山西省祁县中学2017_2018学年高二数学4月月考试题理

22. （Ⅰ）解:由题设知 a
x 1 x 1 在 (0, ) 上恒成立，设 g ( x) x …………2 分 x e e x 则当 x 0 时， g '( x) x 0 即 g ( x) 在 [0 , ) 上为减函数 e
21.（本小题满分 12 分） （1） （用综合法证明） 已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且 A、B、C 成等差数列，a，b，c 成 等比数列，证明：△ABC 为等边三角形。 （2） （用分析法证明） 1 设 a，b，c 为一个三角形的三边，s＝ (a＋b＋c)，且 s2＝2ab，试证：s<2a. 2
1 1 )·f(log3 ).则 a，b，c 的大小关系是________. 9 9
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 已知 f ( x)

x
1
(4t 3
1 )dt , t2
求 f (1 i ) f (i ) 的值（其中 i 为虚数单位）
22.（本小题满分12分） 设函数 f ( x) ae x 1 , a R.
x
（1）当 x (0 , ) 时， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围； （2）求证：当 x (0 , ) 时， ln
ex 1 x . x 2
4
答案 一、选择题 BACCBA BDCCBD
1
x
O -1
1
2
7.已知函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 的图象如右图所示， 那么函数 f ( x) 的图象最有可能的是(
y y
)
y y
O -2
1
2
x
-2 O
1
2
x
-2
1 O
2
-2 x
O 1
2
x
A
B
C
D
8.由直线 x A．
17 4
1 1 ， x 2 ，曲线 y 及 x 轴所围成的图形的面积是（ ） 2 x 15 1 B． C． ln 2 D． 2 ln 2 4 2
cos( x) cos 6 6 的值为 ___ 15. lim x 0 x


.
16.已知函数 y＝f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈（－ ，0）时
2
不等式 f（x）＋xf′（x）<0 成立，若 a＝30.3·f（30.3） ，b＝(log 3） f (log 3) ， c＝ (log3
6.如果曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 x ln 3 y 3 0 ,那么（ A. f ( x0 ) 0 B. f ( x0 ) 0 C. f ( x0 ) 0
D. f ( x) 在 x x0 处不存在
y
f ( x)
3.下面使用类比推理，得到的结论正确的是( A.直线 a,b,c,若 a//b,b//c,则 a//c.
类比推出:向量 a , b , c ，若 a / / b , b / / c ，则 a / / c . B.同一平面内,直线 a,b,c,若 a⊥c,b⊥c,则 a//b. 类比推出:空间中,直线 a,b,c,若 a⊥c,b⊥c,则 a//b. C.以点 (0, 0) 为圆心, r 为半径的圆的方程为 x y r .
1 1 1 1 1 7 , S2 1 , 2 2 2 3 4 12 1 1 1 1 7 T1 , T2 ; ……………………………4 分 11 2 2 1 2 2 12
（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想 S n Tn ,…………………………………………5 分 下面用数学归纳法进行证明: ① n 1 时, 由（Ⅰ）知等式显然成立；…………………………………………6 分 ②假设当 n k ( k N *) 时等式成立,即 S k Tk ,………………………………………… 7分
20.（本小题满分 12 分） 已 知 :当
数学（理）试题共 4 页
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n N* 时
，
有
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn 1 , Tn ； 2 3 4 2n 1 2n n 1 n 2 n 3 2n
3
（1）求 S1 , S 2 , T1 , T2 ; （2）猜想 S n 与 Tn 的大小关系，并用数学归纳法证明.
10. 若关于 x 的方程 x3－3x＋m＝0 在[0,2]上有根，则实数 m 的取值范围是( ) A．[－2,0] B．[0,∞)
11.若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 和 y ax 2 A．
7 25 或4 64
B． 1 或 -
f (1 i ) f (i ) 6 5i ……………………………………………………10 分
18.解：（Ⅰ）由 f ( x) ax bx 3 ，可得 f ( x) 2ax b ．
2 '
由题设有
f ' (1) 0, ' f (0) 2.
2
即
9.用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数 a , b , c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( A. 自然数 a , b , c 都是奇数 C. 自然数 a , b , c 至少有两个偶数或都是奇数 ) B. 自然数 a , b , c 都是偶数 D. 自然数 a , b , c 至少有两个偶数
这就是说,当 n k 1 时等式成立. …………………………………………11 分 综合①②可知,猜想 S n Tn 成立. …………………………………………12 分
21. 证明 （1）因为 A、B、C 成等差数列，所以 2 B A C 由 A B C ，所以 B
3
，所以 A B C

3
所以△ABC 为等边三角形。 （6 分） s2 （2）要证 s<2a，由于 s2＝2ab，所以只需证 s< ，即证 b<s. （8 分） b 1 因为 s＝ (a＋b＋c)，所以只需证 2b<a＋b＋c，即证 b<a＋c. 2 （10 分） （12 分）
6
由于 a，b，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．
2 2 2






类比推出:以点 (0, 0, 0) 为球心, r 为半径的球面的方程为 x y z r .
2 2 2 2
D.实数 a, b ,若方程 x ax b 0 有实数根,则 a 4b .
2 2
类比推出:复数 a, b ,若方程 x ax b 0 有实数根,则 a 4b .
25 64
15 x 9 都相切，则 a 等于（ 4 7 21 C． 或 7 D． 1 或 4 4
）
12. 以圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y－ 1＝ 0 内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为 ( ) A．84 B．78 C．81 D．76
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13.若复数 z m 1 ( m 1)i 为纯虚数，则实数 m ____________. 14.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花， 要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．
二、填空题 —1 72

1 2
1 t
b<a<c
三、解答题
x 17.解： f ( x) (t 4 ) |1 x4
1 2 ………………………………………3 分 x 1 11 i f (1 i ) (1 i ) 4 2 …………………………………5 分 1 i 2 2 1 f (i ) i 4 2 1 i …………………………………………………7 分 i
3 4 7
1 3
(Ⅱ) C4 C5 A5 A3 14400 个．
3 4 5 3
(Ⅲ) C4 C5 A3 A4 A2 5760 个．
3 4 3 4 2
5
(Ⅳ) A5 C4 A5 28800 个．
4 3 3
（每小题 3 分，结果正确即可，没有中间分） 20.解: （Ⅰ） S1 1
S k 1 S k
1 1 1 1 Tk 2(k 1) 1 2(k 1) 2k 1 2(k 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k 1 k 2 k 3 2k 2k 1 2(k 1) k 2 k 3 2k 2k 1 k 1 2(k 1) 1 1 1 1 1 Tk 1. k 2 k 3 2k 2k 1 2(k 1)
2
1 ， x2 1 ． 3
x
g ' ( x)
g ( x)
1 (, ) 3
1 3
0
1 ( ,1) 3

1
0
(1, )


所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 ( , ) ， (1, ) .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 19. 解:（Ⅰ） C4 C5 A7 100800 个．
2 2
4.已知函数 y＝ax2＋bx＋c，其中 a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有 ( ) A．125 个 B．60 个 C．100 个 D．48 个
5.下面是一段演绎推理： 大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线 b∥平面 α，直线 a⊂平面 α； 结论：所以直线 b∥直线 a. A．大前提正确，结论错误 C．大、小前提正确，只有结论错误 在这个推理中( ) B．大前提错误，结论错误 D．小前提与结论都是错误的 ）