第3章-非稳态导热分析解法

解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 t(x,y,z,τ) 方程（ 1a）（ 1b）以及一定的初始和边界条件， ）（3 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条件， 则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。 的唯一解。
非稳态导热问题的求解实质： 非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件 及边界条件下求解导热微分方程式， 及边界条件下求解导热微分方程式，是本章主要 任务。 任务。 三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形 三个不同坐标系下导热微分方程式， 式统一表示为： 式统一表示为：
∂t & ρcp = λ div( grad t ) + φ （3-1a） ∂τ
温度的拉普拉斯算子
∇ 2t
& ∂t φ = a∇ 2t + ρcp ∂τ
（3-1b）
初始条件的一般形式 初始条件的一般形式
t ( x, y, z , 0) = f ( x, y, z )
简单特例 f(x,y,z)=t0
边界条件： 边界条件：着重讨论第三类边界条件
∂t −λ ( ) w = h(tw − t f ) ∂n
（1） 1/ h << δ / λ ） 这时， 这时，由于表面对流换 几乎可以忽略， 热热阻1 / h 几乎可以忽略， 因而过程一开始平板的表 t∞ 面温度就被冷却到 。 并随着时间的推移， 并随着时间的推移，整体 t 地下降， 地下降，逐渐趋近于∞ 。
t∞
δ λ δh Bi = = 1h λ
（2） ）
方法一
椐非稳态有内热源的导热微分方程： 椐非稳态有内热源的导热微分方程：
λ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t Φ ∂t + = + + ∂τ ρc ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ρc
⋅
∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。 物体内部导热热阻很小，忽略不计。 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等， 仅是τ 的一元函数，与坐标x 无关， 的一元函数，与坐标x、y、z无关，即
δ / λ << 1/ h
这时， 这时，平板内部导 热热阻 δ / λ 几乎可以忽 略，因而任一时刻平板 中各点的温度接近均匀， 中各点的温度接近均匀， 并随着时间的推移， 并随着时间的推移，整 体地下降， 体地下降，逐渐趋近 于 。t∞
Bi =
δ λ δh = 1h λ
（3）δ / λ 与 1 / h 的数值比较接近 ）
θ
0
dθ
⇒
θ hA ln =− τ θ0 ρVc
⇒
θ t −t∞ = =e θ0 t0 −t∞
−
hA τ ρVc
hA hV λ A2 其中的指数： 其中的指数： τ= ⋅ 2 τ ρ cV λ A V ρc h(V A) aτ = ⋅ = Bi ⋅ Fo 2 (V A) λ过Fra bibliotek温度 比 傅立叶数
温度呈指数 分布
∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t 2 + 2 + 2 =0 ∂x ∂y ∂z
∂t Φ = ∂τ ρ c
⋅
φ可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边 可视为广义热源， 零维无任何边界） 界（零维无任何边界） 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即： 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，
3.2 零维问题的分析法－集总参数法
定义：忽略物体内部导热热阻、 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均 匀一致的分析方法。此时， 匀一致的分析方法。此时，Bi → 0 ，温度分布只 与时间有关，即 t = f (τ ) ，与空间位置无关， 与空间位置无关， 与时间有关， 因此，也称为零维问题。 零维问题 因此，也称为零维问题。
V 特征长度 lc = A
θ = exp(−Bi, Fo) θ0
θ θ0
Bi ⋅ Fo
应用集总参数法时， 应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线， 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
导热量计算式、 3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数 1、导热量计算
2
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热： 周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热） 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（ 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 ），在经历相当长时间后 在经历相当长时间后， 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡。 于周围介质温度，最终达到热平衡。 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值． 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值． 着重讨论瞬态非稳态导热。 着重讨论瞬态非稳态导热。
第三类边界条件下Bi Bi数对平板中 3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
在第三类边界条件下， 在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的 温度变化特征与边界条件参数的关系。 温度变化特征与边界条件参数的关系。 已知：平板厚 2δ 、初温 t 0 、表面传热系数 h 、 已知： 平板导热系数 ，将其突然置于温度 为t ∞ λ 的流体中冷却。 的流体中冷却。 平板中温度场的变化会出现以下三种情形： 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
这时平板中不同时刻的温度分 布介于上述两种极端情况之间。 布介于上述两种极端情况之间。 由此可见，上述两个热阻的 由此可见， 相对大小对于物体中非稳态导 热的温度场的变化具有重要影 为此， 响。为此，我们引入表征这两 个热阻比值的无量纲数毕渥数 毕渥数。 个热阻比值的无量纲数毕渥数。
Bi =
δ λ δh = 1h λ
适用于本问题的导 热微分方程式
令： = t − t∞ —过余温度 θ
控制方程 hAθ =-ρVc dθ dτ θ (τ = 0) = t − t =θ 初始条件 0 ∞ 0
方程式改写为： 方程式改写为：
dθ
hA =− dτ θ ρVc
dθ
hA =− dτ θ ρVc
积分 ⇒ ⇒
hA τ ∫θ θ = − ρVc ∫0 dτ
第三章 非稳态导热
第三章 非稳态热传导
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析法－集总参数法 零维问题的分析法－ 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
１、重点内容： 重点内容： 非稳态导热的基本概念及特点； ① 非稳态导热的基本概念及特点； 集总参数法的基本原理及应用； ② 集总参数法的基本原理及应用； 一维非稳态导热问题。 ③ 一维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： 掌握内容： 确定瞬时温度场的方法； ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算 方法。 方法。
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程及其特点
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。 物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。 温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f(τ) f(τ 自然界和工程上许多导热过程为非稳态， 冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环 境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。 境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
A
ΔΕ
ρ, c, V, t0
φc
h, t∞
建立数学模型－利用两种方法 建立数学模型－利用两种方法 两种
根据导热微分方程的一般形式进行简化； 根据导热微分方程的一般形式进行简化； 导热微分方程的一般形式进行简化 利用能量守恒 热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝ 热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通 ΔΕ 过表面与外界交换的热流量φ 过表面与外界交换的热流量φc 。
− ΦV = Ah(t − t ∞ )
物体被冷却， 物体被冷却，∴φ应为负值
dt ρ cV = − Ah(t − t∞ ) dτ
适用于本问题的导 热微分方程式
方法二
当物体被冷却时（ 当物体被冷却时（t >t∞）,由能量守恒可知 物体与环境的对流散热量= 物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量
dt hA(t − t∞ ) = -ρVc dτ
瞬态热流量：
dt hA Φ = −ρcV = −ρcV (t0 −t∞ ) e ρcV dτ = (t0 − t∞ )hAe
− hA τ ρcV − hA τ ρcV
[ W]
内传给流体的总热量： 导热体在时间 0－τ 内传给流体的总热量：
Q = ∫ Φ(τ )dτ = (t0 − t∞ )∫ hAe τ
5 热量变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 各阶段热流量的特征： 非正规状况阶段： 非正规状况阶段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变； 非正规状况阶段： 非正规状况阶段： Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。
3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律
正规状况阶段(右侧面参与换热 )： 正规状况阶段( 当右侧面参与换热以后， 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布 不受初始温度的影响， 不受初始温度的影响，主要取决于边界条件及物 此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段。 性，此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段。 环境的热影响已经扩展到整个物体内部， 环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即 物体（或系统） 物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶 段。可以用初等函数描述。 可以用初等函数描述。 二类非稳态导热的区别： 二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别 的两个不同阶段，而周期性导热不存在。 的两个不同阶段，而周期性导热不存在。