高三数学一轮复习精品学案：§5.2 平面向量基本定理及坐标表示

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2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)

5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1）设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】－23【解析】点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二平面向量在几何中的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1，即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（考虑特值法）当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>，于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-，由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三考虑向量的数量积的运算解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】方法一如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】－2或6【解析】由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为．【答案】 (3,3)【解析】方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为．【答案】 3【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心，则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ，则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →，则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________．【答案】2133【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23，因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______．【答案】102【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

高考数学一轮复习学案：平面向量的基本定理及坐标表示学案理北师大版

第二节平面向量的基本定理及坐标表示［考纲传真］(教师用书独具)1. 了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (对应学生用书第71页) ［基础知识填充］1. 平面向量基本定理(1) 定理：如果e i , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任向量a ,存在唯 ----- 对实数入1,入2,使a =入e +入2e 2.(2) 基底：不共线的向量 e 1, e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2•平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模设 a = (X 1, y 1), b = (X 2, y 2)，贝Ua +b =(X 1 + X 2, y + y 2), a - b =(X 1 — X 2, 屮一y 2),入 a =(入 X 1,入 y" , | a | =+ y 1.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设 A (X 1, y" , B (X 2, y 2)，则 AB=(X 2 — X 1, y 2 — yj , I AB = (X 2— x"2+ (y 2— y"2. 3.平面向量共线的坐标表示设 a = (X 1, y" , b = (X 2, y 2)，其中 a * 0, b * 0. a , b 共线？ x$2 — X 2y 1= 0. ［知识拓展］1 .若a 与b 不共线，入a +卩b = 0,贝U 入=卩=0. X 1 y 1 2•设 a = (X 1, yd , b =(X 2,y 2)，如果X 2*0 , y 2*0,贝U a // b ?=.X 2 y 2 ［基本能力自测］1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )⑵ 在厶ABC 中，设a , E3C = b ,则向量a 与b 的夹角为/ ABC ( )⑶若a , b 不共线，且入1a + ［11b =入2a +卩2b ,则入1 =入2,卩1 =卩2.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()双基自主测评I 梳理自测巩固基础知识X i V i(5) 若a = (x i, y i), b =(X2,目2，贝U a// b的充要条件可表示成=’.(X2 V(6) 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ()[答案] ⑴X (2) X (3) V ⑷V (5) X (6) V2. 已知平面向量a= (2 , - 1) , b= (1,3)，那么|a+ b|等于()A. 5B. 13C. 17D. 13B [因为a + b= (2 , - 1) + (1,3) = (3,2)，所以|a+ b| = 32+ 22= 13.]3. 设e1, e2是平面内一组基底，若 ________ 入1e1 +入2e2= 0，贝V入勺+入2= .0 [假设入1丰0,由入1e1 +入£2= 0,得e1 = —e2, —e1与e2共线，这与e1, e2是平入1面内一组基底矛盾，故入1 = 0,同理，入2= 0 ,.•.入1 +入2= 0.]4. ______________________________________________________________________ (2016 •全国卷n )已知向量a= (m,4), b= (3 , —2)，且a / b,贝U m=____________________ .—6 [ ••• a= (m,4) , b = (3 , —2), a / b,—2m—4X 3= 0,. ir= —6・]5. ____________________________________________________________________________ (教材改编)已知?ABC的顶点A( —1 , —2) ,B(3 , —1), Q5,6),则顶点D的坐标为_________ .(1,5)[设D(x , y),则由A B= DC 得(4,1) = (5 —x, 6 —y),4= 5—x , x = 1,即解得f ]1 = 6—y , |y = 5.题型分类突破」典例剖析探求规律方法|題型1|(对应学生用书第72页)AC= b,则AO=( ) A 2a+ 2bc 1 k C 4a + 2b⑵在平行四边形 ABC ［中, E 和F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若AC=入AE+卩AF ,其中入，卩€ R ,贝U 入+卩= __________4(1) D (2) 3［⑴ T 在三角形 ABC 中, BE 是 AC 边上的中线,3••• AE= 1A C••• O 是BE 边的中点,1T 1T 11=2AB +4AC =2a + 4b -4所以入+ □ = 3-]3［规律方法］平面向量基本定理应用的实质和一般思路1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算-2用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 -［跟踪训练］如图4-2-2 ,以向量6A = a , (D B= b 为邻边作？OADBBM=1TC CN= ^CD 用a ,33b 表示 T M T N T N• AO = 1(A B +(2)选择AB AD 乍为平面向量的一组基底，则T T T T 1 T T T T 1AC= AB+ A[ AE= 2AB+ A[ AF = AB^AD解得又AC =入AE+ 2 □ = 3,r 12入+图4-2-2 [解]••• BA= OA- OB= a—b ,論1眈 6a _ 6b ，-> -> -> 1 5 OM= OBF BM= — a + b . •••OD= a + b ,••• ON= OC F 1CD= 1ODF 1O D2f 2 2 =3OD= 3a + 3b ，T T T 2 2 1511• MN= ON -OM= 3a+3b -6- 6b =2— 6b ・_. Ac _. n n _. A A综上，OM 6a+6b ，ON = 3a+ 3b ，MN 尹6°|题型2| 平面向量的坐标运算'■■'I 已知 A — 2,4) , B (3 , - 1) , C — 3, -4).设AB= a , BC = b , CA = c ,且CM= 3c , CN=-2b,(1) 求 3a + b - 3c ;(2) 求满足a = m )+ nc 的实数 m n ; (3) 求M N 的坐标及向量 T N 勺坐标•【导学号：79140151】由已知得 a = (5 , - 5) , b = ( - 6,- 3), c = (1,8) (1)3 a + b -3c = 3(5 , - 5) + ( - 6, - 3) - 3(1,8) =(15 - 6 -3, - 15 - 3 -24) = (6 , - 42).⑵ T nto + nc = ( - 6m + n , - 3m + 8n ),⑶ 设O 为坐标原点.••• CM= 6i\— &= 3c ,•••ON= — 2b + OC= (12,6) + ( - 3, - 4) = (9,2),-6m + n = 5 ,—3 m + 8n = — 5 , 解得*m =- 1 ,n =— 1.+ ( - 3, - 4) = (0,20)• M 0,20)［规律方法］平面向量坐标运算的技巧］利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.2解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程组进行求解.［跟踪训练］(1)已知四边形 ABC 啲三个顶点A (0,2) , B ( — 1, — 2) , C (3,1)，且BC = 2AD ,则顶点D 的坐标为( )A 2, 7B 2,-1 C. (3,2)D. (1,3)(2)在厶ABC 中，点P 在BC 上，且BP = 2PC 点Q 是AC 的中点，若PA= (4,3) , PQ= (1,5)，则 B C=() A. ( — 2,7)B. ( — 6,21)D. (6 , — 21)f f 4= 2x ,又 BC = 2AD 二 3= 2( y - 2),⑵•/ BP = 2 PC ••• BC = 3PG= 3( PM AC ) . Q 是 AC 的中点，二 AC = 2AQ 又 AQ= AP +PQ • BC = 3[ PA^ 2(AP+ PQ ] = ( — 6,21).]平面向量共线的坐标表示■■I 已知 a = (1,0)，b = (2,1).(1) 当k 为何值时，ka — b 与a + 2b 共线；(2) 若辰2a + 3b , BC = a + nt),且A, B, C 三点共线，求 m 的值. [解]⑴ T a = (1,0) , b = (2,1),• ka — b = k (1,0) — (2,1) = (k — 2,— 1),a + 2b = (1,0) + 2(2,1) = (5,2),■/ ka — b 与 a + 2b 共线， ••• 2( k — 2) — ( — 1) X 5= 0,• N9,2) , • M = (9 , 18).C. (2 , — 7)(1) A (2)B [(1)设 Dx , y ),AD= (x , y — 2) , BC= (4,3)故选A .I 题型3| 2 7 - 21⑵A B= 2(1,0) + 3(2,1) = (8,3),BC= (1,0) + m(2,1) = (2m^ 1, m).••• A, B, C三点共线，•AB// BC••8m-3(2 1) = 0,3•n= 2［规律方法］1.向量共线的充要条件］a / b? a =入b b云［l ；2 a / b? xy—X2y1 = ［i其中a= X1, y1 , b= X2, y2 |当涉及向量或点的坐标问题时一般利用2比较方便•2.与向量共线有关的题型与解法1证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；2已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程组求解•［跟踪训练］（1）（2018 •郑州第二次质量预测）已知a= （2 , m , b= （1，—2），若a//（a +2 b），则m的值是（）A. —4B. 1C. 0D.—2(2)已知向量OA= (k, 12) , O B= (4,5) , O C= ( —k, 10)，且A, B, C三点共线，则实数k的值是____________ .【导学号：79140152】2(1) A (2) —3 [(1) a+ 2b= (4 , m- 4)，由a//( a+ 2b)，得2( m—4) = 4m m=—4,故3选A.—> —> —>⑵ AB= OB- OA= (4 —k,—7),AC= OC- OA= ( —2k,—2).•••代B, C三点共线，•AB AC共线，•—2X (4 —k) = —7X ( —2k),2 解得k=—3.]。

2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第5章第2讲平面向量基本定理及坐标表示

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×(教材习题改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底( ) A ．e 1＝(－2，4)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(4，3)，e 2＝(－3，8) C ．e 1＝(2，3)，e 2＝(－2，－3) D ．e 1＝(3，0)，e 2＝(4，0)解析：选B ．对于A ，e 1＝－2e 2，对于C ，e 1＝－e 2，对于D ，e 1＝34e 2，对于B ，不存在λ∈R ，使e 1＝λe 2，故选B ．已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)解析：选A ．法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ．法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A ．(教材习题改编)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝________．解析：由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b ＝12(－6，8)＝(－3，4)．答案：(－3，4)(教材习题改编)已知A (－2，－3)，B (2，1)，C (1，4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________．解析：AB →＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)， CD →＝(－7，t )－(1，4)＝(－8，t －4)．因为AB →与CD →共线，所以4(t －4)－4×(－8)＝0. 即4t ＋16＝0，所以t ＝－4. 答案：－4(教材习题改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．解析：设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.答案：(1，5)平面向量基本定理及其应用[典例引领]如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b表示OM →，ON →，MN →.【解】因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .因为OD →＝a ＋b ，所以ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[注意] 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[通关练习]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b解析：选A ．由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a＋13b ，故选A ． 2．已知点A ，B 为单位圆O 上的两点，点P 为单位圆O 所在平面内的一点，且OA →与OB →不共线．(1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值； (2)已知点P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．解：(1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形，所以OB →＝OP →＋OA →，又因为OP →＝mOA →＋OB →，所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线，所以m ＋1＝0，解得m ＝－1.平面向量的坐标运算(高频考点)平面向量的坐标运算是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，涉及向量坐标的线性运算及数量积运算，难度适中．主要命题角度有：(1)已知向量的坐标进行坐标运算； (2)解析法(坐标法)在向量中的应用．[典例引领]角度一已知向量的坐标进行坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23，12) C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．(3)平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C (－1，c )(c >0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．【解析】 (1)3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝0，故x ＝－23，y ＝－12，故选A ． (2)由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. (3)因为|OC →|＝2，所以|OC →|2＝1＋c 2＝4，因为c >0，所以c ＝ 3.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(－1，3)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝3－1.【答案】 (1)A (2)－3 (3)3－1角度二解析法(坐标法)在向量中的应用(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，2)，D (0，2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为P 在圆C 上，所以P (1＋255cos θ，2＋255sin θ)，AB →＝(1，0)，AD →＝(0，2)，AP →＝λAB →＋μAD →＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2，选A ．【答案】 A(1)向量坐标运算的策略①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行． ②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标． ③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． (2)向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．[通关练习]1．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A ．设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A ．2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解：以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，故x ＋y 的最大值为2.平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示也是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，属容易题．主要命题角度有：(1)利用向量共线求向量或点的坐标； (2)利用向量共线求参数．[典例引领]角度一利用向量共线求向量或点的坐标已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．【解析】法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．【答案】 (3，3)角度二利用向量共线求参数已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1【解析】若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.【答案】 C平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．[通关练习]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．解析：因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．答案：(2，4)2．设OA →＝(－2，4)，OB →＝(－a ，2)，OC →＝(b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．解析：由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫3＋2a b ＋b a ≥12⎝⎛⎭⎫3＋22a b ·b a ＝32＋ 2. 答案：32＋2对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式．向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.向量坐标运算应注意的两个易误点(1)注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A ．BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D.因为a －12b ＝(3，1)，所以a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)．所以2a ＋b ＝(－2，6)．又(2a ＋b )∥c ，所以－6＝6x ，x ＝－1.故选D.3.已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A ．如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A ．因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C ．平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．6．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．解析：由题意得x 2－1×4＝0，解得x ＝±2.当x ＝2时，a ＝(2，1)，b ＝(4，2)，此时a ，b 方向相同，不符合题意，舍去；当x ＝－2时，a ＝(－2，1)，b ＝(4，－2)，此时a ，b 方向相反，符合题意．答案：－27．已知点A (2，3)，B (4，5)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－238．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M 、N 分别为CD 、BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．解析：由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC →＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →与AD →不共线，所以⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧μ＝85λ＝－45，所以λ＋μ＝45.答案：459．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．10．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD →＝xOA →＋yBC →，求x ＋y 的值．解：不妨设⊙O 的半径为1，则A (－1，0)，B (1，0)，D (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫12，－32所以CD →＝⎝⎛⎭⎫－12，1＋32，BC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32.又CD →＝xOA →＋yBC →，所以⎝⎛⎭⎫－12，1＋32＝x (－1，0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，－32.所以⎩⎨⎧－12＝－x －12y 1＋32＝－32y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33y ＝－3＋233，所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．2.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，0)解析：选D.由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ＞1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ＞1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμ·OB →(λ＞1，μ＞1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．3．设P 是△ABC 内一点，且AP →＋BP →＋CP →＝0，BD →＝13BC →，则AD →＋AP →＝________．解析：因为BP →＝AP →－AB →，CP →＝AP →－AC →，AP →＋BP →＋CP →＝0，所以3AP →＝AB →＋AC →，即AP →＝13AB →＋13AC →. 因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，所以AD →＋AP →＝AB →＋23AC →.答案：AB →＋23AC →4.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，所以OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →，因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以2OD →＋4OE →＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC的面积的比为3∶2.答案：3∶25．(2017·高考江苏卷改编)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解：法一：以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin (α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB →|cos(α＋45°)＝－35，y B＝|OB →|sin (α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45，由OC →＝m OA →＋n OB →，可得 ⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，OB →·OC →＝1×2×22＝1，OA →·OC →＝1×2×152＝15，OA →·OB →＝1×1×⎝⎛⎭⎫－35＝－35，由OC →＝m OA →＋n OB →，得OC →·OA →＝m OA →2＋n OB →·OA →，即15＝m －35n ①，同理可得OC →·OB →＝m OA →·OB →＋n OB →2，即1＝－35m ＋n ②，联立①②，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.6.如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．M 为AB 的中点．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．解：(1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)证明：由(1)得OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →；① 因为G 是△OAB 的重心，所以OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.②而OA →，OB →不共线，所以由①②，得⎩⎨⎧(1－λ)x ＝13，λy ＝13.解得⎩⎨⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.所以1x ＋1y＝3(定值)．。

高三数学一轮复习优质学案：§5.2 平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，________________一对实数λ1、λ2，使a ＝________.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋b ＝________，a －b ＝________， λa ＝________，|a |＝________. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________，|AB →|＝________________. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a 、b 共线⇔________________. 『知识拓展』1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.『思考辨析』判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对2．(教材改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( ) A ．(4,3) B ．(－4，－3) C ．(－3，－4)D ．(－3,4)3．(2015·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝________.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.题型一平面向量基本定理的应用例1 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．题型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1，83 B.⎝⎛⎭⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎫133，43D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，则2a －b 等于( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8) D ．(－4,8)思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)(2016·北京东城区模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)题型三向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．命题点2 利用向量共线求参数例4 (2017·郑州月考)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝________.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．(2)设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (12分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征．规范解答：提醒：完成作业第五章§5.2答案精析基础知识自主学习知识梳理1．不共线有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1)x 21＋y 21 (2)②(x 2－x 1，y 2－y 1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)23．x 1y 2－x 2y 1＝0 思考辨析(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ 考点自测1．A 2.C 3.A 4.－12 5.(1,5)题型分类深度剖析例1 C 跟踪训练1 311例2 (1)D (2)C 跟踪训练2 (1)4 (2)A 例3 (3,3) 例4 45°跟踪训练3 (1)(2,4) (2)3＋222思想与方法系列典例解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．『4分』设∠AOC ＝α(α∈『0，2π3』)，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，『8分』所以x ＋y ＝cos α＋3sin α ＝2sin(α＋π6)，『10分』又α∈『0，2π3』，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.『12分』。

高三数学一轮复习精品教案4：5.2 平面向量基本定理及坐标表示教学设计

5.2 平面向量基本定理及坐标表示『考纲解读』1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．『命题趋势』高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面向量是历年来高考重点内容之一,经常与三角函数、立体几何、解析几何、不等式等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，平面向量的基本定理及坐标表示的考查，经常以选择题与填空题的形式单独考查,有时也在解答题中与其他知识结合起来考查，在考查平面向量知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.『要点梳理』1.平面向量基本定理：设、是一平面内的两个不平行的向量，那么对平面内任意一向量，存在唯一的一对实数，使得=+.其中叫做这一平面内所有向量的一组基底.2.向量的直角坐标运算:设=,=,则+=;-=;=.3.两个结论:(1)两个向量=,=相等且;(2)在平面向量基本定理中,由两个基底,决定的向量=+与=+相等的条件是且,若=,则==0.『例题精析』考点一平面向量基本定理的应用例1.中，边上的高为，若，则( )A． B． C． D．变式训练1.△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 则=（）（A）a + b（B）a +b（C）a +b（D）a +b考点二向量坐标运算例2.已知向量，若为实数，，则=（）A． B． C． D．变式训练2.设R，向量，且，则.（A）（B）（C）（D）10考点三平面向理基本定理例.在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知试用表示.答案例1.变式训练1.例2.变式训练2.例.。

高考数学一轮复习第2讲平面向量的基本定理及坐标表示

第2讲平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量的基本定理如果e 1，e 201不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a 02λ1e 1＋λ2e 2.2．平面向量的坐标表示03x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j 04(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i 05(1,0)，j 06(0,1)，0＝07(0,0).3．平面向量的坐标运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b 08(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b 09(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa 10(λx 1，λy 1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →11(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|12 错误!. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )⇔13x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． 2．当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x1x2＝y1y2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.4．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x22，y1＋y22. 5．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33. 6．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 3－y 1)．1．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)答案 D解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．±2 C ．2D ．－2答案 D解析由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又因为a ，b 方向相反，所以x ＝－2.故选D.3．下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－34答案 B解析两个不共线的非零向量构成一个基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线．故选B.4．设向量a ＝(－1,2)，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，25 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，－255 答案 B解析因为向量b 是与a 方向相同的单位向量，所以b ＝a|a|＝错误!(－1,2)＝错误!(－1,2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－55，255.故选B. 5．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.答案 (1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.考向一平面向量基本定理的应用例1 (1)如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋2μ＝( )A ．1B ．32C ．43D ．2答案 B解析设在正方形网格上方向为水平向右，长度为一格的向量为i ，方向为竖直向上，长度为一格的向量为j ，∴AB→＝－2i ＋2j ，AC →＝4i ，AP →＝i ＋j ，∵AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，即i ＋j ＝λ(－2i ＋2j )＋μ×4i ，i ＋j ＝(4μ－2λ)i ＋2λj ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－2λ＝1，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12，∴λ＋2μ＝32.故选B.(2) 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．1．(2020·北京市朝阳区一模)如图，在△ABC 中，点D ，E 满足BC→＝2BD→，CA →＝3CE →.若DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．－12B ．－13C.12 D ．13答案 B解析 △ABC 中，点D ，E 满足BC →＝2BD →，CA →＝3CE →.DE →＝DC →＋CE →＝12BC →＋13CA→＝12(AC →－AB →)－13AC →＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝16，∴x ＋y ＝－12＋16＝－13.故选B.2．(2020·青岛市高三上学期期末)在△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，AE →＋2DE →＝0，若EB→＝x AB →＋y AC →，则( ) A ．y ＝2x B ．y ＝－2x C ．x ＝2y D ．x ＝－2y答案 D解析如图所示，∵AB→＋AC →＝2AD →，∴点D 为边BC 的中点．∵AE →＋2DE →＝0，∴AE →＝－2DE →，∴DE →＝－13AD →＝－16(AB →＋AC →)．又DB →＝12CB →＝12(AB →－AC →)，∴EB →＝DB →－DE →＝12(AB →－AC →)＋16(AB →＋AC →)＝23AB →－13AC →.又EB →＝x AB →＋y AC →，∴x ＝23，y ＝－13，即x ＝－2y .故选D.考向二平面向量的坐标运算例2 (1)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于( ) A ．(3,1) B ．(4,2) C ．(5,3)D ．(4,3)答案 B解析 AC→＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1，1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC→＋BC →＝(4,2)．(2)(2020·辽宁省辽南协作校二模)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，83 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－83C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，43 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43答案 D解析 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )＝－13(5＋4×2，－2＋2×3)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43.故选D. (3)(2020·天津和平区模拟) 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B ．85C ．2D ．83答案 B解析建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD＝2，∴C (2，0)，A (0，2)，B (1,2)，E (0，1)，∴CA→＝(－2,2)，CE →＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．3.若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b答案 A解析设c ＝x a ＋y b ，易知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .故选A.4．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2,4)，OB →＝(1,3)，若点E 满足OC→＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23答案 A解析解法一：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC→＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )，由OC →＝3EC →，知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－23，所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.解法二：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，由OC →＝3EC →得OC →＝3(OC →－OE →)，所以OE→＝23OC→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23，所以点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.考向三平面向量共线的坐标表示例3(1)(2020·山东省菏泽市一模)已知向量a，b满足a＝(1,2)，a＋b＝(1＋m,1)，若a∥b，则m＝()A．2 B．－2C．12D．－12答案 D解析b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为a∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－12.故选D.(2)(2021·海口市海南中学高三月考)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB→∥a，则点B的坐标为________.答案(－3，－6)解析由题意，设B(x,2x)，则AB→＝(x－3,2x)，∵AB→∥a，∴x－3－2x＝0，解得x ＝－3，∴B(－3，－6)．利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．5.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3,3)解析解法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA→＝(4λ－4,4λ)．又AC→＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．6．(2020·长郡中学高三适应性考试)已知向量AC →＝(1，sin α－1)，BA →＝(3,1)，BD →＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2021π－α)＝________.答案－2解析 ∵B ，C ，D 三点共线， ∴BD→＝x BC →＝x (BA →＋AC →)，即(2，cos α)＝x (4，sin α)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝4x ，cosα＝xsinα，得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，则tan(2021π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2.一、单项选择题1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4) D ．(－3，－4)答案 A解析由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．(2021·山东聊城月考)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5答案 D解析因为AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5，所以CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5.3. 如图，在梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC→，且AE →＝r AB →＋s AD →，则2r ＋3s ＝( )A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C解析根据题图，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD→＋14AB→＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝r AB→＋s AD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．5．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A．5 B．6C．7 D．8答案 B解析由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm＝5，解得λ＝5，m ＝1，所以λ＋m ＝6.6．(2020·青岛模拟)已知向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则sin x ＝( )A.45B ．35C ．25D ．255答案 A解析根据题意，向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，若a ∥b ，则2sin x ＝1＋cos x ，变形可得cos x ＝2sin x －1，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，则有sin 2x ＋(2sin x －1)2＝1，变形可得，5sin 2x －4sin x ＝0，解得sin x ＝0或sin x ＝45，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin x ＝45.故选A.7. (2020·黑龙江省大庆一中三模)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB ＝3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC .若BA→＝λBE →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．－925 B ．725C ．1625D ．1答案 B解析由题意建立如图所示平面直角坐标系，因为AB ＝3，BC ＝4，则B (0,0)，A (0,3)，C (4,0)，BA→＝(0,3)，AC →＝(4，－3)，设BE →＝(a,3)，因为BE ⊥AC ，所以AC →·BE →＝4a －9＝0，解得a ＝94.由BA →＝λBE →＋μAC →，得(0,3)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94，3＋μ(4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧94λ＋4μ＝0，3λ－3μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1625，μ＝－925，所以λ＋μ＝725，故选B.8. 如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC ＝150°，点P 在弧BC 上运动，AP →＝λAB →＋μAC→，则3λ－μ的最小值是( )A ．0B ．3C ．2D ．－1答案 D解析以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (cos150°，sin150°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)(0°≤θ≤150°)，因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ－32μ＝cosθ，12μ＝sinθ，解得λ＝cos θ＋3sin θ，μ＝2sin θ，那么3λ－μ＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋60°)，因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故sin(θ＋60°)≥－12，因此3λ－μ的最小值为－1.故选D.二、多项选择题9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B ．DA →与BC → C.CA →与DC →D ．OD→与OB → 答案 AC解析平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA→与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC→是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．10．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2B ．12C ．1D ．－1答案 ABD解析各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB →＝OB →－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点可构成三角形，故选ABD.11．(2021·广东湛江高三模拟)若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，则下列结论正确的是( ) A.AD →＝－12a －bB ．BE →＝a ＋12bC.CF →＝－12a ＋12bD ．EF →＝12a答案 ABC解析如图，在△ABC中，AD→＝AC→＋CD→＝－CA→＋12CB→＝－b－12a，故A正确；BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，故B正确；AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12×(－b－a)＝－12a＋12b，故C正确；EF→＝12CB→＝－12a，故D不正确．故选ABC.12. (2020·山东潍坊高三模拟)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC 与线段AB交于圆内一点P，若AP→＝λAB→，OC→＝μOA→＋3μOB→，则()A．P为线段OC的中点时，μ＝1 2B．P为线段OC的中点时，μ＝1 3C．无论μ取何值，恒有λ＝3 4D．存在μ∈R，λ＝1 2答案AC解析OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋λAB→＝OA→＋λ(OB→－OA→)＝(1－λ)OA→＋λOB→，因为OP→与OC →共线，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C 正确，D 错误；当P 为OC 的中点时，则OP →＝12OC →，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝12，故A 正确，B 错误．故选AC.三、填空题13．(2020·哈尔滨六中二模)已知向量a ＝(log 2x,1)，b ＝(log 23，－1)，若a ∥b ，则x ＝________.答案13解析因为a ∥b ，所以－log 2x ＝log 23，所以log 2x ＋log 23＝0，所以log 2(3x )＝0，所以3x ＝1，所以x ＝13.14．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________.答案 (2,4)解析因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，所以(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．15. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb 可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.16．(2020·济南市高三上学期期末)平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为________. 答案 12解析因为M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →，所以DM →＝12DC →，BN →＝23BC →. 又因为AB→＝λAM →＋μAN →，所以AB→＝λ(AD →＋DM →)＋μ(AB →＋BN →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋12DC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC → ＝λAD →＋λ2DC →＋μAB →＋2μ3BC →.① 又因为在平行四边形ABCD 中，AB→＝DC →，AD →＝BC →，所以①整理得，AB →＝λAD →＋λ2AB →＋μAB →＋2μ3AD →，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2－μAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ＋2μ3AD →. 又因为AB→，AD →不共线，由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ2－μ＝0，λ＋2μ3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝32，所以λ＋μ＝12.。

高考数学一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示(含答案)

高考数学一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示（含答案）5.2平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法.减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量基本定理.向量加法.减法.数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力.数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以选择题.填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算1向量加法.减法.数乘及向量的模设ax1，y1，bx2，y2，则abx1x2，y1y2，abx1x2，y1y2，ax1，y1，|a|x21y21.2向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设Ax1，y1，Bx2，y2，则ABx2x1，y2y1，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示设ax1，y1，bx2，y2，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.知识拓展1若a与b不共线，ab0，则0.2设ax1，y1，bx2，y2，如果x20，y20，则abx1x2y1y2.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1平面内的任何两个向量都可以作为一组基底2若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.3平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示4若ax1，y1，bx2，y2，则ab的充要条件可表示成x1x2y1y2.5当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标6平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变题组二教材改编2P97例5已知ABCD的顶点A1，2，B3，1，C5,6，则顶点D的坐标为________答案1,5解析设Dx，y，则由ABDC，得4,15x,6y，即45x，16y，解得x1，y5.3P119A组T9已知向量a2,3，b1,2，若manb与a2b共线，则mn________.答案12解析由向量a2,3，b1,2，得manb2mn,3m2n，a2b4，1由manb与a2b共线，得2mn43m2n1，所以mn12.题组三易错自纠4设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12________.答案05已知点A0,1，B3,2，向量AC4，3，则向量BC________.答案7，4解析根据题意得AB3,1，BCACAB4，33,17，46xx全国已知向量am,4，b3，2，且ab，则m________.答案6解析因为ab，所以2m430，解得m6.题型一题型一平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用1在下列向量组中，可以把向量a3,2表示出来的是Ae10,0，e21,2Be11,2，e25，2Ce13,5，e26,10De12，3，e22,3答案B解析方法一设ak1e1k2e2，A选项，3,2k2,2k2，k23，2k22，无解；B选项，3,2k15k2,2k12k2，k15k23，2k12k22，解得k12，k21.故B中的e1，e2可以把a表示出来；同理，C，D选项同A 选项，无解方法二只需判断e1与e2是否共线即可，不共线的就符合要求2xx 济南模拟如图，在ABC中，AN13NC，P是BN上的一点，若APmAB211AC，则实数m的值为________答案311解析AN13NC，AC4AN，ADmAB211ACmAB811AN，又P，B，N三点共线，m8111，即m311.思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加.减或数乘运算2用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决题型二题型二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算典例1已知a5，2，b4，3，若a2b3c0，则c等于A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43答案D解析由已知3ca2b5,28，613，4所以c133，43.2xx北京西城区模拟向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab，R，则等于A1B2C3D4答案D解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系设每个小正方形边长为1，则A1，1，B6,2，C5，1，aAO1,1，bOB6,2，cBC1，3cab，1，31,16,2，即61，23，解得2，12，4.引申探究在本例2中，试用a，c表示b.解建立本例2解答中的平面直角坐标系，则a1,1，b6,2，c1，3，设bxayc，则6,2x1,1y1，3即xy6，x3y2，解得x4，y2，故b4a2c.思维升华向量的坐标运算主要是利用加.减.数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪训练1已知四边形ABCD的三个顶点A0,2，B1，2，C3，1，且BC2AD，则顶点D的坐标为A.2，72B.2，12C3,2D1,3答案A解析设Dx，y，ADx，y2，BC4,3，又BC2AD，42x，32y2，x2，y72，故选A.2已知平面向量a1,1，b1，1，则向量12a32b等于A2，1B2,1C1,0D1,2答案D解析12a12，12，32b32，32，故12a32b1,2题型三题型三向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标典例已知点A4,0，B4,4，C2,6，则AC与OB的交点P的坐标为________答案3,3解析方法一由O，P，B三点共线，可设OPOB4，4，则APOPOA44,4又ACOCOA2,6，由AP与AC共线，得446420，解得34，所以OP34OB3,3，所以点P的坐标为3,3方法二设点Px，y，则OPx，y，因为OB4,4，且OP与OB共线，所以x4y4，即xy.又APx4，y，AC2,6，且AP与AC共线，所以x46y20，解得xy3，所以点P的坐标为3,3命题点2利用向量共线求参数典例已知向量a1sin，1，b12，1sin，若ab，则锐角________.答案45解析由ab，得1sin1sin12，cos212，cos22或cos22，又为锐角，45.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略1利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若ax1，y1，bx2，y2，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便2利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为aR，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量跟踪训练1xx北京海淀区模拟已知向量a1,1，点A3，0，点B为直线y2x上的一个动点若ABa，则点B的坐标为________答案3，6解析设Bx,2x，则ABx3,2xABa，x32x0，解得x3，B3，62若三点A1，5，Ba，2，C2，1共线，则实数a的值为________答案54解析ABa1,3，AC3,4，根据题意ABAC，4a1330，即4a5，a54.解析法坐标法在向量中的应用典例12分给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为23.如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动若OCxOAyOB，其中x，yR，求xy的最大值思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征规范解答解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A1,0，B12，32.4分设AOC0，23，则Ccos，sin，由OCxOAyOB，得cosx12y，sin32y，所以xcos33sin，y233sin，8分所以xycos3sin2sin6，10分又0，23，所以当3时，xy取得最大值2.12分。

2023年高考数学一轮复习讲义(新高考)第5章§5-2平面向量基本定理及坐标表示

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　×　)(2)设{a ，b }是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.(　×　)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)教材改编题1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2,3)，e 2＝(12，－34)答案　BD2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)答案　A解析　设P (x ，y )，由题意知P 1P —→ ＝13P 1P 2—→，∴(x －1，y －3)＝13(4－1,0－3)＝(1，－1)，即Error!∴Error!3．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(2，x －1)，若(2a －b )∥a ，则x 为________．答案　2或－1解析　2a －b ＝(2x －2,3－x )，∵(2a －b )∥a ，∴2x －2＝x (3－x )，即x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1.题型一　平面向量基本定理的应用例1　(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( )A.34AB → －14AC →B.14AB → －34AC →C.34AB → ＋14AC →D.14AB → ＋34AC →答案　A(2)如图，已知平面内有三个向量OA → ，OB → ，OC → ，其中OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，且|OA → |＝|OB → |＝1，|OC → |＝23.若OC → ＝λOA → ＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝______.答案　6解析　方法一　如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC → ＝OB 1—→ ＋OA 1—→，因为OA → 与OB → 的夹角为120°，OA → 与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23，所以|OB 1—→ |＝2，|B 1C —→|＝4，所以|OA 1—→ |＝|B 1C —→|＝4，所以OC → ＝4OA → ＋2OB → ，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二　以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B (－12，32)，C (3，3)．由OC → ＝λOA → ＋μOB → ，得Error!解得Error!所以λ＋μ＝6.教师备选1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB → ＝a ，AC → ＝b ，则向量AD →等于( )A ．a ＋b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a ＋23b答案　C解析　设圆的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，所以∠BAC ＝π3，∠ACB ＝π6，又∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，所以∠ACB ＝∠BAD ＝∠CAD ＝π6，则根据圆的性质得BD ＝AB ，又因为在Rt △ABC 中，AB ＝12AC ＝r ＝OD ，所以四边形ABDO 为菱形，所以AD → ＝AB → ＋AO →＝a ＋12b .2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG → ＝λCD → ＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案　12解析　由题图可设CG → ＝xCE →(0<x <1)，则CG → ＝x (CB → ＋BE → )＝x (CB → ＋12CD →)＝x 2CD →＋xCB → .因为CG → ＝λCD → ＋μCB → ，CD → 与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.思维升华　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．跟踪训练1　(1)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE → ＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1 D.516答案　A解析　DE → ＝12DA → ＋12DO→＝12DA → ＋14DB →＝12DA → ＋14(DA → ＋AB → )＝14AB → －34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.(2)如图，以向量OA → ＝a ，OB → ＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM → ＝13BC → ，CN → ＝13CD → ，则MN →＝________.(用a ，b 表示)答案　12a －16b解析　∵BA → ＝OA → －OB →＝a －b ，BM → ＝16BA → ＝16a －16b ，∴OM → ＝OB → ＋BM →＝b ＋(16a －16b )＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON → ＝OC → ＋13CD → ＝12OD → ＋16OD → ＝23OD → ＝23a ＋23b .∴MN → ＝ON → －OM → ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .题型二　平面向量的坐标运算例2　(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.(133，83) B.(－133，－83)C.(133，43)D.(－133，－43)答案　D解析　∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )．∵a －2b ＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c ＝－13(a －2b )＝(－133，－43).(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE → ＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85 C ．2 D.83答案　B解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，∴C (2,0)，A (0,2)，B (1,2)，E (0,1)，∴CA → ＝(－2,2)，CE → ＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA → ＝λCE → ＋μDB → ，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴Error!解得Error!故λ＋μ＝85.教师备选已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.(2，72)B.(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)答案　A解析　设D (x ，y )，则AD → ＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC → ＝2AD →，所以Error!解得Error!所以顶点D 的坐标为(2，72).思维升华　向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体．跟踪训练2　(1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　D解析　以向量a 和b 的交点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO → ＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则Error!解得Error!∴λμ＝－2－12＝4.(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP → ＝2PC → ，点Q 是AC 的中点，若PA → ＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则AQ → ＝________，BC →＝________.答案　(－3,2)　(－6,21)解析　AQ → ＝PQ → －PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC → ＝PA → ＋AC → ＝PA → ＋2AQ →＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，BC → ＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．题型三　向量共线的坐标表示例3　(1)已知a ＝(1,2＋sin x )，b ＝(2，cos x )，c ＝(－1,2)，若(a －b )∥c ，则锐角x 等于( )A ．15° B ．30°C ．45° D ．60°答案　C(2)已知在平面直角坐标系Oxy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3—→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则λ等于( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1答案　D解析　设OP 3—→＝(x ，y )，则由OP 3—→∥a 知x ＋y ＝0，所以OP 3—→＝(x ，－x )．若OP 3—→ ＝λOP 1—→ ＋(1－λ)OP 2—→，则(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即Error!所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.教师备选1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案　12解析　由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.2．已知O 为坐标原点，点A (6,3)，若点P 在直线OA 上，且|OP → |＝12|PA →|，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为________________________．答案　(4,2)或(－12，－6)解析　∵点P 在直线OA 上，∴OP → ∥PA →，又∵|OP → |＝12|PA → |，∴OP →＝±12PA → ，设点P (m ，n )，则OP → ＝(m ，n )，PA →＝(6－m ,3－n )．①若OP → ＝12PA →，则(m ，n )＝12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (2,1)，∵P 是OB 的中点，∴B (4,2)．②若OP →＝－12PA →，则(m ，n )＝－12(6－m ,3－n )，∴Error!解得Error!∴P (－6，－3)，∵P 是OB 的中点，∴B (－12，－6)．综上所述，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3　平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．解　(1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c|＝5，∴Error!解得Error!或Error!∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．课时精练1．(2022·泉州模拟)若向量AB → ＝(2,3)，AC → ＝(4,7)，则BC →等于( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案　B2．(2022·TOP300尖子生联考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC → ＋AB →＝0，则点C 的坐标为( )A.(12，12) B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)答案　D3．下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是( )A ．a ＝(1,2)，b ＝(0,0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3,5)C ．a ＝(3,2)，b ＝(9,6)D ．a ＝(－34，12)，b ＝(3，－2)答案　B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　D解析　由m ∥n ，得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，所以sin 2B ＝sin 2A ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形；反之，△ABC 是等腰三角形，若a ＝c ≠b ，则不能得到m ∥n ，所以“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．5．(多选)(2022·聊城一中模拟)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD的中点，AC 与BD 交于点M ，设AB → ＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A.AC → ＝12a ＋b B.BC → ＝－12a ＋b C.BM → ＝－13a ＋23b D.EF → ＝－14a ＋b 答案　ABD解析　AC → ＝AD → ＋DC → ＝AD → ＋12AB → ＝12a ＋b ，故A 正确；BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝－12a ＋b ，故B 正确；BM → ＝BA → ＋AM → ＝－AB → ＋23AC → ＝－23a ＋23b ，故C 错误；EF → ＝EA → ＋AD → ＋DF → ＝－12AB → ＋AD → ＋14AB → ＝－14a ＋b ，故D 正确．6．(多选)已知向量OA → ＝(1，－3)，OB → ＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2 B.12C ．1D ．－1答案　ABD解析　各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB → ＝OB → －OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC → ＝OC → －OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，A ，B ，C 三点就可构成三角形．7．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，若点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案　(2,4)解析　∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC → ＝2AB →，设点D 的坐标为(x ，y )，则DC → ＝(4－x ,2－y )，又AB →＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即Error!∴Error!∴点D 的坐标为(2,4)．8．(2022·开封模拟)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．若(2m ＋n )∥(m －2n )，则λ＝________.答案　0解析　由题意得，2m ＋n ＝(3λ＋4,4)，m －2n ＝(－λ－3，－3)，∵(2m ＋n )∥(m －2n )，∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA → ＝c ，且CM → ＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解　由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一　∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴Error!解得Error!方法二　∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，又a ＝m b ＋n c ，∴m b ＋n c ＝－b －c ，∴Error!(3)设O 为坐标原点，∵CM → ＝OM → －OC →＝3c ，∴OM → ＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵CN → ＝ON → －OC →＝－2b ，∴ON → ＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB → ＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解　(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，解得k ＝－12.(2)方法一　∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴Error!解得m ＝32.方法二　AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB → ∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.11．(2022·金华模拟)已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n ＝(sin C ，a ＋b )，且m ∥n ，则B 的大小是( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3答案　B解析　因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )．由正弦定理得(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32.又0<B <π，所以B ＝5π6.12．(多选)如图，B 是AC 的中点，BE → ＝2OB → ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP →＝xOA → ＋yOB → (x ，y ∈R )，则下列结论中正确的是( )A ．当x ＝0时，y ∈[2,3]B ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12，y ＝52C ．若x ＋y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．当P 在C 点时，x ＝1，y ＝2答案　BC解析　当OP → ＝y OB →时，点P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故A 中结论错误；当P 是线段CE 的中点时，OP → ＝OE → ＋EP → ＝3OB → ＋12(EB →＋BC → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋AB → )＝3OB → ＋12(－2OB → ＋OB → －OA → )＝－12OA → ＋52OB →，故B 中结论正确；当x ＋y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，故P 的轨迹是一条线段，故C 中结论正确；因为OB → ＝12(OC →＋OA → )，所以OC → ＝2OB → －OA →，则OP → ＝－OA → ＋2OB →，所以x ＝－1，y ＝2，D 错误．13．已知|OA → |＝1，|OB → |＝3，OA → ·OB → ＝0，点C 在∠AOB 内，且OC → 与OA → 的夹角为30°，设OC →＝mOA → ＋nOB → (m ，n ∈R )，则m n的值为______．答案　3解析　∵OA → ·OB →＝0，∴OA → ⊥OB →，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则OA → ＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA → ＋nOB → ＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3nm ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3.14．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM → ＝34AB → ＋14AC →.则△ABM 与△ABC 的面积之比为________；若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO → ＝xBM → ＋yBN →，则x ＋y ＝________.答案　1∶4　107解析　由AM → ＝34AB → ＋14AC →，可知点M ，B ，C 三点共线，令BM → ＝λBC →(λ∈R )，则AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋λBC → ＝AB → ＋λ(AC → －AB → )＝(1－λ)AB → ＋λAC →，所以λ＝14，即点M 在边BC 上，如图所示，所以S△ABM S △ABC ＝BM BC ＝14.由BO → ＝xBM → ＋yBN →，得BO → ＝xBM → ＋y 2BA →，BO → ＝x 4BC →＋yBN → ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线得Error!解得Error!所以x ＋y ＝107.15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a 在基底{p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a 在基底{m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)}下的坐标为______．答案　(0,2)解析　因为a 在基底{p ，q }下的坐标为(－2,2)，所以a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以Error!即Error!所以a 在基底{m ，n }下的坐标为(0,2)．16．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG → ＝λPQ → ，将OG → 用λ，OP → ，OQ →表示；(2)设OP → ＝xOA → ，OQ → ＝yOB → ，求证：1x ＋1y是定值．(1)解　OG → ＝OP → ＋PG →＝OP → ＋λPQ →＝OP → ＋λ(OQ → －OP →)＝(1－λ)OP → ＋λOQ →.(2)证明　由(1)得OG → ＝(1－λ)OP → ＋λOQ →＝(1－λ)xOA → ＋λy OB →，因为G 是△OAB 的重心，所以OG → ＝23OM → ＝23×12(OA →＋OB → )＝13OA → ＋13OB → .又OA → ，OB →不共线，所以Error!解得Error!所以1x ＋1y ＝3，即1x ＋1y 为定值．。

高三数学一轮复习平面向量基本定理及坐标表示

A. 2
√B. 5
C. 10
D.5
解析根据题意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，
所以a＋b＝(－1，－2)，
从而可求得|a＋b|＝ 1＋4＝ 5，故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－23.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则 P 点的坐标为
A.(－8,1)
√B.－1，－23
解析设 P(x，y)，则M→P＝(x－3，y＋2).
C.1，32
D.(8，－1)
而12M→N＝12(－8,1)＝－4，12，
x－3＝－4， ∴y＋2＝12，
x＝－1，解得y＝－32，
∴P－1，－23.故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(2019·山西榆社中学诊断)若向量A→B＝D→C＝(2,0)，A→D＝(1,1)，则A→C＋B→C等于
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21 .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝ (x2－x1，y2－y1)，|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12 . 3.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .

高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示知识点讲解理科版含解析

3.
4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2
－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．
【典型题分析】
高频考点一平面向量基本定理及其应用
→ 1→ 1 → 1 → → → 所以AN＝ AM＝ xAB＋ yAC＝λAB＋μAC.
22 2
1
1
所以λ＋μ＝ (x＋y)＝ .故选 A。
2
2
【方法技巧】平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性
BC 6，C 6,0 ,
∵
AB
3, ABC
60 ，∴
A 的坐标为
A
3,3 3 22
,
∵又∵
AD
1 6
BC
,则
D
5 2
,
3
3 2
，设
M
x,
0
，则
N
x
1, 0
（其中
0
x
5
），
DM
x
5 2
,
3
3 2
，
DN
x
3 2
,
3
3 2
，
DM DN
x
5 2
x
3 2
【解析】由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)

高三数学一轮复习精品课件5：5.2 平面向量基本定理及坐标表示

深度解析
• 易错易混：忽视分类讨论致误 • 【典例】已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为
(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标． •
• 1．平面向量基本定理
•
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平
面内所有向量的一组基底．
对点演练 (1)如图，在△OAB 中，P 为线段 AB
上的一点， O→P＝xO→A＋yO→B，且 B→P＝2P→A，则
• 3．平面向量共线的坐标表示
•
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
•
当且仅当 x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．
对点演练
已知 a＝(1,2)，b＝(x,1)，且 a＋2b 与 2a－b 平行，则 x 等于
A．1 B．2
()
1
1
C.3
D.2
解析：a＋2b＝(1,2)＋(2x,2)＝(1＋2x,4)．
第五章平面向量
5.2 平面向量基本定理及坐标表示
(一)考纲点击
•1．了解平面向量基本定理及其意义． •2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示． •3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． •4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
(二)命题趋势
•1．从考查内容看，本节重点考查平面向量的基本定理、向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示．另外，平面向量坐标运算的实质是把几何问题转化成代数问题，它是“数” 和“形”结合的桥梁． •2．从考查形式看，本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属低、中档题．

2020高考数学一轮复习第五章平面向量5-2平面向量基本定理及坐标表示学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量5-2平面向量基本定理及坐标表示学案理考纲展示►1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考点1 平面向量基本定理及其应用1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．答案：不共线有且只有基底2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交分解．答案：互相垂直向量相等的常见两种形式：用基底表示的向量相等；用坐标表示的向量相等．(1)已知向量a，b不共线，若λ1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝__________，μ1＝__________.答案：－1 1解析：根据平面向量基本定理，用一组基底表示一个向量，基底的系数是唯一的，则有λ1＝－1，μ1＝1.(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，若c＝λa＋μb，则2λ＋μ＝__________.答案：0解析：由c＝λa＋μb，得(3,4)＝λ(1,2)＋μ(2,3)＝(λ＋2μ，2λ＋3μ)，∴ 解得故2λ＋μ＝0.向量易忽略的两个问题：向量的夹角；单位向量．(1)等边三角形ABC 中，若＝a ，＝b, 则a ，b 的夹角为__________．答案：120°解析：求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，因此a ，b 的夹角为120°.(2)已知A(1,3)，B(4，－1)，则与向量共线的单位向量为__________．答案：或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 解析：由已知得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与共线的单位向量为＝或－＝.[典题1] (1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e1与e1＋e2B ．e1－2e2与e1＋2e2C ．e1＋e2与e1－e2D ．e1＋3e2与6e2＋2e1 [答案] D[解析] 选项A 中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B 中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C 中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D 中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．(2)[2017·山东济南调研]如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，则实数m 的值为________．[答案] 311[解析] 设＝k ，k∈R.因为＝＋＝＋k BN→＝＋k(－)＝＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB → ＝(1－k)＋，且＝m ＋，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝811，m ＝311. [点石成金] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．考点2 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ＋b ＝________，a －b ＝________，λa ＝________，|a|＝________.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点的坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________，||＝________.答案：(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) x21＋y21(2)②(x2－x1，y2－y1)(1)[教材习题改编]已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2，λ)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＝________.答案：5(2)[教材习题改编]设P 是线段P1P2上的一点，若P1(2,3)，P2(4,7)且P 是P1P2的一个四等分点，则P 的坐标为________．答案：或⎝ ⎛⎭⎪⎫72，6 [典题2] (1)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝() A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4) [答案] B[解析] 由题意，得＝－AB→＝－＝(－)－＝－2AB→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．(2)[2017·广东六校联考]已知A(－3,0)，B(0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为() A ．1B. C.D.23 [答案] D[解析] 过C 作CE⊥x 轴于点E.由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.[点石成金] 平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点3 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔________.答案：x1y2－x2y1＝0(1)[教材习题改编]已知a＝(3,4)，b＝(sin β，cos β)，且a∥b，则tan β＝__________.答案：34解析：由a∥b，得b＝λa,∴sin β＝3λ，cos β＝4λ(λ≠0)，∴＝，即tan β＝. (2)[教材习题改编]已知e1，e2是平面向量的一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2.若a∥e2，则λ1＝________；a和e1共线的条件是________．答案：0 λ2＝0解析：若a∥e2，则设a＝λe2(λ≠0)，于是λe2＝λ1e1＋λ2e2，即(λ－λ2)e2＝λ1e1.又e1，e2不共线，所以λ－λ2＝0且λ1＝0.同理a和e1共线有λ2＝0. [考情聚焦] 平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．主要有以下几个命题角度：角度一利用向量共线求参数或点的坐标[典题3] (1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m＝________.[答案] －2[解析] ma ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，由于ma ＋4b 与a －2b 共线，∴－(2m －4)＝4(3m ＋8)，解得m ＝－2.(2)已知梯形ABCD ，其中AB∥CD，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D 的坐标为________．[答案] (2,4)[解析] ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB∥CD，∴＝2.设点D 的坐标为(x ，y)，则＝(4－x,2－y)，＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．[点石成金] 1.利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a∥b 的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．2．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．角度二利用向量共线解决三点共线问题[典题4] 已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则k ＝________.[答案] 1[解析] 若A ，B ，C 不能构成三角形，则向量，共线．∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝－＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.[点石成金] 向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2－x2y1＝0.[方法技巧] 1.两向量平行的充要条件若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．2．三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．3．若a 与b 不共线且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.[易错防范] 1.若a ，b 为非零向量，当a∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．2．若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a∥b 的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知向量a ＝(1，m)，b ＝(3，－2)，且(a ＋b)⊥b，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8 答案：D解析：由向量的坐标运算，得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b) ⊥b，得(a ＋b)·b＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.2．[2015·四川卷]设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案：B解析：∵ a∥b，∴ 2×6－4x ＝0，解得x ＝3.3．[2014·福建卷]在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B ．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C ．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)答案：B解析：解法一：若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则e1∥e2，而a 不能由e1，e2表示，排除A ；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因为≠，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出来，故选B.解法二：因为a ＝(3,2)，若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe1＋μe2，排除A ；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe1＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a ＝2e1＋e2，故选B.4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.答案：12解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴ λa ＋b ＝t(a ＋2b)，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴ 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12. 5．[2015·北京卷]在△ABC 中，点M ，N 满足＝2，＝.若＝x ＋y ，则x ＝________，y ＝________. 答案：－16解析：∵ ＝2，∴ ＝.∵ ＝，∴ ＝(＋)，∴＝－＝(＋)－23AC →＝－.又＝x＋y，∴ x＝，y＝－.课外拓展阅读向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征．而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．[典例1] 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________. [解析] 设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得，λ＝－2，μ＝－，所以＝4.[答案] 4[典例2] 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．[思路分析][解] 以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B，设∠AOC＝α，α∈，则C(cos α，sin α)，由＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.方法探究典例2首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势．。

高三数学一轮复习 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示

由平面向量基本定理,得
��-�� = 1, 2�� + �� =
所以 1,
��
=
2 3
,
��
=
-
1 3
.
考点1
考点2
考点3
-17-
解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.
-所1 以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.
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解析答案
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12345
5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=
-12-
.
∵|a+b|2=|a|2+|b|2, ∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.
(3)在△ABC中,向量 ��, �� 的夹角为∠ABC. ( × )

(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足
λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ( √ ) (5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一
组基底
,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的

2024届新高考一轮复习北师大版第5章第2节平面向量的基本定理及坐标表示课件(44张)

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3．若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，则点 P 的坐标为( )
A．(2，2)
B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1)
D．(2，2)或(3，1)
D 由题意得P→1P＝13 P→1P2或P→1P＝23 P→1P2，P→1P2＝(3，－3).设 P(x，y)，
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2．设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则xx12 ＝yy12 是 a∥b 的___________ 条件．( )
A．充要
B．必要不充分
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
C 若xx12 ＝yy12 ，则 x1y2－x2y1＝0，∴a∥b，若 a∥b，有可能 x2 或 y2 为 0，故选 C.
记作____{_e_1_，__e_2}______． (3)正交基：若基中的两个向量互__相__垂__直__，则称这组基为正交基．在正
交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单__位__向__量__，则称这组基为标准正交基．
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2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝______(_x_1＋__x_2_，__y_1＋__y_2_)_________，
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
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(3)若
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a∥b

高三数学一轮复习第五章平面向量5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件

【解析】由题意得
uur P1P
=
1 3
uuur P1P2
或
uur P1P
=
2 uuur 3 P1P2
,
uuur P1P2
=(3,-3).
设P(x,y),则
uur P1P
=(x-1,y-3),
当
uur P1P
=
1 uuur 3 P1P2时,(x-1,ຫໍສະໝຸດ -3)=1 (3,-3),
3
所以x=2,y=2,即P(2,2).
【解析】因为a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6. 答案:6
2.(必修4P79练习T7改编)已知三个力F1=(-2,-1),F2= (-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4=________.
【解析】根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4= -(F1+F2+F3)=(1,2). 答案:(1,2)
(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (3)平面向量的正交分解. 向量正交分解是把一个向量分解为两个_互__相__垂__直__的向量.
2.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示: 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成a=x i+y j,由于a与有序数对(x,y)是一一对应的,因此向量a的坐标是(x,y),记作 _a_=_(_x_,_y_)_.
2
2
于是得
1 2

1 2

1, 解得

高考数学一轮复习第2节平面向量的基本定理及坐标表示教学案理(解析版)

[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|x 2－12＋y 2－3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 2．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0，AG →＝13(AB →＋AC →)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32∴12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.] 3．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)B [A 项中e 1∥e 2，C 项中e 2＝2e 1，D 项中e 1＝－e 2，只有B 项中e 1，e 2不共线，故a 可以由e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)表示，故选B.]4．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6B [由a ∥b 可知2×6－4x ＝0，∴x ＝3.故选B.]5．(教材改编)已知▱ABC D 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D(x ，y )，则由AB →＝D C →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.]平面向量基本定理及其应用1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 A [因为M 为边BC 上任意一点，所以可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．因为N 为AM 的中点，所以AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.故选A.]3．如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OA D B ，BM →＝13BC →，CN →＝13C D →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.[解] ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵O D →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13C D →＝12O D →＋16O D →＝23O D →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的平面向量的坐标运算【例1】 (1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)A (2)D [(1)∵a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，∴a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，故选A.(2)以O 为坐标原点，建立坐标系可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.](1)已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ＝(2,4)，D 为AC 的中点，则B D ＝( )A ．(1,3)B ．(3,3)C ．(－3，－3)D ．(－1，－3)(2)若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b(1)B (2)A [(1)∵D 为AC 的中点，∴B D →＝12(BA →＋BC →)，又BA →＝(4,2)，BC →＝(2,4)，∴B D →＝12(6,6)＝(3,3)，故选B.(2)设c ＝xa ＋yb ，易知 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .故选A.]向量共线的坐标表示【例2】已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB →＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程组求解(1)－b 平行，则实数(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．(1)2 (2)－23 [(1)由题意得a ＋b ＝(3,1＋x )，3a －b ＝(1,3－x )，则由a ＋b 与3a －b 平行得3×(3－x )－1×(1＋x )＝0，解得x ＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)A [AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.]2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 12 [2a ＋b ＝(4,2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. －6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6.]。