全国2015届高三最后一次模拟(I卷)数学(理)试题及答案
2015届高三年级期末考试数学(理)含答案
2015届高三年级期末考试 数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．sin(210)-的值为A ．B ．C ．D ．2．设全集U R =，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =A ．B ．C ．{}1D ．{}0,13．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有 A ．201320140,0S S ><且 B ．201320140,0S S <>且 C ． 201320140,0a a ><且 D ．201320140,0a a <>且 5．若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 6．函数sin(2)3y x π=-+在区间[0,]π上的单调递增区间为A ．511[,]1212ππ B ．5[0,]12π C ．2[,]63ππ D ．2[,]3ππ 7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体， 其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何 体的体积是A ．143 B ．4 C ．103D ．38．A 、B 、C 三点不共线，D 为BC 的中点，对于平面ABC内任意一点O 都有11222OP OA OB OC =--，则A.AP AD =B.PA PD =C.DP DA =D.PA AD = 9．将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2； ②()f x 是周期函数； ③(4.1)()(2013)f f f π<<； ④69()2f x dx π=⎰. 其中正确的说法个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为ABCD11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含个小正方形．则等于正视图 侧视图俯视图A ．761B ．762C ．841D ．84212．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．下图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比 赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得 分的中位数之和是___________．14．已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为5,圆M 的面积为9π,则圆N 的面积为______________.15．已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，A 是曲线2y x =与12y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________． 16．对于四面体，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2:1； ④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。
2015年高考数学(理)最后一卷
2015年高考数学（理）模拟试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 是虚数单位，复数iiz +=12，则=-2z （ ）A. 2B.22C.2D.12.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=，若“1=a ”是“φ≠⋂B A ”的充分条件，则b 的取值范围是 ( )A ．-2≤b<2 B．-2<b≤2 C ．-3＜b ＜-1 D ．-2＜b ＜23.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A.22 B ．52 C ．62D ．3 4.若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是 （ ）A 5B ．6C ．7D ．85.已知变量y ,x 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-003202x y x y x ，则()yx z +=22的最大值为 （ ）A. 2B. 22C. 2D.46.定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 （ ）A. (]1,2B. (1,2)C.(0,2)D.(0,1)7.某厂生产的零件外径)04.0,10(~N ξ，今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm,9.3cm,则可认为（ ）A ．上午生产情况正常，下午生产情况异常B ．上午生产情况异常，下午生产情况正常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均不正常8.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，b A B c C B a 21cos sin cos sin =+， 且b a > ，则B ∠= （ ）A .6π B. 3π C.32π D.65π9.已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值 ( )A.63 B. 147 C.155 D.10510.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF = （ ）A .25 B.38C. 3D.6 11.若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若303aG bG cGC A +B +=，则角=A （ ） A . 90 B.60 C.45 D.3012.已知函数()x f 的导函数为)('x f ，满足()2'12)(xx f x xf =+，且1)1(=f则函数()x f 的最大值为 （ ） A . 0 B. e C.2eD. e 2 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2015年高考全国新课标1卷理科数学试题(含答案)
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（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ，则
（ A）
=
+
(B)
=
（C）
=
+
(D)
=
【解析】本题考查平面向量，画出图形，
1 1 1 4 AD AC CD AC BC AC ( AC AB) AB AC 3 3 3 3
y y 可以看做是与原点连线的斜率，因此如果 最大值，也就是求斜率的最大值，通过图形观察可知在(1,3) x x
处有最大值是 3，因此
x 的最大值是 3. y
（16）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是
【解析】如下图所示，延长 BA，CD 交于点 E，则可知
1 1 1 1 1 Tn ( 2 3 5 5 7
（18）如图， ，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平 面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值
（3）设命题 P： n N， n 2 > 2 n ，则 P 为 （A） n N, n 2 > 2 n （C） n N, n 2 ≤ 2 n （B） n N, n 2 ≤ 2 n （D） n N, n 2 = 2 n
【解析】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择 C.
在 RtEBG 中，可得 BE = 2 故 DF =
2 2
在 RtFDG 中，可得 FG =
6 2 3 2 2
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)全国1卷
2015年全国卷Ⅰ理一、选择题（共12小题；共60分）1. 设复数z满足1+z1−z=i，则 z = A. 1B. 2C. 3D. 22. sin20∘cos10∘−cos160∘sin10∘= A. −32B. 32C. −12D. 123. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则¬p为 A. ∀n∈N，n2>2nB. ∃n∈N，n2≤2nC. ∀n∈N，n2≤2nD. ∃n∈N，n2=2n4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.3125. 已知M x0,y0是双曲线C:x22−y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1⋅MF2<0，则y0的取值范围是 A. −33,33B. −36,36C. −223,223D. −233,2336. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛7. 设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD，则 A. AD=−13AB+43AC B. AD=13AB−43ACC. AD=43AB+13AC D. AD=43AB−13AC8. 函数f x=cosωx+φ的部分图象如图所示，则f x的单调递减区间为 A. kπ−14,kπ+34，k∈Z B. 2kπ−14,2kπ+34，k∈ZC. k−14,k+34，k∈Z D. 2k−14,2k+34，k∈Z9. 执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= A. 5B. 6C. 7D. 810. x2+x+y5的展开式中，x5y2的系数为 A. 10B. 20C. 30D. 6011. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r= A. 1B. 2C. 4D. 812. 设函数f x=e x2x−1−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f x0<0，则a的取值范围是 A. −32e ,1 B. −32e,34C. 32e,34D. 32e,1二、填空题（共4小题；共20分）13. 若函数f x=x ln x+ a+x2为偶函数，则a=．14. 一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为．15. 若x，y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为．16. 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75∘，BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题（共8小题；共104分）17. S n为数列a n的前n项和，已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3．（1）求a n的通项公式；（2）设b n=1a n a n+1，求数列b n的前n项和．18. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120∘，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．19. 某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y（单位：t ）和年利润 z （单位：千元）的影响．对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i i =1,2,⋯,8 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xy wx i −x 28i =1w i −w 28i =1x i −x 8i =1y i −y w i −w 8i =1y i −y 46.6563 6.8289.8 1.6 1.469108.8表中 w i = x i ，w =18 w i 8i =1．附：对于一组数据 u 1,v 1 ， u 2,v 2 ，⋯， u n ,v n ，其回归直线 v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β =i −u ni =1i −vu −u2n ，α =v −β u ． （1）根据散点图判断，y =a +bx 与 y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润 z 与 x ，y 的关系为 z =0.2y −x ．根据（2）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费 x =49 时，年销售量及年利润的预报值是多少?（ii ）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大?20. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C :y =x 24与直线 l :y =kx +a a >0 交于 M ,N 两点．（1）当 k =0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （2）y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 ∠OPM =∠OPN ?说明理由．21. 已知函数 f x =x 3+ax +14，g x =−ln x ．（1）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y =f x 的切线；（2）用 min m ,n 表示 m ，n 中的最小值，设函数 x =min f x ,g x x >0 ，讨论 x 零点的个数．22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的切线，BC 交 ⊙O 于点 E ．（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（2）若OA=3CE，求∠ACB的大小．23. 在直角坐标系xOy中，直线C1:x=−2，圆C2:x−12+y−22=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；ρ∈R，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面（2）若直线C3的极坐标方程为θ=π4积．24. 已知函数f x= x+1−2 x−a ，a>0．（1）当a=1时，求不等式f x>1的解集；（2）若f x的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．答案第一部分1. A2. D3. C4. A 【解析】至少投中2次，包括“投中2次”和“投中3次两种情况”，p=C320.62×0.4+0.63= 0.648．5. A【解析】如图，设MF1=m，MF2=n，则m−n=22，当MF1⊥MF2时，m2+n2=F1F22= 12，可求得mn=2．由S△MF1F2=12F1F2y0=12mn可得y0=±33．当MF1⋅MF2<0时，∠F1MF2是钝角或平角，此时y0的取值范围为 −33,33．6. B 【解析】这个米堆是四分之一圆锥，由题意可求得它的底面半径为8π=163，所以它的体积为3209，所以米堆的米有3209×1.62≈22（斛）．7. A 【解析】BC=AC−AB，CD=AD−AC，因为BC=3CD，所以AC−AB=3 AD−AC，整理得AD=−13AB+43AC．8. D 【解析】由图可知f x最小正周期为254−14=2；又可推得图中f x的一个最低点为3 4,−1，一个最高点为 −14,1，所以f x的单调递减区间为 −14+2k,34+2k ，k∈Z．9. C 【解析】经过计算可发现规律S=12k 时，m=12k+1，n=k．所以当S=12时，n=7，此时刚好有S≤0.01，输出n=7．10. C【解析】x2+x+y5=x2+x+y5的通项公式为T r+1=C5r⋅x25−r⋅x+y r，又x+y r的通项公式为T k+1=C r k⋅x r−k⋅y k，所以x2+x+y5的通项公式为C5r⋅C r k⋅x10−r−k⋅y k（0≤k≤r≤5），令k=210−r−k=5得r=3，所以x 5y2的系数为C53⋅C32=30．11. B 【解析】提示：此组合体是过圆柱对称轴的平面截圆柱所得的半个圆柱和一个半球组成的组合体．12. D 【解析】法一：考虑函数g x=e x2x−1，以及函数 x=a x−1，则题意要求存在唯一的整数x0使得g x0< x0．注意到gʹx=e x2x+1，尤其注意到y=x−1为y=g x在0,−1处的切线，如图．于是可以确定符合题意的唯一整数x0=0，则f0<0f1≥0f−1≥0，解得32e≤a<1．法二：首先f0=−1+a<0，所以唯一的整数为0．而f−1=−3e +2a≥0，解得a≥32e．又a<1，对f x求导得fʹx=e x2x+1−a，当x<−12时，fʹx<0；当x>0时，fʹx>0．从而f x在 −∞,−12上单调递减，在0,+∞上单调递增．而当a≥32e时，有f−1≥0，f0<0，f1>0，故在−∞,−1∪1,+∞上f x≥0，f0<0，满足题意．所以满足条件的a的取值范围为32e,1．第二部分13. 1【解析】因为f x是偶函数，而y=x是奇函数，所以g x=ln x+2是奇函数，所以g0=0，解得a=1．14. x−322+y2=254【解析】提示：因为圆心在x轴正半轴上，所以圆经过点0,−2，0,2，4,0．15. 3【解析】y x 表示可行域中的点和原点连线的斜率，由图可知，取A1,3点时，yx最大，最大值为3．16. 6−2,6+2【解析】延长BA，CD，交于点A2，作CA1∥DA交AB于点A1，则BA1<BA<BA2．在△A1BC中BCsin∠BA1C =BA1sin∠BCA1，求得BA1=6−2；在△A2BC中，BA2sin∠BCD =BCsin∠A2，求得BA2=6+2．所以，AB的取值范围为6−6+．第三部分17. （1）由题意得a n2+2a n=4S n+3，所以a n−12+2a n−1=4S n−1+3n≥2．两式相减整理得a n+a n−1a n−a n−1−2=0．又a n>0，所以a n=a n−1+2．又由a12+2a1=4S1+3=4a1+3得a1=3（负值舍去）．所以a n是首项为3，公差为2的等差数列，故a n=2n+1．（2）由（1）知b n=12n+12n+3=1212n+1−12n+3．于是数列b n的前n项和S n=1213−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3=11−1=n6n+9.18. （1）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．连接AC，BD，交于点O．以O为原点，OB为x轴正方向，OC为y轴正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，则z轴和BE平行．可设菱形 ABCD 边长为 2，DF = >0 ．则 A 0,− 3,0 ，E 1,0,2 ，C 0, 3,0 ，F −1,0, ． ∵AE ⊥EC ， ∴AE ⋅EC=0． 而 AE = 1, 3,2 ，EC = −1, 3,−2 ， ∴−1+3−4 2=0， ∴ =22， ∴F −1,0,22． AC = 0,2 3,0 ，AE = 1, 3, 2 ，AF = −1, 3, 22． 设面 AEC 法向量为 m = x 1,y 1,z 1 ，面 AFC 法向量为 n = x 2,y 2,z 2 ， 则m ⋅AC =0,m ⋅AE =0, n ⋅AC =0,n ⋅AF=0, 求得 m = 2,0,−1 ，n = 2,0,2 ． ∵m ⋅n =0， ∴面AEC ⊥面AFC ．（2） AE = 1, 3, 2 ，CF = −1,− 3, 22， cos AE ,CF = AE ⋅CFAE CF= 33． 所以直线 AE 和 CF 所成角的余弦值为 33．19. （1） y =c +d x 适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型．（2） d =i −w 8i =1i −y w −w 28=108.81.6=68． c =y −dw =563−68×6.8=100.6． 回归方程为 y =100.6+68 x ．（3） （i ）x =49 时，y =100.6+68× =576.6． z =0.2y −x =0.2×576.6−49=66.32．当宣传费为 49 千元时，年销售量及年利润预报值分别为 576.6 千元和 66.32 千元． （ii ）z =0.2y −x=0.2 100.6+68 x −x =−x +13.6 x +20.12.当 x =6.8 即 x =46.24 时，年利润的预报值最大．20. （1）当k=0时，点M、N的坐标分别为M 2a,a ，N −2a,a ，yʹ=x2，进一步可得所求的切线方程为y=±ax−a．（2）存在，点P的坐标为0,−a，证明如下．假设存在点P使得∠OPM=∠OPN，则直线PM与直线PN关于y轴对称，即k MP+k NP=0，设M m,m 24，N n,n24，P0,y0．①当k≠0时，即m≠−n，联立直线l:y=kx+a与抛物线y=x 24得x2−4kx−4a=0，于是m+n=4k,mn=−4a.此时直线MP的斜率为m24−y0 m−0=m4−y0m.同理直线NP的斜率为n −y0 ,所以这两条直线的斜率之和为k MP+k NP=m+n4−y0m+nmn=0,即m+n14−y0mn=0，又因为mn=−4a，所以14m+n1+y0a=0，又因为m+n≠0，解得y0=−a，所以当点P取0,−a时∠OPM=∠OPN，与k的取值无关；②当k=0时，则m=−n，由（1）知M 2a,a ，N −2a,a ，当P取点0,−a时，k PN=−a，k PM=a，则k MP+k NP=0，所以∠OPM=∠OPN满足条件；综上所述，当点P的坐标为0,−a时，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN．21. （1）根据已知，fʹx=3x2+a．若x轴为曲线y=f x的切线，设切点横坐标为t，则有f t=0,fʹt=0,即t3+at+1=0,3t2+a=0,解得t=1,a=−3.所以当a的值为−34时，x轴为曲线y=f x的切线．（2）情形一：当a≥0时，fʹx=3x2+a>0，于是f x单调递增．考虑到f0=14>0，于是y=f x与y=g x有唯一交点，且交点横坐标p∈0,1，如图．此时函数 x的零点个数为1．情形二：当−34<a<0时，f x在0,−a3上单调递减，在−a3,+∞ 上单调递增，在极小值点x=−a3处的极小值f −a3=−a33+a⋅−a3+14=218−−a33>0,此时y=f x与y=g x在0,1内有唯一交点，如图．此时函数 x的零点个数为1．情形三：当a=−34时，与情形二类似，但此时极小值为0，如图．此时函数 x的零点个数为2．情形四：当−54<a<−34时，与情形三类似，但此时极小值小于0，如图．此时函数 x的零点个数为3．情形五：当a=−54时，与情形四类似，但此时y=f x与y=g x图象交于点1,0，如图．此时函数 x的零点个数为2．情形六：当a<−54时，与情形五类似，但此时y=f x与y=g x图象交点横坐标大于1，如图．此时函数 x的零点个数为1．综上，函数 x的零点个数为当a<−54或a>−34时， x只有一个零点，当a=−54或a=−34时，x只有两个零点，当−54<a<−34时， x有三个零点．22. （1）连接AE，OD，知AE⊥BC．所以△AEC是直角三角形，且∠AEC=90∘．又D为AC中点，所以DA=DE．又A、E在⊙O上，所以OA=OE，又OD=OD，所以△AOD≌△EOD，所以∠OED=∠OAD=90∘，所以OE⊥DE，所以DE是⊙O的切线．（2）由OA=3CE，∴AB=23CE．由CB为圆的割线，CA为圆的切线，知CE⋅CB=CA2．在Rt△ABC中，CA2=CB2−AB2，∴23CB=CB2−AB2，整理得−2AB 2CB+AB =0，∴ABCB =32=sin∠ACB．又∠ACB为锐角，∴∠ACB=60∘．23. （1）C1:ρcosθ=−2，C2:ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0．（2）C3:y=x，圆C2的圆心C2到y=x的距离d=2=22，∴ MN =2⋅12−222=2，∴S△C2MN =12⋅ MN ⋅d=12⋅2⋅22=12．24. （1）a=1时，f x= x+1−2 x−1=3−x,x≥1,3x−1,−1<x<1, x−3,x≤−1.∴f x>1的解集为 x23<x<2．（2）f x=2a+1−x,x≥a,3x−2a+1,−1<x<a, x−2a−1,x≤−1.当x=a时，f x=a+1>0；当x=−1时，f x=−2a−2<0；∴令2a+1−x=0，x=2a+1，令3x−2a+1=0，x=2a−13，∴f x的图象与x轴围成的三角形的面积为12⋅2a+1−2a−13⋅a+1，因为12⋅2a+1−2a−13⋅a+1>6，解得a>2．∴a的取值范围为2,+∞．。
2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
2015年全国卷1(理科数学)含答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设复数z 满足＝i ，则|z |＝【A 】 (A )1 (B(C(D )2(2)sin20°cos 10°－con 160°sin10°＝【D 】 (A ) (B (C ) (D ) (3)设命题P ：n N ，>，则P 为【C 】(A )n N ， > (B ) n N ， ≤ (C )n N ， ≤ (D ) n N ， ＝(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为【A 】 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是【A 】1+z1z-12-12∃∈2n 2n⌝∀∈2n 2n ∃∈2n 2n∀∈2n 2n ∃∈2n 2n2212x y -=12MF MF ⋅(A )()(B )()(C )(，) (D )() (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有【B 】(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛(7)设D 为ABC 所在平面内一点，则【A 】(A ) (B )(C ) (D )(8)函数f (x )＝的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为【D 】(A )()，k (b )()，k(C )()，k (D )()，k3-33BC CD =1433AD AB AC =-+1433AD AB AC=-4133AD AB AC =+4133AD AB AC =-(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝【C 】 (A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）的展开式中，的系数为【C 】(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20，则r ＝【B 】 (A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是【D 】25()x x y ++52x y π2rr正视图俯视图r2rA .[，1)B . [)C . [)D . [，1)第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f (x )＝xln (x)为偶函数，则a ＝ 1 .(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为.(15)若x ，y 满足约束条件，则的最大值为 3 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设，求数列}的前n 项和解：（I ）由，可知可得即由于可得又，解得32e -33,24e -33,24e 32e 22325()24x y ±+=10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩yx 2243n n n a a S +=+211124 3.n n n a a S ++++=+221112()4n n n n a a a a a +++-+-=2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-0n a >1 2.n n a a +-=2111243a a a +=+111()3a a =-=舍去，所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为（II ）由设数列的前n 项和为，则(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°， E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值解：（I ）连结BD ，设BDAC=G ，连结EG ，FG ，EF.在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由ABC=120°，可得AG=GC=.由 BE 平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE EC ，所以EG=，且EG AC.在Rt EBG 中，可得BE=故DF=.在Rt FDG 中，可得FG=. 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=，DF=，{}n a 2 1.n a n =+21n a n =+111111().(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++{}n b n T 12n nT b b b =+++1111111()()()()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦=+∠3⊥⊥3⊥∆222∆62222ABCFED可得FE=.从而又因为所以平面（I ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I ）可得所以 故所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为.(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.2222,EG FG EF EG FG +=⊥所以,.ACFG G EG AFC =⊥可得平面EG AEC ⊂平面AEC AFC ⊥平面GB(0(10(10),(02A E F C --，，，(132),(1AE CF ==-，，cos ,3AE CF AE CF AE CF ⋅==-⋅3－)2－)2－)(y i))(y i －)46.6 56.3 6.8289.81469108.8表中w i ＝， ，＝(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：解： （I ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。
2015届高三级最后一摸理科数学试题附答案
2015届高三级最后一摸理科数学试题说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． （1）设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2（2）若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 6- B. 2- C. 4 D. 6（3）已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝ （A ）0.22 （B ）0.28 （C ）0.36 （D ）0.64 （4）执行右面的程序框图，若输出的k ＝2，则输入x 的取值范围是（A ）(21，41) （B ）[21，41] （C ）(21，41] （D ）[21，41) （5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S n a n＝（A ）4n －1 （B ）4n －1（C ）2n －1 （D ）2n －1（6）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A ） 2 （B ）2 （C ） 5 （D ） 3开始 是x ≤81？否 输入x x ＝2x －1结束k ＝0输出k k ＝k ＋1（7）已知函数f (x )＝cos (2x ＋π 3)，g (x )＝sin (2x ＋2π3)，将f (x )的图象经过下列哪种变换可以与g (x )的图象重合（A ）向左平移 π12（B ）向右平移 π12（C ）向左平移 π6（D ）向右平移 π6（8）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）A ．30B ．12C ．24D ．4（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c +a ）∥b ，c ⊥（b +a ），则c=（A ）（ 79 ， 73 ） （B ）（ 73 ， 79 ）（C ）（73 ， 79 ） （D ）（－ 79 ，－ 73）（10）已知半圆的直径10AB = ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PC PB PA ⋅+的最小值是（ ） Ａ．225Ｂ.25- Ｃ．25 Ｄ.225-（11）函数，其图像的对称中心是（A ）（－1，1） （B ）（1，－1） （C ）（0，1）（D ）（0，－1）（12）关于曲线C ：x 12 ＋y 12 ＝1，给出下列四个命题：①曲线C 有且仅有一条对称轴； ②曲线C 的长度l 满足l ＞2；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24 ；④曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是 1643 233正视图侧视图俯视图3 243上述命题中，真命题的个数是 （A ）4 （B ）3（C ）2（D ）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 11.复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是12.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是 5/313．2+2x （）521()mx x-展开式中2x 项的系数490,则实数m 的值为 . 答案：7±14.已知正项{}n n a S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点2122(,)321,2,{}2n n n n a a y x a a a n S +=+==在直线上,又知则数列的前项和等于答案：21332n n n +--+（16）△ABC 的顶点A 在y 2＝4x 上，B ，C 两点在直线x －2y+5=0上，若|AB －AC |＝2 5 ，则△ABC 面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求a ＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。
2015年高考理科数学试题及答案-全国卷1
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1）理 科 数 学一、选择题 1．设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）32-（B ）32 （C ）12- （D ）123．设命题p ：2,2nn N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）（A ）2,2nn N n ∀∈> （B ）2,2nn N n ∃∈≤（C ）2,2nn N n ∀∈≤ （D ）2,=2nn N n ∃∈4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.3125．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ）（A ）（-3，3） （B ）（-3，3） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =- 8．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 10．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812．设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） （A ）[-32e ，1） （B ）[-32e ，34） （C ）[32e ，34） （D ）[32e，1）二、填空题13．若函数f （x ）=2ln()x xa x ++为偶函数，则a=14．一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为. 15．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为.16．在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是. 三、解答题17．（本小题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 18．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()iii w w yy =--∑46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，w =1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-.（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数. 22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交于E.（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是的切线；（Ⅱ）若3OA CE =，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）>1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试答案及解析【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由11z i z +=-得，11i z i-+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3.【答案】C【解析】p ⌝:2,2nn N n ∀∈≤，故选C. 考点：本题主要考查特称命题的否定 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF •= 0000(,),)x y x y -•-=2220003310x y y +-=-<，解得0y <<，故选A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7.【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A. 考点：平面向量的线性运算 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.考点：三角函数图像与性质9.【答案】C【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=12=0.5,S=S-m=0.5,2mm ==0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环， 执行第2次，S=S-m=0.25,2mm ==0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环， 执行第3次，S=S-m=0.125,2mm ==0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,2mm ==0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m=0.03125,2mm ==0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,2mm ==0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,2mm ==0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.考点：本题注意考查程序框图 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 12.【答案】D【解析】设()g x =(21)xe x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)xg x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，max [()]g x =12-2e -，当0x =时，(0)g =-1，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 14.【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 15.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法16.【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得AB 的取值范围为.考点：正余弦定理；数形结合思想17.【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+. 考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，又∵AE ⊥EC ，∴EG ⊥AC ，在Rt △EBG 中，可得，故DF=2.在Rt △FDG 中，可得FG=2在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2可得EF=2， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，0），E （），F （－1,0），C （00），∴AE =（1），CF =（-1，，2）.…10分故cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-. 所以直线AE 与CF所成的角的余弦值为3. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19.【答案】（Ⅰ）y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）100.6y =+（Ⅲ）46.24 【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w =y关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.（Ⅱ）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()()iii ii w w yy d w w ==--=-∑∑=108.8=6816，∴c y dw =-=563-68×6.8=100.6.∴y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，∴y 关于x 的回归方程为100.6y =+（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.6y =+，576.60.24966.32z =⨯-=.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.620.12z x x =+-=-+，13.6=6.82，即46.24x =时，z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得)M a ，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x =，C 在,)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=.故24x y =在x =-处的到数值为C 在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力21..【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论.试题解析：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==. 因此，当34a =时，x 轴是曲线()y f x =的切线.（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点.当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.（ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.（ⅱ）若30a -<<，则()f x 在（0单调递减，在1）单调递增，故当x ()f x取的最小值，最小值为f 14.①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.②若f =0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA =得，AB=AE=x ，由勾股定理得BE =，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE =⋅，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小. 试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线.（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得AB=BE 由射影定理可得，2AE CE BE =⋅，∴2x ，解得x ，∴∠ACB=60°.考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 23.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12. 考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 24.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f （x ）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f （x ）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，所以不等式f （x ）>1的解集为2{|2}3x x <<.（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法。
2015届高三下学期最后一次模拟考试试卷理科数学试题附答案
2015届高考适应性训练 数学试题（理工类）（2015.5.23）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集R U =，集合{01}M x x =<≤，{}|0N x x =≤，则()U MN =ð ( )A ．{}|01x x ≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|1x x <2．已知复数z ＝3+i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 ( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0||||a ba b +=成立的是 ( ) A.1a b =- B.//a b C.2a b = D.a b ⊥4．等比数列{a n }中,a 3=6,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为 （ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-5. 下列四个命题中正确命题的是（ ）A ．学校抽取每个班级座号为21-30号的同学检查作业完成情况，这是分层抽样；B ．可以通过频率分布直方图中最高小矩形的高来估计这组数据的众数；C ．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则(10)1P p ξ-<<=-；D ．在散点图中，回归直线至少经过一个点。
6．已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“||2k ≤”是“()()f x g x ≥在R 上恒成立”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，如果输入x ，t 的值均为2，最后输出S 的值为n ，在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D n ≤的概率为( )A ．410 B ．510 C ．610 D ．7108．正项等差数列{}n a 中的1a 、4029a 是函数2()ln 81f x x x x =-+-的极值点,则22015log a = （ ）A ．2B ．3C ．4D ．19. 过抛物线y x 42=的焦点F 作倾斜角为α的直线交抛物线于P 、Q 两点，过点P 作抛物线的切线l 交y 轴于点T ，过点P 作切线l 的垂线交y 轴于点N ，则PNF ∆为 （ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形10. 定义：若对定义域D 内的任意两个()2121,x x x x ≠，均有()()1212f x f x x x -<-成立，则称函数()x f y =是D 上的“平缓函数”。
2015年高考理科数学全国卷(新课标I卷)含答案(解析版)
4 1 AB AC 3 3
4 1 AB AC 3 3
1 1 1 4 试题分析：由题知 AD AC CD AC BC AC ( AC AB) = AB AC ，故选 A. 3 3 3 3
考点：平面向量运算
(8) 函数 f ( x) = cos( x ) 的部分图像如图所示，则 f ( x) 的单调递减区间为 (A)（ ）,k (b)（ ）,k
考点：函数的奇偶性
（14）一个圆经过椭圆
x2 y 2 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 16 4
。
3 25 【答案】 ( x )2 y 2 2 4
【解析】
3 试题分析：设圆心为（ a ，0） ，则半径为 4 | a | ，则 (4 | a |) 2 | a | 2 2 2 ，解得 a ，故圆的 2 3 25 方程为 ( x )2 y 2 .学科网 2 4
【解析】 试题分析： （Ⅰ）先用数列第 n 项与前 n 项和的关系求出数列{ an }的递推公式，可以判断数列{ an }是等差
数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{ an }的通项公式； （Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{ bn }的通项公式， 再用拆项消去法求其前 n 项和. 学科网
试题解析： （Ⅰ）当 n 1 时， a12 2a1 4S1 3 4a1 +3 ，因为 an 0 ，所以 a1 =3，
考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
（18）如图， ，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平 面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值
2015年高考数学全国卷1(理)试卷解析版
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ... ) ( ) 2 3 5 5 7 2n 1 2 n 3 2 3 2 n 3 6 n 9
18. （本小题满分 12 分） 如图， 四边形 ABCD 为菱形， ABC 120 ，E 、F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE 平面 ABCD ， DF 平面 ABCD ， BE 2 DF ， AE EC （1）证明：平面 AEC 平面 AFC ； （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值； 【解析】 （1）联结 BD ，交 AC 于点 O 联结 OE 、 OF 、 EF 易证 AE EC ，∴ OE AC 同理 OF AC ∴平面 AEC 与平面 AFC 所成角即 EOF 易证 Rt EBO ∽ Rt ODF ，∴ EOF 90 ，即平面 AEC 平面 AFC （或者以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，证 OE OF 0 ） （2）以 O 为坐标原点，射线 OB 为 x 轴， OC 为 y 轴， OG 为 z 轴，建立空间直角 坐标系，设菱形 ABCD 边长为 2，则点 A(0, 3, 0) ， E (1,0, 2) ，C (0, 3, 0) ，
C. 36 斛
【解析】 l r 8 【答案】B
3 16 1 1 1 16 320 r r ，∴ V Sh 3 ( )2 5 （立方尺） 2 3 3 3 4 3 9
7. 设 D 为△ ABC 所在平面内一点， BC 3CD ，则（ A. AD
【答案】3
16. 在平面四边形 ABCD 中， A B C 75 ， BC 2 ，则 AB 的取值范围是 ； 【解析】如图所示，当点 D 与点 A 接近于重合时， AB 最大， cos 75
2015数学(理)全国I大联考(一)附参考答案
全国大联考2015届高三第一次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x∈Z|-3<x<2},N={x∈Z|-1≤x≤3},则M∩N等于A.{0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}2.命题p:∀x∈R,x2+1≥1,则p是A.∀x∈R,x2+1<1B.∃x0∈R,+1≤1C.∃x0∈R,+1<1D.∃x0∈R,+1≥13.下列函数中,是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是A.y=cos xB.y=-x2+1C.y=log2|x|D.y=e x-e-x4.一元二次方程ax2+2x+1=0(a∈R且a≠0)有一正根和一负根的充分不必要条件是A.a<0B.a>0C.a<-1D.a>15.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为A.B. C. D.16.已知a=0.-,b=sin ,c=log2.51.7,则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a17.函数f(x)=x+sin x在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A.B. C. D.+18.设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),且x0∈(m,m+1),m∈Z,则m的值为A.1B.2C.3D.49.已知“f(x)=xln x在定义域内单调递增”的否定为p,“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)都是奇函数,则y=f(x)+g(x)是奇函数”的否命题为q,则下列命题为真命题的是A.p∨qB.p∧qC.p∧qD.p10.设函数y=f(x)在全体实数集R内有定义,对于给定的正数k,定义函数f k(x)=取函数f(x)=a-|x|(0<a<1),当k=时,函数f k(x)的值域为A.(0,a)∪(,+∞)B.[a,1]∪(,+∞)C.(0,a)∪[1,)D.(0,a]∪[1,)11.函数f(x)=的图象可能是A.(1)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)12.设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,若x0是方程f(x)-f'(x)=2的一个解,则x0可能存在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知函数f(x)=则f[f(2)]=▲.214.(x+)dx=▲.15.已知函数f(x)=2ax2-ax+c的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,若函数y=f'(x)的零点为m,则-m a+c=▲.16.给出下列命题:①若y=x3+ax在R上单调递增,则a≥0;②若p是q的充分必要条件,则p可能是q的必要不充分条件;③若函数f(x)是奇函数,则函数f(x+1)的图象关于点A(1,0)对称;④已知函数y=f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则当x∈(0,5]时,函数y=f(x)与g(x)=lg x的图象有4个交点.其中真命题的序号为▲.(把所有真命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=-的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.(1)当m=3时,求A∩(R B);(2)若A∩B={x|-1<x<4},求实数m的值.18.(本小题满分12分)已知p:函数f(x)=(x-2)e x(e是自然对数的底数)在(m,2m)上是单调函数;q:“x2-2x≤0”是“x2-2mx-3m2≤0”的充分不必要条件.若p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.319.(本小题满分12分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. (1)已知二次函数f(x)=ax2+2bx-4a(a≠0,b∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”,并说明理由;(2)设f(x)=2x+m是定义在[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(其中e是自然对数的底数,常数a>0).-(1)当a=1时,求曲线在(0,f(0))处的切线方程;(2)若存在实数x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)在2014年南京“青奥会”来临之际,某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场.已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元,且每套礼品的加工费用为6元,若该纪念品投放市场后,每套礼品出厂的价格为x(60≤x≤100)元,根据市场调查可知,这种纪念品的日销售量q与成反比,当每套礼品的出厂价为81元时,日销量为200个.(1)若每天加工产品个数根据销量而定,使得每天加工的产品恰好销售完,求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系;(2)若在某一段时间为了增加销量,计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售,但保证每日的利润不低于9000元,求t的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-bx(a,b∈R,且a≠0).(1)当b=2时,若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)当a>0且2a+b=1时,讨论函数f(x)的零点个数.42015届高三第一次联考·数学试卷参考答案1.D∵M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},∴M∩N={-1,0,1}.2.C全称命题的否定是特称命题,所以p是∃x0∈R,+1<1,故选C.3.C函数y=cos x为偶函数,但是在(0,+∞)上不单调;y=-x2+1为偶函数,在(0,+∞)上为减函数;y=e x-e-x 为奇函数;只有函数y=log2|x|符合题意.4.C设x1,x2是方程两个根,则满足题意的充要条件是x1·x2=<0,则由选项知充分不必要条件是a<-1.5.B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=-,由f'(2)=2可得-=2,解之得a=.6.D由指数函数y=0.6x的图象可知,当x<0时,y>1,∴0.->1;由于函数y=sin x在(0,)上单调递增,又0<<<,∴sin <sin =;函数y=log2.5x在(0,+∞)上单调递增,又<1.7<2.5,∴=log2.5<log2.51.7<1,∴b<c<a.7.A f(x)=x+sin x,则f'(x)=1+cos x,则f'()=1,而f()=+1,故切线方程为y-(+1)=x-.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.故切线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×1=.8.A令f(x)=x3-()x-2,易得函数f(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-()1-2=-1<0,f(2)=8-()2-2=7>0,且函数f(x)在R上单调递增,所以x0∈(1,2),所以m=1.9.C f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x+1,当0<x<时,f'(x)<0,故f(x)在定义域上不是单调递增函数,故p是真命题;命题q为“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)不都是奇函数,则5y=f(x)+g(x)不是奇函数”,这是假命题,例如f(x)=x+x2,g(x)=x-x2都不是奇函数,但y=f(x)+g(x)=2x是奇函数,故正确的命题为p∧q.10.B依题意,当k=时,由a-|x|≤(0<a<1),得|x|≤1,此时f k(x)==a|x|∈[a,1];由a-|x|>(0<a<1),得|x|>1,此时f k(x)=f(x)=a-|x|∈(,+∞).因此,当k=时,函数f k(x)的值域为[a,1]∪(,+∞).11.C取a=0,可知(4)正确;取a<0,可知(3)正确;取a>0,可知(2)正确;无论a取何值都无法作出(1).12.B由题易知f(x)-log2x为常数,令f(x)-log2x=k(常数),则f(x)=log2x+k,由f[f(x)-log2x]=3得f(k)=3.又f(k)=log2k+k=3,所以k=2,所以f(x)=log2x+2.再用零点存在定理验证可知选B.13.2因为2≤2,所以f[f(2)]=f(4)==2.14.(e2+1) (x+)dx=(x2+ln x)=e2+ln e-=(e2+1).15.-由图象可知f(1)=0,即2a-a+c=0,即a+c=0,又f'(x)=4ax-a,由图可知a<0,故y=f'(x)的零点为m=,故-m a+c=(-m0=--1=()-2-1=3-2-1=-.16.①④对于①,由y=x3+ax可得y'=3x2+a,要使函数单调递增,只需y'=3x2+a≥0恒成立,故a≥-3x2,可得a≥0,故①正确;对于②,若p是q的充分必要条件,则p一定是q的充分必要条件,故②错误;对于③,根据图象平移的“左加右减”的规律可知,f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移了一个单位长度,故对称中心为(-1,0);对于④,作出函数图象可知在x∈(0,5]上,f(x)与g(x)有4个交点,则④正确.17.解:(1)由已知可得A={x|-1<x≤5}.当m=3时,B={x|-1<x<3},则R B={x|x≤-1或x≥3},∴A∩(R B)={x|3≤x≤5}. .............................................................. 5分(2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},故4是方程-x2+2x+m=0的一个根,∴-42+2×4+m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,因此实数m的值为8. ....................................... 10分18.解:由f(x)=(x-2)e x,可得f'(x)=(x-1)e x.由f'(x)>0,可得x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递增;由f'(x)<0,可得x<1,即f(x)在(-∞,1)上单调递减.若p为真,则或解之得0<m≤或m≥1. .................................. 4分6若q为真,分m大于0与小于0,可得m≥或m≤-2. ........................................ 6分由p∨q为真,p∧q为假,可得p,q一真一假.若p假q真,则m∈(-∞,-2]∪[,+∞)且m∈(-∞,0]∪(,1),即实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[,1);.................................................. 8分若p真q假,则m∈(-2,)且m∈(0,]∪[1,+∞),即实数m的取值范围是(0,]. ................... 10分综上可知,若p∨q为真,p∧q为假,则实数m的取值范围是(-∞,-2]∪(0,]∪[,1). .............. 12分19.解:(1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(-x)+f(x)=0有解,即f(x)+f(-x)=0⇒2a(x2-4)=0,........................................................... 3分解得x=±2,∴f(x)为“局部奇函数”.................................................... 5分(2)当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可转化为2x+2-x+2m=0,∵f(x)的定义域为[-1,1],∴方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解,令t=2x∈[,2],则-2m=t+.∵g(t)=t+在[,1)上递减,在[1,2]上递增,∴g(t)∈[2,],∴-2m∈[2,],即m∈[-,-1]. ........................................................... 12分20.解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}.当a=1时,f(x)=-,f'(x)=--,∴f(0)=-1,f'(0)=-2,∴曲线在(0,f(0))处的切线方程为2x+y+1=0. .............................................. 4分(2)f'(x)=--,令f'(x)=0,得x=a+1,∴f(x)在(-∞,a),(a,a+1)上递减,在(a+1,+∞)上递增. ........................................ 6分若存在实数x∈(a,2],使不等式f(x)≤e2成立,只需在x∈(a,2]上,f(x)min≤e2成立.①当a+1≤2,即0<a≤1时,f(x)min=f(a+1)=e a+1≤e2,∴0<a≤1符合条件.................................................................. 10分②当a+1>2,即1<a<2时,f(x)min=f(2)=-≤e2,解得a≤1,又1<a<2,∴a∈⌀.综上,a的取值范围是(0,1]. ........................................................... 12分721.解:(1)根据条件可设q=,由条件可知,当x=81时,q=200,即200=,k=1800,∴q=,∴生产这套“青奥会”纪念品每日可以获得的利润为y=(x-30-6)·=(60≤x≤100). ........ 4分(2)由(1)可知y=,∴y'=--=.显然,当x>0时,y'>0,∴函数在[60,100]上单调递增,∴当x=100时,每日获得的利润最大,且最大值为y=-=11520(元),........................................................... 8分∴每套纪念品的价格降低t元后,每套纪念品的价格为100-t元,可以获得的利润为y=-,由条件只需-≥9000,令-=m,则可得m2-5m-36≥0,结合m>0可解得m≥9,即-≥9,解之得t≤19,结合条件可知t 的取值范围是(0,19]. ................................................................ 12分22.解:(1)当b=2时,函数f(x)=ln x-ax2-2x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-2=--.∵函数f(x)存在单调递减区间,∴f'(x)=--≤0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.∴关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.①当a>0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上总有无穷多个解.②当a<0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为x=->0.要使关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.必须Δ=4+8a>0,解得a>-,此时-<a<0.综上所述,a的取值范围为(-,0)∪(0,+∞). ............................................... 6分(2)当b=1-2a时,函数f(x)=ln x-ax2-(1-2a)x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-(1-2a)=---,令f'(x)=0,得8--=0,即2ax2+(1-2a)x-1=0,(x-1)(2ax+1)=0,∵x>0,a>0,则2ax+1>0,∴x=1,当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln 1-a-b=-a-1+2a=a-1.①当a=1时,f(1)=0,若x≠1,则f(x)<f(1),即f(x)<0.此时,函数f(x)与x轴只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点;②当a>1时,f(1)>0,又f()=ln-a·()2-(1-2a)×=-a(-1)2-<0,f(e)=ln e-ae2-(1-2a)e=1-ea(e-2)-e<0,函数f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有两个零点;③当0<a<1时,f(1)<0,函数f(x)与x轴没有交点,故函数f(x)没有零点. ....................... 12分9。
2015届高三最后一考数学(理科)试题附答案
2015届高三最后一考数学（理科）试题一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}26,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则=B A （ ）（A ）{}3,4,5（B ）{}4,5,6 （C ）{}36x x <≤ （D ）{}36x x <≤2.复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3.下列命题错误的是（A ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” （B ）若命题2:,10p x R x x ∃∈++=，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≠（C ）已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1xe >，则命题()p q ∧⌝是真命题（D ）“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 4.已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）11()()43a b < （B ）11a b > （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<5.函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ）向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度6.在区间[]1,0内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数b ax x x f ++=2)(2有零点的概率为（ ）（A ）32 （B ）31 （C ）12（D ）147.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）（A ）22（B ）52 （C ）62 （D ）38.若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若303aG bG cGC A +B +=，则角=A （ ）（A ）90 （B ）60 （C ）45 （D ）309.某学组织高考前指导，准备从甲、乙等8名老师中选派4名参加，要求甲、乙两位老师至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的出场顺序不能相邻，那么不同的出场顺序的种数为（ ）（A ）1860 （B ）1320 （C ）1140 （D ）102010.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ）（A ） ]2,2[- （B ） ),2[+∞ （C ） ),0[+∞ （D ）(,2][2,)-∞-+∞ 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上. 11.设随机变量X 服从正态分布()1,4N ，若()()125a a P X >+=P X <-，则a = ．12.已知9)2(x x a -的展开式中，493的系数为x ，则常数a 的值为13.已知函数()()2log 12f x x x m =++--。
2015届高三质量检测(一)数学(理)试题附答案
2015届高三质量检测（一）数学（理）试题注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
3.答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干后，再涂其他答案标号，写在本试卷是上无效。
答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷是上无效。
参考公式：球的体积公式：V= 43πR3（其中R表示球的半径）锥体体积公式：V=13sh（其中s表示锥体底面面积，h表示锥体的高）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为（A）{0，-1} （B）{-1，1} （C）{-1} （D）{0}（2）复数z满足（－1＋i）z＝（1＋i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知向量OA=（2，2），OB=（4，1），点P在x轴上，则.AP BP取最小值时P点坐标是（A）（－3，0）（B）（1，0）（C）（2，0）（D）（3，0）（4）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4 -2a27+3a8 =0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则B2b8b11 等于（A）1 （B）2 （C）4 （D）8（5）已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是（A）310（B）29（C）78（D）79（6）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）64（B）72（C）80（D）112（7）执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n等于开始（A）2（B ）3 （C ）4（D ）5 （8）已知函数y ＝f （x ）的导函数为f’（x ），且 2()'()s i n 3f x x f x π=+,则'()3f π=（A ）364π- （B ）362π-（C ）364π+ （D ） 362π+（9）若点P （x ，y）满足线性约束条件020,0y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩点A ，O 为坐标原点，则.OAOP 的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）-6 （D ）6（10）已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：2222y x a b -（a>0，b>0，点P 是抛物线y 2 ＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（A ）22123y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -=（D ）22132y x -= （11）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 2=10，S 4=36，则过点P （n ，a n ）和Q （n+2，a n+2）（n ∈N*）的直线的一个方向向量是 （A ）1(,2)2-- （B ）（-1，-1） （C ）1(,1)2-- （D ）(2, 12)（12）已知f(x),g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f’(x)g(x)>f(x)g’(x)，且f(x)=a x g(x) （a>0，且a≠1），(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-若数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生必须做答.第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）在5(x 的二项展开式中，x 2的系数为____________. （14）在三棱锥A-BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为,222则三棱锥A-BCD 的外接球体积为____________. （15）已知函数222(3)14x f x g x -=-，则f （x ）的定义域为____________.（16）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一 点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,(2,1),(2,cos )a b c q a p b c C ==-，且q p . （Ⅰ）求sinA 的值； （Ⅱ）求三角函数式2cos 211tan CC-++的取值范围.（18）（本小题满分12分）如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=AF=1.（Ⅰ）求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA 所成的角为60°，试确定点P 的位置.（19）（本小题满分12分）某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：2222y x a b -（a>b>0）的离心率为 2，其左、右焦点分别是F 1，F 2，过点F 1的1直线l 交椭圆C 于E ，G 两点，且△EGF 2的周长为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足 OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当253PA PB -<时，求实数t 的取值范围.（21）（本小题满分12分）设函数f （x ）=ae x （x+1）（其中，e=2.71828……），g （x ）=x 2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线.（Ⅰ）求函数f （x ），g （x ）的解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）在[t ，t+1]（t>-3）上的最小值；（Ⅲ）若∀x≥-2，kf （x ）≥g （x ）恒成立，求实数k 的取值范围. 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD= A13C ，AE= 23AB ，BD ，CE 相交于点F.（Ⅰ）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC 的边长为2，求A ，E ，F ，D 所在圆的半径.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=.（Ⅰ）写出直线l 的参数方程；（Ⅱ）设l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，求点P （1，1）到A ，B 两点的距离之积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.（Ⅰ）求不等式f(x)≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围.参考答案一.选择题：CDDDD BCADC AA二.填空题（13） 40 （14 （15）{x |x >1} （16）43三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. ………………6分 (2)原式＝－2cos 2C1＋tan C ＋1＝1－2C －sin 2C1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C ＋1的取值范围为(－1，2]． ………………12分18. （本小题满分12分）解 (1)以C 为坐标原点，分别以CD ，CB ，CE 所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，D (2，0,0)，B (0，2，0)，A (2，2，0)，F (2，2，1)，连接BD ，则AC ⊥BD .因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，且平面ABCD ∩平面ACEF ＝AC ，所以DB →是平面ACEF 的一个法向量．又DB →＝(－2，2，0)，DF →＝(0，2，1)，所以cos 〈DF →，DB →〉＝DF →·DB →|DF →|×|DB →|＝33.故直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值为33. ………………6分 (2)设P (a ，a,0)(0≤a ≤2)，则PF →＝(2－a ，2－a,1)，DA →＝(0，2，0)．因为〈PF →，DA →〉＝60°，所以cos 60°＝22－a 2×2－a 2＋1＝12.解得a ＝22或a ＝322(舍去)，故存在满足条件的点P (22，22，0)为AC 的中点．…………12分 19. （本小题满分12分）解（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 0.0125x =． …………3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为12000.12144⨯=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． …………6分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 10分0123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． …………12分20. （本小题满分12分）解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. …………6分(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t ＋2k 2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t ＋2k 2. …………8分∵点P 在椭圆C 上，∴k 22[t ＋2k 22＋2－4k 2[t ＋2k 22＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k 4＋2k 22－4·8k 2－21＋2k 2]<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)． …………12分21. （本小题满分12分）解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b . 由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线． ∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2. …………6分(2)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2， 由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增， 在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3， ∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2－3<t <－2e tt ＋t ≥－ …………9分(3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0. ∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立， ∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1. F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4 ＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k ，∴x >ln 1k；由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1k ，＋∞)单调递增．①当ln 1k<－2，即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增， F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0，不满足F (x )min ≥0.当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0.③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k ，＋∞)单调递增．F (x )min ＝F (ln 1k )＝ln k (2－ln k )>0，满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2]． …………12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲(Ⅰ)证明:∵AE=AB,∴BE=AB,∵在正△ABC 中,AD=AC, ∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD ≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC, …………5分 即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D 四点共圆. (Ⅱ)解:如图,取AE 的中点G,连接GD,则AG=GE=AE, ∵AE=AB, ∴AG=GE=AB=, ∵AD=AC=,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G 是△AED 外接圆的圆心,且圆G 的半径为.由于A,E,F,D 四点共圆,即A,E,F,D 四点共圆G,其半径为. …………10分 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）直线的参数方程为1cos 61sin6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ …………5分(2）把直线1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x得2221(1)(1)4,1)202t t t +++=+-= 122t t =-，则点到,A B 两点的距离之积为2。
(完整版)2015年高考理科数学全国一卷真题
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=（ ）（A ）1 （B （C （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）（B （C ）12- （D ）123．设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ） （A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤ （C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.3125．已知M （00,x y ）是双曲线C ：221x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233） 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =- 8．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 12．设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）（A ）[-32e ，1） （B ）[-32e ，34） （C ）[32e ，34） （D ）[32e，1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2015年高考理科数学试卷全国卷1含答案)
2015年高考理科数学试卷全国卷1．设复数 满足11z z +- i ，则 （ ） （ ） （ ）2 （ ）3 （ ）．o o o o sin 20cos10cos160sin10- （ ）（ ）3- （ ）3 （ ）12- （ ）12．设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）（ ）2,2nn N n ∀∈> （ ）2,2n n N n ∃∈≤ （ ）2,2nn N n ∀∈≤ （ ）2,=2n n N n ∃∈ ．投篮测试中，每人投 次，至少投中 次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（ ） （ ） （ ） （ ）．已知 （00,x y ）是双曲线 ：2212x y -=上的一点，12,F F 是 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ）（ ）（ 33，33） （ ）（ 36，36） （ ）（223-，223） （ ）（23-，23）．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 尺，米堆的高为 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知 斛米的体积约为 立方尺，圆周率约为 ，估算出堆放斛的米约有（ ）（ ） 斛 （ ） 斛 （ ） 斛 （ ） 斛．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（ ）1433AD AB AC =-+ （ ）1433AD AB AC =- （ ）4133AD AB AC =+ （ ）4133AD AB AC =- ．函数()f x cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（ ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （ ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （ ）13(,),44k k k Z -+∈ （ ）13(2,2),44k k k Z -+∈．执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）（ ） （ ） （ ） （ ）．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）（ ） （ ） （ ） （ ）．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 π，则 （ ）（ ） （ ） （ ） （ ）．设函数()f x (21)x e x ax a --+ 其中 ，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x ，则a 的取值范围是（ ）（ ） 32e ， ） （ ） ，34） （ ） ，） （ ） ， ） ．若函数 （ ） 2ln()x x a x ++为偶函数，则．一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x的最大值为 ．在平面四边形 中，∠ ∠ ∠ ， ，则 的取值范围是．（本小题满分 分）n S 为数列 n a 的前n 项和 已知n a ＞ ，2n n a a +（Ⅰ）求 n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a += 求数列 n b 的前n 项和．如图，四边形 为菱形，∠ ， ， 是平面 同一侧的两点， ⊥平面， ⊥平面 ， ， ⊥（Ⅰ）证明：平面 ⊥平面 ；（Ⅱ）求直线 与直线 所成角的余弦值．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：千元）对年销售量 （单位： ）和年利润 （单位：千元）的影响，对近 年的年宣传费i x 和年销售量i y （i ， ， ）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值x y w821()i i x x =-∑ 821()i i w w =-∑ 81()()i i i x x y y =--∑ 81()(i i i w w y y =--∑表中i i w x =，w 1881ii w =∑ （Ⅰ）根据散点图判断， 与x 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率 与 、 的关系为 根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v 22(,)u v ， ，(,)n n u v 其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．（本小题满分 分）在直角坐标系xoy 中，曲线 ： 24x 与直线y kx a =+（a ＞ ）交与 两点，（Ⅰ）当 时，分别求 在点 和 处的切线方程；（Ⅱ） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有∠ ∠ ？说明理由．（本小题满分 分）已知函数 （ ） 31,()ln 4x ax g x x ++=- （Ⅰ）当 为何值时， 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论 （ ）零点的个数．（本题满分 分）选修 ：几何证明选讲如图， 是的直径， 是的切线， 交于（Ⅰ）若 为 的中点，证明： 是的切线； （Ⅱ）若3OA CE =，求∠ 的大小．（本小题满分 分）选修 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C x - ，圆2C ：()()22121x y -+-= 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M N求2C MN ∆的面积．（本小题满分 分）选修 ：不等式选讲已知函数 ，（Ⅰ）当 时，求不等式 （ ） 的解集；（Ⅱ）若 （ ）的图像与 轴围成的三角形面积大于 ，求 的取值范围【答案解析】【答案】【解析】由11z i z +=-得，11i z i-+=+ (1)(1)(1)(1)i i i i -+-+- i ，故 ，故选 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等【解析】原式 o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ o sin30 12，故选 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式【答案】【解析】p ⌝ 2,2nn N n ∀∈≤，故选 考点：本题主要考查特称命题的否定【答案】【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+ ，故选考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式【答案】【解析】由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF • 0000(,),)x y x y -•-- 2220003310x y y +-=-<，解得033y -<<，故选 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法【答案】【解析】设圆锥底面半径为 ，则12384r ⨯⨯= 163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯ 3209，故堆放的米约为3209 ，故选 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= 1433AB AC -+，故选 考点：平面向量的线性运算【答案】【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选 考点：三角函数图像与性质【答案】【解析】执行第 次， 12 2m m = ＞ 是，循环，执行第 次，2m m = ＞ 是，循环，执行第 次，2m m = ＞ 是，循环，执行第 次， 2m m =＞ 是，循环，执行第 次， 2m m = ＞ 是，循环，执行第 次， 2m m = ＞ 是，循环，执行第 次， 2m m = ＞ 否，输出 ，故选考点：本题注意考查程序框图【答案】【解析】在25()x x y ++的 个因式中， 个取因式中2x 剩余的 个因式中 个取x ，其余因式取 故52x y 的系数为212532C C C ，故选 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解【答案】【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 ，圆柱的高为 ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯ 2254r r π+ π，解得 ，故选考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式【答案】【解析】设()g x (21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜ ，当12x >-时，()g x '＞ ，所以当12x =-时，max [()]g x 12-2e -， 当0x =时，(0)g ，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（ ）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32ea ＜ ，故选考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【答案】【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x ++-+ 22ln()ln 0a x x a +-==，解得a考点：函数的奇偶性【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ， ），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+= 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 （ ）与原点连线的斜率最大，故y x 的最大值为考点：线性规划解法【答案】626+2）【解析】如图所示，延长 ， 交于 ，平移 ，当 与 重合与 点时， 最长，在 中，∠ ∠ ，∠ ， ，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BE =，解得BE 6+2，平移 ，当 与 重合时， 最短，此时与 交于 ，在 中，∠ ∠ ，∠ ，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得 62，所以 的取值范围为（62，6+2考点：正余弦定理；数形结合思想【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列 n a 的递推公式，可以判断数列 n a 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 n a 的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列 n b 的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a ，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+-- 14343n n S S -+-- 4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a -- ，所以数列 n a 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以n a 21n +；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b 1111()(21)(23)22123n n n n =-++++， 所以数列 n b 前 项和为12n b b b +++ 1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ 11646n -+ 考点：数列前 项和与第 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）连接 ，设 ，连接 ， ， ，在菱形 中，不妨设 易证 ⊥ ，通过计算可证 ⊥ ，根据线面垂直判定定理可知 ⊥平面 ，由面面垂直判定定理知平面 ⊥平面 ；（Ⅱ）以 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴， 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系 ，利用向量法可求出异面直线 与 所成角的余弦值试题解析：（Ⅰ）连接 ，设 ，连接 ， ， ，在菱形中，不妨设 ，由∠ ，可得 由 ⊥平面 ， 可知， ，又∵ ⊥ ，∴， ⊥ ，在 中，可得，故 2在 中，可得在直角梯形 中，由 ，可得， ∴222EG FG EF +=，∴ ⊥ ，∵ ，∴ ⊥平面 ，∵ ⊂面 ，∴平面 ⊥平面（Ⅱ）如图，以 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴， 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系 ，由（Ⅰ）可得 （ 3 ）， （2， （－ 22）， （ 3 ），∴AE （ 32，CF （ ，3，22） 分 故3cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ⋅<>==- 所以直线 与 所成的角的余弦值为33 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力【答案】（Ⅰ）y c x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）100.668y x =+【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w x =先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率 与 、 的关系为 即可年利润 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()()ii i ii w w y y d w w ==--=-∑∑ 108.8=6816， ∴c y dw =-∴y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，∴y 关于x的回归方程为100.6y =+（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x 时，年销售量y 的预报值100.6y =+，576.60.24966.32z =⨯-=（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润 的预报值0.2(100.620.12z x x =+-=-+，13.6=6.82，即46.24x =时，z 取得最大值 故宣传费用为 千元时，年利润的预报值最大 分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出 的坐标，再利用导数求出 （Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出 的坐标和 点坐标，利用设而不求思想，将直线 ， 的斜率之和用a 表示出来，利用直线 ， 的斜率为 即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的 点坐标试题解析：（Ⅰ）由题设可得)M a ，()N a -，或()M a -，)N a∵12y x '=，故24x y =在x 在,)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=故24x y =在x 处的到数值为， 在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设 （ ， ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线 ， 的斜率分别为12,k k将y kx a =+代入 得方程整理得2440x kx a --=∴12124,4x x k x x a +==- ∴121212y b y b k k x x --+=+ 1212122()()kx x a b x x x x +-+ ()k a b a+ 当b a =-时，有12k k + ，则直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补， 故∠ ∠ ，所以(0,)P a -符合题意考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x 分为1,1,01x x x >=<<研究()h x 的零点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论试题解析：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a == 因此，当34a =时，x 轴是曲线()y f x =的切线 （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<，∴()h x 在（ ， ）无零点当x 时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g === 故x 是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==< 故x 不是()h x 的零点当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（ ）的零点个数（ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（ ）无零点，故()f x 在（ ）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（ ， ）有一个零点；当a ≥ 时，()f x 在（ ， ）无零点（ⅱ）若30a -<<，则()f x 在（ ）单调递增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14①若f ＞ ，即34-＜a ＜ ，()f x 在（ ）无零点②若f ，即34a =-，则()f x 在（ ）有唯一零点；③若f ＜ ，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（ ）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（ ）有一个零点 分综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知， ⊥ ， ⊥ ，由直角三角形中线性质知 ， ，利用等量代换可证∠ ∠ ，即∠ ，所以 是圆 的切线；（Ⅱ）设 由3OA CE =得， 23，设 x ，由勾股定理得212BE x =-，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE =⋅，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ 的大小试题解析：（Ⅰ）连结 ，由已知得， ⊥ ， ⊥ ，在 中，由已知得 ，∴∠ ∠ ，连结 ，∠ ∠ ，∵∠ ∠ ，∴∠ ∠ ，∴∠ ，∴ 是圆 的切线（Ⅱ）设 ， x 由已知得 23，212BE x =-，由射影定理可得，2AE CE BE =⋅，∴2212x x =-，解得x 3，∴∠考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=- 22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出 ，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+= 分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ2ρ1ρ－2ρ，因为2C 的半径为 ，则2C MN的面积o 11sin 452⨯ 12考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（ ， ） 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式 （ ） 化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围试题解析：（Ⅰ）当 时，不等式 （ ） 化为 ＞ ，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式 （ ） 的解集为2{|2}3x x << （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以 的面积为22(1)3a + 由题设得22(1)3a +＞ ，解得2a > 所以a 的取值范围为（ ， ）考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法。
2015年高考理科数学全国1卷-含答案
2015年高考理科数学试卷全国1卷1．设复数z 满足11zz+-=i ，则｜z|=( ） （A)1 (B ）2 (C ）3 （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A)32-（B ）32 （C ）12- （D)123．设命题p :2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）（A ）2,2n n N n ∀∈> (B)2,2n n N n ∃∈≤ (C)2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0。
6，且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为（ ) (A ）0.648 （B)0。
432 （C ）0。
36 （D ）0。
3125．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点,若120MF MF •<,则0y 的取值范围是（ ） （A)（—33,33） (B ）（—36，36） （C ）（223-,223） （D ）（233-，233）6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。
62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 (C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ )(A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =-（C)4133AD AB AC =+ （D)4133AD AB AC =- 8．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( )(A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C)13(,),44k k k Z -+∈ (D ）13(2,2),44k k k Z -+∈9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的n=（ ）(A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 10．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）（A ）10 (B ）20 (C ）30 （D ）6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
2015年高考理科数学全国1卷-含答案
2015 年高考理科数学试卷全国 1 卷1．设复数 z 满足1z= i，则 |z|=（）1z（ A）1（ B）2（C）3（D） 2 2．sin 20o cos10o cos160o sin10 o= （）（ A）3（ B）3（ C）11 222（ D）23．设命题p：n N ,n22n，则p 为（）（ A）n N , n22n（ B）n N , n22n（ C）n N , n22n（ D）n N , n2=2n4．投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（ A） 0.648（ B） 0.432（ C） 0.36（ D） 0.3125．已知 M（x0, y0）是双曲线 C：x2y21上的一点， F1, F2是C上的两个焦点，若2MF1 MF20，则 y0的取值范围是（）（ A）（- 3 ， 3 ）（ B）（- 3 ， 3 ）3366（ C）（2 2，2 2）（ D）（ 2 3，2 3）33336．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问 : 积及为米几何 ?”其意思为 : “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）（ A）14 斛（B）22 斛（C）36 斛（D）66 斛7．设D为ABC 所在平面内一点BC3CD ，则（）（A）AD 1AB4AC（B）AD1AB4AC 3333（C）AD41AC（D）AD 4AB1ACAB33338．函数 f (x) = cos( x ) 的部分图像如图所示，则f ( x) 的单调递减区间为（）（ A ）( k1 , k3 ), k Z （B ） (2 k1 ,2 k3 ), k Z4 44 4（ C ）( k1, k3), k Z（D ）(2 k1,2 k3), k Z44449．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01 ，则输出的 n=（）（ A ）5（B ）6 （C ）7 （D ）810 ． ( x 2 x y)5的展开式中， x 5 y 2的系数为（）（ A ）10（B ） 20（C ） 30（D ） 6011 ．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r= （）（ A ）1 （ B ）2（C ）4 （D ）812 ．设函数 f ( x) = e x(2 x 1) ax a ,其中a 1，若存在唯一的整数 x 0，使得 f ( x 0 )0，则a 的取值范围是（ ）（ A ）[-3，1）（B ）[-3，3） （C ）[ 3，3）（ D ）[3，1）2e2e42e42e13 ．若函数 f （ x ）= xln( xa x 2 ) 为偶函数，则a=14 ．一个圆经过椭圆x 2 y 2 1 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标164准方程为 .x 1 0 ，则y的最大值为 .15 ．若 x, y 满足约束条件x y 0x y 4 0x16 ．在平面四边形 ABCD 中，∠ A=∠ B=∠C=75°， BC=2，则 AB 的取值范围是 .17 ．（本小题满分 12 分）S n 为数列 { a n } 的前n 项和 . 已知a n ＞ 0，a n 2a n = 4S n 3.（Ⅰ）求 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）设b n1 , 求数列 { b n } 的前n 项和 .a n a n 118 ．如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ ABC=120°， E ， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE ⊥平面 ABCD ， DF ⊥平面 ABCD ， BE=2DF ，AE ⊥ EC.（Ⅰ）证明：平面 AEC ⊥平面 AFC ；（Ⅱ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 .19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y （单位： t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费x i 和年销售量 y i （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 .x y w8 8 8 8( x i x)2( w i w) 2( x i x)( y i y)(w i w)( y i y)i 1i 1i 1i146.656.36.8289.81.61469108.8表中 w ix i ， w =18w i8 i 1试卷第 3 页，总 15 页（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与 x、 y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1, v1 ) , (u2 , v2 ) ，⋯⋯， (u n , v n ) ,其回归线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：20．（本小题满分 12 分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=x2与直线 y kx a （ a ＞40）交与 M,N两点，（Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M和 N 处的切线方程；（Ⅱ） y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠ OPM=∠ OPN？说明理由 .21．（本小题满分 12 分）已知函数 f （ x） = x3ax 1, g ( x)ln x . 4（Ⅰ）当 a 为何值时， x 轴为曲线y f ( x) 的切线；（Ⅱ）用 min m, n 表示m,n中的最小值，设函数 h( x) min f ( x), g(x)(x 0) ，讨论 h（ x）零点的个数 .22．（本题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图， AB是的直径， AC是的切线， BC交于 E.（Ⅰ）若 D 为 AC的中点，证明：DE是的切线；（Ⅱ）若 OA3CE ，求∠ACB的大小.23．（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 C1:22x = 2，圆C2：x 1y 21 ,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求 C1， C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线 C3的极坐标方程为R ，设C2与C3的交点为 M ,N,求4C2MN 的面积.24．（本小题满分10 分）选修4— 5：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f （ x） >1 的解集；（Ⅱ）若 f （ x）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围 .【答案解析】1.【答案】 A【解析】由1z i 得， z1i = (1i)(1i )= i，故 |z|=1 ，故选 A. 1z1i(1i)(1i )考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】 D【解析】原式 = sin 20o cos10o cos20o sin10o= sin30o =1，故选 D.2考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3.【答案】 C【解析】p : n N , n22n，故选C.考点：本题主要考查特称命题的否定4.【答案】 A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C32 0.620.40.63=0.648 ，故选 A.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5.【答案】 A【解析】由题知F1(3,0), F2 (3,0)， x02y021，所以MF1MF2=2( 3x0 , y0 ) ( 3 x0 ,y0 ) =x02y02 3 3 y0210 ，解得3y03，33故选 A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6.【答案】 B【解析】设圆锥底面半径为 r ，则1r16341 1 3 (16 )2 5 =320 ，故堆放的米约为 320÷1.62 ≈22，故选 B.4 3 3 9 9考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7.【答案】 A【 解析 】 由题知ADAC CDAC1BC AC1(ACAB)=331AB 4AC ，故选A. 3 3考点：平面向量的线性运算 8.【答案】 D1+【解析】由五点作图知，4 2，解得= ， = ，所以 f (x)cos( x) ，5 344+24令 2kx 2k, k Z ，解得 2k13 Z ，故单调减区＜ x ＜ 2k， k444间为（ 2k13 Z ，故选D.， 2k）， k44考点：三角函数图像与性质 9.【答案】 C【解析】执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m=1=0.5,S=S-m=0.5, mm=0.25,n=1,S=0.522＞ t=0.01, 是，循环，执行第m＞ t=0.01, 是，循环，2 次， S=S-m=0.25, m =0.125,n=2,S=0.252执行第 3 次， S=S-m=0.125, mm是，循环，=0.0625,n=3,S=0.125 ＞ t=0.01,2执行第 4 次， S=S-m=0.0625, mm＞ t=0.01, 是，循环， =0.03125,n=4,S=0.06252 执行第 5 次， S=S-m=0.03125, mm =0.015625,n=5,S=0.03125 ＞ t=0.01, 是，循环，2执行第 6 次，S=S-m=0.015625, mm ＞ t=0.01, 是，循环，=0.0078125,n=6,S=0.0156252执行第 7 次， S=S-m=0.0078125, m=0.00390625,n=7,S=0.0078125 ＞t=0.01, 否，m2输出 n=7，故选 C.考点：本题注意考查程序框图 10.【答案】 C【解析】在( x 2x y)5的5个因式中，2个取因式中 x 2剩余的3个因式中 1 个取x ，其余因式取 y, 故x 5y 2的系数为C 52C 31C 22=30，故选 C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数 .【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 11.【答案】 B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为1 4 r 2r 2rr 22r 2r =25 r 24r 2=16 + 20，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12.【答案】 D【解析】设 g( x) = e x (2 x 1) ，y ax a ，由题知存在唯一的整数x ，使得 g( x ) 在00直线 y ax a 的下方.因为( )x(21)1g ( x)01g ( x)02211以当 x时， [ g (x)]max= -2e 2，2当 x0 时，g(0)=-1 ，g (1)3e0，直线 y ax a恒过（1,0）斜率且 a ，故a g(0)1，且 g( 1)3e 1 a a ，解得3≤ a ＜1，故选D.2e考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【答案】 1【解析】由题知y ln( x a x2 ) 是奇函数，所以 ln( x a x2 ) ln( x a x2 ) = ln( a x2x2 )ln a0 ，解得 a =1.考点：函数的奇偶性14.【答案】(x3)2y225243【解析】设圆心为（ a ，0），则半径为4 a ，则(4 a)2a222，解得 a，故2圆的方程为 ( x3)2y225.24考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程15.【答案】 3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y是可行域内一点与原x点连线的斜率，由图可知，点A（ 1,3 ）与原点连线的斜率最大，故y的最大值为3.x考点：线性规划解法16.【答案】（6 2 ，6+2 ）【解析】如图所示，延长BA， CD交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时， AB 最长，在△ BCE中，∠ B=∠C=75°，∠ E=30°， BC=2，由正弦定理可得BC BE，即sin E sin C2BEo，解得 BE =6+ 2 ，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时osin 75sin 30与 AB 交于 F，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，BF BC，即BF2o，解得 BF=6 2 ，所以AB的取值sin FCB sin BFCosin 75 sin 30范围为（62， 6+ 2）.考点：正余弦定理；数形结合思想1117.【答案】（Ⅰ）2n1 （Ⅱ）6 4n6【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前 n 项和的关系求出数列{ a n } 的递推公式，可以判断数列 { a n } 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{ a n } 的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列 { b n } 的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.试题解析：（Ⅰ）当 n 1 时，a122a1 4S134a1+3，因为 a n0 ，所以 a1=3，当 n 2 时，a n2a n a n21an 1= 4S n3 4S n 13= 4a n，即(an a ) ( a1an) 2 a(aa0)，所以anan 1 =2，1n n，n因为n n所以数列 { a n } 是首项为3，公差为2 的等差数列，所以 a n=2n1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知， b n=(2 n13)1 (11) ，1)(2n22n12n3所以数列 {b n}前n项和为 b1 b2b n=1[(11) (1 1 )(11)]=11.2 35572n 1 2n 364n 6考点：数列前n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法318.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【解析】试题分析：（Ⅰ）连接 BD，设 BD∩AC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD中，不妨设 GB=1 易证 EG⊥ AC，通过计算可证 EG⊥ FG，根据线面垂直判定定理可知 EG⊥平面 AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面 AEC；（Ⅱ）以 G为坐标原点，分别以GB,GC 的方向为 x 轴，y轴正方向， |GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与 CF所成角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）连接 BD，设 BD∩ AC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD中，不妨设 GB=1，由∠ ABC=120°，可得AG=GC= 3 .由BE⊥平面 ABCD，AB=BC可知， AE=EC，又∵ AE⊥EC，∴ EG= 3， EG⊥AC，在 Rt △ EBG中，可得 BE=2 ，故DF=2.2在Rt △ FDG中，可得 FG= 6 .2在直角梯形 BDFE中，由 BD=2， BE= 2 ，DF=2可得 EF=32 ，22∴ EG2FG 2EF 2，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴ EG⊥平面 AFC，∵ EG 面 AEC，∴平面 AFC⊥平面 AEC.（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC 的方向为 x 轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz ，由（Ⅰ）可得 A（ 0，－ 3 ，0），E（1,0, 2 ），F（－ 1,0，2），C（ 0，3，0），∴AE =（ 1， 3 ，2），CF=（-1，- 3 ，2）. ⋯10 22分故 cosAE CF3 AE ,CF.| AE ||CF |3所以直线 AE 与 CF所成的角的余弦值为 3 .3考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19. 【答案】（Ⅰ）yc d x 适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ） y100.6 68 x （Ⅲ）46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w x ，先求出建立y关于 w 的线性回归方程，即可y关于 x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用 y 关于 x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与 x、 y 的关系为 z=0.2y-x即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于 x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用 .试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断， y c d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用x 的回归方程类型 .8（Ⅱ）令 w x ，先建立y关于 w 的线性回归方程，由于 d(w i w)( y i y) i 1= 8( w i w)2i 1108.8=68 ，16∴ c y dw =563- 68×6.8=100.6.∴ y 关于w的线性回归方程为y 100.668w ，∴ y 关于x的回归方程为y 100.6 68 x .（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.668 49 =576.6，z 576.6 0.2 4966.32 .（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值z0.2(100.6 68 x) xx 13.6 x20.12 ，∴当x =13.6=6.8，即x46.24时， z取得最大值.2故宣传费用为46.24 千元时，年利润的预报值最大. ⋯⋯ 12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.【答案】（Ⅰ）ax y a 0 或ax y a 0 （Ⅱ）存在【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a 代入曲线C的方程整理成关于 x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM， PN的斜率之和用a 表示出来，利用直线 PM， PN的斜率为 0, 即可求出a, b关系，从而找出适合条件的P 点坐标 .试题解析：（Ⅰ）由题设可得 M (2a, a) ，N ( 22, a) ，或 M ( 2 2, ) a ，N (2 a , a) .∵ y 1x ，故 yx22a 处的到数值为 a ，C在 (2 2a, a) 处的切线方程为在 x =224y a a ( x 2 a ) ，即ax y a 0 .故 y x22a 处的到数值为- a ，C在 ( 2 2a, a) 处的切线方程为在 x =-24y a a (x 2 a ) ，即ax y a 0 .故所求切线方程为ax y a0 或ax y a0 .（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设 P（ 0，b）为复合题意得点，M (x1 , y1 ) ，N ( x2 , y2 ) ，直线PM，PN的斜率分别为 k1, k2.将 y kx a 代入C得方程整理得 x24kx 4a0.∴ x 1 x 2 4k, x 1x 2 4a .∴ k 1k 2y 1 b y 2 b = 2kx 1x 2 (a b)( x 1 x 2 ) = k (a b) .x 1 x 2x 1 x 2a当 ba 时，有k 1k 2=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故∠ OPM=∠ OPN ，所以P(0,a) 符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力21..【答案】（Ⅰ）a3；（Ⅱ）当 a3或 a5时， h(x) 由一个零点；当 a344 4 4或a5 5 3时， h(x) 有两个零点；当 a 时， h( x) 有三个零点.444【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 a 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将 x 分为 x1, x 1,0x 1 研究 h( x) 的零点个数，若零点不容易求解，则对 a 再分类讨论.试题解析：（Ⅰ）设曲线 yf ( x) 与 x 轴相切于点 ( x 0 ,0) ，则 f (x 0)0 ， f ( x 0 ) 0 ，x 03 ax 01 01 3 即4，解得 x 0, a .3x 02a 024因此，当a3 时， x 轴是曲线 y f ( x) 的切线.4（Ⅱ）当 x(1,) 时， g( x)ln x 0 ，从而 h( x) min{ f (x), g( x)}g(x) 0 ，∴ h( x) 在（1，+∞）无零点.当 x =1时，若 a5 ，则 f 1)(a 5 0 ，h(1) min{ f (1),g(1)} g(1) 0 ,故 x =14 54 50 ， h(1)是 h( x) 的零点；若 a，则 f (1) amin{ f (1), g(1)} f (1) 0 ,4 4故 x =1不是 h( x) 的零点.当 x (0,1) 时， g (x)ln x 0 ，所以只需考虑 f ( x) 在（0,1）的零点个数.（ⅰ）若 a 3 或 a0 ，则 f (x) 3x 2a 在（0,1）无零点，故 f ( x) 在（0,1）单调，而15a3 时， f ( x) 在（f (0)， f (1) a，所以当0 144，）有一个零点；当a 0时， f (x) 在（，）无零点.0 1（ⅱ）若 3 a0 ，则f ( x)在（0，a）单调递减，在（a3， 1）单调递增，3故当 x =a时， f (x) 取的最小值，最小值为 f (a) =2a a1. 33334①若a3f() ＞00， f ( x)在（0,1）无零点.34②若(a3f)=0，即a，则 f (x) 在（0,1）有唯一零点；34③若 f (a) ＜0，即 3 a3，由于 f ( 0 )1， f (1)a5，所以当34445a 3时， f ( x) 在（0,1）有两个零点；当3a544时， f ( x) 在（0,1）4有一个零点 . ⋯10分综上，当a 3或 a54时， h(x)4两个零点；当5a34时， h(x)43或 a5由一个零点；当 a时， h(x) 有44有三个零点 .考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知， AE⊥ BC， AC⊥AB，由直角三角形中线性质知 DE=DC， OE=OB，利用等量代换可证∠ DEC+∠OEB=90°，即∠ OED=90°，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1, OA3CE得，AB=23，设AE=x ，由勾股定理由得 BE12 x2，由直角三角形射影定理可得AE2CE BE ，列出关于 x 的方程，解出 x ，即可求出∠ACB的大小.试题解析：（Ⅰ）连结 AE，由已知得， AE⊥ BC，AC⊥ AB，在Rt △ AEC中，由已知得 DE=DC，∴∠ DEC=∠ DCE，连结 OE，∠ OBE=∠OEB，∵∠ ACB+∠ABC=90°，∴∠ DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴ DE是圆 O的切线 .（Ⅱ）设 CE=1， AE=x , 由已知得AB=2 3，BE12 x2，由射影定理可得，AE 2CE BE ，∴ x212 x2，解得 x = 3 ，∴∠ACB=60°.考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理2123.【答案】（Ⅰ）cos2 ,2 cos4sin4 0 （Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）将将 =代入 22 cos4 sin40 即可求出|MN|，利用三角形面积公式即4可求出C 2MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为 x cos , ysin ，∴C 1 的极坐 标方程为cos2 ， C 2的极坐标方程为22 cos4 sin40 .⋯⋯5分（Ⅱ）将 =223 24 02 cos4sin4 0 ，得，解得1代入4= 2 2 ，2=2 ，|MN|=1－2=2 ，因为 C 2的半径为1，则C 2MN 的面积 12 1 sin 45o = 1 .22考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24.【答案】（Ⅰ）【解析】{ x | 2x 2} （Ⅱ）（2，+∞）3试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f （ x ）>1 化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将 f ( x) 化为分段函数，求出 f ( x) 与 x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当 a=1 时，不等式f （ x ）>1 化为 |x+1|-2|x-1|＞1，x 11 x 1x 12 x 2 ， 等价于或或x ，解得x 1 2x 2 1 x 1 2x 2 11 2x2 13所以不等式f （x ） >1 的解集为{ x |2x 2} .3x 1 2a, x 1（Ⅱ）由题设可得， f (x) 3x1 2a, 1x a ，x 1 2a, x a所以函数 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a 1,0)，3B(2 a 1,0) ， C (a, a+1) ，所以△ABC 的面积为2(a 1)2 .由题设得23(a 1)2＞6，解得a2 .3所以 a 的取值范围为（2，+∞） .考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法。
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2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标I 卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． （1）已知集合A ={ (x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2=4}，集合B={(x ，y ) |x ，y 为实数，且y =x －2}， 则A ∩B 的元素个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（2）复数z ＝1－3i1＋2i，则（A ）|z |＝2 （B ）z 的实部为1（C ）z 的虚部为－i（D ）z 的共轭复数为－1＋i（3）已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝ （A ）0.22 （B ）0.28 （C ）0.36 （D ）0.64 （4）执行右面的程序框图，若输出的k ＝2，则输入x 的取值范围是（A ）(21，41) （B ）[21，41] （C ）(21，41] （D ）[21，41) （5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S n a n＝（A ）4n －1 （B ）4n －1（C ）2n －1 （D ）2n －1（6）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A ） 2 （B ）2 （C ） 5 （D ） 3开始 是x ≤81？否 输入x x ＝2x －1结束k ＝0输出k k ＝k ＋1（7）已知函数f (x )＝cos (2x ＋π 3)，g (x )＝sin (2x ＋2π3)，将f (x )的图象经过下列哪种变换可以与g (x )的图象重合（A ）向左平移 π 12 （B ）向右平移 π12（C ）向左平移 π 6 （D ）向右平移 π6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）1136 （B ） 3（C ）533 （D ）433（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c +a ）∥b ，c ⊥（b +a ），则c=（A ）（ 79 ， 73 ） （B ）（ 73 ， 79 ）（C ）（73 ， 79 ） （D ）（－ 79 ，－ 73）（10）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名研究生的情况有 （A ）24种 （B ）36种 （C ）48种 （D ）60种（11）函数，其图像的对称中心是（A ）（－1，1） （B ）（1，－1） （C ）（0，1）（D ）（0，－1）（12）关于曲线C ：x 12 ＋y 12 ＝1，给出下列四个命题：①曲线C 有且仅有一条对称轴； ②曲线C 的长度l 满足l ＞2；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24 ；④曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是 16上述命题中，真命题的个数是 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）在(1＋x 2)(1－2 x)5的展开式中，常数项为__________．（14）四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________．俯视图（15）点P 在△ABC 内部（包含边界），|AC |=3， |AB |=4，|BC |=5，点P 到三边的距离分别是d 1, d 2 , d 3 ，则d 1+d 2+d 3的取值范围是_________． （16）△ABC 的顶点A 在y 2＝4x 上，B ，C 两点在直线x －2y+5=0上，若|－AC |＝2 5 ，则△ABC面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求a ＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）（Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过．．．15分次数X 的分布列和均值．（19）（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60 ，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）求证：平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角B -AC -A 1的余弦值．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．（21）（本小题满分12分）已知函数x 轴是函数图象的一条切线．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）已知；（Ⅲ）已知：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥AB ； （Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD ·CD ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋4)＝2距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设f (x )＝|x －3|＋|x －4|． （Ⅰ）解不等式f (x )≤2；（Ⅱ）若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标I 卷)一、选择题：CDBCD ABCDD BA二、填空题：（13）41； （14）100π；（15）[ 12 5，4]；（16）1．三、解答题： （17）解：（Ⅰ）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋π 3)＝2sin B ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ． …3分 因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3． ……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)．…10分 当A ＝ π3时，a ＋b c取最大值2． ……………………………12分（18）解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x-乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 3 8，p 2＝ 12，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分 X 的分布列为…10分X 的均值E (X )＝2×316＝ 38． ……………………………12分（19）解：（Ⅰ）由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB ⊥BB 1．又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ．…………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系O -xyz ．其中O 是BB 1的中点，Ox ∥AB ，OB 1为y 轴，OC 为z 轴．设AB ＝2，则A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0，3)，A 1(2，1，0)．AB →＝(－2，0，0)，AC →＝(－2，1，3)，AA 1→＝(0，2，0)．…6分设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为面ABC 的法向量，则n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＝0，－2x 1＋y 1＋3z 1＝0．取z 1＝－1，得n 1＝(0，3，－1)．…8分设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为面ACA 1的法向量，则n 2·AA 1→＝0，n 2·AC →＝0，即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2＋y 2＋3z 2＝0．取x 2＝3，得n 2＝(3，0，2)． …………………10分 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－77．因此二面角B -AC -A 1的余弦值为－77． ……………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1b2＝1， ①且a 2－b 2a ＝22， ②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1． …………………………………………………3分（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．………………………………………………………6分因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分z（Ⅲ）设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k ·(－k )＝－1，k ＝±1． 若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k ＝－1也不合题意．故∠PMQ 不可能为直角．…………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x ) =当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增． ∵ x 轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a ，0）． f (a )=lna ＋1=0，可知a =1. ……………………………4分（Ⅱ）令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于：.取，由（Ⅰ）知：当t ∈(0，1)时，g '(t )＜0，g (t )单调递减， 当t ∈(1，＋∞)时，g '(t )＞0，g (t )单调递增． ∴ g (t )> g (1)=0，也就是.∴. ……………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：x 是正整数时，不等式也成立，可以令：x =1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得：即.……………………………12分（22）证明：（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE ∥AB ，故DE ∥AB ． ………………………… …5分EAD（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ⇒∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ⇒△DAC ∽△ECD ． ⇒AC CD ＝ADCE ⇒AD ·CD ＝AC ·CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·2CE ⇒ 2AD ·CD ＝AC ·BC ． ……………………………10分 （23）解：（Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． ……………………………5分（Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2． ……………………………7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ……………………………10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ＜3，1，3≤x ≤4，2x －7，x ＞4．……………………………2分作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 92，由图象知不等式f (x )≤2的解集为[5 2， 92]． ……………………………5分（Ⅱ）函数y ＝ax －1当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ．由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 12，＋∞)． ………………………10分＝ 1 2。