第三章 线性系统的能控性和能观性概论
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第3章_线性控制系统的能控性和能观性
解：
x a 0b 1 x , y 1 1 x
C 1 1 VCAa 1b
V 1 ba0 ba 1，系统可观测。
3.2.2 线性定常系统的能观性判别
2.可观测性对角型判据
若A为对角型，则系统完全可观测的充要 条件是：
输出阵C中没有任何一列的元素全为零。
（此结论适用于特征值互不相等的情况）
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
rankS c =2<3,不可控。
15
3.1 能控性
3.1.2 线性定常系统的能控性判别 2.可控性对角型判据
x Ax Bu
若Ａ为对角型，则状态完全可控的充要 条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零。（此结
论适用于特征值互不相等的情况）
（1）可观测
（2）不可观测
3.2.2 线性定常系统的能观性判别
3.可观测性约当型判据
若A为约当型，则系统完全可观测的充要条件 是：
C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列 中，没有一列的元素全为零，且矩阵C中对应于互 不相等的特征值的各列，没有一列的元素全为0.( 如果两个约当块有相同的特征值, 此结论不成立) 。
称系统1和系统2是互为对偶的，即2是1的对偶 系统，反之， 1是2的对偶系统。
3.3 能控性与能观性的对偶关系
有时也称矩阵（A，B）是能控的。
若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则 此系统称为不能控系统。
3.1.1 定义
3.1 能控性
x(t0) P [ t 0 , t f ] 时间段内存
在控制输入u
x(tf)P 1, ,Pn
第三章线性控制系统的能控性和能观性(1)
状态能控性的定义(1/5)
3.1.2 状态能控性的定义
由状态方程 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
及其第2章的状态方程求解公式可知, ➢ 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之 后的输入,与输出y(t)无关。 ➢ 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。
t1 0,u(t) Rr
代数判据(6/18)—判据定理证明
➢ 上式对于任意时间t1和任意r维空间中的输入向量u(t)都恒 成立,则有 fTe-AtB0 t0
➢ 对非零向量f,上式恒成立则意味着e-AtB的各行函数线性相 关。
➢ 这与前面的假设产生矛盾,故原假定状态不能控,但e-AtB的 各行函数线性独立是不成立的。因此,充分性得证。
t0T x(t0) t1T(t1>t0) u(t) (t[t0,t1]) (x(t1)=0) 为真,则称线性定常连续系统(A,B)状态完全能控。
状态能控性的定义(5/5)
2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状 态方程的解存在即可。
✓ 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t 的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。
➢ 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
概述(5/5)
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。
➢ 状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存 在多维状态能否由少维输入控制的问题。
➢ 此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有 时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量 或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。
第三章 线性系统的能控性与能观性(2012)
6 x
解:展开
x1 4 x1 u y 6 x2
x2 5 x2 2u
表明:状态变量 x1 , x 2 都可通过选择 输入u而由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量x 2 ,所以 x1 不能观测。
4
例3-2:取 i L 和 u c作为状态变量,u—输入, y= u c --输出。 L (1)当 R1 R 4 R 2 R 3 + u iL
0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 A 0 1 2 0
r
1 2
r
0 1 0 B 0 1 0 1
0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0
rankS
C
n
13
例3-3 试判断下列系统的状态可控性。 (1)
2 0 x 1
1 x 0 0
2 2 4
1 1 1
1 0 0 x 0 u 1 0
0 0 0 x 1 u 0 1
B
1
0 1
1 0
0 0
行线性无关, B 2 1
,不全为零
24
能控
5. 线性变换后系统的能控性不变
证明： 设
x Ax Bu
n 1
S C [ B AB A B ] 令 x Px 则：x A x B u
其中： P 1 AP , B P 1 B A
x (t f ) e
A ( t f t0 )
x (t0 )
t
tf
0
现代控制理论 工程硕士 第三章 线性系统的能控性与能观性
如果存在着无约束的阶梯输入序列
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
第三章线性系统的能控性和能观性
0 1 3 1 1
x
x1
x2
x3
u
u1 u2
判断能控性
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
S rank c =2<3,不能控
对于： 行数＜列数的情况下求秩时：
rankSc =rank [Sc ScT ]nn
.
解：
Sc [b Ab]
Sc b Ab
如果rank Sc =2,
b1 b2
则必须要求
1b1 2b2
b1b2(2 1)
b1 0,b2 0
.
4. 定理3：设 x Ax Bu，
若Ａ为约当型，则状态完全能控的充 要条件是：
一重特征值对应单一约当块时，Ｂ阵 中与每一个约当块的最后一行相应的所 有的行元素不全为零．
2. 定理：设 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
则系统完全能控的充要条件： rankSc=n
其中：
SC [B AB An1B]
例1：
1 0
x(k
1)
0
2
判断系统的能控性1．1
0 1
2 x(k) 0 u(k)
0
1
解：
1 1 1
Sc [b Ab A2b] 0 2 2
1 1 3
0
0
b 0
1
且：
例：
. 1 1 1 求x能控1标准0型．x 1u
解：
1 0
rSaCnkS[cb=2Ab]能控1 1
SC
1
1 1
0 1
1 P1 [01]1
0 1
线性控制系统的能控性和能观性
12
自 动 控 制 理 论
2、若A具有重特征值：（1）每个重跟只对应一个约旦块， 则能控的充要条件是： 与每个约旦块最后一行对应的 B 行没有元素全为0的。（2）若有重根对应一个以上的约 旦块，则能控的充要条件是： 中与每个重根的约旦块 B 最后一行对应的行均是行线性无关的。 例：（1） 1 1 0 X X u y c1 c2 X 0 1 b2
x1 4 0 x 0 5 2
x1 x 2
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x1 受u的控制，即可以通过选择u，使 x1 可以直观地看出， 取任意值，而 x2 则不受u的控制，不能通过u的选择，使 x2 取我们所需的值。 y 只反映 x2 ，而与 x1 无直接也无间接关系，因而 x2 能观，而 x1 不能观测。
电气与新能源学院
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4
比如一个系统的状态空间描述为：
自 动 控 制 理 论
x1 1 y 0 6 x 0 u 2 x 4 x1 u 写成标量方程组的形式为： 1 x2 5 x2 y 6 x 2
完全能控
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（4） x 1 7 0 0 x 2 0 5 0 3 0 1 x 0
x1 0 1 x 4 0 u 2 x3 7 5
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9
3.2 线性定常系统的能控性判别
自 动 控 制 理 论
一、具有标准型的系统能控性判别 1 1、若A的特征值互异，则 A T AT 为对角线标准型，
此时系统状态完全能控的充要条件是： B T 1B 的各行 元素没有全为0的。（非奇异变换不改变系统的能控性） 例：（1） 1 0 0 X X u y c1 c2 X 0 2 b2
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
直接从A和B判断系统的能控性
写成矩阵的形式
x (t0 ) b 0 1 A 2 b An 1b 2 n 1
Ab
如果是能控系统，则从任意给定的初始状态 x(t0)，都应能从上式解出 0 , 1 , 2 ,, n1
0 Ab 1 a 2
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
直接从A和B判断系统的能控性
0 2 A b 0 a 0 1 0 0 0 a a 1 0 1 0 a1 0 0 1 0 a a2 0 1 0 a1 0 0 1 0 1 a2
1
b2
+ +
2
x2
c2
+
y
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
约旦标准型系统的能控性判别
1 1 0 x 0 x b u , 1 2 1 1 x1 x2 x 2 1 x2 b2u x y c1 c2 x
矩阵M的秩为1，所以系统为不完全能控的。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
直接从A和B判断系统的能控性
例3 有系统如下，试判断其是否能控
1 1 0 x 2 1 x 1 u
解：
0 1 1 0 1 b 1 , Ab 2 1 1 1 0 1 M 1 1
解：
5 4 5 5 25 b , Ab 1 1 0 1 5 5 25 M 1 5
第三章线性控制系统的能控性和能观性
1
1
1
1 1
0
0
1
m
1
0 1
m m m1
0
0 0
0 0 0 n
(m-l)个1重根, l个m重根，其余为互异根。
13
b b1 b2 bn
T
为简明起见，下面举三个具有上述类型的二 阶系统，对能控性加以剖析。
1
在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重 要的概念，是卡尔曼 (Kalman) 在 1960 年首先提出 来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。
现代控制理论是建立在用状态空间描述的基 础上的。状态方程描述了输入 u(t) 引起状态 x(t) 的 变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的 输出y(t)的变化。 能控性和能观性正是分别分析 u(t) 对状态 x(t) 的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。
3
§3-1 能控性的定义
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控 制下，状态矢量 x(t) 的转移情况，与输出 y(t) 无关， 所以只需从系统的状态方程研究出发即可。
4
一、线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统
x Ax Bu
如果存在一个分段连续的输入 u(t) ，能在有 限时间区间[t0, tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)， 转移到指定的任一终端状态 x(tf)，则称此状态是 能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此 系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。
可以看出，系统中某一状态的能控和系统的 状态完全能控在含义上性定常系统中，为简便计，可以假定初始 时刻 t0=0 ，初始状态为 x(0) ，而任意终端状态就 指定为零状态，即 x(t f ) 0 2) 也可以假定 x(t0)=0，而 x(tf)为任意终端状态， 换句话说，若存在一个无约束控制作用 u(t) ，在 有限时间 [t0, tf]能将 x(t)由零状态驱动到任意 x(tf) 。 在这种情况下，称为状态的能达性。
第三章能控性与能观性
(3-11) Ax Bu x 式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量, A、B分别 为 n n、 n r 常数阵。 式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是 能控性判别矩阵
Qc B AB A2 B An1 B
满秩,即
(3-12)
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
24
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
25
【例3-5】动态系统的状态方程如下，试判断其能 控性。
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 0 u 1 x a2 1
解
2
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义， 在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准 则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观 测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测 标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关 系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如 何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后， 讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章 最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中 的应用。
13
2.系统能观测 对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 t f > t0 ， 定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t [t 0 , t f ] 对于所有 ，系统的输出 y(t)能惟一确定 t 0 时 t0 时 x0 刻的任意非零的初始状态向量 ，则称系统在 刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对 于任意 均是能观测的（即系统的能观测性与初 t0 Td t0 Td 始时刻 的选取无关），则称系统是一致完全能 观测。
第3章 线性控制系统的能控性和能观性
反设rankM=n，系统不完全能控。 根据GRAM矩阵判据，有Wc [ 0, t1 ] 奇异。因此存在一个非零的n维向量
§3－2 线性定常系统的能控性判别
使 即 故
T Wc [ 0, t1 ] 0
T { [e At B][e At B]T dt} [ T e At B][ T e At B]T dt 0
§3－2 线性定常系统的能控性判别
这与 x0
0 的假设矛盾，故反设不成立，即Wc [ 0,t1 ] 奇异。
必要性得证。 得证。 二. 秩判据
M [B AB A n1 B ]
线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵
的秩rankM=n。其中，n为系统矩阵A的维数。
证：充分性：若rankM=n，则系统完全能控
1. 线性定常系统 ) 能控：若存在一个无约束的容许控制 u( t ，能在有限时间区间内 t t0 ,t1 ，使系统由某一非零的初始状态 x(t0 )，转移到任一终端状态[通常指定 终端状态 x(t0 )=0]，则称系统在 x(t0 ) 状态是能控的。 完全能控：若系统在状态空间中的所有非零点均能控，则称系统是完全 能控的。 不完全能控：若系统在状态空间中至少存在一个非零状态是不能控的， 则称系统是不完全能控的。 2. 线性时变系统能控性定义
[ B AB A B]
2
0 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 0 0 1 1 1 B 1 0 AB 0 1 0 1 0 1 0 A2 B 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1
§3－2 线性定常系统的能控性判别
一. GRAM（格兰姆）矩阵判据
§3－2 线性定常系统的能控性判别
使 即 故
T Wc [ 0, t1 ] 0
T { [e At B][e At B]T dt} [ T e At B][ T e At B]T dt 0
§3－2 线性定常系统的能控性判别
这与 x0
0 的假设矛盾，故反设不成立，即Wc [ 0,t1 ] 奇异。
必要性得证。 得证。 二. 秩判据
M [B AB A n1 B ]
线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵
的秩rankM=n。其中，n为系统矩阵A的维数。
证：充分性：若rankM=n，则系统完全能控
1. 线性定常系统 ) 能控：若存在一个无约束的容许控制 u( t ，能在有限时间区间内 t t0 ,t1 ，使系统由某一非零的初始状态 x(t0 )，转移到任一终端状态[通常指定 终端状态 x(t0 )=0]，则称系统在 x(t0 ) 状态是能控的。 完全能控：若系统在状态空间中的所有非零点均能控，则称系统是完全 能控的。 不完全能控：若系统在状态空间中至少存在一个非零状态是不能控的， 则称系统是不完全能控的。 2. 线性时变系统能控性定义
[ B AB A B]
2
0 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 0 0 1 1 1 B 1 0 AB 0 1 0 1 0 1 0 A2 B 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1
§3－2 线性定常系统的能控性判别
一. GRAM（格兰姆）矩阵判据
第三章线性控制系统的能控性和能观性
第三章 线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基础。
能控性和能观性是分别分析)(t u 对状态)(t x 的控制能力以及输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
§3－1 能控性的定义能控性所研究的只是系统在控制作用)(t u 的作用下，状态矢量)(t x 的转移情况，而与输出)(t y 无关。
矢量的线性无关与线性相关：如果0x x x x 332211=++++n n C C C C 式中的常数n C C C 21,满足0321====n C C C C ,则把向量n x x ,x 21 叫做线性无关。
例如向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0102x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1003x 便是线性无关。
若向量n x x ,x 21 中有一个向量i X 为其余向量的线性组合，即：∑≠==nij j jj i C 1x x 则称向量n x x ,x 21 为线性相关。
例如向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3211x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4223x 便是线性相关。
又例如在式中213x x x +=,0x 3x x 321=++式中系数并不全为零。
故为线性相关。
具有约旦标准型系统的能控性判据 1．单输入系统先将线性定常系统进行状态变换，把状态方程的A 阵和B 阵化为约旦标准型)ˆ,ˆ(B A,再根据B 阵确定系统的能控性。
具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为bu x x+=λ ，或bu Jx x+= 。
其中：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n λλλλλ 00321，各根互异。
其中：（特征值有重根的）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++n m m J λλλλλλ010010121111 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b b 21 下面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。
第三章线性系统的能控性与能观性
0 1 a2
0 1
a2
1 a2
a1 a2
2
0 0
1
Mc [B AB A2B] 0 1
1 a2
a1
a2 a2
2
无论a1、a2取何值，ranckM 3n，得证。
一、秩判据
0 0 3 1 1
例：已知系统 A2 0 7,B0 1，判别系统能
控性。
0 1 0 0 1
二、对角型、约当型判据
1设、系非统奇状异态变空换间不描改述变为系统X的 能YA控XC性XBU
任取非奇异变换阵P，令Xˆ PX，变换后系统为
Xˆ AˆXˆ BˆU
其中
A ˆP 1A Y,B P ˆCˆ XˆP 1B ,C ˆCP
现在证明当且仅当∑=（A,B,C）能控时，(Aˆ,Bˆ,Cˆ)
能控。
一、秩判据
例：对于三阶能控标准型的系统，试证明其必然能控。
证明：三阶能控标准型如下：x1 0 1 0 x1 0
xx3 20a0
0 a1
1a2xx3 21 0U
0 1 0 0 0
AB 0 0 1 0 1
a0 a1 a2 1 a2
0 A2B A AB 0
a0
1 0 a1
ranck rM a[B n ˆA ˆkB ˆ A ˆn1B ˆ] ra[P nk B PA 1P PB (PA 1)P P ( A 1) P(PA 1)P P]B
ra[P n(B kA BAn1B)]
由于矩r阵aP(P n 是nk M c*)n非奇异矩阵，由矩阵性质可得
rankcM rankcM
3.2.2 能控性判据
一、秩判据 二、对角型、约当型判据
一、秩判据
定理：线性定常系统状态完全能控的充 要条件是系统能控性判别矩阵 M c [B A B A 2 B A n 1 B ]
线性系统的能控性和能观性
3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应 的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所 对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问 （1）仅用一个调节阀，应放在何处？ （2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S
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定义（不完全能观测的）：对于线性时变系统，取定初始时刻 t0 J，若状态空间存在一个或一些非零状态在t0的是不可能 观测的,称系统在时刻t0 是不完全能观测的。
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
6
3.2 线性时变系统的能控性判据
3.2.1 Gram矩阵判据
定理：线性时变系统在t0时刻能控的充要条件是存在
某个有限时刻t1 t0 ,使得矩阵
Wc (t1,t0 )
t1 t0
(t1
,
)
B(
)
B
T
(
)
T
(t1
,
)d
是正定的。
3.2.2 基于状态转移矩阵的判据
定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0 能控的充要条件是存在某个有限时刻t1>t0,使得矩阵 (t1,)B()在[t0,t1]上是行线性独立，即对任意n维非零向 量Z,都有ZT (t1,)B()0.
若存在某个t1
t0 ,使得rankQc (t1 )
n,
则系统在t
时
0
刻是能控的。（充分条件）
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
8
3.3 线性定常系统的能控性判据
3.3.1 定常系统能控性的特殊性
引理：设线性定常系统在t0 [0,]时刻完全能控，则它必在 [0,]上完全能控。
3.3.2 能控性矩阵判据
定理：定常线性系统能控性的充要条件是 rank[B AB … An-1B]=n
3.3.3 PBH判据
定理：定常线性系统能控性的充要条件是,对于每个 (A), 都有 rank[A- In B]=n ｛(A)为A特征值集合｝
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
9
3.4 对偶原理与能观性判据
3.4.1 Gram矩阵判据
控制系统的含义：当前状态经一定时间是否转移到期望状态。
能控性问题：已知系统当前时刻及其状态，是否存在一个容 许控制，使系统在该控制作用下于有限时间后到达希望 的特定状态？
能观性问题：已知某系统及其在某时间段上的输入和输出， 可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间 段上的状态？
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
定义（状态不能观测） ：对于线性时变系统，若对取定初始 时刻t0J的一个非零初始状态x0,若t1 J,t1>t0,均有y(t)=0,t [t0 , t1],则称此x0在时刻t0为不能观测的。
定义（完全能观测的）：对于线性时变系统，若状态空间的所 有状态都是时刻t0(t0 J)的能观测状态,称系统在时刻t0 是完 全能观测的。若 t0 [T1 , T2],系统均在t0时刻是完全能观测 的，称系统在区间[T1 , T2]上是完全能观测的。
第三章 线性系统的能控性和能观性
能控性和能观性的定义 线性时变系统的能控性判据 线性定常系统的能控性判据 对偶原理与能观性判据 线性系统的能控、能观性指数 SISOS的能控规范型和能观规范型 MIMOS的能控规范型和能观规范型
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
1
3.1 能控性和能观性的定义 3.2 线性时变系统的能控性判据 3.3 线性定常系统的能控性判据 3.4 对偶原理与能观性判据
注：1、状态转移对轨迹不加限制及规定； 2、无约束表示幅值不加限制； 3、容许控制：J上平方可积，能量有限； 4、由零状态转移到非零状态，称为状态能达的。
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
4
3.1.3 能观性定义
LT
:
x A(t)x B(t)u,x(
y
C(t)x
D(t)u
t0
)
x0,t J
t
y(t) C(t)Φ(t, t0 )x0
C(t) (t, )B( )u( )dτ t0
D(t)u(t)
假定u(t
)
,
y
(t
)已知，内部状态变量x
未ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
知
令
t
y(t) y(t) C(t) (t, )B( )u( )dτ D(t)u(t)
t0
C(t)Φ(t, t0 )x0
能观性是研究x
定义：对于线性时变系统， x0 0，都是在t0时刻的能控状态， 则称系统在时刻t0是完全能控的； t0 [T1,T2],系统均在t0时 刻为能控的，称系统在[T1,T2]上是完全能控的。
定义：对于系统取定初始时刻t0J ，若状态空间存在一个非零 状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全能控 的。
定理：线性时变系统在t0时刻完全能观测的充要条件是存在
某个有限时刻t1 t0 ,使得矩阵
W0 (t1,t0 )
t1 t0
T
(
,
t0
)C
T
(
)C(
)(
,
t
0
)d
是正定的。
3.4.2 对偶原理
0是否由y
(t
)来完全估
计，由于y和x
的任意性，
0
等价于研究u
0时由y估计x
的可能性，即
0
x y
A(t)x,x(t0 ) x C(t)x D(t)u
0
,
t
J
的能观性
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
5
定义（状态能观测） ：对于线性时变系统，若对取定初始时 刻t0J的一个非零初始状态x0,存在一个有限时刻t1 J,t1>t0, 使得有区间[t0 , t1]上的系统输出可唯一地决定系统的初始状 态x0 ，则称此x0在时刻t0为能观测的。（状态能观测）
3
3.1.2 能控性定义
定义：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J 的一个非零 初始状态x0,存在一个时刻t1J , t1 > t0和一个无约束的容许控 制运u动(t轨),t线经[t0,过t1]时,使间得t1系- 统t0后在由此x控0转制移作到用x下(t1，)=0系,则统称由xx00是出系发统的在 t0时刻的一个能控状态。
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
7
3.2.3 基于系统参数矩阵的判据
定理：假设系统中A(t)和B(t)的每个元分别是n 2和 n 1次连续可微函数，记
B1 (t) B(t) Bi (t) A(t)Bi1 (t) Bi1 (t),i 2,3,, n
令 Qc (t) B1 (t) B2 (t) Bn (t)
3.5 线性系统的能控、能观性指数 3.6 SISOS的能控规范型和能观规范型 3.7 MIMOS的能控规范型和能观规范型
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
2
3.1 能控性和能观性的定义
3.1.1 问题的提出
研究系统的目的：更好地了解系统、控制系统。
了解系统的含义：系统的组成、结构、属性和运动规律等。
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
6
3.2 线性时变系统的能控性判据
3.2.1 Gram矩阵判据
定理：线性时变系统在t0时刻能控的充要条件是存在
某个有限时刻t1 t0 ,使得矩阵
Wc (t1,t0 )
t1 t0
(t1
,
)
B(
)
B
T
(
)
T
(t1
,
)d
是正定的。
3.2.2 基于状态转移矩阵的判据
定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0 能控的充要条件是存在某个有限时刻t1>t0,使得矩阵 (t1,)B()在[t0,t1]上是行线性独立，即对任意n维非零向 量Z,都有ZT (t1,)B()0.
若存在某个t1
t0 ,使得rankQc (t1 )
n,
则系统在t
时
0
刻是能控的。（充分条件）
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
8
3.3 线性定常系统的能控性判据
3.3.1 定常系统能控性的特殊性
引理：设线性定常系统在t0 [0,]时刻完全能控，则它必在 [0,]上完全能控。
3.3.2 能控性矩阵判据
定理：定常线性系统能控性的充要条件是 rank[B AB … An-1B]=n
3.3.3 PBH判据
定理：定常线性系统能控性的充要条件是,对于每个 (A), 都有 rank[A- In B]=n ｛(A)为A特征值集合｝
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
9
3.4 对偶原理与能观性判据
3.4.1 Gram矩阵判据
控制系统的含义：当前状态经一定时间是否转移到期望状态。
能控性问题：已知系统当前时刻及其状态，是否存在一个容 许控制，使系统在该控制作用下于有限时间后到达希望 的特定状态？
能观性问题：已知某系统及其在某时间段上的输入和输出， 可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间 段上的状态？
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
定义（状态不能观测） ：对于线性时变系统，若对取定初始 时刻t0J的一个非零初始状态x0,若t1 J,t1>t0,均有y(t)=0,t [t0 , t1],则称此x0在时刻t0为不能观测的。
定义（完全能观测的）：对于线性时变系统，若状态空间的所 有状态都是时刻t0(t0 J)的能观测状态,称系统在时刻t0 是完 全能观测的。若 t0 [T1 , T2],系统均在t0时刻是完全能观测 的，称系统在区间[T1 , T2]上是完全能观测的。
第三章 线性系统的能控性和能观性
能控性和能观性的定义 线性时变系统的能控性判据 线性定常系统的能控性判据 对偶原理与能观性判据 线性系统的能控、能观性指数 SISOS的能控规范型和能观规范型 MIMOS的能控规范型和能观规范型
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
1
3.1 能控性和能观性的定义 3.2 线性时变系统的能控性判据 3.3 线性定常系统的能控性判据 3.4 对偶原理与能观性判据
注：1、状态转移对轨迹不加限制及规定； 2、无约束表示幅值不加限制； 3、容许控制：J上平方可积，能量有限； 4、由零状态转移到非零状态，称为状态能达的。
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
4
3.1.3 能观性定义
LT
:
x A(t)x B(t)u,x(
y
C(t)x
D(t)u
t0
)
x0,t J
t
y(t) C(t)Φ(t, t0 )x0
C(t) (t, )B( )u( )dτ t0
D(t)u(t)
假定u(t
)
,
y
(t
)已知，内部状态变量x
未ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
知
令
t
y(t) y(t) C(t) (t, )B( )u( )dτ D(t)u(t)
t0
C(t)Φ(t, t0 )x0
能观性是研究x
定义：对于线性时变系统， x0 0，都是在t0时刻的能控状态， 则称系统在时刻t0是完全能控的； t0 [T1,T2],系统均在t0时 刻为能控的，称系统在[T1,T2]上是完全能控的。
定义：对于系统取定初始时刻t0J ，若状态空间存在一个非零 状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全能控 的。
定理：线性时变系统在t0时刻完全能观测的充要条件是存在
某个有限时刻t1 t0 ,使得矩阵
W0 (t1,t0 )
t1 t0
T
(
,
t0
)C
T
(
)C(
)(
,
t
0
)d
是正定的。
3.4.2 对偶原理
0是否由y
(t
)来完全估
计，由于y和x
的任意性，
0
等价于研究u
0时由y估计x
的可能性，即
0
x y
A(t)x,x(t0 ) x C(t)x D(t)u
0
,
t
J
的能观性
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
5
定义（状态能观测） ：对于线性时变系统，若对取定初始时 刻t0J的一个非零初始状态x0,存在一个有限时刻t1 J,t1>t0, 使得有区间[t0 , t1]上的系统输出可唯一地决定系统的初始状 态x0 ，则称此x0在时刻t0为能观测的。（状态能观测）
3
3.1.2 能控性定义
定义：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J 的一个非零 初始状态x0,存在一个时刻t1J , t1 > t0和一个无约束的容许控 制运u动(t轨),t线经[t0,过t1]时,使间得t1系- 统t0后在由此x控0转制移作到用x下(t1，)=0系,则统称由xx00是出系发统的在 t0时刻的一个能控状态。
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
7
3.2.3 基于系统参数矩阵的判据
定理：假设系统中A(t)和B(t)的每个元分别是n 2和 n 1次连续可微函数，记
B1 (t) B(t) Bi (t) A(t)Bi1 (t) Bi1 (t),i 2,3,, n
令 Qc (t) B1 (t) B2 (t) Bn (t)
3.5 线性系统的能控、能观性指数 3.6 SISOS的能控规范型和能观规范型 3.7 MIMOS的能控规范型和能观规范型
线性系统理论
线性系统的能控性和能观性
2
3.1 能控性和能观性的定义
3.1.1 问题的提出
研究系统的目的：更好地了解系统、控制系统。
了解系统的含义：系统的组成、结构、属性和运动规律等。