罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用2
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应
用
一、拉格朗日柯西中值定理
拉格朗日柯西中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是一个
基本的微积分定理，是18世纪意大利数学家拉格朗日发现的，它给出了
可以求解其中一函数在其中一区间内的极大和极小值的方法。
该定理可以用来测量曲线的性质，可以让用户证明曲线在一些点处正
在发生什么变化。
该定理的精辟语言为：如果一个连续函数在一些闭区
间上有定义，那么它在该闭区间上恒等于一些点的导数，这个点也被称作
函数的柯西中值点（Cauchy’s middlepoint）。
拉格朗日柯西中值定理可以证明任意在一个闭区间上有定义的函数都
存在其中一个极值点。
它的简要证明是：设f有定义在区间[a,b]上，这
个区间包含一个极值点在点c上，由于f在[a,b]上是连续的，所以必然
存在一点c，使得f'(c)=0，说明f在点c处取得极值。
而且，拉格朗日
柯西中值定理还能够帮助一般连续函数在任何两点之间存在极值点，也就
是说，它存在一个极值点，使f在这个极值点处取得极值。
拉格朗日柯西中值定理的主要用途在于解决极值问题。
可以通过给定
一个函数f和一个闭区间，利用该定理求函数f在这个闭区间上的极值点。
比如，可以利用拉格朗日柯西中值定理帮助用户确定求解一些操作最优的
参数值。
2.3.1 中值定理
0, 即 [ xf ( x ) ]
x( x ), 则 F ( x ) 在[0, 1]上连续， 在 (0,1)内可导, 且F(0) = F(1) =0， 因此由罗尔定理， 在(0, 1) 内至少存在一点 , 使 即
11
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
C
y = f (x)
A
O a
B
b
6
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m . 则 f ( x ) M .
又已知 f ( x ) 在点 x0 处可导， 则
0 f ( x0 ) f ( x0 ) f +( x0 ) 0
故 f ( x0 ) 0.
5
罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 几何解释： 如果曲线 y=f (x) 满足以上三 个条件. 那么，在曲线弧上 至少有一点 C(, f())，曲线 在 C点的切线是水平的. y
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0. 不妨设 x1 x0 ,
f ( x ) 在 [ x0 , x1 ] 满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 ( x0 , x1 ), 使得 f ( ) 0.
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数地应用
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数地应用罗尔定理（Rolle's Theorem）是微积分中一个非常重要的定理，其形式如下：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，且满足f(a) = f(b)，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理的主要应用是证明函数在其中一区间上存在零点。
它通过连续性和可导性的条件，保证了函数在区间内必然存在导数为零的点。
这个定理在许多数学分析证明中非常有用。
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分中另一个重要的定理。
它表述如下：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得f(b) -f(a) = f'(c)(b - a)。
柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）是拉格朗日中值定理的推广形式。
它表述如下：如果函数f和g在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，并且g'(x)不为零，那么在(a,b)上至少存在一个数c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种用于解决极限问题的方法。
对于函数f(x)和g(x)，如果它们在特定点a的一些去心领域内可导，并且g'(x)不为零，如果f(a) = g(a) = 0或者f(a) = g(a) = ±∞，那么当x趋于a时，如果函数f(x)/g(x)存在极限，那么可以通过求导的方式，求出这个极限的值。
洛必达法则的应用主要是解决函数的不定型极限问题。
当直接计算极限时遇到不定型时，可以尝试将函数化为f(x)/g(x)的形式，并运用洛必达法则，求出极限的值。
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
数学高数定理定义总结
数学高数定理定义总结高中数学中的高数定理是指一套基本定理和公式，包括中值定理、洛必达法则、微分学基本定理、积分学基本定理、拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理等，这些定理和公式可以帮助我们简化和解决复杂的数学问题。
下面将对这些定理进行定义和总结。
1.中值定理：中值定理是微分学中的一个重要定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都与函数在一些区间内取得特定值或通过其中一点的斜率有关。
-拉格朗日中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于[f(b)-f(a)]/(b-a)。
-柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导且g'(x)不为零，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
-罗尔中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
2.洛必达法则：洛必达法则是一种求极限的方法，用于计算形如[0/0]、[∞/∞]、[0*∞]、[∞-∞]等不定型的极限。
- 洛必达法则：设函数f(x)和g(x)在特定点x=a附近都可导，且g'(x)不为零，若lim[x→a]f(x) = lim[x→a]g(x) = 0或∞，则lim[x→a]f(x)/g(x) = lim[x→a]f'(x)/g'(x)。
- 微分学基本定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，则函数F(x) = ∫[a,x]f(t)dt在(a, b)内可导且F'(x) = f(x)，其中[a,x]表示对f(t)在区间[a,x]上的积分。
- 积分学基本定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，则该区间上的定积分∫[a,b]f(x)dx可以通过求该函数的一个原函数F(x)在区间[a, b]上的差F(b) - F(a)来求得。
2017考研数学 高数必考定理之中值定理与导数的应用
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中公考研小编整理了高数必考定理之中值定理与导数的应用，供2017考研的同学参考，帮助考生在备考的初期阶段整理总结此部分的内容。
1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f’(x)如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
《微分中值定理及其应用》内容小结与典型例题
《微分中值定理及其应⽤》内容⼩结与典型例题⼀、基本结论与定理1、费马引理：可导函数极值点处导数等于0，曲线有⽔平切线2、罗尔定理：闭区间上端点值相等的连续可导函数必存在导数等于0的点3、拉格朗⽇中值定理：闭区间上连续可导函数必存在导数等于曲线端点连线的斜率的点4、柯西中值定理：闭区间上连续可导的两个函数，分母的导数不等于0时，存在⼀点使得两函数端点值的差的⽐值等于该点处两个函数的导数值的⽐值.5、泰勒中值定理：如果函数在点x0的某个邻域内具有n+1阶导数，则有⼆、有关中值命题证明的思路与⽅法利⽤逆向思维 , 设辅助函数 . ⼀般解题⽅法:(1) 证明含⼀个中值的等式或根的存在，多⽤罗尔定理，可⽤原函数法找辅助函数。
验证根的唯⼀性、⾄少、⾄多数量⼀般借助于反证法，基于罗尔定理验证.(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数，可考虑⽤柯西中值定理.(3) 若结论中含两个或两个以上的中值，必须多次应⽤中值定理。
⼀般⾸先考虑将不同的中值分别放置于不同的两侧，然后对于各侧使⽤中值定理.(4) 若已知条件中含⼆阶及⼆阶以上的导数 , 多考虑⽤泰勒公式 , 对于⼀阶、两阶也可考虑对导数⽤中值定理.(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放⼤或缩⼩的技巧.(6)罗尔定理、柯西定理⼀般只⽤于等式结论的证明，⽽拉格朗⽇中值定理(泰勒中值定理的特殊情况)和泰勒中值定理即可⽤于等式的证明，也可⽤于不等式的证明。
对于包含有函数值、⾃变量取值、导数值的中值命题的证明，⼀般⾸先考虑拉格朗⽇中值定理和泰勒中值定理.三、⽤导数研究函数的性态(1)单调性的判定(2)凹凸性的判定(3)极值点、极值、拐点的判定和计算(4)最值判定与计算(5)曲率和曲率圆的计算(6)借助单调性、凹凸性、极值、最值验证函数不等式或常值不等式(7)应⽤拉格朗⽇中值定理求极限(8)应⽤洛必达法则求极限(9)应⽤带⽪亚诺余项的麦克劳林公式求极限(10)分析作图法的基本步骤。
高等数学第四章
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．
证明 设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性 第四节 函数的极值与最值 第五节 曲线的凹凸性与拐点 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 A¼ B 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 A¼ B 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则泰勒公式等与导数的应用
罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则泰勒公式等与导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在特定点处的变化率。
导数的应用十分广泛，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则和泰勒公式等。
首先，罗尔定理是导数的一个重要应用。
罗尔定理断言，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在区间的两个端点上取相同的函数值，那么在开区间内必然存在至少一点，使得该点处的导数值为零。
这一定理在求解一些问题时非常有用，例如利用罗尔定理可以证明函数在区间内取最大或最小值的存在性。
第二，拉格朗日中值定理是导数的另一个重要应用。
拉格朗日中值定理断言，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在这两个点之间存在至少一点，使得该点处的导数等于函数在这两个端点处的斜率。
这一定理在求解一些问题时非常有用，例如可以利用拉格朗日中值定理证明函数的单调性、判断函数的凹凸性等。
第三，柯西中值定理是导数的又一个重要应用。
柯西中值定理断言，如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且其中一个函数在开区间内不为零，那么在这两个函数之间存在至少一点，使得这两个函数在该点处的导数的比值等于这两个函数在该点处的函数值的比值。
这一定理在求解一些问题时非常有用，例如可以利用柯西中值定理来证明两个函数在其中一区间内是否相等。
第四，洛必达法则是导数的又一个重要应用。
洛必达法则通过求函数的极限可以帮助我们计算一些特殊函数在其中一点处的导数。
该法则是通过对函数的分子和分母同时求导，并比较它们在其中一点的极限值来求得函数在该点处的导数。
这一法则在求解一些特殊函数的导数时非常有用，例如在求解\((\sin x)/x\)的导数时就可以使用洛必达法则。
第五，泰勒公式是导数的又一个重要应用。
泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它将一个函数在其中一点处的值与它在该点处的导数、二阶导数、三阶导数等有关。
利用泰勒公式，我们可以将一个复杂的函数通过多项式近似表示，从而简化计算。
中值定理和导数应用总结
驻点和不可导点统称为临界点.
定理(第一充分条件) (1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. ' x ( x , x ) x ( x , x ) f (3)如果当 时, ( x ) 符 0 0 及 0 0 号相同,则 f ( x )在 x0 处无极值.
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
第四步
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
如果对区间 I 上任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x ) 在 I 上的图形是（向上）凸 的;
第三章 中值定理与导数的应用
第一节第三节 函数单调性的判别法
第四节
函数的极值及其求法
2019/10/10
第五节 函数的最大值与最小值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
第七节
函数图形的描绘
第一节 中值定理
微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们 分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理.
从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自 然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉 格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个 条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数 φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对 φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x) 上，证得所要的结果.
一、0/0型未定式
第三节 函数单调性的判定法
如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上 单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线 ，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的 切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所 示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的 图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切 线的倾斜角都是钝角， 它们的斜率f′(x)都是负的，即 f′(x)＜0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密 切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的 定理.
根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处 都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和 极值:
(1) 求出函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数f(x)的导数f′(x);
(3) 求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区 间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点；
(完整版)三大中值定理
中值定理函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。
微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。
是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。
从而能把握住函数图象的各种几何特征。
在极值问题上也有重要的实际应用。
微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
代数无法处理“无限”的概念。
所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。
就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。
这个概念是成功的。
罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用
罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和洛必达法则是微分学中的一些重要定理和方法，它们与导数的应用密切相关。
以下将分别介绍这些定理和法则，并阐述它们在实际问题中的应用。
1.罗尔定理：罗尔定理是微积分中的一条重要定理，它主要用来判断函数在闭区间上是否存在一个零点。
具体而言，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，且在区间内的两个端点处的函数值相等，那么在这个区间内一定存在一个点，使得函数在这个点处的导数为零。
罗尔定理的实际应用非常广泛。
例如，在工程领域，我们经常需要通过求解方程来确定一些物理量的零点。
而罗尔定理可以帮助我们判断是否能够找到这个零点，从而指导我们进行后续的计算和分析。
2.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的另一个重要定理，它主要用来研究函数的斜率问题。
具体而言，在一个闭区间[a,b]上连续的函数中，必然存在一个点c，使得函数在这个点处的导数等于函数在区间两个端点处导数的平均值。
拉格朗日中值定理的实际应用非常丰富。
例如，在经济学中，我们经常需要通过分析一段时间内的产出和就业情况来判断经济增长的速度。
而拉格朗日中值定理可以帮助我们确定这一时期内的平均增长速度，从而为我们提供对经济情况的深入理解和判断。
3.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的另一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广形式。
具体而言，对于两个闭区间[a,b]和[c,d]上连续的函数，如果两个函数在区间内的端点得函数值相等，那么在两个区间的交集中一定存在一个点，使得这个点的函数在两个方向的导数的比值等于这两个函数在区间内任意一点的导数的比值。
柯西中值定理的实际应用与拉格朗日中值定理类似，都是用来研究函数的平均变化速率和比率的问题。
例如，在物理学中，我们经常需要分析物体在一段时间内的平均速度和加速度，而柯西中值定理可以帮助我们确定这一时期内的平均加速度与瞬时加速度的关系，从而提供对物体运动情况的深入理解。
第三章中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3 , 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点X。
的某邻域U(x o)内有定义.并且在X。
处可导.如果对任意x U(x o).有f(x)兰f(x o)(或f(x)可(X o)).那么 f (x。
) =o ,罗尔定理如果函数y#(x)在闭区间［a, b］上连续.在开区间(a, b)内可导.且有f(a)=f(b).那么在(a, b)内至少在一点「使得f ( ) =0 .简要证明：(1)如果f(x)是常函数.则「(x)P .定理的结论显然成立,(2)如果f(x)不是常函数.则f(x)在(a . b)内至少有一个最大值点或最小值点.不妨设有一最大值点工(a .b),于是f()=口)= im f(x)—f()_0IJ x_.仁)“()訓空严_0 所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义：二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间［a b］上连续.在开区间(a b)内可导.那么在(a b)内至少有一点(a< <b).使得等式f(b)-f(a)f(々b-a)成立.拉格朗日中值定理的几何意义：f(b)—f(a)f ()二 b -a定理的证明：引进辅函数f(b)-f (a)令(x)孑(x) _f(a) — b —a (x^),容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件：：(a)V (b)d O . ：(x)在闭区间［a.b ］上连续在开区间(a b)内可导.且f(b)-f (a)申(x)=f "(x) — b~a ,根据罗尔定理.可知在开区间(a b)内至少有一点•.使「()=0 .即f (b) - f ⑻ f ()_ b-a =0f(b)-f(a) 由此得b —a 二f ()即 f(b)_f(a)=f ( )(bv). 定理证毕，f(b)-f(a)f ( )(b-a)叫做拉格朗日中值公式 .这个公式对于b<a 也成立 拉格朗日中值公式的其它形式 ：设x 为区间［a . b ］内一点.x ： =x 为这区间内的另一点 (.：x>0或.：x<0).则在［x. x7x ］ C x>0)或［x i x x ］ (. x<0)应用拉格朗日中值公式 .得f(x+心x) -f(x)甘 lx 说x) ‘ Z (0< 日<1), 如果记f(x)为y .则上式又可写为L y f (x n ：x) L X (0< T <1),试与微分dyf (x)x 比较：dy=f(x) 是函数增量冷的近似表达式.而 f(x-，x) 是函数增量：y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用 .我们证明如下定理：定理 如果函数f(x)在区间I 上的导数恒为零.那么f(x)在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点X 1.X 2(X 1<X 2).应用拉格朗日中值定理.就得f(X 2)斗(X 1)斗"(9(X 2 — x i ) (x i < -< X 2). 由假定 f ( ) =0 .所以 f(X 2) _f(X i )=0 .即f(X 2)=f(X l ),因为X i X 2是I 上任意两点.所以上面的等式表明:f(x)在I 上的函数值总是相等的.这就是说 f(x)在区间I 上是- -个常数，证 设f(x)=ln(1 x).显然f(x)在区间［0 . x ］上满足拉格朗日中值定理的条件 就有f(x)—f(0)=f (勺(x-0) . 0<®x 。
微分中值定理与导数的应用整章
20
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4 、微 分中 值定 理精 确地 表 达 函 数 在 一 个区 间上 的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间I 上是一个常数.
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
2
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
f ( x) 1 ( 1 ) 0.
1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
12
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
x
证 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件,
微积分中的罗尔定理与拉格朗日中值定理
微积分中的罗尔定理与拉格朗日中值定理微积分是数学中的一门重要学科，其中的罗尔定理和拉格朗日中值定理是两个基本定理，它们在求解函数的性质和证明其他定理时起到了至关重要的作用。
本文将详细介绍罗尔定理和拉格朗日中值定理的概念、原理和应用。
一、罗尔定理罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它是导数与函数零点之间关系的一个重要联系。
罗尔定理的核心思想是：如果一个函数在某个区间两个端点处取得相同的函数值，并且在这个区间内是连续可导的，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于零。
具体地，设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且f(a) = f(b)，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理的证明思路是通过构造一个辅助函数g(x)，使得g(x)满足罗尔定理的条件，然后利用导数的中值定理得到g'(c) = 0，进而推导出f'(c) = 0。
罗尔定理在实际应用中常用于证明函数的零点存在以及函数的极值点。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的另一个基本定理，它是导数与函数增减性之间的一个重要联系。
拉格朗日中值定理的核心思想是：如果一个函数在某个区间内连续，并且在这个区间内可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于函数在这个区间内的平均变化率。
具体地，设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明思路是通过构造一个辅助函数g(x)，使得g(x)满足拉格朗日中值定理的条件，然后利用导数的介值性质得到g'(c) = (g(b) - g(a))/(b - a)，进而推导出f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理在实际应用中常用于证明函数的性质和推导其他定理。
罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则.
第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用
中值 内可导 定理
f / (ξ ) f (b) f (a) ba
柯西 f (x) 、g(x) ：（1）在[a,b] 上连续，在 (a,b) 至 少 存 在 一 点 ξ (a,b) 使 得
中值
定理 内可导；（2）在 (a,b) 内每点处 g / (x) 0
f / (ξ ) f (b) f (a)
知识点：柯西中值定理。
思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程
f (ξ ) g(ξ )
f (b) f (a) g(b) g(a)
，得到的根 ξ 便为所求。
解：∵ f (x) x3 及 g(x) x2 1 在 [1,2] 上连续，在 (1,2) 内可导，且在 (1,2) 内的每一点处有
g(x) 2x 0 ，所以满足柯西中值定理的条件。要使
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：从 f / (ξ ) f (ξ ) 结论出发，变形为 f / (ξ )ξ f (ξ ) 0 ，构造辅助函数使其导函数为 ξ
f / (x)x f (x) ， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
用的方法。
证明：构造辅助函数 F (x) xf (x) ， F (x) f (x) xf (x)
∵ f (x) 在[x1,x2 ] 、[x2 ,x3 ] 、[x3,x4 ] 上连续，在 (x1,x2 ) 、 (x2 ,x3 ) 、 (x3,x4 ) 上可导， 又 f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) f (x4 ) 0 ， ∴由罗尔中值定理，至少有一点 ξ1 (x1,x2 ) 、 ξ 2 (x2 ,x3 ) 、 ξ3 (x3,x4 ) 使得 f (ξ1) f (ξ2 ) f (ξ3 ) 0 ，即方程 4a0 x3 3a1x 2 2a2 x a3 0 至少有 3 个实根，又
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习题3-3★1.按)1(-x的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法。
求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式，则依次求)(x f 直到1+n 阶的导数在0x x=处的值，然后带代入公式即可。
解：3()46f x x x '=+，(1)10f '=；2()126f x x ''=+，f (1)18''=；()24f x x '''=，(1)24f '''=；24)()4(=x f ；24)1()4(=f ；0)()5(=x f ；将以上结果代入泰勒公式，得(4)234(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。
★★2.求函数x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：同1。
解：()f x '=，1(4)4f '=；321()4f x x -''=-，1(4)32f ''=-；523()8f x x -'''=，3(4)256f '''=；2741615)(--=x x f )(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)234(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+-42732)4(1285)4(5121)4(641)4(412---+---+=x ξx x x ，（ξ介于x 与4之间）。
★★★3.把2211)(x x x x x f +-++=在0=x点展开到含4x 项，并求)0()3(f 。
知识点：麦克劳林公式。
思路：间接展开法。
)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论)(1112n n x o x x x x+++++=- 。
解：32222211)1(2112112111)(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=+-+=+-++-=+-++=)(2221))(1)(1(2144233x o x x x x o x x x +-++=+-++=；又由泰勒公式知3x 前的系数(0)03!f '''=，从而(0)0f '''=。
★★4.求函数x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为对数函数时，通常利用已知的结论x x =+)1ln()(1)1(321132++++-+-+-n n n x o n x x x 。
方法一：（直接展开）1()f x x '=，1(2)2f '=；21()f x x ''=-，1(2)4f ''=-； 32()f x x '''=，1(2)4f '''=；n n n x n x ,f )!1()1()(1)(--=- ，nn n n f 2)!1()1()2(1)(--=-； 将以上结果代入泰勒公式，得(4)234(2)(2)(2)(2)ln (2)(2)(2)(2)(2)12!3!4!f f f f x f x x x x !''''''=+-+-+-+-+n (n)x n f )2(!)2(-+))2((n x o -+=23)2(21)2(212ln ---+x x --⋅+33)2(231x ))2(()2(21)1(1nn nn x o x n -+-⋅-+-。
方法二：2)22(21222ln )221ln(2ln )22ln(ln )(---+=-++=-+==x x x x x x f 2313)2(21)2(212ln ))22(()22(1)1()22(31---+=-+--+--+-x x x o x n x n n n ))2(()2(21)1()2(231133n n n n x o x n x -+-⋅-+--⋅+- 。
★★5.求函数xx f 1)(=按)1(+x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论2121111(1)n n n x x x x x ξ++=+++++-- 。
方法一：21()f x x '=-，(1)1f '-=-；32()f x x ''=，(1)2f ''-=-；46()f x x '''=-，(1)6f '''-=-1)(!)1()(+-=n nn x n x ,f ，!)1(!)1()1(1)(n n f n nn -=--=-+； 将以上结果代入泰勒公式，得231(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!f f f f x x x x ''''''---=-+++++++ n n x n f )1(!)1()(+-+1)1()1()!1()(+++++n n x n ξf=nx x x x )1()1()1()1(132+--+-+-+-- 121)1()1(++++-+n n n x ξ（ξ介于x 与1-之间）。
方法二：n x x x x x x )1()1()1()1(1[)1(11132+++++++++-=+--= ])1()1(121++++-+n n n x ξ=n 32)1()1()1()1(1+--+-+-+--x x x x 121)1()1(++++-+n n n x ξ（ξ介于x 与1-之间）。
★★6.求函数x xe y =的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式。
知识点：麦克劳林公式。
思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。
)(x f 中含有xe 时，通常利用已知结论)(212n n xx o n!x !x x e +++++= 。
方法一：(1)x y x e '=+，(0)1y '=；(2)x y x e ''=+，(0)2y ''=；x (n)e n x ,y)(+= ，n y n =)0()(，将以上结果代入麦克劳林公式，得23(0)(0)(0)(0)(0)()1!2!3!!(n)xnn f f f f xe f x x x x o x n ''''''=++++++++++=!232x x x )!1(-+n x n )(nx o +。
方法二： +++=+-++++=--!2))()!1(!21(32112x x x x o n x x x x xe n n x)!1(-+n x n )(nx o +。
★★7.验证当210≤<x 时，按公式62132x x x e x+++≈计算xe 的近似值时，所产生的误差小于010.，并求e 的近似值，使误差小于010.。
知识点：泰勒公式的应用。
思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。
解：010192121!42!4!4)(442143.x e x e x R ξ<=≤≤=；646048181211.e ≈+++≈。
★★8.用泰勒公式取5=n，求21ln .的近似值，并估计其误差。
知识点：泰勒公式的应用。
解：设)1ln()(x x f +=，则(5)25(0)(0)(0)()(0)1!2!5!f f f f x f x x x '''≈++++22x x -=55x ++ ，从而1823052042032022020)20(21ln 5432.......f .≈+-+-≈=；其误差为：00001070620)1(61)(6665..x ξx R ≈≤+-=。
★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：（1） )3(lim 233x x x x x --++∞→； （2）2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→ 。
知识点：泰勒展开式的应用。
思路：间接展开法。
利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。
解：（1）])11()31([lim )3(lim 21312233x x xx x x x x x x --+=--++∞→+∞→))]1(12)121(21)1(211())]1(o 3311([lim 2222xo x x x x x x x +⋅-+-⋅+-+⋅+=+∞→21))1(8921(lim =++=+∞→x o x x 。
（2）2212202220)(cos )1(211lim sin )cos (1211lim 22x e x x x x e x x x x x x x -+-+=-+-+→→121)(23)(81lim )))(1()(21()(2)121(21211(211lim 444402222244220-=+-+=++-+-+-++-+=→→x o xx o x x x o x x o x x o )x x x x x 。
★★10.设0>x ，证明：)1ln(22x x x +<-。
知识点：泰勒公式。
思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。
特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。
解：332)1(32)1ln(ξx x x x ++-=+（ξ介于0与x 之间），∵ 0>x ，∴0)1(333>+ξx ， 从而2)1(32)1ln(2332x x ξx x x x ->++-=+，结论成立。
（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）★★11.证明函数)(x f 是n 次多项式的充要条件是0)()1(≡+x f n 。
知识点：麦克劳林公式。
思路：将)(x f 按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。