概率统计ppt 概率 随机事件及其概率

8、完备事件组 （对立事件拓展到多个） 事件 A1, A2, , An 两两互不相容又必有一个 会发生，称为完备事件组。
即完备事件组相当于： Ai Aj 且 A1 A2
An
三、事件运算的性质 （与集合运算性质一致）
1、交换律 A B B A AB BA
2、结合律 ABC ABC A BC 3、分配律 A BC AC BC
于是 1,2,3,4,5,6
设 A = “点数为奇数” ，则 A 1,3,5
故出现奇数点的概率为：
P A A 3 1
62
若 B = “点数 大于4” ，则
PB B 2 1
63
例2：抛硬币两次，求正面至少出现一次的概率。
解 1 “正、正” 2 “正、反”
3 “反、正” 4 “反、反”
2 P A B P A P AB
1 0.5 0.2 0.3
3 P A B P A P B P AB
1 0.5 0.4 0.2 0.7
例7 在1到2000的整数中随机取一个数，求取
到的数既不能被6整除也不能被8整除的概率。
解 设A = “取到的数能被6整除”
A1 A2 An
表示n 个事件同时发生。
5、事件的差（集合的差） 事件A 发生但B 不发生称为A与B 的差，记 为 AB
如：掷一颗骰子，i = “点数为 i ”
令 A = “点数为奇数”；B = “点数小于5”
则 A B 1,2,3,4,5
AB 1,3
A B 5
6、事件的互不相容（无交集） 事件A 与B 不能同时发生称为A与B 互不相 容，记为 AB
由上面例子可以看出： (1)任一随机事件都可表示为由基本事件构 成的集合； (2)任一随机事件都是基本事件空间的子集。
例1 抛硬币两次，写出
1 “正、正” 2 “正、反” 3 “反、正” 4 “反、反”
故 1,2 ,3 ,4
若 A = “至少出现一次正面” ，则
A 1,2,3
以上随机事件中所包含的基本事件均可 数，称为离散型随机事件；若不可数， 则称为连续型随机事件。
第一章
随机事件及其概率
第一节
随机事件
一、基本概念
1、现象
必然现象 偶然现象
必然现象：可预知结果的确定性现象；
偶然现象：无法预知结果的不确定性现象。
如：抛硬币、掷骰子、买彩票等为偶然现象
偶然现象又称为随机现象或随机试验。
2、随机事件 （随机试验可能的结果） 可能发生也可能不发生。
随机事件简称事件，记为：A、B、C 等等 如：掷两颗骰子（随机试验），则：
A = “点数之和大于6” ； B = “点数分别为一奇一偶” ； C = “点数之和是3的倍数” 均为随机事件。
3、基本事件 （随机事件中的一种特殊事件）
不可分解的最简单事件，记为：
如：掷一颗骰子， 则基本事件为：
i = “点数为 i ” （i =1，2，… ，6）
而 A = “点数为偶数” 就不是基本事件。
B C13C15 15
P B 15
28
练习1 将10本书随机放在书架上，求指定 的3本书放在一起的概率。
解
A10 10
10!
设A = “指定的3本书放在一起”
A A88A33 8!3!
P A 8!3! 1
10! 15
练习2 将标号为1，2，3，4的四个球随机
排成一行，求以下事件的概率。
再如：抛一枚硬币，则基本事件为：
1 = “出现正面 ” ；2 = “出现反面 ” 。
4、基本事件空间 所有基本事件构成的集合，记为 对于前面的两个例子，其基本事件空间 分别为：
1,2 ,3,4,5,6 1,2 若 A = “点数为偶数” ，则A 2,4,6 若 B = “点数大于4” ，则 B 5,6
于是
A 2,6,3,5,4,4,5,3,6,2
又 36
P A A 5
36
例5 袋中5个白球，3个黑球，现任取两球
求：(1)两个都是黑球的概率；
(2)一个黑球一个白球的概率。
解 C82 28
(1)设A = “取出的两个都是黑球”
A C23 3
P A 3
28
(2)设B = “取出的是一黑一白”
设B = “取到的数能被8整除” 则
P A 333 , P B 250 , P AB 83
2000
2000
2000
P AB P A B 1 P A B
1 P A P B P AB
1 333 250 83 3 2000 2000 2000 4
பைடு நூலகம்
练习 设A与B互不相容且A=B，则 P A A0 B0.5 C1 D以上都不正确
加法原理
2 P A B P A P B P AB
特别的，当A 与B 互不相容时，有
P A B P A PB
进一步 P A B C P A P B P C
P AB P BC P AC P ABC
3 P A P A 1 当然 P A 1 P A , P A 1 P A
4 P A B P A P AB
特别的，当 B A 时，有
P A B P A PB PB P A
5 P A B P AB
例6 P A 0.5 , P AB 0.2 , P B 0.4
求：1 P AB , 2 P A B , 3 P A B
解 1 P AB P BA P B A P B P AB 0.4 0.2 0.2
24 2
(3)设C = “1号球恰好与2号球相邻”
C
A22A
3 3
12
P C 12 1
24 2
(4)设D = “1号球恰好在2号球右边”
D C13A22 C12A22 C11A22 12
P D 12 1
24 2
二、概率的运算性质
1 0 P A 1 且有 P 0, P 1
显然，基本事件两两互不相容。
7、事件的对立 （补集） 事件A 与B 不能同时发生但A与B 又必有一 个会发生，称为A 与B 对立，记为 A B 即A 与B 对立相当于：
AB 且 A B
如：掷一颗骰子，i = “点数为 i ”
令 A = “点数为奇数”；B = “点数为偶数” 则 AB
A 1,3,5 B 2,4,6
如 测量全体学生的身高，写出
0 3
此外，还有两种特殊的随机事件：
（1）必然事件：一定发生，记为 （2）不可能事件：一定不发生，记为 如：掷一颗骰子，
“点数小于7”为必然事件 “点数大于7”为不可能事件
事件必与集合对应，其中的元素为基本事件。 “最大”的事件为必然事件，它就是基本
又 8
PB B 3
8
（2）至少一次投进的概率。 设 C = “至少一次投进”，则
C A1 A2 A3
A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 A2 A3
PC C 7
8
例4：掷两颗骰子，求点数和为8的概率。 解 设 A = “点数和为8” ，
事件空间 ，对应于集合的全集；“最小” 的事件为不可能事件 ，对应于集合的空集。
二、随机事件的关系与运算
1、事件的包含关系 若事件A发生必然导致事件B发 生，则称A包含于B，记为：A B
事件的包含关系与集合的包含关系完全一致。
如 抛硬币两次
1 “正、正” 2 “正、反” 3 “反、正” 4 “反、反”
(1)恰好按大小顺序排列；
(2)1号球恰好在最边上；
(3)1号球恰好与2号球相邻；
(4)1号球恰好在2号球的右边。
解 A44 4! 24 (1)设A = “恰好按大小顺序排列”
A 2
P A 2 1
24 12
(2)设B = “1号球恰好在最边上”
B
2A
3 3
12
P B 12 1
若令 A = “只出现一次正面” ， B = “至少出现一次正面” ，
显然， A B
同样可以从集合的角度理解，此时
A 2,3 B 1,2,3
A B
2、事件的相等关系 事件的相等关系与集合的相等关系完全一 致，记为： A B
如 抛硬币两次 若令 A = “两次都出现正面” ，
B = “不出现反面” ，
用 Ai 表示出以下复合事件。
（1）只有第一次投进： A1 A2 A3
（2）三次都投进：
A1 A2 A3
（3）只有一次投进：
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 （4）至少一次投进： A1 A2 A3
（5）至多一次投进：
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
AB C A C B C
4、 A A, AA , A A , A A 5、A A, A , A , A A 6、 A B A B B, AB A
7、德摩根律 A B AB, AB A B
8、差集转换公式 A B AB
例2：投篮三次，令 Ai = “第 i 次投进”
第二节 随机事件的概率
一、定义
由于 (1)任一随机事件都可表示为集合，其中的 元素为基本事件； (2)任一随机事件都是基本事件空间的子集。
故事件A发生的概率定义为： 集合A 所含基本事件的个数
P A
集合 所含基本事件的个数
例1：掷一颗骰子，求出现奇数点的概率。
解 i = “点数为 i ” （i =1，2，… ，6）
显然， A B 1
3、事件的和（集合的并）（或） 事件A和B中至少有一个发生（A或B发生） 称为A与B的和，记为 A B 同理可定义多个事件的和：