七年级数学相交线中的角
华师大版七年级数学上5..同位角、内错角、同旁内角教学课件
dc
1
c
ห้องสมุดไป่ตู้
2
（2）b
a
3
1
2
c
(3)
a
1
b2 (4)
同位角
同位角、内错角、同旁内角
课后作业
a b c 3、(1)∠1和∠2是直线
和直线
被直线
所截得到的 同 位 角
cd
a b d (2)∠3和∠4是直线
和直线
被直线
所截得到的 内 错 角
6 15
3a
2
4b
c d a (3)∠1和∠5是直线
和直线
被直线
所截得到的 同 旁 内 角
4 5
图中还有其它的同旁内角吗？若有，请你找出来.
A
2
E 1
34
65
C
78
4 5
B
同旁内角是 U 形状
D
3 6
总结归纳
截线 被截直线 同位角 同一侧 同一方 内错角 两侧 之间 同旁内角 同一侧 之间
结构 特征
F Z U
课堂练习
1、如图，直线a截直线b，c 所得的
同位角有 4 对，它们是___∠_1_与__∠_3_、__∠_2_与__∠_4_、_____
A
D
B
C
5、如图，(1)直线AD、B C被直线 AC所截，找出图中由AD、BC被直 线AC所截而成的内错角是 _________和__________ (2）∠3和 ∠4是直线_________和 _________被_________所截，构成 内错角.
6、看图填空： （1）若ED，BF被AB所截， 则∠ 1与 ∠2 是同位角； （2）若ED，BC被AF所截， 则∠3与 ∠4 是内错角；
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。
其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。
人教版七年级数学下册 5.1.1相交线 课件(共18张PPT)
变式2：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？ 解:设∠1=x°,则∠2=3x°
根据邻补角的定义,得 x+3x=180 所以 x=45 则∠1=45°
根据对顶角相等,可得 ∠3=∠1=45°
今天我们学了什么？
邻补角、对顶角概念 邻补角、对顶角性质
今天我们学了什么？
两直线相交
C
2
B
1
3
4
A
D
位置 特征
1、两直线相交，形成小于平角的角有哪几个？
2、以∠1和∠2为例分析这两个角存在怎样的
位置关系和大小关系？像这样的角还有哪些？
3、以∠1和∠3为例分析这两个角存在怎样的
位置关系？像这样的角还有哪些？
C
2
B
1 o3
4
A
D
动手画出两条相交直线
1、两条直线相交，形成的小于平角的角
有哪几个？
C
2
B
1
o3
4
A
1 2
（1）不是
1 2
（2） 是
1 2
（3） 不是
1
2
（4） 不是
2 1
（5）是
7、你能得到对顶角∠1和∠3的大小关系吗？
C
2
B
动动手：（1）、用量角器测
1
o3
量对顶角∠1和∠3，比较他们
4
的大小
A
D
（2）将对顶角∠1和∠3
进行翻折，比较它们的大小？
4、你能得到对顶角∠1和∠3的大小关系吗？
猜猜看：若直线CD绕点O转 C
例、如图,直线a、b相交，∠1=40°,求
∠2、∠3、∠4的度数。
b
解：由邻补角的定义可知 ∠2=180°-∠1
人教版初中数学七年级下-相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O1243A BCDO⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。
如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。
PO 是垂线段。
人教版七年级数学下册相交线,垂线(基础)知识讲解
相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最长。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角成正比，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。
(一)正负数1.正数：大于0的数。
2.负数：小于0的数。
3.0即不是正数也不是负数。
4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。
如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。
3.分数：正分数、负分数。
(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。
数学人教版七年级下册2.1 角、相交线与平行线
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
考纲解读 命题解读
了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离.理解角的概念及表示,能正确地进行 角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.理解角的平分线及 其性质以及补角、余角、对顶角的概念,理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的 性质.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,理解线段的 垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的 平分线.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证 明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.了解两条平行 线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.
判定两条直线平行时,同位角、内错角是相等关系,而同旁内角是互补关系,不能混淆. 4.平行线间的距离. (1)定义:过一条平行线上的一点,向它的另一条平行线作垂线,垂线段的 两条平行线间的距离. (2)性质:平行线间的距离 处处相等 .
长度
,就是这
名师考点精讲
考点扫描 综合探究 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
【答案】 C
名师考点精讲
考点扫描 综合探究 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
【变式训练】(2016· 辽宁大连)如图,直线AB∥CD,AE平分∠CAB,AE与CD相交于点 E,∠ACD=40°,则∠BAE的度数是 ( B )
A.40° C.80°
B.70° D.140°
【解析】∵AB∥CD,∴∠ACD+∠BAC=180°,∵∠ACD=40°,∴∠BAC=180°-40°=140°,∵AE平分 ∠CAB,
性质 条件 两直 线平 行
七年级数学《相交线中的角》课件
（3）∠3与∠4是直线
_B__C_和 EF__被直线
E
4
_D_E__所截而得的_内__错__角__.
D 2
C
F
（5）∠4与∠5是直
A
线__B_C_和__E_F_被直
线_D__E_所截而得的 B 1
同__旁__内__角___.
35 4
E
D 2CBiblioteka F拓展提高图中，∠1与哪个角是内错角？ ∠1 与哪个角 是同旁内角？
相交线中的角
一、问题情景(图片1）
图片2
m
a
直线a、 b被直线 m所截，
直线m是截线，直 线a、 b是被截线.
b
m
12
b
43
56
87
a
二、互动游戏
比赛规则：
看谁能赢
老师先放一个棋子，两位选手按
要求放棋子，看谁放得既快又准，谁
就赢。
m
互动游戏1：与老师
的棋子颜色相同,并且
b
与老师的棋子既在直
2、方法： 先看两个角四条边是否只涉及 到三条直线。再看角的位置特征，顺藤 摸瓜
七、作业：
课本：习题 p166 2、3
谢谢各位 ，再见啦！
本 课 到 此 结 束
要求放棋子，看谁放得既快又准，谁
就赢。
m
互动游戏３：与老师
的棋子颜色相同,并且
b
与老师的棋子既在直
线m的同一侧，又在
a
直线a与直线b的之间
。
两条直线被第三条直线所截，
同位角：位于两直线的同一方 第三直线的同一旁。
如∠ 1与∠ 5、∠2与 ∠ 6、 b
m
12
43
七上数学角的知识点
七上数学角的知识点一、角的定义角是由两条射线或两条线段所围成的图形，其中的两条射线或线段称为角的两边，它们的公共端点称为角的顶点。
角可以用字母或数字来表示，常用的表示方法有∠ABC、∠1、∠α等。
二、角的度量角的度量可以用度（°）或弧度（rad）来表示。
其中，度是角度的单位，以圆周等分之一等分为一度。
而弧度是角度的另一种度量单位，它是以圆的半径等分弧长所得的。
三、角的分类根据角的大小，可以将角分为三类：1. 锐角：角的度数小于90°，即0°<∠ABC<90°。
2. 直角：角的度数等于90°，即∠ABC=90°。
3. 钝角：角的度数大于90°，即90°<∠ABC<180°。
四、角的比较当两个角的度数相等时，它们互为相等角。
当一个角的度数小于另一个角的度数时，我们可以说这个角是另一个角的角的小角；反之，这个角是另一个角的角的大角。
五、角的平分线角的平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线段。
平分线将角分成两个互为相等角的部分，平分线上的点是角的顶点和平分线的交点。
六、互余角和补角1. 互余角：两个角的度数之和等于90°时，这两个角互为互余角。
例如，∠ABC=30°，那么∠DBC=60°。
2. 补角：两个角的度数之和等于180°时，这两个角互为补角。
例如，∠ABC=60°，那么∠DBC=120°。
七、角的性质1. 对顶角：共享一个顶点、一条公共边且分别位于两条相交线的两侧的两个角互为对顶角。
对顶角一定相等，即∠ABC=∠DBE。
2. 余角：两个角的和等于90°时，这两个角互为余角。
例如，∠ABC=30°，那么∠DBE=60°。
3. 同位角：两条直线被一条截线所交，截线所分成的两个相邻角或一对对顶角互为同位角。
人教版七年级下数学第五章 相交线与平行线 知识点+考点+典型例题
第五章相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b 是平行线，可记作“a∥b”7．平行公理及推论（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）（6）在同一平面内．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。
11.平移的定义及特征定义：将一个图形向某个方向平行移动，叫做图形的平移。
特征：①平移前后的两个图形形状、大小完全一样；②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典型例题】考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等例1：判断下列说法的正误。
华东师大初中七年级上册数学《相交线与平行线》全章复习与巩固(提高)知识讲解[精选]
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《相交线与平行线》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解平移的概念及性质.【知识网络】【要点梳理】要点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α＝∠β；反之如果∠α＝∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β＝180°；反之如果∠α+∠β＝180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，对顶角有一个.2.垂线及性质、距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB ⊥CD，垂足为O.要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.要点二、平行线1．平行线判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB 与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、图形的平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线1.（2015•凉山州一模）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…（1）10条直线交于一点，对顶角有对．（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有对．【答案与解析】解：（1）如图①两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…；按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90，故答案为：90；（2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）．故答案为：n（n﹣1）．【总结升华】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．2.直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝40°，求∠BOD的度数. 【答案与解析】解：分两种情况.第一种：如图1，直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角，∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°.∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°.∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50°第二种：如图2，直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角，∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°.∵∠COE＝40°,∴∠AOC＝90°+40°＝130°，∴∠BOD＝∠AOC＝130°.【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一种情况为∠BOD是锐角，第二种情况是∠BOD是钝角.此外关于两条直线相交，应想到邻补角、对顶角的定义及性质.举一反三：【变式】（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.类型二、平行线的性质与判定3.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系．【答案与解析】解：过E点作EF∥AB，因为AB∥CD(已知)，所以EF∥CD．所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)．又因为∠D＝∠2(已知)，所以∠4＝∠2(等量代换)．同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)，所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠BED＝90°．故BE⊥DE．【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的．举一反三：【变式1】已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是(). A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDEB．∠BED＝∠ABE-∠CDEC．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDED．∠BED＝∠CDE-∠ABE【答案】C （提示：过点E作EF∥AB）【变式2】如图，两直线AB、CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝.【答案】900°4.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB∥GF.【答案与解析】证明：如图，过点C做CK∥FG，并延长GF、CD交于点H，∵ CD∥EF （已知），∴∠CHG＝∠1(两直线平行，同位角相等）.又∵ CK∥FG，∴∠CHG＋∠2＋∠BCK＝180°（(两直线平行，同旁内角互补）.∴∠1＋∠2＋∠BCK＝180°（等量代换）.∵∠1＋∠2＝∠ABC（已知），∴∠ABC＋∠BCK＝180°（等量代换）.∴ CK∥AB（同旁内角互补，两直线平行）.∴ AB∥GF（平行的传递性）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.类型三、图形的平移5.（吉林）如图所示，把边长为2的正方形的局部进行图①～④的变换，组成图⑤，则图⑤的面积是()A．18 B．16 C．12 D．8【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤面积可求．【答案】B【解析】图①到图②是将一个等腰三角形由下方平移到上方．图③到图④是将右边的小长方形平移到左侧，所以图④中阴影部分的面积与边长为2的正方形的面积是相等的，图⑤是由4个图④组成的，所以图⑤的面积是4×4＝16．【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变.类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGF＝180°－∠DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为AD∥BC（已知），所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.所以∠EGF＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）. 【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）．A．60° B．30° C．45° D．90°【答案】C。
七年级数学下册知识点归纳
七年级数学下册知识点归纳第五章相交线与平行线5.1 相交线一、相交线两条直线相交，形成4个角。
1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
如：∠1、∠2。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。
如：∠1、∠3。
③对顶角相等。
二、垂线1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1．同位角：（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如：∠1和∠5。
2．内错角：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如：∠3和∠5。
3．同旁内角：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如：∠3和∠6。
5.2 平行线及其判定(一) 平行线1.平行：两条直线不相交。
互相平行的两条直线，互为平行线。
a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
）2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
七年级数学角的计算公式
七年级数学角的计算公式
我们要了解七年级数学中关于角的计算公式。
首先，我们要明确什么是角。
角是由两条射线从一个公共端点开始并延伸到无限远所形成的几何图形。
在数学中，我们经常需要计算角的大小，或者将一个角分解为其他几个角。
1. 角的和与差:
如果两个角是相等的，我们可以用以下公式来计算它们的和或差：
$\text{角度1} + \text{角度2} = 180^\circ - \text{夹角}$
$\text{角度1} - \text{角度2} = \text{夹角}$
2. 角的补角:
两个角的和为90°时，我们称这两个角为补角。
$\text{补角} = 90^\circ - \text{角度}$
3. 角的倍角和半角:
$\text{倍角} = 2 \times \text{角度}$
$\text{半角} = \frac{1}{2} \times \text{角度}$
4. 角的余角:
两个角的和为180°时，我们称这两个角为余角。
$\text{余角} = 180^\circ - \text{角度}$
这些是七年级数学中关于角的计算的基本公式。
通过这些公式，我们可以解决许多与角相关的数学问题。
七年级下册数学相交线与平行线知识点
七年级下册数学相交线与平行线知识点七年级下册数学相交线与平行线知识点文字像精灵，只要你用好它，它就会产生让你意想不到的效果。
所以无论我们说话还是作文，都要运用好文字。
只要你能准确灵活的用好它，它就会让你的语言焕发出活力和光彩。
下面，店铺为大家分享七年级下册数学相交线与平行线知识点，希望对大家有所帮助！七年级下册数学相交线与平行线知识点篇11.平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________2.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
P3例；P82题；P97题；P352(2)；P353题3.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
4.垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足5.做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。
6.做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。
7.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
8.垂线段最短；9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
10.两条直线被第三条直线所截：同位角F(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧),内错角Z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)，同旁内角U(在两条直线内部，位于第三条直线同侧)。
P7例、练习111.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
12.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//cP174题13.平行线的判定。
P15例结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
P15练习；P177题；P368题。
七年级下册第一单元相交线的知识点
七年级下册第一单元相交线的知识点
1. 相交线：只有一个公共点的两条直线，叫相交线。
2. 邻补角：两条直线相交，有一条公共边，且另一条边互为反向延长线的两个角叫邻补角。
两直线相交所成的四个角中存在两对邻补角。
3. 对顶角：两条直线相交，一个角两边与另一个角两边互为反向延长线的两个角叫对顶角。
两直线相交，有2对对顶角。
对顶角相等。
4. 垂线：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角时，这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
垂线的性质包括过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，以及连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
另外，垂线是一条直线，具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90度，垂直是相交的特殊情况。
垂线的画法可以通过已知直线和一点，利用直角三角板来画出。
以上知识点是七年级下册第一单元相交线的主要内容，通过学习这些知识点，学生可以更好地理解直线之间的位置关系，为后续学习打下基础。
2022-2023学年七年级数学下册课件之相交线 第四课时(人教版)
l
知识点 1 同位角
如图，直线AB，CD 与EF 相交(也可以说两条直线AB，CD 被 第三条直线EF 所截)，构成八个角. 我们看那些没有公共顶点的两个
角的关系.
同位角
1、都在被截直线AB、CD
没 有
A
公
共
顶
点
E 2
34
的__同__一__方__(_上__方___)_.
5.1 相交线
第4课时
两条直线相交，只有一个交点，产生四个角，如图:
直线AB 与CD 相交于点O，得到∠1，∠2，∠3，∠4，
在这些角中，哪些是相等的？哪些是互补的？
两条直线相交产生四个角，若两条直a、b 被同一平面内的第三条 直线 l 所截,则又可得到几个角呢？这几个角之间又存在哪些关系呢？这
解：∠1没有同位角，∠1的内错角是∠2，∠1的同旁内角有∠6，
∠7，∠ABC.
易错点：对三种角的定义理解不透彻而漏解.
1 如图，图中共有( B )对同位角． A．2 B．4 C．6 D．8
2 在我们常见的英文字母中，也存在着同位角、内错角、同旁内角， 在下面几个字母中，含有内错角最少的字母是( C )
2、在截线EF的
_两__侧__(_交__错__)_.
我们把具有∠3和 ∠5这种位置关系 的角叫内错角.
例2 如图，试找出图中与∠2是同位角、内错角的角．
导引：在AF 和AG 被DE 所截的这个基本图形中，可以
看出∠6和∠2处于“同一个位置”，因此， ∠2的同位角为∠6，∠2和∠8是内错角． 解： ∠2的同位角为∠6，∠2的内错角为∠8.
“三线”的条件，故选项B中的∠1与∠2不是同位角；其他A，C，D三项 中的∠1，∠2均满足同位角的条件，故选B.
初一数学基础知识点梳理
初一数学基础知识点梳理（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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青岛版初中数学七年级下册相交线、对顶角解读
青岛版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！青岛版初中数学和你一起共同进步学业有成！相交线、对顶角解读【基础知识精讲】 1．对顶角的定义：两条直线相交所得的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角，叫做对顶角.对顶角的特征是两个角有公共顶点，两边互为反向延长线.对顶角是成对出现. 2．邻补角的定义：两条直线相交所得的四个角中，有公共顶点，且有一条公共边的两个角，叫做邻补角.邻补角的特征是两个有一条公共边，另一条边互为反向延长线.邻补角是特殊位置的两个互补的角. 3．对顶角的性质：对顶角相等.【重点难点解析】 1．重点是对顶角定义和性质；难点是掌握对顶角的概念. 2．关于对顶角的定义应注意，只有当两条直线相交时，才能产生对顶角；对顶角是成对出现的，对顶角是对特殊位置关系的两个角而言的. 3．关于对顶角的性质，要注意不要与对顶角的定义混淆.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，反之，如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角. 4．邻补角是既互补又相邻的两个角，既考虑两个角的大小关系，又考虑两个角的位置关系.如果两个角互为邻补角，那么这个角一定互补，反之，两个角互补，这两个角不一定互为邻补角.一个角的补角有很多个，但一个角的邻补角只能有两个. 例1 如图中，直线AB和CD相交于O，∠DOE是直角，写出下列两角之间的名称： ∠3和∠4叫做；∠2和∠4叫做；∠2和∠3叫做；∠4和∠1叫做. 解析：∠3和∠4为邻补角；∠2和∠4为对顶角；∠2和∠3为邻补角；∠4和∠1互为余角. 例2 如图，已知直线AB、CD、EF相交于O，∠1=15°，∠2=95°，求∠3的度数. 解析：∵∠DOF=∠1=15°（对顶角相等） ∠2=95°（已知） ∴∠3=180°-∠2-∠DOF（平角定义） =180°-95°-15°=70°。
人教版七年级数学重点强化专题1：相交线所成的角度计算含答案
重点强化专题1：相交线所成的角度计算一、对顶角和邻补角的性质 l ．（2017静海）如图，直线AB ，CD ，EF 交于点O ，则∠1＋∠2＋∠3等于 ．321F E O D CBA2．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，若∠EOC ：∠EOD ＝2：3，则∠BOC 的度数是 ．E ODCBA3．如图，直线AB ，CD 交于点O ，则∠BOD 的度数是 ．2x 0+4003x 0O DCBA4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝80°，OE 把∠BOD 分成两部分，且∠BOE ：∠EOD ＝1：3，则∠COE 的度数是 ．E ODCBA二、垂线的性质 5．（2017平谷）扭如图，AB 交CD 于点O ，OE ⊥A B ． （1）若∠EOD ＝30°，则∠AOC 的度数是 ； （2）若∠AOC ：∠BOC ＝2：3，求∠EOD 的度数．EO DCBA6．已知OA ⊥OB ，OE 平分∠AOB ，过点O 引射线OC ，OF 平分∠BO C ． （1）如图1，若∠AOC ＝60°，则∠EOF 的度数是 3 ；（2）如图2，若∠AOC ＝α （0°＜α＜90°），则∠EOF ＝12α （用含α的式子表示）； （3）如图3，当∠AOC 在∠AOB 的外部时，若∠AOC ＝α（0°＜α＜90°），探究∠EOF 与α之间的数量关系并说明理由．FEOC BAFEOC BABFECO A图1 图2 图3重点强化专题1：相交线所成的角度计算一、对顶角和邻补角的性质 l ．（2017静海）如图，直线AB ，CD ，EF 交于点O ，则∠1＋∠2＋∠3等于 180° ．321F E O D CBA2．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，若∠EOC ：∠EOD ＝2：3，则∠BOC 的度数是 144° ．E ODCBA3．如图，直线AB ，CD 交于点O ，则∠BOD 的度数是 60° ．2x 0+4003x 0O DCBA4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝80°，OE 把∠BOD 分成两部分，且∠BOE ：∠EOD ＝1：3，则∠COE 的度数是 120° ．E ODCBA二、垂线的性质 5．（2017平谷）扭如图，AB 交CD 于点O ，OE ⊥A B ． （1）若∠EOD ＝30°，则∠AOC 的度数是 60° ； （2）若∠AOC ：∠BOC ＝2：3，求∠EOD 的度数．EO DCBA解：（1）∠AOC ＝60°； （2）∠EOD ＝18°．6．已知OA ⊥OB ，OE 平分∠AOB ，过点O 引射线OC ，OF 平分∠BO C ． （1）如图1，若∠AOC ＝60°，则∠EOF 的度数是 30° ；（2）如图2，若∠AOC ＝α （0°＜α＜90°），则∠EOF ＝12α （用含α的式子表示）； （3）如图3，当∠AOC 在∠AOB 的外部时，若∠AOC ＝α（0°＜α＜90°），探究∠EOF 与α之间的数量关系并说明理由．FEOC BAFEOC BABFECO A图1 图2 图3解：（1）30°；（2）12α；（3）∠EOF ＝12α。
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内错角模型
U
同旁内角模 型
注意：要成功寻找出以上三种特殊角的前提 是必须准确判断出被截直线与所截直线。
民 主 路
东 街
宜宾的中坝大桥
§4.7
-------------相交线中的角
宜宾南门大桥1990年竣工通车，跨径在同类 拱式结构桥中居亚洲前列。 2001年由于不堪交通重负发生过一次断裂。 为了缓解南门大桥的交通负担，宜宾于2004 年建成了戎州大桥。
金沙江 1 南 门 桥 4 2
3
5 8
6 7
戎州桥
一．两条直线被第三条直线所截
直线l与两直线a,b分别相交于点P,Q
l
P Q
直线l 叫做截线 直线a,b叫做被截直线
a b
问题：你能说出以下这些图形，哪两条 直线被第三条直线所截吗？
a b
l
直线a,b被直线 l 所截
直线BC,DE 被直线AB所截
二．
1,如图中∠1与∠5的位置有什么关系呢？
左 右
1 a 4 2 3
m
∠1与∠5都处于直线m的 左侧
A D C
1 2 B 3 5 4
E
F
（2） ∠1与∠3是直 线 AB 和 DE 被直线 所截而得的 内错角 . BC （3）∠4与∠5是 EF 直线____和____被 BC DE 直线____所截而得 同旁内角 的_________.
A
D
1 2 C B 3 5 4 F E
生活联系：
（1）银行与超市是 （ 中山 ）街与（ 东 ） 街被（ 中心路 ）路所 截得到的 同位 角。
四、课堂练习
1．如图，直线a截直线b、c 所得的 同位角有 内错角有
4对，它们是
∠1与∠3 、∠2与∠4、
∠5与∠7、 ∠6与∠8
， 2对，它们是 ∠2与∠7 、∠3与∠6 同旁内角有 2 对，它们是 ∠2与∠3 ∠6与∠7 。
2,如图：所标的六个角中，
∠1与 ∠6 ∠1 是同位角；
∠2与
是内错角；
截线
像这样位于截线n 的两侧，两条直线a、b的 内部的内错角还有 ∠4与∠6 。
3,如图中∠4与∠5的位置有什么关系呢？
左 m右
1
2
4
∠4与∠5都处于直线m的
3
左侧
b
a
内部
∠4与∠5都处于直线a，b的 内部 这样位置的一对角就是 同旁内角
截线
5 6 8 7
像这样位于截线m的同侧，两条直线a、b的内部的 同旁内角还有 ∠3与∠6 。
∠5与 ∠3 和∠4 是同旁内角。 d a
c b
咱们来辨一辨：
如图：∠1与∠2是同位角吗 ？
a a b b
c c
d
如图：∠1与∠2是内错角吗？
a a
b
b c d c
如图：∠1与∠2是同旁内角吗？
a
c b c d a b
2.根据图形按要求填空： （1）∠1与∠2是直线 AB 和 被直线 DE 同位角 BC所截而得的 .
∠1与∠5都处于直线a、b的上方
这样位置的一对角就是 同位角
截线
b
5 6 8 7
像这样位于截线m的同侧，两条直线a、b的同方的同位角
还有 ∠2与∠6 、
∠3与∠7 、 ∠4与∠8
。
2,如图中∠3与∠5的位置有什么关系呢？
左 右2
1 b a
n
4
3 5 6 8 7
∠3与∠5都处于直线n的 两侧 ∠3与∠5都处于直线a、b的 内部 这样位置的一对角就是 内错角
交通指南
中 东
超市 书店 中
山 学校
建设 银行
（2）与银行位置是内 错角关系的是（ Ｃ ） A、超市 B、书店 C、学校 （3）银行与书店的位 置是什么角关系？
它们的位置是同旁内角
心
路
街
街
位置关系 在两被截直线的同一方
基本模型
同位角 在截线的同一侧
位置相同 在两被截直线的内部 内错角 在截线的两侧 内部交错 在两被截直线的内部 同旁内角 截线的同侧(内部同侧）