第二节 全排列及其逆序数
行列式2
此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列. (3) (2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3) · (k–1)(k +1)k. · · · · 解: (2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) · (k–1) (k+1) k (k–1) (k–1) k 3 0 1 1 2 2 3 于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2) · (k–1)(k +1)k的逆序数为: · · t = 0+1+1+2+2+ · +(k–1)+(k–1)+k · · k k 1 2 k k2. 2 此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为 奇排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 解: 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 001 34 4 5 于是排列217986354的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列. (2) n(n–1)(n–2) · 21 · · · · 解: n (n–1) (n–2) · 2 1 2 (n–2) (n–1) 0 1 于是排列n(n–1)(n–2) · 21的逆序数为: · · nn 1 , t = 0+1+2+ · +(n–2)+(n–1) · · 2
方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的 数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则 所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1: 求排列32514的逆序数.
第二节 排列及其逆序数
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
记做 (3 2 514) 5
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例如，在123组成的全排列中，有3个偶排列123， 231，312；有三个奇排列132，213，321 ❖一般说来，n 个数的全排列中，奇偶排列各占一半。
第二排列及其逆序数
1 全排列 2 排列的逆序数 3 逆序数的计算方法
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义1
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通 常用 Pn 表示.
例如 P3 3 2 1 6.
同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
32514 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
32514 01 031 于是排列32514的逆序数为
0 1 0 3 1 5. (从头开始法)
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即从排列中第一个元素开始，依次 算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的 逆序数之总和即为所求排列的逆序数.（从“头” 开始法） 例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准排列（自然 排列）.
1-2线性代数
n( n 1 ) , = 2 时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
(4) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)L (k + 1)k
于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5. 的逆序数为 于是排列
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性
(1)
4132
(2) 3712456
（2） ）
解（1）4 1 3 2 ）
3 7 1 2 4 5 6
0 0 2 2 1 1 1
第二节 全排列及其逆序数
一、排列
定义 由自然数 2, , n 组成的不重复的每一 由自然数1, 种有确定次序的排列, 称为一个n 种有确定次序的排列 称为一个 阶排列 (简称排列 简称排列). 简称排列 都是4 例如 1234 和4312都是 阶排列 都是 阶排列, 24315是一个 阶排列 是一个5 阶排列. 是一个
t = 0 +0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
0 1 1 2
t = 0+1+1+ 2 = 4
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
=7
此排列为奇排列 此排列为奇排列. 奇排列
(3)
解
n(n 1)(n 2 )L 321
n 6444 74444 4 1 8 n(n 1)2 2 )L 321 1 4(n443 44 4 (n 2)
1-2全排列及其逆序数
1
2
2
0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
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结 n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
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排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1 i 2 i t i s i n 中，若数 i t i s 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性.
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思考题
求排列16352487的逆序数. 解 1 6 3 5 2 4 8 7
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0 0 1 1 3 2 0 1 8.
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LOGO 2012年秋
计算排列逆序数的方法
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分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
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例1
解
求排列32514的逆序数.
在排列32514中,
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线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
第二节全排列及其逆序数
本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! ! ! ! 本节内容已结束 本节内容已结束 本节内容已结束 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, , ! ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, , , ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. . . 请单击返回按钮 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 , ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 ,! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 . , 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 ., 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 ,. 若想结束本堂课, 若想结束本堂课 . 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 请单击返回按钮. 请单击返回按钮 请单击返回按钮. 请单击返回按钮.. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮
线性代数(同济大学应用数学系第四版)1-2 全排列与逆序数
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ L ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中，若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序. 逆序 3 2 5 1 4 逆序
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
例1 计算排列
n(n-1)(n-2)…321 …321
的逆序数。 的逆序数。
解: 考虑1 8 n(n − 1)(n − 2 )L 321 1 42 43 44 4 4 (n − 2)
t=0+1+＋2＋…+(n-2)+(n-1) =0+1+＋ …+(n-2)+(nn (n − 1 ) = 2
三、小结
理解全排列的概念 掌握全排列逆序数的求法
第一章 第二节
全排列与逆序数
一、概念的引入
引例 三个数字， 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有 、 、 三个数字 重复数字的三位数？ 重复数字的三位数？
解
百位 十位 个位
1 1 2 1 2 3
2 1 3
3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法
共有 3 × 2 × 1 = 6
种放法. 种放法
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 同的排法？ 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 个不同的元素排成一列， 元素的全排列（或排列） 元素的全排列（或排列）.
线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数
1，2显，然3叫，做百元位素上.可上以述从问1，题2就，是3三：个把数三字个中不任同选的
元一素个排，所 成一以有列，3种共放有法几；种十不位同上的只排能法从？剩下的两个 数字中选一个，所以有2种放法； 而个位上只能放 最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问 题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同 的排法？ 为此先给出全排列的定义.
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（也简称排列）.
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表
示. 由引例 用1的，结2，果3可三知个P数3 =字3可·以2 ·组1 成= 6多. 少个没
有重复数字的三位数？
解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在
为了得出计算 Pn 的公式，可以仿照引例 用1，2
进行讨论：
有重复数字的三位
从 n 个元素中任取一个放在第一个位解置上这位与个数
从剩下的 n – 1 个元素中任取一个放在显第然二，百位上
个位置上，有 n – 1 种取法；
一个，所以有3种放
这样继续下去，直到最后只剩下数一字个中元选素一放个，所
在第 n 个位置上，只有 1 种取法. 于最是后剩下的一个数
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个 自然数， 并规定由小到大为标准次序. 设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi （i = 1, 2, … , n）， 如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有 ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 ti . 全体元素的 逆序数之和
第二节 全排列及其逆序数
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
0 0 1
3 2 5 1 4
1
∴ 逆序 t =3+1+0+1+0=5.
逆序数为3
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例如
排列32514 的逆序数为5，所以它是奇排列. 排列12345 的逆序数为0，所以它是偶排列．
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解:
百位 十位
1
2
3 3
3种放法
2种放法
1
1 2
2
1 3
种放法.
个位
1 2 3
1种放法
共有 3 2 1 6
这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.
二、全排列及其逆序数
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序，n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 i1i2 is it in 中，若数
is it（即排在前面的数大于后面的数），则称这
两个数组成一个逆序； 一个排列中所有逆序的总 数称为此排列的逆序数，常记作 t i1i2 is it in .
全排列及其逆序数解读
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表 示。
例如, 引例的结果是 P3=3×2×1=6。
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计算 Pn 的公式：
首先从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上， 有 n 种取法；
又从剩下的 n－1 个元素中任取一个放在第二 个位置上，有 n－1 种取法；
§2 全排列及其逆序数
★全排列的概念 ★逆序的概念 ★计算排列逆序数的方法
由于对角线法则只适用于二、三
阶行列式，为研究四阶及更高阶的行
列式，必须用到逆序数的概念。本节
主要介绍全排列的概念以、3三个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 解 总共有3×2×1= 6种放法。
这6个不同的三位数是： 123， 132， 213， 231， 312， 321。
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全排列的概念
在数学中，把考察的对象叫做元素。 于是引例可抽象成：把 3 个不同的元素排成一列， 共有几种不同的排法？ 一般地，我们可以讨论“把 n 个元素排成一列，共 有几种不同的排法”的问题。
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排列分类
奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列
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计算排列的逆序数的方法
不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并
规定由小到大为标准次序。
设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列。
方法一 在排列 p1 p2 pn 中，直接找出次序颠 倒了的元素对的个数，这也就是该排列的逆序数。
t 0 0 0 0 0 0 2 4 6 8 20
2全排列及其逆序数
ab
a1 ⋯ a l ab b1 ⋯ bm 对换 a 与 b a1 ⋯ a l ba b1 ⋯ bm
ba
除a
,b
外，其它元素的逆序数不改变. 其它元素的逆序数不改变
当 a < b 时， 的逆序数增加1 经对换后 a 的逆序数增加 , 当 a > b时 ， 的逆序数不变; b 的逆序数不变
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ， 的逆序数减少
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 ⋯ a l ab1 ⋯ bm bc1 ⋯ c n 现来对换 a 与 b .
a1 ⋯al a b1 ⋯bm b c1 ⋯cn
m 次相邻对换
a1 ⋯ al ab b1 ⋯ bmc1 ⋯cn ab
m + 1 次相邻对换 a ⋯a b b ⋯b a c ⋯c 1 l b 1 m a 1 n
从而 D = D1 .
定义 一个排列中所有逆序的总数称为 此排列的逆序数 逆序数. 此排列的逆序数 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 偶排列. 逆序数为偶数的排列称为偶排列
例1 解
求排列32514的逆序数 的逆序数. 求排列 的逆序数 在排列32514中, 中 在排列
与之对应并相等; 反之, 与之对应并相等 反之 对于 D1 中任意一项
(− 1)t a p 1a p 2 ⋯a p n , 也总有且仅有 中的某一项 也总有且仅有D中的某一项
1 2 n
(− 1) a1q a2q ⋯anq , 与之对应并相等 于是 与 D1 与之对应并相等, 于是D与
s
§2 全排列及其逆序数
例如 排列32514 中， 排列
3 2 5 1 4
逆序 逆序
2. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数. 例如: 其逆序数为5. 例如 排列 32514 , 其逆序数为 其逆序数为4. 排列 31524 , 其逆序数为 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
4.计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 设排列为 p1 p2 L pn , t i 为 pi 构成的逆序数 则其逆序数为 t = t ( p1 p2 L pn ) = t1 + t 2 + Lt n−1 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 并讨论它们的奇偶性. 例 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性.
二、排列的逆序数
规定各元素之间有一个标准次序, 规定各元素之间有一个标准次序 n 个不同的自 然数, 规定由小到大为标准次序 标准次序. 然数 …pt…ps…pn中, 若数 pt >ps, 则称这两个数组成一个逆序 逆序. 则称这两个数组成一个逆序 (即：大的数在小的数左边, 则这两数构成一个逆序） 即 大的数在小的数左边 则这两数构成一个逆序）
(1) 217986354 ( 2) n( n − 1)( n − 2)L 321
四、小结
1. n个不同的元素的所有排列总数为 个不同的元素的所有排列总数为n!. 个不同的元素的所有排列总数为 2. 排列具有奇偶性 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数. 计算排列逆序数
§2 全排列及其逆序数
一、全排列 二、排列逆序数 三、小结
§1.2__全排列、逆序数
全排列、逆序数§1.2 全排列、逆序数猜测四阶行列式展开项不只是对角线展开项。
还含有其他项。
行列式展开后有正、负项，为什么二、三阶展开项中主对角是正项、副对角是负号？如何确定每项前的正、负号？121.2.1、全排列及其逆序数同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n 问题定义1.2.1把个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.n n 个不同的元素的所有排列的种数，这里 用表示.n n P 例如1233⋅⋅=P .6=n P n =)1(−⋅n )2(−⋅n 123⋅⋅⋅⋅L !.n =同理3在一个排列 中，若数则称这两个数组成一个逆序.()n s t i i i i i L L L 21s t i i >例如 排列32514 中，定义1.2.2 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序定义1.2.3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514 中，223 2 5 1 41故此排列的逆序数为2 +1 +2 =5.4排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.56例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.()2179863541解45368971210345401=N 18=此排列为偶排列.10345401++＋＋＋＋＋7()()()321212L −−n n n 解12+++L (),21−=n n 当时为偶排列；14,4+=k k n 当时为奇排列.34,24++=k k n ()1N −=n ()2−+n ()()32121L −−n n n 1−n 2−n8()()()()()()k k k k k k 132322212123+−−−L 解22)12(1)12(31k k k k t =×−+=−+++=L 当为偶数时，排列为偶排列，k 当为奇数时，排列为奇排列.k ()()()()()kk k k k k 132********+−−−L ↓−12k ↓0↓−32k ↓0↓−52k L ↓19 1.2.2、对换的定义定义1.2.4在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．ml b b b a a a L L 11例如b a m l b b a b a a L L 11a b n m l c c b b a a L L L 111nm l c c a b b b a a L L L 111b a a101.2.3、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1.2.11.2.11.2.1 一个排列中的任意两个元素对换， 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明（思路：先看简单情形：相邻对换，再证一般对换�由相邻对换变化而来由相邻对换变化而来））设排列为m l b b ab a a L L 11对换 与a b m l b b ba a a L L 11除 外，其它元素的逆序数不改变.b ,a ab ba 例：12排列为0－偶数，对换后21排列为1－奇数11当 时，b a >a b 的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1 ,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.a b 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nm l c bc b ab a a L L L 111当时，b a <现来对换与a .b12次相邻对换m n m l c c b b ab a a L L L 111次相邻对换1+m n m l c c a b b b a a L L L 111,111n m l c bc b ab a a L L L ∴次相邻对换12+m ,111nm l c ac b bb a a L L L 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.nm l c c b b b a a a L L L 111ab推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数..证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.13142 排列具有奇偶性.1 n 1 n 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n! .n! .n !.n 1.2.4、小结3 对换改变排列的奇偶性.。
全排列及其逆序数
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
提示: 以下我们只讨论n个自然数的全排列.
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标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数的计算 在排列p1p2⋅ ⋅ ⋅pn中, 如果pi的前面有ti个大于pi的数, 就说 元素pi的逆序数是ti. 排列的逆序数为t=t1+t2+ ⋅ ⋅ ⋅ +tn. 举例: 在排列32514中, t1=0, t2=1, t3=0, t4=3, t5=1. 排列32514的逆序数为t=0+1+0+3+1=5. 标准排列12345的逆序数是多少字, 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？ 解 采用先选定百位数, 再选定十位数, 最后选定个位数 的步骤. 百位数有3种选法, 十位数有2种选法, 个位数有1种选法. 因为3×2×1=6, 所以可以组成6个没有重复数字的三位数. 这6个三位数是 123, 132, 213, 231, 312, 321.
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标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 ⋅ ⋅ ⋅ n称为标准排列. 逆序与逆序数 在一个排列中, 如果某两个元素的先后次序与标准排列 的次序不同, 就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列 叫做偶排列. 举例: 排列32514的逆序数是5, 它是奇排列. 标准排列12345的逆序数是0, 它是偶排列.
第二节 全排列及其逆序数
第二节 全排列及其逆序数从上节的例子我们知道，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，对四阶和四阶以上的行列式就不适用了.怎样计算四阶和四阶以上的行列式呢?我们先从二阶与三阶行列式的计算中找一找规律先看二阶行列式二阶行列式一共有两项，每一项均由不同行不同列的元素组成。
其组成的规律是如果行标都取自然数1，2；列标只能取1，2或2，1。
所以二阶行列式中有两项2211a a ， 。
再看三阶行列式三阶行列式一共有6项，每一项均由不同行不同列 的元素组成。
其组成的规律是如果行标都取自然数1，2，3；列标只能取1，2，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；2，1，3；1，3，2。
所以三阶行列式中有6项通过上述分析，我们知道了二阶行列式和三阶行列式项的组成方法。
既和排列有关。
2112a a .2112221122211211a a a a a a a a D -==333231232221131211a a a a a a a a a ,312213332112322311322113312312332211aa a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=一、全排列二阶行列式和三阶行列式项的组成方法1）行标取自然排列时，列标分别取全排列.2）项的个数就是全排列的个数。
另外，我们还发现无论二阶行列式还是三阶行列式，均有一些项的前面取“+”，一些项的前面取“-”。
怎样确定那些项的前面取“+”，那些项的前面取“-”呢？我们发现和排列的顺序有关。
定义3把n 个不同的自然数按一定次序排成一列,称为一个n 元排列.记为{p 1,…,p n }。
例如{1，2，3}是一个三元排列，{2，3，1}也是一个三元排列。
排列{1，2，…,n}称为n 元自然排列n 个不同的自然数的所有排列，称为n 元全排列, n 元全排列的个数通常用P n 表示.二阶行列式和三阶行列式项的组成方法1）行标取自然排列时，列标分别取全排列2）项的个数就是全排列的个数。
线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数
在一个 n 阶排列中,任何一个数对不是构成 逆序就是构成顺序.如果我们把顺序的个数称为顺
序数, 则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为
n(n -1)/2. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶 数的排列叫做偶排列.
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 次序. 设
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问
题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同
的排法？ 为此先给出全排列的定义.
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这
n 个元素的全排列（也简称排列）.
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表
的结果可知 P3 = 3 · · = 6. 2 1 示. 由 引例 用1，2，3三个数字可以组成多少个没
例 4 求排列
32541
的逆序数.
求逆序数模型
本模型最多只能处理9个元素 请在下列输入框中输入互不相等
5 2 8 7 1 4 9 6 3
计 算
清 空
本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! ! ! ! 本节内容已结束 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, ! 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮. 请单击返回按钮.
计算机网络实验基础知识1-2 全排列及其逆序数
于是排列32514的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 7986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
18
此排列为偶排列.
i1 前面比i1 大的数码个数； i1 i 2 i n
向前看大 向后看小
③ i1 后面比i1 小的数码个数 i2 后面比i2 小的数码个数
in 后面比in 小的数码个数； i1 i 2 in
向后看小 向前看大
例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1 1 63 5 2 4 8 7 t 03121010 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数. t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2 nn 1n 2321
解 n1
nn1n 2321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k ,4k 1时为偶排列；
从后面向前看大
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
从前面向前看大
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2,
1-2全排列、逆序数
都是数1，2，3，4，5的一个排列.
问题
把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ n !
自然排列： 按数的大小次序，由小到大排列.
考虑： n元排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n元排列都一定出现较大数排在较小数之前的情况.
计算排列的逆序数的方法：
法1：
n 元排列 i1 , i2 ,, in 的逆序数
n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为 m1 ; 再看有多少个比2大的数排在2前面，记为 m 2 ; 继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，记为 mn 0 ; 则此排列的逆序数为
n n 1 , 2
当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
小结
1 2 3
n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
排列具有奇偶性. 计算排列逆序数常用的方法有3 种.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
解: 用方法1 1 6 3 5 2 4 8 7
217986354
1
解：
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1 0 0 1 3 4 4 5
5 4 4 31 0 01 0
பைடு நூலகம் 18
此排列为偶排列.
2
解：
nn 1n 2321 n 1
n n 1 n 2 321 n 2 n 1 n 2 2 1
t 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
逆序数和约瑟夫
§ 2 全排列及其逆序数一、全排列个不同元素排成一列。
可将个不同元素按1~ 进行编号，则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列。
个不同元素的全排列共有种。
逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称这两个元素构成一个逆序。
通常取从小到大的排列为标准排列，即 1~ 的全排列中取123 为标准排列。
二、逆序及逆序数逆序数的定义：一个排列的逆序数的总数称为逆序数。
逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。
逆序数的计算：设为的一个全排列，则其逆序数为其中为排在前，且比大的数的个数。
例：求的逆序数。
解：，逆序数算法在网上看了很多用mergesort求逆序数的代码，发觉很多都不太对，主要是在merge时求本次merge是前后两部分的逆序数过程，其实merge时由于前后两部分都是已经排好序的，假设merge的两个数组分别为a[n1],b[n2],合并时的逆序数就应该=b中所有小于a[1]的个数，小于a[2]的个数，小于a[3]的个数...小于a[n1]的个数之和=a中所有大于b[1]的个数，大于b[2]的个数，大于b[3]的个数...大于b[n2-1]的个数之和。
因此对于此次合并逆序数的个数有两种计算方法，一是以a中元素作为判断来计算，一是以b中元素作为判断来计算。
以a中元素作为为例：计算过程为，每当把a中某一个元素a[i]插入合并后的数组中时，计算b中已经插入合并后的数组中的元素个数ki，把这些所有的ki加起来即为本次合并的逆序数，具体的代码如下其中的iversion为逆序数。
int inversion=0;void merge(int* a,int p,int q,int r){int n1=r-p+1;int n2=q-r;int i,j,k;k=0;int *tmp=new int[n1+n2];for(i=p,j=r+1;i<=r&&j<=q;){if(a[i]<=a[j]){tmp[k]=a[i];inversion+=j-r;i++;k++;}else{tmp[k]=a[j];j++;k++;}}while(i<=r){tmp[k++]=a[i++];inversion+=q-r;}while(j<=q){tmp[k++]=a[j++];}for(i=p;i<=q;i++)a[i]=tmp[i-p];delete [] tmp;}如果所有人是线性排列,那我们的工作就是类似冒泡程序做的工作,,1,2,3,4,5变为5,4,3,2,1 ,耗时n(n-1)/2但是出现了环,也就是说1,2,3,4,5变为3,2,1,5,4也可满足条件我们可以把这个环等分成两个部分,每个部分看成是线性的,再把它们花的时间加起来. 当n是偶数时, 每份人数n/2 ,即(n/2-1)*(n/2)*2当n是偶数时,两份的人数分别是n/2和n-n/2,即(n/2-1)*(n/2)+ ((n-n/2)-1)*(n-n/2)/2*/int main(){int t,n,i,r,s;cin>>t;while(t--){cin>>n;if(n%2==0){r=n/2;s=(n/2-1)*(n/2);}else{r=n/2;n=n-r;s=(r-1)*r/2+(n-1)*n/2;}cout<<s<<endl;}return 0;}若是线形无环，将1-n变为n-1，求逆序数n*(n-1)/2即可(线性代数)但本题由于是环，则在1-n中取一k，将1-n 变为形如k-1，n-(k+1)也可满足条件，比如1,2,3,4,5变为3,2,1,5,4也可满足条件。
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逆序
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线性代数
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
第一章
行列式
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百位 十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3 3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 × 2 × 1 = 6
种放法.
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线性代数
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6. 同理
第一章 行列式
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅L ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
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线性代数
张 奎 中国劳动关系学院 Email:zhangkui6@
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线性代数
第一章
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行列式
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2 当 k 为偶数时，排列为偶排列， =
L
↓
k
[2(1 + k − 1)(k − 1)]
2 +k =k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
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线性代数
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性.
n( n − 1 ) = , 2 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
t = ( n − 1) + ( n − 2 ) + L + 2 + 1
当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列.
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线性代数
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 例如 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中，若数 i t > i s 则称这两个数组成一个逆序. 排列32514 中， 逆序
3 2 5 1 4
逆序
第一章 行列式
线性代数
(3) (2k )1(2k − 1)2(2k − 2)3(2k − 3)L(k + 1)k
解
(2k ) 1 (2k − 1) 2 (2k − 2) 3 (2k − 3)L(k + 1) k
↓
↓
↓
↓
↓
0 1
1
2
2
t = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + L + ( k − 1) + ( k − 1) + k
3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
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线性代数
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1
线性代数
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
t = 0+ 3+1+ 2+1+ 0+1+ 0= 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
t = 0 + 0 + 1 + 1 + 3 + 2 + 0 + 1 = 8.
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第二节
全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数 三、小结 思考题
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线性代数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
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线性代数
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 解 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
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线性代数
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.源自(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
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思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
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线性代数
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
方法1 分别计算出排在1 ,2 ,L , n − 1 , n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1 ,2 ,L , n − 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
= 18
此排列为偶排列.
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线性代数
(2) n(n − 1)(n − 2)L 321
解
n− 6 4 4 4 48 4 4 71 4 4 n(n − 1)(n42 )L 321 144 2 − 44 4 3 (n − 2 )