜P，有S=+，n=3；满足条件S＜P，有S=++，n=4；满足条件S＜P，有S=+++=，n=5；不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值为5．故选：B．7．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20B．18C．18D．20+【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为边长是2的正方体截去三棱锥F﹣BGE，则该几何体的表面积为=18+．故选：B．8．（5分）设点（x，y）满足约束条件，且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有（）个A．12B．11C．10D．9【解答】解：点（x，y）满足约束条件的可行域如图：的三角形ABC区域，可知x∈Z，y∈Z，则这样的点共有12个．故选：A．9．（5分）动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，则弦AB的最短为（）A．2B．2C．6D．4【解答】解：∵动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R），∴（x﹣2）+（y+2）m=0，∴动直线l：x+my+2m﹣2=0（m∈R）过定点M（2，﹣2），∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心C（1，﹣2），半径r==3，d=|MC|==1，∵圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0交于点A，B，∴弦AB的最短距离为：2=2=4．故选：D．10．（5分）分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程，标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n=6时，该黑色三角形内共去掉（）个小三角形．A．81B．121C．364D．1093【解答】解：当n=1时，去掉1个白三角形，a1=1，当n=2时，去掉4个白三角形，a2=4，则a2﹣a1=3=31=32﹣1，当n=3时，去掉13个白三角形，a3=13，则a3﹣a2=9=32=33﹣1，当n=4时，去掉40个白三角形，a4=40，则a4﹣a3=27=33=34﹣1，当n=5时，去掉121个白三角形，a5=121，则a5﹣a4=81=34=35﹣1，由归纳法得当n=6时，去掉364个白三角形，a6=364=35=36﹣1．故选：C．11．（5分）在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3，则的最小值为（）A．9B．C．D．【解答】解：根据题意，正三角形ABC中，AB=3，则AB=BC=3，D是AC上的动点，设=m+n，同时有m+n=1，且m＞0，n＞0，=（m+n）•=m2+n•=9m+，又由m+n=1，且m＞0，n＞0，则=9m+=9（1﹣n）+=9﹣，分析可得：当n=1时，取得最小值；故选：D．12．（5分）若函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣3，﹣1]【解答】解：函数f（x）=2x+sinx•cosx+acosx，f′（x）=3﹣2sin2x﹣asinx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为3﹣2sin2x﹣asinx≥0，设t=sinx（﹣1≤t≤1），即有2t2+at﹣3≤0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，a≤﹣2t，由y=﹣2t在（0，1]递减，可得t=1时，取得最小值1，可得a≤1；当﹣1≤t＜0时，a≥﹣2t，由y=﹣2t在[﹣1，0）递减，可得t=﹣1时，取得最大值﹣1，可得a≥﹣1综上可得a的范围是[﹣1，1]，故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=a x﹣2015+2017（a＞0且a≠1）所过的定点坐标为（2015，2018）．【解答】解：由题意，根据指数函数的性质，令x﹣2015=0，可得x=2015，带入求解y=2018，∴函数f（x）过的定点坐标为（2015，2018）故答案为：（2015，2018）．14．（5分）在区间[2，a]上随机取一个数x，若x≥4的概率是，则实数a的值为8．【解答】解：由题意得：=，解得：a=8，故答案为：8．15．（5分）当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是（2）．【解答】解：168÷2=84 084÷2=42 042÷2=21...0 21÷2=10 (1)10÷2=5 05÷2=2 (1)2÷2=1…0 1÷2=0…1；∴168（10）=（2）．故答案为：（2）． 16．（5分）已知函数f （x ）为定义域为R 的偶函数，且满足f （+x ）=f （﹣x ），当x ∈[﹣1，0]时f （x ）=﹣x ．若函数F （x ）=f （x ）+在区间[﹣9，10]上的所有零点之和为 5 ．【解答】解：∵f （x ）是偶函数，∴f （）=f （﹣x ）=f （x ﹣）， ∴f （x ）的周期为T=2，作出f （x ）的函数图象如图所示：由图象可知f （x ）的图象关于点（，）对称．令F （x ）=0可得f （x ）==+， 令g （x ）=，显然g （x ）的函数图象关于点（，）对称．作出g （x ）在（，10]上的函数图象如图所示：由图象可知f （x ）与g （x ）在（，10]上有5个交点，根据对称性可知在[﹣9，]上也有5个交点，∴F （x ）在[﹣9，10]上的所有零点之和为5×1=5．故答案为：5．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题）17．（12分）已知函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心及最小正周期；（Ⅱ）△ABC的外接圆直径为3，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f （）=，且acosB+bsinB=c，求sinB的值．【解答】（本小题满分12分）解：（I）函数f（x）=4sinxcosx+sin2x﹣3cos2x+1=sin2x+cos2x﹣3（cos2x）+1=2sin2x﹣2cos2x=4sin（2x﹣）令2x﹣=kπ，k∈Z．可得：x=∴对称中心（，0）（k∈Z），最小正周期T=．（Ⅱ）由f（）=，即4sin（﹣）=可得：a=3．由正弦定理：，∴sinA=由：acosB+bsinB=c，可得sinAcosB+sinBsinB=sinC．∵A+B+C=π∴sinAcosB+sinBsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．即sinBsinB=cosAsinB．∵0＜B＜π，sinB≠0．那么：sinB=cosA＞0．∴sinB=cosA==．18．（12分）哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；（Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．【解答】解：（I）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128．……（4分）（II）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．……（8分）（III）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e现从甲乙两位同学的不低于14（0分）的成绩中任意选出2个成绩有：（a，b），（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（d，e）共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）共6种因此事件A发生的概率P（A）=．……（12分）19．（12分）已知△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，分别取边AB，AC的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N满足BN=3NC．（Ⅰ）求证：MN∥平面A1EC；（Ⅱ）求三棱锥N﹣PCE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取A1E中点F，连接MF，CF，∵M为棱A1D的中点，∴MF∥DE且MF=，而△ABC中，D，E为边AB，AC的中点，则DE∥BC，且DE=，∴MF∥BC，MF∥NC且MF=，∴四边形MFCN为平行四边形……（4分）∴MN∥FC，……（5分）∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC，∴MN∥平面A1EC．……（6分）（Ⅱ）取BD中点H，连PH．∵AB⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥DA1，DE⊥BD，∵DB⊥DA1，DE∩BD=D，∴DA1⊥面BCDE，∵PH∥A1D，∴PH⊥面BCDE，∴PH为三棱锥P﹣NCE的高．……（9分）∴PH=，S．∴V N=V P﹣NCE==……（12分）﹣PEC20．（12分）已知抛物线C：x2=8y与直线l：y=kx+1交于A，B不同两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，所得的两条切线相交于点P．（Ⅰ）求证为定值；（Ⅱ）求△ABP的面积的最小值及此时的直线l的方程．【解答】证明：（Ⅰ）设A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由消y得x2﹣8kx﹣8=0，方程的两个根为x1，x2，∴△=4p2k2+4p2＞0恒成立，x1+x2=8k，x1x2=﹣8，∵A，B在抛物线C上，∴y1=，y2=，∴y1y2==1，∴=x1x2+y1y2=﹣8+1=﹣7为定值．解（Ⅱ）由x2=8y即y=x2，∴y′=x，∴k AP=x1，k BP=x2，∴直线AP的方程为：y﹣=x1（x﹣x1）即y=x1x﹣x12，①同理直线BP的方程为y=x2x﹣x22，②由①②得2x（x1﹣x2）=（x1﹣x2）（x1+x2），而x1≠x2，故有x==4k，y==﹣1，即点P（4k，﹣1），∴|AB|=•=•=4•，点P（4k，﹣1）到直线l：y=kx+1的距离d=，=|AB|•d=4（2k2+1），∴S△ABP∵k2＞1，∴当k2=0时，即k=0时S△ABP有最小值为4，此时直线方程l为y=1．21．（12分）已知函数f（x）=axe x（a∈R），g（x）=lnx+kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若k=﹣1，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若k=1时有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）k=1时，g（x）=lnx﹣x的定义域为（0，+∞），．……（1分）令＞0，得0＜x＜1，令，得x＞1，所以g（x）在（0，1）上是增函数，（1，+∞）上是减函数．……（4分）（Ⅱ）当k=1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x≥lnx+x+1恒成立．因为x＞0，所以a≥．……（5分）令h（x）=，则．……（6分）令p（x）=﹣lnx﹣x，，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（）=1﹣，p（1）=﹣1＜0，故存在x0∈（，1），使得p（x0）=﹣lnx0﹣x0=0，故lnx0+x0=0，即．当x∈（0，x0）时，p（x）＞0，h′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＜0，h′（x）＜0；∴h（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，……（9分）∴h（x）max=h（x0）==1，……（11分）故a的取值范围是[1，+∞）．……（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为（t为参数），A（0，1），且曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求的取值范围，【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x．曲线C2，参数方程为：（α为参数），∴曲线C2的普通方程：x2+（y﹣1）2=t2．（II）将C2的参数方程：（α为参数），代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0，∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8﹣4＞0，∴||∈，∴∈∪，∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1，∴t1与t2同号，∴|t1|+|t2|=|t1+t2|，由的几何意义可得：=+===2||∈（2，2]，∴∈（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|，b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，它等价于或或，解得x＞1或x＜﹣1或x∈∅；∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2，解得b＜﹣或b＞1，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．。
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哈师大附中2018年高三第三次模拟考试理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上.2回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. A. B. C. D.第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+011x x x A ，B={0，1，2，3}，则A∩B=( )A.{-1，0，1}B.{0，1}C.{-1，0}D.{0}2.已知复数()ii z +-=2212，则复数z 的模为()A.5B.5C.103D.253.在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X ～N(85，9)，若已知P(80<X≤85)=0.35，则从哈市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90分的概率为( )A.0.85B.0.65C.0.35D.0.154.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，S 10=3S 5，则a 6= A.2 B.2 C.4 D.15.已知544cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-a π，则sin2a=( ）A.257-B.257C.-51D.516.非零向量,=-，()0·=-，则-与夹角的大小为( ） A.135° B.120° C.60° D.45°7.下面是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.37 B.38 C. 39 D. 310 8.已知实数a ，b满足0≤a ≤1，0≤6≤1，则函数f(x)=x 3-ax 2+bx+1存在极值的概率为( ) A.91 B. 31 C.52 D.989.执行下面的程序框图，若输入S ，a 的值分别为1，2，值为4，则m 的取值范围为( )A.3<m ≤7B.7<m ≤15C.15<m ≤31D.31<m ≤63第7题图 第9题图10.已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：12222=-by a x (a>0，b>0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，|F 1F 2|=2|OP |，△PF 1F 2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A.12222=-y xB.14422=-y xC. 14822=-y xD.14222=-y x11.棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AD 中点，过点B 1且与平面A 1BE 平行的正方体的截面面积为( ) A.5 B.52 C.62 D.6 12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤=+0,340,)(21x x x x e x f x ，函数a x f y -=)(有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为A.[4，5)B..(4，5]C.[4，+∞)D.(一∞，4]二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.过抛物线C ：x 2=4 焦点F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若弦AB 中点到x 轴的距离为5，则|AB |= ；14.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x ，则z=x-y 的最小值为 ；15.已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a a 2n n+. 记C n =n a n 2，则数列{C n }的前n 项和C 1+C 2+…+C n =16.已知定义在R 上的函数f(x)满足：①f(1+x)=f(1-x)，②在[1，+∞)上为增函数；若x ∈[21，1]时，f(ax)<f(x-1)成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题.第22，23题为选考题.)17.(本小题满分12分)已知)cos sin ,sin 2(a x x x ωωω+=，()()x x x ωωωcos sin 3,cos b -=，10<<ω，函数b a x f ·)(=，直线65π=x 是函数f(x)图像的一条对称轴 (I)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC 中，已知f(A)=0，C=3，a=13，求b 边长. 18.(本小题满分12分)哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数(满分150分)，每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：(I)根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；(Ⅱ)根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(Ⅲ)若规定分数在[100，120)的成绩为良好，分数在[120，150)的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率.19.(本小题满分12分)已知等腰直角△S ＇AB ，S ＇A=AB=4，S ＇A ⊥AB ，C ，D 分别为S ＇B ，S ＇A 的中点，将△S ＇CD 沿CD 折到△SCD 的位置，SA=22，取线段SB 的中点为E ． (I)求证：CE ∥平面SAD ；(Ⅱ)求二面角A-EC-B 的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：12222=+by a x (a>b>0)的右焦点为F(c ，0)，点P 为椭圆C 上的动点，若|PF |的最大值和最小值分别为32+和3-2.(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设不过原点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，若直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1-ax)e x +b 在点(1，f(1))处的切线方程是y=-ex+e-1. (I)求a ，b 的值及函数f(x)的最大值； (Ⅱ)若实数x ，y 满足xe x =e x -1(x>0).(i)证明：0<y<x ； (ii)若x>2，证明：y>1.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为：θρcos 2=.(1)若曲线C 2参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t x (a 为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(Ⅱ)若曲线C 2参数方程为：⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t x (t 为参数)，A(0，1)，且曲线C 1与曲线C 2交点分别为P ，Q ，求AQ1AP 1+的取值范围. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|2x+b|+|2x-b|.(I)若b=1，解不等式f(x)>4；(Ⅱ)若不等式f(a)>|b+1|对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围数学三模答案（理科）一、选择题二、填空题13. 12 ； 14. -2 ； 15. ； 16.（0，2）三、解答题17.解：（1）是函数图像的一条对称轴，的增区间为：（2）（方法一）在中，由余弦定理：（方法二）由（1）知在中，由正弦定理：18.解（1）甲班数学分数的中位数：乙班数学分数的中位数：（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度. （3）有频率分布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人，设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A 则所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为.19解：(1)证明：取中点，连接又四边形为平行四边形(2)面面,面面面面面又两两互相垂直如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系则设平面,平面的法向量分别为则取取二面角A-EC-B 的平面角的余弦为31-20.解：（I ）由已知得：椭圆方程为（II）设（易知存在斜率，且），设由条件知：联立(1)(2)得：点到直线的距离且所以当时：21.解：（Ⅰ），由题意有，解得故，，，所以在为增函数，在为减函数．故有当时，（Ⅱ）证明：（ⅰ），由（Ⅰ）知，所以，即又因为，所以（过程略），故（ⅱ）法一：由（1）知法二：，构造函数，，因为，所以，即当时，，所以在为增函数，所以，即，故22.（1）曲线的直角坐标方程为：曲线的普通方程为：（2）将的参数方程：代入的方程：得：。