高考第一轮复习三角函数试题
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2713131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若32a π=，则21913131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 533 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===2222221311cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=⋅-=-△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S S Sθθ∴=+=-+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．3．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =--C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 555αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()0αβ+=<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]55βααβα⎛⎛⎫-=+-=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-， 所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->，于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.二、数列多选题9．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a = B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <【答案】ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.。
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题 1．函数tan2x y =是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数2．有一块矩形花圃ABCD 如图所示，其中10AB cm =，6BC cm =，现引进了新品种需将其扩大成矩形区域EFGH ，点A ，B ，C ，D 均落在矩形EFGH 的边上（不包括顶点），则扩大后的花圃的最大面积为（ ）A ．2100mB ．2128mC ．2144mD ．2196m3．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭或15()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 4．若α是第四象限角，则π－α是第（ ）象限角.A ．一B ．二C ．三D ．四5．若一个底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个顶角为23π的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A ．353π B ．223πC ．35πD ．22π 6．已知函数()()sin 0,2f x x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则tan ϕ=（ ）A 3B ．1C 3D ．37．下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题9．设0θπ<<，非零向量()sin 2,cos a θθ=，()cos ,1b θ=，则（ ） A ．若1tan 2θ=，则//a b B ．若34πθ=，则a b ⊥ C ．存在θ，使2a b =D ．若//a b ，则1tan 2θ=10．关于函数()cos 23cos f x x x x =+，下列结论正确的有（ ） A ．函数()f x 有最小值2-B ．存在12,x x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立C ．函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称11．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 为直角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形D ．若2cos 22A c b c+=，则ABC 为直角三角形 12．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线8x π=对称B ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是192388ω≤< 三、填空题13．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.14．如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．15．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______. 16．已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则点(,)P ωϕ的坐标为___.四、解答题17．已知函数()sin 3cos 33x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()1y f x =-的单调递增区间； （2）设函数()()()1sin g x x f x =+，求()g x 的值域.18．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R 其部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若23()f α=(0,)3πα∈，求cos2α的值.19．计算： （1）sin15︒；（2）sin cos cos sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）sin13sin73cos13sin17︒︒+︒︒．20．已知函数()222sin 4cos 1f x x x =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()3sin cos a bC C =+．(1)求B ；(2)已知23BC =，D 为边AB 上的一点，若1BD =，2ACD π∠=，求AC 的长．22．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形ABCD 中，400AB =米，300BC =米，图中DMN 区域为诊断区（M 、N 分别在BC 和AB 边上），ADN △、CDM 及BMN △区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求MDN ∠的大小为4π.(1)若按照200AN CM ==米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积S 最大，并求出最大值.23．已知向量,a b 满足2sin ,4a x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos ,cos sin )b x x x =-，函数()()f x a b x R =⋅∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）在ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()222242cos a ac B a b c -=+-，求()f B参考答案1．A2．B3．B4．C5．B6．C7．C8．D 9．ABD10．ABC11．ABD12．ACD 13．12-14252km15．35 16．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭17．（1）()2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18．（1）()2sin()6f x x π=+（2）cos 2α=19．（1（2）；（3）12.20．（1）π；（2）最小值是-3，最大值是32.21．(1)6B π=(2)AC =22．(1)不符合要求(2)按照tan 18ADN ADN π⎛⎫∠∠= ⎪⎝⎭修建，治疗区面积最大，最大值为240000-（平方米）23．（1）单调增区间为7,,1212k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k Z ∈；单调减区间为5,,1212k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z∈；（2）。
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第4练 二倍角公式及应用(解析版)
B． cos A cos B
C． sin 2A sin 2B
D． cos 2A cos 2B
12．（2023·全国·高三专题练习）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若 cos 1 ，则 cos 2 7
3
9
C．若 x 1 ，则 x 1 的最小值为 2
2
x
B．若 tan 2 4 ，则 tan 1
D． 5 或
5
5
）
D． 24 25
7．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A． f x cos2 x sin x cos x
B． f x 1 cos 2 x
2sin x cos x
C．
f
x
cos
x
π 3
cos
x
π 3
D．
f
x
sin
D
不
正确，
故选：BC.
10．AD
【分析】根据二倍角正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性、平移的性质、对称
性、换元法逐一判断即可.
【详解】 f (x) sin x cos x 1 sin 2x, g(x) sin x cos x 2 sin(x π ) ，
2
4
当
x
0,
π 4
时，
3 5 8
2
5 1 5 1．
16
4
故选：D．
2．B 【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
sin
π 6
cos
3 sin 1 cos cos 3 ,
2
2
5
所以 3 sin 1 cos 3 ，
(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析.doc
弘知教育内部资料中小学课外辅导专家三角函数典型习题1 ．设锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b， c , a 2bsin A .(Ⅰ)求B的大小 ;(Ⅱ )求cos A sin C的取值范围 .A B C在中 ,角A, B,C所对的边分别为，， 2 .ABC c , sin sin2 ． 2 2（I）试判断△ABC的形状 ;（I I）若△ABC的周长为 16,求面积的最大值 .3 ．已知在ABC 中, A且与tan B是方程 x2 5 x 6 0 的两个根.B , tan A(Ⅰ )求tan( A B) 的值;(Ⅱ )若 AB 5 ,求BC的长.4．在ABC 中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且a2 c 2 b 2 1 ac.A C 2(1)求sin2 cos 2B 的值;2(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值 .5．已知函数f ( x) 2sin 2 π3 cos2x ， xπ π．x4，4 2（1）求f ( x)的最大值和最小值；（2）f ( x) m 2 在 x π π上恒成立，求实数m 的取值范围．，4 26．在锐角△ABC 中,角．．的对边分别为a、b、已知(b2 c 2 a 2) tanA bcA B C c, 3 .(I)求角 A;(II)若 a=2,求△ ABC面积 S 的最大值 ?7．已知函数f ( x) (sin x cos x)2 +cos2 x .(Ⅰ )求函数f x 的最小正周期 ;(Ⅱ )当x 0,2时 ,求函数f x 的最大值 ,并写出 x 相应的取值 .8 ．在ABC中,已知内角 A ． B ． C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 向量r2sin B, rcos2B, 2cos2 B1r rm 3 , n 2 ,且m / / n ?(I)求锐角 B 的大小 ;(II)如果b 2 ,求ABC 的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】 :(Ⅰ )由 a2b sin A ,根据正弦定理得 sin A2sin B sin A ,所以 sin B ,2π由ABC 为锐角三角形得B.6(Ⅱ ) cos A sin C cos A sinAcos A sin6Acos A13 sin Acos A223 sin A .32【解析】 :I. sinC sin C cos C sin C 2 sin( C)C2 22 2 2 4即 C ,所以此三角形为直角三角形 .2422II. 16 a b22ab2ab , ab64(22) 2a b 时取等ab2 当且仅当 号,此时面积的最大值为326 4 2 .3【解析】 :(Ⅰ )由所给条件 ,方程 x 2 5 x 6 0 的两根 tan A 3, tan B2 .∴ tan( A B)tan A tan B2 311 tan A tan B 12 3(Ⅱ)∵ A B C 180 ,∴ C180 (A B) .由(Ⅰ )知 , tanCtan( A B)1,∵ C 为三角形的内角 ,∴ sin C22∵ tan A3 , A 为三角形的内角 ,∴ sin A3 ,10由正弦定理得 :AB BC5 3 ∴ BC 3 5 .21028【解析】 :(1)r r2sinB(2cos 2 B m / / n-1)=- 3cos2B22sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32ππ ∵ 0<2B< π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3(2)由 tan2B=- 3π 5πB= 或63π① 当B= 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :34=a 2+c 2 -ac ≥ 2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立 )1 3∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB= 4 ac ≤ 3∴△ ABC 的面积最大值为 35π ② 当 B= 6 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :4=a 2+c 2 + 3ac ≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立 )∴ac ≤ 4(2-3)1 1∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB=4ac ≤2- 3 ∴△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=4sin 2A C+cos2B=124(2)由 cos B1,得 sin B15. ∵ b=2,44a218 115 2+ c =2ac+4≥2ac,得 ac ≤ ,S △ABC =2acsinB ≤(a=c 时取等号 )33故 S △ABC 的最大值为 1535 【解析】∵f ( x) 1 π3 cos2 x 1 sin 2x 3cos2 x（ Ⅰ ）cos2x21 2sin 2xπ．3又∵ xπ ππ 2xπ 2π， ， ∴≤≤，4 2633即2≤12sin 2xπ≤ 3，3∴ f ( x) max 3， f ( x) min 2 ．（Ⅱ ） ∵ f ( x)m 2f (x) 2 mf (x) 2 ， xπ π ，4，2∴ mf ( x)max 2 且 m f ( x) min 2 ，∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (14)， ．6【解析】 :(I)由已知得b 2c 2a 2 sin A3 32bccos A sin A22又在锐角 △ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角 △ABC 中,扣 1 分 ](II)因为 a=2,A=60 所°以 b2c2bc 4, S1bc sin A3bc24而b 2c 22bc4 2bcbc4bc又 S1bc sin A3bc3 4 3244所以 △ ABC 面积 S 的最大值等于37【解析】 :(Ⅰ )因为 f ( x) (sin xcos x)2 +cos2 xsin 2 x 2sin x cos x cos 2 x cos2 x1 sin2 x cos2x ( ) =1+ 2 sin(2 x)4所以 2,即函数 f (x) 的最小正周期为, T2(Ⅱ )因为 0 x,得4 2x45,所以有2 sin(2 x) 1242 4 12 sin(2 x) 2,即0 12 sin(2 x)1244所以 ,函数 f x的最大值为 1 2此时 ,因为2 x5,所以 , 2 x,即 x844442。
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．已知(0,)θπ∈且满足cos 2cos θθ=，则tan θ=A ．B ．CD 2．在△ABC 中，7,5a c ==，则sin :sin A C 的值是（ ）A ．75B ．57C ．712D ．5123．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在下列区间内递减的是（ ） A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知a =116116tan tan +︒-，b =⎝⎭，c a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >> 6．函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为 A ．[32-，32] B ．[32-，3]C ．[D ．[，3] 7．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是（ ）A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =-D ．sin 2y x = 8．函数tan y x =周期为（ ）A ．2πB ．2πC ．πD ．3π9．在ABC 中，60A =︒，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．3010．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下：则()f x 的解析式和(0)(1)(2)(2006)S f f f f =+++⋯+的值分别为A ．1()sin 122f x x π=+，2006S = B ．1()sin 122f x x π=+，120062S = C ．1()sin 122f x x π=+，120072S = D ．1()sin 122f x x π=+，2007S = 11．设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5x )．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 12．如图所示，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC BD =，若2BD =，则sin C 的值为（ ）A ．33B ．23C ．223D ．66二、填空题13．函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式为y =______.14．在ABC ∆中，如果lg lg lgsin 2a c B -==-，且B 为锐角，则三角形的形状是__________．15．已知()2cos 3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(1)(2)(2022)f f f +++的值为________.16．sin 73cos13sin167cos 73︒︒-︒︒=________.17．已知△ABC 中，3cot 4A =-，则cos A =______. 18．252525sin cos tan 634πππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭______． 19．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为60︒，则扇形的面积为 2cm ．20．若sin 41cos 5γγ=+，则1cos 2sin γγ-=______.三、解答题21．求下列各式的值（1）2log 342233log 9log 2log 3log 432-++⋅； （2）()()()sin 1071sin99sin 171sin 261-︒︒+-︒-︒．22．已知一扇形的面积S 为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？23．在ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，()cos sin cos cos A A a C c A =+； （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 14b c +的最小值．24．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a =，b =2B A =. （1）求sin A ；（2）求△ABC 的面积.25．（1）已知tan()22βα-=，tan()32αβ-=-，求)tan(βα+的值； （2）化简：21tan 9sin (12sin 99)︒︒-︒-．26．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且有2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ；（2）若3c =，求ABC ∆面积的最大值.27．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求()f x 的最大值及此时的x 的集合；（2）求()f x 的单调增区间；（3）若1()2f α=，求sin(4)6πα-. 28．已知矩形纸片ABCD 中，AB=6，AD=12，将矩形纸片右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕的两端点M 、N 分别位于边AB ，BC 上，此时的点B 记为点P ，设MNB θ∠=，MN y =.(1)当15MNB ∠=时，判断N 的位置；(2)试将y 表示成θ的函数并求y 的最小值。
三角函数综合练习题(单调性、单调区间、最大最小值)
三角函数综合练习题考查单调性，单调区间，最大最小值，周期，零点，对称性，对称中心一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知函数f(x)=cosxsin(x−π3)+√34(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．2.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．3.设函数f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34．(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；(2)当x∈[0,π3]时，求函数f(x)的最值．4.已知函数f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(2)求f(x)的最小正周期及单调递减区间．5.已知函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若将函数f(x)图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在区间[−π12,π]上的值域．6.已知函数f(x)=2sinx⋅sin(π2−x)+√3(cos2x−sin2x)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求方程f(x)=2的解构成的集合．7.已知函数f(x)=2sin2x+2√3sinxcosx．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x∈[0,5π12]，求函数f(x)的值域．8.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(−5π12,0)，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为(−π6,−2)．(1)求函数的解析式；(2)若将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在[−π6,π3]上的值域．9.已知f(x)=2sin(2x+π3)．(1)求f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时，x值的集合．(2)求f(x)的单调递增区间．10.已知函数f(x)=cosx(2sinx+√3cosx)−√3sin2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．11.已知函数f(x)=2sin(2x−π6).(1)求函数f(x)的对称轴；(2)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的最大值与最小值．12.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若方程f(x)=m在(π2,5π3)有两个不同的实根，求m的取值范围．13.已知向量a⃗=(3sinx,cos2x)，b⃗ =(cosx,12)，x∈R，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．14.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)的最小正周期为π，ω为正实数．(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间及对称轴方程．15.已知向量m⃗⃗⃗ =(cosx,−1)，n⃗=(√3sinx,cos2x)，设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+1．(1)求函数y=f(x)的单调递减区间，并说明由函数y=sinx的图象如何变换可得到函数y=f(x)的图象．(2)若x∈[0,π2]，f(x)=56，求cos2x的值．16.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x．(I)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在[0,π2]上的单调递增区间．17.已知向量a⃗=(√3sinx,cosx)，b⃗ =(−cosx,cosx)，c⃗=(2,1)．(Ⅰ)若a⃗//c⃗，求a⃗⋅b⃗ 的值；(Ⅱ)若x∈[0,π2]，求f(x)=a⃗⋅b⃗ 的值域．18.已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2√3cos2ωx−√3(a>0,ω>0)的最大值为2，且最小正周期为π．(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)若f(α)=43,求sin(4α+π6)的值．19.设函数f(x)=sinx+√3cosx(x∈R)．(1)求函数f(x)的最值和最小正周期；(2)将函数f(x)的图像先保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将图像向π20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，其中A>0，ω>0，−π2<φ<π2，x∈R其部分图象如图所示．(1)求函数y=f(x)的解析式与单调增区间；(2)当x∈[0,π]时，求函数y=f(x)的最大值与最小值及此时相应x的值．21.已知函数f(x)=2sinx(√3cosx+sinx)−1．(I)求f(x)的单调递增区间；(II)若f(α2)=25，求sin(2α+π6)的值．22.已知函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx+1．(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象对称中心的坐标；(2)求函数f(x)在[π12,π4]上的值域．23.已知f(x)=sin(2x+π6)+3cos(2x−π3).(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若f(α2)=45，α∈(0,π)，试求cosα的值．24.已知函数f(x)=cos2x+2√3sinxcosx−sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π3,π3]上的最大值和最小值．25.已知函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．26.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的图像关于直线x=π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．(1)求ω和φ的值；(2)若f(α2)=√34(π6<α<2π3)，求sin (α+π3)的值．27.已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性；28.已知函数f(x)=2cosx(λsinx−cosx)+sin2x+1(λ<0)，且f(x)的最小值为−2．(1)求实数λ的值及函数f(x)的单调递减区间;(2)当x∈[−π12,π2]时，若函数g(x)=f(x)−k有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．29. 已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如下图所示．(Ⅰ)求f (x )的解析式及对称中心坐标；(Ⅱ)先将f (x )的图像纵坐标缩短到原来的12倍，在向右平移π6个单位，最后将图像向上平移1个单位后得到g (x )的图像，求函数y =g (x )在x ∈[π12,3π4]在上的单调减区间和最值．)(x∈R)．30.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π2(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)求f(x)的最小正周期；)为偶函数，求φ的值．(Ⅲ)若y=f(x+φ)(0<φ<π2答案和解析1.【答案】解：(1)因为f(x)=cosxsin(x−π3)+√34，=12sinxcosx−√32cos2x+√34=14sin2x+√34(1−2cos2x)，=14sin2x−√34cos2x，=12sin(2x−π3)所以最小正周期为：T=π；由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，即单调递增区间是：[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z，(2)因为x∈[−π4,π4]，所以2x−π3∈[−5π6,π6]，因此sin(2x−π3)∈[−1,12]，当2x−π3=−π2即x=−π12时，取最小值−12；当2x−π3=π6即x=π4时，取最大值14；【解析】(1)先利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式即可求解；(2)结合正弦函数的性质即可直接求解．本题主要和差角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用2.【答案】解：(1)函数f(x)=cos(2x+π3)．由2x+π3=kπ得x=kπ2−π6，即函数的对称轴方程为x=kπ2−π6，k∈Z，(2)当−π12≤x≤π2时，−π6≤2x≤π，π6≤2x+π3≤4π3，所以当2x+π3=π，即x=π3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(x)=cosπ=−1，当2x+π3=π6，即x=−π12时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)=cosπ6=√32．【解析】(1)直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．(2)利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】解：(1)f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34=cosx(12sinx+√32cosx)−√3cos2x+√34=14sin2x−√34cos2x=12sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期是2π2=π，令2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=12kπ+π6，k∈Z，可得对称中心为(12kπ+π6,0)，k∈Z．(2)当x∈[0,π3]时，2x−π3∈[−π3,π3]，可得sin(2x−π3)∈[−√32,√32]，可得函数f(x)=12sin(2x−π3)∈[−√34,√34]，即函数f(x)的最小值为−√34，最大值为√34．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=12sin(2x−π3)，利用三角函数周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的性质可求其对称中心．(2)由已知可求范围2x−π3∈[−π3,π3]，进而根据正弦函数的性质即可求其最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．4.【答案】解：(1)f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx=cos2x−√3sin2x=2cos(2x+π3)，则f(π6)=2cos2π3=2×(−12)=−1．(2)f(x)的最小正周期T=2π2=π，令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，即f(x)的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z．【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，然后代入求值即可．(2)结合三角函数的周期公式，以及单调递减区间的性质建立不等式进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，然后结合三角函数的性质是解决本题的关键．难度不大．5.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)=cos(2x−π3)+sin(2x−π2)=12cos2x+√32sin2x−cos2x=sin(2x−π6)，故它的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)若将函数f(x)的图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=sin(x−π6)的图象．在区间[−π12,π]上，x−π6∈[−π4,5π6]，故g(x)在区间[−π12,π]上的值域为[−√22,1]．【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换花简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．(Ⅱ)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．6.【答案】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=2sinx⋅sin(π2−x)+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，故f(x)的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)方程f(x)=2，即sin(2x+π3)=1，2x+π3=2kπ+π2，即x=kπ+π12，k∈Z．故方程f(x)=2的解构成的集合为{x|x═kπ+π12,k∈Z}．【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．(Ⅱ)根据方程f(x)=2，可得2x+π3=2kπ+π2，由此求得x的取值集合．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，解三角方程，属于中档题．7.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=2sin2x+2√3sinxcosx=1−cos2x+√3sin2x=2sin(2x−π6)+1，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)∵x∈[0,5π12]，∴2x−π6∈[−π6,2π3]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)=2sin(2x−π6)+1∈[0,3]，即函数f(x)的值域为[0,3]．【解析】(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f(x)的最小正周期．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，即可求解．本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．8.【答案】解：(1)由题可知，A=2，|−5π12+π6|=14T，∴最小正周期T=π，∴ω=2πT=2，∵函数f(x)过点(−π6,−2)，∴−2=2sin[2×(−π6)+φ]，∴φ=−π6+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=−π6，∴函数的解析式y=2sin(2x−π6).(2)g(x)=2sin[2(x+π6)−π6]+2=2sin(2x+π6)+2，∵x∈[−π6,π3]，∴2x+π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，g(x)∈[1,4]．故g(x)在[−π6,π3]上的值域为[1,4]．【解析】(1)由题可知，A=2，|−5π12+π6|=14T，再结合ω=2πT可求得ω的值，然后将点(−π6,−2)代入函数f(x)的解析式中，并利用|φ|<π2，可求出φ的值，故而得解．(2)根据函数图象的变换法则可得g(x)=2sin(2x+π6)+2，然后根据x∈[−π6,π3]，求出2x+π6的取值范围，再结合正弦函数的图象即可得解．本题考查正弦型函数解析式的求法、正弦函数的图象变换与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】解：(1)f(x)max=2，当f(x)=2时，有sim(2x+π3)=1∴2x+π3=2kπ+π2(k∈z)，解得x=kπ+π12，∴f(x)取最大值时x值的集合为{x|x=kπ+π12,k∈z}．(2)由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−5π12,kπ+π12],k∈z．【解析】(1)由正弦函数的有界性得出函数的最值，再整体代换解出x的值，写成集合形式；(2)将2x+π3整体代入正弦函数的单调递增区间，解出x的范围写成区间形式．本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．10.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=2sinxcosx+√3cos2x−√3sin2x=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以函数f(x)的最小正周期T=π，因为函数y=sinx的的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z，所以2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间是[kπ+π12,kπ+7π12],(k∈Z)．(Ⅱ)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max．由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(2x+π3)，当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，故当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值，最大值为2．所以m≤2.故实数m的取值范围是(−∞,2]．【解析】(Ⅰ)先将函数f(x)进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)转化为m≤f(x)max.结合变量的范围求出其最大值即可求解结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角化简公式将函数化简是解决本题的关键．11.【答案】解：(1)函数f(x)=2sin(2x−π6).令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ2+π3(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为：x=kπ2+π3(k∈Z)．(2)由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，故sin(2x−π6)∈[−12,1]．则：−1≤f(x)≤2．故：当x=0时，函数的最小值为−1．当x=π3时，函数的最大值为2．【解析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程．(2)利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3，=4sinx(12cosx +√32sinx)−√3=2sinxcosx +2√3sin 2x −√3，=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)， 所以f(x)的最小正周期T =2π2=π，由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ,k ∈Z 得 −π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间是[−π12+kπ,5π12+kπ],k ∈Z ， (Ⅱ)令t =2x −π3，因为x ∈(π2,5π3)，所以t ∈(2π3,3π)， 即方程2sint =m 在t ∈(2π3,3π)有两个不同的实根，由函数y =2sint 的图象可知，当m ∈(−2,0]∪[√3,2)时满足题意，所以m 的取值范围为(−2,0]∪[√3,2)．【解析】(I)先结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；(II)由已知可转化为函数图象的交点，结合正弦函数的性质可求．本题主要考出来和差角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档试题．13.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(3sinx,cos2x)，b ⃗ =(cosx,12)，x ∈R ， ∴函数f(x)=a⃗ ⋅b ⃗ =(3sinx,cos2x)⋅(cosx,12)=3sinxcosx +12cos2x =32sin2x +12cos2x =√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π；(2)由(1)得f(x)=√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∵x ∈[0,π2]，∴2x +φ∈[φ,π+φ]．则当2x +φ=π+φ时，f(x)取得最小值为√102sin(π+φ)=−√102sinφ=−√102×√1010=−12；当2x +φ=π2时，f(x)取得最大值为√102sin π2=√102．∴函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值分别为√102，−12．【解析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积的坐标运算可得f(x)的解析式，利用周期公式求周期；(Ⅱ)由x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．本题考查平面向量数量积的坐标运算，训练了三角函数最值的求法，是中档题． 14.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)=sin 2ωx +sinωxcosωx =1−cos2ωx2+12sin2ωx=√22sin(2ωx −π4)+12 的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=√22sin(2x −π4)+12．(2)对于函数f(x)=√22sin(2x −π4)+12，令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2，求得kπ+3π8≤x ≤π+7π8，可得函数的减区间为[kπ+3π8,π+7π8]，k ∈Z ．令2x −π4=kπ+π2，求得x =kπ2+3π8，可得函数的图象的对称轴方程为x =kπ2+3π8，k ∈Z ．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出ω的值．(2)由题意利用正弦函数的单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性、以及它的图象的对称性，属于中档题．15.【答案】解：(1)由题可知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1=√3sinxcosx −cos 2x +1 =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+12．令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ，则π3+kπ≤x ≤5π6+kπ,k ∈Z ，∴y =f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k ∈Z ．由y =sinx 变换成y =f(x)的过程如下所示：y =sinx 的图象纵坐标不变，横坐标先向右平移π6个单位，再缩小为原来的12，然后横坐标不变，纵坐标向上平移12个单位．(2)令f(x)=sin(2x −π6)+12=56，则sin(2x −π6)=13， ∵x ∈[0,π2]，∴2x −π6∈[−π6,5π6]，∴cos(2x −π6)=±2√23， 而cos2x =cos[(2x −π6)+π6]=√32cos(2x −π6)−12sin(2x −π6)，∴当cos(2x −π6)=2√23时，cos2x =√32×2√23−12×13=2√6−16； 当cos(2x −π6)=−2√23时，cos2x =√32×(−2√23)−12×13=−2√6−16， 综上，cos2x 的值为2√6−16或−2√6−16．【解析】(1)结合平面向量数量积的坐标运算和二倍角公式、辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x−π6)+12，再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调递减区间；结合三角函数的平移变换与伸缩变换法则即可得解．(2)由题可知，sin(2x−π6)=13，由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，利用平方关系可求得cos(2x−π6)=±2√23，然后结合拼凑角的方法可知cos2x=cos[(2x−π6)+π6]，利用余弦的两角和公式展开后，代入数据进行运算即可得解．本题主要考查三角恒等变换与三角函数图象的综合，还涉及平面向量数量积的坐标运算，熟练运用二倍角公式、辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】解：f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1．(I)f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z，∵x∈[0,π2]，∴k=0，f(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,π8]．【解析】利用平方关系、辅助角公式将函数化简为f(x)=√2sin(2x+π4)+1．(I)根据正弦函数的周期性即可得解；(Ⅱ)根据正弦函数的单调性即可得解，需要注意限定了区间[0,π2].本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由a⃗//c⃗可得，√3sinx=2cosx，∴tanx=2√33，∴a⃗⋅b⃗ =−√3sinxcosx+cos2x=−√3sinxcosx+cos2xcos2x+sin2x =−√3tanx+1tan2x+1=−173=−37．(Ⅱ)函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =−√3sinxcosx+cos2x=−√32sin2x+1+cos2x2=−sin (2x−π6)+12，∵x∈[0,π2]，，∴sin (2x−π6)∈[−12,1]，∴−sin (2x−π6)+12∈[−12,1]，即f(x)的值域为[−12,1]．【解析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，函数y= Asin(ωx+φ)的图象与性质，平面向量共线的充要条件，属于中档题．(Ⅰ)由a⃗//c⃗求得tanx=2√33，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出a⃗⋅b⃗ 的值．(Ⅱ)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =−sin (2x−π6)+12，再由x的范围，求出f(x)的值域．18.【答案】解：，其中tanφ=√3a．∵f(x)的最小正周期为T=π，∴2ω=2πT=2，即ω=1．又∵f(x)的最大值为2，∴√a2+3=2，即a=±1，∵a>0，∴a=1．所以不妨取φ=π3，因此，(1)令2x+π3=π2+kπ，(k∈Z)．对称轴方程为x=π12+kπ2，(k∈Z)．(2)由f(α)=43，得，即，则．【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，辅助角公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．(1)根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简，即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；(2)根据f(α)=43，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin(4α+π6)的值．19.【答案】解：(1)由辅助角公式得：f(x)=sinx+√3cosx=2sin (x+π3)，当sin (x+π3)=±1，故最大值为2，最小值为−2．最小正周期为T=2π|ω|=2π．，令2kπ+π2⩽x2+π4⩽2kπ+3π2(k ∈Z)，则4kπ+π2⩽x ⩽4kπ+5π2(k ∈Z)，即单调递减区间为：[4kπ+π2,4kπ+5π2](k ∈Z)．【解析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，是基础题． (1)先由辅助角公式化简f(x)，由三角函数性质可得最值和最小正周期；； (2)由三角函数图象变换得g(x)=2sin(x2+π4)，令2kπ+π2⩽x2+π4⩽2kπ+3π2(k ∈Z)，可得g(x)的单调递减区间．20.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)，其中A >0，ω>0，−π2<φ<π2，x ∈R 其部分图象，可得A =2，14⋅2πω=5π6−π3，∴ω=1． 再根据五点法作图，可得1×π3+φ=π2，求得φ=π6， ∴函数f(x)=2sin(x +π6). (2)当x ∈[0,π]时，x +π6∈[π6,7π6]，故当x +π6=π2时，即x =π3时，函数f(x)取得最大值为2； 当x +π6=7π6时，即x =π时，函数f(x)取得最小值为−1．【解析】(1)由题意利用由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)根据函数的解析式、正弦函数的最值，求出函数y =f(x)的最大值与最小值及此时相应x 的值．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的最值，属于中档题． 21.【答案】解：(I)f(x)=2√3sin xcos x +2sin 2x −1=√3sin2x −cos2x=2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)，令−π2+2kπ⩽2x −π6⩽π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π6+kπ⩽x ⩽π3+kπ,k ∈Z ， 故所求单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)；(Ⅱ)由题意得：f(α2)=25，得sin(α−π6)=15，所以sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2]=cos2(α−π6)=1−2sin2(α−π)=2325．【解析】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式，函数的单调性以及函数求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(I)利用二倍角公式、两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数f(x)的单调递增区间；(II)由(I)可得sin(α−π6)=15，由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求出答案．22.【答案】解：函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx+1，化简可得：f(x)=1+cos2x4+√34sin2x+1=12sin(2x+π6)+54．(1)∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．令2x+π6=kπ,k∈Z，可得，对称中心的坐标：x=kπ2−π12,k∈Z．∴函数f(x)的对称中心(kπ2−π12,54),k∈Z．(2)∵π12≤x≤π4，∴π3≤2x+π6≤2π3∴√32≤sin(2x+π6)≤1，∴5+√34≤12sin(2x+π6)+54≤74，故得函数f(x)在[π12,π4]上的值域是[5+√34,74]．【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．(1)利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质可求对称中心的坐标；(2)x∈[π12,π4]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f(x)的取值范围．23.【答案】解：f(x)=√32sin2x+12cos2x+32cos2x+3√32sin2x =2√3sin2x+2cos2x=4sin(2x+π6).(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π，由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z.(2)由f(α2)=4sin(α+π6)=45知sin(α+π6)=15，因为α∈(0,π)，所以α+π6∈(π6,7π6)，又sin(α+π6)=15，所以α+π6∈(5π6,π)，所以cos(α+π6)=−2√65，则cosα=cos(α+π6−π6)=−2√65×√32+15×12=1−6√210．【解析】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题．化简得到f(x)=4sin(2x+π6).(1)根据周期公式求得周期，再解不等式得到单调递减区间；(2)运用同角三角函数关系以及两角和差的三角函数公式计算即可得到答案．24.【答案】解：(1)∵f(x)=cos2x+2√3sinxcosx−sin2x=cos2x+√3sin2x= 2sin(2x+π6)，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)∵x∈[−π3,π3 ]，∴2x+π6∈[−π2,5π6]，∴sin(2x+π6)∈[−1,1]，f(x)=2sin(2x+π6)∈[−2,2]，∴f(x)在区间[−π3,π3]上的最大值为2，最小值为−2．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)，由周期公式可得；(2)由x的范围逐步可得f(x)的范围，进而利用正弦函数的图象和性质可得最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，涉及函数的周期的求解，属于基础题．25.【答案】解：(1)因为函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12=(cosx+√3sinx)⋅cosx+1 2=cos2x+√3sinxcosx+1 2=1+cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x+π6)+1；∴函数f(x)最小正周期是T=π；当2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；(2)x∈[712π,56π]⇒4π3≤2x+π6≤11π6；所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．【解析】(1)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；(2)由x∈[712π,56π]可得：43π≤2x+π6≤116π，所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．本题主要考查了三角函数的图象和性质，以及三角函数求最值，是中档题．26.【答案】解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T=π，从而ω=2πT=2，又因f(x)的图象关于直线x=π3对称，所以2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z，因为−π2≤φ≤π2，得k=0，所以φ=−π6;(2)由(1)得f(α2)=√3sin(α−π6)=√34，所以sin(α−π6)=14，由，得，所以，因此sin(α+π3)=sin(α−π6+π2)=cos(α−π6)=√154．【解析】本题考查正弦型函数的图象性，考查诱导公式，属于中档题．(1)由函数图象上相邻两个最高点的距离为π求出周期，再利用公式T=2πω求出ω的值，然后由图象关于x=π3对称，求出φ;(2)由(1)及已知求出sin(α−π6)=14，利用同角关系式求出cos(α−π6)=√154，然后由sin(α+π3)=cos(α−π6)求解即可．27.【答案】解：(1)f(x)=12+12cos2x+√32sin2x−12=sin(2x+π6)，∴T=π；(2)依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；设A=[−π4,π4],B=[−π3+kπ,π6+kπ]，易知A∩B=[−π4,π6]，∴当x∈[−π4,π4]时，f(x)在区间[−π4,π6]上单调递增，区间(π6,π4]上单调递减．【解析】(1)化简可得f(x)=sin(2x+π6)，进而求得最小正周期；(2)先求得f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，进而求得f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．本题考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象及性质，考查运算化简能力，属于基础题．28.【答案】解：(1)由题意知，f(x)=2cosx(λsinx−cosx)+sin2x+1=(λ+1)sin2x−2cos2x+1=(λ+1)sin2x−cos2x=√(λ+1)2+1sin(2x−φ)，其中tanφ=1λ+1，由f(x)的最小值为−2，得−√(λ+1)2+1=−2，解得λ=√3−1或λ=−√3−1，∵λ<0，∴λ=−√3−1，∴f(x)=−√3sin2x−cos2x=−2sin(2x+π6 ).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z.(2)∵g(x)=f(x)−k=−2sin(2x+π6)−k在[−π12,π2]上有且仅有一个零点，∴当x∈[−π12,π2]时，y=−k2与y=sin(2x+π6)的图象有且仅有一个交点．当x∈[−π12,π2]时，2x+π6∈[0,7π6]，令t=2x+π6，ℎ(t)=sint，t∈[0,7π6]，则y=−k2与ℎ(t)=sint，t∈[0,7π6]的图象有且仅有一个交点，数形结合可知当−k2∈[−12,0)或−k2=1时符合要求，即k∈(0,1]或k=−2时符合要求，故实数k的取值范围为{k|0<k≤1或k=−2}．【解析】本题主要考查二倍角公式、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数的零点等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．(1)先根据二倍角公式及辅助角公式将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A≠0，ω≠0)的形式，再根据函数f(x)的最小值求实数λ的值，最后根据正弦函数的单调性求函数f(x)的单调递减区间;(2)将g(x)在[−π12,π2]上有且仅有一个零点等价转化为当看答案x∈[−π12,π2]时，y=−k2与y=sin(2x+π6)的图象有且仅有一个交点，然后数形结合即可求解．29.【答案】解：(Ⅰ)由所给图像知：A=2,B=−1,T2=πω=7π−π12⇒ω=2，∴f(x)=2cos (2x+φ)−1，把点(π12,1)代入得：cos (π6+φ)=1，即π6+φ=2kπ,k∈Z，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6，∴f(x)=2cos (2x−π6)−1；由图可知(π3,−1)是其中一对称中心，故所求对称中心坐标为：(π3+kπ2,−1),k∈Z．(Ⅱ)易知g(x)=12f(x−π6)+1=12{2cos [2(x−π6)−π6]−1}+1．化简得g(x)=sin (2x)+12，当x∈[π12,3π4]时，由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z得增区间是：[π12,π4]，由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z得减区间是：[π4,3π4]，故所求求区间为：[π4,3π4]，．当x=π12时，g(x)的值：sin(2×π12)+12=1，当x=π4时，g(x)的值32，当x=3π4时，g(x)的值：sin(2×3π4)+12=−12．故所求最大值为：32;最小值为−12．【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和余弦函数的图象与性质，是中档题．(Ⅰ)由图象可得A，B，周期T可得ω，代入点(π12,1)可得φ，即可得出f(x)的解析式，由图可知(π3,−1)是其中一对称中心，可得对称中心坐标；(Ⅱ)由三角函数图象变换可得g(x)=sin (2x)+12，由三角函数性质可得单调减区间和最值．30.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=2sinxsin(x+π2)，得f(0)=2sin0sinπ2=0；(Ⅱ)∵f(x)=2sinxsin(x+π2)=2sinxcosx=sin2x，∴f(x)的最小正周期为π；(Ⅲ)∵y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，，∵0<φ<π2，∴φ=π4．【解析】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是基础题．(Ⅰ)直接在函数解析式中取x=0求解；(Ⅱ)利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；(Ⅲ)由y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，可得，再结合φ的范围求解．。
高三数学一轮复习 三角函数测试卷(附答案)
高三数学一轮复习 三角函数测试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={|,}2n n Z παα=∈2{|2,}3n n Z ααππ=±∈，B={2|,}3n n Z πββ=∈1{|,}2n n Z ββππ=+∈，则A 、B 之间关系为（ ）A ．AB ⊂B ．B A ⊂C ．B AD ．A B2．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为（ ）A ．(,]()4k k k Z πππ-∈B ．(,]()88k k k Z ππππ-+∈C ．3(,]()88k k k Z ππππ-+∈ D ．3(,]()88k k k Z ππππ++∈3．设角35,6απ=-则222sin()cos()cos()1sin sin()cos ()παπαπααπαπα+--+++--+的值等于 （ ）A ．33B ．－33 C ．3 D ．－34．已知锐角α终边上一点的坐标为（),3cos 2,3sin 2-则α=（ ）A ．3-πB ．3C ．3－2π D ．2π－3 5．函数[]sin ,,y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ ）6．下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（6π,0）对称这两个性质的是（ ）A. y ＝cos （2x ＋6π） B ．y ＝sin （2x ＋6π） Ｃ．y ＝sin （2x ＋6π）Ｄ．y ＝tan （x ＋6π） 7．已知cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是（ ）A ．4πB ．2πC ．8D ．48．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=9. 若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为 （ ） A. 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 22,ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. {}22,ππ-10．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 时取得最大值21，π94=x 时取得最 小值－21，则该函数解析式为 （ ）A ．)63sin(2π-=x y B ．)63sin(21π+=x yC )63sin(21π-=x yD ．)63sin(21π-=x y 11．.函数)0(tan )(>=w wx x f 的图象的相邻两支截直线4π=y 所得线段长为4π，则)4(πf 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．4π 12．函数],[)0)(sin()(b a x M x f 在区间>+=ωϕω上为减函数，则函数],[)cos()(b a x M x g 在ϕω+=上（ A ）A ．可以取得最大值MB ．是减函数C ．是增函数D ．可以取得最小值－M二、填空题：本大题共4小题，把答案填在题中横线上．13．已知cos sin 2αα-=,这sin cos αα-的值为14．在区间[2,2]ππ-上满足sin sin 2xx =的x 的值有 个15．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若(2001)1,f =则(2005)f = .16．设函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，给出以下四个论断：①它的图象关于直线12x π=对称； ②它的图象关于点(,0)3π对称；③它的周期是π； ④在区间[,0)6π-上是增函数。
(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析
三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件 方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀 心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。
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第一轮复习三角函数专题
一、选择题（每题5分共60分）
1 ．sin600=。
（）
A．
1
-
2
B．
1
2
C
．
3
-
2
D．
3
2
2 ．已知0
ω>,函数()sin()
4
f x x
π
ω
=+在(,)
2
π
π上单调递减.则ω的取值范围是（）A．
13
[,]
24
B．
15
[,]
24
C．
1
(0,]
2
D．(0,2]
3 ．把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,
再向下平移1个单位长度,得到的图像是
4 ．设tan,tan
αβ是方程2320
x x
-+=的两个根,则tan()
αβ
+的值为（）A．1B．1-C．3-D．3
5 ．若
42
ππ
θ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，,
37
sin2=
8
θ,则sinθ=（）A．
3
5
B．
4
5
C．
7
4
D．
3
4
6 ．已知sin cos2
αα
-=,α∈(0,π),则tanα=（）A．-1 B．
2
2
-C．
2
2
D．1
7．若tanθ+
1
tanθ
=4,则sin2θ=（）A．
1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
8．设R
ϕ∈,则“=0
ϕ”是“()=cos(+)
f x xϕ()
x R
∈为偶函数”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9.要得到函数=cos2
y x的图象，只需将函数=sin(2-)
3
y x
π
的图象（）
A ．向左平移
56π
个单位长度 B ．向左平移
512π
个单位长度
C ．向右平移512π
个单位长度
D ．向右平移56
π
个单位长度
10．sin 43cos13-sin13sin 47。
= （ ）
A ．1-2
B ．
12
C
．-
2
D
．
2
11．下列函数中，周期是2
π
的偶函数的是 （ ） A ．y=sin 4x B ．22
y=sin 2-cos 2x x C ．y=tan2x
D ．y=cos2x
12.已知
1+sin 1=-cos 2x x ，那么cos =sin -1
x
x （ ） A ．1
-2
B ．12
C ．2
D ．-2
二、填空题（每题5分共20分） 13．函数()sin(2)4
f x x π
=+
的最小正周期为_______.
14．函数f(x)=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图
像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. 若6
π
ϕ=,点P 的坐标为
则ω=______ ;
15．
当函数sin (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =_______________.
16.函数2
f(x)=2cos x+sin 2-1x ，给出下列四个命题（1）函数f(x)在区间5,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数。
（2）直线=8
x π
是函数f(x)的图象的一条对称轴。
（3）函数f(x)
的图象可以由函数2y x 的图象向左平移
4π
个单位得到。
（4）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
则函数f(x)
的值域是⎡⎣，其中正确的命题是__________
三、解答题
17．（18分）已知函数
2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(1)求函数()f x 的最小正周期及对称中心 （2）求函数()f x 的减区间及对称轴 (3)求函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上的最大值和最小值.
18．（18分）函数
()sin()16
f x A x π
ω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离
为
2
π, (1)求函数()f x 的解析式; （2）解不等式()f x 1.5≥ (3)设(0,
)2π
α∈,则()22
f α
=,求α的值.
19．（12分）已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3
A
m x n x x A ==>u r r ,函数()f x m n =⋅u r r 的最大值为6.
(Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移ϕ个单位（0<ϕ<2
π
）,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来
的1
2
倍,纵坐标不变,得到偶函数函数()y g x =的图象.求ϕ的值
20．（12分）已知函数f(x)=sinx+sin cos(x+
)-32
x π
（1） 求()f x 值域 （2） 当5-,46x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦时求()f x 值域。