数理方程特殊方程 复习课
《认识方程复习课》教案
此外，我在教学过程中也注意到了一些学生对于难点的掌握情况。对于一元一次方程的解法，大部分同学能够熟练掌握，但在二元一次方程组的解法上，部分同学还存在着一定的困难。针对这个情况，我计划在下一节课中进行针对性的讲解和练习，帮助学生突破这个难点。
在导入新课环节，通过提问的方式引导同学们思考日常生活中的方程问题，这种方法能够激发同学们的兴趣。但在实际操作中，部分同学对于问题的理解还不够深入，这说明我在问题设计上可能需要更加贴近学生的生活实际，以便他们更好地理解和接受。
在新课讲授环节，我发现同学们对于一元一次方程和二元一次方程组的解法掌握得比较好，但在案例分析时，有些同学对于如何将实际问题转化为方程模型还显得有些吃力。针对这一点，我考虑在今后的教学中，可以多设计一些实际问题，让学生有更多的机会进行实践操作，从而提高他们建立方程模型的能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《认识方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到未知数的问题？”比如，如果两个苹果和三个橘子一共重500克，那么一个苹果和一个橘子的重量是多少？这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索方程的奥秘。
5.激发学生探索数学问题的兴趣，提高数学学习自信心，培养终身学习的意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）方程的定义与概念：强调方程是表示两个表达式相等的一种数学语句，其中包含未知数。例如：3x + 5 = 14，重点讲解未知数、等号的意义及方程两边的平衡性。
数理方程与特殊函数数理方程复习
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
数理方程与特殊函数复习课
矩形域上的二维拉普拉斯方程
u (c0 d0 x)22
(cnenx dnenx )Yn (n y)
n10((1112;;2221))
an ch n x bn sh n x
若X提供齐次边界条件
u (c0 d0 y)22
(cnen y dnen y )Xn (n x)
n10((1112;;2221))
n 10((1112;;2221))
利用正交性求解系数
c0
1 f
f 0
( y)dy
an
2 f
f
( y)Yn (n y)dy
0
c0 d0e
1 f
f
( y)dy
0
求解方程组即可
环（圆）域上的二维拉普拉斯方程
环域
将定界条件带入
利用正交性求系数
环（圆）域上的二维拉普拉斯方程
圆域
将定界条件带入
n10((1112;;2221))
c0
1 l
l 0
( x)dx
d0
1 l
l
0
( x)dx
Cn
2 l
l 0
( x)Xn (n x)dx
Dn
2 l
1
na
l
0
( x)Xn(n x)dx
一维热传导方程
u(
x,
t
)
c2,2 0
Cnea2n2t X n (n x)
n10((1112;;2221))
1 l
X (x) X (x) 0
X
'(0)
X
'(a)
0
n
( n a
)2
0
n 0,1, 2,....
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。
在学习数学时，数理方程是必修课程之一。
但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。
下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。
数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。
这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。
例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。
例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。
只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
《方程的复习课》课件
二元一次方程组的应用
总结词
二元一次方程组在日常生活和科学研究中有着广泛的 应用，如路程问题、工资问题、经济问题等。
详细描述Байду номын сангаас
二元一次方程组在许多实际问题中都有应用，例如在路 程问题中，我们可以使用二元一次方程组来表示两个物 体的相对位置和速度；在工资问题中，我们可以使用二 元一次方程组来表示工人和雇主之间的利益关系；在经 济问题中，二元一次方程组可以用来描述供求关系、价 格变动等问题。此外，在物理学、化学、工程学等领域 中，二元一次方程组也经常被用来描述各种现象和规律 。
04
方程的解法技巧
消元法
总结词
通过消除两个变量，简化方程组的方 法。
详细描述
消元法是一种常用的解线性方程组的 方法，通过加减消元或代入消元的方 式，将方程组中的变量消除，从而得 到一个或多个简单的一元一次方程， 进而求解出方程组的解。
代入法
总结词
通过将一个方程的解代入另一个方程，求解 未知数的方法。
详细描述
代入法是解线性方程组的一种基本方法，通 过将一个方程的解代入另一个方程，将一个 未知数消除，从而将问题简化为一个一元一 次方程，进而求解出未知数的值。
公式法
总结词
通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解的方法。
详细描述
公式法是一种通用的解线性方程组的方法， 通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解未知数的值。这种方法 适用于任何线性方程组，但需要对方程进行
适当的变形。
图像法
总结词
通过绘制方程的图形，直观地求解未知数的方法。
详细描述
图像法是一种直观的解线性方程组的方法，通过绘制 方程的图形，可以直观地观察到方程的解。这种方法 适用于一些简单的线性方程组，但需要具备一定的几 何基础。
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
sin sin
n1 (L)2 (na)2
L
L
原定解问题解为：
u(t,
x)
2aL
n1
(1)n1
(L)2 (n
a)2
sin
n at
L
sin
n x
L
sin
L
a
1
sin
x
a
16
2、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：
u(x,t) V (x,t) W (x)
2 l
l 0
l2
32 2a2
sin
n
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l2
32 2a2
,
n
4
Dn
2
n a
l 0
sin
4
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l
4
a
,
n
4
27
所以，定解问题的解为：
V
(
x,
t
)
l2 32 2a
2
cos
4 l
a
t
l 4
a
sin
4 l
a
t
sin
2、基本要求 :
叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.
3、主要方法 :
(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园 域上的周期性条件);
(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。
22
4、主要步骤 :
(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是使边界条件表 达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极坐标， 柱面坐标和球坐标表示定解问题；
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
《数理方程与特殊数函数》课程教学大纲
《数理方程与特殊数函数》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：数理方程与特殊函数英文名称：Equations of Mathematical Physics and Special Functions二、课程代码及性质课程代码：0700081课程性质：必修三、学时与学分总学时：40（理论学时：40学时；实践学时：0学时）学分：2.5四、先修课程先修课程：微积分，线性代数，复变函数与积分变换五、授课对象本课程面向电子科学与技术，集成电路设计与集成系统（包括卓越计划实验班），光电信息科学和与工程（包括中法班），微电子科学与工程，自动化（包括理工交叉创新实验班），物流管理，电子信息工程，通信工程，电磁场与无线技术，信息类数理提高班，基于项目信息类专业教育实验班，电信卓越计划实验班，工程科学，电气工程及其自动化（包括电气卓越计划实验班），水利水电工程，工程力学，生物医学工程，软件工程，数字媒体技术等专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）通过本课程教学，提升学生利用数学知识分析和解决实际问题的能力；使学生了解数学物理方程的实际背景，并使学生意识到掌握本课程基本理论和方法对专业知识学习以及今后的科学实践的重要性。
正确掌握数学物理方程与特殊函数的基本概念、基本理论和基本方法，熟练掌握几类经典方程的求解方法（包括分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法、试探法等），掌握特殊函数的性质并能熟练应用特殊函数求解常见数学物理问题。
七、教学重点与难点：课程重点：三类方程的导出及物理背景、各类定解条件及定解问题、分离变量法、行波法、积分变换法、贝塞尔函数。
课程难点：格林函数法的理解和应用；贝塞尔函数性质的理解及在分离变量法中的应用；积分变换法在求解不同类型定解问题时的应用等。
八、教学方法与手段：教学方法：1、启发式讲授法：最常用的方法；2、互动式教学：组织课堂讨论，引导学生发现问题、分析问题、解决问题，倡导讨论和争论，对于每一章节的重点内容，设计学生必做的论述题；3、研究性学习：学生自由结合组合成学习小组，指导他们结合专业方向学习设计能够用数理方程与特殊函数课程中三类典型偏微分方程进行数学建模的实际物理或者专业实验，然后进行相关物理量的测量、分析，同时进行数学模型的理论计算和计算机软件仿真等工作，并将其实验报告作为平时成绩的重要参考。
数理方程-总结复习及练习要点(1)
数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。
在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。
下面是数理方程的总结复习及练习要点。
一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。
二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。
三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。
因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。
《认识方程复习课》(教案)-四年级下册数学北师大版
《认识方程复习课》（教案）四年级下册数学北师大版教案：《认识方程复习课》一、教学内容本节课主要复习四年级下册数学北师大版中关于方程的知识。
教材的章节包括：第100页至102页，内容涉及方程的定义、简单方程的解法以及方程的实际应用。
二、教学目标通过本节课的复习，使学生能够熟练掌握方程的基本概念，理解方程的解法，并能够将方程应用到实际问题中。
三、教学难点与重点重点：方程的定义、简单方程的解法以及方程的实际应用。
难点：方程的实际应用，如何将实际问题转化为方程。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：（1）教师出示一个实际问题：小明有苹果5个，小红给了小明3个苹果，请问小明现在有多少个苹果？（2）学生尝试用方程来解答这个问题。
2. 例题讲解：（1）教师引导学生回顾方程的定义，解释方程的意义。
（2）教师给出一个简单方程：2x + 3 = 7，引导学生解这个方程。
3. 随堂练习：（1）教师给出几个简单方程，让学生独立解答。
（2）教师出示一些实际问题，让学生尝试用方程来解答。
4. 方程的实际应用：（1）教师出示一个实际问题：一家商店举行打折活动，原价100元的商品打8折，请问打折后的价格是多少？（2）学生尝试用方程来解答这个问题。
六、板书设计方程的定义：简单方程的解法：方程的实际应用：七、作业设计（1）小明有苹果8个，小红给了小明3个苹果，请问小明现在有多少个苹果？（2）一件衣服原价60元，打9折后，请问打折后的价格是多少？答案：（1）x = 11（2）x = 54（1）一个篮子原来有10个鸡蛋，又放入了3个鸡蛋，请问现在篮子里有多少个鸡蛋？（2）一辆汽车原价100万元，降价10万元后，请问现在的价格是多少？答案：（1）x = 13（2）x = 90八、课后反思及拓展延伸通过本节课的复习，学生对方程的基本概念和解法有了更深入的理解，并能将方程应用到实际问题中。
数理方程重点总结PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应 。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程 ）
X X 0 （空间变量的微分方程 ）
二、空间变量常微与边 界条件捆绑，构成本征 值问题。（解本征值问 题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0
数理方程复习课件
x x x c1 e xe e dx c1
x e x xe x e x c1 x 1 c1 e
dy x 1 c1 e x dx
y x 1 c1 e x dx
所以原微分方程的通解为
n
性质5的推论常被当做级数发散的充分条件来使用。
即 lim un 0 级数 n 1 2n 1
n 1 因为lim un lim ， n n 2n 1 2
n 所以，级数 是发散的。 n 1 2n 1
三、 常数项级数的敛散性判别法
1、收敛准则：
定理 1 : 正项级数 un 收敛的充分必要条件
2、比较判别法: 定理 2 比较判别法 设 un 与 v n都是
正项级数, 且un v n n 1,2,
则 1) 当级数 v n 收敛时, un 也收敛 ;
2) 当级数 un 发散时, v n 也发散。
则微分方程的通解为 y e P x dx Q x e P x dx dx c
e
1 dx x
1 dx 1 x e dx c ln x
1 x dx c x ln x
三、通过适当的代换求解
dy x y 5 例 求 的通解 . dx x y 2
解
dy du 1 令 x y u, dx dx du u 5 代入原方程 1 dx u 2
解得u 2 14x C ,
2
2 代回u x y, 得 ( x y 2) 14x C1 ,
数理方程复习数理方程课件
复习
3. 在扇形区域内求下列定解问题
u 0,
0 ,r a
u(r,0) u(r, ) 0, r a
u(a, ) f ( ),
0
r2 r 0 0
u(0,)
(0)(r) ()(r) 0
u(r, ) (r)( )
(0) () 0
1 r
r
r
1 r2
0
1 r
1 r2
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
X X 0, 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
0
X 0 X (x) Ax B A B 0 X (x) 0
2 0 X 2 X 0
X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0 , X (l) Bsin l 0
0
l
l n
l
n
xd sin
0
l
x
2
n
x sin n
l
x |l0
2
n
l n
sin xdx
0
l
2l n
n2 2 cos l
x
|l0
2l
n2
2
(1)n 1
0, 4l
n2
2
,
n为偶数 n为奇数
u l
2 n1
2n
4l 1
2
2
e
2
n12
l2
2a2
t
cos
2n 1 x
l
HUST 数学物理方程与特殊函数
Bn
sin
n
Cnr
Байду номын сангаас
n
En
sin
沪教版五年级下数学第4讲《方程复习》教案(学生版)
沪教版五年级下数学第4讲《方程复习》教案（学生版）一. 教材分析《方程复习》是沪教版五年级下数学的一讲内容。
这部分内容主要让学生复习和巩固方程的知识，包括等式的性质、方程的解法等。
通过复习，使学生能够进一步理解和掌握方程的概念，提高解方程的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
二. 学情分析五年级的学生已经学习过方程的知识，对等式和方程的概念有初步的理解和认识。
但是，部分学生可能对一些特殊的方程解法还不够熟练，需要通过复习和练习来提高。
此外，学生可能对一些概念的理解还不够深入，需要通过讲解和举例来进一步巩固。
三. 教学目标1.让学生理解和掌握方程的概念，明确等式和方程的关系。
2.让学生熟练掌握解方程的方法，包括代入法、加减法、乘除法等。
3.培养学生解决实际问题的能力，能够运用方程解决一些简单的实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生理解和掌握方程的概念，明确等式和方程的关系。
2.教学难点：让学生熟练掌握解方程的方法，包括代入法、加减法、乘除法等。
五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法。
通过讲解和举例，让学生理解和掌握方程的概念和解法。
通过练习和讨论，让学生巩固和提高解方程的能力。
六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、课件等。
2.学具准备：练习本、笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些日常生活中的实例，引导学生思考和理解等式和方程的概念。
例如，妈妈买了一些苹果和香蕉，问学生怎样用一个等式来表示妈妈买的水果总数。
2.呈现（10分钟）讲解等式和方程的概念，明确等式是方程的基础，方程是等式中含有未知数的数学表达式。
通过一些示例，让学生理解和掌握方程的解法，包括代入法、加减法、乘除法等。
3.操练（10分钟）让学生做一些练习题，巩固和提高解方程的能力。
可以设置一些难易不同的题目，让学生根据自己的实际情况选择适合自己的题目。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，分享自己解方程的方法和经验。
数理方程特殊方程 复习课
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(1),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
X
n
(
x)
Bn
sin
n x
L
,
(n
1,
2,
)
X X 0
(2),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
(n 1, 2,3 ) (n 0,1, 2,3 )
n x
Xn (x) Bn cos L , (n 0,1, 2, )
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函 数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；
(4)、由原定解问题初值条件把把初始函数按固有函数 系展开后通过比较系数得出T n(t)的定解条件；
(5)、求出T n(t) 。
30
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
5、边界条件齐次化方法
(1)、一般方法
采用未知函数代换法：
u(x, t) V (x, t) W (x, t)
选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是 齐次的。(采用多项式函数待定法求W(x,t))。
a
1 1
所以
a11
a21
a12
a22
Q
a11
华中科技大学数理方程课件——数理方程复习
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
4. 求解下列定解问题 x 0, y 0 u xy 1, u (0, y ) y 1, y 0 u ( x,0) 1, x0 解法一（积分变换法） 记 Ly [u( x, y)] U ( x, p) ，则 d d 1 x pU ( x, p) 1 1 p U ( x, p ) U ( x, p ) 2 C dx p dx p p 1 1 由于 U (0, p) Ly [ y 1] 2 ，于是 U ( x, p) x 1 1 p p p2 p2 p 从而所求解为：
n x l
n 2 n l 2 xd sin x x sin x |0 0 l n l n
l
l
0
sin
n为偶数 0, n l 2l n 2 2 cos x |0 2 2 (1) 1 4l , n为奇数 n l n n 2 2
l 4l u e 2 2 2 n1 2n 1
2hl2 2 l n Cn u ( x,0) sin xdx 2 c(l c)n 2 l 0 l
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
2. 解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为 u (0, t ) u (l , t ) u ( x,0) x, 0, 0 x x 2 u 2 u , 0 x l, t 0 a 2 x t u (l , t ) u (0, t ) 0, 0, t 0 x x 0 xl u ( x,0) x, u( x, t ) X ( x)T (t ) u (0, t ) X (0)T (t ) 0 x T X a 2TX u (l , t ) X (l )T (t ) 0 T X x 2 aT X X (0) 0, X (l ) 0
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)
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例5、求证：
1
4 r
(M
M0)
其中
M , M0 R3
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
证明：当M不等于M0时，直接计算可得：
1
4
r
0
22
1
0.5 n 0
0.5
(2)
W (0, x) (x),Wt (0, x) (x)
求解步骤：
28
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)、求下面齐次定解问题对应的固有值问题
LtW LxW 0, (t 0, x1 x x2 )
1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
cSdxutdt k1(u u1)2 rdxdt
所以，方程为：
k
c
uxx
ut
2k1
cr
(u
u1)
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、方程的化简
1、写出特征方程：a11
dy dx
2
2a12
dy dx
a22
0
2、计算 a122 a11a22
27
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
3、固有函数值方法(一般分离变量求解)
定解问题一般形式：
LtW LxW f (x,t), (t 0, x1 x x2)
a1Wx (t, x1) 1W (t, x1) 0 a2Wx (t, x2 ) 2W (t, x2 ) 0
n
2 L2
(n 0,1, 2, 3 )
n 1
Xn (x) Bn cos
2 x, (n 0,1, 2,
L
)
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0
(5), ( 2 ) ()
n n2
(n 0,1, 2,3 )
n () An cos n Bn sin n,(n 0,1, 2, )
(5)、求出T n(t) 。
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
4、齐次化原理求解
齐次化原理1
如果 W (M ,t; )
满足方程： 2
t
2
t
L, (M
0, t
t
R3
,t )
f , M
那么非齐次柯西问题
2u
t
2
u t0
Lu 0, u
(2)、求解固有值问题
(3)、求解其它常微分方程对应于固有值的解
(4)、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。
问题：最基本分离变量对定解问题的要求？ 2、常涉及的几种固有值问题
24
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(1),
X
固有函数为：Xn(x) (2)、令一般解为：
W (x,t) Tn (t) X n (x)
29
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函 数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；
(4)、由原定解问题初值条件把把初始函数按固有函数 系展开后通过比较系数得出T n(t)的定解条件；
选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是 齐次的。(采用多项式函数待定法求W(x,t))。
(2)、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以 令：
u(x,t) V (x,t) W (x)
33
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
(三)、δ函数
δ函数是指满足下面两个条件的函数
(1). ( x x0 ) 0, ,xxxx0 0
(2).
b
a
(x
x0 )dx
1, 0,
x0 x0
(a, b) (a, b)
例4、求证：
(
x)
lim
u
sin
2 (xu) x2u
19
1
0.5 n 0
0.5
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0.5
00
1 0.8
u
t
Lu
f
t, M , (M
R3,t
0)
的解为：
u t0 0
u .tW t, M ; d .0 32
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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0.6 0.4 x 0.2
5、边界条件齐次化方法
(1)、一般方法
采用未知函数代换法：
u(x, t) V (x, t) W (x, t)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
数理方程与特殊函数
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
习题课
(一)、定解问题的建立 (二)、方程的化简
(三)、δ函数 (四)、分离变量方法
2
1
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3).化简、整理算式。
如何写出三类边界条件？ (1)、明确环境影响通过的所有边界；
(2)、分析边界所处的物理状况； (3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1 一根半径为r,密度为ρ，比热为c，热传导系数
为k的匀质杆。如果同截面上的温度相同，其侧面与
温度为u1的介质发生热交换，且热交换系数为k1.求 杆上温度满足的方程
x x+dx
x
解：物理量为杆上温度u(x,t),取微元[x,x+dx]
在dt时间里，微元段获得的热量为：
0.6 0.4 x 0.2
分析：需证明等式右端满足δ函数两条件。
证明：当x=0时，考虑到：
lim [lim
u x0
sin2 (xu) x2u ]
lim
u
u
又当x不等于0时有：
0 sin2 (xu) 1
x2u x2u
lim sin2 (xu) 0
u x2u
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
u g1
u g1 d f2
f1 f2
u f1x at f2 x at 是原方程的通解
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例3 化下面方程为标准型
uxx 4uxy 5uyy ux 2uy 0
解： a122 a11a22 1 0
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(3),
X
(0)
0,
X
(L)
0
(n 1)2 2
n
2 L2
(n 0,1, 2, 3 )
n 1
X n (x) Bn sin
2 x, (n 1, 2,
L
)
(4),
X X
X 0(0) 0, X (L) Nhomakorabea0
(n 1)2 2
方程属于椭圆型
dy 2 i dx
y 2x x
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Q
x x
y y
2
1
1 0
所以
a11 a21
a12
a22
Q
a11
a21
a12 a22
QT
2
1
1 1 0 2
2 2
5
1
1 0
k ux (x dx,t)S ux (x,t)Sdt
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
该热量一部分Q1用于微元段升温，另一部分Q2从侧面流出
Q1 cSdxutdt Q2 k1(u u1)2 rdxdt