最新人教版高中数学必修4第三章《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计

教学设计3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．2．通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等．另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．三维目标1．在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与cos(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝55，α∈(0，π2)，cosβ＝1010，β∈(0，π2)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，但是如果求cos(α＋β)的值就得想法转化为公式C(α－β)的形式来求，此时思路受阻，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来．②在公式C(α－β)中，角β是任意角，请学生思考角α－β中β换成角－β是否可以？此时观察角α＋β与α－(－β)之间的联系，如何利用公式C(α－β)来推导cos(α＋β)＝？③分析观察C(α＋β)的结构有何特征？④在公式C(α－β)、C(α＋β)的基础上能否推导sin(α＋β)＝？sin(α－β)＝？⑤公式S(α－β)、S(α＋β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？⑦分析观察公式T(α－β)、T(α＋β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α，β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α－β)与cos(α＋β)中角的内在联系，学生有的会发现α－β中的角β可以变为角－β，所以α－(－β)＝α＋β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α＋β化成差角α－(－β)的形式〕．这时教师适时引导学生转移到公式C(α－β)上来，这样就很自然地得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β.所以有如下公式： cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α＋β)．对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α＋β)的结构特征，可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α－β)进行记忆，并填空：cos75°＝cos(__________)＝__________＝__________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α＋cos 2α＝1来互化，此法让学生课下进行)，因此有sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β] ＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.在上述公式中，β用－β代之，则sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α＋β)、S (α－β)．对问题④⑤同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美．为强化记忆，教师可让学生填空，如sin(θ＋φ)＝____________________，sin 2π7cos 5π7＋cos 2π7sin 5π7＝__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α＋β)、S (α－β)后，自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α－β)＝？，tan(α＋β)＝？呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子、分母同除以cos αcos β得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有 tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．对问题⑥α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋k π(k ∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β )处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin (π2－β)cos (π2－β)＝cos βsin β来处理等．应用示例思路1例1已知sin α＝－35，α是第四象限角，求sin(π4－α)，cos(π4＋α)，tan(π4－α)的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cos α，tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．解：由sin α＝－35，α是第四象限角，得cos α＝1－sin 2α＝1－(－35)2＝45. ∴tan α＝sin αcos α＝－34. 于是有sin(π4－α)＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22×45－22×(－35)＝7210， cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×45－22×(－35)＝7210， tan(α－π4)＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝－34－11＋(－34)＝－7. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯． 例2已知sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π2)． 求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S (α－β)、C (α＋β)、T (α＋β)应先求出cos α、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．解：由sin α＝23，α∈(π2，π)，得 cos α＝－1－sin 2α＝－1－(23)2＝－53，∴tan α＝－255.又由cos β＝－34，β∈(π，3π2)，得 sin β＝－1－cos 2β＝－1－(－34)2＝－74， ∴tan β＝73. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×(－34)－(－53)×(－74)＝－6－3512. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝(－53)×(－34)－23×(－74)＝35＋2712. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－255＋731－(－255)×73＝－65＋5715＋235＝－325＋27717. 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力. 例3在△ABC 中，sin A ＝35(0°<A <45°)，cos B ＝513(45°<B <90°)，求sin C 与cos C 的值． 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的．同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力．教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子．教师要提醒学生注意角的范围这一隐含条件．解：∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝180°－(A ＋B )．又∵sin A ＝35且0°<A <45°，∴cos A ＝45. 又∵cos B ＝513且45°<B <90°，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝35×513＋45×1213＝6365， cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝35×1213－45×513＝1665. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用，解决三角形问题时，要注意三角形内角和等于180°这一隐含条件.例1若sin(3π4＋α)＝513，cos(π4－β)＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值．尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答．对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键．学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它．对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等．如教师可变换α，β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值．解：∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin(3π4＋α)＝513，cos(π4－β)＝35，∴cos(3π4＋α)＝－1213，sin(π4－β)＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)]＝sin[(3π4＋α)－(π4－β)] ＝sin(3π4＋α)cos(π4－β)－cos(3π4＋α)sin(π4－β) ＝513×35－(－1213)×(－45)＝－3365. 本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想．这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力.例2化简 sin (α－β)sin αsin β＋sin (β－θ)sin βsin θ＋sin (θ－α)sin θsin α. 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评．解：原式＝sin αcos β－cos αsin βsin αsin β＋sin βcos θ－cos βsin θsin βsin θ＋sin θcos α－cos θsin αsin θsin α＝sin αcos βsin θ－cos αsin βsin θsin αsin βsin θ＋sin αsin βcos θ－sin αcos βsin θsin αsin βsin θ＋sin θsin βcos α－cos θsin βsin αsin θsin βsin α ＝0sin θsin βsin α＝0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.课本本节练习1～4.1．(1)6－24，(2)6－24，(3)6＋24，(4)2－ 3. 2.4－3310. 3.12－5326. 4．－2.作业已知0<β<π4，π4<α<3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4，∴－π2<π4－α<0. ∴sin(π4－α)＝－1－(35)2＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π，cos(3π4＋β)＝－1－(513)2＝－1213. ∴sin(α＋β)＝－cos(π2＋α＋β)＝－cos[(3π4＋β)－(π4－α)] ＝－cos(3π4＋β)cos(π4－α)－sin(3π4＋β)sin(π4－α) ＝－(－1213)×35－513×(－45)＝5665. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想，并要正确熟练地运用公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．设计感想1．本节课是典型的公式教学模式，是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”．它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想，并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力．2．纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导、证明方法，熟练应用公式解决简单的问题．同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感．第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．1．化简下列各式：(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β；(2)sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1－sin x －cos x ； (3)sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＋tan 2βtan 2α. 答案：(1)cos α；(2)0；(3)1.2．证明下列各式：(1)sin (α＋β)cos (α－β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β； (2)tan(α＋β)tan(α－β)(1－tan 2αtan 2β)＝tan 2α－tan 2β；(3)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 答案：证明略．教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课．推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法．教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时，还要注意角的相对性，如α＝(α＋β)－β，α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β〔S (α±β)〕；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β〔C (α±β)〕；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β〔T (α±β)〕． 讨论结果：略．应用示例思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值．(1)sin72°cos42°－cos72°sin42°；(2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)1＋tan15°1－tan15°. 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成．对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现(1)同公式S (α－β)的右边，(2)同公式C (α＋β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果．再看(3)式与T (α＋β)右边形式相近，但需要进行一定的变形．又因为tan45°＝1，原式化为tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°，再逆用公式T (α＋β)即可解得． 解：(1)由公式S (α－β)，得原式＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12. (2)由公式C (α＋β)，得原式＝cos(20°＋70°)＝cos90°＝0.(3)由公式T (α＋β)，得原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝ 3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式．与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.求θ的值．活动：本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题，其难度较小，只需利用偶函数的定义，加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可，但不容易得到满分．教师可先让学生自己探究，独立完成，然后教师进行点评．解：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，即－sin x cos θ＋cos x sin θ＋cos x cos θ－sin x sin θ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＋cos x cos θ＋sin x sin θ.∴sin x cos θ＋sin x sin θ＝0.∴sin x (sin θ＋cos θ)＝0对任意x 都成立．∴2sin(θ＋π4)＝0，即sin(θ＋π4)＝0.∴θ＋π4＝k π(k ∈Z )．∴θ＝k π－π4(k ∈Z )． 又θ∈[0,2π)，∴θ＝3π4或θ＝7π4. 点评：本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解．教师应提醒学生注意，如果将本例变为选择或填空，可利用特殊值快速解题，作为解答题利用特殊值是不严密的，以此训练学生逻辑思维能力. 例3求证：cos α＋3sin α＝2sin(π6＋α)． 活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α＋β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α＋β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数．证明：方法一：右边＝2(sin π6cos α＋cos π6sin α)＝2(12cos α＋32sin α) ＝cos α＋3sin α＝左边．方法二：左边＝2(12cos α＋32sin α)＝2(sin π6cos α＋cos π6sin α) ＝2sin(π6＋α)＝右边． 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了12与32，即辅助角π6的正、余弦．关于形如a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为零)的式子，引入辅助角变形为A sin(x ＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成A sin(x ＋φ)的形式．一般情况下，如果a ＝A cos φ，b ＝A sin φ，那么a sin x ＋b cos x ＝A (sin x cos φ＋cos x sin φ)＝A sin(x ＋φ)．由sin 2φ＋cos 2φ＝1，可得A 2＝a 2＋b 2，A ＝±a 2＋b 2，不妨取A ＝a 2＋b 2，于是得到cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b2，从而得到tan φ＝a b ，因此a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，通过引入辅助角φ，可以将a sin x ＋b cos x 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决a sin x ＋b cos x 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.(2)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β. 活动：对于(1)，教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α＋β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan α，tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路．在(2)中，我们欲求tan αtan β，若利用已知条件直接求tan α，tan β的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α＋β)、S (α－β)发现，它们都含有sin αcos β和cos αsin β，而tan αtan β化切为弦正是sin αcos βcos αsin β，由此找到解题思路．教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答．解：(1)∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1.又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，即tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴原式＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.(2)∵sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝12， ① sin αcos β－cos αcos β＝13. ② ①＋②，得sin αcos β＝512， ①－②，得cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α＋β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.课本本节练习5～7.解答：5．解：(1)原式＝sin90°＝1.(2)原式＝cos60°＝12. (3)原式＝tan45°＝1.(4)原式＝－sin60°＝－32. (5)原式＝－cos60°＝－12.(6)原式＝sin20°(－cos70°)＋(－cos20°)sin70°＝－(sin20°cos70°＋cos20°sin70°)＝－sin90°＝－1.6．解：(1)原式＝sin π6cos x －cos π6sin x ＝sin(π6－x )． (2)原式＝2(32sin x ＋12cos x )＝2sin(x ＋π6)． (3)原式＝2(22sin x －22cos x )＝2sin(x －π4)． (4)原式＝22(12cos x －32sin x )＝22sin(π6－x )． 点评：将a sin x ＋b cos x 转化为A sin(x ＋φ)或A cos(x ＋φ)的形式，关键在于“凑”和(或差)角公式．7．解：由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，可得 sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝－sin β＝35， ∴sin β＝－35.又β是第三象限角， ∴cos β＝－45. ∴sin(β＋5π4)＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝7210. 作业已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(ac ≠0)的两个根为tan α、tan β，求tan(α＋β)的值．解：由韦达定理，得tan α＋tan β＝－b a ，tan αtan β＝c a， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－b a 1－c a＝b c －a .课堂小结1．先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题．2．教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题，灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等．推导并理解公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题．设计感想1．本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此，本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．特别是给出了形如“a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法．2．对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法巩固．备课资料一、和角与差角公式应用的规律两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α＝(α＋β)－β，α＝12(α＋β)＋12(α－β)等；②公式的逆用与变形公式的活用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形；③“1”的妙用：在三角函数式中，有许多关于“1”的“变形”，如1＝sin 2α＋cos 2α，也有1＝sin90°＝tan45°等．二、备用习题1．在△ABC 中，sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形答案：B 2.3cos π12－sin π12的值是( ) A ．0 B ．－2 C. 2 D ．2答案：C3．在△ABC 中，有关系式tan A ＝cos B －cos C sin C －sin B成立，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．A ＝60°的三角形C ．等腰三角形或A ＝60°的三角形D ．不能确定答案：C4．若cos(α－β)＝13，cos β＝34，α－β∈(0，π2)，β∈(0，π2)，则有( )A ．α∈(0，π2)B ．α∈(π2，π) C ．α∈(－π2，0) D ．α＝π2答案：B5．求值：2cos5°－sin25°cos25°＝__________. 答案： 36．若sin α·sin β＝1，则cos α·cos β＝__________.答案：07．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝__________. 答案：－148．求函数y ＝2sin(x ＋10°)＋2cos(x ＋55°)的最大值和最小值．答案：解：∵y ＝2sin(x ＋10°)＋2cos[(x ＋10°)＋45°]＝2sin(x ＋10°)＋cos(x ＋10°)－sin(x ＋10°)＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋10°) ＝2cos[(x ＋10°)＋45°] ＝2cos(x ＋55°)，又∵－1≤sin(x ＋55°)≤1，∴当x ＋55°＝k ·360°－90°，即x ＝k ·360°－145°(k ∈Z )时，y min ＝－2；当x ＋55°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋35°(k ∈Z )时，y max ＝ 2.9．求tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°的值．答案：解：原式＝tan(70°＋50°)(1－tan70°tan50°)－3tan50°tan70° ＝－3(1－tan70°tan50°)－3tan50°tan70° ＝－3＋3tan70°tan50°－3tan50°tan70° ＝－ 3. ∴原式的值为－ 3.10．已知sin β＝m·sin(2α＋β)．求证：tan(α＋β)＝1＋m 1－mtan α. 答案：证明：由sin β＝msin(2α＋β)⇒sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]⇒sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]⇒(1－m)·sin(α＋β)cos α＝(1＋m)·cos(α＋β)sin α⇒tan(α＋β)＝1＋m 1－mtan α. 点评：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一个整体来处理．此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明．11．化简sin (2A ＋B )sin A－2cos(A ＋B )． 答案：解：原式＝sin[(A ＋B )＋A ]－2cos (A ＋B )sin A sin A＝sin (A ＋B )cos A －cos (A ＋B )sin A sin A ＝sin[(A ＋B )－A ]sin A ＝sin B sin A. 点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角．一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点．12．已知5sin β＝sin(2α＋β)．求证：2tan(α＋β)＝3tan α.答案：证明：∵β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，∴5sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α.∴2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α.∴2tan(α＋β)＝3tan α.点评：注意到条件式的角是β和2α＋β，求证式中的角是α＋β和α，显然“不要”的角β和2α＋β应由要保留下来的角α＋β与α来替代．三角条件等式的证明，一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代，然后选择恰当的公式变形．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此，看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝(α－β)＋α当然变换形式不唯一，应因题而异，要具体问题具体分析．。