理论力学 (3)
第5章 摩擦
一、是非题(正确的在括号打“√”、错误的打“×”)
1．静滑动摩擦力与最大静滑动摩擦力是相等的。 ( × ) 2．最大静摩擦力的方向总是与相对滑动趋势的方向相反。 ( √ ) 3．摩擦定律中的正压力(即法向约束反力)是指接触面处物体的重力。 ( × ) 4．当物体静止在支撑面上时，支撑面全约束反力与法线间的偏角不小于摩擦角。 ( × ) 5．斜面自锁的条件是：斜面的倾角小于斜面间的摩擦角。 ( √ ) 二、填空题
1．当物体处于平衡时，静滑动摩擦力增大是有一定限度的，它只能在0≤F s ≤F smax 围变化，而动摩擦力应该是不改变的。
2．静滑动摩擦力等于最大静滑动摩擦力时物体的平衡状态，称为临界平衡状态。
3．对于作用于物体上的主动力，若其合力的作用线在摩擦角以，则不论这个力有多大，物体一定保持平衡，这种现象称为自锁现象。
4．当摩擦力达到最大值时，支撑面全约束反力与法线间的夹角为摩擦角。
5．重量为G 的均质细杆AB ，与墙面的摩擦系数为0.6f =，如图5.12所示，则摩擦力为0。 6．物块B 重2kN P =，物块A 重5kN Q =，在B 上作用一水平力F ，如图5.13所示。当系A 之绳与水平成30θ?=角，B 与水平面间的静滑动摩擦系数s102f .=，物块
A 与
B 之间的静滑动摩擦系数
s2025f .=，要将物块B 拉出时所需水平力F 的最小值为2.37kN 。
图5.12 图5.13
三、选择题
1．如图5.14所示，重量为P 的物块静止在倾角为α的斜面上，已知摩擦系数为s f ，s F 为摩擦力，则s F 的表达式为( B )；临界时，s F 的表达式为( A )。
(A) s s cos F f P α= (B) s sin F P α= (C) s s cos F f P α>
(D) s sin F P α>
N
图5.14
2．重量为G 的物块放置在粗糙的水平面上，
物块与水平面间的静摩擦系数为s f ，今在物块上作用水平推力P 后物块仍处于静止状态，如图5.15所示，那么水平面的全约束反力大小为( C )。
(A) R s F f G =
(B)
R F =
(C) R F =
(D) R
F =图5.15
3．重量为P 、半径为R 的圆轮，放在水平面上，如图5.16所示，轮与地面间的滑动摩擦系数为s f ，滚动摩阻系数为δ，圆轮在水平力F 的作用下平衡，则接触处的摩擦力s F 和滚动摩阻力偶矩f M 的大小分别为( C )。
(A) s s F f P =， f M P δ= (B) s s F f P =， f M RF = (C) s F F =， f M RF = (D) s F F =， f M P δ=
4．重量分别为A P 和B P 的物体重叠地放置在粗糙的水平面上，水平力F 作用于物体A 上，如图5.17所示。设A ，B 间的摩擦力最大值为max A F ，B 与水平面间的摩擦力的最大值为max B F ，若A ，B 能各自保持平衡，则各力之间的关系为( B )。
(A) m ax m ax B A F F F >> (B) m ax m ax B A F F F << (C) m ax m ax A B F F F << (D) m ax m ax B A F
F F <<
N
图5.16 图5.17
5．当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力s F 的大小( C )。
(A) 与物体的重量成正比
(B) 与物体的重力在支撑面的法线方向的大小成正比 (C) 与相互接触物体之间的正压力大小成正比 (D) 由力系的平衡方程来确定
6．已知物块A 重100kN ，物块B 重25kN ，物块A 与地面间的滑动摩擦系数为0.2，滑轮处摩擦不计，如图5.18所示，则物体A 与地面间的摩擦力的大小为( B )。
(A) 16kN (B) 15kN (C) 20kN
(D) 5kN
图5.18
7．如图5.19所示为一方桌的对称平面，水平拉力P 和桌子重W 都作用在对称平面，桌腿A 、B 与地面之间的静滑动摩擦系数为s f 。若在对称平面研究桌子所受的滑动摩擦力。以下四种情况下哪一种说法是正确的？( B )
(A) 当s P f W =时，滑动摩擦力为s 2F F f W /==Amax Bmax (B) 当s P f W =时，滑动摩擦力s 2F F f W /<>Amax Bmax (C) 当s P f W <时，滑动摩擦力s 2A B F F f W /== (D) 当s P f W >时，滑动摩擦力s A B F F f W +=
8．如图5.20所示木梯重量为P ，B 端靠在铅垂墙上，A 端放在水平地面上，若地面为绝对光滑，木梯与墙之间有摩擦，其摩擦系数为s f ，梯子与地面的夹角为α。以下四种条件的说法，哪一种是正确的？( D )
(A) 当s arctg f α<时，杆能平衡 (B) 当s arctg f α=时，杆能平衡 (C) 只有当s arctg
f α<时，杆不平衡 (D) 在090α??<<时，杆都不平衡
图5.19 图5.20
四、计算题
5-1如图5.21所示，重量为G 的物块，放在粗糙的水平面上，接触面之间的摩擦系数为s f 。试求拉动物块所需力F 的最小值及此时的角α。 解：选择物块为研究对象，受力分析 如图所示。列平衡方程，有
0=∑x
F 0cos =-s
F F α 0=∑y F 0sin =-+
G F F N
α
其中N s s F f F =，引入s m f arctan =?，联立求解，可得
)
cos(sin sin cos m m s s G
f G f F ?α?αα-=
+=
当s m f arctan ==?α时，F 取极小值，其值为
2
2min 1s s f f G
F +=
5-2重量为P 的物体放在倾角为α的斜面上，物体与斜面之间的摩擦角为m ?，如图5.22所示。如在物块上作用力F ，此力与斜面的夹角为θ。求拉动物块时的F 值，并问当角θ为何值时，此力为极小。 解：选择物块为研究对象，受力分析 如图所示。列平衡方程，有
0=∑x F 0sin cos =--αθP F F s
0=∑y
F
0cos sin =-+αθP F F N 其中N m s F F ?tan =，联立求解，可得
)
cos()
sin(m m P F ?θ?α-+=
当m ?θ=时，F 取极小值，其值为
)sin(min m P F ?α+=
5-3重力为500N 的物体A 置于重力为400N 的物体B 上，B 又置于水平面C 上，如图5.23所示。已知A 、
B 之间的摩擦系数0.3AB f =，B 与水平面之间的摩擦系数0.2B
C f =，
今在A 上作用一与水平面成30α?=的力F ，问：(1) 当力F 逐渐加大时，是A 先滑动呢，还是A 、B 一起滑动？(2) 如果B 物体重力为200N ，情况又如何？
图5.21
图5.23
A
解：(1)分别选择物块A 和B 为研究对象，受力分析如图所示。不妨假设当力F 逐渐加大时，物块A 先处于滑动的临界状态，此时，由平衡方程，有
A ：
0=∑x F 0cos =+-sAB
F F α 0=∑y
F 0sin =-+-A NAB
G F
F α
其中sAB F =NAB AB F f ，联立求解，可得N 5.209=F ，N 4.181=sAB F 。而此时，由物块B 的平衡方程有
B ：
0=∑x F 0'=-sAB sBC
F F
0=∑y
F 0'=-+-B NBC NAB
G F F
其中sAB sAB
F F ='，NAB NAB F F ='
，联立求解，可得 N 4.181'
==sAB sBC F F ，N 75.1004=NBC F
可知NBC BC sBC F f F <，故物块B 未达到临界状态。故A 先滑动。
(2) 如果B 物体重力为200N ，仿照前面计算过程，可得N 4.181=sBC F ，N 75.804=NBC F ，可知
NBC BC sBC F f F >。故A 、B 一起滑动。
5-4 如图5.24所示的梯子长AB l =，重100N P =，靠在光滑的墙上并和水平地面成75?角。已知梯子和地面之间的静滑动摩擦系数为0.4s f =，问重700N Q =的人能否爬到梯子顶端而不致使梯子滑倒？并求地面对梯子的摩擦力。假定梯子的重心在其中点C 。
解：选择物块为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
0=∑x
F 0=-sB
NA
F F 0=∑y F 0=--Q P F NB
0)(=∑F B M 0cos 2
cos sin =?+?+?-αααl
P l Q l F NA
联立求解，可得
N 201=sB F ， N 800=NB F
图5.24
B
NB
由于NB s sB F f F <，故能保持平衡。
5-5 欲转动一放在V 形槽中的钢棒料，如图5.25所示，需作用力矩M = 15N ·m 的力偶，已知棒料重400N W =，直径25cm D =，试求棒料与槽间的摩擦系数f 。
解：选择V 形槽中的钢棒料为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
0=∑x
F 045cos o
2
1
=-+W F F s N 0=∑y F 045sin o
1
2=--W F F s N
0)(=∑F O M 02
22
1=-?+?M D F D F s s 其中11N s fF F =，22N s fF F =，联立求解，有
0321032=+-f f
解上面的方程，可得棒料与槽间的摩擦系数223.0=f 。
5-6 如图5.26所示半圆柱体重力为P ，重心C 到圆心O 点的距离43R
a =π
，其中R 为圆柱体半径。如半圆柱体和水平面间的摩擦系数为f ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度。
图5.25
y
x
N F 2s
图5.26
解：选择半圆柱体为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
0=∑x
F 0=-s
F F 0=∑y F 0=-P F N
0)
(=∑F A M
0)sin (sin =-?-?ααR R F a P
其中N s fF F =，联立求解，可得半圆柱体被拉动时所偏过的角度为
f
f
ππα343arcsin
+=
5-7同一物块在如图5.27所示的两种受力情况下，均保持物体不下滑时力F 1和F 2是否相同？为什么？设物块重为Q ，与铅垂面间的摩擦系数为s f 。
解：分别选择物块为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
(1)
0=∑x
F 0sin 1
1
=+-N F F α 0=∑y F 0cos 11
=-+-P
F
F s α
其中11N s s F f F =，联立求解，可得保持物体不下滑时力F 1为
α
αcos sin 1-=
s f P
F
(2)
0=∑x
F 0sin 2
2
=+-N F F α 0=∑y
F 0cos 2
2
=-+P F F s α
其中22N s s F f F =，联立求解，可得保持物体不下滑时力F 2为
α
αcos sin 2+=
s f P
F
5-8如图5.28所示系统中，已知物体ABCD 重P = 50kN ，与斜面间的摩擦系数为f = 0.4，斜面倾角
30α?=，AB = CD = 10cm ，AD = BC = 50cm ，绳索AE 段水平，试求能使系统平衡时物体M 重量Q
的最小值。 2
1
图5.27
1
2
解：当重量Q 的较小时，物块可能有两种运动趋势：向下滑动或向下倾倒。画出物块的受力图，分别计算这两种运动所需要的Q 的最小值。 当物块有向下滑动趋势时，由物块的平衡，有
0=∑x
F 0cos sin =+-ααT
s
F P F 0=∑y F 0sin cos =--ααT
N F P F
其中N s fF F =，Q F T =，联立求解，可得保持物体不下滑时力Q 的最小值为 kN 2.7sin cos cos sin min =+-=α
αα
αf f P
Q
当物块有向下倾倒趋势时，物块受钭面的法向约束反力通过C 点，由物块的平衡，有
0)(=∑
F C M 0)sin cos (2
sin 2cos =+-?+?
-ααααCD AD F BC
P CD P T 其中：Q F T =，解得保持物体不倾倒时力Q 的最小值为
kN 46.8sin cos 2cos 2sin min =+?-?
=α
αααCD AD CD
BC P
Q 要保证物块既不向下滑动又不向下倾倒，重量Q 的最小值应取为 kN 46.8min =Q
5-9 如图5.29所示，圆柱体A 与方块B 均重W = 100N ，置于与水平成30?的斜面上，若所有接触处的滑动摩擦角均为35?，求保持物体平衡所需要的最小力P 。
解：分别选择圆柱体A 与方块B 为研究对象，受力分析如图所示。力P 较小时，圆柱体A 与方块B 均有向下运动的趋势。此时，由平衡方程，有
A ：
0=∑x
F 030sin o
=+--W F F sA
AB
0=∑y F 030cos o
=-+W F F sAB
NA 0)(=∑F A M 0=?-?r F r F sA
sAB
B ： 0=∑x F 030sin o
=+--W P F F sB
BA
y
x
0=∑y
F
030cos o =--W F F sBA NB
其中NB sB F F o 35tan =，BA sBA F F o 35tan =，AB BA F F =，联立求解，可得
N 35.4=P
5-10 如图5.30所示的均质杆AB 和BC 重均为W ，长均为L ，A 、B 为铰链连接，C 端靠在粗糙的墙上，设静摩擦系数为f = 0.35，求系统平衡时θ角的围。
解：分别选择整体与BC 杆为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
整体：
0)(=∑F A M 0cos 2
cos 2sin 2=?-?-?θθθl
W l W l F N
BC 杆： 0)(=∑
F B M 0cos 2
cos sin =?+?-?θθθl
W l F l F s N
其中s F ≤N fF ，联立求解，可得
图5.29
y x
F
B
图5.30
B
By
θ≤o 926.9
5-11 如图5-31所示托架，安装在直径30cm d =的水泥柱子上，托架与柱子之间的静摩擦系数s 025f .=，且60cm h =，问作用于托架上的荷载P 距圆柱中心线应为多远时才不致使托架下滑？托架
自重不计。
解：选择托架为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
0=∑x
F 0=+-NB
NA
F F 0=∑y F 0=-+P F F sB
sA
0)(=∑F A M 0)2(=+-?+?d
x P d F h F sB
NB
其中sB F ≤NB s F f ，联立求解，可得
x ≥cm 120
5-12 如图5.32所示圆柱O 重量为Q ，半径为R ，夹放在用铰链连接的两板AB 、BC 之间，若圆柱与板之间的摩擦系数为s f ，试求圆柱平衡时力P 的大小。设AB L =，2ABC α∠=。
图5.31
F
解：当P 较小时，圆柱O 有向下滚动的趋势。分别选择圆柱O 与板AB 为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
圆柱O ：
0=∑y
F 0)sin()sin(2
1
=-+?++?Q F F m
R m
R ?α?α
AB 杆： 0)(=∑F B
M 0cos tan cos '1
=?-?
αα
?L P R
F m
R 由于问题的对称性，可知圆柱O 在C 、D 两处受到的全约束反力相等，即21R R F F =。联立求解，可得
)
cos (sin 2min ααs f L QR
P +=
当P 较大时，圆柱O 有向上滚动的趋势。分别选择圆柱O 与板AB 为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
圆柱O ：
0=∑y
F 0)sin()sin(2
1
=--?+-?Q F F m
R m
R ?α?α
AB 杆： 0)(=∑F B
M 0cos tan cos '1
=?-?
αα
?L P R
F m
R 由于问题的对称性，可知圆柱O 在C 、D 两处受到的全约束反力相等，即21R R F F =。联立求解，可得
)
cos (sin 2max ααs f L QR
P -=
因此，圆柱平衡时力P 的大小为
)cos (sin 2ααs f L QR +≤P ≤)
cos (sin 2ααs f L QR
-
5-13如图5.33所示，均质杆AB 重175N W =，木块C 重2200N W =，杆与木块间的静摩擦系数10.5f =，木块与水平面间的静摩擦系数20.6f =，求拉动木块的水平力P 的最小值。
'
'
sA
解：分别选择均质杆AB 与木块C 为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
均质杆AB ：
0)(=∑F B
M 045sin 2
45
cos 45sin o 1o
o
=?+?-?-l
W l F
l F sA NA
木块C ： 0=∑x
F 0'=-+P F F sC
sA
0=∑y F 02
'=--W F F NA
NC
其中，NA NA F F ='，sA sA F F ='。在木块滑动的临界状态下，有'
1'NA sA F f F =，NC sC F f F 2=。联立求解，
可得
N P 5.147=
5-14 如图5.34所示，两无重杆在B 处用套筒式无重滑块连接，在杆AD 上作用一力偶A M ，其力偶矩
40N m A M =?，滑块和杆AD 间的摩擦系数s 03f .=，在图示瞬时AB AC =，求保持系统平衡时力偶
矩C M 的围。
解：分别选择杆AD 与杆BC 为研究对象，当力偶矩C M 较小时，物块相对于杆AD 有向上运动的趋势，此时两杆的受力分析如图所示。列平衡方程，有
杆AD ：
0)(=∑F A
M 033
=-?A
NB
M l F
杆BC ： 0)(=∑F C M 060
sin 30sin o 'o
'=?-?+l F
l F M NB sB
C
其中，NB NB
F F ='，sB sB F F ='
。在木块滑动的临界状态下，有NB s sB F f F =。联立求解，可得 m N 61.49?=C M
同理，当力偶矩C M 较小时，物块相对于杆AD 有向下运动的趋势。此时，列平衡方程，有
图5.34
'
杆AD ：
0)(=∑F A M 033
=-?
A N
B M l F 杆B
C ： 0)(=∑
F C M 060sin 30sin o 'o '=?-?-l F l F M NB sB
C 其中，NB NB
F F ='，sB sB F F ='
。在木块滑动的临界状态下，有NB s sB F f F =。联立求解，可得 m N 39.70?=C M
综合考虑以上两种可能情况，可得保持系统平衡时力偶矩C M 的围为
m N 61.49?≤C M ≤m N 39.70?
5-15 如图5.35所示，砖夹由曲杆AOB 和OCD 在点O 铰接而成。工作时在点H 加力P ，点H 在
AD 的中心线上。若砖夹与砖块之间的摩擦系数s 05f .=，不计各杆自重，问距离b 为多大时才能将砖块
夹起？图中长度单位为cm 。
解：由整体的受力图可知，工作时在点H 加力P 大小应等于G 。分别选取曲杆AOB 和砖块为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
曲杆AOB ：
0)(=∑F O
M 05.93=?+?+?-P F b F
sA NA
砖块： 0=∑y
F 0'=-+
G F
F sD
sA
其中，sA sA
F F ='。由于对称性，可知sD sA F F ='。而sA F ≤NA s F f 。联立求解，可得 b ≤cm 11
5-16 楔形夹具如图5.36所示。A 块顶角为α，受水平向左的力P 作用，B 块受垂直向下的力Q 作用。
A 块与
B 块之间的静滑动摩擦系数为s f ，如不计A 、B 的重量，试求能保持平衡的力P 的围。
解：分别选择楔形块A 与楔形块B 为研究对象。当力P 较大时，楔形块B 相对于楔形块A 有向上运动的趋势，此时两楔形块的受力分析如图所示。列平衡方程，有
楔形块A ：
0=∑x
F 0cos sin =-+P F F
sAB NAB αα 楔形块B ： 0=∑y
F 0sin cos =--Q F F
sBA NBA αα
其中，NAB NBA F F =，sAB sBA F F =。在木块滑动的临界状态下，有NAB s sAB F f F =。联立求解，可得
图5.35
Q f f P s s α
αα
αsin cos cos sin -+=
同理，当力P 较小时，楔形块B 相对于楔形块A 有向下运动的趋势，两楔形块的受力图和前面的楔形块的受力图相似，只需改变各自的摩擦力方向即可。列平衡方程，有
楔形块A ：
0=∑x F 0cos sin =--P F F
sAB NAB αα 楔形块B ： 0=∑y
F 0sin cos =-+Q F F
sBA NBA αα
其中，NAB NBA F F =，sAB sBA F F =。在木块处于滑动的临界状态下，有NAB s sAB F f F =。联立求解，可得
Q f f P s s α
αα
αsin cos cos sin +-=
综合考虑以上两种可能出现的情况，可知能保持夹具平衡的力P 的围为
Q f f s s ααααsin cos cos sin +-≤P ≤Q f f s s α
αα
αsin cos cos sin -+
5-17 如图5.37所示，均质杆AB 长b 2，重量为P ，放在水平面和半径为r 的固定圆柱上。设各处摩擦系数都是s f ，试求杆处于平衡时?的最大值。
图5.36
NBA
图5.37
解：选均质杆AB 为研究对象，当平衡时?较大时，均质杆有向下倾倒的趋势。此时均质杆的受力分析如图所示。列平衡方程，有
0=∑x
F 0cos sin =--sA
sC
NC
F F F ??
0=∑y F 0sin cos =-++P F F F NA
sC NC ??
0)(=∑F A M 0cos tan =?+?-??b P r
F NC
在均质杆AB 处于滑动的临界状态下，有NA s sA F f F =，NC s sC F f F =。联立求解，可得 b
f r f s s )1(arcsin
2+=?
5-18 如图5.38所示鼓轮
B 重量为500N ，放在墙角里。已知鼓轮与水平地板间的摩擦系数
s 025f .=，而铅直墙壁则假定是绝对光滑的。鼓轮上的绳索下端挂着重物。设半径200mm R =，100mm r =，求平衡时重物A 的最大重量。
解：选取鼓轮B (包括重物A)为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
0=∑y
F 0=--P W F ND
0)(=∑F O M 0=?+?-r P R F sD
在鼓轮处于滑动的临界状态下，有ND s sD F f F =。联立求解，可得 N 500=P
5-19 一个起重用的夹具由ABC 和DEF 两个相同的弯杆组成，并由杆BE 连接，B 和E 都是铰链，尺寸如图5.39所示。不计夹具自重，试问要能提起重量为G 的重物，夹具与重物接触面处的摩擦系数s f 应为多大？
图
5.38
解：分别选择节点A 与弯杆ABC 为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
节点A ：
0=∑x
F 030cos 30cos o
'o
'=+-D
A
F F 0=∑y
F 030sin 30sin o
'o
'=+--P F F D
A
弯杆ABC ： 0)(=∑F B M 0602015=?-?+?A
sC NC F F F
其中，A A
F F ='
。显然要起吊重物，摩擦力sC F 应等于2
G
，而起重力P 等于G 。由静滑动摩擦定律有sC F ≤NC s F f 。联立求解，可得
s f ≥15.0
5-20 轧压机由两轮构成，两轮的直径均为500mm d =，轮间的间隙为5mm a =，两轮反向转动，转动方向如图5.40所示。已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数为s 01f .=，问能轧压的铁板的厚度b 是多少？
提示：要使机器正常工作，铁板必须被两轮带动，即作用在铁板A 、B 处的法向反力和摩擦力的合力必
须水平向右。 图5.39
'
'D
解：选铁板为研究对象，受力分析如图所示。为使机器正常工作，铁板必须被两轮带动，即作用在铁板A 、B 处的法向反力和摩擦力的合力必须水平向右。即 0sin cos >-ααNA sA F F
而NA s sA F f F =。其中：2
2)22()2(tan 22a b d a b d d -----=
α求解可得 mm 5.7 理论力学试题及答案 (一) 单项选择题（每题2分，共4分） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为( )。 A 静止(非临界平衡)状态 B 临界平衡状态 C 滑动状态 第1题图 第2题图 2. 图(a)、(b)为两种结构，则( )。 A 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 B 图(a)、(b)均为静不定的 C 图(a)、(b)均为静定的 D 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 (二) 填空题(每题3分，共12分) 1. 沿边长为m a 2=的正方形各边分别作用有1F ，2F ，3F ，4F ，且1F =2F =3F =4F =4kN ，该力系向B 点简化的结果为： 主矢大小为R F '=____________，主矩大小为B M =____________ 向D 点简化的结果是什么？ ____________。 第1题图 第2题图 2. 图示滚轮，已知2m R =，1m r =，ο30=θ，作用于B 点的力4kN F =，求力F 对A 点之矩A M =____________。 3. 平面力系向O 点简化，主矢R F '与主矩M 10kN F '=，20kN m O M =g ，求合力大小及作用线位置，并画在图上。 D C A B F 1 F 2 F 3 F 4 第3题图 第4题图 4. 机构如图，A O 1与B O 2均位于铅直位置，已知13m O A =，25m O B =，2 3rad s O B ω=，则 杆A O 1的角速度A O 1ω=____________，C 点的速度C υ=____________。 (三) 简单计算题(每小题8分，共24分) 1. 梁的尺寸及荷载如图，求A 、B 2. 丁字杆ABC 的A 端固定，尺寸及荷载如图。求A 端支座反力。 3. 在图示机构中，已知m r B O A O 4.021===，AB O O =21，A O 1杆的角速度4rad ω=，角加速度22rad α=，求三角板C 点的加速度，并画出其方向。 F O R ' O M 第一章静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （） 2．在理论力学中只研究力的外效应。（） 3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（） 6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（） 7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（） 二、选择题 1．若作用在A点的两个大小不等的力 1和2，沿同一直线但方向相反。则 其合力可以表示为。 ①1－2； ②2－1； ③1＋2； 2．作用在一个刚体上的两个力A、B，满足A=－B的条件，则该二力可能是 。 ①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。 ③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。 3．三力平衡定理是。 ①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ②共面三力若平衡，必汇交于一点； ③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 4．已知F 1、F 2、F 3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢 关系如图所示为平行四边形，由此。 ①力系可合成为一个力偶； ②力系可合成为一个力； ③力系简化为一个力和一个力偶； ④力系的合力为零，力系平衡。 5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。 ①二力平衡原理；②力的平行四边形法则； ③加减平衡力系原理；④力的可传性原理； ⑤作用与反作用定理。 三、填空题 理论力学试题及答案 一、是非题（每题2分。正确用√，错误用×，填入括号内。） 1、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 2、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（） 3、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。（） 4、虚位移是偶想的，极微小的位移，它与时间，主动力以及运动的初始条件无关。 5、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mv x =mvcos a。 二、选择题（每题3分。请将答案的序号填入划线内。） 1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果 是。 ①主矢等于零，主矩不等于零； ②主矢不等于零，主矩也不等于零； ③主矢不等于零，主矩等于零； ④主矢等于零，主矩也等于零。 2、重P的均质圆柱放在V型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为M时（如图），圆柱处于极限平衡状态。此时按触点处的法向反力N A与N B的关系 为。 ①N A = N B；②N A > N B；③N A < N B。 3、边长为L的均质正方形平板，位于铅垂平面内并置于光滑水平面上，如图示，若给平板一微小扰动，使其从图示位置开始倾倒，平板在倾倒过程中，其质心C点的运动轨迹是。 ①半径为L/2的圆弧；②抛物线；③椭圆曲线；④铅垂直线。 4、在图示机构中，杆O1 A//O2 B，杆O2 C//O3 D，且O1 A = 20cm，O2 C = 40cm，CM = MD = 30cm，若杆AO1 以角速度ω= 3 rad / s 匀速转动，则D点的速度的大小为cm/s，M点的加速度的大小为cm/s2。 ①60；②120；③150；④360。 2 理论力学试题及答案 、是非题（每题 2分。正确用错误用X,填入括号内。 ） 1、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 2、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。 4、虚位移是偶想的，极微小的位移，它与时间，主动力以及运动的初始条件无关。 5、设一质点的质量为 m 其速度—与x 轴的夹角为a,则其动量在 x 轴上的投影为 mv =mvcos a o 二、选择题（每题 3分。请将答案的序号填入划线内。） 1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果是 ① 主矢等于零，主矩不等于零; ② 主矢不等于零，主矩也不等于零; ③ 主矢不等于零，主矩等于零; ④ 主矢等于零，主矩也等于零。 2、重P 的均质圆柱放在 V 型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为 M 时（如图），圆柱处于极限平衡状态。此 时按触点处的法向反力 N A 与N B 的关系为 ① N A = N B ; ② N A > N B ; ③ N A < N B O 3、边长为L 的均质正方形平板，位于铅垂平面内并置于光滑水平面上，如图示，若给平板一微小扰动，使其从图示位 置开始倾倒，平板在倾倒过程中，其质心 C 点的运动轨迹是 ①半径为L/2的圆弧； ②抛物线； ③椭圆曲线； ④铅垂直线。 4、在图示机构中，杆 0 A //QB,杆 C 2 C //C 3 D,且 O A = 20cm , C 2 C = 40cm , CM = MD = 30cm 若杆 AO 以角速度 w 3、在自然坐标系中，如果速度u 常数，则加速度a = 0 O =3 rad / s 匀速转动，则D 点的速度的大小为 cm/s ,M 点的加速度的大小为 cm/s 一、选择题（每题3分，共15分）。） 1. 三力平衡定理是--------------------。 ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 2. 空间任意力系向某一定点O 简化，若主矢0≠'R ，主矩00≠M ，则此力系简化的最后结果--------------------。 ① 可能是一个力偶，也可能是一个力； ② 一定是一个力； ③ 可能是一个力，也可能是力螺旋； ④ 一定是力螺旋。 3. 如图所示，=P 60kM ，T F =20kN ，A , B 间 的静摩擦因数s f =0.5，动摩擦因数f =0.4，则物块A 所受的摩擦力F 的大小为-----------------------。 ① 25 kN ；② 20 kN ；③ 310kN ；④ 0 4. 点作匀变速曲线运动是指------------------。 ① 点的加速度大小a =常量； ② 点的加速度a =常矢量； ③ 点的切向加速度大小τa =常量； ④ 点的法向加速度大小n a =常量。 5. 边长为a 2的正方形薄板，截去四分 之一后悬挂在A 点，今若使BC 边保持水平，则点A 距右端的距离x = -------------------。 ① a ； ② 3a /2； ③ 6a /7； ④ 5a /6。 二、填空题（共24分。请将简要答案填入划线内。） T F P A B 30A a C B x a a a 1. 双直角曲杆可绕O 轴转动，图 示瞬时A 点的加速度2s /cm 30=A a ， 方向如图。则B 点加速度的大小为 ------------2s /cm ，方向与直线------------成----------角。（6分） 2. 平面机构如图所示。已知AB 平行于21O O ，且AB =21O O =L ，r BO AO ==21，ABCD 是矩形板， AD=BC=b ，1AO 杆以匀角速度ω绕1O 轴转动，则矩形板重心1C 点的速度和 加速度的大小分别为v = -----------------, a = --------------。（4分） （应在图上标出它们的方向） 3. 在图示平面机构中，杆AB =40cm ，以1ω=3rad/s 的匀角速度绕A 轴转动，而CD 以2ω=1rand/s 绕B 轴转 动，BD =BC =30cm ，图示瞬时AB 垂直于CD 。若取AB 为动坐标系，则此时D 点的牵连速度的大小为 -------------，牵连加速度的大小为 -------------------。（4分） （应在图上标出它们的方向） 4. 质量为m 半径为r 的均质圆盘， 可绕O 轴转动，其偏心距OC =e 。图示瞬时其角速度为ω，角加速度为ε。则该圆盘的动量p =--------------，动量矩 =o L ------------------------------------，动能T = -----------------------，惯性力系向O 点的简化结果 为----------------------------------------------------------。 （10分） （若为矢量，则应在图上标出它们的方向） m 3m 3m 4 03O A B A a B A ω D C 1O 2 O 1 C A B C D 1ω2 ωe C ε O 理论力学题库——第三章 一、填空题 1.刚体作定轴转动时有个独立变量，作平面平行运动时有个独立 变量。 2.作用在刚体上的力可沿其作用线移动而（“改变”或“不改变”） 作用效果，故在刚体力学中，力被称为矢量。 3.作用在刚体上的两个力，若大小相等、方向相反，不作用在同一条直线 上，则称为。 4.刚体以一定角速度作平面平行运动时，在任一时刻刚体上恒有一点速度 为零，这点称为。 5.刚体作定点转动时，用于确定转动轴在空间的取向及刚体绕该轴线所转 过的角度的三个独立变化的角度称为，其中?称为角，ψ称为角，θ称为角。 6.描述刚体的转动惯量与回转半径关系的表达式是。 7.刚体作平面平行运动时，任一瞬间速度为零的点称为，它 在刚体上的轨迹称为，在固定平面上的轨迹称 为。 8.平面任意力系向作用面内任意一点简化的结果可以归结为两个 基本物理量，主矢和主矩。 9.用钢楔劈物，接触面间的摩擦角为?f。劈入后欲使楔不滑出，则钢楔两 侧面的夹角θ需满足的条件为θ≦2?f。 10.刚体绕O Z 轴转动，在垂直于转动轴的某平面上有A，B两点， 已知O Z A=2O Z B，某瞬时a A =10m/s2，方向如图所示。则此时B点 加速度的大小为5m/s2；与O z B成60度角。 11.如图，杆AB绕A轴以?=5t（?以rad计，t以s计）的规律转 动，上一小环M将杆AB和半径为R（以m计）的固定大圆环连 在一起，若以O1为原点，逆时针为正向，则用自然法表示的点M 的运动方程为s=πR/2+10Rt 。 12. 两全同的三棱柱，倾角为θ，静止地置于光滑的水平地面上， 将质量相等的圆盘与滑块分别置于两三棱柱斜面上的A处，皆从 静止释放，且圆盘为纯滚动，都由三棱柱的A处运动到B处， 则此两种情况下两个三棱柱的水平位移_相等_（填写相等或不相 等），因为两个系统在水平方向质心位置守恒。 13.二力构件是指其所受两个力大小相等、方向相反，并且作用在一条直线上是最简单的平衡力系。 14. 若刚体在三个力作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力 理论力学试题和答案 理论力学(五) 2 理论力学期终试题 (一) 单项选择题（每题2分，共4分） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为( )。 A 静止(非临界平衡)状态 B 临界平衡状态 C 滑动状态 D 不能确定 第1题图 第2题图 2. 图(a)、(b)为两种结构，则( )。 A 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 B 图(a)、(b)均为静不定的 C 图(a)、(b)均为静定的 D 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 (二) 填空题(每题3分，共12分) 1. 沿边长为m a 2=的正方形各边分别作用有1F ，2F ，3F ，4F ，且1F =2F =3F =4F =4kN ，该力系向B 点简化的结果为： 主矢大小为R F '=____________，主矩大小为B M =____________ 向D 点简化的结果是什么？ ____________。 (a)(b) P Q o 30 D C A B F 1 F 2 F 3 F 4 R r θ A B O 理论力学(五) 3 第1题图 第2题图 2. 图示滚轮，已知2m R =，1m r =，ο30=θ，作用于B 点的力4kN F =，求力F 对A 点之矩A M =____________。 3. 平面力系向O 点简化，主矢R F '与主矩O M 如图。若已知10kN R F '=，20kN m O M =g ，求合力大小及作用线位置，并画在图上。 第3题图 第4题图 4. 机构如图，A O 1与B O 2均位于铅直位置，已知13m O A =，25m O B =，2 3rad s O B ω=，则杆A O 1的角速度A O 1ω=____________，C 点的速度C υ=____________。 (三) 简单计算题(每小题8分，共24分) 1. 梁的尺寸及荷载如图，求A 、B 处的支座反力。 O R F ' O M O 2 O 1 C A B 2O B ω A 1m 1m 2m q 0=2kN/m M =4kN·m P =2kN B 第三章平衡问题：矢量方法习题解答 3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。 题3.1图 解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。 （2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。 （3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。 （4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。 （5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。 平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。 （6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。 除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。 3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？ 理论力学试题 一`作图题（10分） 如下图所示，不计折杆AB 和直杆CD 的质量，A 、B 、C 处均为铰链连接。试分别画出图中折杆AB 和直杆CD 的受力图。 二、填空题（30分，每空2分） 1.如下图所示，边长为a =1m 的正方体，受三个集中力的作用。则将该力系向O 点简化可得到： 主矢为=R F ρ （ ， ， ）N ； 主矩为=O M ρ （ ， ， ）N.m 。 2.如下图所示的平面机构，由摇杆A O 1、B O 2，“T 字形”刚架ABCD ，连杆DE 和竖直滑块E 组成，21O O 水平，刚架的CD 段垂直AB 段，且AB =21O O ，已知 l BO AO ==21，DE=l 4 ，A O 1杆以匀角速度ω绕 1O 轴逆时针定轴转动，连杆 DE 的质量均匀分布且大小为 M 。 根据刚体五种运动形式的定义，则“T 字形”刚架ABCD 的运动形式为 ，连杆DE 的运动形式为 。 在图示位置瞬时，若A O 1杆竖直，连杆DE 与刚架CD 段的夹角为o CDE 60=∠，则在该瞬时：A 点的速度大小为 ，A 点的加速度大小 为 ，D 点的速度大小为 ，连杆DE 的速度瞬心到连杆DE 的质心即其中点的距离为 ，连杆DE 的角速度大小为 ，连杆DE 的动量大小为 ，连杆DE 的动能大小为 。 三、计算题（20分） C 处为中间A A r v C P F ρ D C 2O 1O ω E B A D 铰。所受荷载如图所示。已知F=40 kN ，M= 20kN ·m ，q=10kN/m ，a=4m 。试求A 处和B 处约束力。 四、计算题（20分） 机构如右上图所示，1O 和2O 在一条竖直线上，长度mm A O 2001=的曲柄A O 1的一端A 与套筒 A 用铰链连接，当曲柄A O 1以匀角速度s rad /21 =ω绕固定轴1O 转动时，套筒A 在摇杆B O 2上滑动 并带动摇杆B O 2绕固定轴2O 摆动。在图示瞬时，曲柄A O 1为水平位置，02130=∠B O O 。 试求此 瞬时：（1）摇杆B O 2的角速度2ω；（2）摇杆B O 2的角加速度2α 五、计算题（20分） 如下图所示，滚子A 沿倾角为θ=0 30的固定斜面作纯滚动。滚子A 通过一根跨过定滑轮B 的绳子与物块C 相连。滚子A 与定滑轮B 都为均质圆盘，半径相等均为r ，滚子A 、定滑轮B 和物块C 的质量相等均为m ，绳子的质量忽略不计。系统由静止开始运动，试求： （1）物块C 的加速度； （2）绳子对滚子A 的张力和固定斜面对滚子A 的摩擦力。 答案 一、作图题（10分） （5分） （5分） 二、填空题（30分，每空2分） 1． －1，2，－3 ； －4，2，2 2． 平移或平动， 平面运动 。 l ω， l 2ω，l ω ，l 2， 2 ω ， l M ω， 2232l M ω 。 三、计算题（20分） 解：（1）取折杆BC 为研究对象，画出受力图（4分） 列平衡方程组中的一个方程得： RB 3-3在图示刚架中，已知kN/m 3=m q ，2 6=F kN ，m kN 10?=M ，不计刚架自重。求固定端A 处的约束力。 m kN 12kN 60?===A Ay Ax M F F ，， 3-4杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。对于给定的θ角，试求平衡时的β角。 A θ 3 l G β G θB B F A R F 3 2l O 解：解法一：AB 为三力汇交平衡，如图所示ΔAOG 中 βsin l AO =， θ-?=∠90AOG ，β-?=∠90OAG ，βθ+=∠AGO 由正弦定理：) 90sin(3)sin(sin θβθβ-?= +l l ，)cos 31)sin(sin θβθβ=+l 即 βθβθθβsin cos cos sin cos sin 3+= 即 θβtan tan 2= )tan 2 1arctan(θβ= 解法二：： 0=∑x F ，0sin R =-θG F A （1） 0=∑y F ，0cos R =-θG F B （2） 0)(=∑F A M ，0sin )sin(3 R =++-ββθl F l G B （3） 解（1）、（2）、（3）联立，得 )tan 2 1 arctan(θβ= 3-5 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。支承和受力如图所示。已知均布载荷强度 kN/m 10=q ，力偶矩m kN 40?=M ，不计梁重。 kN 15kN 5kN 40kN 15===-=D C B A F F F F ；；； 解：取CD 段为研究对象，受力如图所示。 0)(=∑F C M ，024=--q M F D ；kN 15=D F 取图整体为研究对象，受力如图所示。 0)(=∑F A M ，01682=--+q M F F D B ；kN 40=B F 0=∑y F ，04=+-+D B Ay F q F F ；kN 15-=Ay F 0=∑x F ，0=Ax F 3-6如图所示，组合梁由AC 和DC 两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起重机重P1 = 50kN ，重心在铅直线EC 上，起重载荷P2 = 10kN 。如不计梁重，求支座A 、B 和D 三处的约束反力。 解：（1）取起重机为研究对象，受力如图。 0)(=∑F F M ，0512P R =--W F F G ，kN 50R =G F （2）取CD 为研究对象，受力如图 一．选择填空和填空题（每题5分，共30分） 1．某任意力系向O 点简化，得到cm 10N N,10'R ?==O M F ，方向如图所示；若将该力系向A 点简化，则得到： A 。 A. 0N,10R ==A M F ；B. cm 10N N,10'R ?==A M F ；C. cm 0N 2N,10'R ?==A M F 。 2．已知杆AB =40cm ，以rad/s 31=ω绕A 轴转动，而杆CD 又绕B 轴以rad/s 12=ω转动，BC =BD =30cm ，图示瞬时AB ⊥CD ，若取AB 为动坐标，则此时C 点的牵连速度大小为 C 。 A. 30cm/s ； B. 120cm/s ； C. 150cm/s ； D. 160cm/s 。 第1题图 第2题图 3．一直角曲杆（重量不计）上各受力偶M 的作用，如图所示，A 1和A 2处的约束反力分别为F A 1和F A 2，则它们的大小应满足条件 C 。 A. 21A A F F >； B. 21A A F F =； C. 21A A F F <。 第3题图 4．若作用于质点系的外力在某段时间内在固定坐标Ox 轴上投影的代数和等于零，则在这段时间内 B 。 A. 质点系质心的速度必保持不变； B. 质点系动量在x 轴上的投影保持不变； C. 质点系质心必保持不动。 5．物块重量为10N ，放在粗糙水平面上，已知物块与水平面间的静滑动摩擦系数为21.0=f ，动滑 动摩擦系数为2.0=′f ，当物块受一与铅垂线成°=30θ夹角的力N 20=F 作用时（如图），作用在该物块上的摩擦力大小为 5.464N 。 6．匀质细圆环的半径为r ，质量为m 1=m ，与一根质量同为m 2=m ，长为2r 的匀质细直杆OA 刚性连接，可在水平面内以匀角速度ω绕O 轴定轴转动，如图所示。 则系统对O 轴的动量矩为 ω2334mr ；系统的动能为 22317ωmr 。 第5题图 第6题图 二．计算题（本题20分） 如图所示平面机构中，各杆重量不计，已知：q =10kN/m ，F 1=20kN ，F 2=30kN ，尺寸如图，三角形无重板BCD 的B 、D 处为铰链联结，求（1）D 处的约束反力；（2）固定端A 处的约束反力。 解：（1）取BCD 为研究对象，受力如图，列方程： ∑=???=0,0)(2BC F BC F F M D B ，由此得：kN 302==F F D （2）取整体研究，受力如图：平面任意力系，列方程： ???????=×?+×??==+???===∑∑∑0 6)(244,0)(04,00,02121F F q F M F M F q F F F F F F D A A D Ay y Ax x ，由此得：kNm 160,kN 60,0===A Ay Ax M F F 周衍柏理论力学教学总结 篇一：理论力学总结 理论力学总结 姓名：黄亚敏班级0911物理学学号：20XX110102指导老师：夏清华前言：学习一门课程很重要的一个环节就是总结，这样才能知道自己学到了什么，还有那些不了解，还有哪些地方需要再进一步的学习，同时还可以总结出一些好的学习方法和学习习惯，这样皆可以运用到其他方面上。 初看周衍柏《理论力学》一书，只觉得满书全是数学公式，比如第一章质点力学中的极坐标系中的速度、加速度的分量表达式，对我来说就是一个大困难，怎么就弄不明白为什么 ?didt??did?d?dt ????j ， ? djdt ? ?djd?d?dt ?????i?，即曲线上的某点p的沿位矢方向的坐标i对 时间t求导之后为另一方向单位矢量，自己看的时候很不能理解，后 来经过推导之后发现确实是这样的，后来自己又推导一遍，发现是正确的，是数学上的微分运算 ?? 因为我开始的错误理解是:i与时间没有关系，因为在直角坐标系中，并没有对i求??? 导，但是不同的是，在直角坐标系中，单位矢量i，j，k是不变的，但在极坐标中，?? 单位矢量i，j的量值虽然为1，但方向一直随着位矢的方向的变化而变化，所以这????? ?里的单位矢量i，j是一个变量。求得的速度加速度表达式为v??ri??rj，??? 2??????)ja?(??r?r?)i?(r??2r ，还可以用自然坐标算出加速度，表达式简单一些，但前 ??ds? v?vi?i dt 提是要清楚曲线的曲率半径?，才会简化加速度表达式，为 ?? 2?2?dvdsdsdidv?v? a??i??i?j2 dtdtdtdtdt? ， 第一章思考题解答 1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。 1.2答：质点运动时，径向速度和横向速度的大小、方向都改变，而中的只反 映了本身大小的改变，中的只是本身大小的改变。事实上，横向速度方向的改变会引起径向速度大小大改变，就是反映这种改变的加速度分量；经向速度的方向改变也引起的大小改变，另一个即为反映这种改变的加速度分量，故，。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况 1.3答：内禀方程中，是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于恒位于密切面内，速度总是沿轨迹的切线方向，而垂直于指向曲线凹陷一方，故总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时，z 何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力，还受到被动的约反作用力，二者在副法线方向的分量成平衡力，故符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若大小不等，就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。 1.4答：质点在直线运动中只有，质点的匀速曲线运动中只有；质点作变速运动时即有。 1.5答： 即反应位矢大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而只表示大小的改变。如在极坐标系中，而。在直线运动中，规定了直线的正方向后，。且的正负可表示的指向，二者都可表示质点t t t ?+→t ?0→?t r V θV r a r r V θa θθ r r +θV θ V r V 2θ r -r V θV θ r 2θ r r a r -=.2θθθ r r a +=n a a v n a v n a 0,0≠=b b F a F R 0=+b b R F 0=b a b b R F 与b a b a 00==+b b b a R F 即n a a 而无ττa a n 而无n t a a 又有dt d r r dt dr r j i r θ r r dt d +=r dt dr =dt d dt dr r =dt dr dt d r 第五章分析力学 本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程. 第一节约束和广义坐标 一、约束的概念和分类 加于力学体系的限制条件叫约束. 按不同的标准有不同的分类： 按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束； 按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束； 按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）. 本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系. 二、广义坐标 1、自由度 描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度. 设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K） 2、广义坐标 描述力学体系的独立坐标叫广义坐标.例如：作圆周运动的质点只 须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点， 由极角θ和描述，自由度为2. 第二节虚功原理 本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理. 一、实位移与虚位移 质点由于运动实际上所发生的位移叫实位 移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可 能发生的位移叫虚位移. 如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中 一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处.例如图 5.2.1 中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移 不一致. 二、理想约束 设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功. 若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束.光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束. 三、虚功原理 1、文字叙述和数学表示： 受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的 理论力学期终试题 (一) 单项选择题（每题2分，共4分） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为( )。 A 静止(非临界平衡)状态 B 临界平衡状态 C 滑动状态 第1题图 第2题图 2. 图(a)、(b)为两种结构，则( )。 A 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 B 图(a)、(b)均为静不定的 C 图(a)、(b)均为静定的 D 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 (二) 填空题(每题3分，共12分) 1. 沿边长为m a 2=的正方形各边分别作用有1F ，2F ，3F ，4F ，且1F =2F =3F =4F =4kN ，该力系向 B 点简化的结果为： 主矢大小为R F '=____________，主矩大小为B M =____________ 向D 点简化的结果是什么？ ____________。 D C A B F 1 F 2 F 3 F 4 — 2 第1题图 第2题图 2. 图示滚轮，已知2m R =，1m r =，ο30=θ，作用于B 点的力4kN F =，求力F 对A 点之矩A M =____________。 3. 平面力系向O 点简化，主矢R F '与主矩 ，20kN m O M =g ，求合力大小及作用线位置，并画在图上。 第3题图 第4题图 4. 机构如图，A O 1与B O 2均位于铅直位置，已知13m O A =，25m O B =，2 3rad s O B ω=，则杆A O 1的角速度A O 1ω=____________，C 点的速度C υ=____________。 (三) 简单计算题(每小题8分，共24分) 1. 梁的尺寸及荷载如图，求A 、B 2. 丁字杆ABC 的A 端固定，尺寸及荷载如图。求A 端支座反力。 O R F ' O M 第二章习题解答 解 均匀扇形薄片，取对称轴为x 轴，由对称性可知质心一定在x 轴上。 题2.1.1图 有质心公式 ??= dm xdm x c 设均匀扇形薄片密度为ρ，任意取一小面元dS ， dr rd dS dm θρρ== 又因为 θcos r x = 所以 θ θθρθρsin 32a dr rd dr rd x dm xdm x c ===?????? 对于半圆片的质心，即2 πθ=代入，有 πππ θθa a a x c 342 2sin 32sin 32=? == 解 建立如图图所示的球坐标系 题2.2.1图 把球帽看成垂直于z 轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为ρ。 则 )(222z a dz y dv dm -===ρπρπρ 由对称性可知，此球帽的质心一定在z 轴上。 代入质心计算公式，即 ) 2()(432 b a b a dm zdm z c ++- ==?? 解 建立如题图所示的直角坐标，原来人W 与共同作一个斜抛运动。 y O 题2.3.1图 当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为x v ，此人即以 x v 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以αcos v 0=水平v 作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离1s t a v s ?=cos 01 ① gt v =αsin 0 ② ααcos sin 20 1g v s = ③ 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有 )(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+α 可知道 u w W w a v v x ++ =cos 0 水平距离 αααsin )(cos sin 0202uv g W w w g v t v s x ++== 跳的距离增加了 12s s s -=?= αsin )(0uv g w W w + 2.4 解 建立如图图所示的水平坐标。 题2.4.1图 θ题2.4.2图 以1m ，2m 为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有 2211=+x m x m && ① 对1m 分析；因为 相对绝a a a += ② 1m 在劈2m 上下滑，以2m 为参照物，则1m 受到一个惯性力21x m F &&-=惯（方向与2m 加速度方向相反）。如图图所示。所以1m 相对2m 下滑。由牛顿第二定律有 θ θcos sin 21111x m g m a m &&+=' ② 第一章 习题4-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力 偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 1word版本可编辑.欢迎下载支持. 2word 版本可编辑.欢迎下载支持. 如图所示； 将R B 向下平移一段距离d ，使满足： 最后简化为一个力R ，大小等于R B 。 其几何意义是：R 的大小等于载荷分布的 矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A 点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对A 点的主矩是： 向A 点简化的结果是一个力R A 和一个力偶M A ，且： 如图所示； 将R A 向右平移一段距离d ，使满足： 最后简化为一个力R ，大小等于R A 。其几何意义是：R 的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题4-4．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图：列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 3word版本可编辑.欢迎下载支持. 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。校核： 结果正确。(3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：列平衡方程： 解方程组： 4word版本可编辑.欢迎下载支持. 理论力学第三版(周衍柏)习题答案 第一章 质点力学 第一章习题解答 1.1 由题可知示意图如题1.1.1图: { { S S t t 题1.1.1图 设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有: ()()??? ??? ? +-+=-=2 21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得 1102 1 at t s v += 再由此式得 ()() 2121122t t t t t t s a +-= 证明完毕. 1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1. 2.1图. 题1.2.1图 设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过??? ? ?+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标 ()t t x A 15150--=，0=A y B 船坐标0=B x ， ?? ????-??? ??+-=t t y B 15211150 则AB 船间距离的平方 ()()2 22B A B A y y x x d -+-= 即 () 2 02 1515t t d -=2 01521115?? ????-??? ??++t t ()2 02 002211225225675900450??? ? ?++++-=t t t t t 2d 对时间t 求导 () ()67590090002 +-=t t dt d d AB 船相距最近，即() 02=dt d d ，所以 h t t 4 30= - 即午后45分钟时两船相距最近最近距离 2 2 min 231543154315??? ???-?+??? ? ? ?=s km 1.3 解 ()1如题1.3.2图 x y C a B A ψ ? r O a 第1.3题图 习 题 3-1 台阶形鼓轮装在水平轴上，小头重量为2Q ，大头重量为1Q ，半径分别为2r 和1r ，分别挂一重物，物体A 重为2P ，物体重B 为1P ，且12P P >。如3-1题图所示，求鼓轮的角加速度。 解：本题有明显的转轴o ，因而可以用角动量定理求解。 系统只有一个转轴，求运动而不求内力，所以取质心为研究对象。 因重力12,P P 对轴o 的力矩不为零，可得： 01122()L PQ PQ k =- 质心系的动量距为： 21202 OQ OP OP k J J J J =+++ 22 12121212211()22Q Q p p r r v v r k g g g g ωωω=+++ 另外还有运动学补充方程： 1122v r v r ωω == 所以 2222 0112211221(22)2J Q r Q r Pr P r k g ω=+++ 应用角动量定理 由 0i d J L dt =∑ 得 222211*********(22)2d Q r Q r Pr P r Pr g dt ω+++=+11Pr 又 d dt ω ε= 则有 1122 222 211221122 2()22Pr P r g Q r Q r Pr P r ε-=?+++ 答案： ()12 11222222 1122122d d 22Pr -P r g t Q r +Q r +Pr +P r ω=。 3-2 如图所示，两根等长等重的均匀细杆AC 和BC ，在C 点用光滑铰链连接，铅直放在光滑水平面上，设两杆由初速度为零开始运动。试求C 点着地时的速度。 解： 系统在水平方向上受力为零，角动量守恒有 2211222 h mv m ω+?2（I ）=2g 其中 002/2 v v l l ω== 0v 为C 点着地时A 点速度 002c v v v = == 答案：c v = 3-3 半径为a ，质量为M 的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度ω转动，求绕此轴的角动量。 3-2题图 3-1 题图 1.1 由题可知示意图如题1.1.1图: { { S S t t 题1.1.1图 设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有: ()()??? ??? ? +-+=-=2 21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得 1102 1 at t s v += 再由此式得 ()() 2121122t t t t t t s a +-= 证明完毕. 1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1. 2.1图. 设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过 ??? ? ? +2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标 ()t t x A 15150--=，0=A y B 船坐标0=B x ， ?? ????-??? ??+-=t t y B 15211150 则AB 船间距离的平方 ()()2 22B A B A y y x x d -+-= 即 () 2 021515t t d -=2 01521115?? ????-??? ??++t t ()2 02 02 211225225675900450??? ? ? ++++-=t t t t t 题1.2.1图 2d 对时间t 求导 () ()67590090002 +-=t t dt d d AB 船相距最近，即() 02=dt d d ，所以 h t t 4 30= - 即午后45分钟时两船相距最近最近距离 2 2min 231543154315??? ???-?+??? ? ? ?=s km 1.3 解 ()1如题1.3.2图 y 题1.3.2图 由题分析可知，点C 的坐标为 ?? ?=+=ψ ψ?sin cos cos a y a r x 又由于在 ?AOB 中，有 ? ψsin 2sin a r = （正弦定理）所以 r y r a 2sin 2sin == ψ? 联立以上各式运用 1cos sin 22=+?? 由此可得 r y a x r a x 2 2cos cos --= -=ψ? 得 第1.3题图精选-理论力学试题及答案
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