幂函数

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幂函数运算公式大全

幂函数运算公式大全
幂运算常用的8个公式如下：
1、同底数幂相乘：a^m·a^n=a^（m+n）。

2、幂的乘方：（a^m）n=a^mn。

3、积的乘方：（ab）^m=a^m·b^m。

4、同底数幂相除：a^m÷a^n=a^（m-n）（a≠0）。

5、a^（m+n）=a^m·a^n。

6、a^mn=（a^m）·n。

7、a^m·b^m=（ab）^m。

8、a^（m-n）=a^m÷a^n（a≠0）。

注意：
数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西的布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。

幂不符合结合律和交换律。

因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。

幂函数

幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.1.下列函数是幂函数的是( )(A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2(D) y=2.下列说法正确的是( )(A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数; (C) y=是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0不是偶函数. 3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( )(A) y=x -2(B) y= (C) y= (D) y=4．下列命题中正确的是（）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 5．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（）A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-6．若a <0，则0.5a、5a、5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a7.比较两个数的大小（1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--32x x 21x 41x 21x -课后作业1 ．已知3332512,(),()22R P Q -===，则P 、Q 、R 的大小关系是（）A ．P Q R <<B ．Q R P <<C ．Q P R <<D ．R Q P <<2 ．函数的值域是（）A ．B ．C ．D ． 3．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c 的图像大致形状是6．若函数y =a x +b-1(a >0且a ≠1 )的图象经过一、三、四象限,则正确的是（）A ．a >1且b <1B ．0<a <1 且b <0C ．0<a <1 且b >0D ．a >1 且b <07．若10a -<<,则式子1333,,aa a 的大小关系是（）A ．1333aa a >> B ．1333aa a >> C ．1333aa a >> D ．1333a a a >> 8．已知函数)2008(,4)20081(2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为（）A ．-4B ．-2C ．0D ．2xy 2=[)∞+,0[)∞+,1()∞+∞-,),2[∞+0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===,,a b c a c b <<c a b <<a b c <<b c a <<ABC。

幂函数

因为0 x1 x 2 , 所以x1 x2 0, x1
x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x 2 ) 即幂函数f ( x ) x 在[0,)上的增函数 .
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
1 2
1 2
则求m的取值范围.
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
α<0
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论
1 =1，2，3， 2
，
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域：值域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值域：[0, ) 奇偶性：在R上是偶函数单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
y=x 2
2
1
(-1,1)
-4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2

幂函数总结

(1)幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂x α的系数为1.(4)只有1项． (2)幂函数的图象与性质幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1 的图象与性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R[0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)1．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．(4)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (5)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，1、若()()22251,,4,1,1,,12xxy x y y x y x y x y x y a a ⎛⎫====+=-==> ⎪⎝⎭上述函数是幂函数的个数是( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1C.32 D ．23、幂函数224(1)m y m m x -=-+在第一象限内单调递减，求实数m 的取值集合（）A.(),2-∞ B.{}0 C.{}1 D.{}0,14．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式． 5．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则a 的取值范围是________．6．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >15．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x 23n n－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或27．已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞ca ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .若不分离参数，其关键点是： ①不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，转化为f (x )min >A ，从而求f (x )的最小值． ②不等式f (x )<A 在区间D 上恒成立，转化为f (x )max <A ，从而求f (x )的最大值．8．设a ＝20.3，b ＝30.2，c ＝70.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <b B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 9、已知函数2243()(1)m m f x m m x -+=--是幂函数，且其图像与y 轴没有交点，则实数m =( )A.2或-1B.2C.4D.-1 10、已知点(,9)m 在幂函数()(2)nf x m x=-的图象上，设1312(),(ln ),()32a f mb fc f -===则,,a b c 的大小关系为( )A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<11、已知幂函数()y f x =的图象过12(,)22，则2log (2)f 的值为( )A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 12、设11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭,则使幂函数a yx =为奇函数且在()0,?+∞上单调递增的a 值的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.513、已知函数,,a b c y x y x y x ===的图像如图所示,则,,a b c 的大小关系为( )A.c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<14、已知函数1()2x f x -=,则2(2)(log 12)f f +=_________________.15、幂函数()f x 的图像过点()3,3,则()22f x x -的减区间为__________.16、2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x 2-3n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或217、已知221(2)(2)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是________.15、已知幂函数21()*()()m m f x x m N -+=∈的图象经过点(2,2)(1).试求m 的值并写出该幂函数的解析式 (2).试求满足(1)(3)f a f a +>-的实数a 的取值范围18.幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________.19.若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )20下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x )C ．y＝ln(1＋x ) D ．y ＝ln(2＋x )。

高考数学知识点幂函数知识点总结

高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。

它在求解各类问题中具有广泛的应用。

本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。

一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。

2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。

3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。

二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。

由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。

2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。

具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。

3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。

具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。

4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。

幂函数

1111.2,,,2.2,,,222221111.,2,2,.2,,2,2222--------A B CD 幂函数知识归纳：1、幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

2、幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；（5）无论α取什么实数，幂函数在第四象限都没有图象（6）幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于原点对称．(7) 在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由大到小的关系幂函数的图象从上到下分布；3、P78 页几种重要幂函数图象性质。

题型归类一、幂函数定义及性质1、函数 ()21m m y m x -=- 为幂函数,则函数为( )A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数2、求下列函数的定义域和值域()()233412y x y x --==二、幂函数的图象1、如图中的曲线是幂函数y=n x 在第一象限的图象,已知n 取±2､±12四个值,则相应的曲线1234,,,C C C C 中的n 值依次为( )三、幂函数的性质1、比较下列各组中值的大小，并说明理由：(1)1.10.5，1.40.5 (2) (-π)-1, （-3.14）-1 (3)1.40.5，1.432、已知幂函数 ()39*m y x m N -=∈的图关于y 轴对称,且在区间(0,+∞)上是函数值随x 的增大而减小，求满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围。

幂函数知识点

幂函数知识点一、幂函数的定义形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，称为幂函数。

其中$x$是自变量，＄＼alpha$是常数。

需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$，这是幂函数的重要特征。

例如，＄y ＝ x^2$，＄y ＝ x^｛1/2}＄，＄y＝ x^｛－1}＄等都是幂函数。

二、幂函数的图像和性质1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）＄＼alpha$为偶数时，幂函数的图像关于$y$轴对称。

例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。

（2）＄＼alpha$为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。

比如，＄y ＝ x^3$的图像是经过原点的单调递增曲线。

2、当$＼alpha ＜ 0$时（1）幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小。

例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是双曲线，位于第一、三象限。

（2）当$x ＞ 1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的下方；当$0 ＜ x ＜1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的上方。

3、当$＼alpha ＝ 0$时＄y ＝ 1$（＄x ＼neq 0$），图像是一条平行于$x$轴的直线，去掉点$（0, 1)＄。

三、幂函数的单调性1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）若$＼alpha ＞ 1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增。

（2）若$0 ＜＼alpha ＜1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增，但增长速度较慢。

2、当$＼alpha ＜ 0$时幂函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。

四、幂函数的奇偶性1、若$＼alpha$为整数（1）当$＼alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。

（2）当$＼alpha$为奇数时，幂函数为奇函数。

2、若$＼alpha$为分数将其化为最简分数形式$＼frac{p}｛q}＄（＄p$，＄q$互质）（1）若$q$为偶数，幂函数是非奇非偶函数。

幂函数的性质知识点总结

幂函数的性质知识点总结幂函数是一种常见的函数形式，其形式为$f(x)=x^a$，其中$a$为实数，$x$为正实数。

在初等数学中，我们常常使用幂函数来描述各种各样的问题。

因此，本文将全面总结幂函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等等。

一、定义域对于幂函数$f(x)=x^a$，其定义域为$x>0$。

这是因为，对于$x\leq 0$的情况，幂函数的值可能会在实数范围内无限制地扩大或缩小，从而变成无意义的虚数或复数。

因此，为了确保$f(x)$在实数范围内有意义，必须限定$x>0$。

二、值域当$a>0$时，$f(x)$的值域为$[0,+\infty)$。

这是因为，对于$x=0$时，$f(x)=0$；而对于$x>0$时，$f(x)$的值随着$x$的增大而增大，趋近于无穷大。

因此，$f(x)$的值域为$[0,+\infty)$。

当$a<0$时，$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$。

这是因为，对于$x\neq 0$时，$f(x)>0$；而对于$x=0$时，$f(x)=0$。

因此，$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$。

三、单调性当$a>0$时，$f(x)$在定义域内单调递增。

这是因为，对于$x_1<x_2$的情况，$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^a-x_1^a)$。

由于$x_2>x_1$且$a>0$，因此$x_2^a>x_1^a$，仅需考虑到$x_2^a$与$x_1^a$的差异即可。

因此，$f(x)$在定义域内单调递增。

当$a<0$时，$f(x)$在定义域内单调递减。

这是因为，对于$x_1<x_2$的情况，$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^a-x_1^a)$。

由于$x_2>x_1$且$a<0$，因此$x_2^a<x_1^a$，仅需考虑到$x_2^a$与$x_1^a$的差异即可。

幂函数的知识

特殊性（2）：幂函数的单调区间(0，0）和（1，1）（2）单调区间：当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能幂函数的单调区间（当a为分数时）说在定义域R内单调递减）；④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；②当a>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；④当a<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；（3）当a>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<a<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

当a<0时，图像为双曲线。

（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。

（5）当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数无界限。

（7）a=2n（n为整数）,该函数为偶函数{x|x≠0}。

[2]特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p／q ，且px，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q ／q 为既约分数（即p，q互质），q和p都是整数，则x p／q=q p是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数α是负整数时，设α=-k，则y=1／x k，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：a小于0时，x不等于0；a的分母为偶数时，x不小于0；a的分母为奇数时，x取R。

3.3 幂函数

3.3 幂函数学习目标1．能够通过给出的具体实例，得出幂函数的概念.2.能够结合五个具体的幂函数y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图象，通过归纳，抽象概括出五个幂函数的基本性质．知识点一幂函数的概念 1．幂函数的定义一般地，函数□1y ＝x 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征(1)x α的系数为□21； (2)x α的□3底数是自变量； (3)x α的指数为□4常数．只有满足这三个条件特征，才是幂函数，对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等函数都不是幂函数．[微练1] 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝2x 2是幂函数．(×) (2)函数f (x )＝2x 是幂函数．(×) (3)函数f (x )＝(x ＋1)3不是幂函数．(√)[微练2] 若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (x )＝________．解析：设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，∴α＝12. 即f (x )＝x 12. 答案：x 12知识点二常见幂函数的图象与性质 1．五种常见幂函数的图象2．五类幂函数的性质幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域□5R□6R□7R □8[0，＋∞)□9(－∞，0)∪(0，＋∞)值域□10R□11[0，＋∞)□12R □13[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性□14奇函数□15偶函数□16奇函数□17非奇非偶□18奇函数单调性□19增函数x∈[0，＋∞)，单调递增；x∈(－∞，0)，单调递减□20增函数□21增函数x∈(0，＋∞)单调递减；x∈(－∞，0)，单调递减公共点都经过点□22(1，1)幂函数的图象不经过第四象限．[微练3]函数f(x)＝－x3的图象是()解析：B f(x)＝－x3与f(x)＝x3关于x轴对称．故选B．[微练4]函数y＝x－3在区间[－4，－3]上的最小值为________．解析：因为函数y＝x－3＝1x3在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－3时，y min ＝(－3)－3＝1（－3）3＝－127. 答案：－127题型一幂函数的概念1．在函数y ＝1x 2，y ＝2＋x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：B y ＝1x 2＝x －2，y ＝x －2是幂函数，其余都不是幂函数．2．若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．3解析：A 因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，m >0，所以m ＝1.3．已知幂函数f (x )的图象过点(4，12)，且f (x )＝8，则x ＝( ) A ．2 2 B ．64 C ．24D ．164解析：D 设f (x )＝x α，将点(4，12)代入得12＝4α，所以α＝－12，所以f (x )＝x －12.令x －12＝8，得x ＝8－2＝164.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式．题型二幂函数的图象及应用(1)幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 13，y＝x－12在第一象限内的图象依次是图中的曲线()A．C1，C2，C3，C4B．C1，C4，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3(2)点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．(1)[解析]由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x 13在第一象限内的图象为C2，y＝x－12在第一象限内的图象为C3. [答案] D(2)[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0，1)时，f(x)<g(x)．解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．1.已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c 0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上可知c <b <a .题型三幂函数性质及应用角度1 比较幂的大小(链接教材P 91练习T 2)利用幂函数的性质，比较下列各组数的大小； (1)1.554，1，1.754；(2)(－0.75)－2，0.76－2； (3)(23)23与(34)23.[解] (1)1＝154，幂函数y ＝x 54在(0，＋∞)上是增函数，故1<1.554<1.754. (2)(－0.75)－2＝0.75－2，幂函数y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，故(－0.75)－2＝0.75－2>0.76－2.(3)∵函数y ＝x 23在(0，＋∞)是增函数，且34>23，∴(34)23>(23)23.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小．(2)若指数不同，可采用中介值法或估值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1比较，直到比较出所有数的大小，若中介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小．角度2 解不等式若(3－2m )12>(m ＋1)12，求实数m 的取值范围．[解] 因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为[－1，23)．利用幂函数解不等式的两个步骤利用幂函数解不等式，实质是已知函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；另外解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用．2．(多选题)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的α的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3答案：BD3．(－0.31)65与0.3565的大小关系为________．解析：因为y ＝x 65为R 上的偶函数，所以(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，所以0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.答案：(－0.31)65<0.35654．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)拓展提升幂函数图象的特征当α＝1时，y＝x的图象是一条直线；当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图象是一条不包含点(0，1)的直线；当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表．α＝pqα<00<α<1α>1p，q都是奇数p为偶数，q为奇数p为奇数，q为偶数课时规范训练A基础巩固练1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)()A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：D 由题意设f (x )＝x n ，因为函数f (x )的图象经过点(3，3)，所以3＝3n，解得n ＝12，即f (x )＝x ，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D ．2．已知当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( )A ．0<α<1B ．α<0C ．α<1D ．α>1解析：C 由幂函数的图象特征知α<1.3．若f (x )＝x －12，则函数f (4x －3)的定义域为( ) A ．R B ．(－∞，34) C ．[34，＋∞)D ．(34，＋∞)解析：D ∵f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)， ∴4x －3>0，∴x >34，故选D ．4．已知a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝ 1.1，则( ) A ．c 109>1.1，所以1.212>(109)12>1.112，即a >b >c .5．(多选题)已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1，1，3}的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是()A．f(－2)>f(1)B．f(－2)<f(1)C．f(－2)＝f(－1)D．若|a|>|b|>0，则f(a)<f(b)解析：BD幂函数f(x)＝x n，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f(x)＝1x2，f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是有f(－2)＝f(2)<f(1)＝f(－1)，则A错误，B正确，C错误；若|a|>|b|>0，则f(|a|)<f(|b|)，即f(a)<f(b)成立，故D正确．故选BD．6．(多选题)给出下列四个说法：①当n＝0时，y＝x n的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④若幂函数y＝x n的图象在第一象限为减函数，则n<0.其中正确说法的序号是()A．①B．②C．③D．④解析：CD①显然错误；②中如y＝x－12的图象不过点(0，0)．根据幂函数的图象可知③，④正确．7．幂函数y＝x 23的定义域为________；其奇偶性是________．解析：y＝x 23＝(x2)13，∴定义域为R；偶函数．答案：(－∞，＋∞)偶函数8．已知幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，又m∈Z所以m＝1.答案：19．比较下列各组数的大小：(1)3－72和3.2－72；(2)(－23)23和(－π6)23；(3)4.125和3.8－43.解：(1)函数y＝x－72在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.2，所以3－72>3.2－7 2.(2)(－23)23＝(23)23，(－π6)23＝(π6)23，函数y＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，而23>π6，所以(－23)23>(－π6)23.(3)4.125>125＝1，0<3.8－43<1－43＝1，所以4.125>3.8－43.B能力进阶练10．函数f(x)＝x a＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m，0)，则实数b的值为()A．－1 B．1C．2 D．3解析：A∵幂函数y＝xα过定点(1，1)，∴f(x)＝xα＋b过定点(1，1＋b)，由题意1＋b＝0，∴b＝－1.11．(多选题)已知实数a，b满足等式a 12＝b13，则下列关系式中可能成立的是()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<a1，则1<a b －1B ．a 13b －23解析：ABC 分别构造函数y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 2，y ＝x －23，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，而y ＝x 13，y ＝x －23为(－∞，0)上的增函数，故D 不成立，其他都成立．13．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：(－∞，0)14．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N *)的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． (1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解：(1)由题可知，函数f (x )在R 上单调递增，所以9－3m >0，解得m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数图象关于原点对称，所以9－3m 为奇数，故m ＝2.所以f (x )＝x 3. (2)因为f (a ＋1)＋f (3a －4)<0，所以f (a ＋1)<－f (3a －4)．因为f (x )为奇函数，所以f (a ＋1)<f (4－3a )．又函数在R 上单调递增，所以a ＋1<4－3a . 所以a <34.所以a 的取值范围是(－∞，34)．C 探索创新练15．(多选题)已知幂函数f (x )＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)，下列关于f (x )的结论正确的是( )A ．m ，n 是奇数时，f (x )是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，f (x )是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，f (x )是偶函数D ．0<mn <1时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数解析：AB f (x )＝x m n＝nx m ，当m ，n 是奇数时，f (x )是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数时，f (x )是偶函数，故B 中的结论正确；当m 是奇数，n 是偶数时，f (x )在x <0时无意义，故C 中的结论错误；当0<mn <1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故D 中的结论错误．故选AB ．。

幂函数运算知识点总结

幂函数运算知识点总结一、幂函数的定义幂函数是指数函数的一种特殊形式，其定义为f(x) = ax^n，其中a和n分别为实数且n为正整数。

幂函数的定义域为实数集合，值域为非负实数集合。

当n为偶数时，幂函数的图像呈现“上凸”的形状；当n为奇数时，幂函数的图像呈现“上凹”的形状。

二、幂函数的图像特点1. 当n为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凹，在第二象限和第四象限上凸。

2. 当n为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限上凸，在第二象限和第四象限上凹。

3. 当n为1时，幂函数的图像为直线y=ax，且通过原点。

三、幂函数的性质1、对任意实数a，b，c（a≠0,1）；n，m为正整数，有a^0=1,a^m*a^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^(mn),(a*b)^m=a^m*b^m,(a/b)^m=a^m/b^ma^m/a^n=a^(m-n)2、a≠0,1时，当0<a<1时，a^m叫做小于1的幂，a^(−m)=1/a^m；大于1的幂。

a^m>1, 当m>1时 a^m>1, 当m<1时 a^m <1.0^0=1,0^m=0 (m>0).四、幂函数的运算规律1. 幂函数与常数的乘积：y=kx^n(k为常数)，则y=kx^n是一条幂函数的图像，图像基本形状不变，只经过纵向压缩或纵向拉伸。

若k>1，则图像纵向压缩；若0<k<1，则图像纵向拉伸。

2. 幂函数的平移：若对f(x)=x^n加常数c，则其图像向上平移c个单位；若对f(x)=x^n减常数c，则其图像向下平移c个单位。

3. 幂函数的镜像：幂函数关于y轴对称时，原函数的图像将对称于y轴；幂函数关于x轴对称时，原函数图像将对称于x轴。

4. 幂函数的复合函数：将两个幂函数进行复合运算时，其结果仍为幂函数。

五、幂函数的求导幂函数的导数运算利用幂函数的性质和指数函数的导数运算法则，以及利用导数的乘法法则与链式法则。

幂函数

NO21 幂函数1．知识回顾：我们曾经学过的函数：y=,(y=),y=,(y= ),y=x,y=,y=,这些函数虽然定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数图象等都不进相同，但它们都有一个共同的特点：自变量均在底数的位置之上。

可以用一个共同的表达方式：y= (R)二．幂函数：（一）幂函数的定义：一般地，形如y= (R)的函数称为幂函数，其中a为常数。

（二）准确理解幂函数的定义：①幂函数具有严格的形式，如形如：y=m,y=,y=+m,y=等均不是幂函数；②不要把指数函数和幂函数混淆起来；（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；几种重要的幂函数的图象：y=x y= y=y= y=函特数征性质图像定义域 x R x R x R x[0,+)x R(R0)值域yR[0, +) y R[0, +)y R且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在x（-，0）y为减函数在x（0，+）y为增函数增函数增函数在x（-，0）y为减函数在x（0，+y为增函数定点（1，1）、（0，0）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（1，1）（五．例题详解：1．已知函数f(x)=( +2m),m为何值时，f(x)是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数2．函数f(x)=( -m-1)是幂函数，且当x（0, +)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式3．点（，2）在幂函数f(x)的图象上，点（-2，）在幂函数g(x)的图像上。

高一数学知识点幂函数

高一数学知识点幂函数幂函数是数学中的一种基本函数，也是高一数学中的重要内容。

幂函数的定义可以简单地表示为f(x) = x^a，其中，a为实数且不为零。

在这个函数中，x为自变量，a为幂指数，f(x)为因变量。

幂函数的图像表现出不同的特征，这取决于幂指数a的值。

当a为正数时，幂函数的图像呈现上升的形态，随着自变量x的增加，因变量f(x)也随之增加。

当a为负数时，幂函数的图像则呈现下降的形态，随着自变量x的增加，因变量f(x)逐渐减小。

当a为零时，幂函数的图像则变为一条水平的直线。

幂函数还具备以下几个重要的性质：对称性、单调性、奇偶性和最值。

首先，幂函数具有对称性。

在幂函数f(x) = x^a中，如果幂指数a是一个偶数，则函数的图像关于y轴对称；如果幂指数a是一个奇数，则函数的图像关于原点对称。

其次，幂函数具有单调性。

当幂指数a是正数时，幂函数是递增的，即当x1 < x2时，f(x1) < f(x2)；当幂指数a是负数时，幂函数是递减的，即当x1 < x2时，f(x1) > f(x2)。

再次，幂函数具有奇偶性。

当幂数a是偶数时，幂函数是偶函数，即f(x) = f(-x)；当幂数a是奇数时，幂函数是奇函数，即f(x) = -f(-x)。

最后，幂函数具有最值。

当幂指数a为正时，幂函数的最小值发生在自变量x = 0的位置；当幂指数a为负时，幂函数的最大值也发生在自变量x = 0的位置。

幂函数在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在物理中，强度随距离变化的关系可以用幂函数来表示；在经济学中，成本随产量变化的关系也可以用幂函数来描述。

在高一的学习中，同学们不仅需要掌握幂函数的定义以及图像特征，还需要能够应用幂函数解决实际问题。

因此，对幂函数的深入理解和运用至关重要。

通过对幂函数的学习和掌握，我们能够更好地理解数学中的指数运算及其应用。

同时，幂函数也为我们打开了更广阔的数学世界的大门，为我们理解和掌握更高级的函数提供了基础。

幂函数(课件)

04
利用导数研究幂函数的极值和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描述物体的运动规律，例如加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以描述气体分子的速度分布规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商品的需求量与价格的关系、消费者的购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函数值为1。

幂函数

幂函数1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点(1,1)；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上单调递增；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上单调递减；（3）任何幂函数都不过第四象限；（4）当0α>时，幂函数的图象过原点． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于原点对称．达标练习： 1．在函数（1）21,y x=（2）22,y x =（3）2y x x =+，（4）1y =中，是幂函数序号为（1）．2．下列结论正确的是（）()A 幂函数的图象一定过原点； ()B 当0α<时，幂函数y x α=是减函数； ()C 当1α>时，幂函数y x α=是增函数； ()D 函数2y x =既是二次函数，也是幂函数．3.已知幂函数()y f x =的图象过(2,，试求出这个函数的解析式； 4．已知函数21()(1)aa f x a x +-=-⋅.①当a = 时，()f x 为正比例函数；②当a = 时，()f x 为反比例函数；③当a = 时，()f x 为二次函数； ④当a = 时，()f x 为幂函数．5．分别指出幂函数y x α=的图象具有下列特点之一时的α的值，其中111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---（1）图象过原点，且随x 的增大而上升；. （2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随x 的增大而下降；（3）图象关于y 轴对称，且与坐标轴相交；（4）图象关于y 轴对称，但不与坐标轴相交；（5）图象关于原点对称，且过原点；（6）图象关于原点对称，但不过原点； 6．讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性（1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -= （4）22y x x -=+（5）43y x-=（6）54y x =（7）35y x-=（8）1124()3()f x x x =+- （9）1322(1)(3)y x x -=-+- （10）1122y x x-=+分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．7．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数，一般为0,1作为桥梁来比较大小．8．(2010年江苏海门质检)若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是__________．①2x >x 21>lg x ②2x >lg x >x 21③x 21>2x>lg x ④lg x >x 21>2x9．函数()ay x a R =∈的图象，当01x <<时，在直线y x =的上方；当1x >时，在直线y x =的下方，则a 的取值范围是；10．已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围．11．已知122x x <，求x 的取值范围．（数形结合）12．1x -≥．（数形结合）213．已知,,,a b c d y x y x y x y x ====的图象如图所示：a ，b ，c ，d 的大小关系是14．(2010年广东广州质检)下列图象中，表示y ＝x 32的是________．15．(2010年东北三省模拟)函数f (x )＝|4x －x 2|－a 恰有三个零点，则a ＝__________.16．下列函数中，在区间(0,2)上是单调增函数的是（） A ．12log (1)y x =+ B ．12y x = C ．12y x =- D ．1()2xy = 17．证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 18．证明：函数3()1f x x =--在(,)-∞+∞上是减函数． 19．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．.20.函数221m my x--=在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是1-．21．函数122(1)y x =-的值域是（ D ）A ．[0,)+∞ B ．(0,1] C ．(0,1) D ．[0,1]22．求函数215524(32)y x x x =++≥-的值域．23．m 为怎样的值时，函数32204()(42)(1)f x mx x m x mx -=++++-+的定义域是R ？。

幂函数定义式

幂函数定义式幂函数是数学中一种重要的函数形式，它的定义式可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个常数，x是自变量。

幂函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，下面将从不同角度探讨幂函数的特点和应用。

一、幂函数的基本特点1. 幂函数的定义域和值域：幂函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(当a>0)或0到正无穷大(当0<a<1)。

2. 幂函数的图像特点：当a>1时，幂函数呈现递增趋势，图像从左下往右上倾斜；当0<a<1时，幂函数呈现递减趋势，图像从左上往右下倾斜。

3. 幂函数的奇偶性：当a为负数时，幂函数为奇函数；当a为正数时，幂函数为偶函数。

4. 幂函数的性质：幂函数具有连续性、可导性和增长性。

二、幂函数的应用领域1. 经济学中的应用：幂函数可以用来描述经济增长模型，例如人口增长、物价上涨等。

通过幂函数可以研究经济发展的趋势和规律。

2. 生物学中的应用：幂函数可以用来描述生物体的生长模型，例如细胞分裂、动物体重增长等。

通过幂函数可以研究生物体的生长速率和规律。

3. 物理学中的应用：幂函数可以用来描述某些物理量之间的关系，例如阻力和速度的关系、电流和电压的关系等。

通过幂函数可以研究物理规律和现象。

4. 工程学中的应用：幂函数可以用来描述某些工程问题，例如材料的疲劳寿命与应力的关系、电路中电阻和电流的关系等。

通过幂函数可以研究工程问题的特性和优化方法。

三、幂函数的解析性质1. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = a^x，其导数可以通过求导法则得到。

当a为常数时，f'(x) = a^x * ln(a)。

这个公式可以用来计算幂函数在任意点的斜率。

2. 幂函数的积分：对于幂函数f(x) = a^x，其积分可以通过求积分法则得到。

当a为常数且a不等于1时，∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C。

这个公式可以用来计算幂函数在给定区间上的面积。

四、幂函数在实际问题中的应用举例1. 金融领域：幂函数可以用来描述复利的计算方式，帮助人们理解利息的增长规律，从而做出更明智的投资决策。

幂函数的定义和性质

幂函数的定义和性质幂函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为f(x)=ax^b，其中a 和b是实数，且a不等于零。

1. 幂函数的定义幂函数是由变量的幂指数决定的函数，其中底数为自变量x，指数为常数b。

常见的幂函数包括平方函数和立方函数。

幂函数的一般形式为f(x)=ax^b，其中a不为零。

2. 幂函数的性质2.1 定义域和值域幂函数的定义域是实数集R中所有使得底数非负的x值。

当指数b 为正数时，幂函数的值域是正实数集R+；当指数b为负数时，幂函数的值域是(0, +∞)。

2.2 奇偶性当指数b为偶数时，幂函数f(x)=ax^b是偶函数，即关于y轴对称；当指数b为奇数时，幂函数f(x)=ax^b是奇函数，即关于原点对称。

2.3 单调性当底数a为正数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递增函数；当底数a为负数且指数b为正数时，幂函数f(x)=ax^b在定义域内是递减函数。

2.4 极限性质当指数b大于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b也趋近于正无穷大；当指数b小于零时，随着自变量x趋近于正无穷大，幂函数f(x)=ax^b趋近于零。

2.5 对称轴当指数b为整数且为偶数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为y轴；当指数b为整数且为奇数时，幂函数f(x)=ax^b的对称轴为原点。

3. 幂函数的图像特征幂函数的图像特征与底数a和指数b的大小关系密切相关：3.1 当底数a大于1时，幂函数的图像在x轴的右侧递增，离x轴越远函数值越大。

3.2 当底数0 < a < 1时，幂函数的图像在x轴的右侧递减，离x轴越远函数值越小。

3.3 当底数a为负数且指数b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称。

此时，随着底数a变为负数，图像会上下翻转。

3.4 当底数a为负数且指数b为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。

此时，随着底数a变为负数，图像会关于原点上下翻转。

4. 应用举例幂函数的应用十分广泛，其中包括经济学、物理学、统计学等多个领域，在不同领域中扮演着重要的角色。

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1百科名片
幂函数幂函数一般地，形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

2概念
形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

3性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图像都过点（1,1）。

（1）当a>0时，幂函数y=x^a有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）(0,0) ；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a>1时，图像开口向上；0<a<1时，图像开口向下；
d、函数的图像通过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数。

（2）当a<0时，幂函数y=x^a有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴[1]。

（3）当a=0时，幂函数y=x^a有下列性质：
a、y=x^0是直线y=1去掉一点（0,1）它的图像不是直线
4特性
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
a小于0时，x不等于0；
a的分母为偶数时，x不小于0；
a的分母为奇数时，x取R。

5定义域
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1.如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2.如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1.在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

2. 在x小于0时，则只有同时a为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

6特殊性
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) a>0时图象过点（0，0）和（1，1）
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增为增函数,但y=x^2,在（-∞，0）上单调递减。

而a小于0时，幂函数为单调递减为减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凸（竖抛）；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸（横抛）。

当a小于0时，图像为双曲线。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）显然幂函数无界限。

（6）a=2n,该函数为偶函数{x|x≠0}。

7图象
幂函数幂函数的图象：
①当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数，图像关于原点对称
②当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数，在第一象限为减函数，图像关于y轴对称
③当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)
④当0<a<1时，函数是增函数
⑤当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数
⑥当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数
幂函数的图像不过第四象限
幂函数的九种(2张)
8特别说明
为了研究方便，在初等函数里对于幂函数，只讨论a=1,2,3,1/2,-1时的情形。

9概念
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

10值域
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域[2]
11性质
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。

(6)显然幂函数无界。