2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高二上学期数学期中试卷带解析(理科)

2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a22．（5分）若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则f（x）与g（x）的大小关系是（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）=g（x）C．f（x）＜g（x）D．随x的值的变化而变化3．（5分）在下面选项中，是x2﹣y2＜0表示的平面区域是（）A． B． C． D．4．（5分）不等式x2﹣ax﹣12a2＜0（a＜0）的解集是（）A．（﹣3a，4a）B．（4a，﹣3a）C．（﹣3，4）D．（2a，6a）5．（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值6．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤57．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤348．（5分）从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1件次品与至多有1件正品B．至少有1件次品与都是正品C．至少有1件次品与至少有1件正品D．恰有1件次品与恰有2件正品10．（5分）有一农场种植一种水稻在同一块稻田中连续8年的年平均产量如下：（单位：kg）450 430 460 440 450 440 470 460；则其方差为（）A．120 B．80 C．15 D．15011．（5分）在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．11111（2）12．（5分）下列四个命题中正确命题的个数是（）（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08（4）若实数x，y∈[﹣1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）228与1995的最大公约数是．14．（5分）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为．15．（5分）在下列电路图所示中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件．16．（5分）已知x＞0，y＞0，+=2，则2x+y的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[，2]}，B={x|x+m2≥1}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18）内频数为8．求：（1）求样本容量；（2）若在[12，15）内的小矩形面积为0.06，求在[12，15）内的频数；（3）求样本在[18，33）内的频率．19．（12分）已函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）若对任意x∈R，f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：若由资料知y对x呈线性相关关系．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？22．（12分）已知关于x的方程（m+1）x2+2（2m+1）x+1﹣3m=0的两根为x1，x2，若x1＜1＜x2＜3，求实数m的取值范围．2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a2【解答】解：∵a＜b＜0，∴a2＞ab，ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故选：B．2．（5分）若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则f（x）与g（x）的大小关系是（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）=g（x）C．f（x）＜g（x）D．随x的值的变化而变化【解答】解：由题意可得：f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1所以f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，所以f（x）＞g（x）．故选：A．3．（5分）在下面选项中，是x2﹣y2＜0表示的平面区域是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式x2﹣y2＜0等价于（x+y）（x﹣y）＜0，等价于不等式组或，结合选项可得D．故选：D．4．（5分）不等式x2﹣ax﹣12a2＜0（a＜0）的解集是（）A．（﹣3a，4a）B．（4a，﹣3a）C．（﹣3，4）D．（2a，6a）【解答】解：x2﹣ax﹣12a2＜0，因式分解得：（x﹣4a）（x+3a）＜0，可化为：或，∵a＜0，∴4a＜0，﹣3a＞0，解得：4a＜x＜﹣3a，则原不等式的解集是（4a，﹣3a）．故选：B．5．（5分）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确．由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C正确．∵a2+b2 =（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a2+b2有最小值，故D不正确．故选：C．6．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．7．（5分）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选：C．8．（5分）从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数．故两数积是完全平方数的概率为=，故选：A．9．（5分）有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1件次品与至多有1件正品B．至少有1件次品与都是正品C．至少有1件次品与至少有1件正品D．恰有1件次品与恰有2件正品【解答】解：A、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．B、至少有1件次品与都是正品是对立事件，故不满足条件．C、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．D、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件，但不是对立事件，因为除此之外还有“两件都是次品”的情况，故满足条件．故选：D．10．（5分）有一农场种植一种水稻在同一块稻田中连续8年的年平均产量如下：（单位：kg）450 430 460 440 450 440 470 460；则其方差为（）A．120 B．80 C．15 D．150【解答】解：∵这组数据的平均数是=450∴这组数据的方差是）=150故选：D．11．（5分）在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．11111（2）=8×9+5=77；【解答】解：85（9）210（6）=2×62+1×6=78；1000（4）=1×43=64；11111（2）=24+23+22+21+20=31．最大，故210（6）故选：B．12．（5分）下列四个命题中正确命题的个数是（）（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08（4）若实数x，y∈[﹣1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于（1），命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0的否定是￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；∴命题（1）错误．对于（2），∵直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直时，m（m+3）﹣6m=0，即m=0或m=3，∴m=3不是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件；∴（2）错误．对于（3），∵回归直线=bx+a的斜率的值为1.23，直线过样本点的中心（4，5），∴a=0.08，∴回归直线方程是=1.23x+0.08；命题（3）正确．对于（4），如图，；当实数x，y∈[﹣1，1]时，则满足x2+y2≥1的概率；∴命题（4）错误．综上，以上正确的命题是（3）；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）228与1995的最大公约数是57．【解答】解：∵1995÷228=8…171，228÷171=1…57，171÷57=3，∴228与1995的最大公约数是57，故答案为：57．14．（5分）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为16．【解答】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，所以三年级的学生数为；2000﹣373﹣377﹣380﹣370=500人，所占比例为所以应在三年级抽取的学生人数为64×=16故答案为：1615．（5分）在下列电路图所示中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件．【解答】解：（1）当A闭合时，B灯一定亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分但不必要条件．（2）当A闭合时，B灯不一定亮；而B亮时，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件．（3）当A闭合时，B灯一定亮；而B亮时，A必闭合，所以A是B的充要条件．（4）当A闭合时，B灯不一定亮；而B亮，A也不一定闭合，所以，A是B的既不充分也不必要条件．故答案为充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要．16．（5分）已知x＞0，y＞0，+=2，则2x+y的最小值为4．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=2，∴2x+y=（+）（2x+y）=（4+++）≥（4+2）=4，当且仅当y=2x=2时取等号．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知集合A={y|y=x2﹣x+1，x∈[，2]}，B={x|x+m2≥1}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：y=x2﹣x+1=（x﹣），当x∈[，2]时，，即A=[]，B={x|x+m2≥1}={x|x≥1﹣m2}，若命题p是命题q的充分条件，则A⊆B，即，∴m，解得m或m．∴实数m的取值范围是m或m．18．（12分）如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18）内频数为8．求：（1）求样本容量；（2）若在[12，15）内的小矩形面积为0.06，求在[12，15）内的频数；（3）求样本在[18，33）内的频率．【解答】解：（1）∵在[15，18）内频数为8．而在这一个范围中频率是=∴∴n=50；（2）∵在[12，15）内的小矩形面积为0.06，即这组数据的频率是0.06，∴在[12，15）内的频数是0.06×50=3；（3）∵在[15，18）内频数为8，在[12，15）内的频数是3，样本容量是50，∴样本在[18，33）内的频数是50﹣3﹣8=39∴样本在[18，33）内的频率是=0.7819．（12分）已函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）若对任意x∈R，f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）①当x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1﹣x+3=﹣2x+2；②当﹣1＜x＜3时，f（x）=x+1+3﹣x=4；③当x≥3时，f（x）=x+1+x﹣3=2x﹣2．∴f（x）=∴y=f（x）的图象如图所示．（2）由（1）知f（x）的最小值为4，则对任意x∈R，f（x）≥a2﹣3a恒成立等价为a2﹣3a≤4恒成立，即a2﹣3a﹣4≤0，即（a﹣4）（a+1）≤0，解得﹣1≤a≤4．故实数a的取值范围为[﹣1，4]．20．（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解答】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是21．（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：若由资料知y对x呈线性相关关系．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【解答】解：（1）做出图象，如图所示：；（2）由上表得：==4，==5，=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3，=22+32+42+52+62=90，∴ξ===1.23，则=﹣ξ=1.23x+0.08；（3）由（2）得：=1.23x+0.08，把x=10代入得：ξ=1.23×10+0.08=12.38，则使用年限为10年时，维修费用是大概为12.38万元．22．（12分）已知关于x的方程（m+1）x2+2（2m+1）x+1﹣3m=0的两根为x1，x2，若x1＜1＜x2＜3，求实数m的取值范围．【解答】解：方程（m+1）x2+2（2m+1）x+1﹣3m=0的两根为x1，x2，∴m+1≠0，令f（x）=（m+1）x2+2（2m+1）x+1﹣3m，∵两根为x1，x2，且x1＜1＜x2＜3，①当m+1＞0时，即m＞﹣1，且f（1）•f（3）＜0，f（1）=m+1+2（2m+1）+1﹣3m＜0，解得：m＜﹣2 f（3）=9（m+1）+6（2m+1）+1﹣3m＞0，解得：m 此时m无解．②当m+1＜0，即m＜﹣1．且f（1）•f（3）＜0，f（1）=m+1+2（2m+1）+1﹣3m＞0，解得：m＜﹣2 f（3）=9（m+1）+6（2m+1）+1﹣3m＜0，解得：m 则此可得：﹣2＜m＜﹣1．故得实数m的取值范围时（﹣2，﹣1）．。