2020届江西省景德镇市高三第三次质检数学(文)试题(解析版)

【答案】B
【解析】先由求出 时， .再将函数 的零点问题，转化为函数 的图象与直线 的公共点的问题，利用数形结合思想，即可判断出公共点个数，求出函数 ，从而求出 的值域.
【详解】
由 知 ，
设 ，则 ，
则 ，
，
令 =0，即 ，
函数 的零点个数，
即为函数 与直线 的交点个数，
若 与函数 的图象相切，
设切点为 ，则切线斜率 ，
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】将 当作整体，在原式的两边同时乘以 ，使 这一部分配凑基本不等式的条件，从而得到一个关于 的二次不等式，求解即可.
【详解】
由 ，
得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
，则 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，将 看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.
【详解】
，即 ，
由二倍角公式可得 ，
， ，则
又 ，且
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.
6．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（）（取 ， ）
即 ，解得 .
因此，点 到平面 的距离为 .
【点睛】
本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
19．某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近 次食品交易会参会人数 （万人）与餐厅所用原材料数量 （袋），得到如下统计表：
2．已知i为虚数单位，若 ，则实数a的值是（）
A． B．–1C．1D．2
【答案】A
【解析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求出 的值.
【详解】
，且 ，
，即 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.
3．用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根据随机生成的10组三位数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（）
，故不能相切，
若 与函数 的图象相切，
设切点为 ，则切线斜率 ，
，故也不能相切，
又 ， ，则 ， ，
，则 的值域为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，属于较难题.
二、填空题
13．已知 ， ， ，且 ，则 __________.
【答案】3
8．已知 是数列 的前n项和，且点 在直线 上，则 （）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】由题得 ，利用 ，求出 且 ， ，从而判断出数列 是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即可求出比值.
【详解】
点 在直线 上，
，
当 时， ，
两式相减，得：
且 ，
又当 时， ，则 ，
是首项为1，公比为3的等比数列，
【解析】根据向量平行的坐标关系，即可求解,
【详解】
， ，
，
.
故答案为:3
【点睛】
本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.
14．已知数列 满足 ， 且 ，则该数列的前9项之和为__________.
【答案】34
【解析】对 分奇偶进行讨论，得出数列 是常数列，数列 是公差为 的等差数列，然后用分组求和法，即可求解.
， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 、 、 、 、 ，
、 分别为 、 的中点， ，
在正方体 中， 且 ，
所以，四边形 是平行四边形， ， ，
、 、 、 四点共面，
的面积为 ，
平面 ， 三棱锥 的体积为 .
由勾股定理得 ， ， .
在 中， ，
，
的面积为 ，
设点 到平面 的距离为 ，由 ，
11．双曲线 的上、下焦点为 、 ，P是双曲线上位于第一象限的点， ，直线 交 轴于点Q，则 的内切圆半径为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析出 ，并设 ，可得出 ，设 ，利用切线长定理可求得 的内切圆半径.
【详解】
易知，双曲线 的上焦点为 、 ，
又 ， ，
设 ，则 ，设 ，则 ，
设 的内切圆与边 、 、 切于点 、 、 ，
，
，则 ，
由
得 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
即 .
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式的应用，属于中档题.
18．如图，正方体 的棱长为 ，点 、 为棱 、 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，证明出平面 平面 ，利用面面平行的性质可证明出 平面 ；
当 时， ， .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.
三、解答题
17．若 的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求内角A的角平分线AD长的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【答案】B
【解析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点 ，并设过该点的直线方程为 ，与椭圆方程联立，利用 可得出关于 的二次方程，利用韦达定理可求得实数 的值.
【详解】
当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为 ，
该点在圆 上，所以， ，解得 ；
【详解】
由 得 ，即 ，
则该等比数列的公比为 ，
，即 ，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.属于基础题.
5．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合 可得 ，再利用平方关系，即可求出 .
【解析】（1）由正弦定理将已知式化角为边，再由余弦定理求出 ；
（2）由（1）的结论 及 的面积为 ，求出 和 .再由二倍角公式求出 .将 拆分成两个三角形 和 ，利用面积相等，求出 ，再利用基本不等式求出其最大值.
【详解】
解：（1）由正弦定理 ，
及 ，
可得 ，即 ，
由余弦定理得： ；
（2）由 ，得 ，
，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了数列中由 与 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前 项和公式，属于中档题.
9．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆 的蒙日圆为 ，则 （）
A． B． C． D．
439 918 288 374这4组随机数仅含有一个 的数，
即表可知，其概率 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.
4．设 是等比数列 的前n项和，若 ，则首项 （）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】将已知两式相减，可得出 ，则该等比数列的公比为 ，再将用 和 来表示 ，即可解得 的值.
由题知 ， ，则 为等比数列，
，
假设构造 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，
即 ，
，
【点睛】
本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.
7．已知 ， 为两个不同平面， ， 为两条不同直线，则下列说法不正确的是（）
【答案】
【解析】【详解】
由题意可知三棱锥外接球，即为以 为底面以 为高的正三棱柱的外接球
∵ 是边长为 的正三角形
∴ 的外接圆半径 ，
设球的半径为 ，因为 面 ， ,
所以 ，
∴外接球的表面积为 ，
故答案为
点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长）；②若 面 （ ），则 （ 为 外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，且 ，则
【答案】B
【解析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解.
【详解】
对于A， ， ，根据线面垂直的性质可知，垂直于
同一平面的两直线平行，选项A正确；
对于B， ， ，根据线面垂直的定义以及线面平行
【详解】
，
当 为奇数时， ，
则数列 是常数列， ；
当 为偶数时， ，