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一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系

一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。

一次函数与一元二次方程

八年级一次函数和一元二次方程练习一、选择题1.直线xy39-=与x轴交点的坐标是________,与y轴交点的坐标是_______.2.把直线121-=xy向上平移21个单位,可得到函数__________________.3.若点P1（–1，3）和P2（1，b）关于y轴对称，则b= _________ ．4.若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，则m=_________ ．5.函数y=x的取值范围是_________．6.如果直线baxy+=经过一、二、三象限，那么ab____0 (“＜”、“＞”或“＝”).7.若直线12-=xy和直线xmy-=的交点在第三象限,则m的取值范围是__.8.函数y= -x+2的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为_________________.9.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为___________立方米.二、选择题11.函数y＝x-2x+2的自变量x的取值范围是（）Ａ．x≥-2 Ｂ.x＞-2 Ｃ．x≤-2 Ｄ．x＜-2 12.一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（）Ａ．y＝1.5（x+12）(0≤x≤10) Ｂ．y＝1.5x+12 (0≤x≤10)Ｃ．y＝1.5x+10 (0≤x) Ｄ．y＝1.5(x－12) (0≤x≤10)13.无论m为何实数，直线mxy2+=与4+-=xy的交点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出.那么该倒置啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的图象大致是（）A. B. C. D.15.已知函数122y x=-+,当-1＜x≤1时，y 的取值范围是（）A.5322y-<≤B.3522y<<C.3522y<≤D.3522y≤<16.某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）A.45.2分钟B.48分钟C.46分钟D.33分钟三、解答题18、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.求两直线与y轴交点A，B的坐标;求两直线交点C的坐标求△ABC的面积.19. 某军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱的余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数关系如图.回答问题：(1) 加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？(2) 求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t （分钟）的函数关系式；(3) 运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由．一、选择1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）； A 、02=++c bx ax B 、2112=+x xC 、)1)(1(22-+=+x x x x D)1(2)1(32+=+x x 2.、把方程(2x-1)(3x+2)= x 2 +2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（）； A 、5 、-4 B 、5 、1 C 、5、 4 D 、1、 -4 3、方程（m²-1）x²+m x -5=0是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（） A m≠1 B m≠0 C ∣m ∣≠1 D m=±1 4、关于x 的一元二次方程x²-2x+2k=0有实数根，则k 的取值范围是（）；A k< 21B k≤ 21C k> 21D k≥ 216、王刚同学在解关于x 的方程x²-3x+c=0时，误将-3x 看作+3x ，结果解得x1=1 x2=-4，则原方程的解为（）；（A ） x1=-1 x2=-4 （B ）x1=1 x2=4 （C ）x1=-1 x2=4 （D ）x1=2 x2=38、已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于（） A 、 -1 B 、0 C 、1 D 、2 二、填空题9、若关于x 的方程2x 2-3x+c = 0的一个根是1，则另一个根是_________ 11、如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b 的值是______ .12、关于x 一元二次方程 (kx-4) 2x - 2 x +6=0没有实数根，则k 的最小整数值是______。

一元二次方程和一次函数的关系

3 图像表示
一次函数的图像可以通过绘制直线、标记截距和斜率来表示。
一元二次方程与一次函数的关系
交点
一元二次方程和一次函数的交点表示了两者的解集，可以通过求解方程组得到。
平行线
当一元二次方程的抛物线与一次函数的直线平行时，方程没有实数解。
切线
当一元二次方程的抛物线与一次函数的直线相切时，方程有且仅有一个实数解。
因式分解
通过找到一个数对(a, b)，使得二次项和一次项的乘积等于常数项，将方程因式分解为两个一次因式。
求根公式
应用二次方程的求根公式，直接计算方程的根。
实例分析
方程
a=1, b=4, c=4 a=1, b=-3, c=2 a=2, b=-5, c=3
解集
x =-2 x=1, x=2 x=1/2, x=3/1
一元二次方程和一次函数的关系
本次演示将阐述一元二次方程与一次函数的关系。通过深入剖析这两个数学概念的定义、性质以及图像表示，我们将揭示它们之间的紧密联系，并分享一些有趣的求解方法及实例分析。
一元二次方程的定义与性质
定义
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数，且a ≠ 0。
结论与应用
1 结论
一元二次方程和一次函数之间的关系提供了解方程的方法和图像表示的便利性。
2 应用
这种关系在物理、经济、工程等领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
3 扩展
进一步学习多项式函数和其他高阶方程的性质和求解方法。
性质
一元二次方程的图像是一个抛物线，且其开口方向与a的正负有关。方程的解可以为实数或复数。
图像表示

人教版一次函数与一元二次方程八年级数学

1、下列各点中在函数y=x 21+3的图象上的是（）（Ａ）(3,-2) （Ｂ）(32,3) （Ｃ）(-4,1) （Ｄ）(5, 25)2、已知直线y=2x 与直线y=kx+5互相平行，则k 的值为（）A 、k=-2B 、k=2C 、k=±2D 、无法确定k 的值3、一次函数y=kx+b,若k+b=1,则它的图象必经过点（） A 、（-1，-1） B 、（-1，1） C 、（1，-1） D 、（1，1）4、一根蜡烛长20cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度(cm)与燃烧时间（小时）的函数关系用图象表示为（）5、已知函数y=(2m +2)x ，y 随x 增大而（） A 、增大 B 、减小 C 、与m 有关 D 、无法确定6、若一次函数y=(1-2m)x+3的图象经过A （1x ，1y ）和B(2x ，2y )，当1x ＜2x 时，1y ＜2y ，则m 的取值范围是（）A 、m ＜0B 、m ＞0C 、m ＜12 D 、m ＞127、直线y=-2x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b 的值为（）A 、4 B 、-4 C 、±4 D 、±2 8、函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范围是( )（A ）34m < （B ）314m -<< （C ）1m <- （D ）1m >-9、函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范围是( ) （A ）34m <（B ）314m -<< （C ）1m <- （D ）1m >-10、下图中表示一次函数y ＝mx+n 与正比例函数y ＝m nx(m ，n 是常数，且mn<0)图像的是( )．11、直线y=kx+b 在坐标系中的位置如图，则( ) （A ）1,12k b =-=- （B ）1,12k b =-= （C ）1,12k b ==- （D ）1,12k b ==12、如图，是函数的图象，要使图象处于虚线部分时自变量的取值范围是 .这个取值范围也就是不等式的解集.xAxBxCx D13、如图，直线与直线相交于点P ，则P 点的坐标是（，）.不等式的解集为1、一次函数y=4x+8的图象与y 轴相交，则交点坐标为。

一次函数与一元二次方程的关系

21.5 一次函数和二元一次方程的关系
学习目标：
1、理解一次函数与二元一次方程的关系
2、理解一次函数与二元一次方程组的关系
3、应用一次函数与二元一次方程组的关系解决实际问题
探究新知
y=3x+1这是什么？
一次函数
二元一次方程
这是怎么回事？
y=3x+1
y-3x=1
探究学习一：探究一次函数与二元一次方程的关系
7 y=x+1
6 5 4 3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x
-1
结论:
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.
反过来,一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解.
练一练
体验成功喜悦
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
y=_2_x_-_1__的图像上。
2、方程-y=1有一个解为
x=2 y=1
，则一次
函数y=x-1的图象上有一点为 (2,1)
3、一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2),
则方程2x-y=4有一个解为 x=3 . y=2
探究学习二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
x+y=1
1、解方程组
-x+y=1
2、在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和 y=-x+1的图像。
体验成功喜悦
1、方程组
x-y=4 3x-y=16
的解是 yx==26，由此可知一
次函数 y=x+4 与y=-3x+16 的图像必有一个交点，
且交点坐标是
。
(6，2)
探究学习三：

一次函数一元二次方程

华贤书院教学过程补充表主题一次函数应用与一元二次方程序教学过程一次函数应用题类型一、直译法即将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。

例1、乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.二、表格法列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。

例2、某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200 170乙店160 150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W 关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A B，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？例3“5²12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市Ａ、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知Ａ蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；ＣＤ总计Ａ200吨Ｂx吨300吨总计240吨260吨500吨（2）设Ａ、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m＞０），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．三、图示法即用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法。

代数进阶：一元二次方程与一次函数

配方法解一元二次方程
配方法是一种通过构造完全平方来解一元二次方程的方法
可以将其化为平方的形式方便求解
举例：$x^2 - 6x + 9 = 16$通过配方法求解
构造完全平方
化为平方形式
配方法示例
适用于一般的一元二次
方程
一般的一元二次方程
图解一元二次方程
通过图像直观展示一元二次方程的 01 解与性质
直观展示
抛物线的开口方向取决于二次项系 02 数的正负
开口方向
图像与方程之间的关系有助于理解 03 和应用一元二次方程
图像与方程关系
一元二次方程的解法比较
求根公式
适用于一切一元二次方程可直接求解，无需转换形式
配方法
需要观察方程是否适合配方法通过构造完全平方求解
图解法
利用图像理解方程性质可视化解法
一次函数方程的解
简单，通过代数求解即可
一元二次方程的解
需要考虑更多情况具有更多复杂性
实际问题中的一次函数与一元二次方程应用
实际问题中的运用
一次函数和一元二次方程均有应模
选择合适的方程形式
通过具体问题特点进行建模与求
解
一次函数与一元二次方程的联系
代数中常见形式
● 06
第六章总结与展望
本章小结
本章主要讨论了一元二次方程和一次函数的性质、应用以及求解方法。通过具体例题和图形展示，帮助加深理解和应用能力。下一步将继续学习更多高阶代数知识，拓展数学视野。
数学知识在现实生活中的重要性
重要作用
各行各业
灵活运用
提升问题解决能力
代数
重要分支

一次函数与一元二次方程的实际应用

一次函数与一元二次方程的实际应用一次函数和一元二次方程是数学中常见的数学概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文将探讨一次函数和一元二次方程的实际应用，并分析其在不同领域中的具体应用案例。

一、一次函数的实际应用一次函数（线性函数）的一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。

一次函数可以用来表达一些简单的线性关系，例如速度和时间、温度和时间等。

1. 金融领域：一次函数在金融领域中的应用非常广泛。

例如，银行的年利率计算中就使用了一次函数。

假设某银行的年利率是 5%，那么在一个存款周期（一年）内，存款金额 y 就是存款本金 x 乘以 1.05。

这个关系可以用一次函数形式表示为 y = 1.05x。

2. 经济领域：一次函数可以用来分析经济中的供求关系。

就业市场中，一个公司的雇员数量 y 可以表示为公司销售收入 x 的函数。

如果假设公司的销售收入每增加 100 万元，就需要雇佣 10 名雇员，那么这个关系可以用一次函数表示为 y = 0.1x。

这个函数可以帮助企业预测未来的人力资源需求。

3. 工程领域：一次函数在工程中也有广泛的应用。

例如，架设电线杆的成本可能与所用的原材料长度成正比。

假设每米原材料的成本为100 元，那么架设一根长度为 x 米的电线杆所需的成本 y 可以用一次函数表达为 y = 100x。

二、一元二次方程的实际应用一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

一元二次方程的实际应用非常广泛，例如经济学、物理学、工程学等领域。

1. 抛物线轨迹：抛物线是一元二次方程的图像，它在物理学中有着广泛的应用。

例如，一个抛体在自由落体运动中的轨迹可以用一元二次方程来描述。

假设一个物体从高度 H 抛掷，并以速度 V 抛出，那么物体的运动轨迹可以用一元二次方程 h = -g/2t^2 + Vt + H 来描述，其中g 是重力加速度， t 是时间， h 是物体的高度。

一次函数与二元一次方程组公开课课件

详细描述
二元一次方程组通常由两个一次方程组成，每个方程都包含两个未知数，并且最高次项为一次。例如，方程组 `{2x + 3y = 7, x - y = 1}` 就是一个二元一次方程组。
二元一次方程组的解法
总结词
解二元一次方程组的方法主要有消元法和代入法两种。
详细描述
消元法是通过加减消元或代入消元的方式，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。代入法则是通过将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后将其代入另一个方程来求解。
一次函数的图像
总结词
一次函数的图像是一条直线，其形状由斜率k决定。
详细描述
当k>0时，图像为上坡，即y随x的增大而增大；当k<0时，图像为下坡，即y随x 的增大而减小。b决定了图像在y轴上的截距，当b>0时，图像与y轴交于正半轴；当b<0时，图像与y轴交于负半轴。
一次函数的性质
总结词
一次函数具有一些基本的性质，如单调性、奇偶性等。
代入法
将一个变量用另一个变量表示，代入方程中消元，转化为一次函数形式。
消元法
通过加减消元或代入消元，将二元一次方程组转化为一个一元一次方程，再求解。
一次函数与二元一次方程组在实际问题中的应用
物理问题
在物理中，速度、时间和距离的关系可以用一次函数表示，而力的合成与分解可以用二元一次方程组表示。
经济问题
在经济学中，成本、收益和利润的关系可以用一次函数表示，而供需关系可以用二元一次方程组表示。
04 习题与解答
习题
一次函数的性质和图像
01
画出给定一次函数的图像，并描述其性质。
03
02
判断给定函数是否是一次函数，并说明理由。

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系

13.3 一次函数与一次方程、一次不等式安徽省利辛县巩店学区王店中学丁保付教课目的：1.使学生领悟一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系。

2. 指引学生经历研究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，领会数形联合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，累积数学活动经验。

经过自主研究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳归纳的能力，增强学生间的合作意识。

3. 经过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的研究，指引学生认识事物部分与整体的辩证一致关系，培育学生用联系的看法对待数学识题的意识。

教材剖析：函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。

以前，学生已经从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集。

而本节课经过函数图像动向的变化和点的对应来研究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。

经过本节课的研究，学生不单能加深对函数、方程（组）、不等式的理解，而且能在函数的看法下将三者一致同来，感觉数学的一致美，增强知识间横向与纵向的交融贯通。

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系属于事实性知识；学生在研究三个一次之间关系的过程中，需要在函数运动变化的看法下，经历运用分类、类比，数形联合的思想方法，归纳出解一次方程和不等式的问题，实质上是求函数的零点和非零点的问题，这些认知策略能有效地帮助学生累积数学活动经验，掌握学习方法，提升学习效率，所以，这些数学思想方法是元认知知识。

本节课将“三个一次” 问题在函数的看法下来集中认识，这类用整体的看法办理问题的方法为此后学习二次函数与一元二次方程的关系，以及高中二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的知识做好知识和认知方法上的准备。

教课要点：研究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。

教课难点：对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭露。

学情剖析：1．以前，学生已经会解一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数的图像和在数轴上表示不等式的解集，学生具备了接受这节课的知识基础。

一次函数与二次函数

一次函数与二次函数一、引言在数学中，一次函数和二次函数是代数学中常见的函数类型。

它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和重要性。

本文将分别介绍一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及实际应用，并着重探讨它们的区别和联系。

二、一次函数1. 定义一次函数又被称为线性函数，它的定义可以表示为：f(x) = ax + b其中，a和b为常数。

2. 性质（1）斜率和截距：一次函数的斜率用a表示，表示直线与x轴正向所成角的正切值。

截距用b表示，表示直线与y轴交点的纵坐标。

（2）图像：一次函数的图像是一条直线，斜率为正表示向上斜，斜率为负表示向下斜。

（3）特殊情况：当a为0时，一次函数化为常数函数f(x) = b，图像为水平直线。

3. 实际应用（1）经济学：一次函数可以用来描述市场需求曲线、供应曲线以及成本函数等经济学中的关系模型。

（2）物理学：一次函数可以用来描述匀速直线运动的位移、速度、加速度等物理量之间的关系。

三、二次函数1. 定义二次函数是指形如下式的函数：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数且a ≠ 0。

2. 性质（1）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中，b为一次项系数，a为二次项系数，f表示函数。

（2）开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。

（3）图像：二次函数的图像通常是一个抛物线。

3. 实际应用（1）物理学：二次函数可以用来描述自由落体运动的位置、速度等物理量之间的关系。

（2）金融学：二次函数可以用来模拟金融衍生品的价格变动曲线、风险管理模型等。

四、一次函数与二次函数的区别和联系1. 区别（1）定义：一次函数是一次多项式，二次函数是二次多项式。

（2）图像形状：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。

（3）解的个数：一次函数的解只有一个，即一次方程的根；而二次函数可以有零个、一个或两个解，即二次方程的根。

一次函数和二次函数的性质与图象

一次函数和二次函数的性质与图象Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】【本讲主要内容】一次函数和二次函数的性质与图象【知识掌握】【知识点精析】1. 一次函数定义：形如)0(≠+=a b ax y 的函数叫一次函数。

一次函数图象：斜率为a ，在y 轴上截距为b 的直线。

一次函数性质：在（－∞，+∞）上是单调函数，a>0增函数，a<0减函数。

2. 二次函数（1）定义：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数。

（2）图象：抛物线，对称轴：abx 2-=，顶点)442(2a b ac a b --，，开口方向a>0向上；a<0向下。

（3）二次函数的基本性质 <1>二次函数的三种表示法：n x x a y x x x x a y c bx ax y +-=--=++=20212)();)((;<2>当a>0，f(x)在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令)(210q p x +=若p ab<-2，则M q f m p f ==)()(，若02x a b p <-≤，则M q f m a bf ==-)()2(，若q a b x <-≤20，则m a bf M p f =-=)2()(，；若q ab ≥-2，则m q f M p f ==)()(，特别提醒：（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即2x 项的系数是否为零，必要时加以讨论。

（2）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。

（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。

【解题方法指导】例1. （1）设x 、y 是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是（）A. 4112-B. 18C. 8D. 43剖析：由0)6(4)2(2≥+--=∆a a ，得2-≤a 或3≥a 。

《二元一次方程与一次函数》优秀课件

解二元一次方程的方法
化简
通过合并同类项和移项，将方程化简为最简形式，方便后续计算。
代入
选择一个未知数，用已知数代入方程，求解另一个未知数的值。
消元法
通过加减乘除等运算，将一个未知数的系数相消，求解另一个未知数的值。
解一次函数的方法
1
函数图像法
绘制函数图像，通过观察图像的特点来求解函数的零点和相关数图像的关系。
一次函数的图像
通过绘制一次函数的图像，展示函数的斜率和截距以及图像的特点。
2
斜率截距法
利用一次函数的斜率和截距，通过斜率和已知点求解未知点的值。
求解二元一次方程的应用
例题分析
通过一些具体问题的例子，展示如何应用二元一次方程来解决现实生活中的数学问题。
例题分析
通过更多有趣的数学题目，帮助学生理解和掌握从二元一次方程到一次函数的转化过程。
求解一次函数的应用
例题分析
通过一些典型的数学问题，演示如何利用一次函数解决学习和成绩等实际问题。
《二元一次方程与一次函数》优秀课件
通过本课件，你将深入了解二元一次方程与一次函数的定义、解法和应用，掌握它们在数学中的重要性和实际应用。让我们开始学习吧！
二元一次方程的定义
二元一次方程是由两个未知数和次数为1的项组成的方程。它是数学中的基础，用于解决现实生活中的问题。
一次函数的定义
一次函数是指次数为1的多项式函数。它的表达式可以表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
例题分析
通过实际的商业场景，展示如何利用一次函数分析数据和进行商业决策。
二元一次方程和一次函数的联系和区别
二元一次方程和一次函数都涉及到未知数和常数，但二元一次方程是方程形式，一次函数是函数形式。它们在求解方法、应用和图像特点上也有所不同。

专题05 一次方程(组)与一元二次方程-2022年中考数学真题分项汇编(第2期)试题及答案

专题05 一次方程（组）与一元二次方程一．选择题1．（2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（） A ．3或9-B ．3-或9C ．3或6-D ．3-或62．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（） A ．8B ．10C ．7D ．93．（2022·四川雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（） A ．﹣3B ．0C ．3D ．94．（2022·贵州黔东南）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（）A ．7B ．7-C ．6D ．6-5．（2022·广西梧州）一元二次方程2310x x -+=的根的情况（） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法确定6．（2022·湖北武汉）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（） A ．2或6B ．2或8C ．2D ．67．（2022·湖南郴州）一元二次方程2210x x +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根8．（2022·广西贵港）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（） A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，09．（2022·北京）若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（） A ．4-B ．14-C ．14D ．410．（2022·山东临沂）方程22240x x --=的根是（）A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =- 11．（2022·黑龙江牡丹江）下列方程没有实数根的是（）A ．2410x x +=B ．23830x x +-=C ．2230x x -+=D ．()()2312x x --= 12．（2022·海南）若代数式1x +的值为6，则x 等于（） A ．5B ．5-C ．7D ．7-13．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A ．2cmB ．21cm 4C ．4cmD ．5cm14.（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（） A ．5B ．6C ．7D ．815．（2022·辽宁营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（） A ．24015015012x x +=⨯ B ．24015024012x x -=⨯ C ．24015024012x x +=⨯D ．24015015012x x -=⨯16．（2022·广西）方程3x ＝2x ＋7的解是（） A ．x ＝4B ．x ＝﹣4C ．x ＝7D ．x ＝﹣717．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（） A ．14B ．15C ．16D ．1718．（2022·广东深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，则下列方程正确的是（）A ．51177255y x y x -=⎧⎨-=⎩B ．51177255x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．51177255x y x y -=⎧⎨-=⎩D ．71155257x y x y -=⎧⎨-=⎩19．（2022·贵州贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+与()0y mx n a m =+<<的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y mx n =+的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组y ax by mx n -=⎧⎨-=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩；③方程0mx n +=的解为2x =；④当0x =时，1ax b +=-．其中结论正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．420．（2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( ) A ．30（1+x ）2＝50B ．30（1﹣x ）2＝50C ．30（1+x 2）＝50D ．30（1﹣x 2）＝50二．填空题21．（2022·湖北鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，则11a b+的值为 _____．22．（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x ，令x m =，等式两边都乘以x ，得2x mx =．① 等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．②等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．③ 等式两边都除以x m -，得x m m +=．④ 等式两边都减m ，得x ＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______． 23．（2022·广西梧州）一元二次方程()()270x x -+=的根是_________．24．（2022·四川内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为 _____．25．（2022·广东深圳）已知一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则m 的值为________________．26．（2022·上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．27．（2022·山东威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn ＝_____．28．（2022·广西贺州）若实数m ，n 满足50m n --∣∣，则3m n +=__________． 29．（2022·广东）若1x =是方程220x x a -+=的根，则=a ____________．30．（2022·江苏无锡）二元一次方程组321221x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为________．31．（2022·四川雅安）已知12x y =⎧⎨=⎩是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为 _____．32．（2022·广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32a b -=，求代数式621a b --的值．”可以这样解：()6212312213a b a b --=--=⨯-=．根据阅读材料，解决问题：若2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，则代数式2244421a ab b a b ++++-的值是________．33．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y 千克，则购买量y 关于付款金额(10)x x >的函数解析式为______．34．（2022·山东潍坊）方程组2313320x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为___________．35．（2022·贵州贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x ，y 的系数与相应的常数项，即可表示方程423x y +=，则表示的方程是_______．36．（2022·吉林长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可求得x 的值为________．37．（2022·湖南长沙）关于的一元二次方程220x x t ++=有两个不相等的实数根，则实数t 的值为___________．38．（2022·江苏泰州）方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值为__________.39．（2022·湖北武汉）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货___________吨．40．（2022·上海）解方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为_____．三．解答题41．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？42．（2022·内蒙古赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A 、B 两种苗木共6000株，其中A 种苗木的数量比B 种苗木的数量的一半多600株． (1)请问A 、B 两种苗木各多少株？(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A 种苗木50株或B 种苗木30株，应分别安排多少人种植A 种苗木和B 种苗木，才能确保同时．．完成任务？43．（2022·湖南）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．44．（2022·四川广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥?(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a 之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由45．（2022·广西桂林）解二元一次方程组：13x yx y-=⎧⎨+=⎩．46．（2022·江苏常州）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示ICME-14的举办年份．(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．47．（2022·江苏泰州）如图，在长为50 m ，宽为38 m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m 2，道路的宽应为多少？48．（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：22(23)(32)x x +=+49．（2022·贵州贵阳）（1）a ，b 两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a _______b ，ab _______0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x 2+2x −1=0；②x 2−3x =0；③x 2−4x =4；④x 2−4=0．50．（2022·内蒙古呼和浩特）计算求解：(1)计算112sin45|23-⎛⎫-+-⎪⎝⎭︒(2)解方程组451223x yx y+=⎧⎪-⎨+=⎪⎩51．（2022·湖南长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（）②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（）③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（）(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．52．（2022·四川雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）(2)若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．53．（2022·海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．专题05 一次方程（组）与一元二次方程一．选择题1．（2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（） A ．3或9- B ．3-或9 C ．3或6- D ．3-或6【答案】A【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230x x --=进行分类讨论即可得出答案．【详解】解：∵2230x x --=， ∵12331x x -⋅==-， ()()130x x +-=,则两根为：3或-1，当23x =时，212212239x x x x x x ==--⋅=，当21x =-时，2121222··33x x x x x x ⋅==-=，故选：A ．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．2．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（） A ．8 B ．10 C ．7 D ．9【答案】B【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程即可．【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·四川雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9【答案】C【分析】先移项把方程化为26,x x c 再配方可得239,x c 结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．【详解】解：x 2+6x +c ＝0，移项得：26,xxc配方得：239,x c 而（x +3）2＝2c ，92,c c解得：3,c = 故选C【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键． 4．（2022·贵州黔东南）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（）A ．7B ．7-C ．6D ．6-【答案】B【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ， ∵1x +2x =2， ∵11x =-， ∵2x =3， ∵1x ·2x =-a =-3， ∵a =3，∵22123917a x x --=--=-．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．5．（2022·广西梧州）一元二次方程2310x x -+=的根的情况（） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】根据判别式24b ac ∆=-即可判断求解．【详解】解：由题意可知：1,3,1a b c ==-=， ∵224(3)41150b ac ，∵方程2310x x -+=由两个不相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题考察了一元二次方程根的判别式：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根．6．（2022·湖北武汉）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（） A ．2或6 B ．2或8C ．2D ．6【答案】A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m 的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出212122,41x x m x x m m +==--，把()()121222217x x x x ++-=变形为12122()130x x x x +--=，再代入得方程28120m m -+=，求出m 的值即可．【详解】解:∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根, ∵22=(2)4(41)0m m m ∆----≥, ∵14m ,≥-∵12x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根,∵212122,41x x m x x m m +==--，又()()121222217x x x x ++-= ∵12122()130x x x x +--=把212122,41x x m x x m m +==--代入整理得,28120m m -+=解得,122,6m m == 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当∵≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130x x x x +--=，找出关于m 的一元二次方程．7．（2022·湖南郴州）一元二次方程2210x x +-=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】根据24b ac ∆=-即可判断．【详解】解：2a =，1b =，1c =-，()22414211890b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>，∴ 一元二次方程2210x x +-=有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．8．（2022·广西贵港）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（） A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则 2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =； ∵220x x +=， ∵(2)0x x +=， ∵12x =-，0x =， ∵方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．9．（2022·北京）若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（） A ．4- B ．14-C ．14D ．4【答案】C【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m 的方程，解答即可．【详解】∵一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根， ∵∆=0， ∵2140m -=，解得14m =，故C 正确．故选：C ．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 10．（2022·山东临沂）方程22240x x --=的根是（） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x = D ．16x =-，24x =-【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为460,x x 从而可得答案．【详解】解：22240x x --=，460,x x40x ∴+=或60,x -=解得：126, 4.x x故选B【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．11．（2022·黑龙江牡丹江）下列方程没有实数根的是（） A ．2410x x += B ．23830x x +-= C ．2230x x -+= D ．()()2312x x --=【答案】C【分析】通过题目可知这几个方程都是一元二次方程，因此可以通过24b ac ∆=-来确定有没有实数根，即可求解【详解】解：A 、∵=2441(10)560-⨯⨯-=＞，有两个不相等的实数根； B 、∵=2843(3)1000-⨯⨯-=＞，故有两个不相等的实数根； C 、∵=2(2)41380＜--⨯⨯=-,故没有实数根；D 、∵=2-5-41-6=490（）（）＞⨯⨯，故有两个不相等的实数根故选C12．（2022·海南）若代数式1x +的值为6，则x 等于（） A ．5 B ．5-C ．7D ．7-【答案】A【分析】根据代数式1x +的值为6列方程计算即可．【详解】∵代数式1x +的值为6 ∵16x +=，解得5x =故选：A【点睛】此题考查了解一元一次方程，根据题意列方程是解本题的关键．13．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A ．2cmB ．21cm 4C ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】根据液体的体积不变列方程解答．【详解】解：圆柱体内液体的体积为：2313763cm 圆柱v sh ππ==⨯⨯=由题意得，232211663cm 33锥体v sh h ππ==⨯⨯=26321cm 364h ∴==，故选：B ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及圆柱与圆锥的体积，是基础考点，掌握液体体积不变列方程是解题关键．14.（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】A【分析】设设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出购买方案的数量．【详解】解：设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据题意得， 15x +20y =360，即3x +4y =72， ∵y =18-34x ．又∵x ，y 均为正整数，∵415x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩或129x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或203x y =⎧⎨=⎩，∵班长有5种购买方案．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．15．（2022·辽宁营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（） A ．24015015012x x +=⨯ B ．24015024012x x -=⨯ C ．24015024012x x +=⨯ D ．24015015012x x -=⨯【答案】D【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设快马x 天可以追上慢马，依题意，得： 240x -150x =150×12．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．（2022·广西）方程3x ＝2x ＋7的解是（） A ．x ＝4 B ．x ＝﹣4C ．x ＝7D ．x ＝﹣7【答案】C【分析】先移项再合并同类项即可得结果；【详解】解：3x ＝2x ＋7 移项得，3x -2x =7；合并同类项得，x ＝7；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键． 17．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】B【分析】设小红答对的个数为x 个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．【详解】解：设小红答对的个数为x 个，由题意得()52070x x --=，解得15x =，故选B ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 18．（2022·广东深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，则下列方程正确的是（）A ．51177255y xy x -=⎧⎨-=⎩B ．51177255x yx y +=⎧⎨+=⎩C ．51177255x yx y -=⎧⎨-=⎩D ．71155257x yx y -=⎧⎨-=⎩【答案】C【分析】设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，根据“卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．”列出方程组，即可求解．【详解】解：设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，根据题意得：51177255x yx y -=⎧⎨-=⎩．故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．19．（2022·贵州贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+与()0y mx n a m =+<<的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y mx n =+的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组y ax b y mx n -=⎧⎨-=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩；③方程0mx n +=的解为2x =； ④当0x =时，1ax b +=-．其中结论正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．【详解】解：由一次函数y mx n =+的图象过一，二，四象限，y 的值随着x 值的增大而减小；故①不符合题意；由图象可得方程组y ax b y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩，即方程组y ax b y mx n -=⎧⎨-=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩；故②符合题意；由一次函数y mx n =+的图象过()2,0, 则方程0mx n +=的解为2x =；故③符合题意；由一次函数y ax b =+的图象过()0,2,- 则当0x =时，2ax b +=-．故④不符合题意；综上：符合题意的有②③，故选B【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．20．（2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( ) A ．30（1+x ）2＝50 B ．30（1﹣x ）2＝50 C ．30（1+x 2）＝50 D ．30（1﹣x 2）＝50【答案】A【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到()230150x +=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，230(1)50x +=，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．二．填空题21．（2022·湖北鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，则11a b+的值为 _____．【答案】43【分析】先根据题意可以把a 、b 看做是一元二次方程2430x x -+=的两个实数根，利用根与系数的关系得到a +b =4，ab =3，再根据11a b a b ab++=进行求解即可．【详解】解：∵a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0， ∵可以把a 、b 看做是一元二次方程2430x x -+=的两个实数根， ∵a +b =4，ab =3， ∵1143a b a b ab ++==，故答案为：43．【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．22．（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x ，令x m =，等式两边都乘以x ，得2x mx =．① 等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．②等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．③ 等式两边都除以x m -，得x m m +=．④ 等式两边都减m ，得x ＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．【答案】④【分析】根据等式的性质2即可得到结论．【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变， ∵第④步等式两边都除以x m -，得x m m +=，前提必须为0x m -≠，因此错误；故答案为：④．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键． 23．（2022·广西梧州）一元二次方程()()270x x -+=的根是_________．【答案】12x =或27x =-【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．【详解】解：由题意可知：20x -=或70x +=，∵12x =或27x =-，故答案为：12x =或27x =-．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．24．（2022·四川内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为 _____．【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，再根据2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，推出222(1)1k k ---＝4﹣k ，据此求解即可．【详解】解：∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，∵x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，∵x 12＝2x 1﹣k +1， ∵2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1， ∵2121212()2x x x x x x +-＝2（x 1+x 2）﹣k ， ∵222(1)1k k ---＝4﹣k ，解得k ＝2或k ＝5，当k ＝2时，关于x 的方程为x 2﹣2x +1＝0，Δ≥0，符合题意；当k ＝5时，关于x 的方程为x 2﹣2x +4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∵k ＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25．（2022·广东深圳）已知一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则m 的值为________________．【答案】9【分析】根据根的判别式的意义得到∵2640m =-=，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：根据题意得∵2640m =-=，解得9m =．故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与∵=-24b ac 有如下关系：当∵0>时，方程有两个不相等的实数根；当∵0=时，方程有两。

二次函数和一次函数的计算解法

二次函数和一次函数的计算解法一、二次函数的计算解法二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，而且a ≠ 0。

在解二次函数的问题时，我们可以运用下列方法：1. 求解二次函数的根：一般地，二次函数的根是指能使函数取零值的 x 值。

可以通过下列公式求解二次函数的根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示取加、减两种情况。

根的数量和情况取决于 b^2 -4ac 的正负情况：- 当 b^2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当 b^2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根；- 当 b^2 - 4ac < 0 时，方程没有实根，而有两个虚根。

2. 求解二次函数的顶点：二次函数的顶点是函数的最值点，即函数图像的最高点或最低点。

可以通过下列公式求解二次函数的顶点：x = -b / (2a)y = f(x) = f(-b / (2a))3. 求解二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中轴线，对称轴过函数的顶点。

可以通过下列公式求解二次函数的对称轴：x = -b / (2a)二、一次函数的计算解法一次函数是指形如 f(x) = ax + b 的函数，其中 a、b 为常数，而且 a ≠ 0。

在解一次函数的问题时，我们可以运用下列方法：1. 求解一次函数的根：一次函数的根即为函数的零点，可以通过下列公式求解一次函数的根：x = -b / a2. 求解一次函数的截距：一次函数的截距包括横截距和纵截距。

横截距是指函数与 x 轴交点的横坐标，可以通过下列公式求解一次函数的横截距： x = -b / a纵截距是指函数与 y 轴交点的纵坐标，可以通过下列公式求解一次函数的纵截距：y = f(0) = b3. 求解一次函数的斜率：一次函数的斜率是指函数图像的斜率，描述了图像的倾斜程度。

一元二次方程和一次函数的应用

上海龙文教学管理部1 龙文教育学科辅导学案教师: 学生: 年级: 八日期:2013. 12.29 星期: 日时段: 13-15学情分析课题一元二次方程和一次函数的应用学习目标与考点分析学习目标：、1能将简单的实际问题转化为数学问题(建立：一次函数)，从而解决实际问题 2、一元二次方程的应用掌握考点分析：一元二次方程和一次函数的应用学习重点如何将知识点运用到实践中学习方法讲练说相结合学习内容与过程上海龙文教学管理部 2 考点一：一元二次方程运用题1、变化率问题这种求变化率的题是一元二次方程中最常见的题。

一般是：已知某年的数量和两年前（或后）的数量，让求平均变化率。

对于这种问题只要把握住一个公式即可。

若设平均变化率为x ，则有变化前的量×(1±x)2=变化后的量。

在此类问题中，一般有变化前的基数（a ）、增长率（X ）、变化的次数（n ），变化后的基数（b ），这四者之间的关系可用公式a （1+ X ）n=b 表示，这类问题中等量关系通常由这个公式及相关的词语“译”出。

例1、某油田今年的产量可达5000万吨，如果计划两年内把产量翻一番，那么平均今后两年内每年需增产百分之几？二、比赛问题（循环）有关比赛问题最常见的应该是：已知比赛的总场数，求参赛队数。

若设参赛对数为N ，对于单循环比赛(两队间只进行一次比赛)只要把握住：1／2×N(N-1)=比赛的场数。

对于双循环比赛(两队间进行两次比赛)只要把握住：N(N-1)=比赛的场数这个公式即可。

例1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少人。

例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛。

3、某次同学聚会中共有若同学聚会，相见时每人都握手问好，某同学发现共握手66次，问这次同学聚会共有多少名同学三面积问题：需要把握好常见图形的面积公式。

一次函数与一元二次方程

一次函数与一元二次方程在数学中，一次函数与一元二次方程是两个基本的代数概念。

它们在数学的实际应用中扮演着重要的角色，并且在解决实际问题时起着至关重要的作用。

本文将探讨一次函数与一元二次方程的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一次函数，也称为线性函数，是指具有以下形式的函数：f(x) = ax + b其中，a和b是常数，称为一次函数的系数。

一次函数的图像为一条直线，其斜率为a，截距为b。

一次函数的图像可以通过确定两个点，或者利用斜率截距式来得到。

一次函数在实际中广泛应用于直线运动、经济学中的供需关系等领域。

一元二次方程是指具有以下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c是常数，a≠0。

一元二次方程在解决实际问题时起到了关键作用，尤其是在物理学、工程学和自然科学领域。

一元二次方程的解可以通过配方法、公式法以及图像法来求解。

一次函数与一元二次方程之间存在着密切的联系。

事实上，一次函数可以通过一元二次方程来表示。

具体而言，对于一次函数f(x) = ax + b，我们可以将其转化为一元二次方程ax + b = 0。

反过来，对于给定的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过将其写成标准形式来得到一次函数的表达式。

例如，对于方程2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以通过化简得到一次函数f(x) = 2x + 3。

在实际应用中，一次函数与一元二次方程有着不同的应用领域。

一次函数通常用于描述直线运动、线性增长等情况。

例如，在物理学中，我们可以使用一次函数来描述物体的匀速直线运动。

而对于复杂的曲线运动，我们往往需要使用一元二次方程来建立数学模型。

在工程学中，一元二次方程广泛应用于设计和优化问题。

例如，在桥梁设计中，我们可以利用一元二次方程来确定桥梁结构的最佳尺寸。

除了实际应用之外，一次函数与一元二次方程也有着重要的数学性质。

一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以提供关于函数特征的重要信息。