第六章付里叶变换1

第二节 周期信号的傅里 叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数 1、一种三角函数形式的傅里叶级数
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 T1 , 角频率1 ） T1
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n 1

其中基波——角频率为1的分量; n次谐波——角频率为n1的分量
1 t0 T1 1 T1 直流分量：a0 t0 f (t )dt 0 f (t )dt T1 T1 2 t0 T1 其中 余弦分量幅度：an f (t ) cos(n1t )dt t0 T 1 2 t0 T1 f (t ) sin(n1t )dt 正弦分量幅度：bn t T1 0 n 1, 2,...
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
T1 T1 为了积分方便，通常取积分区间为： 0 ~ T1或 ~ 2 2
三角函数集是一组完备函数集。
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t) 展开为常用形式
f (t ) c0 cn cos(n1t n ) 或
n 1
f (t ) d 0 d n sin(n1t n )
第六章 傅里叶变换
本章的主要内容：
1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理
第一节 引言

0
w1 3w1
nw1
w
二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 T1 , 角频率1 ） T1
则其可展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
F (n )e
1

jn1t
2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
1 t0 T1 jn1t 记 Fn f (t )e dt 复函数：F (n1 ) t0 T 1 其中 n ~ 直流分量：F0 c0 a0
Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
双边频谱图：Fn ~ n1 复函数幅度谱，
Fn
c0 1 c 1 21 c2 2
nw1
n ~ n1 复函数相位谱
具有离散性、谐波性、收敛性 （负频率的结果仅是数学处理）
Fn
nw1
w1 0 w1
n
w
幅度谱与相位谱合并
c0 1 c 1 21 c2 2
• 但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方
•
•
• • • •
法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里 叶分析这一数学工具增添了新的生命力。 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中， 而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关 数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。 本章讨论的路线： 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概念； 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分 析方法的应用。 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变 换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定 理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。
1 t0 T1 2 方均误差：En (t ) N (t )dt T1 t0
2 N
其中 N (t ) f (t ) S N (t ) (为逼近f(t)的误差函数）
例子
以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对 原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。
解：其傅里叶级数表达式为：
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值； t0 T1 f (t ) dt 一周期内绝对可积， t 0
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
4、基波、谐波
1 w1 通常把频率为f1 称为基波 T 1 2 2 2w1 频率为2f1 称为二次基波 T 1 2 3 3w1 频率为3f1 称为三次基波 T 1 2
T1 f (t ) f (t ) 2
2 n 2 n
a0 0
n为偶，an bn 0 4 T21 n为奇，an f (t ) cos(n1t )dt T1 0 4 T21 bn f (t ) sin(n1t )dt T1 0
1 c0 a0 0, cn a ＋b , Fn cn 2 bn n arctg an
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2 E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
f (t )
T1 2
sin( w1t )
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
t

T1 2
0
E 2
T1 2
t
cos( w1t )
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。 显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有 限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
有限项傅里叶级数： S N (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n 1 N
例如：周期锯齿波信号
f (t )
E 2
T1 2 T1 2
1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0 1 c0 a0 0, cn bn , Fn F n bn 2j
n 90
其傅里叶级数三角展开式中 仅含正弦项，
0
E 2
t
其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为纯虚函数。
2

n
F

2
n
帕塞瓦尔定理
时域与频域的能量守恒： 任意周期信号f(t)的平均功率 P 等于其傅里叶级数展开式中 各谐波分量有效值的平方和
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
1.函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实 函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶 级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比 较简单。 波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。
n 1
c0 d 0 a0 2 2 其中 cn d n a n bn bn an arctg , arctg n n a bn n
3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
2.傅里叶级数的系数求解
(1)偶函数信号
1 4 T 1)偶函数信号：an 2 f (t ) cos(n1t )dt T1 0
f (t )
f ( t ) bn 0
例如：周期三角波信号
an cn an , Fn F n 2 n 0
f (t )
E
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项， 其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为实函数。
f (t )
E 2
T1 4
2E 1 1 cos( w t ) cos( 3 w t ) cos( 5 w t ) 1 1 1 3 5
f (t )
T1 4
2E
f (t )
cos( w1t )
T1 4 T1 4

0
E 2
t
只取基 波分量 一项
0
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。

T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )