7.4.1二元一次方程与一次函数
《二元一次方程与一次函数》教学设计精选4篇
《二元一次方程与一次函数》教学设计精选4篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二元一次方程与一次函数
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1、某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需 参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负 一场得0分。在这次足球联赛中，猛虎队踢平 的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该 队胜了几场？（要求用图象法求解）
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二元一次方程组和一次函数的关系
二元一次方程组和一次函数的关系一次函数和二元一次方程组都是数学中常见的概念，它们之间存在着紧密的联系。
在本文中，我们将探讨二元一次方程组和一次函数之间的关系，并了解它们在数学中的应用。
首先，让我们回顾一下一次函数的定义。
一次函数也被称为线性函数，它的一般形式可以表示为y=mx+b，其中m和b分别代表斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，它具有恒定的斜率和截距。
与一次函数相似，二元一次方程组也是由线性关系构成的。
二元一次方程组由两个方程组成，每个方程都包含两个变量，并且变量的最高次数为1。
一般形式可以表示为：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2在这里，a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
解二元一次方程组的目标是找到一对解(x,y)，满足方程组中的两个方程。
现在让我们来看一下一次函数和二元一次方程组之间的关系。
事实上，一次函数可以看作是只有一个方程的二元一次方程组。
回想一下一次函数的一般形式y=mx+b，我们可以将它重写为：mx+(-1)y=b这里，我们可以看到a=m，b=-1，c=b。
因此，可以将一次函数转化为二元一次方程组的形式。
同样地，我们可以将二元一次方程组转化为一次函数的形式。
假设我们已经解得方程组的解(x,y)，那么我们可以将其中一个方程重写为y=mx+b的形式，其中斜率m为a1/b1，截距b为c1/b1。
这种转化的过程为我们提供了一种方法来理解和解决二元一次方程组和一次函数之间的问题。
通过将方程组转化为一次函数，我们可以更直观地看到方程组的解代表了什么，以及如何将其表示在坐标系中的直线上。
除了上述关系，二元一次方程组和一次函数在数学中还有许多应用。
它们可以用于建模现实世界的问题，如经济学、物理学和工程学等领域。
通过将实际问题转化为方程组或一次函数，我们可以利用数学工具和技巧来解决这些问题，从而得出有关变量之间关系的重要信息。
综上所述，二元一次方程组和一次函数之间存在着密切的联系。
一次函数与二元一次方程
一次函数与二元一次方程我们知道一次函数的解析式就是一个二元一次方程，而任何一个二元一次方程都可以化为一次函数解析式的形式，如：y ＝2x ＋3是一次函数解析式，也是一个二元一次方程；而2x －y ＝－3是二元一次方程，不是函数解析式，但可以将其化为y ＝2x ＋3，即为一次函数解析式。
因此一次函数与二元一次方程是既有区别又有联系。
区别在于：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数则有两个变量；(2)二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系.联系在于：(1)在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上.(2)在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.由于二元一次方程可以转化为一次函数，在直角坐标系中可以画出函数的图象，所以将方程组中的两个方程都化为一次函数，再在同一直角坐标系中画两个一次函数图象，它们的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数，通过画函数图像确定交点坐标，从而解出方程组的方法，我们称为二元一次方程组的图象解法。
用此方法解二元一次方程组一般有下列几个步骤：(1)将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；(2)在同一直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；(3)观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解.我们可以总结为“画直线、找交点、确定解”。
例 用作图象的方法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.1,523y x y x 解：①由3x ＋2y ＝5，得y ＝－2523+x ，由x ＋y ＝1，得y ＝－x ＋1.②在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝－2523+x 的图象L 1和y ＝－x ＋1的图象L 2， ③如图1，观察图象，得L 1、L 2的交点为(3，－2)，即二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.1,523y x y x 的解是⎩⎨⎧-==.2,3y xL 2 图1评注：(1)第一步变形时，要保证移向第一步变形时，要保证移项变号；(2)作图必须非常准确，因为图形的偏差会导致我们获得方程组解的偏差，甚至导致错解。
二元一次方程组和一次函数的关系
在数学中，二元一次方程组和一次函数有着密切的关系。它们都是描述线性 关系的工具，而方程组是由多个方程组成的系统。
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个方程组成的系统，其中每个方程都是二元变量的一 次函数，例如： 2x + 3y = 7 4x - y = -2
什么是一次函数？
方程组的解的意义
方程组的解表示了使得所有方程都成立ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数值对。它可以用来解决实际问题，如找到两个变量之间的关系或计 算未知变量的值。
方程组和函数的图像
方程组和一次函数都可以用图像来表示。方程组的图像是表示所有方程成立 的点的集合，而一次函数的图像是表示线性关系的线。
实际问题的应用举例
二元一次方程组和一次函数在各个领域中都有广泛的应用。例如，它们可以 用于解决经济学中的供求关系、物理学中的运动问题以及工程学中的优化问 题。
一次函数是一种线性函数，其表达式为y = mx + b，其中m和b是常数，x是自变量，y是因变量。
二元一次方程组和一次函数的 关系
二元一次方程组可以看作是由两个一次函数组成的系统，通过求解方程组， 可以得到使得两个函数的交点坐标成立的值。
方程组求解的方法
有多种方法可以求解二元一次方程组，例如代入法、消元法和图像法。每种 方法都有其特定的应用场景和适用性。
二元一次方程和一次函数的关系
二元一次方程和一次函数的关系
一次函数可以看成二元一次方程，两者图形一样，但意义不同。
二元一次方程的图形表示的是点的运动轨迹。
而一次函数图像表示的是x，y通过图像的依赖关系。
二元一次方程中，x，y是平等的两个未知数，而一次函数中y是依赖于x的。
任何一个二元一次方程都可化成一次函数关系式的形式。
以一个二元一次方程的解为坐标点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线。
即以二元一次方程的解为坐标的点一定在相应的一次函数的图像上，一次函数的图像上的点的坐标一定是相应的二元一次方程的解。
一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
每个二元一次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的二元一次方程组才可能有唯一解。
二元一次方程组和一次函数的关系：一般的，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定两条直线交点坐标。
二元一次方程与一次函数
自主学习
达标4：
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
综合建模
1.请概括本节所学知识，尝试画出本 节所学知识的结构图。
2.通过本节课的学习，你有哪些疑问？
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
数
二元一次方程 （无数个解） 二元一次方程组 唯一解
形
一次函数（一条直 线） （无数个点） 两条直线 一个交点
自主学习
达标2： 1、已知一次函数 y =2x-1 与 y =3x+4图象如图所示，则方程组 的解为（ ）。 的解为 2、方程组
，则直线y=-x+15和y=x-7的 交点坐标是（ ）。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
例题：直线l1：y=x+2和直线l2：y=2x-2的图象如图所示，则直线l1与l2 的交点坐标是 ．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
小结2： （1）求二元一次方程组的解可以转化 为求两条直线的交点的横纵坐标． （2）求两条直线的交点坐标可以转化 为求这两条直线对应的函数表达式联 立的二元一次方程组的解．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
活动一：二元一次方程和一次函数的关系
1．方程x+y=5的解有 无数个
个；
是这个方程的解吗？ 2．画出一次函数 y=-x+5的图像。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
3.（0，5），（5，0），（2，3） 在一次函数y＝的图像上吗？ 4.在一次函数y=的图像上任取一点， 它的坐标适合方程x+y=5吗？
《二元一次方程与一次函数》教学设计
《二元一次方程与一次函数》教学设计一、学情分析：学生能够正确解方程（组），掌握了一次函数及其图像的基础知识，能够根据已知条件准确画出一次函数图象，已经具备了函数的初步思想，在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验．二、学习目标：本节课通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．因此确定本节课的教学目标为：1.初步理解二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系；2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系，通过对两种模型关系的理解解决问题；教学重点二元一次方程和一次函数的关系，二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系；教学难点通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识．四、教法学法1．教法学法启发引导与自主探索相结合．2．课前准备教具：多媒体课件、三角板．学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．五、教学过程第一环节: 探究二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系1. 水箱有5吨水,若用水管向外排水,每小时排水1吨,则X小时后还剩余Y吨水.（1）请找出自变量和因变量（2）你能列出X,Y的关系式吗?（3） X,Y的取值范围是什么?（4）在平面直角坐标系中画出这个函数的图形.（注意XY的取值范围）. 2．（1）方程x+y=5的解有多少个？你能写出这个方程的几个解吗？（2）．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数Y=5-X的图象上吗？（3）．在一次函数y=?x?5的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？（4）．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=?x?5的图像相同吗？x+y=5与 y=?x?5表示的关系相同一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=?x?5相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节．第二环节自主探索方程组与一次函数两种数学模型之间的关系探究方程与函数的相互转化1．两个一次函数图象的交点坐标是相应的二元一次方程组的解（1）一次函数y=5-x图象上点的坐标适合方程x+y=5，那么一次函数y=2x-1图象上点的坐标适合哪个方程？（2）两个函数的交点坐标适合哪个方程？xy5（3）．解方程组?验证一下你的发现。
二元一次方程与一次函数说课稿
二元一次方程与一次函数说课稿二元一次方程与一次函数说课稿1今天，我说课的内容是苏科版八年级上册中的《二元一次方程与一次函数》的第一课时。
我打算主要从“说教材，说教法，说学法，说过程〞这四大块内容来谈谈我的制定。
一、说教材〔一〕教材分析〔所处的地位及作用〕“二元一次方程与一次函数〞是在前面学习了“一次函数〞与“二元一次方程〞的基础上来学习的。
是对前面“一次函数〞和“二元一次方程〞的一次提升和升华，也为以后进一步学习“用二次函数图象求一元二次方程的近似解〞作铺垫。
其中用到的“数形结合〞思想是我们中学学习数学的重要思想之一，也是我们数学学习中常常用来解决一些实际问题的重要手段。
〔二〕教学目标：〔1〕使同学初步理解二元一次方程与一次函数的关系。
〔2〕能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
〔3〕能依据一次函数图象求出二元一次方程组的近似解。
〔4〕进一步培养同学画图，识图能力；培养同学初步的数形结合意识和能力。
〔三〕教学重点、难点；重点：1、二元一次方程和一次函数的关系。
2、能依据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
难点：1、二元一次方程和一次函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
2、二元一次方程的解与一次函数图象交点坐标之间的对应关系。
二、说教法本节课我通过与同学一起探讨问题，解决问题，以达师生互动的效果。
引导同学从已有的知识和生活经验出发，提出问题，让同学自己动手操作，发现问题，解决问题，从而归纳出解决问题的一般方法。
针对本节课的重点，难点“二元一次方程〔组的解〕与一次函数图象〔的交点坐标〕之间的对应关系〞，由于其理解难度大，因此我准备采纳“创设情境〞用问题串的形式引导同学动手操作、自主探究来研究发现“二元一次方程〔组的解〕与一次函数图象〔的交点坐标〕〞两者之间的内在联系。
关于书上出现的例1：准备先通过同学自己思索，教师引导评讲最终解决问题；关于书上的学习，主要通过同学自己学习，以达到“巩固知识〞的目的。
鲁教版初中数学七年级下册《二元一次方程与一次函数(2)》参考教案
7.4 二元一次方程与一次函数(2)教案【教学目标】知识与技能二元一次方程和一次函数的关系.过程与方法通过学生的思考和比较，进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法.同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.情感态度与价值观通过学生的自主探索、思考和比较，进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法，加强一次函数与二元一次方程的联系.行为与创新通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.【教学重难点】重点从图象等信息确定一次函数表达式的方法难点方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.教师：课件学生：练习本.【教学过程】Ⅰ.创设情景，引入新课出示投影片小明：可以分别作出两人s与t之间的图象(如图所示)，出交点的横坐标就行了！小颖：对于乙s 是t 的一次函数，可设s=kt+b,当t=0时，s=100; t=1时，s=80;将它们分别代入s=kt+b 中可求出k 、b 的值，也即可求出s 与t 的函数表达式.同样可以求出甲s 与t 的函数表达式，再联立这个表达式求解方程组就行了. 小彬：1时后乙距A 地80千米，即乙速度是20千米/时，2时后甲距A 地30千米，也即甲速度是15千米/时，由此可以求出甲、乙两人的速度和为20+15=35(千米/时)所以两人相遇需要的时间为35100=720=276(小时)，由此可以看出一道题可以用三种不同的方法来解：通过画图象解方程，用消元法解方程组，用解方程三种方法，由此可知，二元一次方程和一次函数密切相关——这节课我们继续研究：二元一次方程和一次函数的关系.Ⅱ.讲授讲课一、 提出问题，引发讨论你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗？小明的方法求出的结果准确吗？小明的想法是：由于在前一课时已经有了用作图象的方法解方程组的经验，因此较为自然的做法是画图象，但画图的结果多是近似的难以精确.小颖的想法是：确定甲、乙各自的s 与t 之间的函数表达式，再用消元法解方程组，能准确地求出结果.小彬的想法是：根据行程问题中的相遇问题，找出等量关系列一元一次方程来解.通过对上述几种方法的比较，发现小颖的想法很好，既利用了小明的想法的优点，克服了他的想法的缺点.优点：直观地获得问题的结果，使考虑问题的思路清晰，借助图象帮助我们寻找解题途径，缺点：作图象的方法难以获得准确的结果，由此可见当遇到一次函数，二元一次方程有关的问题，要认真审清题意，必要时要借助数形结合，从图象信息确定一次函数表达式加强一次函数与二元一次方程的联系.二、 导入知识，解释疑难从上面的问题中，用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.例题讲解某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y(元)是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元.（1） 写出y 与x 之间的函数表达式（2） 旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：(1)设y=kx+b 依题意得5601090k b k b =+⎧⎨=+⎩①②②－①得30k=5，16k =， 将k=61代入①得b=－5，所以y=61x －5 （3） 当x=30时，y=0，所以旅客最多可免费携带30千克的行李.Ⅲ.随堂练习1.课本P23(第一、二组做第1题，第三、四组做第二题,调两个同学到黑板上做，待同学做完，在讲评)1.图中的两直线l 1,l 2的交点坐标可以看作方程组_________的解.解：根据图象可知l 1过点(1，3)、(0，1).设l 1是函数y =k 1x +b 1的图象，根据题意，得⎩⎨⎧==+13111b b k 解之得k 1=2,b 1=1.所以l 1是函数y =2x +1的图象.l 1同理可得l 2是函数y =4－x 的图象.所以l 1、l 2交点的坐标可看做二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+124y x y x 的解. IV.小结通过这节课的学习你有什么收获？(学生分小组讨论，并相互补充交流)1、 本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这些未知数表示相关数量，再列出方程.2、 用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步：设、列、解、验、答 v.作业P 23 习题7.8课时作业设计A 、B 两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A 地出发驶往B 地，乙也于同日下午从A 地出发驶往B 地，如下图中，折线PQR 和线段MN 分别表示甲和乙，所行的里程S 与该日下午时间t 之间的关系.(1)甲出发多少小时乙才开始出发？(2)乙行使多少小时就能追上了甲，这时两人离B 地还有多少千米？答案：解：(1)甲下午1时出发，乙下午2时出发，乙比甲晚1小时出发.(2)设QR 的表达式为s =k 1t +b 1点Q (2，20)、R (5，50).依题意得 ⎩⎨⎧=+=+5052021111b k b k 解之得⎩⎨⎧==01011b k 所以QR 的表达式为s =10t设MN 的表达式为s =k 2t +b 2点M (2，0)、N (3，50).依题意得 ⎩⎨⎧=+=+503022222b k b k 解之得⎩⎨⎧-==1005022b k 所以MN 的表达式为s =50t －100解方程组⎩⎨⎧-==1005010t s t s 得⎩⎨⎧==255.2s t 所以乙行使2.5－2=0.5(小时)就追上甲，此时两人离B 地还有：50－25=25千米.。
二元一次方程(组)与一次函数(基础)知识讲解
二元一次方程（组）与一次函数（基础）【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1.任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为-(0,)a c y x a b c b b=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5y x =-与21y x =-图象的交点为(2，3)，则23x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2. 图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A．x﹣3y=3 B．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x ﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知3=x ，2-=y 和0=x ，1=y 是二元一次方程03=++by ax 的两个解，则一次函数b ax y +=的解析式为（ ）A.、32--=x y B 、x y = C.、3+-=x y D 、 33--=x y【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P （﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax﹣6过点P（﹣4，﹣2），则关于x、y的方程组的解是．【答案与解析】解：∵x=﹣4时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y=x上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0桌子高度ycm 75.0 70.2（1）请确定y与x的函数关系式？（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。
二元一次方程与一次函数
二元一次方程与一次函数一、二元一次方程：1. 二元一次方程是指有两个未知数的一次方程，可以用一条直线来表示，一般有标准形式ax + by + c = 0，这里a、b、c三个系数可以是任意实数，x、y为两个未知数。
2. 二元一次方程有以下特点：（1）有两个未知数；（2）一次方程，指数项幂次均为1；（3）系数全为实数；（4）可以用直线来表示解；（5）可以求解出两个未知数的一组解。
3. 二元一次方程的求解方法：（1）移项法：用移项的方法对方程进行解，将变量的系数放到一边，常数项放到另一边，使未知数等式两边含有一个未知数；（2）消元法：两个未知数，需要求得两个方程，那么，我们就可以用消元法将两个方程进行求解求出未知数；（3）求根公式法：如果是二元一次方程，则可以得到求根公式除以把未知数求出来。
二、一次函数：1. 一次函数是一类特殊的函数，它的算式可以用一元一次方程y = ax + b（a ≠ 0）来表示，其中a、b为常数，x、y为一次函数的变量。
2. 一次函数的特点：（1）只有一个未知数的函数；（2）指数项的幂次只有一；（3）可以用一条直线来表示；（4）变量和函数常数都是实数；（5）给出变量即可确定函数，一次函数是单调变化函数；（6）能够求出未知数的一组解。
3. 一次函数的求解方法：（1）直接代入：用给定的变量和函数的系数来直接求函数的值；（2）斜截式法：将变量和函数放入y = ax + b的式子中，求出斜率，并用斜截式法得出未知数；（3）图像法：将一次函数用图像形式表示出来，利用此图像求取未知数。
总结：二元一次方程是指由两个未知数的一次方程，系数和变量都是实数，可以用移项、消元、求根公式求解出未知数，可以用一条直线来表示解。
一次函数是特殊的函数，只有一个未知数，指数项的幂次只有一，可以用直接代入、斜截式法和图像法求解出未知数。
二元一次方程与一次函数结合应用题
二元一次方程与一次函数结合应用题二元一次方程和一次函数是数学中重要的概念和工具，它们在实际生活中的应用非常广泛。
本文将通过一系列的例子，详细介绍这两个数学概念与实际应用的关系。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设小明去工地搬砖，每小时搬运的砖头数为x个，他一共工作了y个小时。
我们知道，小明每小时搬运的砖头数是固定的，这可以表示为一个一次函数的形式：y = kx + b，其中k表示每小时的搬运数量，b表示小明一开始已经搬运的砖头数。
同时，我们可以将小明的总工作时间表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：x + y = t，其中t表示小明的总工作时间。
在实际应用中，我们会遇到类似这样的问题，需要使用二元一次方程和一次函数来解决。
比如说，小明每天去参加美术培训班，他每小时学习的艺术知识量为x个，他一共学习了y个小时。
我们知道小明学习的艺术知识量是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：y = kx + b，其中k表示每小时学习的艺术知识量，b表示小明一开始已经学习的艺术知识量。
同时，我们可以将小明的总学习时间表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：x + y = t，其中t表示小明的总学习时间。
另一个应用二元一次方程和一次函数的例子是解决物理问题。
假设小明在距离地面10米高的楼顶上抛掷一个物体，小明抛掷物体的初速度为v米/秒，物体下落的时间为t秒。
我们知道物体下落的时间是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：t = kv + b，其中k表示物体下落的时间，b表示小明抛掷物体的初始时间。
同时，我们可以将物体下落的距离表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：y = 10 - 0.5gt^2，其中g表示物体下落的加速度。
在生活中，我们还会遇到一些利用二元一次方程和一次函数解决的实际问题。
比如说，小明每天去超市购买水果，他购买的苹果数量为x个，每个苹果的价格为p元。
他一共花费了y元。
我们知道小明购买水果的总花费是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：y =kx + b，其中k表示每个苹果的价格，b表示小明一开始的花费。
二元一次方程和一次函数的区别
二元一次方程和一次函数的区别二元一次方程和一次函数的区别一、二元一次方程和一次函数的定义1. 二元一次方程二元一次方程是指形式为Ax + By = C的方程，其中A、B、C是已知数，x和y是未知数，且A和B不全为零。
2. 一次函数一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b是已知数，x 和y分别表示自变量和因变量。
二、二元一次方程和一次函数的关系1. 形式上的相似从形式上看，二元一次方程和一次函数都含有未知数x和y，并且都是以一次幂的方式出现，所以在外表上二者有相似之处。
2. 直观上的区别二元一次方程更强调两个未知数之间的关系，通常用来描述平面直角坐标系中的直线关系；而一次函数更侧重于自变量和因变量之间的函数关系，以直线图像呈现。
三、深入探讨二元一次方程和一次函数的区别1. 解的不同二元一次方程求解的目的是求出使方程成立的未知数的值，即确定直线在坐标系中的位置；而一次函数求解的目的是得出自变量和因变量的关系，从而描绘出整个函数的图像和特性。
2. 表达方式不同二元一次方程是用等式的形式来表达，描述了两个变量之间的线性关系；一次函数是用函数的显式表达式来描述自变量和因变量之间的函数规律，通常以图像的形式展现。
3. 应用领域不同二元一次方程主要用于解决平面几何中的交点问题、物理问题中的速度、加速度等关系问题；一次函数则广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，用来描述实际问题中的线性关系。
四、总结与回顾二元一次方程和一次函数在形式上有相似之处，但在实际应用和解释上有着明显的区别。
通过学习和理解二者的差别，我们能更清晰地应用于实际问题，并且能更深入地理解数学和函数的内涵。
个人观点对于学习者来说，理解二元一次方程和一次函数的区别有助于拓展数学思维，更好地理解函数的本质和意义。
在教学中，也应该注重强调二者之间的联系和区别，帮助学生建立正确的数学观念。
以上就是关于二元一次方程和一次函数的深度和广度兼具的描述和解释，希望能帮助您更好地理解这两个重要的数学概念。
二元一次方程组和一次函数问题
二元一次方程组（3）教学目标利用二元一次方程组求解一次函数，掌握一次函数与二元一次方程组的关系。
重难点分析：重点：1、利用二元一次方程组求解一次函数表达式；2、二元一次方程组的解与一次函数的关系；难点：1、二元一次方程组与一次函数的关系；2、方案选择问题。
知识点梳理1、二元一次方程与一次函数的关系若k ，b 表示常数且0≠k ，则b kx y =-为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得b kx y +=，将x ，y 看作自变量、因变量，则b kx y +=是一次函数．事实上，以方程b kx y =-的解为坐标的点组成的图象与一次函数b kx y +=的图象相同。
结论：（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上；（2）一次函数的图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程。
2、二元一次方程与对应两条直线的关系（1）方程组的解是对应的两条直线的交点坐标（2）两条直线的交点坐标是对应的方程组的解特别的：（1）两平行直线的k 相等；（2）方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解，对应的两直线平行。
3、三元一次方程组的基本概念知识点1：二元一次方程（组）与一次函数的基本关系【例1】图中两直线1l ，2l 的交点坐标可以看作方程组【 】的解。
A ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ B. 121x y x y -=-⎧⎨-=⎩C ．321x y x y -=⎧⎨-=⎩ D. 321x y x y -=-⎧⎨-=-⎩【例2】（1）在同一直角坐标系中作出一次函数2+=x y ，3-=x y 的图像。
（2）两者的图像有何关系?（3）你能找出一组数适合方程2-=-y x ，3=-y x 吗?_________________，•这说明方程组2,3,x y x y -=-⎧⎨-=⎩________。
【随堂练习】1、直线83=-y kx ，452-=+y x 交点的纵坐标为0，则k 的值为【 】A ．4B ．-4C ．2D ．-22、把方程341x y x +=+化为b kx y +=的形式是________________。
二元一次方程与一次函数说课稿
二元一次方程与一次函数说课稿二元一次方程与一次函数说课稿1今天，我说课的内容是苏科版八年级上册中的《二元一次方程与一次函数》的第一课时。
我打算主要从“说教材，说教法，说学法，说过程”这四大块内容来谈谈我的设计。
一、说教材〔一〕教材分析〔所处的地位及作用〕“二元一次方程与一次函数”是在前面学习了“一次函数”与“二元一次方程”的根底上来学习的。
是对前面“一次函数”和“二元一次方程”的一次提高和升华，也为以后进一步学习“用二次函数图象求一元二次方程的近似解”作铺垫。
其中用到的“数形结合”思想是我们中学学习数学的重要思想之一，也是我们数学学习中经常用来解决一些实际问题的重要手段。
〔二〕教学目标：〔1〕使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系。
〔2〕能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
〔3〕能根据一次函数图象求出二元一次方程组的近似解。
〔4〕进一步培养学生画图，识图能力；培养学生初步的数形结合意识和能力。
〔三〕教学重点、难点；重点：1、二元一次方程和一次函数的关系。
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
难点：1、二元一次方程和一次函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
2、二元一次方程的解与一次函数图象交点坐标之间的对应关系。
二、说教法本节课我通过与学生一起探讨问题，解决问题，以达师生互动的效果。
引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题，让学生自己动手操作，发现问题，解决问题，从而归纳出解决问题的一般方法。
三、说学法在本节课开头，我以学生原有的知识作为根底，创设有助于学生探索思考的问题情境，引导学生用“探索――――研究――――发现”的方法，来获得知识，掌握知识。
不过在这个过程中，可能学生的自主探究能力比拟差，因此在这方面我打算更多的引导以解决学生缺乏之处，发现问题，解决问题的能力得到了进一步的开展；同时也培养了学生积极思考，认真探索的良好学习习惯。
四、说过程这节课我就首先从学生已学过的二元一次方程联想到一次函数出发提出问题：二元一次方程、一次函数、直线的关系。
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b=-4
2、一次函数y=2x与y=-x+b的交点为（1，a）， 2x y 0 试确定方程组 的解和 a ， b 的值。 x y b 0
x=1
a=2，b=3
y=2
作
业
课本p21习题 7.7:
1 — 4题
两条直线无交点，相应的二元一 次方程组无解； 二元一次方程组无解，相应的两 条直线无交点。
-2 -1
1
1 -1
2
3
4
x
-2
1、若一次函数y=2x+3与y=2x-2的图象平行， 2 x y 3 则方程组
2 x y 2
的解的个数情况为
0个
2、有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？ 一次函数y=2-x与y=5-x的图象之间有什么关 系？
x+y=5 这是什么？
你怎么认 为？
一次函数
二元一 次方程
学习目标
1、初步体会二元一次方程（组）与一 次函数的关系； 2、能从“图形”的角度看待二元一次 方程和二元一次方程组；
1、一次函数的一般形式是 y=kx+b（k≠ , 0） 它的图象是一条 直线 ，因此画一次函数的 图象时，只要确定 两 点，然后过这 两 点作直线就可以了。 2、在同一平面内，两条直线相交，有 1个 交点；两条直线互相平行，有 0个 交点。
的图象的交点
3、直线y=3x-3与y=x+5的交点坐标是 （4,9）
探究3：想一想
1、如图，在同一坐标系内，一次 函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的 位置关系？
x y 1 2、方程组 x y 2 的解的情况
4 3 2
y
y x 1
y x2
如何（有解或无解）？你有什么发 现？
3、是否任意的二元一次方程都能转 化成一次函数的一般形式呢？
2x-y =0 3x+y=8
y = 2x
y = 8-3x
结论：任意一个二元一次方程都可以
转化为一次函数的一般形式。
探究1：想一想
1、方程x＋y＝５的解有多少个？写出其中的几个？ 2 、在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点， 它们在一次函数y=5-x的图象上吗？ 3、在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适 合方程x+y=5吗？ 4、以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象 与一次函数y=5-x的图象相同吗？
y
7 6 5
x+y=5
y=-x+5
4 3
2 1
-5
-4 -3
-2
-1 0 -1
1
2
3
4
5x
方程x+y=5的解有无数个。事实上，以方程 x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函 数y=5-x的图象相同，是同一条直线。即： x+y=5与y=5-x表示的关系相同。
一般地，以一个二元一次方程的解为 坐标的点组成的图象与相应的一次函数 的图象相同，是一条直线。
1、函数y=-x+4和y=2x+1图象的交点为(1,3), 则方程组
y+x=4 的解为 y-2x=1
x=1 y=3 .
x 2 x 2 y 2 2、若二元一次方程组 的解为 y 2 2x y 2 ,
则函数 坐标为（2，2） .
1 y 2x 2 y x 1 与 2
y
答案：
l2
３
y 1 x 1, 3 y 3 x 3. 2
3 y x3 2
l1
y 1 x 1 3
-3
0
-１
2
x
收获成果
通过本节课的学习，你得到了什么感悟，
有什么收获？请与同学们交流。
课堂小结：
二元一次方程 和一次函数的 图象的关系 以二元一次方程的解 为坐标的点都在对应 的函数图象上. 一次函数图象上的点 的坐标都适合对应的 二元一次方程.
（0，-1） （1/2,0)
你有什么发现？
0 -1
-2
1
2
3
4
5 x
解方程组 x+y=5 2x-y=1
x=2 y=3
1、两条直线的交点坐标是相应的方程组的解. 2、方程组的解是相应的两条直线的交点坐标
一般地，从“图形”的角度看，确定两 条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次 方程组的解；解二元一次方程组，就相当于确 定相应两条直线交点的坐标。
探究2：做ห้องสมุดไป่ตู้做
１、在同一直角坐标系内分别作出一次 函数 y＝－x＋５与y＝２x－１的图象． ２、观察图象写出两直线的交点坐标． 3、解方程组 x+y=5 2x-y=1
y x 5
函数y=-x+5取两点 5 y
y 2x 1
（0,5)（5,0）
函数y=2x-1取两点
4
3 2 1 (2,3)
方程组和 对应的两 条直线的 关系
方程组的解是对应的两 条直线的 交点坐标. 两条线的交点坐标是对 应的方程组的 解.
解二元一次方程组的方法
要强调的 是由于作 图的不准 确性，由 图象法求 得的解是 近似解.
代 入 消 元 法
加 减 消 元 法
函数 图象 法
1、一次函数y=8-x的图象上的点的坐标，是方程 x+y=8 的解。
没有， 互相平行
补充练习：
1.已知一次函数y kx 5与y 3 x b的图象的 交点为P ( 2,3), 则k ___, 1 b ___ -9. 2.已知一次函数y 2 x a与y x b的图象都 经过点A( 2,0), 且与y轴分别交于B, C两点, 则 ABC 的面积为 C .
1、二元一次方程2x+y=4有 无数 个解，以 它的解为坐标的点都在函数 y=4-2x 的 图象上。 x=2 2、方程x-y=1有一个解为 ，则一次
y=1
函数y=x-1的图象上有相应一点为
(2,1)
.
3、一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2),
则方程2x-y=4有相应一个解为
x=3 y=2
.
2、函数y=x的图象与函数y=2x+1的图象的交点坐标 是 （-1，-1） 。 3、已知一次函数y=ax+4和y=bx-1的图象都经过点 （2,0），求a,b的值。
a=-2，b=0.5
1、一次函数y=3x-5与y=2x+b的图象的交点 y 3x 5 为P(1,-2)，试确定方程组 的解 y 2x b 和b的值。 x=1
(A) 4 (B) 5
(C) 6 (D) 7
３．求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和ｘ轴所围 成的三角形的面积.
答案： 交点p的坐标为
6 8 , 5 5
●
P
S 1 2 2 8 16 . 2 3 5 15
４．如图，两条直线 l1与 l2的交点坐标可以看 作哪个方程组的解？