第四章 微分方程模型
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
第四章微分方程模型
• t→∞, x(t)→∞, 按指数规律无限增长.
?
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合) 方法一 直接用人口数据和线性最小二乘法.
rt
x(t ) x0e
1790年 (t=0) 至2000年美国人口数据 最小二乘法 MATLAB编程
r =0.2743/10年，x0 =4.1884
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合)
x2(t)~原方程的一个特解 由f(t)用待定常数法解出.
(0) x 0 确定任意常数c1, c2 用初始值 x(0) x0 , x
5. 微分方程组 • 包含2个(2个以上)未知函数及其导数. x f ( x, y, t )
g ( x, y, t ) y
• 独立方程的个数等于未知函数个数.
• 通解含2个任意常数,由初始值x(0) x0 , y(0) y0 确定. • 方程组通过求导和代数运算转化为高阶方程.
• 高阶方程通过设置变量转化为方程组.
px qx f (t ) x
y x p(t ) x q(t ) x f (t ) y
年 人口(百万) 增长率/10年 年 人口(百万) 增长率/10年 年 人口(百万) 增长率/10年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 0.2949 0.3113 0.2986 0.2969 0.2907 0.3012 0.3082 0.2452 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 0.2435 0.2420 0.2051 0.1914 0.1614 0.1457 0.1059 0.1059 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4 308.7 0.1579 0.1464 0.1161 0.1004 0.1104 0.1349
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
第四章 微分方程数学模型
3)、若s0
1
, 则i(t )先增加，当 s
1
1
时，i(t )达到最大
im 1
(1 ln s0 ), 然后减小趋于0, s(t ) s
若s0
1
, 则i(t )单调趋于0，(i)单调趋于s s
i0
i0
1
i
1
i
1
O
1
1
1
t
i0
O
t
O
t
1 1 i ( ) 0 1
1 1
1 ~ 阈值
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S曲线增长 健康人数不超过病人数
直接求解方程，亦可得到上述结果
di i (1 i ) i dt i (0) i0
时
i0 i (t ) i0 t 1
1
时
1 ( ) t e i(t ) i 0
x s0
i0小， 0 1 s
x x ln(1 ) 0 s0 1
x x2 x ( 2)0 s0 2 s 0 1
x 2s0 ( s0
1
)
令 s0 1 , 又 较小, s0 1)
x 2
模型检验 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广 义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康 复还是死亡对模型并无影响。
代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
第四章 微分方程模型
第四章微分方程模型一、微分方程模型的建立在实际问题中经常需要寻求某个变量y 随另一变量t 的变化规律：y=y(t)，然而常常不能直接求出。
有时容易建立包含变量及导数在内的关系式，即建立变量能满足的微分方程。
通过求解微分方程对所研究的问题进行解释说明。
因此，微分方程建模是数学建模的重要方法，微分方程模型应用也十分广泛。
建立微分方程模型时，经常会遇到一些关键词，比如“速率”、“增长”“衰变”，“边际”等，常涉及到导数，再结合问题所涉及的基本规律就可以得到相应的微分方程。
常用微分方程建立数学模型的方法有：（1）按规律直接列方程例1一个较热的物体置于室温为1800c 的房间内，该物体最初的温度是6000c ，3分钟以后降到5000c .想知道它的温度降到3000c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？模型建立：根据牛顿冷却（加热）定律：将温度为T 的物体放入处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差。
设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差，成正比与即m T dtdT−。
建立微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.60)0(),(T m T k dt dT(4.1)其中参数k >0，m =18.求得一般解为ln(T －m )=－k t+c ,或,0,≥+=−t ce m T kt代入条件，求得c=42，k=－2116ln 31,最后得().0,42182116ln 31≥+=t et T t (4.2)结果：（1）该物体温度降至3000c 需要8.17分钟。
（2）10分钟以后它的温度是()102116ln 31421810e T +==25.870c（2）微元分析法该方法的基本思想是通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况,寻求一些微元之间的关系式。
例2一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米模型建立：首先对孔口的流速做两条假设：(1)t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t )。
第四章微分方程模型
第四章微分方程模型当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。
建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。
事实上在微分方程课程中，我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由落下，初速是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。
”又如“容器内有盐水100L，内含盐10kg,今以3 L/min 的速度从一管放进净水，以2 L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。
”这些问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的。
而本章要讨论的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。
作出不同的假设，就得到不同的方程，所以事先是没有答案的。
求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
人口增长模型人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。
统计数据显示：年1625 1830 1930 1960 1974 19871999人口(亿)5 10 20 30 40 50 60可以看出，世界人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。
长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。
只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
用微分方程来研究人口增长规律，基本上采用的是模拟近似的方法。
微分方程与差分方程方法
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。
一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。
自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。
微分方程模型
图示
y 敌艇 R=(0,at)
D(x,y)
x (c,0)
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： b ds
dt
dt
3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体 积为v0。
在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：
其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
2gy
（2）弧微分公式： ds 1 (y/ )2 dx
（3）下降的时间： dt ds ds 1 ( y/ )2 dx
v 2gy
2gy
模型：
2、追线问题
我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。
令t 0,得 dp rp(N p), r 0, dt
p(0) 1
解
p(t)
N
为
1 (N 1)erNt
当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？ 还有当？时变化率最大？
如果考虑广告的效应呢？
考虑单位时间内使用该技术的企业数增量 时应把示范效应和广告效应一起考虑。而 广告只对没采用该技术的企业起作用。假 设其引起的增量与（N-p）成正比
微分方程模型
微分⽅程模型第四章微分⽅程模型§4.1利⽤平衡原理和微元法建模进⼀步理解建模基本⽅法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的⽤法．所谓平衡原理是指⾃然界的任何物质在其变化的过程中⼀定受到某种平衡关系的⽀配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的⾓度组建数学模型的⼀个关键问题.就象中学的数学应⽤题中等量关系的发现是建⽴⽅程的关键⼀样.微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微⼩单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系⽐较简单，⽽且容易使⽤微分学的⼿段进⾏处理．这类模型基本上是以微分⽅程的形式给出的．例1 设警⽅对司机饮酒后驾车时⾎液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有⼀起交通事故,在事故发⽣3个⼩时后,测得司机⾎液中酒精含量是56%(mg/ml), ⼜过两个⼩时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发⽣时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建⽴设)(t x 为时刻t 的⾎液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量t t x x ??∝?)(, 即t t kx t x t t x ?-=-?+)()()(其中k >0为⽐例常数, 式前负号表⽰浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到,d d kx tx -=且满⾜40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =.模型求解容易求得通解为ktc t x -=e)(, 代⼊0)0(x x =,得到ktx t x -=e)(0则)0(0x x =为所求. ⼜由,40)5(,56)3(==x x 代⼊0)0(x x =可得17.04056e 40e56e 25030=?===--k x x kk k 将17.0=k 代⼊得 25.93e 5656e17.03017.030≈?=?=??-x x >80故事故发⽣时,司机⾎液中的酒精浓度已超出规定.例2 在凌晨1时警察发现⼀具⼫体, 测得⼫体温度是29?C, 当时环境温度是21?C . ⼀⼩时后⼫体温度下降到27?C , 若⼈的正常体温是37?C , 估计死者的死亡时间.解运⽤⽜顿冷却定律T ')(T T out -=-α, 得到它的通解为 )(0out out T T T T -+=t α-e , 这⾥0T 是当0=t 时⼫体的温度, 也就是所求的死亡时间时⼫体的温度, 将题⽬提供的参数代⼊:=-+=-++--27e1(t t αα解得: 168e=-tα和 166e)1(=+-t α则34e=α求得:)(409.2)12(,2877.0h Ln t ≈-=≈αα这时求得的t 是死者从死亡起到⼫体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时间⼤约是前⼀天的夜晚10:35.例3在⼀种溶液中，化学物质A 分解⽽形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成⽐例．转换A 的⼀半⽤了20分钟，把B 的浓度y 表⽰为时间的函数，并作出图象．解：记B 的浓度为时间t 的函数y(t )，A 的浓度为x(t )．⼀、假设1．1mol A 分解后产⽣n mol B ． 2．容体的体积在反应过程中不变．⼆、建⽴模型，求解有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成⽐例，故有下列⽅程成⽴其中k 为⽐例系数．设反应开始时t = 0，A 的浓度为x0，．解初值问题==-0)0(d d xx kx tx得 ktx t x -=e )(0它应满⾜当t = 20（分）时，A 的浓度为021)20(x x =020021e所以得 )2ln 200e )(（tx t x -=由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有)e1(]e[)(2ln 2002ln 2000t t nx x x n t y ---=-=三、作图（如图4.1）图4.1 例4追逐问题1．问题如图14-4所⽰，正⽅形ABCD 四个顶点各有⼀⼈。
微分方程模型详解
范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保 持常数，它应当与人口数量有关。
阻滞增长（Logistic）模型
人口净增长率应与人口数量有关，即反应 了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N)
从而有：
其中，
故
注：设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K 看成常数），N表示当前的种群数量，K-N为环境还能 供养的种群数量，则(K-N )/K为还能供养比例。
做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人口
总数成正比，即人口净增长率 基本上是一常
数，
, 为出生率， 为死亡率。
设时刻 的人口总数为 人口增长量为：
，时间从 到
马尔萨斯（Malthus）模型
等式两边同时除以 t ，有
再运用极限的思想，令
有
由初始条件ห้องสมุดไป่ตู้
，即为初始
时刻的人口数，故解方程得
马尔萨斯（Malthus）模型
典型微分方程 • Malthus人口方程： • 虎克定律
典型微分方程 • 牛顿万有引力方程
• 波动方程
• 热传导方程
典型微分方程
• 势方程或 Laplace 方程
人口增长模型
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。
微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。
本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。
微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。
2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。
初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。
3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。
对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。
4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。
对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。
微分方程模型的应用广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。
电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。
2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。
例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。
3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。
例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。
4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。
5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。
微分方程模型
微分方程模型
微分方程是数学里最为重要的概念之一，这一概念在现代时代中发挥了越来越
重要的作用。
它用来描述以微小变化为基础的变化，模拟出自然界各种现象。
在互联网领域，微分方程可用来模拟用户在网络上的流量消费，解决用户多终端同时连接问题，还可以预测网络使用情况，帮助网络运营商决策有关网络投资的事宜。
微分方程首先要确定一个模型，因此，基础的微积分学知识对构建微分方程模
型是必不可少的。
要实现精确的模型，有必要首先考察网络中各种变量，比如稳定性、带宽、负载、容量等，并使用微积分方式，可以推导出一定的微分方程。
在根据这些方程完成模型分析后，可以因果分析得出不同的变量之间的联系。
构建出的微分方程模型，更进一步可以用来数值模拟，利用方程组信息和网络
设置，模拟并计算出网络中某种信息的变化和分布情况，从而及早识别出性能问题，调整网络性能设置。
此外，由于微分方程在处理数据时保持原有数据平稳性，并能够有效减少错误发生率，因此在工业界和学术界得到了广泛的应用。
综上所述，微分方程模型在互联网应用领域正在发挥越来越重要的作用。
它的
建模性质和精确性，不仅能够为企业提供有效的决策参考，而且还可以帮助把握未来网络使用状况，提升大量用户的网络使用体验。
江南大学博士课程数学建模（精品）
第四章 微分方程模型在研究某些实际问题时，经常无法得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率之间的一些关系。
利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。
事实上，在微分方程课程中，解所谓应用题时已经遇到简单的建立微分方程模型问题，这些问题大多数是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表达出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案唯一的。
而本章介绍的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，作出不同的假设，就得到不同的方程。
问题没有标准答案，求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
第一节 人口模型问题：据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今不足200万年。
纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿，经过漫长的过程到1830年，人口总数为10亿。
又经过100年即1930年，人口总数达20亿。
30年之后，在1960年，人口总数为30亿，又经过15年，1975年的人口总数为40亿，12年之后即1987年，人口总数为50亿。
问：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这个规律。
⑴ Multhus 模型：18世纪末，英国神父Multhus 在研究了一百多年的人口统计资料之后，认为在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率-死亡率）为常数，于是提出了著名的Multhus 人口模型。
模型假设：①设)(t x 表示t 时刻的人口数，且)(t x 连续、可微； ②人口增长率r 是常数；③人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增长与减少取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率。
模型建立与求解：由假设在时间],[t t t ∆+内人口的增量为t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，于是有方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rx dt dx ，求解得rt e x t x 0)(=，即人口增长是按指数规律增长，其图形为模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06⨯109，在1961~1970年这段时间内。
4.1常微分方程模型
运行结果为 a(1)=60.0484, a(3)= 1.8537
a(2)= 0.1950 ,
故该饮酒人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量为
x (t ) 60.0484(e 0.1950t e 1.8537 t )
k2 1.8537 ， c 510.7809 . 此时 k1 0.1950 ，
酒精含量 80mg /100ml 醉驾：
4
某人在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符 合驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见，他呆到凌晨两点才驾车回家，又一 次遭遇检查，却被定为饮酒驾车，这既让他懊恼又 让他困惑，为什么喝同样多的酒且时间间隔差不多， 检测结果会不一样呢？
即胃肠道中的酒精含量方程为
M (t ) 669.3104e0.1950t
（4.1.13）
t 时刻血液中的酒精含量方程为 同理，
dX dt k1M(t) k2 X (t); X (0) x(6)
（4.1.14）
将式（4.1.13）及相应的参数代入（4.1.14），得 到dt 130.5155e0.1950t 1.8537X(t); X(0) x(6) 18.6360 dX （4.1.15）
其Matlab程序为： dsolve('Dx-130.5155*exp(0.1950*t)+1.8537*x=0','x(0)=18.6360','t') 运行结果为ans = 1305155/16587*exp(-39/200*t)249009917/4146750*exp(-18537/10000*t)，即有
，将式（4.1.7）改写成 （4.1.8）
x(t ) a1 (e a2t e a3t )
微分方程模型
0.26
读乐谱的妇人
10.3
0.3
弹曼陀林的妇人
8.2
0.17
做花边的人
1.5
1.4
欢笑的女孩
5.2
6.0
---------------
若第一幅画是真品， t t0 300
y0 y(t)e (tt0 ) r[e (tt0 ) 1]
y(t)e300 r[e300 1]
死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂
变规律衰减。
建模
设 t 为死后年数， y(t) xc14 (t) xc12 (t)
c c 则t 0时, y y0 ,即活体中 14 与 12 数量的比例.
dxc14 xc14
dt
8000
dy y dt 8000
t
y Ce 8000
g
F浮
cv
dt
mm
v(0) 0
可解得：
v(t) G F浮 [1 ect/m ] c
极限速度为：
v
G F浮 c
713.86英尺/ 秒
---------------
将速度 v 看成位置 y 的函数 v(y) ，由于
dv dv dy v dv dt dy dt dy
三 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所
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1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i ( s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
t dt, 年龄[r dr 1, r dr 1 dr]人数
dt dr1 死亡人数
p(r , t )dr p(r dr 1 , t dt)dr (r , t ) p(r , t )drdt
[ p(r dr1 , t dt) p(r , t dt)] [ p(r , t dt) p(r , t )] (r , t ) p(r , t )dt, dt dr1
0
1-1/
1 i
i0
0
1 , 1 1 i ( ) 1 0,
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
1 i (t )
3）平均寿命
S (t )
e
t
0 ( r ,t ) dr
t
d
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数
控制生育率
(t ) R(t ) / S (t )
控制 N(t)不过大
控制 (t)不过高
5.8 万有引力定律的发现
背景
航海业发展 天文观测精确
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t ), s(t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病
h(r , t )dr 1
r 1
r2
0
r1
r2
r
h~生育模式
(t ) r b(r , t )dr
r2
1
~总和生育率
f (t ) (t ) r h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
r2
1
人口发展方程和生育率
f (t ) (t )r h(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt i
>1
i0
1-1/
di 1 i[i (1 )] / dt
>1
i
1
di/dt < 0
i0
t
rm
r
f (t )
生育率的分解
k (r , t ) ~ (女性)性别比函数 b(r , t ) ~ (女性)生育数 [r1 , r2 ] ~ 育龄区间
f (t ) r b(r , t )k (r , t ) p(r , t )dr
1
r2
h(r, t ) h(r )
b(r , t ) (t )h(r , t )
1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
提高 r0
群体免疫
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
哥白尼：“日心说”
“地心说”动 摇 伽里略：落体运动
开普勒：行星运动三定律
变速运动的计算方法
牛顿：一切运动有力学原因
牛顿运动三定律
牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）
开普勒三定律
牛顿运动第二定律 万有引力定律
《自然科学之数学原理》(1687)
模型假设
极坐标系 (r,) 太阳 (0,0)
行星位置：向径 r (t ) (r (t ), (t ))
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
1. 行星轨道
p b2 r , p , b 2 a 2 (1 e 2 ) 1 e cos a
r
r
P (行星)
O (太阳)
a~长半轴, b~短 半轴, e~离心率
2. 单位时间 r 扫过面积为常数 A
3. 行星运行周期 T
/2 A r 2
~ 绝对常数
m ~ 行星质量
f mr
模型建立
P (行星) r r u r cos i sin j r rur u sin i cos j O (太阳) u r ru u r u r r 2 u u r r )u r ( r 2r )u r ( r
一阶偏微分方程
p p ( r , t ) p( r , t ) r t
p p 人口发展方程 r t ( r , t ) p ( r , t ) p ( r ,0) p0 ( r ), r 0 ~已知函数（人口调查） p (0, t ) f (t ), t 0 ~生育率（控制人口手段）
1
i
P1 0 s 1 /
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1
)
s0
s
小 , s0 1
x 2
提高阈值1/降低被 传染人数比例 x
5.6 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性
• 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
人口 发展 方程
F (r , t ) ~ 人口分布函数(年龄 r的人口）
p0 (r )
p(r, t )
• 正反馈系统 • 滞后作用很大
f (t )
p p ( r , t ) p( r , t ) r t
(t )
人口指数
1）人口总数
N (t ) 0 p(r , t )dr
m
rm
r 1 rp ( r , t ) dr 2）平均年龄 R (t ) 0 N (t )
D
0 1
s
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
di i di 1 si i dt 1 s 1 1 i( s) ( s0 i0 ) s ln ds s s0 ds si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2
r
( r , t ) (r )
r
tr
p0 (r )
0
p (r t )e ( s ) ds , 0 t r 0 p(r , t ) ( s ) ds , tr f (t r )e
r t r 0
tr tr
F (r , t ) 0 p( s, t )ds N (t ) 0 p( s, t )ds
第五章
5.1
微分方程模型
传染病模型
5.2 人口预测和控制
5.3 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
p(r , t ) ~ 人口密度函数 N (t ) ~ 人口总数 rm ( ) ~ 最高年龄