等比数列的判定与证明-定义法

∴ a 10 = a 3×q 10 －3 = －4×(-2) 7 = 512
回顾小结
等比数列
名称 概念
等差数列
从第2项起,每一项与它前一 项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
从第2项起,每一项与它前一 项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零
常数 性质 通项 通项 变形
5
1 51 4 ) 3 9
bn 首项为b1 ,公比为 q 2 证明:设数列 a n 首项为 a1 ,公比为 q1 ; 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为： n 1 n 1 n n a1 q1 b1 q2 与a1 q1 b1 q2
即为
是,公比 q=3 是,公比 q= 是,公比 q=1 是,公 比q= -1Βιβλιοθήκη Baidu不是等比数列 不是等比数列
1 2
5， 5， 5， 5， 5， 5， … (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，… (7 )
1, x , x 2 , x 3 , x 4 ,
an a1 q n 1 an am q n m
( n, m N * )
an a1 (n 1)d an am (n m)d *
( n, m N )
所以
an bn 是一个以
q1q2
为公比的等比数列
合作交流
例3、等比数列 { a n } 中， a 4 · a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124,
公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5 法三：由 a 4 · a7 = a3 · a 8 = －512
( x 0)
是,公比 q= x
等比数列通项公式的推导：
方法一:累乘法
a2 q a1
… … a
n
a3 q a2 a4 q a3 q
an 1

an q n 2 an 1
方法二:迭代法
a2 a1q
(n-1)个 式子
a3 a2 q ( a1q ) q a1q 2
2 a3 124a 3 512 0
a 3 128或a 3 4
a 3 128 a 3 4 或 a 8 4 a 8 128 a 3 4 a 8 128
q5
∵ 公比 q 为整数
q 2
128 32 4
1，3，9，27，…
(2 ) (3) (4)
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5， 5， 5， 5， … 1，-1，1，-1，…
(5) 1，0，1，0，… (6) 0，0，0，0，…
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2 ) (3)
1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
等比数列的判定与证明-定义法
对概念的更深理解 a
n 1
an
(1)
q (是与n无关的数或式子, 且q 0）
1. 各项不能为零,即 an 0 q0 2. 公比不能为零,即 3. 当q>0，各项与首项同号 当q<0，各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列 又是等比数列; a 0 时,只是等差数列 而不是等比数列.
a4 a3 q ( a1q 2 ) q
an qn 1 a1
… … a n a1 q n 1
4
a1q 3
课堂互动
(1)一个等比数列的第5项是 9 ,公比是 1 ，求它的第1项； 3 a 1 解：设它的第一项是 ，则由题意得
a1 (
4
a1 36 解得， 答：它的第一项是36 . （2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 1 解：设它的第一项是 a ，公比是 q ，则由题意得 2 a1q 10 ， a1 q 20 q2 解得， a1 5 ， 3 a4 a1q 40 因此 答：它的第一项是5，第4项是40.
等比数列的例题 例2 已知 a n , bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
a1b1 ( q1q2 ) n 1 与a1b1 (q1q2 ) n
a n 1 bn 1 a1b1 ( q1 q 2 ) n q1 q 2 .它是一个与n无关的常数， a n bn a1b1 ( q1 q 2 ) n 1