2021高考数学大一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件理新人教A版
2021年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案理北师大版
2021年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案理北师大版最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.椭圆的定义、标准方程、简单性质通常以小题形式考查,直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主,一般为中档题,椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1.椭圆的概念把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若a>c,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若a<c,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和简单性质标准方程x2a2+y2b2=1 (a>b>0)y2a2+x2b2=1 (a>b>0)图形知识拓展点P (x 0,y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0,y 0)在椭圆内⇔x 20a 2+y 20b 2<1.(2)点P (x 0,y 0)在椭圆上⇔x 20a 2+y 20b 2=1.(3)点P (x 0,y 0)在椭圆外⇔x 20a 2+y 20b2>1.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1,F 2构成△PF 1F 2的周长为2a +2c (其中a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ )(5)y 2a 2+x 2b 2=1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的焦距相等.( √ ) 题组二 教材改编2.椭圆x 210-m +y 2m -2=1的焦距为4,则m 等于( )A .4B .8C .4或8D .12答案 C解析 当焦点在x 轴上时,10-m >m -2>0, 10-m -(m -2)=4,∴m =4.当焦点在y 轴上时,m -2>10-m >0,m -2-(10-m )=4,∴m =8. ∴m =4或8.3.过点A (3,-2)且与椭圆x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215+y 210=1B.x 225+y 220=1C.x 210+y 215=1 D.x 220+y 215=1 答案 A解析 由题意知c 2=5,可设椭圆方程为x 2λ+5+y 2λ=1(λ>0),则9λ+5+4λ=1,解得λ=10或λ=-2(舍去), ∴所求椭圆的方程为x 215+y 210=1.4.已知点P 是椭圆x 25+y 24=1上y 轴右侧的一点,且以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积等于1,则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152,1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152,-1 解析 设P (x ,y ),由题意知c 2=a 2-b 2=5-4=1,所以c =1,则F 1(-1,0),F 2(1,0).由题意可得点P 到x 轴的距离为1,所以y =±1,把y =±1代入x 25+y 24=1,得x =±152,又x >0,所以x =152,所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫152,1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152,-1. 题组三 易错自纠5.若方程x 25-m +y 2m +3=1表示椭圆,则m 的取值范围是( ) A .(-3,5) B .(-5,3) C .(-3,1)∪(1,5) D .(-5,1)∪(1,3)答案 C解析 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5-m >0,m +3>0,5-m ≠m +3,解得-3<m <5且m ≠1.6.椭圆x 29+y 24+k =1的离心率为45,则k 的值为( )A .-21B .21C .-1925或21D.1925或21 答案 C解析 若a 2=9,b 2=4+k ,则c =5-k ,由c a =45,即5-k 3=45,得k =-1925;若a 2=4+k ,b 2=9,则c =k -5,由c a =45,即k -54+k =45,解得k =21.7.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为33,过F 2的直线l交C 于A ,B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1 答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为43,∴4a =43, ∴a =3,∵离心率为33,∴c =1, ∴b =a 2-c 2=2,∴椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.故选A.第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O ,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD ,设CD 与OM 交于点P ,则点P 的轨迹是()A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .圆答案 A解析 由条件知|PM |=|PF |,∴|PO |+|PF |=|PO |+|PM |=|OM |=R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ,F 为焦点的椭圆.2.过椭圆4x 2+y 2=1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ,B 两点,则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A .2 B .4 C .8 D .2 2答案 B解析 椭圆方程变形为y 21+x 214=1,∴椭圆长轴长2a =2,∴△ABF 2的周长为4a =4.3.(xx·承德模拟)椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|PF 2|等于( ) A.72 B.32C. 3 D .4答案 A解析 F 1(-3,0),∵PF 1⊥x 轴, ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-3,±12,∴|PF 1→|=12, ∴|PF 2→|=4-12=72.4.(xx·呼和浩特模拟)已知F 是椭圆5x 2+9y 2=45的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A (1,1)是一定点,则|PA |+|PF |的最大值为________,最小值为________. 答案 6+ 2 6- 2解析 椭圆方程化为x 29+y 25=1,设F 1是椭圆的右焦点,则F 1(2,0),∴|AF 1|=2,∴|PA |+|PF |=|PA |-|PF 1|+6,又-|AF 1|≤|PA |-|PF 1|≤|AF 1|(当P ,A ,F 1共线时等号成立), ∴|PA |+|PF |≤6+2,|PA |+|PF |≥6- 2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二 椭圆的标准方程命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程典例 (1)(xx·济南调研)已知两圆C 1:(x -4)2+y 2=169,C 2:(x +4)2+y 2=9,动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切,和圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264-y 248=1B.x 248+y 264=1C.x 248-y 264=1 D.x 264+y 248=1 答案 D解析 设圆M 的半径为r ,则|MC 1|+|MC 2|=(13-r )+(3+r )=16>8=|C 1C 2|, 所以M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的椭圆, 且 2a =16,2c =8,故所求的轨迹方程为x 264+y 248=1.(2)在△ABC 中,A (-4,0),B (4,0),△ABC 的周长是18,则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225+y 29=1(y ≠0) B.y 225+x 29=1(y ≠0) C.x 216+y 29=1(y ≠0) D.y 216+x 29=1(y ≠0) 答案 A解析 由|AC |+|BC |=18-8=10>8知,顶点C 的轨迹是以A ,B 为焦点的椭圆(A ,B ,C 不共线).设其方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则a =5,c =4,从而b =3.由A ,B ,C 不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225+y 29=1(y ≠0).命题点2 利用待定系数法求椭圆方程典例 (1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,52,(3,5),则椭圆方程为_________________________. 答案y 210+x 26=1 解析 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ,n >0,m ≠n ).由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫-322m +⎝ ⎛⎭⎪⎫522n =1,3m +5n =1,解得m =16,n =110.∴椭圆方程为y 210+x 26=1.(2)过点(3,-5),且与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________. 答案y 220+x 24=1 解析 方法一 椭圆y 225+x 29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c =4.由椭圆的定义知,2a =(3-0)2+(-5+4)2+(3-0)2+(-5-4)2,解得a =2 5. 由c 2=a 2-b 2可得b 2=4,∴所求椭圆的标准方程为y 220+x 24=1.方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225+x 29=1的焦点相同, ∴其焦点在y 轴上,且c 2=25-9=16.设它的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).∵c 2=16,且c 2=a 2-b 2,故a 2-b 2=16.① 又点(3,-5)在所求椭圆上, ∴(-5)2a 2+(3)2b2=1, 即5a 2+3b2=1.②由①②得b 2=4,a 2=20,∴所求椭圆的标准方程为y 220+x 24=1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a >|F 1F 2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )的形式.跟踪训练 设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为______________. 答案 x 2+32y 2=1解析 设点B 的坐标为(x 0,y 0).∵x 2+y 2b2=1,∴F 1(-1-b 2,0),F 2(1-b 2,0).∵AF 2⊥x 轴,设点A 在x 轴上方,则A (1-b 2,b 2). ∵|AF 1|=3|F 1B |,∴AF 1→=3F 1B →,∴(-21-b 2,-b 2)=3(x 0+1-b 2,y 0). ∴x 0=-531-b 2,y 0=-b 23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-531-b 2,-b 23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-531-b 2,-b 23代入x 2+y 2b 2=1,得b 2=23.∴椭圆E 的方程为x 2+32y 2=1.题型三 椭圆的简单性质典例 (1)(xx·安庆模拟)P 为椭圆x 216+y 215=1上任意一点,EF 为圆N :(x -1)2+y 2=4的任意一条直径,则PE →·PF →的取值范围是( ) A .[0,15] B .[5,15] C .[5,21] D .(5,21)答案 C解析 PE →·PF →=(PN →+NE →)·(PN →+NF →)=(PN →+NE →)·(PN →-NE →)=PN →2-NE →2=|PN →|2-4,因为a -c ≤|PN →|≤a +c ,即3≤|PN →|≤5,所以PE →·PF →的取值范围是[5,21].(2)(xx·全国Ⅲ)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点,A ,B 分别为椭圆C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析 由题意知,A (-a,0),B (a,0),F (-c,0). 设M (-c ,m ),则E ⎝⎛⎭⎪⎫0,am a -c ,OE 的中点为D , 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,am2(a -c ),又B ,D ,M 三点共线,所以m 2(a -c )=m a +c ,即a =3c ,即e =13.思维升华 (1)利用椭圆简单性质的注意点及技巧 ①注意椭圆简单性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时,经常用到x ,y 的范围,离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆简单性质的技巧求解与椭圆简单性质有关的问题时,理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a ,b ,c 的等式或不等式,即可得离心率或离心率的范围.跟踪训练 (1)(xx·德阳模拟)已知椭圆x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是________. 答案3解析 由椭圆的方程可知a =2,由椭圆的定义可知,|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a =8,所以|AB |=8-(|AF 2|+|BF 2|)≥3,由椭圆的性质可知2b 2a=3.所以b 2=3,即b = 3.(2)(xx·长沙月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >c >0,a 2=b 2+c 2)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若以F 2为圆心,b -c 为半径作圆F 2,过椭圆上一点P 作此圆的切线,切点为T ,且|PT |的最小值不小于32(a -c ),则椭圆的离心率e 的取值范围是__________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫35,22解析 因为|PT |=|PF 2|2-(b -c )2(b >c ), 而|PF 2|的最小值为a -c ,所以|PT |的最小值为(a -c )2-(b -c )2. 依题意,有(a -c )2-(b -c )2≥32(a -c ), 所以(a -c )2≥4(b -c )2,所以a -c ≥2(b -c ), 所以a +c ≥2b ,所以(a +c )2≥4(a 2-c 2),所以5c 2+2ac -3a 2≥0,所以5e 2+2e -3≥0.① 又b >c ,所以b 2>c 2,所以a 2-c 2>c 2,所以2e 2<1.② 联立①②,得35≤e <22.1.设F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |=3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A .4 B .3 C .2 D .5 答案 A解析 由题意知|OM |=12|PF 2|=3,∴|PF 2|=6,∴|PF 1|=2a -|PF 2|=10-6=4. 2.(xx·开封模拟)曲线C 1:x 225+y 29=1与曲线C 2:x 225-k +y 29-k=1(k <9)的( ) A .长轴长相等 B .短轴长相等 C .离心率相等 D .焦距相等答案 D解析 因为c 21=25-9=16,c 22=(25-k )-(9-k )=16, 所以c 1=c 2,所以两个曲线的焦距相等.3.已知圆(x -1)2+(y -1)2=2经过椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ,则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C .2 D.22 答案 D解析 由题意得,椭圆的右焦点F 为(c,0),上顶点B 为(0,b ).因为圆(x -1)2+(y -1)2=2经过右焦点F和上顶点B ,所以⎩⎪⎨⎪⎧(c -1)2+1=2,1+(b -1)2=2,解得b =c =2,则a 2=b 2+c 2=8,解得a =22,所以椭圆C 的离心率e =c a =222=22,故选D.4.(xx·西宁模拟)设F 1,F 2分别为椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,且|PF 1→+PF 2→|=23,则∠F 1PF 2等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析 因为PF 1→+PF 2→=2PO →,O 为坐标原点,|PF 1→+PF 2→|=23,所以|PO |=3,又|OF 1|=|OF 2|=3,所以P ,F 1,F 2在以点O 为圆心的圆上,且F 1F 2为直径,所以∠F 1PF 2=π2.5.(xx·河北衡水中学二调)设椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上,且满足PF 1→·PF 2→=9,则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A .8 B .10 C .12 D .15答案 D解析 由椭圆方程x 216+y 212=1,可得c 2=4,所以|F 1F 2|=2c =4,而F 1F 2→=PF 2→-PF 1→,所以|F 1F 2→|=|PF 2→-PF 1→|,两边同时平方,得|F 1F 2→|2=|PF 1→|2-2PF 1→·PF 2→+|PF 2→|2,所以|PF 1→|2+|PF 2→|2=|F 1F 2→|2+2PF 1→·PF 2→=16+18=34,根据椭圆定义,得|PF 1|+|PF 2|=2a =8,(|PF 1|+|PF 2|)2=|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|=64,所以34+2|PF 1|·|PF 2|=64, 所以|PF 1|·|PF 2|=15.故选D.6.(xx·昆明调研)2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:①a 1+c 1=a 2+c 2;②a 1-c 1=a 2-c 2;③c 1a 1<c 2a 2;④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( ) A .①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案 D解析 观察图形可知a 1+c 1>a 2+c 2,即①式不正确;a 1-c 1=a 2-c 2=|PF |,即②式正确;由a 1-c 1=a 2-c 2>0,c 1>c 2>0知,a 1-c 1c 1<a 2-c 2c 2,即a 1c 1<a 2c 2,从而c 1a 2>a 1c 2,c 1a 1>c 2a 2,即④式正确,③式不正确.故选D.7.焦距是8,离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________. 答案x 225+y 29=1或y 225+x 29=1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c =8,ca =0.8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =5,c =4,又b 2=a 2-c 2,∴b 2=9,当焦点在x 轴上时,椭圆方程为x 225+y 29=1,当焦点在y 轴上时,椭圆方程为y 225+x 29=1.8.若椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点在x 轴上,过点(2,1)作圆x 2+y 2=4的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为________________. 答案x 220+y 216=1 解析 设切点坐标为(m ,n ), 则n -1m -2·nm=-1, 即m 2+n 2-n -2m =0.∵m 2+n 2=4,∴2m +n -4=0, 即直线AB 的方程为2x +y -4=0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, ∴2c -4=0,b -4=0,解得c =2,b =4, ∴a 2=b 2+c 2=20, ∴椭圆方程为x 220+y 216=1.9.(xx·湖北重点中学联考)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与椭圆C 2:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B ,C ,D 四点,若椭圆C 1的一个焦点F (-2,0),且四边形ABCD 的面积为163,则椭圆C 1的离心率e 为________. 答案22解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,y 2a 2+x2b 2=1,两式相减得x 2-y 2a 2=x 2-y 2b 2,又a ≠b ,所以x 2=y 2=a 2b 2a 2+b 2,故四边形ABCD 为正方形,4a 2b 2a 2+b 2=163,(*)又由题意知a 2=b 2+2,将其代入(*)式整理得3b 4-2b 2-8=0,所以b 2=2,则a 2=4, 所以椭圆C 的离心率e =22. 10.(xx·湖南东部六校联考)设P ,Q 分别是圆x 2+(y -1)2=3和椭圆x 24+y 2=1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是________.答案733解析 由圆的性质可知,P ,Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3,设Q (x ,y ),则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d = x 2+(y -1)2=-3y 2-2y +5=-3⎝ ⎛⎭⎪⎫y +132+163, ∵-1≤y ≤1,∴当y =-13时,d 取最大值433,∴P ,Q 两点间的最大距离为d max +3=733. 11.(xx·陕西西北大学附中期末)已知椭圆的长轴长为10,两焦点F 1,F 2的坐标分别为(3,0)和(-3,0).(1)求椭圆的标准方程;(2)若P 为短轴的一个端点,求△F 1PF 2的面积.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a =10,c =3,因此a =5,b =4,所以椭圆的标准方程为x 225+y 216=1.(2)易知|y P |=4,又c =3, 所以=12|y P |×2c =12×4×6=12.12.已知椭圆x 2+(m +3)y 2=m (m >0)的离心率e =32,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解 椭圆方程可化为x 2m +y 2mm +3=1,m >0.∵m -mm +3=m (m +2)m +3>0,∴m >m m +3, ∴a 2=m ,b 2=mm +3,c =a 2-b 2=m (m +2)m +3. 由e =32,得 m +2m +3=32,∴m =1. ∴椭圆的标准方程为x 2+y 214=1,∴a =1,b =12,c =32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a =2和2b =1,焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,0,F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,四个顶点的坐标分别为A 1(-1,0),A 2(1,0),B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12.13.已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ,N ,若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线,则椭圆的离心率为( ) A.3-1 B .2- 3 C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线, ∴∠F 1MF 2=90°,|MF 2|=c ,∵|F 1F 2|=2c , ∴|MF 1|=3c ,由椭圆定义可得|MF 1|+|MF 2| =c +3c =2a ,∴椭圆离心率e =21+3=3-1.14.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率等于13,其焦点分别为A ,B ,C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC 中,sin A +sin Bsin C =________.答案 3解析 在△ABC 中,由正弦定理得sin A +sin B sin C =|CB |+|CA ||AB |,因为点C 在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA |+|CB |=2a ,而|AB |=2c ,所以sin A +sin B sin C =2a 2c =1e=3.15.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与圆C 2:x 2+y 2=b 2,若在椭圆C 1上存在点P ,使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直,则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22,32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,1 答案 C解析 从椭圆上长轴端点P ′向圆引两条切线P ′A ,P ′B ,则两切线形成的∠AP ′B 最小. 若椭圆C 1上存在点P ,所作圆C 2的两条切线互相垂直,则只需∠AP ′B ≤90°, 即α=∠AP ′O ≤45°,∴sin α=ba ≤sin 45°=22. 又b 2=a 2-c 2,∴a 2≤2c 2,∴e 2≥12,即e ≥22.又0<e <1,∴22≤e <1,即e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1. 16.如图,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|=2+2,|PF 2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ |=λ|PF 1|,且34≤λ<43,试确定椭圆离心率e 的取值范围.解 (1)由椭圆的定义知,2a =|PF 1|+|PF 2|=(2+2)+(2-2)=4,故a =2. 设椭圆的半焦距为c ,由已知得PF 1⊥PF 2, 因此2c =|F 1F 2|=|PF 1|2+|PF 2|2=(2+2)2+(2-2)2=23, 即c =3,从而b =a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)如图,由PF 1⊥PQ ,|PQ |=λ|PF 1|,得|QF 1|=|PF 1|2+|PQ |2=1+λ2|PF 1|. 由椭圆的定义知,|PF 1|+|PF 2|=2a , |QF 1|+|QF 2|=2a ,所以|PF 1|+|PQ |+|QF 1|=4a . 于是(1+λ+1+λ2)|PF 1|=4a , 解得|PF 1|=4a1+λ+1+λ2, 故|PF 2|=2a -|PF 1|=2a (λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2. 由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2=4c 2,从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1+λ+1+λ22+⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a (λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ22=4c 2, 两边除以4a 2,得4(1+λ+1+λ2)2+(λ+1+λ2-1)2(1+λ+1+λ2)2=e 2.若记t =1+λ+1+λ2,则上式变成e 2=4+(t -2)2t 2=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t -142+12. 由34≤λ<43及1+λ+1+λ2关于λ的单调性,得3≤t <4,即14<1t ≤13, 进而12<e 2≤59,即22<e ≤53.。
高中数学 第九章9.5椭圆(共87张PPT)
由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16,故 a=4. ∴b2=8. 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 ________________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
2
的直线 l 交 C 于 A, 两点, B 且△ABF2
题型分类·深度剖析
题型一 求椭圆的标准方程
思维启迪 解析 答案 探究提高
【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦 点组成一个正三角形;且焦点到同侧 顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程
x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1 12 9 9 12 为____________________________;
图形 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a
得 e (0<e<1).
性 质
范围 对称性
对称轴:坐标轴 对称中心:原点
题型分类 思想方法 练出高分
基础知识
基础知识·自主学习
要点梳理
A1(-a,0), 顶点 A2(a,0) B2(0,b) 性 质 焦距 离心率 a,b,c 的关系 轴 A1(0,-a), A2(0,a) B2(b,0)
基础知识 题型分类
.
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 安徽)如图,F1、F2 分别是椭圆 C: x2 y2 + =1(a>b>0)的左、 右焦点, 是椭圆 C 的顶点, A a2 b2
B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, 1AF2=60° ∠F . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何椭圆教案理解析版
基础知识整合1.椭圆的概念在平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做错误!椭圆.这两定点叫做椭圆的错误!焦点,两焦点间的距离叫做错误!焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若错误!a>c,则集合P表示椭圆;(2)若错误!a=c,则集合P表示线段;(3)若错误!a<c,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质(1)设椭圆错误!+错误!=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,P点在短轴端点处;当x=±a时,|OP|有最大值a,P点在长轴端点处.(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a为斜边,a2=b2+c2.(3)已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a.(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为错误!.(5)椭圆离心率e=错误!.1.已知椭圆错误!+错误!=1,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于()A.4B.5C.7 D.8答案D解析椭圆焦点在y轴上,∴a2=m—2,b2=10—m.又c=2,∴m—2—(10—m)=c2=4.∴m=8.2.(2018·广西模拟)若椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距,所以b=c,所以a2=b2+c2=2c2,所以e=错误!=错误!,故选C.3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于错误!,则椭圆C的方程是()A.错误!+错误!=1B.错误!+错误!=1C.错误!+错误!=1D.错误!+错误!=1答案D解析依题意,设椭圆方程为错误!+错误!=1(a>b>0),所以错误!解得a2=9,b2=8.故椭圆C 的方程为错误!+错误!=1.4.(2019·西安模拟)已知点P(x1,y1)是椭圆错误!+错误!=1上的一点,F1,F2是其左、右焦点,当∠F1PF2最大时,△PF1F2的面积是()A.错误!B.12C.16(2+错误!)D.16(2—错误!)答案B解析∵椭圆的方程为错误!+错误!=1,∴a=5,b=4,c=错误!=3,∴F1(—3,0),F2(3,0).根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2最大,此时△PF1F2的面积S=错误!×2×3×4=12,故选B.5.椭圆3x2+ky2=3的一个焦点是(0,错误!),则k=________.答案1解析方程3x2+ky2=3可化为x2+错误!=1.a2=错误!>1=b2,c2=a2—b2=错误!—1=2,解得k=1.6.设椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F 2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为________.答案错误!解析设|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2x,|F1F2|=错误!x.又|PF1|+|PF 2|=2a,|F1F2|=2c.∴2a=3x,2c=错误!x,∴C的离心率为e=错误!=错误!.核心考向突破考向一椭圆定义的应用例1(1)(2018·湖北八校联考)设F1,F2为椭圆错误!+错误!=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则错误!的值为()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析由题意知a=3,b=错误!,c=2.设线段PF1的中点为M,则有OM∥PF2,∵OM⊥F1F2,∴PF2⊥F1F2,∴|PF2|=错误!=错误!.又∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF1|=2a—|PF2|=错误!,∴错误!=错误!×错误!=错误!.故选B.(2)设F1,F2分别是椭圆E:错误!+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E 于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16.则|AF2|=________.答案5解析由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3.∵△ABF2的周长为16,∴4a=16,∴a=4.则|AF1|+|AF2|=2a=8,∴|AF2|=8—|AF1|=8—3=5.触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|,通过整体代入可求其面积等.即时训练1.(2019·甘肃联考)设A,B是椭圆C:错误!+错误!=1的两个焦点,点P是椭圆C与圆M:x2+y2=10的一个交点,则||PA|—|PB||=()A.2错误!B.4错误!C.4错误!D.6错误!答案C解析由题意知,A,B恰好在圆M上且AB为圆M的直径,∴|PA|+|PB|=2a=4错误!,|PA|2+|PB|2=(2c)2=40,∴(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|,解得2|PA||PB|=8,∴(|PA|—|PB|)2=|PA|2+|PB|2—2|PA||PB|=32,则||PA|—|PB||=4错误!,故选C.2.已知椭圆C:错误!+错误!=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=________.解析取MN的中点为G,点G在椭圆C上.设点M关于椭圆C的焦点F1的对称点为A,点M关于椭圆C的焦点F2的对称点为B,则有|GF1|=错误!|AN|,|GF2|=错误!|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF 1|+|GF2|)=4a=12.考向二椭圆的标准方程例2(1)(2019·杭州模拟)已知椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为错误!,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4错误!,则C的方程为()A.错误!+错误!=1B.错误!+y2=1C.错误!+错误!=1D.错误!+错误!=1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a=4错误!,则a=错误!,又错误!=错误!=错误!,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为错误!+错误!=1.选A.(2)已知A错误!,B是圆:错误!2+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为________.答案x2+错误!y2=1解析如图,由题意知|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2.所以|PA|+|PF|=2且|PA|+|PF|>|AF|,即动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,a=1,c=错误!,b2=错误!.所以动点P的轨迹方程为x2+错误!y2=1.触类旁通求椭圆方程的常用方法(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.2待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n,再用待定系数法求出m,n的值即可.即时训练3.(2019·青岛模拟)已知F1(—1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为()A.错误!+y2=1B.错误!+错误!=1C.错误!+错误!=1D.错误!+错误!=1答案C解析如图,|AF2|=错误!|AB|=错误!,|F1F2|=2,由椭圆定义,得|AF1|=2a—错误!. 1在Rt△AF1F2中,|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2=错误!2+22.2由12得a=2,∴b2=a2—c2=3.∴椭圆C的方程为错误!+错误!=1,应选C.4.设F1,F2为椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4错误!的等边三角形,则椭圆C的方程为________.答案错误!+错误!=1解析l经过F1垂直于x轴,得yA=错误!,在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°,得错误!=错误!×2c,错误!×2c×错误!=4错误!,a2=b2+c2,解得a2=9,b2=6,c2=3.所求的椭圆方程为错误!+错误!=1.考向三椭圆的几何性质例3(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C:错误!+错误!=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案C解析根据题意,可知c=2,因为b2=4,所以a2=b2+c2=8,即a=2错误!,所以椭圆C的离心率为e=错误!=错误!.故选C.率e的取值范围是________.答案错误!解析∵c2—b2+ac<0,∴c2—(a2—c2)+ac<0,即2c2—a2+ac<0,∴2错误!—1+错误! <0,即2e2+e—1<0,解得—1<e<错误!.又∵0<e<1,∴0<e<错误!.∴椭圆的离心率e的取值范围是错误!.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法:一是通过已知条件列方程组,解出a,c的值;二是由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.即时训练5.(2018·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF 2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1—错误!B.2—错误!C.错误!D.错误!—1答案D解析在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,设|PF2|=m,则2c=|F1F2|=2m,|PF 1|=错误!m,又由椭圆定义可知2a=|PF1|+|PF2|=(错误!+1)m,则离心率e=错误!=错误!=错误!=错误!—1.故选D.6.(2019·江苏模拟)已知椭圆错误!+错误!=1(a>b>0),A为左顶点,B为上顶点,F为右焦点且AB⊥BF,则这个椭圆的离心率等于________.答案错误!解析由题意得A(—a,0),B(0,b),F(c,0),∵AB⊥BF,∴错误!·错误!=0,∴(a,b)·(c,—b)=ac—b2=ac—a2+c2=0,∴e—1+e2=0,解得e=错误!.考向四直线与椭圆的位置关系角度错误!弦的中点问题例4(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:错误!+错误!=1交于A,B两点.线段AB 的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<—错误!;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且F错误!+F错误!+F错误!=0.证明:|错误!|,|错误!|,|错误! |成等差数列,并求该数列的公差.解(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则错误!+错误!=1,错误!+错误!=1.两式相减,并由错误!=k得错误!+错误!·k=0.由题设知错误!=1,错误!=m,于是k=—错误!.1由题设得m< 错误!=错误!,且m>0,即0<m<错误!,故k<—错误!.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则由(1)及题设得(x3—1,y3)+(x1—1,y1)+(x2—1,y2)=(0,0),x3=3—(x1+x2)=1,y3=—(y1+y2)=—2m<0.又点P在C上,所以m=错误!,从而P错误!,|F错误!|=错误!.于是|F错误!|=错误!=错误!=2—错误!.同理|F错误!|=2—错误!.所以|F错误!|+|F错误!|=4—错误!(x1+x2)=3.故2|F错误!|=|F错误!|+|F错误!|,即|错误!|,|错误!|,|错误!|成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=||错误!|—|错误!||=错误!|x1—x2|=错误!错误!.2将m=错误!代入1得k=—1.所以l的方程为y=—x+错误!,代入C的方程,并整理得7x2—14x+错误!=0.故x1+x2=2,x1x2=错误!,代入2解得|d|=错误!.所以该数列的公差为错误!或—错误!.角度错误!弦长的问题例5(2019·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=错误!.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l的斜率为错误!,直线l与椭圆C交于A,B两点.求△PAB面积的最大值.解(1)∵e2=错误!=错误!=错误!,∴a2=4b2.又椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)过点P(2,1),∴错误!+错误!=1,∴a2=8,b2=2.故所求椭圆方程为错误!+错误!=1.(2)设l的方程为y=错误!x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立错误!整理,得x2+2mx +2m2—4=0.∵Δ=4m2—8m2+16>0,解得|m|<2.∴x1+x2=—2m,x1x2=2m2—4.则|AB|=错误!× 错误!=错误!.点P到直线l的距离d=错误!=错误!.∴S△PAB=错误!d|AB|=错误!×错误!×错误!=错误!≤错误!=2.当且仅当m2=2,即m=±错误!时取得最大值.触类旁通1解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题.(3)直线与椭圆相交时常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)中点弦或弦点差法(结果要检验Δ>0)的中点即时训练7.(2019·广西联考)已知椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>1)的焦距为2,过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为错误!,过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为P.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D错误!,求k的值.解(1)由题易得,过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为错误!.设椭圆的右焦点的坐标为(c,0),依题意知错误!又因为b>1,解得a=2,b=错误!,c=1,所以椭圆C的标准方程为错误!+错误!=1.(2)由题意,过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k(x—1),将其代入错误!+错误!=1,得(3+4k2)x2—8k2x+4k2—12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=错误!,x1x2=错误!,所以y1+y2=k(x1+x2)—2k=错误!.因为P为线段AB的中点,所以点P的坐标为错误!.又因为直线PD的斜率为—错误!,所以直线PD的方程为y—错误!=—错误!错误!.令y=0,得x=错误!,所以点D的坐标为错误!,则错误!=错误!,解得k=±1.8.(2019·云南昆明模拟)已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆E过点C(0,1),离心率为错误!.(1)求椭圆E的方程;(2)直线l过椭圆E的左焦点F,且与椭圆E交于A,B两点,若△OAB的面积为错误!,求直线l的方程.解(1)设椭圆E的方程为错误!+错误!=1(a>b>0),由已知得错误!解得a2=2,b2=1,所以椭圆E的方程为错误!+y2=1.(2)由已知,直线l过左焦点F(—1,0).当直线l与x轴垂直时,A错误!,B错误!,此时|AB|=错误!,则S△OAB=错误!×错误!×1=错误!,不满足条件.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).由错误!得(1+2k2)x2+4k2x+2k2—2=0,所以x1+x2=—错误!,x1x2=错误!.因为S△OAB=错误!|OF|·|y1—y2|=错误!|y1—y2|,由已知S△OAB=错误!得|y1—y2|=错误!.因为y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=k· 错误!+2k=错误!,y1y2=k(x1+1)·k(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)=错误!,所以|y1—y2|=错误!=错误!=错误!,所以k4+k2—2=0,解得k=±1,所以直线l的方程为x—y+1=0或x+y+1=0.1.已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|错误!+错误!|的最小值是()A.0 B.1C.2D.2错误!答案C解析解法一:设P(x0,y0),则错误!=(—1—x0,—y0),错误!=(1—x0,—y0),所以错误!+错误!=(—2x0,—2y0),所以|错误!+错误!|=错误!=2错误!=2错误!.因为点P在椭圆上,所以0≤y 错误!≤1,所以当y错误!=1时,|错误!+错误!|取最小值2.解法二:由错误!+错误!=错误!+错误!+错误!+错误!=2错误!求解.故选C.2.已知F是椭圆错误!+错误!=1的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,求|PA|+|PF|的最大值和最小值.解由题意知a=3,b=错误!,c=2,F(—2,0).设椭圆右焦点为F′,则|PF|+|PF′|=6,所以|PA|+|PF|=|PA|—|PF′|+6.当P,A,F′三点共线时,|PA|—|PF′|取到最大值|AF′|=错误!,或者最小值—|AF′|=—错误!.所以|PA|+|PF|的最大值为6+错误!,最小值为6—错误!.3.在椭圆错误!+错误!=1上求一点,使它到直线2x—3y+15=0的距离最短.解设所求点坐标为A(3错误!cosθ,2错误!sinθ),θ∈R,由点到直线的距离公式得=错误!,当θ=2kπ+错误!,k∈Z时,d取到最小值错误!,此时A点坐标为(—3,2).答题启示椭圆中距离的最值问题一般有3种解法:(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e);(2)根据椭圆标准方程的特点,把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上);(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标,转化为三角问题求解.对点训练1.设P,Q分别为圆x2+(y—6)2=2和椭圆错误!+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5错误!B.错误!+错误!C.7+错误!D.6错误!答案D解析解法一:设椭圆上任意一点为Q(x,y),则圆心(0,6)到点Q的距离d=错误!=错误!=错误!≤5错误!,P,Q两点间的最大距离d′=dmax+错误!=6错误!.解法二:易知圆心坐标为M(0,6),|PQ|的最大值为|MQ|max+错误!,设Q(错误!cosθ,sinθ),则|MQ|=错误!=错误!当sinθ=—错误!时,|MQ|max=5错误!,所以|PQ|max=5错误!+错误!=6错误!.故选D.2.如图,焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!=1的离心率e=错误!,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为________.答案4解析设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,因为e=错误!=错误!,所以c=1,所以b2=a2—c2=3.所以椭圆方程为错误!+错误!=1.所以—2≤x0≤2,—错误!≤y0≤错误!.因为F(—1,0),A(2,0),错误!=(—1—x0,—y0),错误!=(2—x0,—y0),所以错误!·错误!=x错误!—x0—2+y错误!=错误!x错误!—x0+1=错误!(x0—2)2.即当x0=—2时,错误!·错误!取得最大值4.。
高考数学(理)一轮资源库 第九章 9.5椭圆
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)第二定义:平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线(F 不在 l 上)的距离的比是常数 e( 0<e<1 )时,则这个点的轨 迹是椭圆.定点是椭圆的 焦点 ,定直线叫椭圆的 准线 ,常 数是椭圆的 离心率 . 2.椭圆的标准方程和几何性质
A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b F1F2=2c e=ac∈(0,1)
c2=a2-b2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关
于 a,b 的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有
时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,
m≠n)的形式.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)过点( 3,- 5),且与椭圆2y52 +x92=1 有相同焦
点的椭圆的标准方程为____________. (2)已知 P 是椭圆1x020+3y62 =1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、
右焦点,若∠F1PF2=60°,则△PF1F2 的面积为____________. 解析 (1)方法一 椭圆2y52 +x92=1 的焦点为(0,-4),(0,4),
练出高分
基础知识
高考数学(理)一轮复习人教A版-第九章 平面解析几何-第5节 椭 圆 第2课时
考点二 椭圆性质的应用
[训练 2] (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面 积的最大值为 1,则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2
解析 (1)设 a,b,c 分别为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距, 依题意知,当三角形的高为 b 时面积最大, 所以12×2cb=1,bc=1, 而 2a=2 b2+c2≥2 2bc=2 2 (当且仅当 b=c=1 时取等号),故选 D. 答案 (1)D
考点三 直线与椭圆(多维探究)
弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系:直线与椭圆方程联立,消元,利用根与系数关系 表示中点;(2)点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点、 斜率.
考点三 直线与椭圆(多维探究)
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,先把直
命题角度 2
直线与椭圆的位置关系(易错警示)
解得 k2<4, 综上可得43<k2<4,
则
23<k<2
或-2<k<-
3 2.
则满足条件的斜率 k 的取值范围为-2,- 23∪ 23,2.
考点三 直线与椭圆(多维探究)
1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭 圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问
考点二 椭圆性质的应用
利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最值时,经常用到椭圆标 准方程中 x,y 的范围,离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆几 何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长 轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.
点,当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时,求直线 l 斜率的取值范围.
高考数学(理科)人教1轮复习课件:第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其几
=x20-y20 a2=ba22(xa20-2-ax2 20) =-ba22=-12. 所以 a2=2b2=2(a2-c2),
即
a2=2c2.所以
e=ac=
2 2.
2.(2018·新余模拟)椭圆 C 的两个焦点分别是 F1,F2,若 C 上
的点 P 满足|PF1|=32|F1F2|,则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是
考点一 椭圆的定义与标准方程
(1)已知椭圆x42+y22=1 的两个焦点是 F1,F2,点 P 在该
椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2 的面积是( )
A. 2
B.2
C.2 2
D. 3
(2)一个椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)
是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的
B. x 2 +y2=1 10
C.x2+y2=1 54
D. x2 + y2 =1 100 91
解析:选 A.设动圆的半径为 r,圆心为 P(x,y), 则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r. 所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|, 即 P 在以 C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为 10 的椭圆上, 得点 P 的轨迹方程为2x52+1y62 =1.
6 A. 3
3 B. 3
C.
2 3
D.13
(2)已知椭圆 mx2+4y2=1 的离心率为 22,则实数 m 等于(
)
A.2
B.2 或83
C.2 或 6
D.2 或 8
【解析】 (1)以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2+y2=a2,
由原点到直线 bx-ay+2ab=0 的距离 d= b22a+b a2=a,
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 直线与椭圆教学案 理 新人教A版-新
第2课时 直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y =kx +1与椭圆x 25+y 2m=1总有公共点,则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y =kx +1恒过点(0,1), 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上, 则0<1m≤1且m ≠5,故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,mx 2+5y 2-5m =0,消去y 整理得(5k 2+m )x 2+10kx +5(1-m )=0.由题意知Δ=100k 2-20(1-m )(5k 2+m )≥0对一切k ∈R 恒成立, 即5mk 2+m 2-m ≥0对一切k ∈R 恒成立, 由于m >0且m ≠5,∴5k 2+m -1≥0, ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l :y =2x +m ,椭圆C :x 24+y 22=1.试问当m 取何值时,直线l 与椭圆C :(1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +m ,①x 24+y22=1,②将①代入②,整理得9x 2+8mx +2m 2-4=0.③方程③根的判别式Δ=(8m )2-4×9×(2m 2-4)=-8m 2+144.(1)当Δ>0,即-32<m <32时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m =±32时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0,即m <-32或m >32时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 直线l 的方程为y =x +t ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4y 2=4,y =x +t ,消去y ,得5x 2+8tx +4(t 2-1)=0,则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4t 2-15.∴|AB |=2|x 1-x 2| =2x 1+x 22-4x 1x 2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫-85t 2-4×4t 2-15=425·5-t 2, 当t =0时,|AB |max =4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1,1)为椭圆x 24+y 22=1内一定点,经过P 引一条弦,使此弦被P 点平分,则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x +2y -3=0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在,∴设其方程为y -1=k (x -1),弦所在的直线与椭圆相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y -1=k x -1,x 24+y22=1,消去y 得,(2k 2+1)x 2-4k (k -1)x +2(k 2-2k -1)=0, ∴x 1+x 2=4k k -12k 2+1,又∵x 1+x 2=2, ∴4kk -12k 2+1=2,解得k =-12. 经检验,k =-12满足题意.故此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在,∴设斜率为k ,弦所在的直线与椭圆相交于A ,B 两点, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 214+y 212=1,①x 224+y 222=1,②①-②得x 1+x 2x 1-x 24+y 1+y 2y 1-y 22=0,∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, ∴x 1-x 22+y 1-y 2=0,∴k =y 1-y 2x 1-x 2=-12. 经检验,k =-12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=1+k2[x 1+x 22-4x 1x 2]=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1k 2[y 1+y22-4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (-1,0),B (1,0),过焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ,D 两点,当|CD |=322时,则直线l 的方程为________. 答案2x -y +1=0或2x +y -1=0.解析 由题意得b =1,c =1. ∴a 2=b 2+c 2=1+1=2. ∴椭圆方程为y 22+x 2=1.若直线l 斜率不存在时,|CD |=22,不符合题意. 若l 斜率存在时,设l 的方程为y =kx +1,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,y 2+2x 2=2,得(k 2+2)x 2+2kx -1=0.Δ=8(k 2+1)>0恒成立.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2). ∴x 1+x 2=-2k k 2+2,x 1x 2=-1k 2+2. ∴|CD |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2x 1+x 22-4x 1x 2=22k 2+1k 2+2.即22k 2+1k 2+2=322,解得k 2=2,∴k =± 2.∴直线l 方程为2x -y +1=0或2x +y -1=0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP的直线l 交椭圆于A ,B 两点,且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1,12,则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1,12,∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=1.∵PF ∥l ,∴k PF =k l =-b c =y 1-y 2x 1-x 2.∵x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1. ∴x 1+x 2x 1-x 2a 2+y 1+y 2y 1-y 2b2=0,∴2a 2+-bc b2=0,可得2bc =a 2,∴4c 2(a 2-c 2)=a 4,化为4e 4-4e 2+1=0, 解得e 2=12,又∵0<e <1,∴e =22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4,离心率为55. (1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上,若|ON |=|OF |(O 为原点),且OP ⊥MN ,求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ,依题意知,2b =4,c a =55, 又a 2=b 2+c 2,可得a =5,b =2,c =1. 所以,椭圆的方程为x 25+y 24=1.(2)由题意,设P (x P ,y P )(x P ≠0),M (x M ,0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0),又B (0,2),则直线PB 的方程为y =kx +2,与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,x 25+y24=1,整理得(4+5k 2)x 2+20kx =0,可得x P =-20k 4+5k2,代入y =kx +2得y P =8-10k24+5k2,进而直线OP 的斜率为y P x P =4-5k 2-10k.在y =kx +2中,令y =0,得x M =-2k.由题意得N (0,-1),所以直线MN 的斜率为-k2.由OP ⊥MN ,得4-5k 2-10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-k 2=-1,化简得k 2=245,从而k =±2305.所以,直线PB 的斜率为2305或-2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时,常用到“设而不求”的方法,即联立直线和椭圆的方程,消去y (或x )得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),短轴的两个端点分别为B 1,B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,且F 1P →⊥F 1Q →,求直线l 的方程.解 (1)由题意知,△F 1B 1B 2为等边三角形,则⎩⎨⎧c =3b ,c =1,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2=3b 2,a 2-b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=43,b 2=13,故椭圆C 的方程为3x 24+3y 2=1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22+y 2=1,当直线l 的斜率不存在时,其方程为x =1,不符合题意; 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -1),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -1,x 22+y 2=1,得(2k 2+1)x 2-4k 2x +2(k 2-1)=0,Δ=8(k 2+1)>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-12k 2+1,F 1P →=(x 1+1,y 1),F 1Q →=(x 2+1,y 2),因为F 1P →⊥F 1Q →,所以F 1P →·F 1Q →=0,即(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+x 2)+1+k 2(x 1-1)(x 2-1)=(k 2+1)x 1x 2-(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=7k 2-12k 2+1=0,解得k 2=17,即k =±77,故直线l 的方程为x +7y -1=0或x -7y -1=0.1.若直线mx +ny =4与⊙O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析 由题意知,4m 2+n2>2,即m 2+n 2<2, ∴点P (m ,n )在椭圆x 29+y 24=1的内部, 故所求交点个数是2.2.直线y =kx +1,当k 变化时,此直线被椭圆x 24+y 2=1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0,1),且点(0,1)在椭圆上,可设另外一个交点为(x ,y ), 则弦长为x 2+y -12=4-4y 2+y 2-2y +1=-3y 2-2y +5,当y =-13时,弦长最大为433.3.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0),则直线AB 的方程为y =2x -2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25+y 24=1,y =2x -2,解得交点坐标为(0,-2),⎝ ⎛⎭⎪⎫53,43,不妨设A 点的纵坐标y A =-2,B 点的纵坐标y B =43,∴S △OAB =12·|OF |·|y A -y B |=12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪-2-43=53, 故选B.4.已知椭圆x 236+y 29=1以及椭圆内一点P (4,2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.-12C.2D.-2 答案 B解析 设弦所在直线的斜率为k ,弦的端点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,⎩⎪⎨⎪⎧x 2136+y 219=1,x 2236+y229=1,两式相减,得x 1+x 2x 1-x 236+y 1+y 2y 1-y 29=0,所以2x 1-x 29=-4y 1-y 29,所以k =y 1-y 2x 1-x 2=-12. 经检验,k =-12满足题意.故弦所在直线的斜率为-12.故选B.5.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点,若AB 的中点为M (1,-1),则椭圆E 的方程为( )A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1 答案 D解析 k AB =0+13-1=12,k OM =-1,由k AB ·k OM =-b 2a 2,得b 2a 2=12,∴a 2=2b 2.∵c =3,∴a 2=18,b 2=9,椭圆E 的方程为x 218+y 29=1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2+by 2=1(a >0,b >0)与直线y =1-x 交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32,则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析 方法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则ax 21+by 21=1,ax 22+by 22=1, 即ax 21-ax 22=-(by 21-by 22),则by 21-by 22ax 21-ax 22=-1,b y 1-y 2y 1+y 2a x 1-x 2x 1+x 2=-1,由题意知,y 1-y 2x 1-x 2=-1, 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,y 1+y 22与原点的直线的斜率为32,即y 1+y 2x 1+x 2=32, ∴b a×(-1)×32=-1, ∴b a =233,故选B. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y =1-x ,ax 2+by 2=1消去y ,得(a +b )x 2-2bx +b -1=0, 可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +b ,a a +b ,∴k OP =a b =32,∴b a =233. 7.直线y =kx +k +1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系是________.答案 相交解析 由于直线y =kx +k +1=k (x +1)+1过定点(-1,1),而(-1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.8.设F 1,F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,经过F 1的直线交椭圆C 于A ,B 两点,若△F 2AB 是面积为43的等边三角形,则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29+y 26=1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形,∴AB ⊥x 轴,∴A ,B 两点的横坐标为-c ,代入椭圆方程,可求得|F 1A |=|F 1B |=b 2a.又|F 1F 2|=2c ,∠F 1F 2A =30°,∴b 2a =33×2c .① 又2F AB S △=12×2c ×2b2a=43,②a 2=b 2+c 2,③由①②③解得a 2=9,b 2=6,c 2=3, ∴椭圆C 的方程为x 29+y 26=1.9.设F 1,F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P ,使(OP →+OF 2→)·PF 2→=0(O为坐标原点),则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →+OF 2→)·PF 2→=(OP →+F 1O →)·PF 2→=F 1P →·PF 2→=0,∴PF 1⊥PF 2,∠F 1PF 2=90°. 设|PF 1|=m ,|PF 2|=n , 则m +n =4,m 2+n 2=12, ∴2mn =4,mn =2, ∴12F PF S △=12mn =1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,且|AF 1|=3|BF 1|,|AB |=|BF 2|,则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析 设|BF 1|=k ,则|AF 1|=3k ,|BF 2|=4k .由|BF 1|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|=2a ,得2a =5k ,|AF 2|=2k .在△ABF 2中,cos∠BAF 2=4k 2+2k 2-4k 22×4k ×2k=14, 又在△AF 1F 2中,cos∠F 1AF 2=3k 2+2k 2-2c22×3k ×2k =14, 所以2c =10k ,故离心率e =ca =105. 11.已知椭圆C :x 22+y 24=1,过椭圆C 上一点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线PA ,PB ,分别交椭圆C 于A ,B 两点,则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),同时设PA 的方程为y -2=k (x -1),代入椭圆方程化简,得(k 2+2)x 2-2k (k -2)x +k 2-22k -2=0,显然1和x 1是这个方程的两解,因此x 1=k 2-22k -2k 2+2,y 1=-2k 2-4k +22k 2+2, 由-k 代替x 1,y 1中的k ,得x 2=k 2+22k -2k 2+2,y 2=-2k 2+4k +22k 2+2, 所以y 2-y 1x 2-x 1= 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,E 的离心率为22,点(0,1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点,且BF 1→=2F 1A →,求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知,b =1,且e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=12, 解得a 2=2,所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1. (2)由题意知,直线AB 的斜率存在且不为0,故可设直线AB 的方程为x =my -1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22+y 2=1,x =my -1,得(m 2+2)y 2-2my -1=0,则y 1+y 2=2m m 2+2,① y 1y 2=-1m 2+2,② 因为F 1(-1,0),所以BF 1→=(-1-x 2,-y 2),F 1A →=(x 1+1,y 1),由BF 1→=2F 1A →可得,-y 2=2y 1,③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,±144, 则2BF k =146或-146, 所以直线BF 2的方程为14x -6y -14=0或14x +6y -14=0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C :x 2+y 2b 2=1(b >0,且b ≠1)与直线l :y =x +m 交于M ,N 两点,B 为上顶点.若|BM |=|BN |,则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63,1D.⎝⎛⎦⎥⎤0,63 答案 C解析 设直线y =x +m 与椭圆x 2+y 2b 2=1的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y =x +m ,x 2+y 2b 2=1,得(b 2+1)x 2+2mx +m 2-b 2=0, 所以x 1+x 2=-2m b 2+1,x 1x 2=m 2-b 2b 2+1, Δ=(2m )2-4(b 2+1)(m 2-b 2)=4b 2(b 2+1-m 2)>0.设线段MN 的中点为G ,知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-m b 2+1,b 2m b 2+1, 因为|BM |=|BN |,所以直线BG 垂直平分线段MN ,所以直线BG 的方程为y =-x +b ,且经过点G ,可得b 2m b 2+1=m b 2+1+b ,解得m =b 3+b b 2-1. 因为b 2+1-m 2>0,所以b 2+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3+b b 2-12>0, 解得0<b <33, 因为e 2=1-b 2,所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),斜率为-12的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6,c 3,则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1, 两式相减得x 1-x 2x 1+x 2a 2+y 1-y 2y 1+y 2b 2=0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6,c 3, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1+x 2-c 3=c 6,y 1+y 23=c 3,故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1+x 2=3c 2,y 1+y 2=c ,代入(*)式得3x 1-x 2c 2a 2+y 1-y 2c b 2=0, 所以y 1-y 2x 1-x 2=-3b 22a 2=-12,即a 2=3b 2, 所以椭圆C 的离心率e =63. 15.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则椭圆在其上一点A (x 0,y 0)处的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1.试运用该性质解决以下问题,椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),其焦距为2,且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,22,点B 为C 1在第一象限中的任意一点,过B 作C 1的切线l ,l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ,D 两点,则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析 由题意可得2c =2,即c =1,a 2-b 2=1,将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,22代入椭圆方程,可得1a 2+12b 2=1, 解得a =2,b =1,即椭圆的方程为x 22+y 2=1,设B (x 2,y 2), 则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x +y 2y =1, 令x =0,得y D =1y 2,令y =0,可得x c =2x 2, 所以S △OCD =12·1y 2·2x 2=1x 2y 2, 又点B 为椭圆在第一象限上的点,所以x 2>0,y 2>0,x 222+y 22=1, 即有1x 2y 2=x 222+y 22x 2y 2=x 22y 2+y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2=2, 即S △OCD ≥2,当且仅当x 222=y 22=12, 即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,22时,△OCD 面积取得最小值2,故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0),且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ,B 两点,当OA ⊥OB 时,求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0), 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2-b 2=3,1a 2+34b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=4,b 2=1.故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1. (2)直线OP 的方程为y =32x ,设直线AB 的方程为y =32x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2+3mx +m 2-1=0,由Δ=3m 2-4(m 2-1)>0,得m 2<4, 所以x 1+x 2=-3m ,x 1x 2=m 2-1. 由OA ⊥OB ,得OA →·OB →=0,OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1+m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2+m =74x 1x 2+32m (x 1+x 2)+m 2=74(m 2-1)+32m ·(-3m )+m 2=54m 2-74=0,得m 2=75. 又|AB |=1+34x 1+x 22-4x 1x 2=72·4-m 2, O 到直线AB 的距离d =|m |1+34=|m |72, 所以S △AOB =12·|AB |·d =12×72×4-m 2×|m |72=9110.。
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_5椭圆教师用书理新人教版
第九章平面解析几何 9.5 椭圆教师用书理新人教版1.椭圆的概念平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:(1)若a>c,则集合P为椭圆;(2)若a=c,则集合P为线段;(3)若a<c,则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1 (a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=ca∈(0,1)a,b,c的关系a2=b2+c2【知识拓展】点P(x0,y0)和椭圆的关系(1)点P (x 0,y 0)在椭圆内⇔x 20a 2+y 20b 2<1.(2)点P (x 0,y 0)在椭圆上⇔x 20a 2+y 20b 2=1.(3)点P (x 0,y 0)在椭圆外⇔x 20a 2+y 20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1,F 2构成△PF 1F 2的周长为2a +2c (其中a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ )(5)y 2a 2+x 2b 2=1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的焦距相等.( √ )1.(教材改编)椭圆x 210-m +y 2m -2=1的焦距为4,则m 等于( )A .4B .8C .4或8D .12 答案 C 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10-m >m -2>0,10-m -m -2=4或⎩⎪⎨⎪⎧m -2>10-m >0,m -2-10-m =4,解得m =4或m =8.2.(2015·广东)已知椭圆x 225+y 2m2=1(m >0)的左焦点为F 1(-4,0),则m 等于( )A .2B .3C .4D .9 答案 B解析 由题意知25-m 2=16,解得m 2=9,又m >0,所以m =3.3.(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 如图,由题意得,|BF |=a ,|OF |=c ,|OB |=b ,|OD |=14×2b =12b .在Rt△FOB 中,|OF |×|OB |=|BF |×|OD |,即cb =a ·12b ,解得a =2c ,故椭圆离心率e =ca =12,故选B. 4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22+y 22k=1,因为焦点在y 轴上,则2k>2,即k <1,又k >0,所以0<k <1.5.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25+y 24=1上y 轴右侧的一点,且以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积等于1,则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152,1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152,-1 解析 设P (x ,y ),由题意知c 2=a 2-b 2=5-4=1,所以c =1,则F 1(-1,0),F 2(1,0),由题意可得点P 到x 轴的距离为1,所以y =±1,把y =±1代入x 25+y 24=1,得x =±152,又x >0,所以x =152,所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152,1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152,-1.题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·济南模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O ,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD ,设CD 与OM 交于点P ,则点P 的轨迹是( )A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .圆答案 A解析 由条件知|PM |=|PF |.∴|PO |+|PF |=|PO |+|PM |=|OM |=R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ,F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的3倍,并且过点P (3,0),则椭圆的方程为__________________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(6,1),P 2(-3,-2),则椭圆的方程为________________________________. 答案 (1)x 29+y 2=1或y 281+x 29=1(2)x 29+y 23=1 解析 (1)若焦点在x 轴上,设方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),∵椭圆过P (3,0),∴32a 2+02b2=1,即a =3,又2a =3×2b ,∴b =1,方程为x 29+y 2=1. 若焦点在y 轴上,设方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0).∴02a 2+32b2=1,即b =3.又2a =3×2b ,∴a =9,∴方程为y 281+x 29=1.∴所求椭圆的方程为x 29+y 2=1或y 281+x 29=1.(2)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1,P 2,∴点P 1,P 2的坐标适合椭圆方程.则⎩⎪⎨⎪⎧6m +n =1, ①3m +2n =1, ②①②两式联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =19,n =13.∴所求椭圆方程为x 29+y 23=1. 命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________. 答案 3解析 设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2, 则⎩⎪⎨⎪⎧r 1+r 2=2a ,r 21+r 22=4c 2,∴2r 1r 2=(r 1+r 2)2-(r 21+r 22) =4a 2-4c 2=4b 2, 又∵S △PF 1F 2=12r 1r 2=b 2=9,∴b =3. 引申探究1.在例3中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程. 解 由原题得b 2=a 2-c 2=9, 又2a +2c =18,所以a -c =1,解得a =5, 故椭圆方程为x 225+y 29=1.2.在例3中条件“PF 1→⊥PF 2→”、“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2=60°”“S △PF 1F 2=33”,结果如何?解 |PF 1|+|PF 2|=2a ,又∠F 1PF 2=60°, 所以|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos 60° =|F 1F 2|2,即(|PF 1|+|PF 2|)2-3|PF 1||PF 2|=4c 2, 所以3|PF 1||PF 2|=4a 2-4c 2=4b 2, 所以|PF 1||PF 2|=43b 2,又因为S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|·sin 60°=12×43b 2×32 =33b 2=33, 所以b =3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a ,b 的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )的形式. (3)当P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点F 1,F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|;通过整体代入可求其面积等.(1)已知两圆C 1:(x -4)2+y 2=169,C 2:(x +4)2+y 2=9,动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切,和圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264-y 248=1 B.x 248+y 264=1 C.x 248-y 264=1 D.x 264+y 248=1 (2)(2017·大庆质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P ,使(OP →+OF 2→)·PF 2→=0(O 为坐标原点),则△F 1PF 2的面积是( ) A .4 B .3 C .2 D .1 答案 (1)D (2)D解析 (1)设圆M 的半径为r ,则|MC 1|+|MC 2|=(13-r )+(3+r )=16>8=|C 1C 2|, 所以M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的椭圆, 且 2a =16,2c =8,故所求的轨迹方程为x 264+y 248=1.(2)∵(OP →+OF 2→)·PF 2→=(OP →+F 1O →)·PF 2→=F 1P →·PF 2→=0, ∴PF 1⊥PF 2,∠F 1PF 2=90°. 设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则m +n =4,m 2+n 2=12,2mn =4,∴S △F 1PF 2=12mn =1.题型二 椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1,F 2是椭圆x 2+2y 2=2的左,右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么|PF 1→+PF 2→|的最小值是( )A .0B .1C .2D .2 2(2)(2016·全国丙卷)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点,A ,B分别为椭圆C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 (1)C (2)A解析 (1)设P (x 0,y 0),则PF 1→=(-1-x 0,-y 0),PF 2→=(1-x 0,-y 0),∴PF 1→+PF 2→=(-2x 0,-2y 0),∴|PF 1→+PF 2→|=4x 20+4y 20 =22-2y 20+y 20 =2-y 20+2.∵点P 在椭圆上,∴0≤y 20≤1,∴当y 20=1时,|PF 1→+PF 2→|取最小值2.故选C. (2)设M (-c ,m ),则E ⎝⎛⎭⎪⎫0,am a -c ,OE 的中点为D ,则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,am 2a -c ,又B ,D ,M 三点共线,所以m 2a -c =m a +c ,a =3c ,e =13. 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x ,y 的范围,离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a ,b ,c 的等式或不等式,利用a 2=b 2+c 2消去b ,即可求得离心率或离心率的范围.(2016·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点,直线y =b2与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC =90°,则该椭圆的离心率是________.答案63解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,y =b2,解得B ,C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32a ,b 2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ,b 2,又F (c,0), 则FB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32a -c ,b 2,FC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2-c ,b 2,又由∠BFC =90°,可得FB →·FC →=0,代入坐标可得 c 2-34a 2+b24=0,①又因为b 2=a 2-c 2.代入①式可化简为c 2a 2=23,则椭圆离心率为e =c a=23=63. 题型三 直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2+y 23=1(a >3)的右焦点为F ,右顶点为A .已知1|OF |+1|OA |=3e|FA |,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ,且∠MOA ≤∠MAO ,求直线l 的斜率的取值范围. 解 (1)设F (c,0),由1|OF |+1|OA |=3e|FA |,即1c +1a =3c aa -c,可得a 2-c 2=3c 2. 又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4.所以椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0), 则直线l 的方程为y =k (x -2).设B (x B ,y B ),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =k x -2消去y ,整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x +16k 2-12=0. 解得x =2或x =8k 2-64k 2+3.由题意得x B =8k 2-64k 2+3,从而y B =-12k4k 2+3.由(1)知,F (1,0),设H (0,y H ), 有FH →=(-1,y H ),BF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫9-4k24k 2+3,12k 4k 2+3.由BF ⊥HF ,得BF →·FH →=0, 所以4k 2-94k 2+3+12ky H4k 2+3=0,解得y H =9-4k212k.因此直线MH 的方程为y =-1k x +9-4k212k.设M (x M ,y M ),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -2,y =-1k x +9-4k212k 消去y ,解得x M =20k 2+912k 2+1. 在△MAO 中,∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |, 即(x M -2)2+y 2M ≤x 2M +y 2M ,化简,得x M ≥1,即20k 2+912k 2+1≥1, 解得k ≤-64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64,+∞.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=1+k2[x 1+x 22-4x 1x 2]=1+1k2[y 1+y 22-4y 1y 2](k 为直线斜率).提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.(2016·唐山模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4),离心率e =55,直线l 交椭圆于M ,N 两点. (1)若直线l 的方程为y =x -4,求弦|MN |的长;(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ,求直线l 方程的一般式. 解 (1)由已知得b =4,且c a =55, 即c 2a 2=15,∴a 2-b 2a 2=15, 解得a 2=20,∴椭圆方程为x 220+y 216=1.则4x 2+5y 2=80与y =x -4联立, 消去y 得9x 2-40x =0,∴x 1=0,x 2=409,∴所求弦长|MN |=1+12|x 2-x 1| =4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0),设线段MN 的中点为Q (x 0,y 0), 由三角形重心的性质知 BF →=2FQ →,又B (0,4),∴(2,-4)=2(x 0-2,y 0), 故得x 0=3,y 0=-2, 即Q 的坐标为(3,-2).设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则x 1+x 2=6,y 1+y 2=-4, 且x 2120+y 2116=1,x 2220+y 2216=1, 以上两式相减得x 1+x 2x 1-x 220+y 1+y 2y 1-y 216=0,∴k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-45·x 1+x 2y 1+y 2=-45×6-4=65,故直线MN 的方程为y +2=65(x -3),即6x -5y -28=0.8.高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a ,b ,c 的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b 用a ,c 表示,转化为关于离心率e 的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.典例1 (2015·福建)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,1 解析 左焦点F 0,连接F 0A ,F 0B ,则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |+|BF |=4,∴|AF |+|AF 0|=4, ∴a =2.设M (0,b ),则4b 5≥45,∴1≤b <2.离心率e =ca=c 2a 2= a 2-b 2a 2= 4-b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0,32,故选A. 答案 A典例2 (12分) (2016·浙江)如图,设椭圆x 2a2+y 2=1(a >1).(1)求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a ,k 表示);(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 解 (1)设直线y =kx +1被椭圆截得的线段为AM ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2a2+y 2=1,得(1+a 2k 2)x 2+2a 2kx =0, [2分]故x 1=0,x 2=-2a 2k 1+a 2k2,因此|AM |=1+k 2|x 1-x 2|=2a 2|k |1+a 2k2·1+k 2. [4分] (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足|AP |=|AQ |.记直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2, 且k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2. [5分]由(1)知|AP |=2a 2|k 1|1+k 211+a 2k 21,|AQ |=2a 2|k 2|1+k 221+a 2k 22, 故2a 2|k 1|1+k 211+a 2k 21=2a 2|k 2|1+k 221+a 2k 22, 所以(k 21-k 22)[1+k 21+k 22+a 2(2-a 2)k 21k 22]=0. [7分] 由k 1≠k 2,k 1>0,k 2>0得1+k 21+k 22+a 2(2-a 2)k 21k 22=0, 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21+1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22+1=1+a 2(a 2-2),① 因为①式关于k 1,k 2的方程有解的充要条件是1+a 2(a 2-2)>1,所以a > 2.因此,任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤2,[10分]由e =c a =a 2-1a ,得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0,22]. [12分]1.(2016·湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点,离心率e =12,且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合,则此椭圆方程为( )A.x 24+y 23=1B.x 28+y 26=1C.x 22+y 2=1 D.x 24+y 2=1 答案 A解析 依题意,可设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c =1,又离心率e =c a =12,解得a =2,b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆方程为x 24+y 23=1.2.已知椭圆x 29+y 24-k =1的离心率为45,则k 的值为( )A .-21B .21C .-1925或21D.1925或-21 答案 D解析 当9>4-k >0,即4>k >-5时,a =3,c 2=9-(4-k )=5+k ,∴5+k 3=45,解得k =1925. 当9<4-k ,即k <-5时,a =4-k ,c 2=-k -5, ∴-k -54-k =45,解得k =-21,故选D. 3.(2017·青岛月考)已知A 1,A 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右顶点,P 是椭圆C上异于A 1,A 2的任意一点,若直线PA 1,PA 2的斜率的乘积为-49,则椭圆C 的离心率为( )A.49B.23 C.59 D.53 答案 D解析 设P (x 0,y 0),则y 0x 0+a ×y 0x 0-a =-49,化简得x 20a 2+y 204a29=1,则b 2a 2=49,e = 1-b a2=1-49=53,故选D. 4.2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:①a 1+c 1=a 2+c 2;②a 1-c 1=a 2-c 2;③c 1a 1<c 2a 2;④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( ) A .①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案 D解析 观察图形可知a 1+c 1>a 2+c 2,即①式不正确;a 1-c 1=a 2-c 2=|PF |,即②式正确;由a 1-c 1=a 2-c 2>0,c 1>c 2>0,知a 1-c 1c 1<a 2-c 2c 2,即a 1c 1<a 2c 2,从而c 1a 2>a 1c 2,c 1a 1>c 2a 2,即④式正确,③式不正确.故选D.5.(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( ) A .1 B. 2 C .2 D .2 2 答案 D解析 设a ,b ,c 分别为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距, 依题意知,当三角形的高为b 时面积最大, 所以12×2cb =1,bc =1,而2a =2b 2+c 2≥22bc =2 2 (当且仅当b =c =1时取等号),故选D.*6.(2016·济南质检)设A 1,A 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右顶点,若在椭圆上存在异于A 1,A 2的点P ,使得PO →·PA 2→=0,其中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A .(0,12)B .(0,22) C .(12,1)D .(22,1) 答案 D解析 A 1(-a,0),A 2(a,0),设P (x ,y ),则PO →=(-x ,-y ),PA 2→=(a -x ,-y ), ∵PO →·PA 2→=0,∴(a -x )(-x )+(-y )(-y )=0, ∴y 2=ax -x 2>0,∴0<x <a .将y 2=ax -x 2代入x 2a 2+y 2b2=1,整理得(b 2-a 2)x 2+a 3x -a 2b 2=0,其在(0,a )上有解, 令f (x )=(b 2-a 2)x 2+a 3x -a 2b 2, ∵f (0)=-a 2b 2<0,f (a )=0, 如图,Δ=(a 3)2-4(b 2-a 2)·(-a 2b 2)=a 2(a 4-4a 2b 2+4b 4) =a 2(a 2-2b 2)2≥0, ∴对称轴满足0<-a 32b 2-a 2<a ,即0<a 32a 2-b2<a , ∴a 22c 2<1,∴c 2a 2>12. 又0<c a <1,∴22<ca<1,故选D. 7.若椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点在x 轴上,过点(2,1)作圆x 2+y 2=4的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为________________. 答案x 220+y 216=1 解析 设切点坐标为(m ,n ), 则n -1m -2·nm=-1, 即m 2+n 2-n -2m =0.∵m 2+n 2=4,∴2m +n -4=0, 即直线AB 的方程为2x +y -4=0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, ∴2c -4=0,b -4=0,解得c =2,b =4, ∴a 2=b 2+c 2=20, ∴椭圆方程为x 220+y 216=1.8.已知P 为椭圆x 225+y 216=1上的一点,M ,N 分别为圆(x +3)2+y 2=1和圆(x -3)2+y 2=4上的点,则|PM |+|PN |的最小值为________. 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|+|PF 2|=10,从而|PM |+|PN |的最小值为|PF 1|+|PF 2|-1-2=7.9.(2017·石家庄质检)椭圆x 24+y 2=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上一动点,若∠F 1PF 2为钝角,则点P 的横坐标的取值范围是________________. 答案 (-263,263)解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ,y ), 则F 1P →=(x +3,y ),F 2P →=(x -3,y ). ∵∠F 1PF 2为钝角,∴F 1P →·F 2P →<0,即x 2-3+y 2<0,①∵y 2=1-x 24,代入①得x 2-3+1-x 24<0,34x 2<2,∴x 2<83. 解得-263<x <263,∴x ∈(-263,263).10.(2016·长沙模拟)已知过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A (-a ,0)作直线l 交y 轴于点P ,交椭圆于点Q ,若△AOP 是等腰三角形,且PQ →=2QA →,则椭圆的离心率为________.答案255解析 ∵△AOP 是等腰三角形,A (-a,0),∴P (0,a ). 设Q (x 0,y 0),∵PQ →=2QA →, ∴(x 0,y 0-a )=2(-a -x 0,-y 0).∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-2a -2x 0,y 0-a =-2y 0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-23a ,y 0=a3,代入椭圆方程化简,可得b 2a 2=15,∴e =1-b 2a 2=255. 11.如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,右顶点,上顶点分别为A ,B ,且|AB |=52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率;(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2),且l 交椭圆C 于P ,Q 两点,OP ⊥OQ ,求直线l 的方程及椭圆C 的方程.解 (1)由已知|AB |=52|BF |,即a 2+b 2=52a , 4a 2+4b 2=5a 2,4a 2+4(a 2-c 2)=5a 2, ∴e =c a =32. (2)由(1)知a 2=4b 2,∴椭圆C :x 24b 2+y 2b2=1.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线l 的方程为y -2=2(x -0),即2x -y +2=0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2=0,x 24b 2+y 2b2=1消去y ,得x 2+4(2x +2)2-4b 2=0, 即17x 2+32x +16-4b 2=0.Δ=322+16×17(b 2-4)>0,解得b >21717. x 1+x 2=-3217,x 1x 2=16-4b 217.∵OP ⊥OQ ,∴OP →·OQ →=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,x 1x 2+(2x 1+2)(2x 2+2)=0, 5x 1x 2+4(x 1+x 2)+4=0. 从而516-4b 217-12817+4=0, 解得b =1,满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.12.(2015·天津)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为55.(1)求直线BF 的斜率;(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B ),过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B ),直线PQ 与y 轴交于点M ,|PM |=λ|MQ |. ①求λ的值;②若|PM |sin∠BQP =759,求椭圆的方程.解 (1)设F (-c,0).由已知离心率c a =55及a 2=b 2+c 2,可得a =5c ,b =2c ,又因为B (0,b ),F (-c,0),故直线BF 的斜率k =b -00--c =2cc=2.(2)设点P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q ),M (x M ,y M ).①由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2+y 24c2=1,直线BF 的方程为y =2x +2c .将直线方程与椭圆方程联立,消去y ,整理得3x 2+5cx =0,解得x P =-5c 3.因为BQ ⊥BP ,所以直线BQ 的方程为y =-12x +2c ,与椭圆方程联立,消去y ,整理得21x2-40cx =0,解得x Q =40c21.又因为λ=|PM ||MQ |及x M =0,可得λ=|x M -x P ||x Q -x M |=|x P ||x Q |=78.②因为|PM ||MQ |=78,所以|PM ||PM |+|MQ |=77+8=715,即|PQ |=157|PM |.又因为|PM |sin∠BQP =759,所以|BP |=|PQ |sin∠BQP =157|PM |sin∠BQP =553.又因为y P =2x P +2c =-43c , 所以|BP |=⎝ ⎛⎭⎪⎫0+5c 32+⎝ ⎛⎭⎪⎫2c +4c 32=553c ,因此553c =553,得c =1.所以,椭圆方程为x 25+y 24=1.13.(2016·长春调研)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,上顶点为B ,O为坐标原点,M 为椭圆上任意一点.过F ,B ,A 三点的圆的圆心坐标为(p ,q ). (1)当p +q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2)若点D (b +1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,(MF →+OD →)·MO →的最小值为72,求椭圆的方程.解 (1)设椭圆半焦距为c .由题意AF ,AB 的中垂线方程分别为x =a -c2,y -b 2=a b (x -a2), 于是圆心坐标为(a -c 2,b 2-ac2b ).所以p +q =a -c 2+b 2-ac2b≤0,整理得ab -bc +b 2-ac ≤0,即(a +b )(b -c )≤0, 所以b ≤c ,于是b 2≤c 2,即a 2=b 2+c 2≤2c 2.所以e 2=c 2a 2≥12,即22≤e <1.(2)当e =22时,a =2b =2c , 此时椭圆的方程为x 22c 2+y 2c2=1,设M (x ,y ),则-2c ≤x ≤2c ,所以(MF →+OD →)·MO →=12x 2-x +c 2=12(x -1)2+c 2-12.当c ≥22时,上式的最小值为c 2-12,即c 2-12=72,得c =2; 当0<c <22时,上式的最小值为12(2c )2-2c +c 2, 即12(2c )2-2c +c 2=72, 解得c =2+304,不合题意,舍去. 综上所述,椭圆的方程为x 28+y 24=1.。
2021版高考数学一轮复习第9章解析几何第5节椭圆课件理新人教A版
2.焦点三角形:椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫做焦点三角形,∠ F1PF2=θ,△PF1F2 的面积为 S,则在椭圆ax22+by22=1(a>b>0)中
(1)当 P 为短轴端点时,θ 最大. (2)S=12|PF1||PF2|·sin θ=b2tan 2θ=c|y0|,当|y0|=b 时,即点 P 为短轴端点时,S 取最 大值,最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(a+c).
答案:
215,1或
215,-1
三、易错自纠
4.若直线 x-2y+2=0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为
() A.x52+y2=1 C.x52+y2=1 或x42+y52=1
B.x42+y52=1 D.以上答案都不对
解析:选 C 直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0), 由题意知当焦点在 x 轴上时,c=2,b=1, ∴a2=5,∴所求椭圆的标准方程为x52+y2=1; 当焦点在 y 轴上时,b=2,c=1, ∴a2=5,∴所求椭圆标准方程为y52+x42=1.
第九章 解析几何
第五节 椭 圆
栏
课 前 ·突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.掌握椭圆的定 椭圆方程,几何性质,如范围、对称性、顶点、
义、几何图形、 离心率等,直线与椭圆的位置关系,定值、定点与 1.直观想象
标准方程. 存在性等综合问题,是 2021 年高考考查的热点, 2.数学运算
(4)方程 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(5)ay22+bx22=1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.(
高考数学大一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文新人
+
������2 =1 5
D.以上答案都不对
关闭
C
答案
-7知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
+
������2 ������
3.已知椭圆
√3
������2 C:������2
右焦点为 2 =1(a>b>0)的左、
F1,F2,离心率为
3
,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4√3,则 C 的方 ) + +
3
B(0,-2)为圆心的圆上,求 k 的值. 思考 如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题?
-12考点1 考点2 考点3
(1)3 解析: 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,������������1 ⊥ ������������2 , 故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, 所以2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. 2. 1 1 所以 |PF ||PF |= 2 b 2 = |PF1||PF2|= ×2b2=b2=9.所以 b=3. 所以������ 1
+
������2 =1 ������-3
是
.
关闭
(3,4)∪(4,5)
答案
-9知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5
+
������2 =1 4
5.已知点 P
������2 是椭圆 5
上的点,且点 P 的横坐标大于 0,以
点 P 及焦点 F1,F2 为顶点的三角形的面积等于 1,则点 P 的坐标 为 .
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第9章 解析几何 第5节 椭圆
2
=1(A>0,B>0,A≠B)或
2
2
+ =1
(A>0,B>0,A≠B).
2.离心率 e 表示椭圆的扁平程度,由 e
2
2
= 2 =1- 知
2
e 越接近于 1,b 相对于
a 越小,因此椭圆越扁.
3.椭圆的焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,
F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,
对点训练2(1)(2021黑龙江齐齐哈尔一模)若过椭圆C:
2
2
2
+ 2 =1
(a>b>0)的
上顶点与左顶点的直线方程为x-2y+2=0,则椭圆C的标准方程为(
2
2
A.16 + 4 =1
2
C. 4 +y2=1
2
B.20
D.x
+
)
2
=1
4
2
+ 4 =1
2
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1),P2(- 3,
若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为(
2
2
A. 4 + 3 =1
2
2
C. 9 + 8 =1
2
2
B. 6 + 5 =1
2
2
D.36 + 32 =1
)
(2)(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C
交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.5 椭圆真题演练集训 理 新人教A版(2021年最新整理)
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新人教A版1.[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知O为坐标原点,F是椭圆C:错误!+错误!=1(a〉b〉0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.错误! B。
错误! C.错误! D。
错误!答案:A解析:设E(0,m),则直线AE的方程为-xa+错误!=1,由题意可知,M错误!,错误!和B(a,0)三点共线,则错误!=错误!,化简得a=3c,则C的离心率e=错误!=错误!。
2.[2016·江苏卷]如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆错误!+错误!=1(a>b>0)的右焦点,直线y=错误!与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.答案:错误!解析:由题意可得B错误!,C错误!,F(c,0),则由∠BFC=90°得错误!·错误!=错误!·错误!=c2-错误!a2+错误!b2=0,化简得错误!c=错误!a,则离心率e=错误!=错误!=错误!.3.[2016·天津卷]设椭圆错误!+错误!=1(a>错误!)的右焦点为F,右顶点为A。
已知错误!+错误!=错误!,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H。
高考数学统考一轮复习第九章9.5椭圆课件文新人教版ppt
[同类练]——(着眼于触类旁通)
1.[2021·广东省七校联合体考试]已知椭圆C的方程为xa22
+
y2 b2
=1(a
> =2bc>,0则),椭焦圆距C为的2离c,心直率线为l_:__y_=3__4_2_x与.椭圆C相交于A,B两点,若|AB|
()
A.1x52 + 1y02=1 C.1x02 + 1y52=1
B.2x52 + 2y02=1 D.2x02 + 1y52=1
解
析
:由题
意知c2=5,可
设椭圆
方程为
x2 λ+5
+
y2 λ
=
1(λ>0)
,把点
A(3,-2)代入得λ+95 + 4λ=1,解得λ=10或λ=-2(舍去),故所求椭圆
的方程为x2 + y2=1.
考点二 椭圆的几何性质[分层深化型]
考向一:求离心率的值
[例1]
[2021·长沙市高
三年
级统一模拟
考试
]
设椭圆C:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E(0,t)(0<t<b),已知动
点P在椭圆上,且点P,E,F2不共线,若△PEF2的周长的最小值为3b,
则椭圆C的离心率为( )
y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是
容易被忽略而导致求最值错误的原因.
【小题热身】
一、判断正误 1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆.( × ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中 a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( × ) (4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ ) (5)ya22 + bx22=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( × ) (6)xa22 + by22=1(a>b>0)与ya22 + bx22=1(a>b>0)的焦距相等.( √ )