8.1二重积分的概念与性质
合集下载
二重积分的概念和性质
c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
(3) [既非X－型域也非Y－型域]
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o 1x
I2I1I3
21
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 yx3d, I2 y2x3d,
D
D
的大小顺序为 ( D)
I3 y12x3d
D
提示
(A )I1I2I3 ; (B )I2I1I3; (C )I3I2I1; (D )I3I1I2.
f(x,y)df(,)
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积
16
以下仅证性质7（中值定理）
证明
f(x,y)是有D 上 界的 闭连 域续
必有最大、最 M、 小 m值
由估值性质得
由于 0
m f(x,y)dM m1Df(x,y)dM
[二重积分的比较大小] 1.若区域D相同，则比较被积函数的大小； 2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.
25
26
§10.2 二重积分的计算法（一）
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题
27
复习与回顾
n
(1)二重积分 Df(x,y)dl i0m i 1f(i,i) i
10
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点 (i,的i) 取法无关
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
(3) [既非X－型域也非Y－型域]
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
1
解 I1, I2, I3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
o 1x
I2I1I3
21
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 yx3d, I2 y2x3d,
D
D
的大小顺序为 ( D)
I3 y12x3d
D
提示
(A )I1I2I3 ; (B )I2I1I3; (C )I3I2I1; (D )I3I1I2.
f(x,y)df(,)
D
二重积分中值定理
几何意义 曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积
16
以下仅证性质7（中值定理）
证明
f(x,y)是有D 上 界的 闭连 域续
必有最大、最 M、 小 m值
由估值性质得
由于 0
m f(x,y)dM m1Df(x,y)dM
[二重积分的比较大小] 1.若区域D相同，则比较被积函数的大小； 2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.
25
26
§10.2 二重积分的计算法（一）
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题
27
复习与回顾
n
(1)二重积分 Df(x,y)dl i0m i 1f(i,i) i
10
(1)积分存在时，其值与区域的分法和点 (i,的i) 取法无关
二重积分概念与性质
的怎样划分以及 M i 在 i 上如何选取，只要
d 0 时恒有同一极限I ，则称此极限为f(M)
在几何形体 上的黎曼积分。
记为 ： I lim
d 0
f (M )
i 1 i i
n
f ( M )d
根据几何形体的具体形式，可分别给出 各几何形体上的积分的具体表达式及名称： 1、若为一块可求面积的平面图形 D ，则 D 上的 积分称为：二重积分。 直角坐标系下记为： f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
d e ,
a2
a2
ab e
D
( x 2 y2 )
d abe .
d 例 2 估计 I 的值， 2 2 x y 2 xy 16 D 其中 D： 0 x 1, 0 y 2 . 1 解： f ( x, y) , 区域面积 2 , ( x y)2 16
L
4、如果是可求面积的曲面块S,则 S上的积分称 为：第一类曲面积分。
记为： f ( x, y, z )dS
S
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x , y )是有界闭区域 D 上的有界函数， 将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
2 , ， n，其中 i 表示第 i 个小闭区域，
对上面五种情况：各自具体的对象不同，但归结为 处理同一种形式的和的极限问题，概括地给出下 面定义： Def: 有界闭区域 上黎曼积分定义： 设 为一几何形体，它是可度量的，在该几何体 上定义一函数f(M), M ，将 分为若干可度 量的小块 1 , 2 n ，并把它们的度量大 i ) 为最大直径； 小仍记为 i ，并令 d max( i M i ，做和式（黎曼 在每小分块 i 中任取一点 n 和数/积分和数） f (M i ) i ，若该和式不 i 1 论对
二重积分的概念和性质PPT讲稿
17
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
二重积分的概念与性质
2.二重积分的概念
定义 设函数 f (x, y) 是有界闭区域 D上的有界函数，
用任意一组曲线网分割D成
n
个小区域
Δσ1
,
Δσ
2
,,
Δσ
，
n
Δσi 既表示第i小块, 也表示第i 任取一点 (ξi , ηi ) Δσi , 作和式
小区域的面积.
n
f (ξi , ηi )Δσ
i
在
.
Δσ
i
上
记
D
D
(2) (数乘性) kf (x, y)dσ k f (x, y)d
D
(k为常数).
D
D
(3) (区域可加性) f ( x, y)dσ f (x, y)dσ f (x, y)dσ.
D1 D2
D1
D2
(4) (单调性) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y)， 则有
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．
练习题
一、 填空题: 1. 当函数 f ( x, y)在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 .
y y0 )2 2
,
其中f ( x, y)为连续函数.
Solution.
原式
lim
ρ0
1 πρ
2
f (ξ, η) πρ2（积分中值定理）
lim f ( ,)
0
lim f ( ,)
微积分-二重积分
顶柱体的体积的相反数D。
3)、若 z f ( x, y) 在区域 D 上的值有正有负，则曲顶柱体
的体积取其二重积分的代数和。
（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体 积取负）。
三、二重积分的性质
calculus
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号 的外面，即：
kf x, yd k f x, yd
ms f ( x, y) d Ms
D
calculus
性质７ 中值定理 如果 f ( x, y) 在闭区域 D 上连续，
s 是 D的面积，则在 D 内至少存在一点 ( ,) ，
使得
f ( x, y)d f ( ,) s
D
中值定理的几何意义：在区域 D 上以曲顶 z f (x, y)为顶 的曲顶柱体的体积，等于区域 D上以某一点( ,) 的函数值
dx
2(x) f ( x, y )dy
a
1(x)
D
注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
calculus
（2）Y-型域： c y d , 1( y) x 2( y).
d
x 1( y) c
D
d
x 1( y) x 2( y)
c
［Y－型］ D
x 2( y)
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区 域边界的交点不多于两个；
D
D
(3,0) x
calculus
2） ln(x y)d 与 [ln(x y)]2d,其中区域 D为
D
D
顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。
解：BC的方程 x+y=2
B(1,1)
D内 1 x y 2, 0 ln(x y) 1
3)、若 z f ( x, y) 在区域 D 上的值有正有负，则曲顶柱体
的体积取其二重积分的代数和。
（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体 积取负）。
三、二重积分的性质
calculus
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号 的外面，即：
kf x, yd k f x, yd
ms f ( x, y) d Ms
D
calculus
性质７ 中值定理 如果 f ( x, y) 在闭区域 D 上连续，
s 是 D的面积，则在 D 内至少存在一点 ( ,) ，
使得
f ( x, y)d f ( ,) s
D
中值定理的几何意义：在区域 D 上以曲顶 z f (x, y)为顶 的曲顶柱体的体积，等于区域 D上以某一点( ,) 的函数值
dx
2(x) f ( x, y )dy
a
1(x)
D
注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
calculus
（2）Y-型域： c y d , 1( y) x 2( y).
d
x 1( y) c
D
d
x 1( y) x 2( y)
c
［Y－型］ D
x 2( y)
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区 域边界的交点不多于两个；
D
D
(3,0) x
calculus
2） ln(x y)d 与 [ln(x y)]2d,其中区域 D为
D
D
顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。
解：BC的方程 x+y=2
B(1,1)
D内 1 x y 2, 0 ln(x y) 1
8(1)二重积分的概念
D D
根据二重积分的几何意义,确定积分值 根据二重积分的几何意义 确定积分值
( b x 2 + y 2 )dσ , 其中 D为x 2 + y 2 ≤ a 2 ∫∫
2 3 = πa b πa 3
2
D
b>a >0
19
二重积分的概念
性质2 将区域D分为两个子域 性质 将区域 分为两个子域 D1 , D2 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ D D
1
D2
对积分区域的可加性质. 对积分区域的可加性质 性质3 性质 若σ 为D的面积 的面积
y
D1 D
D2
σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ
D D
o x D1与D2除分界线 外无公共点. 外无公共点
则
性质5(估值性质) 设m ≤ f ( x , y ) ≤ M , 性质5(估值性质) 5(估值性质 σ为D的面积 则 的面积, 为 的面积
∫∫ f ( x , y )dσ D
≤
∫∫ g( x , y )dσ D
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
设f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D , 则曲顶柱体 为高和以M为高的两个 为高和以 的体积介于以D为底 为底, 的体积介于以 为底 以m为高和以 为高的两个 平顶柱体体积之间. 平顶柱体体积之间以D为底 既可看成是以 为底, 以1为高的 为底 为高的
柱体体积. 又可看成是D的面积 的面积. 柱体体积 又可看成是 的面积
20
二重积分的概念
若f ( x , y )在有界闭区域 1上可积 且 D1 D2 , 在有界闭区域D 上可积,且
根据二重积分的几何意义,确定积分值 根据二重积分的几何意义 确定积分值
( b x 2 + y 2 )dσ , 其中 D为x 2 + y 2 ≤ a 2 ∫∫
2 3 = πa b πa 3
2
D
b>a >0
19
二重积分的概念
性质2 将区域D分为两个子域 性质 将区域 分为两个子域 D1 , D2 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ D D
1
D2
对积分区域的可加性质. 对积分区域的可加性质 性质3 性质 若σ 为D的面积 的面积
y
D1 D
D2
σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ
D D
o x D1与D2除分界线 外无公共点. 外无公共点
则
性质5(估值性质) 设m ≤ f ( x , y ) ≤ M , 性质5(估值性质) 5(估值性质 σ为D的面积 则 的面积, 为 的面积
∫∫ f ( x , y )dσ D
≤
∫∫ g( x , y )dσ D
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
设f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D , 则曲顶柱体 为高和以M为高的两个 为高和以 的体积介于以D为底 为底, 的体积介于以 为底 以m为高和以 为高的两个 平顶柱体体积之间. 平顶柱体体积之间以D为底 既可看成是以 为底, 以1为高的 为底 为高的
柱体体积. 又可看成是D的面积 的面积. 柱体体积 又可看成是 的面积
20
二重积分的概念
若f ( x , y )在有界闭区域 1上可积 且 D1 D2 , 在有界闭区域D 上可积,且
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
第八章二重积分
D
嘉兴学院
2020年6月2日星期二
第八章 二重积分
第19页
例 2 估计I
d
的值，
D x2 y2 2 xy 16
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解 f (x, y)
1
,
( x y)2 16
区域面积 2,
在D上 f ( x, y)的最大值 M 1 ( x y 0) 4
4)“取极限”
第10页
( k ) max P1P2 P1,P2 k
令
max 1k n
( k )
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
f (k , k )
(k ,k ) k
嘉兴学院
2020年6月2日星期二
第八章 二重积分
第11页
二、二重积分的定义
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
2020年6月2日星期二
第八章 二重积分
第16页
性质2 对区域具有可加性 ( D D1 D2 且D1、D2 无公共内点，则
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
性质3 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质4 若在D上 f ( x, y) g( x, y),
x
I2 I1 I3
嘉兴学院
2020年6月2日星期二
第八章 二重积分
第28页
6. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1,
则
I1 yx3 d ,
I3
y
1 2
x
二重积分的概念与性质
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
例. 估计下列积分之值
ID 1 0cd 0 x 2 o d xy s c2 o ysD :xy y10
解: D 的面积为 (102)2200
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
•
(i,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
Ml i0m i1(i,i)i.
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
由它们的积分域范围可知
o 1x
I2I1I3
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
二重积分的概念与性质
第一节
第十章
二重积分的概念与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
zf(x,y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．
8-1-二重积分概念与性质-精品文档
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
8
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
y
D
o
x
则面积元素为 d dxdy 故二重积分可写为
f ( x ,y ) d f ( x ,y ) dxdy D D
6
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为 f ( x, y)d ，
D
即 f ( x, y)d lim f (i ,i ) i .
D
n
0 i 1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
7
对二重积分定义的说明：
( 1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 . f ( x , y ) ( 2 ) 当 在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式 的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
（二重积分中值定理）
12
例 1不 作 计 算 ， 估 计 I e
D 2
2 (x y2)
值 ， d 的
(0ba ).
x 1 a b
解
ab 区 域 D 的 面 积 ,
D 在 上 , 0 x y a
2 22
2 2 x y
一、问题的提出 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质 四、小结
1
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
8
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
y
D
o
x
则面积元素为 d dxdy 故二重积分可写为
f ( x ,y ) d f ( x ,y ) dxdy D D
6
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为 f ( x, y)d ，
D
即 f ( x, y)d lim f (i ,i ) i .
D
n
0 i 1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
7
对二重积分定义的说明：
( 1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 . f ( x , y ) ( 2 ) 当 在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式 的 极 限 必 存 在 ， 即 二 重 积 分 必 存 在 .
（二重积分中值定理）
12
例 1不 作 计 算 ， 估 计 I e
D 2
2 (x y2)
值 ， d 的
(0ba ).
x 1 a b
解
ab 区 域 D 的 面 积 ,
D 在 上 , 0 x y a
2 22
2 2 x y
一、问题的提出 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质 四、小结
1
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
二重积分的概念与性质(精)
因此
2 [ln( x y )] d . ln( x y ) d
D
D
四、小结
二重积分的定义
（积分和式的极限）
（曲顶柱体的体积）
二重积分的几何意义 二重积分的性质
作业：93页 4，5
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及
积分区域有关．
不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函
数为定义在区间上的一元函数;
二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数．
(2) 二重积分值仅与 f ( x , y ) 及 D 有关， 与积分变量符 号无关，即
f ( x , y )d f ( u, v )d
D D
(3) 当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式的极 限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负 值．
1 M ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 4 1 1 m f ( x , y ) 的最小值 5 32 42 ( x 1, y 2) 故1 I 1 0.4 I 0.5. 5 4
例3
比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
e
ab e
D
( x2 y2 )
( x2 y2 )
例2
估计 I
D
d 的值， 2 2 x y 2 xy 16
2 [ln( x y )] d . ln( x y ) d
D
D
四、小结
二重积分的定义
（积分和式的极限）
（曲顶柱体的体积）
二重积分的几何意义 二重积分的性质
作业：93页 4，5
思考题
将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处.
思考题解答
定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及
积分区域有关．
不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函
数为定义在区间上的一元函数;
二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数．
(2) 二重积分值仅与 f ( x , y ) 及 D 有关， 与积分变量符 号无关，即
f ( x , y )d f ( u, v )d
D D
(3) 当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式的极 限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负 值．
1 M ( x y 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 4 1 1 m f ( x , y ) 的最小值 5 32 42 ( x 1, y 2) 故1 I 1 0.4 I 0.5. 5 4
例3
比较积分 ln( x y )d 与 [ln( x y )]2 d
e
ab e
D
( x2 y2 )
( x2 y2 )
例2
估计 I
D
d 的值， 2 2 x y 2 xy 16
二重积分的概念与性质二重积分的计算
3.二重积分的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)≥0，则
体积.
表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的
(2) 若在D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则二重积分表示在 这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减
a
1 ( x )
1( x)
2(x)
同样，设区域D由 和 围1(成y,用) 不等式2(表y示) 为
在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边
梯形.
若截面面积为S(y)，则
y
z f (x, y)
所给立体体积
c yd
因此
d
dy
2( y)
f ( x, y)dx
去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
8.1.2 二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区 域 D上都是可积的.
性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的 代数和，即
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形.
(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确 定关于y积分限的方法是：
例2 计算积分
，其中D是正方形区域：
解
2.当区域D为
在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面 截立体，截得一曲边梯形,其面积为S(x)，则
二重积分的概念与性质
四、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
二重积分的性质（7条性质） 二重积分的性质
∫∫ f ( x , y )dσ = D
f ( ξ , η) σ
（二重积分中值定理） 二重积分中值定理）
利用二重积分的几何意义， 例2 利用二重积分的几何意义，确定下列二重积分 的值： 的值：
∫∫
D
4 x y dxdy , 其其 D = {( x , y ) x + y ≤ 2}
2 2 2 2
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
性质３ 性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
性质４ 性质４ 若 σ 为D的面面积 σ
D D
性质５ 若在D上 性质５ 若在 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有 ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
练习： 练习：
比较下列各组积分的大小： 比较下列各组积分的大小：
(1) I 1 = ∫∫ ( x + y )2 dxdy , I 2 = ∫∫ ( x + y )3 dxdy
分割、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 取极限”的方法，如下动画演示． 、取极限”的方法，如下动画演示．
分割、近似、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
第八章 二重积分
第八章 二重积分8.1 二重积分的概念设函数),(y x f 是闭区域D 上的有界函数，将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆、2σ∆、…，n σ∆，其中i σ∆既是第i 个小区域也是第i 个小区域的面积。
在每个小区域i σ∆上任意取一点),(i i ηξ做乘积i i i f σηξ∆⋅),(，并作和式∑=∆⋅ni i i i f 1),(σηξ。
如果当各个小闭区间直径中的最大值0→λ时，极限i ni i i f σηξλ∆∑=→1),(lim 存在，则称为函数),(y x f 在D 上的二重积分，记为σd y x f D⎰⎰),(。
其中),(y x f 为被积函数，D 为积分区域，σd y x f ),(为被积表达式，σd 为面积微元。
（1）积分区域D 的划分和点的选取是任意的。
（2）σd y x f D⎰⎰),(的几何意义表示以积分区域D 为底面积，高为),(y x f 的曲顶柱体体积的代数和。
（3）函数),(y x f 可积的充分条件：若),(y x f 在D 上连续，则),(y x f 在D 上可积。
（4）函数),(y x f 可积的必要条件：若),(y x f 在D 上可积，则),(y x f 在D 上有界。
（5）直角坐标系下的面积微元dxdy d =σ。
8.2 二重积分的性质 （1）线性运算性质[]σβσασβαd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),(),(),(（βα,均为常数）（2）积分区域的可加性 )(),(),(),(2121D D D d y x f d y x f d y x f D D D+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσσ（3）σσ=⎰⎰Dd （σ为积分区域D 的面积）（4）比较定理：设函数),(y x f 与),(y x g 在D 上有),(),(y x g y x f ， 则σσd y x g d y x f DD⎰⎰⎰⎰),(),(推论：①若0),( y x f ，则0),( σd y x f D⎰⎰。
二重积分的概念与性质
y
在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分 区域D，
D
o x
则面积元素为
d xy dxdy
故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
注2
二重积分的几何意义：
当函数z=ƒ(x,y)在区域D上连续且ƒ(x,y) ≥0时,二重积分
f ( , , ) V
( 三重积分中值定理 )
例1. 不作计算 , 估计积分 I
e
D
( x2 y2 )
d 的值 .
x2 y2 其中 D 是椭圆闭区域 : 2 2 1( 0 b a ) a b
解: 区域 D 的面积 a b ,
b
2
在 D上, 0 x y a ,
性质２
[ f ( x , y ) g ( x , y ) ] d D f ( x , y ) d g ( x , y ) d
D D
.
性质 3: 对区域具有可加性
( D D1 D2 )
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
D
f ( , ) d f ( , ) s
D
( 二重积分中值定理 )
( 性质 7 ) 设函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上连续 , V 为 的体积 , 则在 上至少存在一点 ( , , ) 使得
f ( x , y , z ) d v
D
f ( x , y )d
D
z f ( x, y)
表示以曲面z=ƒ(x,y)为顶,以区域D 为底的 曲顶柱体之体积.
在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分 区域D，
D
o x
则面积元素为
d xy dxdy
故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
注2
二重积分的几何意义：
当函数z=ƒ(x,y)在区域D上连续且ƒ(x,y) ≥0时,二重积分
f ( , , ) V
( 三重积分中值定理 )
例1. 不作计算 , 估计积分 I
e
D
( x2 y2 )
d 的值 .
x2 y2 其中 D 是椭圆闭区域 : 2 2 1( 0 b a ) a b
解: 区域 D 的面积 a b ,
b
2
在 D上, 0 x y a ,
性质２
[ f ( x , y ) g ( x , y ) ] d D f ( x , y ) d g ( x , y ) d
D D
.
性质 3: 对区域具有可加性
( D D1 D2 )
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
D
f ( , ) d f ( , ) s
D
( 二重积分中值定理 )
( 性质 7 ) 设函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上连续 , V 为 的体积 , 则在 上至少存在一点 ( , , ) 使得
f ( x , y , z ) d v
D
f ( x , y )d
D
z f ( x, y)
表示以曲面z=ƒ(x,y)为顶,以区域D 为底的 曲顶柱体之体积.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 k 1
n
n
平面薄片的质量:
M lim ( k , k ) k
0 k 1
14 May 2019 12
目录 上页 下页 返回
定义 设 f ( x, y ) 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
D
提示：利用“性质 5”和“连续函数的介值定理”即证。
例1 设 D 是圆环域： 1 x2 y 2 4 ，证明
利用性质5
3πe e
D
x2 y 2
d 3πe4 .
18
目录 上页 下页 返回
14 May 2019
内容小结
1. 二重积分的定义
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
定理1 若函数 在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积. 定理2 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 在D上可
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,则 积.
14 May 2019
15
目录
上页
下页
返回
二、二重积分的性质
性质 1 设 、 为常数，则
[ f ( x, y) g ( x, y)]d f ( x, y)d g ( x, y)d .
D
k
Vk f ( k , k ) k
3)“近似和”
n
( k 1, 2 , , n )
f ( k , k ) k
k 1
14 May 2019 8
目录 上页 下页 返回
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
n
V lim f ( k , k ) k
14 May 2019 20
目录 上页
o
1 x
下页
返回
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
的大小顺序为 ( ) ( A) I1 I 2 I 3 ;
( B ) I 2 I1 I 3 ; ( D ) I 3 I1 I 2 .
(C ) I 3 I 2 I1 ;
x
M lim ( k , k ) k
0 k 1
14 May 2019 11
目录 上页 下页 返回
n
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
V lim f ( k , k ) k
D D
f ( x, y)d ( x, y)d .
特殊地，由于 f ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) ,
又有
D D
f ( x, y)d
D D
f ( x, y ) d .
目录 上页 下页 返回
14 May 2019
17
性质 5
A lim Ai
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
目录
机动
目录
上页
上页
下页
下页
返回
结束
返回
一、二重积分的概念
1.曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面
0 k 1
k
14 May 2019
9
目录
上页
下页
返回
2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
y
若 非常数 , 仍可用
D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域
提示: 因 0 < y <1, 故
y
1
又因 x 3 0, 故在D上有
D
o x
14 May 2019
21
目录
上页
下页
返回
补充：积分对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f ( x , y ) f ( x, y ), 则
D D D
性质 2 如果闭区域 D 被有限条分段光滑曲线分为有限 个部分闭区域，则在 D 上的二重积分等于在各个部分闭区域 上的二重积分的和．
例如,分 D 为两个闭区域 D1 与 D2 ， 则
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D D1 D2
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、小结与思考练习
14 May 2019
3
目录
上页
下页
返回
复习：一元定积分问题的实例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
目录 上页 下页 返回
y f ( x)
Hale Waihona Puke A?机动目录
上页
下页
返回
结束
D f ( x, y ) d
2
(2) f ( x , y ) f ( x, y ), 则
D1
f ( x, y ) d
D f ( x, y ) d 0
D1 o D x
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果. 在第一象限部分, 则有
14 May 2019
19
目录
上页
下页
返回
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2
I3
1 1
1 1
x y 1
xy d x d y
xy d x d y
y 1
解: I1 , I 2 , I 3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
I 2 I1 I 3
记作
则称 f ( x, y ) 可积 , 称 I 为 f ( x, y ) 在D上的二重积分.
积分和 积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域
14 May 2019
被积函数
13
面积元素
目录 上页 下页 返回
如果 f ( x, y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 也常 因此面积元素 记作
x
相应把薄片也分为小区域 .
14 May 2019 10
目录 上页 下页 返回
2)“常代变”
在每个 k 中任取一点
3)“近似和”
则第 k 小块的质量
y
( k , k ) k
k 1 n
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
( k ,k ) k
求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想: “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
14 May 2019
7
目录
上页
下页
返回
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体
2)“常代变”
在每个 中任取一点 则
( k , k )
4 ( x 2 y 2 ) d x d y
D1
D
xy d x d y 0
22
目录 上页 下页 返回
14 May 2019
第八章 重 积 分
一元函数积分学
重积分
多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
14 May 2019
1
目录
上页
下页
返回
主要内容
第一节 第二节 二重积分的概念与性质 二重积分的计算方法
14 May 2019
2
目录
上页
下页
返回
第八章
第一节 二重积分的概念与性质
（Conception and property of double integral）
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 得
o a x1
xi 1 xi
Ai f ( i ) xi
( xi xi xi 1 )
目录
机动 目录
i
上页
上页
下页
下页
返回
结束
返回
3) 近似和.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
设 M 、m 分别是 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值
和最小值， 是 D 的面积，则有
m f ( x, y)d M .
D
性质 6 （二重积分的中值定理） 设函数 f ( x, y ) 在闭区 域 D 上连续， 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ( , ) ， 使得 f ( x, y)d f ( , ) .
解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn 1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小
n
n
平面薄片的质量:
M lim ( k , k ) k
0 k 1
14 May 2019 12
目录 上页 下页 返回
定义 设 f ( x, y ) 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
D
提示：利用“性质 5”和“连续函数的介值定理”即证。
例1 设 D 是圆环域： 1 x2 y 2 4 ，证明
利用性质5
3πe e
D
x2 y 2
d 3πe4 .
18
目录 上页 下页 返回
14 May 2019
内容小结
1. 二重积分的定义
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
定理1 若函数 在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积. 定理2 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 在D上可
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,则 积.
14 May 2019
15
目录
上页
下页
返回
二、二重积分的性质
性质 1 设 、 为常数，则
[ f ( x, y) g ( x, y)]d f ( x, y)d g ( x, y)d .
D
k
Vk f ( k , k ) k
3)“近似和”
n
( k 1, 2 , , n )
f ( k , k ) k
k 1
14 May 2019 8
目录 上页 下页 返回
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
n
V lim f ( k , k ) k
14 May 2019 20
目录 上页
o
1 x
下页
返回
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
的大小顺序为 ( ) ( A) I1 I 2 I 3 ;
( B ) I 2 I1 I 3 ; ( D ) I 3 I1 I 2 .
(C ) I 3 I 2 I1 ;
x
M lim ( k , k ) k
0 k 1
14 May 2019 11
目录 上页 下页 返回
n
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:
V lim f ( k , k ) k
D D
f ( x, y)d ( x, y)d .
特殊地，由于 f ( x, y) f ( x, y) f ( x, y) ,
又有
D D
f ( x, y)d
D D
f ( x, y ) d .
目录 上页 下页 返回
14 May 2019
17
性质 5
A lim Ai
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
目录
机动
目录
上页
上页
下页
下页
返回
结束
返回
一、二重积分的概念
1.曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面
0 k 1
k
14 May 2019
9
目录
上页
下页
返回
2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
y
若 非常数 , 仍可用
D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域
提示: 因 0 < y <1, 故
y
1
又因 x 3 0, 故在D上有
D
o x
14 May 2019
21
目录
上页
下页
返回
补充：积分对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f ( x , y ) f ( x, y ), 则
D D D
性质 2 如果闭区域 D 被有限条分段光滑曲线分为有限 个部分闭区域，则在 D 上的二重积分等于在各个部分闭区域 上的二重积分的和．
例如,分 D 为两个闭区域 D1 与 D2 ， 则
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D D1 D2
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、小结与思考练习
14 May 2019
3
目录
上页
下页
返回
复习：一元定积分问题的实例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
目录 上页 下页 返回
y f ( x)
Hale Waihona Puke A?机动目录
上页
下页
返回
结束
D f ( x, y ) d
2
(2) f ( x , y ) f ( x, y ), 则
D1
f ( x, y ) d
D f ( x, y ) d 0
D1 o D x
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果. 在第一象限部分, 则有
14 May 2019
19
目录
上页
下页
返回
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2
I3
1 1
1 1
x y 1
xy d x d y
xy d x d y
y 1
解: I1 , I 2 , I 3 被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
I 2 I1 I 3
记作
则称 f ( x, y ) 可积 , 称 I 为 f ( x, y ) 在D上的二重积分.
积分和 积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域
14 May 2019
被积函数
13
面积元素
目录 上页 下页 返回
如果 f ( x, y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 也常 因此面积元素 记作
x
相应把薄片也分为小区域 .
14 May 2019 10
目录 上页 下页 返回
2)“常代变”
在每个 k 中任取一点
3)“近似和”
则第 k 小块的质量
y
( k , k ) k
k 1 n
4)“取极限”
令 max ( k )
1 k n
( k ,k ) k
求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想: “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
14 May 2019
7
目录
上页
下页
返回
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 小曲顶柱体
2)“常代变”
在每个 中任取一点 则
( k , k )
4 ( x 2 y 2 ) d x d y
D1
D
xy d x d y 0
22
目录 上页 下页 返回
14 May 2019
第八章 重 积 分
一元函数积分学
重积分
多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
14 May 2019
1
目录
上页
下页
返回
主要内容
第一节 第二节 二重积分的概念与性质 二重积分的计算方法
14 May 2019
2
目录
上页
下页
返回
第八章
第一节 二重积分的概念与性质
（Conception and property of double integral）
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 得
o a x1
xi 1 xi
Ai f ( i ) xi
( xi xi xi 1 )
目录
机动 目录
i
上页
上页
下页
下页
返回
结束
返回
3) 近似和.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
设 M 、m 分别是 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值
和最小值， 是 D 的面积，则有
m f ( x, y)d M .
D
性质 6 （二重积分的中值定理） 设函数 f ( x, y ) 在闭区 域 D 上连续， 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ( , ) ， 使得 f ( x, y)d f ( , ) .
解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn 1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小