达朗贝尔原理-讲义
十三章达朗贝尔原理xppt课件-文档资料
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一 平衡力系。
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化： 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动，某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii
i
O
i
x
FT
FT
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第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在 每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形， 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
武汉理工理论力学第十一章 达朗贝尔原理讲解
FIin
mi
v2 r
MO 0
(m1g FI1 m2g FI2)r FIit r 0
FIin
ait aiOn
FIit FOy FOx
FI1
mg
a
(m1g m1a m2g m2a)r miar 0 a
m2g
miar (mi )ar mar
m1g
FI2
a m1 m2 g m1 m2 m
理论力学
第十一章达朗贝尔原理 (动静法)
2020年9月24日
第十一章 达朗贝尔原理
§11－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理 §11－2 质点系的达朗贝尔原理 §11－3 刚体惯性力系的简化 §11－4绕定轴转动刚体的轴承动约束力
§11-1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
设一质点的质量为m，加速度为a，作用于质点的主动 力F，约束力FN。 由牛顿第二定律，有
§11-2 质点系的达朗贝尔原理
例：飞轮质量为m，半径为R, 以匀角速度ω定轴转动，设
轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考虑重力的
影响，求轮缘横截面的张力。
解：由于对称，取四分之一轮缘为研究对象。
y
取微小弧段，加惯性力
FIi
mi ain
m
2R
Ri
R2
FA
A
列平衡方程
Fx 0 , FIi cosi FA 0
加惯性力
FIi miai miaC
惯性力系的合力：
FIR
FI1
FI
ma F FN
m
令 FI ma
F FN
F FN FI 0
ma
FI — 称为质点的惯性力。
第十四章达朗贝尔原理PPT课件
M
* C
m L2
/ 12
29
S
F*x mg
M
* C
FA
F*y
2021/2/13 .
Fx m aCx 3m L Fy m aCy m L / 2 MC* m L2 / 12
取两约束力的交点为矩心
mS 0:
M C *F x 3 L F y L /2m/g 2 L 0
FB
3g
20 L
30
C
FN
2021/2/13 34
.
运动分析
根据运动分析加惯性力、惯性力偶
F*y
O F*x
A
acy
M
* A
acx
2mg
B
Ff
C
FN
acxao r
acyaco r
2021/2/13 35
.
MC 0
M * AF x*rFy*r2mg 0r
F*y
O
A
M
* A
B
Ff
F*x C
2mg
MO0
FN
M * AFfrFy*r2mg 0r
.
1、平移刚体
F2 *
m2 F1* m1 a2
F * m aC
Fn * mn an
F maC
a1
M 0 0
刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。
2021/2/13 12
.
2、定轴转动刚体
MO *
O
C
F
0
F 0 － m a C ＝ m (－ a τ C a C n)
M 0 ＝M O (F iτ)＝(－ m iri2) ＝JO －
2021/2/13 16
理论力学第12章 达朗贝尔原理
基础部分——动力学第12 章达朗贝尔原理惯性力Jean le Rond d’Alembert （1717-1783)达朗贝尔达朗贝尔原理达朗贝尔原理具体内容：a F F m −=−='惯性力定义：质点惯性力aF m −=I 一、惯性力的概念aF m −='2222d d d d z ty m t[注意]不是真实力直角坐标自然坐标aF m −=I−a m 质点的达朗贝尔原理二、质点的达朗贝尔原理合力：NF I FI N =++F F F 注意：◆◆优点：◆可以将动力学问题从形式上转化为静力学动静法◆给动力学问题提供了一种统一的解题格式。
如何测定车辆的加速度？虚加惯性力解：达朗贝尔原理[例12-1]IF 摆式加速计的原理⇒⇒构成形式上的平衡力系质点系的达朗贝尔原理内力外力表明：惯性力系外力平面任意力系实际应用时，同静力学问题一样，选取研究对象；刚体惯性力系的简化简化方法一、质点系惯性力系的主矢与主矩无关有关二、刚体惯性力系的简化◆质心C结论：1IF2IF3IF IRFCm aF−=IR⇒交点O简化tI iF nI iF αα特殊情形：●●αOz O J M −=I 作用在O 点C m a F −=IR t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αt I iFn I iFα[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O=（逆）①2IR ωme F =②αCz O J M −=I （与α反向）③0, 0I IR ==O M F （惯性力主矢、主矩均为零）IRF OM I α（作用于质心C ）C m a F −=IR αCz C J M −=I 质心C IRF CM I α特殊情形：●●⇒[思考]εmr F =t IRrR r mF −=22n IRωε2I 21mr M C=求：惯性力系向质心C 简化的主矢？主矩？达朗贝尔原理上节课内容回顾（质点惯性力）或：质心C Cm a F −=IRαOz O J M −=I Cm a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I ααOz O J M −=I C m a F −=IR 交点O t I iFn I iFn IRFt IRF OM I αCm a F −=IR αCz C J M −=I质心C IRF CM I α质心C[思考]求：向交点O 简化的主矢？主矩？)(41t IR↑=L m F αOCαωL /4)(412n IR →=L m F ωα2I 487mL M O =问：若向质心C 简化，则主矢？e =−∑Cx xma F 平面运动微分方程0)( e=−∑αCz C J MF 0e =−∑Cy yma F IRF CM I α⇒⇒[例12-2]解：惯性力系αt RI Fn IRFn AFt A FAM I αtRI Fn IR F nA F t AF AM I α惯性力系）解题步骤及要点：注意：F IR = ma C M I O = J Oz αα思考：AC CθASO[例12-3]先解：惯性力系m gF IR M I C F sF NαR a C =CθASOm gF IRF OxF OyM I C再惯性力系M O[例12-4]解：惯性力系 1I F OM I 2I F α)(=∑F OMα11r a =2211 α22r a =1I F OM I 2I F α[思考题] A BCD E )(118↓=g a A mgF 113T =111≥f主动力系惯性力系RFIRF OMIRF IRF OM I tI iFn I iF∑∑==ii iyzi i i zx z y m J x z m J RF IRF OM I tI iFn I iFRF IRF OM Ill F M l F M y x y x /)]()[( 2I I 2R ⋅−+⋅−ll F M l F M x y x y /)]()[(2I I 2R ⋅++⋅+−ll F M l F M y x y x /)]()[(1I I 1R ⋅++⋅+−ll F M l F M x y x y /)]()[( 1I I 1R ⋅−+⋅−xF R −约束力静动主动力惯性力动约束力I x 02=ωJ 质心过)04222≠+=−ωααωωα惯性主轴z 轴为中心惯性主轴静平衡过质心⇒动平衡中心惯性主轴⇒[例12-5]静平衡动平衡爆破时烟囱怎样倒塌θOAωα解：m g)cos 1(3θ−lg F OxF OyMI On RI F t IRF 受力分析[例12-6])]([)(sin ⋅−−+−+⋅x x l l x x l mg ααθ1()(sin mgl −θB注意：求内力(矩)时惯性力的处理！xθxAB()ml x lα−m l lαBM BxF x mg lByF12-5-1 关于惯性力系的简化OA ωαMI OnR I FtIRFOAωαMI CnRIFtRIFC 思考思考12-5-2 刚体平面运动时有关动力学量的计算mv+C12-5-3 本章知识结构框图达朗贝尔原理惯性力系的简化质点系达朗贝尔原理定轴转动的约束力一般质点系刚体静、动约束力静、动平衡课后学习建议：◆。
《达朗贝尔原理》课件
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
11-第十一章-达朗贝尔原理
第十一章 达朗贝尔原理§11.1 质点的达朗贝尔原理=++∴=+G N F maN F令a -m G =在质点上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一组平衡力系，称质点的达朗贝尔原理。
11.2 质点系的达朗贝尔原理、运动刚体惯性力系的简化一、质点系的达朗贝尔原理设质点系由几个质点组成，其中一质点M i ，其质量为m i ，作用其上的主动力F i ，约束反力N i ，加速度为a i ，在该质点上加上惯性力为G i则: 0=++i i i G N F对每一个质点进行同样处理，根据加减平衡力系定理，则质点系上所有的主动力系，约束反力系，惯性力系组成了一组平衡力系。
根据静力系平衡的条件：R =0 M o =0 （主矩、主矢皆为零）)()()(0=∑+∑+∑=∑+∑+∑∴i o i o i o i i i G M N M F M G N F质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动时，作用于该质点系上的主动力系、约束反力系和惯性力系形式上构成一组平衡系。
00000:=∑=∑=∑=∑=∑=∑z y x M M M Z Y X 投影方程二、运动刚体惯性力系的简化利用达朗贝尔原理求解刚体动力学问题，需对刚体内每个质点加上它的惯性力，这些惯性力组成一组平面惯性力系，这就需要将惯性力系进行简化，求得惯性力系的主矢和对简化中心的主矩，并且在解题过程中，直接将惯性力的主矢主矩加到运动刚体上即可： （一）平动刚体惯性力系的简化平动刚体 a i =a n =a cG i =-m i a i刚体内各点的惯性力组成一组平行力系，将该惯性力系向质心c 简化：)()(=∴=⨯-=⨯∑=-⨯∑=∑=-=∑-=∑=c c cc ci i i i i i i c ci i i r M m m G M a m G M a r a r a r M M a G结论：刚体作平动时，惯性力系简化结果为通过质心c 的主矢Gc Ma G -=（二）定轴转动刚体惯性力系的简化条件：定轴转动刚体，均质，具有与转轴互相垂直的对称平面。
讲稿28、29达朗贝尔原理1
W FI = 1 Rα 4g
1W M I = 1 R2α 2g
W
E
MI
D
l W l (W1+W2 ) +(W+ a)( － R) － M I－ lFAy =0 2 g 2
17 1 W1 FAy = W1 Ra 16 16 g
FCy F α Cx M
FAy
C
W1
FB
E
W1 FT ′
∑ Fy =0:
W2W1 ∴ Fs = 3 2(W2 + W1) 2
W1 a g
a
Fs
W1
FN
例8. 起重装置由匀质鼓轮 D （半径为 R ，重为 W1 ）及均质梁 AB （长l=4R，重W2=W1）组成，鼓轮通过电机C（质量不计）安装在 梁的中点，被提升的重物E重W，W1=4W。电机的驱动力矩为M， 求重物E上升的加速度a及支座A，B的约束力FNA及FNB。 M 解： 1. 加速度a D FT 1 W1 2 W a=αR M－ FT′ R= Rα FT－ M= a C 2 g g E 4M－ W1R g α= B a A 2 3W1 R 2. 约束力
( ) ( )
e ∑ Fi +∑ FIi =0
( )
e ∑ M O (Fi )+∑ M O (FIi )=0
( )
作用在质点系上的所有外力及虚加在每个质点上的惯性力 在形式上组成平衡。 其中
∑ FI i 惯性力系主矢
∑ M O (FI i ) 惯性力系主矩
§14-2 刚体惯性力系的简化 一、惯性力系主矢
F
ma=F cosθ－ FS
0=FN +F sinθ－ mg
1 2 mR α=FS R 2
十四章节达朗贝尔原理
d dt
( 12
Q g
r2
Q g
r2
1 2
Q g
r2
FP g
r
2
)
Qr
sin
FPr
2Q g
FP
r2
(Q sin
FP )r
a g(Q sin FP )
2Q F P
A a
Q
α
B
QC FP
例题4
第14章 达朗贝尔原理
飞球调速器的主轴O1y1以匀角速度转动。 试求调速器两臂的张角。设重锤C的质量为m1 ，飞球A，B的质量各为m2，各杆长均为l，杆重
W2
3 2
W1
A
MC (F) 0, JC FR 0
W2
F
JC
R
JCa R2
W2W1
2(W2
3 2
W1 )
例题
第14章 达朗贝尔原理
起重装置由匀质鼓轮D
（ 半 径 为 R ， 重 为 W1 ） 及 均 质 梁 AB （ 长 l=4R ， 重 W2=W1 ） 组成，鼓轮通过电机C（质量
FI mrc 2
2.转轴通过质心,但刚体作变速转动
a
M IO
O(C)
M IO Jc
3.刚体转轴通过质心并作匀速转动
O(C)
(c)
刚体的惯性力系自行平衡
刚体作平面运动
FI
C
aC M IC
FI mac
M Ic Jc
例题2
第14章 达朗贝尔原理
如图所示，滑轮的半径为r，质量为m均匀分 布在轮缘上，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软 绳的两端各挂质量为m1和m2的重物,且m1 >m2 。 绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承
第九章 达朗贝尔原理
FIx max
FIy
ma
y
目录
第九章 达朗贝尔原理\达朗贝尔原理和动静法
9.2 达朗贝尔原理和动静法
9.2.1 质点的达朗贝尔原理
一质量为m的质点M，在主动力F和约 束力FN的作用下沿曲线运动（如图）。设F 与FN的合力为FR，质点的加速度为a ，则
或
FR=ma
F+FN=ma
假如在质点M上加上惯性力FI=－ma， 则由于FI与FR的大小相等、方向相反，故有
式加速计装置。这种装置是在车厢顶上悬挂一单摆，如图所示。当
车辆作匀加速运动时，摆将偏向一方，且与铅垂线成不变的角。
求车辆的加速度a。
目录
第九章 达朗贝尔原理\达朗贝尔原理和动静法
【解】 取摆锤为研究对象。它受到重 力W和绳子的拉力F的作用。设摆锤的 质量为m ，则摆锤的惯性力的大小为 FI=ma，方向与a相反。假想在摆锤上 施加惯性力FI，那末W、F、FI组成一 平衡力系。取垂直于绳子的x轴为投影 轴，列出平衡方程
1）若转轴通过质心C且≠0（如图），则 FI=－maC=0，此时简化结果只有惯性力偶MI= －J z。
2）若转轴不通过质心C，且刚体作匀
速转动（如图），则MI=－Jz=0， 此时简 化结果只有惯性力FI，其大小为FI=me2，
方向由O指向C。
目录
第九章 达朗贝尔原理\刚体惯性力系的简化
3）若转轴通过质心C ，且刚体作匀速转
目录
第九章 达朗贝尔原理\刚体惯性力系的简化
若将该平面力系向转轴与对称面的交点O 简化，则可得到一个力FI与一个矩为MI的力 偶（如图）。
设刚体转动的角速度为，角加速度为，
刚体的质量为m ，由力系简化的理论和质心的
第10章达朗贝尔原理及虚位移原理ppt课件
例10-1
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60
求:
用达朗贝尔原理求解 v, FT .
解:
FI
m
a
n m
l
v2 sin
mg FT FI 0
Fb 0, FT cos mg 0
Fn 0, FT sin FI 0
解得
FT
mg
cos
1.96N
v
FT l sin 2
按不同坐标系，惯性力可分解为：
FJ x
max
FJ y
may
FJ z
maz
F J ma ——切向惯性力 FnJ man ——法............... FbJ mab 0
3
10.1.2 质点的达朗贝尔原理
非自由质点M：质量m，受主动力 F， 约束反力 N 作
用， F 、N 的 合力为
轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力 的影响. 求:轮缘横截面的张力.
解:
FIi
miain
m
2R
Ri R 2
Fx 0,
FIi cos FA 0
Fy 0,
FIi sin FB 0
令 i 0,
FA
2
m R 2 cos
d
mR 2
0 2
2
FB
2
m R 2 sபைடு நூலகம்n
Fi FNi 0
即
Fi
ri
FNi
ri
0
Fi
r i
FNi ri 0
F i ri 0
或记为
WFi 0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
第12章 达朗贝尔原理
第12章 达朗贝尔原理12.1 主要内容12.1.1 质点的达朗贝尔原理设一质量为m 的质点M ，在主动力F 、约束力F N 的作用下运动，根据牛顿第二定律m a =F +F N移项后整理得F ＋F N ＋F I =0其中F I = –ma 称为惯性力，它可表述为：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，这个力的方向与其加速度的方向相反，大小等于其质量与加速度的乘积。
此式表明：在质点运动的任意瞬时，如果在其质点上假想地加上一惯性力F I ，则此惯性力与主动力、约束力在形式上组成一平衡力系。
这就是质点的达朗贝尔原理。
12.1.2 质点系的达朗贝尔原理设某质点系由n 个质点组成。
如果在某质点i m 上假想地加上一惯性力F I i ＝–m i a i则对于整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该质点系上的主动力、约束力将组成一平衡力系，即0I N =∑+∑+∑i i i F F F()()()0I N =∑+∑+∑i O i O i O F M F M F M这就是质点系的达朗贝尔原理。
12.1.3 刚体惯性力系的简化（１）、刚体平移平移刚体的惯性力系可简化为一合力F I = –m a c它的作用线通过刚体的质心，方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质量与加速度的乘积。
（２）、定轴转动惯性力系简化的主矢为c M a F -=RI惯性力系对简化中心O 的主矩为：()()kj i k j i M z y x z xz yz yz xz o M M M I I I I I I I I 22I ++=-++-=εωωε 绕定轴转动刚体的惯性力系向转轴上任意点O 简化时，惯性力主矢、主矩由上式计算。
但应注意，惯性力系的简化结果，主矢和主矩必须作用在同一个简化中心上。
（３）、平面运动随同质心平移而虚加的惯性力系将合成为一合力F I ，合力作用线通过质心，方向与a c 的方向相反，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，即F I ＝–M a c相对质心转动而虚加的惯性力系的主矢等于零（质心在转轴上），主矩为一惯性力偶，且作用于质心C 处，它的转向与角加速度ε的转向相反，大小等于角加速度与刚体对于质心的转动惯量的乘积，即M I = –I c ε12.1.4 定轴转动刚体的轴承动约束力设刚体上的惯性力系向O 点简化的主矢和主矩为ji ji y x c c c c F F x y M y x M F I I 22I )()(+=-++=εωεω ()()k j i kj i z y x z xz yz yz xz o M M M I I I I I M I I I 22I ++=-++-=εωεωε 根据达朗贝尔原理求解可知，轴承动约束力由两部分组成：一是由主动力引起的，与运动无关，为静约束力；二是由惯性力主矢、主矩引起的，为附加动约束力。
达朗贝尔原理(动静法)课件
在研究具有加速度的物体时，可以利用达朗贝尔原理引入惯性力的概念，从而将 动力学问题转化为静力学问题，简化求解过程。
复杂系统的应用
多体系统动力学
在多体系统动力学中，达朗贝尔原理可以用于分析多个相互 作用的物体组成的复杂系统的运动规律。通过引入虚拟力， 可以将多体系统动力学问题转化为多个单体动力学问题的组 合。
案例二：机械设备的动静法优化
总结词
机械设备性能的优化是提高生产效率和降低能耗的关键，动静法能够分析机械设备的动态性能，提出 优化方案。
详细描述
在机械设备的运行过程中，动态性能对其稳定性和效率具有重要影响。达朗贝尔原理的动静法能够对 机械设备的动态性能进行深入分析，发现潜伏的问题并提出优化方案，从而提高设备的运行效率和稳 定性。
控制系统
在控制系统中，达朗贝尔原理可以用于分析系统的稳定性。 通过引入虚拟控制力，可以判断系统在受到干扰时是否能够 保持稳定。
04
达朗贝尔原理的案例分 析
案例一：桥梁结构的动静法分析
总结词
桥梁结构的稳定性与安全性是关键，动静法能够全面评估桥梁在不同载荷下的性能。
详细描述
桥梁作为交通要道，需要承受各种载荷，如车辆、风、地震等。达朗贝尔原理能够通过动静法分析桥梁在不同载 荷下的响应，从而评估其稳定性与安全性，为桥梁设计提供根据。
在振动分析中，动静法可用于 研究系统的自由振动和受迫振 动，分析系统的固有频率和振
型。
在稳定性分析中，动静法可用 于研究系统的稳定性和失稳条 件，预测系统的动态行为。
在控制系统分析中，动静法可 用于研究系统的动态响应和调
节性能，优化控制策略。
动静法的优缺点
动静法的优点在于其简单易行，能够 方便地引入虚拟惯性力，从而简化动 力学问题的分析过程。同时，动静法 能够直接得出系统的动力学方程，方 便进行数值计算和仿真分析。
理论力学达朗贝尔原理ppt课件
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向
任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO 和F* ，M*O ，于是，
第五章 达朗贝尔原理
目录
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬
时的角速度为ω，角加速度为α。
第五章 达朗贝尔原理
舰载飞机降落过程中的动力学问题
拦阻装置为什么装在飞机的后部？
第五章 达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
理论力学 第10章 达朗贝尔原理(动静法)
解： 取轮为研究对象
虚加惯性力系：
RQ maC mR
M QC JC m 2
O
由动静法，得：
23
X 0 , F T RQ 0
(1)
Y 0 , N mg S 0
(2)
mC (F )
0
, M
FR M QC
0
(3)
2
2
M F( R) T (4)
4
二、质点的达朗贝尔原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗贝尔原理
该方程对动力学问题来说只是 形式上的平衡，并没有改变动力学 问题的实质。采用动静法解决动力 学问题的最大优点，可以利用静力 学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要
在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
26
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 ⑦求解求知量。
[注] RQ , MQO 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时， 只需按 RQ maC , MQO JO 代入即可。
5
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。 a
6
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
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z
J xz mxz 0 J yz myz 0
x A
D(x,y,z) D′(x,y,-z)
y
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比如：当刚体有质量对称面，且该对称面沿自身所在 的平面运动，是常见的平面运动刚体。 此时动力学问题得以简化。
20
7.4 刚体惯性力系的简化 质点系的达朗贝尔惯性力系的主矢和主矩 主矢
FI
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F FN FI 0
该式称为质点的达朗贝尔原理的数学表达式。
4
7.1 达朗贝尔惯性力与质点的达朗贝尔原理 2. 质点的达朗贝尔原理 动静法求解步骤： (1) 确定研究对象，整体或部分
达 朗 贝 尔 原 理
(2) 运动分析，得到加速度 (3) 受力分析，主动力、约束力、惯性力 (4) 由达朗贝尔原理，求解
③ 一个确定的刚体对某一确定的轴的转动惯量则 为一确定值。 ④ Jl 0 。
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⑤ 转动惯量的单位：kg· m2。
8
7.3 刚体的转动惯量与惯性积 刚体的转动惯量 工程中，常用公式
Jl mi i2
J z mz2
达 朗 贝 尔 原 理
z 具有长度量纲，称为刚体对 z 轴的回转半径。
主矢
FIR maC
固定的坐标系 Oxyz
主矩 M IO ri (mi ai )
i
达 朗 贝 尔 原 理
j 0 yi
k zi
ri xi i yi j zi k vi ri
vi ri 0 xi ai ri vi
i 0 xi j 0 yi k
达 朗 贝 尔 原 理
J xz mxz 0 J yz myz 0
比如：由某一平面图形绕该 平面某轴旋转一圈而构成的 轴对称图形均质刚体。
D′(-x,-y,z) D(x,y,z) A x y
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19
7.3 刚体的转动惯量与惯性积 主转动惯量 定理 2 如果刚体具有质量对称面，则垂直于该对称面的 任一轴必为刚体在该轴与对称面交点的一根惯量主轴。
FIR maC
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21
质点系的达朗贝尔惯性力系的主矢等于质点系的总质量 与质心加速度的乘积的负值。
7.4 刚体惯性力系的简化 质点系的达朗贝尔惯性力系的主矢和主矩 主矢 主矩
达 朗 贝 尔 原 理
FIR maC
M IO M O ( FIi )
ri (mi ai )
z
y
7.3 刚体的转动惯量与惯性积 刚体的转动惯量 刚体上各质点之质量与其到某一确定轴的垂直距离平 方的乘积之和定义为刚体对该轴的转动惯量。
达 朗 贝 尔 原 理
Jl mi i2
① 转动惯量 Jl 之值，不仅与刚体的形状和刚体上 质量的分布状况有关，而且与转轴的位置有关。 ② 同一刚体对于不同的轴的转动惯量是不同的。
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3
7.1 达朗贝尔惯性力与质点的达朗贝尔原理 2. 质点的达朗贝尔原理
惯性参考系中，质量为 m 的质点运动和受力如图， 主动力 ma ma F F
N
达 朗 贝 尔 原 理
F FN (ma) 0 FI (ma)
达朗贝尔惯性力
约束力
FN
F
惯性力
质点在运动的任意瞬时，主动力、约束力和达 朗贝尔惯性力组成了一个形式上的平衡汇交力 系。称为质点的达朗贝尔原理。
第七章 达朗贝尔原理 7.1 惯性力和质点的达朗贝尔原理 7.2 质点系的达朗贝尔原理 7.3 刚体的转动惯量和惯性积
达 朗 贝 尔 原 理
4 学时
7.4 刚体惯性力系的简化
法国科学家达朗贝尔于1743年提出，引入 达朗贝尔惯性力将动力学问题转化为形式 上静力学问题，称为动静法。 作业： 7-4, 7-5, 7-8, 7-9,
yi i xi j
z
k k
ri
i 0
j 0
k
O
x
mi y
zi
0
yi xi
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24
( yi 2 xi )i ( xi 2 yi ) j
Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783)
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7-11
1
7.1 达朗贝尔惯性力与质点的达朗贝尔原理 1. 达朗贝尔惯性力
惯性参考系中，质量为 m 的质点运动和受力如图， 主动力 ma ma F F
N
达 朗 贝 尔 原 理
F FN (ma) 0 FI (ma) 具有力的量纲，
N
达 朗 贝 尔 原 理
F FN (ma) 0 FI (ma) (F ) (FN ) F FN
约束力
FN
F
惯性力
FI 分别为 F , FN 的反作用力，质点对外界的作用力。 F , FN
• 与外界施力体受到的反作用力有关； • 是一种虚假的、不存在的力，作用点不在质点！ • 与质量、加速度有关，故称为惯性力。
y
d A 2 r d r
达 朗 贝 尔 原 理
m d m 2 r d r R2
Jz r2 d m
m
O
x
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R
0
m r 2 r d r R2
2
2m R 3 2 r dr R 0
2m r 4 R 2 | R 4 0
1 mR 2 2
13
附录 II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩 物体 形状
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16
刚体的转动惯量——平行轴定理应用
达 朗 贝 尔 原 理
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17
7.3 刚体的转动惯量与惯性积 主转动惯量
J xy mi xi yi xy d m
m
J yz mi yi zi yz d m
m
达 朗 贝 尔 原 理
J xz mi zi xi zx d m
O r
14
附录 II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩 物体 形状
简图 y
达 朗 贝 尔 原 理
转动惯量
回转半径
薄圆板
r O
1 2 J x J y mr 4
x
1 2 J O mr 2 1 2 J z mr 2 2 2 J z mr 5
1 x y r 2 1 O r 2
可视为将刚体的全部质量都集中于距轴 z 垂直距离 为 z 的点处对 z 轴的转动惯量。
z
Jz m
！
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并不是刚体质心到 z 轴的距离！
9
7.3 刚体的转动惯量与惯性积 刚体的转动惯量 ——平行轴定理
Jl mi i2
实际问题中，常给出刚体对过质心轴的转动惯量，
而转轴不一定在该轴，需要计算对任一转轴的转动惯量。
m1
FI1
(i) n
mn
FIn Fi (i)
m
FIi mi
Fi (e) 质点系在运动过程中的任一瞬时，其惯性力系与外力 系组成一个平衡力系。此称为质点系的达朗贝尔原理。
Fi (e) FIi 0 M A ( Fi (e) ) M A ( FIi ) 0
F1(i)
称为达朗贝尔惯性力。
约束力
FN
F
惯性力
方向与加速度方向相反。
FI
质点在运动的任意瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯 性力组成了一个形式上的平衡汇交力系。
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2
7.1 达朗贝尔惯性力与质点的达朗贝尔原理 1. 达朗贝尔惯性力
惯性参考系中，质量为 m 的质点运动和受力如图， 主动力 ma ma F F
2 i 2 i 2 2 m
mi i2
2 d m
m
对相应的坐标轴的转动惯量
J xy mi xi yi xy d m
m
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J yz mi yi zi yz d m
m
7
J xz mi zi xi zx d m
m
对相应的的两个直角坐 标轴的惯性积
达 朗 贝 尔 原 理
z
zC
x
dx x l/2
J zC d 2 d m
m
O
l/2
m x dx l / 2 l
l/2 2
m 1 3 l/2 x| l 3 l / 2
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m 1 l 3 l 3 l 3 8 8
1 2 ml 12
11
例 均质细直杆 l，质量为 m，求直杆对轴 zC 和 z 的转动惯量。 解 J zC
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6
7.3 刚体的转动惯量与惯性积 定义
J x mi ( y z ) ( y z ) d m
2 i 2 i 2 2 m
z
A x y
dm
J y mi ( zi2 xi2 ) ( z 2 x 2 ) d m
m
达 朗 贝 尔 原 理
J z mi ( x y ) ( x y ) d m
FIR FIi (mi ai )
d ri mi 2 dt d2 2 mi ri dt
2
FI1 FIn
达 朗 贝 尔 原 理
d2 2 mrC dt
Dn m rC O
固定点
D1 C D i
FIi mi ai