直线和圆的位置关系练习题(附答案

合集下载

(附答案)《直线与圆的位置关系》典型例题

(附答案)《直线与圆的位置关系》典型例题

《直线与圆的位置关系》典型例题例1在R t△ABC中,∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何种位置关系?为什么?(1)r=1cm;(2)r=cm;(3)r=2.5cm.例2 在R t△ABC中,∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心,r为半径的圆,若直线AB与⊙C,(1)相交;(2)相切;(3)相离.求半径r的取值.例3如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=∠D=90°,若AB=6,AD=4,BC=2,试问:DC上是否存在点P,使R t△PBC∽R t△APD?例4如图,直角梯形中,,,,为上的一点,平分,平分.求证:以为直径的圆与相切.例5已知中,,于,,,以为圆心,为半径画圆.求证直线和⊙相离.参考答案例1分析如图,欲判定⊙C与直线AB的关系,只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长,然后再与r比较即可.解:过C点作CD⊥AB于D,在R t△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,∴AC=2,∴AB·CD=AC·BC,∴,(1)当r =1cm时CD>r,∴圆C与AB相离;(2)当r=cm时,CD=r,∴圆C与AB相切;(3)当r=2.5cm时,CD<r,∴圆C与AB相交.说明:从“数”到“形”,判定圆与直线位置关系.例2 解:过C点作CD⊥AB于D,在R t△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,∴AC=2,∴AB·CD=AC·BC,∴,(1)∵直线AB与⊙C相离,∴0r<CD,即0<r<;(2)∵直线AB与⊙C相切,∴r =CD,即r=;(3)∵直线AB与⊙C相交,∴r>CD,即r>.说明:从“形”到“数”,由圆与直线位置关系来确定半径.例3 分析:若R t△PBC∽R t△APD,则∠APD+∠BPC=90°,可知∠APB=90°,所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点,由条件可知为⊙O与DC相切,所以存在一点P,使R t△PBC∽R t△APD.解:设以AB为直径的圆为⊙O,OP⊥DC,则:OP为直角梯形ABCD的中位线,∴OP=(AD+BC)/2=(4+2)/2=3,又∵OA=OB=AB/2=3,∴OP=OA,∴⊙O与DC相切,∴∠APB=90°,∴∠APD+∠BPC=90°.又∵∠PBC+∠BPC=90°,∴∠APD=∠PBC,又∵∠C=∠D=90°,∴R t△PBC∽R t△APD.因此,DC上存在点P,使R t△PBC∽R t△APD.说明:①直线与圆位置关系的应用;②此题目可以变动数值,使DC与⊙O 相交、相离.例4 分析:要证以为直径的圆与相切,只需证明的中点到的距离等于.证明:过点作于,同理可证:为的中点,即:以为直径的圆与相切.说明:在判定直线是圆的切线时,若条件没有告诉它们有公共点,常用的方法就是“距离判定”法,即先由圆心到该直线作垂线,证明圆心到该直线的距离恰好等于半径,从而得出直线是圆的切线的结论.例5 分析:欲证直线和⊙相离,只需计算点到的距离的长,若,则判定与⊙相离(如图)证明于,是圆心到的距离∽.又⊙的半径为,故与⊙相离.学习要有三心:一信心;二决心;三恒心.知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时间=成绩. 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(解析版).

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(解析版).

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)1直线与圆的位置关系1.(2022·山东滨州)已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=,圆22:20C x y x +-=,则直线l 与圆C 的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .不确定【答案】D【解析】直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=,即2(2)(2)(35)0x m x y m x y -+-++-=,由2020350x x y x y -=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩,因此,直线l 恒过定点(2,1)A ,又圆22:20C x y x +-=,即22(1)1x y -+=,显然点A 在圆C 外,所以直线l 与圆C 可能相离,可能相切,也可能相交,A ,B ,C 都不正确,D 正确.故选:D2(2021·黑龙江)直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--,半径为2,圆心到直线的距离为341125-+=,所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切.故选:B3.(2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末)直线()1R y kx k =+∈与圆22(1)(1)4x y -+-=的位置关系是()A .相交B .相切C .相离D .不确定【答案】A【解析】直线()1R y kx k =+∈恒过定点()0,1,又22(01)(11)14-+-=<,即点()0,1在圆22(1)(1)4x y -+-=内部,所以直线与圆相交;故选:A4.(2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习)直线230kx y k +--=与圆22450x y x +--=的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .相交或相切【答案】C【解析】直线230kx y k +--=即()()320k x y -+-=,过定点()3,2,因为圆的方程为22450x y x +--=,则223243540+-⨯-=-<,所以点()3,2在圆内,则直线与圆相交.故选:C5.(2021·重庆市两江中学校高二阶段练习)已知过点(3,1)P 的直线与圆22(1)(2)5x y -+-=相切,且与直线10x my --=垂直,则m =()A .12-B .12C .2-D .2【答案】C【解析】设过点(3,1)P 的直线为l .(1)当l 的斜率不存在时,直线l :3x =.圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心到l 的距离为312-=≠,所以不是圆的切线,不合题意.(2)当l 的斜率存在时,直线l :()13y k x -=-.=k =2.因为l 与直线10x my --=垂直,所以121m⨯=-,解得:m =-2.故选:C6.(2022·全国·高二课时练习)若直线:420l kx y k -++=与曲线y =有两个交点,则实数k 的取值范围是()A .{}1k k =±B .3{|}4k k <-C .3{|1}4k k -≤<-D .3{|1}4k k -≤<【答案】C【解析】由题意,直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=,所以直线l 恒过定点(2,4)A -,y =可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心,半径为2的圆的一部分,如图.当l 与该曲线相切时,点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+,解得34k =-.设(2,0)B ,则40122AB k -==---.由图可得,若要使直线l 与曲线24y x =-314k -≤<-.故选:C.7.(2022·贵州遵义·高二期末(文))若直线():100l ax by ab +-=>始终平分圆()()22:124C x y -+-=的周长,则11a b+的最小值为()A .322+B .6C .7D .32+【答案】A【解析】圆C 的圆心为()1,2C ,由题意可知,直线l 过圆心C ,则21a b +=,因为0ab >,则0a >且0b >,因此,()1111222332322b a b a a b a b a ba b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a b 时,等号成立,故11a b+的最小值为322+.故选:A.8.(2022·广西梧州·高二期末(文))已知对任意的实数k ,直线l :0kx y k t --+=与圆C :2210x y +=有公共点,则实数t 的取值范围为()A .[3,0)-B .[3,3]-C .(,3](0,3]-∞-D .(,3)[0,3]-∞-【答案】B【解析】由直线0kx y k t --+=可化为(1)-=-y t k x ,则直线l 过定点(1,)t ,因为直线l :kx y k t --+0=与圆C :2210x y +=有公共点,所以定点(1,)t 在圆C 上或圆C 内,可得22110t +≤,解得33t -≤≤,故选:B9.(2022·江西上饶·高二期末(文))已知直线2y kx =-与圆22(1)1x y -+=相交,则实数k 的取值范围是()A .3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意,圆心()1,0到直线20kx y --=1,即22441k k k -+<+,解得34k >故选:D10.(2022·浙江·温州中学高二期末)已知直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点,则实数k 的取值范围是()A .3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C .30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点,1<,即2860k k -<,解得304k <<,所以实数k 的取值范围是30,4⎛⎫⎪⎝⎭,故选:B.2直线与圆的弦长1.(2021·浙江高二期末)已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是()A.43130x y +-=B.34150x y +-=C.34150x y +-=或1x =D.43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0,半径为2r =,圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为1x =,此时圆心到直线l 的距离为1,合乎题意;②若直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为()31y k x -=-,即30kx y k -+-=,圆心到直线l的距离为1d ==,解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述,直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.故选:D.2(2022·贵溪市)直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为()A.B.2C.D.与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上,所以截得弦为圆222x y+=,故截得的弦长为.故选:A 3.(2022·江苏·高二)过点(-2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x +4y =0截得的弦最长的直线的方程是()A .x +y +1=0B .x +y -1=0C .x -y +1=0D .x -y -1=0【答案】A【解析】由题意得,圆的方程为()221(2)5x y -++=,∴圆心坐标为()1,2-.∵直线被圆截得的弦长最大,∴直线过圆心()1,2-,又直线过点(-2,1),所以所求直线的方程为211221y x +-=+--,即10x y ++=.故选:A .4.(2022·全国·模拟预测)(多选)已知直线l :()()121740m x m y m ---+-=,圆C :2224200x y x y +---=,则()A .直线l 恒过定点()1,3B .直线l 与圆C 相交C .圆C 被x 轴截得的弦长为D .当圆C 被直线l 截得的弦最短时,34m =【答案】BD【解析】依题意,直线l :()()121740m x m y m ---+-=可化为()2740x y m x y --+++-=,由27040x y x y --+=⎧⎨+-=⎩解得3x =,1y =,即直线l 过定点()3,1P ,A 不正确;圆C :22(1)(2)25x y -+-=的圆心(1,2)C ,半径=5r ,||PC r =<,即点P 在圆C 内,直线l 与圆C 恒相交,B 正确;圆心C 到x 轴的距离2d =,则圆C 被x 轴截得的弦长为==C 不正确;由于直线l 过定点()3,1P ,圆心(1,2)C ,则直线PC 的斜率121312k -==--,当圆C 被直线l 截得的弦最短时,由圆的性质知,l PC ⊥,于是得1221m m -=-,解得34m =,D 正确.故选:BD5.(2022·湖北恩施·高二期末)(多选)已知直线l :()()221310m x m y m ++---=与圆C :()()222116x y -++=交于A ,B 两点,则弦长|AB |的可能取值是()A .6B .7C .8D .5【答案】BC【解析】由()()221310m x m y m ++---=,得()23210x y m x y +-+--=,令230210x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 恒过点(1,1)M .圆心(2,1)C ,半径4r =,CM ==,则2AB r ≤≤,即8AB ≤≤.故选:BC.6.(2022·辽宁辽阳市·高二期末)已知圆22:4850C x y x y +-+-=,直线:20l mx y m --=.(1)证明:直线l 与圆C 相交.(2)设l 与圆C 交于,M N 两点,若MN =,求直线l 的倾斜角及其方程.【答案】(1)证明见解析;(2)答案见解析.【解析】(1)证明:直线:2()0l m x y --=过定点()2,0,因为224250-⨯-<,所以点()2,0在圆C 的内部,故直线l 与圆C 相交.(2)圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=,则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -,半径为5,且圆心C 到直线l 的距离()22242411m md m m ---==++因为2225213MN d =-=,所以23d =由24231m =+,得33m =±当33m =时﹐直线l 的方程为()323y x =-,倾斜角为6π当33m =-时﹐直线l 的方程为()323y x =--,倾斜角为56π3圆与圆的位置关系1.(2022·西藏)圆x 2+y 2-2x +4y =0与直线2x +y +1=0的位置关系为()A .相离B .相切C .相交D .以上都有可能【答案】C【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0的圆心坐标为(1,2)-,半径5r =圆心(1,2)-到直线2x +y +1=0的距离2221(2)15521d ⨯+-+==+由555d r =<=,可得圆与直线的位置关系为相交.故选:C2.(2022·陕西渭南)已知圆1C :()()22321x y -++=与圆2C :()()227150x y a -+-=-,若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,则实数a 等于()A .14B .34C .14或45D .34或14【答案】D【解析】圆1C :()()22321x y -++=的圆心为()113,2,1C r -=,圆2C :()()227150x y a -+-=-的圆心为()227,1,50C r a =-()()221237215C C -+--=,因为圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,故圆1C 与圆2C 相内切或外切,故215r -=或215r +=,从而26=r 或24r =,所以2506r a =-=或2504r a =-=,解得:34a =或14a =所以实数a 等于34或14故选:D3.(2022广东)圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=,即22(1)1x y -+=,表示以1(1,0)C 为圆心,半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=,表示以2(1,2)C -为圆心,半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=,231=-,故两个圆相内切.故选:A.4.(2022·江西)已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称,圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=,则圆1C 与圆2C 的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即()222124m m x y 骣琪-++=琪桫,圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为圆1C 关于直线210x y ++=对称,所以圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线210x y ++=上,即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭,解得2m =,()()22111x y -++=,圆心()1,1-,半径为1,()()222316x y ++-=,圆心()2,3-,半径为4,5=,因为圆心间距离等于两圆半径之和,所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切,故选:B.5.(2022云南)已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=,圆2C :22430x y x my +-++=关于直线10x +=对称,则圆1C 与圆2C 的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】C【解析】由题意可得,圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4,半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称,所以2102m-+=(),得m =,所以圆()(222:24C x y -++=的圆心为(2,,半径为2,则两圆圆心距12C C =1252725C C -<<=+,所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交,故选:C .6.(2022·上海中学东校高二期末)已知圆22:28M x y ax +-=截直线:0l x y -=所得的弦长M 与圆22:(1)4N x y +-=的位置关系是()A .内切B .相交C .外切D .相离【答案】B【解析】由22:28M x y ax +-=,即()2228y a x a +=+-,故圆心(),0M a ,半径M r =所以点M 到直线:0l x y -=的距离d =故解得:1a =±;所以()1,0M ±,3M r =;又22:(1)4N x y +-=,圆心()0,1N ,2N r =,所以MN ==,且15M N M N r r r r -=<<=+,即圆M 与圆N 相交,故选:B.7.(2022·湖南岳阳·高二期末)圆221:1O x y +=与圆222:680O x y x y m +-++=外切,则实数m =_________.【答案】9【解析】圆1O 的圆心()10,0O ,半径11r =,圆2O 的圆心()23,4O -,半径2r =125O O =根据题意可得:1212O O r r =+,即51=9m =故答案为:9.8.(2022·上海徐汇·高二期末)已知圆221:(2)(2)1C x y -+-=和圆2222:()(0)C x y m m m +-=>内切,则m 的值为___________.【答案】72【解析】圆1C 的圆心为()2,2,半径为11r =,圆2C 的圆心为()0,m ,半径为2r m =,所以两圆的圆心距()()22202d m =-+-,又因为两圆内切,有()()222021d m m =-+-=-,解得72m =.故答案为:72.9.(2023·全国·高三专题练习)已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切,此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________.【答案】34【解析】由题可知:221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=,即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m 由两圆向外切可知()()224030225-+--=+-m ,解得16m =所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为22431211-==+d ,设圆2C 的半径为R则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为221229342-=-=R d 故答案为:344圆与圆的弦长1.(2021·辽宁高三其他模拟)圆O :229x y +=与圆1O :()()222316x y -+-=交于A 、B 两点,则AB =()A.6B.5C.67813D.123913【答案】D【解析】圆O 的半径3r =,圆1O 的半径14r =,113OO =故在1AOO中,22211111cos sin21313r OO rAOO AOOr OO+-∠===⇒∠=⋅,故1sin21313ABr AOO AB=∠=⇒=.故选:D2.(2021·山东济南市·高二期末)(多选)已知圆221:1C x y+=和圆222:40C x y x+-=的公共点为A,B,则()A.12||2C C=B.直线AB的方程是14x=C.12AC AC⊥D.||2AB=【答案】ABD【解析】圆1C的圆心是()0,0,半径11r=,圆()222:24C x y-+=,圆心()2,0,22r=,122C C∴=,故A正确;两圆相减就是直线AB的方程,两圆相减得1414x x=⇒=,故B正确;11AC=,22AC=,122C C=,2221212AC AC C C+≠,所以12AC AC⊥不正确,故C不正确;圆心()0,0到直线14x=的距离14d=,2AB===,故D正确.故选:ABD3.(2021·全国高二课时练习)(多选)圆221:20x y xO+-=和圆222:240O x y x y++-=的交点为A ,B ,则有()A.公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB的长为2D.P 为圆1O 上一动点,则P 到直线AB 距离的最大值为212+【答案】ABD【解析】对于A,由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ,B ,两式作差可得440x y -=,即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=,故A 正确;对于B,圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0,1AB k =,则线段AB 中垂线斜率为1-,即线段AB 中垂线方程为:()011y x -=-⨯-,整理可得10x y +-=,故B 正确;对于C,圆221:20x y x O +-=,圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==,半径1r =所以AB ==,故C 不正确;对于D,P 为圆1O 上一动点,圆心1O ()1,0到0xy -=的距离为2d =,半径1r =,即P 到直线AB 距离的最大值为12+,故D 正确.故选:ABD4.(2022·全国·高二专题练习)已知圆22110C x y +=:与圆22222140C x y x y +++-=:.(1)求证:圆1C 与圆2C 相交;(2)求两圆公共弦所在直线的方程;(3)求经过两圆交点,且圆心在直线60x y +-=上的圆的方程.【答案】(1)证明见解析(2)20x y +-=(3)226620x y x y +--+=【解析】(1)证明:圆2C :2222140x y x y +++-=化为标准方程为()()221116x y +++=,()21,1C ∴--,4r =圆221:10C x y +=的圆心坐标为()10,0C ,半径为=R,12C C ∴44<,∴两圆相交;(2)解:由圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=,将两圆方程相减,可得2240x y +-=,即两圆公共弦所在直线的方程为20x y +-=;(3)由22222214010x y x y x y ⎧+++-=⎨+=⎩,解得3113x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或,则交点为()3,1A -,()1,3B -,圆心在直线60x y +-=上,设圆心为()6,P n n -,则AP BP ==3n =,故圆心()3,3P ,半径4r AP ==,∴所求圆的方程为()22(3)316x y -+-=.5.(2021·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习)已知圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :22410x y y +--=.(1)证明:圆1C 与圆2C 相交;(2)若圆1C 与圆2C 相交于A ,B 两点,求AB .【答案】(1)证明见解析;【解析】(1)圆1C 的标准方程为()()22114x y +++=,圆心为()1,1--,半径为2,圆2C 的标准方程为()2225x y +-=,圆心为()0,2∴圆1C 和圆2C =22<,可知:圆1C 和圆2C 相交,得证.(2)由(1)结论,将圆1C 与圆2C 作差,得:直线AB 的方程为2610x y +-=,圆2C 的圆心()0,2到直线AB=,∴AB =6.(2022·江苏·高二单元测试)已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在直线的方程;(3)求公共弦的长度.【答案】(1)相交(2)240x y -+=(3)【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=,222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-,半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--,半径2r =12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+,∴两圆相交.(2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=5切线问题1.(2022·全国·高二课时练习)设圆221:244C x y x y +-+=,圆222:680C x y x y ++-=,则圆1C ,2C 的公切线有()A .1条B .2条C .3条D .4条【答案】B【解析】由题意,得圆()()2212:312C x y -+=+,圆心()11,2C -,圆()()2222:534C x y ++=-,圆心()23,4C -,∴125353C C -<=+,∴1C 与2C 相交,有2条公切线.故选:B .2.(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知圆()221:9C x y a +-=与圆()222:1C x a y -+=有四条公切线,则实数a 的取值可能是()A .-4B .-2C .D .3【答案】AD【解析】圆心()10,C a ,半径13r =,圆心()2,0C a ,半径21r =.因为两圆有四条公切线,所以两圆外离.又两圆圆心距d =31>+,解得a <-或a >3.(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知圆()()22:211M x y -+-=,圆()()22:211N x y +++=,则下列是M ,N 两圆公切线的直线方程为()A .y =0B .3x -4y =0C.20x y -=D.20x y -=【答案】ACD【解析】圆M 的圆心为M (2,1),半径11r =.圆N 的圆心为N (-2,-1),半径21r =.圆心距2d =>,两圆相离,故有四条公切线.又两圆关于原点O 对称,则有两条切线过原点O ,设切线方程为y =kx1=,解得k =0或43k =,对应方程分别为y =0,4x -3y =0.另两条切线与直线MN 平行,而1:2MN l y x =,设切线方程为12y x b =+1=,解得2b =±,切线方程为20x y -+=,20x y --=.故选:ACD .4.(2022·全国·高二专题练习)过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______.【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时,因为过点()1,2,所以直线:1l x =,此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ,此时直线:1l x =与圆221x y +=相切,满足题意;当直线l 的斜率存在时,设斜率为k ,所以:l 2(1)y k x -=-,即20kx y k --+=,因为直线l 与圆相切,所以圆心到直线的距离1d r ==,解得34k =,所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上:直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为:1x =或3450x y -+=5.(2022·全国·高二专题练习)求过点()13M -,的圆224x y +=的切线方程__________.【答案】326122633y x ++=+或326122633y x --=+【解析】过点()13M -,的斜率不存在的直线为:1x =-,圆心到直线的距离为1,与圆相交,当斜率存在,设其为k ,则切线可设为()31y k x -=+.2=,解得:33k +=或33k -=.所以切线方程为:326122633y x ++=+或326122633y x --=+.6(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知圆22:240C x y x y m +--+=.若圆C 与圆22:(2)(2)1D x y +++=有三条公切线,则m 的值为___________.【答案】11-【解析】由22240x y x y m +--+=,得22(1)(2)5x y m -+-=-,所以圆C 的圆心为()1,2C 因为圆22:(2)(2)1D x y +++=,所以圆D 的圆心为()22D ,--,半径为1,因为圆C 与圆D 有三条公切线,所以圆C 与圆D 相外切,即1CD ==+,解得11m =-,所以m 的值为11-.故答案为:11-.7.(2022·全国·高二课时练习)已知圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=,若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,则实数a 的值为___________.【答案】34或14【解析】设圆1C ,圆2C 的半径分别为1r ,2r .圆1C 的方程可化为22(3)(2)1x y -++=,圆2C 的方程可化为22(7)(1)50x y a -+-=-.由两圆相切,得1212C C r r =+或1212C C r r =-.因为11r =,125C C ==,所以215r +=或215r -=,可得24r =或26=r 或24r =-(舍去),因此5016a -=或5036a -=,解得34a =或14a =.故答案为:34或148.(2022·贵州黔东南·高二期末(理))若圆221x y +=与圆()()22416x a y -+-=有3条公切线,则正数a =___________.【答案】35=∴3,0,3a a a =±>∴=又6最值问题1.(2022·广东·高三阶段练习)已知C :222220x y x y +---=,直线l :220x y ++=,M 为直线l 上的动点,过点M 作C 的切线MA ,MB ,切点为A ,B ,当四边形MACB 的面积取最小值时,直线AB 的方程为____.【答案】210x y ++=【解析】C :222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=,则圆心()11C ,,半径2r =.因为四边形MACB 的面积2•2CAMS SCA AM AM ====,要使四边形MACB 面积最小,则需CM 最小,此时CM 与直线l 垂直,直线CM 的方程为()121y x -=-,即21y x =-,联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩,解得()0,1M -.则CM =则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=.故答案为:210x y ++=.2.(2021·广东·南海中学高二阶段练习)已知圆22:(4)(3)1C x y -++=和两点(,0)A a -、(,0)(0)B a a >,若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则a 的最小值为()A .1B .6C .3D .4【答案】D【解析】由90APB ∠=︒得点P 在圆222x y a +=上,所以,点P 在圆222x y a +=上,又在圆C 上,所以,两圆有交点,因为圆222x y a +=的圆心为原点O ,半径为a ,圆C 的圆心为()4,3-,半径为1.所以,|1|1a OC a -≤≤+,即|1|5146a a a -≤≤+⇒≤≤所以,a 的最小值为4.故选:D3.(2021·吉林油田高级中学高二开学考试)已知圆P 的方程为22680x y x y ++-=,过点()1,2M -的直线与圆P 交于A ,B 两点,则弦AB 的最小值为()A .B .10C .D .5【解析】圆P 的方程可化为()()223425x y ++-=,则(3,4),5P r -=,因为()()22132425-++-<,故点()1,2M -在圆内,过点()1,2M -的最长弦一定是圆P 的直径,当AB PM ⊥时,AB 最短,此时PM =则AB ==故选:A .4.(2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末)过点(7,-2)且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是()A .()()22515x y -++=B .()()225113x y -+-=C .()()224413x y -++=D .()()221652x y -++=【答案】B【解析】过点()7,2A -作直线2360x y -+=的垂线,垂足为B ,则以AB 为直径的圆为直线2360x y -+=相切的半径最小的圆,其中AB =(),B a b ,则221732360b a a b +⎧⨯=-⎪-⎨⎪-+=⎩,解得:34a b =⎧⎨=⎩,故AB 的中点,即圆心为7342,22+-⎛⎫ ⎪⎝⎭,即()5,1,故该圆为()()225113x y -+-=故选:B5.(2022·江苏·高二专题练习)已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点,且直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ,则||PM 的取值范围是()A.1,1⎤⎦B.1⎤⎦C.1,1⎤⎦D.1⎤⎦【答案】B【解析】直线1:310(R)l mx y m m --+=∈整理可得,(3)(1)0m x y ---=,即直线1l 恒过(3,1),同理可得,直线2l 恒过(1,3),又()110m m ⨯+-⨯=,∴直线1l 和2l 互相垂直,∴两条直线的交点P 在以(1,3),(3,1)为直径的圆上,即P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=,设该圆心为M ,圆心距||1MC =>,∴两圆相离,1||1PM ∴-+ ,||PM ∴的取值范围是1].故选:B .。

九年级 直线与圆的位置关系练习(含答案)

九年级 直线与圆的位置关系练习(含答案)

直线与圆的位置关系练习(含答案)一.选择题(共19小题)1.如图,已知PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC的大小是()A.70°B.40°C.50°D.20°2.已知⊙O的半径为4cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5cm,那么直线l与⊙O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定3.如图,PA、PB切⊙O于点A、B,PA=10,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点,则△PCD的周长是()A.10 B.18 C.20 D.224.已知⊙O的半径为3,圆心O到直线L的距离为2,则直线L与⊙O的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定5.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,OP交⊙O于点C,连接BC.若∠P=20°,则∠B的度数是()A.20°B.25°C.30°D.35°6.如图,⊙O过正方形ABCD的顶点A、B,且与CD相切,若正方形ABCD的边长为2,则⊙O的半径为()A.1 B.C.D.7.如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°,过C点的切线PC与AB的延长线交于点P,则∠P等于()A.15°B.20°C.25°D.30°8.如图,PA和PB是⊙O的切线,点A和B是切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=40°,则∠ACB的大小是()A.60°B.65°C.70°D.75°9.如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为()A.5 B.7 C.8 D.1010.如图,⊙C与∠AOB的两边分别相切,其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB=90°,OP=6,则OC的长为()A.12 B.C.D.11.如图,已知直线AD是⊙O的切线,点A为切点,OD交⊙O于点B,点C在⊙O上,且∠ODA=36°,则∠ACB的度数为()A.54°B.36°C.30°D.27°12.AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点C;连接BC,若∠P=40°,则∠B等于()A.20°B.25°C.30°D.40°13.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上,∠CAB=60°,若量出AD=6cm,则圆形螺母的外直径是()A.12cm B.24cm C.6cm D.12cm14.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,连结PO并延长交⊙O于点C,连结AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是()A.B.C.5 D.15.已知⊙O的半径是5,直线l是⊙O的切线,P是l上的任一点,那么()A.0<OP<5 B.OP=5 C.OP>5 D.OP≥516.如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.如果∠A=34°,那么∠C等于()A.28°B.33°C.34°D.56°17.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,连接OC,AC.若∠D=50°,则∠A的度数是()A.20°B.25°C.40°D.50°18.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A,B,如果∠P=60°,那么∠AOB 等于()A.60°B.90°C.120° D.150°19.如图,AB、AC是⊙O的两条弦,∠A=25°,过点C的切线与OB的延长线交于点D,则∠D的度数()A.25°B.30°C.40°D.50°二.填空题(共16小题)20.如图,⊙M与x轴相切于原点,平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点,P 点在Q点的下方.若点P的坐标是(2,1),则圆心M的坐标是.21.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=4,BC=3,则△ABC的内切圆半径r=.22.如图,AB与⊙O相切于点C,∠A=∠B,⊙O的半径为6,AB=16,则OA的长为.23.如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为.24.如图,平面直角坐标系中,⊙P与x轴分别交于A、B两点,点P的坐标为(3,﹣1),AB=2.若将⊙P向上平移,则⊙P与x轴相切时点P的坐标为.25.一直角三角形的两条直角边长分别为6和8,则它的内切圆半径为.26.若⊙O的直径是4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是.27.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M的坐标为.28.如图,线段AB与⊙O相切于点B,线段AO与⊙O相交于点C,AB=12,AC=8,则⊙O的半径长为.29.如图,AC是⊙O的切线,切点为C,BC是⊙O的直径,AB交⊙O于点D,连接OD,若∠A=50°,则∠COD的度数为.30.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,A、B两点的坐标分别为(3,0)、(0,4),则△AOB的内心与外心之间的距离是.31.P是⊙O的直径AB的延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,∠APC的平分线交AC于Q,则∠PQC=.32.如图,AB、AC、BD是⊙O的切线,P、C、D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD的长为.33.如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=50°,则∠BAC=.34.如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接BC,∠P=40°,则∠ABC的度数为.35.如图,已知⊙O的外切△PCD切⊙O于A、B、E三点,(1)若PA=5,则PB=;(2)若∠P=40°,则∠COD=度.三.解答题(共15小题)36.如图,CD是⊙O的直径,并且AC=BC,AD=BD.求证:直线AB是⊙O的切线.37.如图,已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线,切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D、C,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E.(1)求证:CB平分∠ACE;(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半径.38.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O经过点E,且交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BF=6,⊙O的半径为5,求CE的长.39.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O与AC边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE(1)证明OE∥AD;(2)①当∠BAC=°时,四边形ODEB是正方形.②当∠BAC=°时,AD=3DE.40.如图所示,AB是⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.(1)求证:BC为⊙O的切线;(2)若AB=4,AD=1,求线段CE的长.41.如图△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若PD=,求⊙O的直径.42.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BD是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE⊥CD;(2)已知AE=4cm,CD=6cm,求⊙O的半径.43.如图,已知AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,∠C=∠BAD,且BD⊥AB于B.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3,AB=4,求AD的长.44.如图所示,以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中点,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接OE,AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形?并在此条件下求sin∠CAE的值.45.已知:如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D 作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F.求证:(1)AD=BD;(2)DF是⊙O的切线.46.如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30°,∠APB=60°.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,求弦AB及PA,PB的长.47.如图,AB为⊙O的直径,D为的中点,连接OD交弦AC于点F,过点D 作DE∥AC,交BA的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.48.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE 交AC于点E.(1)求证:∠A=∠ADE;(2)若AD=16,DE=10,求BC的长.49.如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于C,BE∥CO.(1)求证:BC是∠ABE的平分线;(2)若DC=8,⊙O的半径OA=6,求CE的长.50.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,点C在⊙O上,CA=CD,∠CDA=30°.(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为4,求点A到CD所在直线的距离.直线与圆的位置关系练习参考答案一.选择题(共19小题)1.D;2.A;3.C;4.A;5.D;6.D;7.B;8.C;9.D;10.C;11.D;12.B;13.D;14.A;15.D;16.A;17.A;18.C;19.C;二.填空题(共16小题)20.(0,2.5);21.1;22.10;23.50°;24.(3,2);25.2;26.相离;27.(8,10);28.5;29.80°;30.;31.45°;32.2;33.25°;34.25°;35.5;110;三.解答题(共15小题)36.;37.;38.;39.45;30;40.;41.;42.;43.;44.;45.;46.;47.;48.;49.;50.;。

中考数学 直线和圆的位置关系专项练习(含答案)

中考数学 直线和圆的位置关系专项练习(含答案)

2020中考数学 直线和圆的位置关系专项练习(含答案)1. PA ,PB 切⊙O 于A ,B ,∠APB =78°,点C 是⊙O 上异于A ,B 的任意一点,则∠ACB =__________.2. 如图,以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ,过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .要使DE⊥AC ,则△ABC 的边必须满足的条件是__________.第2题图 第3题图3. 如图,PA 切⊙O 于点A ,C 是»AB 上任意一点,∠PAB =62°,则∠C 的度数是__________.4. 如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,过点C 的切线与AD 的延长线交于点E .若∠DAB =56°, ∠ABC =64°,则∠CED =__________.5. 如图,⊙O 与矩形ABCD 的边AD ,AB ,BC 分别相切于点E ,F ,G ,P 是»EG上的一点,则∠EPF =__________.第4题图 第5题图 第6题图6. 如图,直线AB ,AC 与⊙O 分别相切于点B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4cm ,6cm ,那么P 到BC 的距离为__________cm.7. 直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,AD +BC <DC .若腰DC 上有一点P ,使AP ⊥BP ,则这样的点( )A .不存在B .只有一个C .只有两个D .有无数个8. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD ,CB 是⊙O 的切线,D ,B 为切点,OC 交⊙O 于点E ,AE 的延长线交BC 于点F ,连接AD ,BD ,给出以下四个结论:①AD ∥OC ;②E 为△CDB 的内心;③FC =FE .其中正确的结论是 ( ) A .①② B .②③ C .①③ D .①②③9. 如图,ABCD 为⊙O 的内接四边形,AC 平分∠BAD 并与BD 相交于E 点,CF 切⊙O 于点C 并与AD( )A .①②③B .②③④C .①③④D .①②④第8题图 第9题图10. 如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,⊙O 分别与AB ,AC 相切于点E ,F ,圆心O 在BC 上,若AB =a ,AC =b ,则⊙O 的半径等于( )A .abB .a +b2 C .ab a +b D .a +bab11. 如图,在⊙O 的内接△ABC 中,∠ABC =30°,AC 的延长线与过点B 的⊙O 的切线相交于点D .若⊙O 的半径OC =1,BD ∥OC ,则CD 的长为( )A .BCD .2第10题图 第11题图 第12题图12. 如图,⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D .DF ⊥AC ,垂足为F ,DE ⊥BC ,垂足为E .给出以下四个结论:①CE =CF ;②∠ACB =∠EDF ;③DE 是⊙O 的切线;④»AD =»BD.其中正确的结论是( )A .①②③B .②③④C .①③④D .①②④13. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AE 切⊙O 于点A ,BC ∥AE .(1) 求证:△ABC 是等腰三角形;(2) 设AB =10cm ,BC =8cm ,点P 是射线AE 上的点,若以A ,P ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,问这样的点有几个?A14. 如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,以AC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点E ,OD ∥AB .求证:(1) ED 是⊙O 的切线;(2) 2DE 2=BE •OD .15. 如图,在△ABC 中,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的边,且a ,b 是关于x 的一元二次方程x 2+4(c +2)=(c+4)x 的两个根. 点D 在AB 上,以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E . (1) 求证:△ABC 是直角三角形;(2) 若tan A =34时,求AE 的长.16. 如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ,E 是边BC 中点,连接DE .(1) 求证:直线DE 是⊙O 的切线;(2) 连接OC 交DE 于点F ,若OF =CF ,求tan ∠ACO 的值.17. 如图,⊙O 的半径r =25,四边形ABCD 内接于⊙O ,AC ⊥BD 于点H ,P 为CA 延长线上一点,且∠PDA =∠ABD .(1) 试判断PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;BA CBC BE(2) 若tan ∠ADB =34,PA =AH ,求BD 的长;(3) 在(2)的条件下,求四边形ABCD 的面积.18. 如图,已知AC 切⊙O 于点C ,CP 为⊙O 的直径,AB 切⊙O 于点D ,与CP 的延长线交于点B .若AC=PC .求证:(1) BD =2BP ;(2) PC =3BP .19. 如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,AB =12cm ,AD =8cm ,BC =22cm ,AB 为⊙O 的直径.动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动,动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动. P ,Q 分别从点A ,C 同时出发,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止.设运动时间为t (s).(1) 当t 为何值时,四边形PQCD 为平行四边形? (2) 当t 为何值时,PQ 与⊙O 相切?20. 如图,已知在△ABC 中,∠ABC =90°,O 是AB 上一点,以O 为圆心,OB 为半径的半圆与AB 交于点E ,与AC 切于点D ,AD =2,AE =1.求证:S △AOD ,S △BCD 是方程10x 2-51x +54=0的两个根.CCCAB21. 如图,点O 在∠APB 的平分线上,⊙O 与PA 相切于点C .(1) 求证:直线PB 与⊙O 相切;(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ,若⊙O 的半径为3,PC =4,求弦CE 的长.22. 如图,直线y =43x +4交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,⊙O ′过A ,O 两点.(1) 如图1,若⊙O ′交AB 于点C ,当O ′在OA 上时,求弦AC 的长; (2) 如图2,当⊙O ′与直线l 相切于点A 时,求圆心O ′的坐标;(3) 当O ′A 平分△AOB 的外角时,请画出图形,并求⊙O ′的半径的长.23. 如图,AB 是⊙O 的直径,AB =d ,过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ,使AC =AB ,连接OC 交⊙O 于点D ,BD 的延长线交AC 于点E . 求AE 的长.DEC参考答案1、51︒或129︒2、AB AC =3、62︒或118︒ 4.86° 5.45°6.连接BP ,MQ ,PC ,QN ,由PM ⊥AB ,PN ⊥AC ,PQ ⊥BC 可得P ,Q ,C ,N 四点共圆,P ,Q ,B ,M 四点共圆.由△MPQ ∽△QPN 得PQ =. 7、D 提示:以AB 为直径的圆与DC 相交 8.A 9.D 10C11. B 【提示】连接OB ,过C 作CH ⊥BD 交BD 于点H . ∴OBHC 是正方形,CH =1.∵∠ABC =30°,∴∠OAC =60°=∠D .在Rt △CDH 中,=sin CH D CD ∠,∴CD =. 12. D13. (1)略 (2)满足条件的点有两个:①过点C 作1CP ∥AB 交AE 于点P ,则1APC ∆~ 1BCA ∆,这时18AP BC cm ==; ②过点C 作⊙O 的切线交AE 于点2P ,则2AP C ∆~ CAB ∆,这时1252AP cm =14. (1)提示:连接OE ,证明90OED ∠=︒,12OD AB =,2BC DE = (2)在Rt ACB ∆中,2BC BE AB = ,又2BC DE =,2(2)DE BE AB = ,又AB = 2OD ,2(2)2DE BE OD ∴= ,22DE BE OD ∴=15. (1)由已知,得2(4)4(2)0x c x c -+++=,由两根关系得4a b c +=+,2ab c =+, 22222()2(4)8(2)a b a b ab c c c ∴+=+-=+-+=,ABC ∴∆是直角三角形 (2)提示:连接OE ,则OE ∥BC ,6a =,8b =,10c =,5AE =16. (1)连接OD ,OE ,BD ,AB 是⊙O 的直径,90CDB ADB ∴∠=∠=︒,E 是BC 的中点,DE CE BE ∴==,OD OB = ,OE OF =,ODE ∴∆≌OBE ∆, 90ODE OBE ∴∠=∠=︒,∴直线DE 是⊙O 的切线(2)作OH ⊥AC 于点H ,由(1)知BD ⊥AC ,EC =EB .∵OA =OB ,∴OE ∥AC 且OE =12AC ,∴∠CDF =∠OEF ,∠DCF =∠EOF .∵CF =OF ,∴△DCF ≌△EOF ,∴DC =OE =AD ,∴BA =BC ,∴∠A =45°. ∵OH ⊥AD ,∴OH =AH =DH ,∴CH =3OH ,故tan ∠ACO =13OH CH =. 17. (1)略 (2)连接DO 并延长与⊙O 相交于点E ,连接BE .设AH =3k .∵tan ∠ADB =34,PA AH ,AC ⊥BD 于点H .∴DH =4k ,AD =5k ,PA =3)k -,PH =PA +AH =.∴tan ∠P =DH PH =.∴∠P =30°,PD =8k . ∵BD ⊥AC ,∴∠P +∠PDB =90°.∵PD ⊥DE ,∴∠PDB +∠BDE =90°.∴∠BDE =∠P =30°. ∵DE 是直径,∴∠DBE =90°,DE =2r =50.∴BD =DE ·cos ∠BDE =50·cos30°=. (3)连接CE .∵DE 是直径,∴∠DCE =90°.∴CD =DE ·sin ∠CED =DE ·sin ∠CAD =450=405⨯. ∵∠PDA =∠ABD =∠ACD ,∠P =∠P ,∴△PDA ∽△PCD .∴PD DA PAPC CD PD==.∴8540k k PC ==.解得PC =64,k =3-.∴AC =PC -PA =64-23)3)7k -=-=+∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =1111(79002222BD AH BD CH BD AC +==⨯⨯+=+18. 提示:(1)连接OD ,由△BDO ∽△BCA ,得BD =12BC ,又BD 2=BP ·BC .(2)由(1)可知BC =2BD ,BD =2BP ,得BC =4BP , ∴PC +BP =4BP ,∴PC =3BP .19. (1)∵直角梯形ABCD ,AD ∥BC , ∴PD ∥QC .∴当PD =QC 时,四边形PQCD 是平行四边形. 由题意可知AP =t ,CQ =2t ,∴8-t =2t ,3t =8,t =83时,四边形PQCD 为平行四边形.∵直角梯形ABCD,AD∥BC,∴PE=AB.有题意可知AP=BE=t,CQ=2t,∴BQ=BC-CQ=22-2t,EQ=BQ-BE=22-2t-t=22-3t.∵AB为⊙O的直径,∠ABC=∠DAB=90°,∴AD、BC为⊙O的切线.∴AP=PH,HQ=BQ.∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=22-t.在Rt△PEQ中,PE2+EQ2=PQ2,∴122+(22-3t)2=(22-2t)2,即8t2-88t+144=0,t2-11t+18=0,∴t1=2,t2=9.∵P在AD边运动时间为8811ADs==,而t=9>8,∴t=9舍去.∴当t=2时,PQ与⊙O相切.20. 提示:AB=4,BC=CD=3,S△AOD=32.作BH⊥AC于H,则Rt△AOD∽Rt△ABH,得OD AO BH AB=.∴12,5BH=S△BCD=185.21. (1)过点O作OD⊥PB于点D,连接OC.∵PA切⊙O于点C,∴OC⊥PA.又∵点O在∠APB的平分线上,∴OC=OD,∴PB与⊙O相切.(2)过点C作CF⊥OP于点F.在Rt△PCO中,PC=4,OC=3,OP5=,∵OC·PC=OP·CF=2S△POD,∴CF=125.在Rt△COF中,95 OF=.∴EF=EO+OF=245,∴CE=22. (1)AC=165.(2)连接AC,则A,O’,C共线.设OC=a,则AC2=a2+42,又AC2=(a+3)2-52,即a2+42=(a+3)2-52,解得a=163,∴O’8 (2)3,.(3)如图,设⊙O’交x轴于点C,交BA的延长线于D.∵O ’A 平分∠OAD ,∴∠OAC =∠DAC , ∴ COCD =,∴OC =CD . ∵∠AOC =90°,∴AC 是⊙O ’的直径.∴∠D =90°,∴△AOC ≌△ADC ,∴AD =AO =4.设OC =DC =a ,在Rt △BCD 中,BC =a +3,BD =9,CD =a , ∴(a +3)2=a 2+92,解得a =12,∴AC 2=OA 2+OC 2=42+122=160,AC =∴⊙O ’的半径长为23. 连接AD ,由△CDE ∽△CAD ,有CD CADE AD =①.又由△ADE ∽△BDA ,有AE ABDE DA=②. 由①②及AB =AC ,得AE =CD .由∠DAE =∠EDC ,知CD 是△ADE 外接圆的切线. 故CD 2=CE ·CA ,即AE 2=CE ·CA . 设AE =x ,则CE =d -x ,∴2()x d d x =-,即x 2+dx -d 2=0,解方程并取正根得AE =x .。

高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析

高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析

专题9.2 直线与圆的位置关系1.(福建高考真题(理))直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.(2018·北京高考真题(理))在平面直角坐标系中,记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离,当θ、m 变化时,d 的最大值为( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ,P 为单位圆上一点,而直线20x my --=过点()2,0A ,所以d 的最大值为1213OA +=+=,选C.3.(2021·全国高二单元测试)已知直线l 与直线1y x =+垂直,且与圆221x y +=相切,切点位于第一象限,则直线l 的方程是( ).A.0x y +=B .10x y ++=C .10x y +-=D.0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系,设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<,利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意,设直线l 的方程为()00x y c c ++=<.练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1,得c =c =,故直线l 的方程为0x y +=.故选:A4.(2020·北京高考真题)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( ).A .4B .5C .6D .7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后,根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=,化简得()()22341x y -+-=,所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心,1为半径的圆,所以||1||OC OM +≥5==,所以||514OC ≥-=,当且仅当C 在线段OM 上时取得等号,故选:A.5.【多选题】(2021·吉林白城市·白城一中高二月考)若直线0x y m ++=上存在点P ,过点P 可作圆O :221x y +=的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,且60APB ∠=︒,则实数m 的取值可以为( )A .3B .C .1D .-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上,再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围,即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上,60APB ∠=︒,则30APO OPB ∠=∠=︒,由图可知,Rt OPB V 中,22OP OB ==,即点P 在圆224x y +=上,故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,得222240x mx m ++-=,有判别式0∆≥,即()2244240m m -⨯-≥,解得m -≤≤A 错误,BCD 正确.故选:BCD.6.(2022·江苏高三专题练习)已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ,(1,2)B 两点,且两圆都与两坐标轴相切,则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限,进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >,待定系数得5a =或1a =,再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知,大圆1O 与小圆2O 都在第一象限,设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >,其方程为222()()x a y a a -+-=,将点(1,2)或(2,1)代入,解得5a =或1a =,所以221:(5)(5)25O x y -+-=,222:(1)(1)1O x y -+-=,可得1(5,5)O ,2(1,1)O ,所以12||O O ==故答案为:7.(江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值为__________.【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0,整理得:(x-4)2+y 2=1,即圆C 是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,∴只需圆C ′:(x-4)2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可.设圆心C (4,0)到直线y=kx-2的距离为d,2d 即3k 2≤4k,∴0≤k≤43,故可知参数k 的最大值为43.8.(2018·全国高考真题(文))直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =________.【答案】【解析】根据题意,圆的方程可化为22(1)4x y ++=,所以圆的圆心为(0,1)-,且半径是2,根据点到直线的距离公式可以求得d ==,结合圆中的特殊三角形,可知AB ==,故答案为.9.(2021·湖南高考真题)过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标,再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率,再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=,所以圆心为()2,0,由20x y +=可得2y x =-,所以直线20x y +=的斜率为2-,所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12,所以所求直线的方程为:()1022y x -=-,即220x y --=,故答案为:220x y --=.10.(2020·浙江省高考真题)设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切,则k =_______;b =______.【解析】设221:1C x y +=,222:(4)1C x y -+=,由题意,12,C C到直线的距离等于半径,即1=1=,所以||4b k b =+,所以0k =(舍)或者2b k =-,解得k b ==.1.(2020·全国高考真题(理))若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切,则l 的方程为()A .y =2x +1B .y =2x +12C .y =12x +1D .y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ,则00x >,函数y =y '=l的斜率k =,设直线l的方程为)0y x x =-,即00x x -+=,由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=,解得01x =,015x =-(舍),则直线l 的方程为210x y -+=,即1122y x =+.练提升故选:D.2.【多选题】(2021·全国高考真题)已知点P 在圆()()225516x y -+-=上,点()4,0A 、()0,2B ,则( )A .点P 到直线AB 的距离小于10B .点P 到直线AB 的距离大于2C .当PBA ∠最小时,PB =D .当PBA ∠最大时,PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离,可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围,可判断AB 选项的正误;分析可知,当PBA ∠最大或最小时,PB 与圆M 相切,利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ,半径为4,直线AB 的方程为142xy+=,即240x y +-=,圆心M 到直线AB 4=>,所以,点P 到直线AB 42-<,410<,A 选项正确,B 选项错误;如下图所示:当PBA ∠最大或最小时,PB 与圆M 相切,连接MP 、BM ,可知PM PB ⊥,=,4MP =CD 选项正确.故选:ACD.3.【多选题】(2021·肥城市教学研究中心高三月考)已知圆22:230A x y x +--=,则下列说法正确的是()A .圆A 的半径为4B .圆A 截y 轴所得的弦长为C .圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D .圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ;利用几何法求出弦长可判断B ;求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ;求出圆B 的圆心和半径,比较圆心距与半径之和的大小可判断D ,进而可得正确选项.【详解】对于A :由22230x y x +--=可得()2214x y -+=,所以A 的半径为2r =,故选项A 不正确;对于B :圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =,所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确;对于C :圆心()1,0到直线34120x y -+=3,所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=,故选项C 正确;对于D :由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=,所以圆心()4,4B ,半径3R =,因为5AB r R ===+,所以两圆相外切,故选项D 不正确;故选:BC.4.(2021·全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径,由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=,因此圆C 的圆心为(4,0)C ,半径为1,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=,即22(21)1k k -≤+,所以2340k k -≤,解得403k ≤≤,所以k 的取值范围是403k ≤≤,故答案为:403k ≤≤.5.(2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中(理))直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________.【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离,再由点到直线的距离公式列式求得k ,然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解.【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以,圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==,1=,解得)0k k =>.设直线的倾斜角为()0180θθ≤<,则tan θ=,则60θ= .因此,直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 .故答案为:60 .6.(2021·昆明市·云南师大附中高三月考(文))已知圆O : x 2+y 2=4, 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1,点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点,过点B 作直线l 1的垂线l 2,若l 2与圆O 交于D , E 两点,则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ,O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离,因此ADEODE S S =!!,设O 到2l 距离为d ,把面积用d 表示,然后利用导数可得最大值.【详解】根据题意可得图,1OA l ⊥,所以2//OA l ,因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离,ADEODE S S =!!,过点(00)O ,作直线2l 的垂线,垂足为F ,记||(20)OF d d =>>,则弦||DE =角形ADE 的面积为S ,所以12S d =g g ,将S 视为d 的函数,则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时,0S '>,函数()S d 2d <<时,0S '<,函数()S d 单调递减,所以函数()S d 有最大值,当d =max ()2S d =,故AED V 面积的最大值为2.故答案为:2.7.(2021·全国高三专题练习)已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件:向量(2,0)OB →=,(2,2)OC →=,,CA α→=)α,则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线,切点分别为M 、N ,如图所示,连接CM ,CN ,得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒,75BON ∠=︒,即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线,切点分别为M 、N ,如图所示,连接CM ,CN ,则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒,∴453015BOM ∠=︒-︒=︒,453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为:{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或,8.(2021·全国高三专题练习)已知x 、y R ∈,2223x x y -+=时,求x y +的最大值与最小值.【答案】最小值是1,最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=,设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形,然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=,既是轴对称图形,又是中心对称图形.设x y b +=,由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形.如图所示:当b 变化时,图形是一个正方形系,每个正方形四个顶点均在坐标轴上,问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时,求b 的最值问题.当1b <时,正方形与圆没有公共点;当1b =时,正方形与圆相交于点()1,0-,若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切,2,解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1,最大值是1+.9.(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中)已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上,半径为1,直线210x y +-=截圆M (1)求圆M 方程;(2)若点C 的坐标为()2,4,求直线AC 和BC 的斜率;(3)若A ,B 两点在x 轴上移动,且AB 4=,求ABC V 面积的最小值.【答案】(1)22(1)1y x +-=;(2)2;(3)163.【分析】(1)设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ,先求得圆心到直线210x y +-=的距离,再根据直线截圆M (2)当直线AC 和BC 的斜率不存在时,设直线方程为2x =,易知不成立;当直线AC 和BC 的斜率存在时,设直线方程为()42y k x -=-,然后由圆心到直线的距离等于半径求解; (3)根据AB 4=,设()()(),0,4,040A t B t t +-<<,进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率,写出直线AC 和BC 的方程,联立求得点C 的坐标,进而得到坐标系的最小值求解.【详解】(1)设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >,圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=,解得1b =,所以圆M 方程()2211x y +-=;(2)当直线AC 和BC 的斜率不存在时,设直线方程为2x =,则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=,不成立,当直线AC 和BC 的斜率存在时,设直线方程为()42y k x -=-,即 240kx y k --+=,圆心到直线的距离d ,解得2k =(3)因为AB 4=,设()()(),0,4,040A t B t t +-<<,所以直线AC 的斜率为:2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---,同理直线BC 的斜率为: ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ,所以直线AC 的方程为:()221ty x t t =---,直线BC 的方程为:()()()224441t y x t t -+=--+- ,由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩,解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩,即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭,又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-,当2t =-时,点C 的纵坐标取得最小值83,所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10.(2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末(文))已知直线l :43100x y ++=,半径为2的圆C 与l 相切,圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方(1)求圆C 的方程;(2)过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方),问在x 轴正半轴上是否存在点N ,使得x 轴平分ANB ∠?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)224x y +=;(2)存在,()4,0N .【分析】(1)设出圆心坐标(),0C a ,根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径,由此求解出a 的值(注意范围),则圆C 的方程可求;(2)当直线AB 的斜率不存在时,直接根据位置关系分析即可,当直线AB 的斜率存在时,设出直线方程并联立圆的方程,由此可得,A B 坐标的韦达定理形式,根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解:(1)设圆心(),0C a ,∵圆心C 在l 的上方,∴4100a +>,即52a >-,∵直线l :43100x y ++=,半径为2的圆C 与l 相切,∴d r =,即41025a +=,解得:0a =或5a =-(舍去),则圆C 方程为224x y +=;(2)当直线AB x ⊥轴,则x 轴平分ANB ∠,当直线AB 的斜率存在时,设AB 的方程为()1y k x =-,(),0N t ,()11,A x y ,()22,B x y ,由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得,()22221240k x k x k +-+-=,所以212221k x x k +=+,212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠,则AN BN k k =-,即()()1212110k x k x x tx t--+=--,整理得:()()12122120x x t x x t -+++=,即()()222224212011k k t t k k -+-+=++,解得:4t =,当点()4,0N ,能使得ANM BNM ∠=∠总成立.1.(2021·山东高考真题)“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A .充分没必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件,易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”,因此充分性成立;“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”,故必要性成立;可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选:C2.(2021·北京高考真题)已知直线y kx m =+(m 为常数)与圆224x y +=交于点M N ,,当k 变化时,若||MN 的最小值为2,则m = A .±1B.C.D .2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0,半径为2,则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时,弦长|MN取得最小值为2=,解得m =故选:C.3.(2020·全国高考真题(理))已知⊙M :222220x y x y +---=,直线l :220x y ++=,P 为l 上的动点,过点P 作⊙M 的切线,PA PB ,切点为,A B ,当||||PM AB ⋅最小时,直线AB 的方程为( )练真题A .210x y --=B .210x y +-=C .210x y -+=D .210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=,点M 到直线l的距离为2d >,所以直线l 与圆相离.依圆的知识可知,四点,,,A P B M 四点共圆,且AB MP ⊥,所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V,而PA =,当直线MP l ⊥时,min MP =,min 1PA =,此时PM AB ⋅最小.∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+,由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得,10x y =-⎧⎨=⎩.所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=,即2210x y y +--=,两圆的方程相减可得:210x y ++=,即为直线AB 的方程.故选:D.4.【多选题】(2021·全国高考真题)已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=,点(,)A a b ,则下列说法正确的是( )A .若点A 在圆C 上,则直线l 与圆C 相切B .若点A 在圆C 内,则直线l 与圆C 相离C .若点A 在圆C 外,则直线l 与圆C 相离D .若点A 在直线l 上,则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系,结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上,则222a b r +=,所以d =则直线l 与圆C 相切,故A 正确;若点(),A a b 在圆C 内,则222a b r +<,所以d =则直线l 与圆C 相离,故B 正确;若点(),A a b 在圆C 外,则222a b r +>,所以d =则直线l 与圆C 相交,故C 错误;若点(),A a b 在直线l 上,则2220a b r +-=即222=a b r +,所以d =l 与圆C 相切,故D 正确.故选:ABD.5.(2021·山东高考真题)已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合,长轴长等于圆的直径,那么短轴长等于______.【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆,可得1m =,通过圆心和半径计算,,a b c ,即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆,1m ∴=即:圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0,半径为4那么椭圆的长轴长为8,即3c =,4a =,b ==那么短轴长为故答案为:6.(2019·北京高考真题(文))设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为__________.【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中,2p =4,p =2,焦点F (1,0),准线l 的方程为x =-1,以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。

高二数学直线与圆的位置关系试题

高二数学直线与圆的位置关系试题

高二数学直线与圆的位置关系试题1.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同的交点的充要条件为().A.m<1B.-3<m<1C.-4<m<2D.0<m<1【答案】B【解析】联立直线与圆的方程得:,消去y得:2x2+(2m-2)x+m2-1=0,由题意得:△=(2m-2)2-8(m2-1)=-4(m+1)2+16>0,变形得:(m+3)(m-1)<0,解得:-3<m<1,故选B.【考点】直线与圆相交的性质;以及充分必要条件的判断.2.直线与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.与值有关【答案】D【解析】圆心为,所以圆心到直线的距离为,所以与值有关,故选D.【考点】直线与圆的位置关系.3.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】曲线表示半圆,如图所示,,当直线过时,;当直线与圆弧相切时,,因此使直线与曲线有公共点的b的取值范围是.【考点】直线与圆位置关系4.已知两点、,点为坐标平面内的动点,满足.(1)求动点的轨迹方程;(2)若点是动点的轨迹上的一点,是轴上的一动点,试讨论直线与圆的位置关系.【答案】(1)(2)当时,直线与圆相交;当时,直线与圆相切;当时,直线与圆相离.【解析】(1)直接法求轨迹:根据题意列出方程化简。

(2)将点代入求,求出只直线方程注意讨论其斜率存在与否。

求圆心到直线的距离,根据距离与半径的关系判断直线与圆的关系。

试题解析:(1)设,则,,. 2分由,得2, 4分化简得.所以动点的轨迹方程为. 5分(2)由点在轨迹上,则,解得,即. 6分当时,直线的方程为,此时直线与圆相离. 7分当时,直线的方程为,即, 8分圆心到直线的距离,令,解得;令,解得;令,解得.综上所述,当时,直线与圆相交;当时,直线与圆相切;当时,直线与圆相离. 14分【考点】1求轨迹方程;2直线与圆的位置关系。

5.已知圆.(1)若直线过点,且与圆相切,求直线的方程;(2)若圆的半径为4,圆心在直线:上,且与圆内切,求圆的方程.【答案】(1)或;(2)或.【解析】(I)由直线l1过定点A(-1,0),故可以设出直线的点斜式方程,然后根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,求出k值即可,但要注意先讨论斜率不存在的情况,以免漏解.(2)圆D的半径为4,圆心在直线l2:2x+y-2=0上,且与圆C内切,则设圆心D(a,2-2a),进而根据两圆内切,则圆心距等于半径差的绝对值,构造出关于a的方程,解方程即可得到答案.试题解析:(1)①若直线的斜率不存在,直线:,符合题意. 2分②若直线的斜率存在,设直线为,即.由题意得,, 4分解得,∴直线:. 7分∴直线的方程是或. 8分(2)依题意,设,由题意得,圆C的圆心圆C的半径,. 12分∴,解得,∴或. 14分∴圆的方程为或. 16分【考点】直线与圆的位置关系.6.圆与直线的交点的个数是_______【答案】2【解析】直线过定点,把点代入圆的方程得,所以点在圆的内部,所以直线过圆内一点,所以直线与圆有2个交点.【考点】直线过定点,直线与圆的位置关系7.若圆关于直线对称,则由点向圆所作的切线长的最小值是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】已知圆的圆心坐标为,圆的半径为,若圆关于直线对称,那么有:,设切线长为,那么,当时,最小,最小值为,所以切线长的最小值是.【考点】直线与圆的位置关系.8.设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;③圆心到直线的距离为,求该圆的方程.【答案】或【解析】求圆的方程关键就是要找到三个条件,求出相应的,,.由①利用常用的半弦长、半径、弦心距三者构成的三角形可得,由②条件可得劣弧所对的圆心角为,所以可得,由③可得.通过解方程可求出,,.试题解析:设圆心为,半径为r,圆的方程为由条件①:,由条件②:,从而有:.由条件③:,解方程组可得:或,所以.故所求圆的方程是或.【考点】1.圆中的重要三角形.2.点到直线的距离.3.弧长与圆心角的关系.9.已知:以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A,与y轴交于点O, B,其中O为原点.(Ⅰ)求证:△OAB的面积为定值;(Ⅱ)设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N,若|OM| = |ON|,求圆C的方程.【答案】(1)(2)【解析】解(1),.设圆的方程是令,得;令,得,即:的面积为定值.……5分(2)垂直平分线段.,直线的方程是.,解得:……7分当时,圆心的坐标为,,此时到直线的距离,圆与直线相交于两点.……10分当时,圆心的坐标为,,此时到直线的距离圆与直线不相交,不符合题意舍去.圆的方程为……10分【考点】三角形的面积,圆的方程点评:解决的关键是根据截距来得到面积的表示,以及借助于圆心和半径求解圆的方程,属于基础题。

最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》(含答案解析)

最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》(含答案解析)

最新人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》(含答案解析)一、选择题(每小题5分,共40分)1.如果a2+b2=c2,那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相交或相切2.设直线过点(a,0),其斜率为-1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为( )A.±B.±2C.±2D.±43.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )A.1B.2C.4D.44.过点P(-2,4)作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m间的距离为( )A.4B.2C.D.5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( )A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x6.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C 截得的弦长为2时,a等于( )A. B.2-C.-1D.+17.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为( )A.1B.2C.D.38.过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0°<α<30°B.0°<α≤60°C.0°≤α≤30°D.0°≤α≤60°二、填空题(每小题5分,共10分)9.过点A(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=________.10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= .三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,P点坐标为(2,3),求圆的过P 点的切线方程以及切线长.12.已知过点A(-1,0)的动直线l与圆C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.(1)求证:当l与m垂直时,l必过圆心C.(2)当|PQ|=2时,求直线l的方程.参考答案与解析1选C.圆的半径r=1,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d===>1.2选B.因为切线的方程是y=-(x-a),即x+y-a=0,所以=,a=±2.3选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1,2),半径r=,圆心到直线x+2y-5+=0的距离d==1,在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中,弦长l=2=2=4.4选A.根据题意,知点P在圆上,所以切线l的斜率k=-=-=.所以直线l的方程为y-4=(x+2).即4x-3y+20=0.又直线m与l平行,所以直线m的方程为4x-3y=0.故直线l与m间的距离为d==4.5选C.设切线方程为y=kx,圆的方程化为(x+2)2+y2=1,而圆心(-2,0)到直线y=kx 的距离为1,所以=1.所以k=±.又因为切点在第三象限,所以k=.6选C.因为圆的半径为2,且截得弦长的一半为,所以圆心到直线的距离为1,即=1,解得a=±-1,因为a>0,所以a=-1.7选C.设圆心为C(3,0),P为直线上一动点,过P向圆引切线,切点设为N,所以(PN)min=()min=,又(PC)min==2,所以(PN)min=.8选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+),则圆心到该直线的距离d= =1,解得k1=0,k2=,画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是0°≤α≤60°.9点A(1,)在圆(x-2)2+y2=4内,当劣弧所对的圆心角最小时,l垂直于过点A(1,)和圆心M(2,0)的直线.所以k=-=-=.答案:10取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d= ,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在△CDF中,△FCD=30°,所以CD==4.答案:411如图,此圆的圆心C为(1,1),CA=CB=1,则切线长|PA|===2.(1)若切线的斜率存在,可设切线的方程为y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0,则圆心到切线的距离d==1,解得k=,故切线的方程为3x-4y+6=0.(2)若切线的斜率不存在,切线方程为x=2,此时直线也与圆相切.综上所述,过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.12(1)因为l与m垂直,且k m=-,所以k l=3,故直线l的方程为y=3(x+1),即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0,3)满足直线l的方程,所以当l与m垂直时,l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,因为|PQ|=2,所以|CM|==1,则由|CM|==1,得k=,所以直线l:4x-3y+4=0.故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.。

直线与圆的位置关系(含答案)

直线与圆的位置关系(含答案)
直线与圆的位置关系·圆与圆的位置关系
【知识清单】:
1.直线与圆的位置关系(半径r,圆心到直线的距离为d)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ=0
Δ>0
几何观点
d>r
d=r
d<r
2.圆与圆的位置关系(两圆半径r1,r2,d=|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2
3.(2015·大连双基测试)圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是________.
解析:法一:将直线方程代入圆方程,得(k2+1)x2+4kx+3=0,直线与圆没有公共点的充要条件是Δ=16k2-12(k2+1)<0,解得k∈(- , ).
法二:圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离d= ,直线与圆没有公共点的充要条件是d>1,
即 >1,
解得k∈(- , ).
答案:k∈(- , )
[谨记通法]:判断直线与圆的位置关系的2大策略
(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法.
(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.能用几何法,尽量不用代数法.
1.(2015·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()
A.x-y+5=0B.x+y-1=0
C.x-y-5=0D.2x+y+1=0
解析:选A由题意得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心C(-1,2).过圆心与点(-2,3)的直线l1的斜率为k= =-1.当直线l与l1垂直时,|AB|取得最小值,故直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-3=x-(-2),即x-y+5=0.

高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析

高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析

高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l与圆C相交于P,Q两点,若|PQ|=2,则直线l的方程为()A.x=-1或4x+3y-4=0B.x=-1或4x-3y+4=0C.x=1或4x-3y+4=0D.x=1或4x+3y-4=0【答案】B【解析】当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),过圆C作CM⊥PQ,垂足为M,由于|PQ|=2,可求得|CM|=1.由|CM|==1,解得k=,此时直线l的方程为y= (x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.故选B.2.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为()A.6B.C.8D.【答案】B【解析】如图,过圆心C向直线AB做垂线交圆于点P,这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d==,∴△ABP的面积的最小值为×5×(-1)=.3.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则()A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·ABC.AD·AB=CD2D.CE·EB=CD2【答案】A【解析】由切割线定理可知CE·CB=CD2.又由平面几何知识知△ADC∽△CDB,得相似比=,即AD·DB=CD2,∴CE·CB=AD·DB.故选A.4.如图,⊙O中弦AB、CD相交于点F,AB=10,AF=2.若CF∶DF=1∶4,则CF的长等于()A. B.2 C.3 D.2【答案】B【解析】∵CF∶DF=1∶4,∴DF=4CF.∵AB=10,AF=2,∴BF=8.∵CF·DF=AF·BF,∴CF·4CF=2×8,∴CF=2.5.如图,半径为2的⊙O中,∠AOB=90°,D为OB的中点,AD的延长线交⊙O于点E,则线段DE的长为()A.B.C.D.【答案】C【解析】延长BO交圆O于点F,由D为OB的中点,知DF=3,DB=1,又∠AOB=90°,所以AD=,由相交弦定理知AD·DE=DF·DB,即3×1=×DE,解得DE=.6.如图所示,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF·AG=AD·AE;③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】A【解析】逐个判断:由切线定理得CE=CF,BD=BF,所以AD+AE=AB+BD+AC+CE=AB+AC+BC,即①正确;由切割线定理得AF·AG=AD2=AD·AE,即②正确;因为△ADF∽△AGD,所以③错误.故选A.7.如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1,若CE与圆相切,则线段CE的长为________.【答案】【解析】因为AF∶FB∶BE=4∶2∶1,所以可设AF=4x,FB=2x,BE=x.由割线定理,得AF·FB=DF·FC,即4x×2x=×,解得x=.所以AF=2,FB=1,BE=.由切割线定理,得EC2=BE·EA,即EC2=×(+3),解得EC=.8.如图,△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上,已知AB∥DE,AC=CB.(1)求证:直线AB是⊙O的切线;(2)若AD=2,且tan∠ACD=,求⊙O的半径r的长.【答案】(1)见解析(2)3【解析】解:(1)证明:∵AB∥DE,∴=,又OD=OE,∴OA=OB.如图,连接OC,∵AC=CB,∴OC⊥AB.又点C在⊙O上,∴直线AB是⊙O的切线.(2)如图,延长DO交⊙O于点F,连接FC.由(1)知AB是⊙O的切线,∴弦切角∠ACD=∠F,∴△ACD∽△AFC.∴tan∠ACD=tan∠F=,又∠DCF=90°,∴=.∴==,而AD=2,得AC=4.又AC2=AD·AF,∴2·(2+2r)=42,于是r=3.9.若圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程是() A.x+y=0B.x-y=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0【答案】C【解析】圆x2+y2+4x-4y+4=0,即(x+2)2+(y-2)2=4,圆心C的坐标为(-2,2).直线l过OC的中点(-1,1),且垂直于直线OC,易知k=-1,故直线l的斜率为1,直线l的方程为yOC-1=x+1,即x-y+2=0.故选C.10.(5分)(2011•重庆)过原点的直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相交所得的弦长为2,则该直线的方程为.【答案】2x﹣y=0【解析】用配方法将圆的方程转化为标准方程,求出圆心坐标和半径,设直线方程为y=kx,求出圆心到直线的距离,利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可.解:直线方程为y=kx,圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0即(x﹣1)2+(y﹣2)2=1即圆心坐标为(1,2),半径为r=1因为弦长为2,为直径,故y=kx过圆心,所以k=2所以该直线的方程为:y=2x故答案为:2x﹣y=0点评:本题考查直线和圆的相交弦长问题,属基础知识的考查.注意弦长和半径的关系.11.如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于. 若,,求的长.【答案】【解析】由题中所给是圆的直径且,根据等腰三角形的性质可得:,再由直线为圆的切线,易得,可引入辅助线使得:,运用三角形知识即可求出:,进而得到:.是圆的直径且,,连,为圆的切线,,记是圆的交点,连,,,,,. 10分【考点】1.圆的几何性质;2.三角形的知识12.已知圆C的方程为:x2+y2-2mx-2y+4m-4=0(m∈R).(1)试求m的值,使圆C的面积最小;(2)求与满足(1)中条件的圆C相切,且过点(1,-2)的直线方程.【答案】(1)当m=2时,圆的半径有最小值1,此时圆的面积最小.(2)x=1或4x-3y-10=0.【解析】圆C的方程:(x-m)2+(y-1)2=(m-2)2+1.(1)当m=2时,圆的半径有最小值1,此时圆的面积最小.(2)当m=2时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,设所求的直线方程为y+2=k(x-1),即kx-y-k-2=0,由直线与圆相切,得=1,k=,所以切线方程为y+2=(x-1),即4x-3y-10=0,又因为过点(1,-2)且与x轴垂直的直线x=1与圆也相切,所以所求的切线方程为x=1或4x-3y-10=0.13.圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦的长度为()A.B.C.D.【答案】C【解析】联立,解得或.∴两圆的交点P(0,0),Q.∴|PQ|==.故选C.14.过点(-1,2)的直线l被圆截得的弦长为,则直线l的斜率为.【答案】或【解析】设过点的直线方程为,即.即,由已知得,,解得,直线的斜率为或.【考点】直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式.15.设圆的一条切线与轴、轴分别交于点, 则的最小值为( )A.4B.C.6D.8【答案】【解析】设切线方程为,即,由圆心到直线的距离等于半径得所以令,即,则,得即最小值为4故选.【考点】点到直线的距离;基本不等式.16.已知圆,点在直线上,若过点存在直线与圆交于、两点,且点为的中点,则点横坐标的取值范围是.【答案】【解析】法一:数形结合法:设,由题意可得,即,解之得.法二:设点,,则由条件得A点坐标为,,从而,整理得,化归为,从而,于是由得。

24.2直线和圆的位置关系习题精选(含答案详解)

24.2直线和圆的位置关系习题精选(含答案详解)

直线和圆的位置关系习题精选一.选择题(共13小题)1.(2014•广安)如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,⊙O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()A.3次B.4次C.5次D.6次1题图2题图4题图5题图2.(2014•益阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(﹣3,0),将⊙P沿x轴正方向平移,使⊙P与y轴相切,则平移的距离为()A.1B.1或5 C.3D.53.(2014•常州)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点A(﹣3,0),点B(0,),点P的坐标为(1,0),⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左平移,平移后得到⊙P′(点P的对应点为点P′),当⊙P′与直线l相交时,横坐标为整数的点P′共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2014•余姚市模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知⊙O的半径为1,动直线AB与x轴交于点P(x,0),直线AB与x轴正方向夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x的取值范围是()A.﹣1≤x≤1 B.C.D.5.(2013•盘锦)如图,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D、E分别是AC、AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定6.(2013•宝应县二模)在平面直角坐标系中,以点(3,﹣5)为圆心,r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是()A.r>4 B.0<r<6 C.4≤r<6 D.4<r<67.(2013•下城区二模)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C 为圆心r为半径画⊙C,使⊙C与线段AB有且只有两个公共点,则r的取值范围是()A.6≤r≤8 B.6≤r<8 C.≤6 D.≤88.(2013•廊坊一模)如图,在半径为5cm的⊙O中,直线l交⊙O于A、B两点,且弦AB=8cm,要使直线l与⊙O 相切,则需要将直线l向下平移()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm8题图10题图11题图12题图9.(2013•徐汇区二模)在△ABC中,AB=AC=2,∠A=150°,那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定10.(2013•保康县二模)如图:已知点P(3,4),以点P为圆心,r为半径的圆P与坐标轴有四个交点,则r的取值范围是()A.r>4 B.r>4且r≠5 C.r>3 D.r>3且r≠511.(2012•广西)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是()A.30°B.45°C.60°D.90°12.(2012•北海)如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了()A.2周B.3周C.4周D.5周13.(2011•温岭市模拟)如图,在△ABC中,AB=13,AC=5,BC=12,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是()A.B.C.5D.无法确定13题图14题图15题图17提图二.填空题(共7小题)14.(2014•定州市一模)如图,线段OA垂直射线OB于点O,OA=4,⊙A的半径是2,将OB绕点O沿顺时针方向旋转,当OB与⊙A相切时,OB旋转的角度为_________.15.(2014•吉林二模)如图,∠APB=30°,点O是射线PB上的一点,OP=5cm,若以点O为圆心,半径为1.5cm 的⊙O沿BP方向移动,当⊙O与PA相切时,圆心O移动的距离为_________cm.16.(2014•松江区三模)已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D、E分别是AB、AC的中点,那么以点D为圆心,DE为半径的圆与直线BC的位置关系是_________.17.(2012•兰州)如图,两个同心圆,大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB 的取值范围是_________.18.(2012•兰州)如图,已知⊙O是以坐标原点O为圆心,1为半径的圆,∠AOB=45°,点P在x轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设P(x,0),则x的取值范围是_________.18题图20题图19.(2010•武昌区模拟)已知点A(3,1),⊙A与坐标轴共有三个公共点,则半径为_________.20.(2005•乌兰察布)如图:半径为2的圆心P在直线y=2x﹣1上运动,当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为_________.三.解答题(共2小题)21.(2014•攀枝花)如图,△ABC的边AB为⊙O的直径,BC与圆交于点D,D为BC的中点,过D作DE⊥AC 于E.(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE为⊙O的切线;22.(2014•天水)如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由.(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长.直线和圆的位置关系习题精选参考答案与试题解析一.选择题(共13小题)1.(2014•广安)如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,⊙O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()A.3次B.4次C.5次D.6次考点:直线与圆的位置关系.专题:分类讨论.分析:根据题意作出图形,直接写出答案即可.解答:解:如图,⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次,故选:B.点评:本题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是了解当圆与直线相切时,点到圆心的距离等于圆的半径.2.(2014•益阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(﹣3,0),将⊙P沿x轴正方向平移,使⊙P与y轴相切,则平移的距离为()A.1B.1或5 C.3D.5考点:直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.分析:平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可.解答:解:当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5.故选:B.点评:本题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是了解当圆与直线相切时,点到圆心的距离等于圆的半径.3.(2014•常州)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点A(﹣3,0),点B(0,),点P的坐标为(1,0),⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左平移,平移后得到⊙P′(点P的对应点为点P′),当⊙P′与直线l相交时,横坐标为整数的点P′共有()A.1个B.2个C.3个D.4个考点:直线与圆的位置关系;一次函数的性质.专题:几何图形问题.分析:在解答本题时要先求出⊙P的半径,继而求得相切时P′点的坐标,根据A(﹣3,0),可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值.解答:解:如图所示,∵点P的坐标为(1,0),⊙P与y轴相切于点O,∴⊙P的半径是1,若⊙P与AB相切时,设切点为D,由点A(﹣3,0),点B(0,),∴OA=3,OB=,由勾股定理得:AB=2,∠DAM=30°,设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M(即对应的P′),∴MD⊥AB,MD=1,又因为∠DAM=30°,∴AM=2,M点的坐标为(﹣1,0),即对应的P′点的坐标为(﹣1,0),同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为(﹣5,0),所以当⊙P′与直线l相交时,横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2,﹣3,﹣4共三个.故选:C.点评:本题考查了圆的切线的性质的综合应用,解答本题的关键在于找到圆与直线相切时对应的圆心的坐标,然后结合A点的坐标求出对应的圆心的横坐标的整数解.4.(2014•余姚市模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知⊙O的半径为1,动直线AB与x轴交于点P(x,0),直线AB与x轴正方向夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,则x的取值范围是()A.﹣1≤x≤1 B.C.D.考点:直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.专题:探究型.分析:设直线AB的解析式为y=x+b,当直线与圆相切时切点为C,连接OC,则OC=1,由于直线AB与x轴正方向夹角为45°,所以△AOC是等腰直角三角形,故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可.解答:解:∵直线AB与x轴正方向夹角为45°,∴设直线AB的解析式为y=x+b,切点为C,连接OC,∵⊙O的半径为1,∴△AOC是等腰直角三角形,∴OC=PC=1,∴OA==,∴P(,0),同理可得,当直线与x轴负半轴相交时,P(﹣,0),∴﹣≤x≤.故选D.点评:本题考查的是直线与圆的位置关系,熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键.5.(2013•盘锦)如图,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D、E分别是AC、AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定考点:直线与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:首先根据三角形面积求出AM的长,进而得出直线BC与DE的距离,进而得出直线与圆的位置关系.解答:解:过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,∴AM×BC=AC×AB,∴AM==4.8,∵D、E分别是AC、AB的中点,∴DE∥BC,DE=BC=5,∴AN=MN=AM,∴MN=2.4,∵以DE为直径的圆半径为2.5,∴r=2.5>2.4,∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是:相交.故选:A.点评:本题考查了直线和圆的位置关系,利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键.6.(2013•宝应县二模)在平面直角坐标系中,以点(3,﹣5)为圆心,r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是()A.r>4 B.0<r<6 C.4≤r<6 D.4<r<6考点:直线与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:根据题意可知,本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围,根据相离时半径小于圆心到直线的距离,相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围.解答:解:根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=﹣1,若以点(3,﹣5)为圆心,r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,那么该圆与直线y=﹣1必须是相交的关系,与直线y=1必须是相离的关系,所以r的取值范围是|﹣5|﹣|﹣1|<r<|﹣5|+1,即4<r<6.故选D.点评:解决本题要认真分析题意,理清其中的数量关系.看似求半径与x轴之间的关系,其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围.7.(2013•下城区二模)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C 为圆心r为半径画⊙C,使⊙C与线段AB有且只有两个公共点,则r的取值范围是()A.6≤r≤8 B.6≤r<8 C.≤6 D.≤8考点:直线与圆的位置关系;三角形的面积;勾股定理.分析:根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高,再根据位置关系与数量之间的联系进行求解.解答:解:如图,∵BC>AC,∴以C为圆心,r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点.根据勾股定理求得AB=10.圆与AB相切时,即r=CD=6×8÷5=;∵⊙C与线段AB有且只有两个公共点,∴<r≤6.故选C.点评:本题利用的知识点:勾股定理和垂线段最短的定理;直角三角形的面积公式求解;直线与圆的位置关系与数量之间的联系.8.(2013•廊坊一模)如图,在半径为5cm的⊙O中,直线l交⊙O于A、B两点,且弦AB=8cm,要使直线l与⊙O 相切,则需要将直线l向下平移()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm考点:直线与圆的位置关系.分析:作出OC⊥AB,利用垂径定理求出BC=4,再利用勾股定理求出OC=3,即可求出要使直线l与⊙O相切,则需要将直线l向下平移的长度.解答:解:作OC⊥AB,∵半径为5cm的⊙O中,直线l交⊙O于A、B两点,且弦AB=8cm∴BO=5,BC=4,∴OC=3cm,∴要使直线l与⊙O相切,则需要将直线l向下平移2cm.故选:B.点评:此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理,根据图形求出OC的长度是解决问题的关键.9.(2013•徐汇区二模)在△ABC中,AB=AC=2,∠A=150°,那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定考点:直线与圆的位置关系.分析:过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,求出BD,和⊙B的半径比较,即可得出答案.解答:解:过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,∵∠BAC=150°,∴∠DAB=30°,∴BD=AB=×2=1,即B到直线AC的距离等于⊙B的半径,∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切,故选B.点评:本题考查了直线与圆的位置关系的应用,主要考查学生的推理能力.10.(2013•保康县二模)如图:已知点P(3,4),以点P为圆心,r为半径的圆P与坐标轴有四个交点,则r的取值范围是()A.r>4 B.r>4且r≠5 C.r>3 D.r>3且r≠5考点:直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.专题:计算题.分析:作PA⊥x轴,连结OP,根据勾股定理计算出OP=5,然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的r 的取值范围为r>4且r≠5.解答:解:作PA⊥x轴,连结OP,如图,∵点P的坐标为(3,4),∴OA=3,PA=4,∴OP==5,∴当以点P为圆心,r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时,r的取值范围为r>4且r≠5.故选B.点评:本题考查了直线与圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d:①直线l和⊙O相交⇔d<r;②直线l和⊙O相切⇔d=r;③直线l和⊙O相离⇔d>r.也考查了坐标与图形性质.11.(2012•广西)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是()A.30°B.45°C.60°D.90°考点:直线与圆的位置关系;切线的性质.专题:压轴题.分析:根据题意找出当OP⊥AP时,∠OAP取得最大值.所以在Rt△AOP中,利用直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得此时∠OAP的值.解答:解:根据题意知,当∠OAP的取最大值时,OP⊥AP;在Rt△AOP中,∵OP=OB,OB=AB,∴OA=2OP,∴∠OAP=30°.故选A.点评:本题考查了直线与圆的位置关系、切线的性质.此题属于操作题,在点P的运动过程中,∠OAP取最大值时,AP正好是⊙O的切线.12.(2012•北海)如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了()A.2周B.3周C.4周D.5周考点:直线与圆的位置关系;等边三角形的性质.专题:压轴题.分析:该圆运动可分为两部分:在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角,分别计算即可得到圆的自传周数.解答:解:圆在三边运动自转周数:=3,圆绕过三角形外角时,共自转了三角形外角和的度数:360°,即一周;可见,⊙O自转了3+1=4周.故选C.点评:本题考查了圆的旋转与三角形的关系,要充分利用等边三角形的性质及圆的周长公式解答.13.(2011•温岭市模拟)如图,在△ABC中,AB=13,AC=5,BC=12,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是()A.B.C.5D.无法确定考点:直线与圆的位置关系.分析:首先由题意可知△ABC是直角三角形,再根据题意分析出符合条件的圆的直径的最小值即为该直角三角形的斜边上的高,即可求解.解答:解:∵在△ABC中,AB=13,AC=5,BC=12,∴AB2=AC2+BC2.∴∠ACB=90°,∴PQ一定是直径.要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小,则PQ即为斜边上的高,则PQ==.故选B.点评:本题解题的关键是:要使直径最小,那么C与AB上切点的连线过圆心,即为斜边上的高.二.填空题(共7小题)14.(2014•定州市一模)如图,线段OA垂直射线OB于点O,OA=4,⊙A的半径是2,将OB绕点O沿顺时针方向旋转,当OB与⊙A相切时,OB旋转的角度为60°或120°.考点:直线与圆的位置关系.专题:分类讨论.分析:分类讨论:当OB与⊙A相切于C点时,连结AC,根据切线的定义得到AC⊥OC,然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOC=30°,则∠BOC=∠BOA﹣AOC=60°;当OB与⊙A相切于D点时,同样可得到∠AOD=30°,则∠BOC=∠BOA+AOC=120°.解答:解:当OB与⊙A相切于C点时,如图,连结AC,则AC⊥OC,∵OA=4,AC=2,∴∠AOC=30°,∴∠BOC=∠BOA﹣AOC=60°;当OB与⊙A相切于D点时,如图,同样可得到∠AOD=30°,∴∠BOC=∠BOA+AOC=120°,∴当OB与⊙A相切时,OB旋转的角度为60°或120°.故答案为60°或120°.点评:本题考查了直线和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线l和⊙O相交⇔d <r;直线l和⊙O相切⇔d=r;直线l和⊙O相离⇔d>r.15.(2014•吉林二模)如图,∠APB=30°,点O是射线PB上的一点,OP=5cm,若以点O为圆心,半径为1.5cm 的⊙O沿BP方向移动,当⊙O与PA相切时,圆心O移动的距离为2或8cm.考点:直线与圆的位置关系.分析:首先根据题意画出图形,然后由切线的性质,可得∠O′CP=90°,又由∠APB=30°,O′C=1cm,即可求得O′P 的长,继而求得答案.解答:解:①如图1,当⊙O平移到⊙O′位置时,⊙O与PA相切时,且切点为C,连接O′C,则O′C⊥PA,即∠O′CP=90°,∵∠APB=30°,O′C=1.5cm,∴O′P=2O′C=3cm,∵OP=5cm,∴OO′=OP﹣O′P=2(cm);②如图2:同理可得:O′P=3cm,∴O′O=8cm.故答案为:2或8.点评:此题考查了切线的性质与含30°角的直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.16.(2014•松江区三模)已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D、E分别是AB、AC的中点,那么以点D 为圆心,DE为半径的圆与直线BC的位置关系是相离.考点:直线与圆的位置关系.分析:过点A作AF⊥BC于点F,根据勾股定理求出AF的长,再由点D、E分别是AB、AC的中点得出DE是△ABC的中位线,故可得出DE即GF的长,由此可得出结论.解答:解:过点A作AF⊥BC于点F,∵AB=AC=13,BC=10,∴BF=BC=5,∴AF===12.∵点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC=5,GF=AF=6,∵5<6,∴⊙D与直线BC的位置关系是相离.故答案为:相离.点评:考查了等腰三角形的性质和勾股定理,三角形的面积,解题的关键是得到点D到直线AC的距离.17.(2012•兰州)如图,两个同心圆,大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB 的取值范围是8<AB≤10.考点:直线与圆的位置关系;勾股定理;垂径定理.专题:计算题.分析:解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大,什么时候最小.当AB与小圆相切时有一个公共点,此时可知AB最小;当AB经过同心圆的圆心时,弦AB最大且与小圆相交有两个公共点,此时AB最大,由此可以确定所以AB的取值范围.解答:解:如图,当AB与小圆相切时有一个公共点D,连接OA,OD,可得OD⊥AB,∴D为AB的中点,即AD=BD,在Rt△ADO中,OD=3,OA=5,∴AD=4,∴AB=2AD=8;当AB经过同心圆的圆心时,弦AB最大且与小圆相交有两个公共点,此时AB=10,所以AB的取值范围是8<AB≤10.故答案为:8<AB≤10点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理,以及切线的性质,其中解题的关键是抓住两个关键点:1、当弦AB与小圆相切时最短;2、当AB过圆心O时最长.18.(2012•兰州)如图,已知⊙O是以坐标原点O为圆心,1为半径的圆,∠AOB=45°,点P在x轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设P(x,0),则x的取值范围是﹣≤x≤且x≠0.考点:直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.专题:压轴题;数形结合.分析:由题意得x有两个极值点,过点P与⊙O相切时,x取得极值,作出切线,利用切线的性质求解即可.解答:解:将OA平移至P'D的位置,使P'D与圆相切,连接OD,由题意得,OD=1,∠DOP'=45°,∠ODP'=90°,故可得OP'=,即x的极大值为,同理当点P在y轴左边时也有一个极值点,此时x取得极小值,x=﹣,综上可得x的范围为:﹣≤x≤.又∵DP'与OA平行,∴x≠0,故答案为:﹣≤x≤且x≠0.点评:此题主要考查了直线与圆的位置关系,分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键,难度一般,注意两个极值点的寻找.19.(2010•武昌区模拟)已知点A(3,1),⊙A与坐标轴共有三个公共点,则半径为,3.考点:直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.专题:推理填空题.分析:由已知A(3,1),可以知道圆心A到X轴的距离为1,到Y轴的距离为3,到原点的距离为=,由此可以确定),⊙A与坐标轴共有三个公共点时圆的半径是和3.解答:解:当半径小于3时,⊙A与坐标轴共有2个公共点,当半径等于3时,⊙A与y轴相切且与x轴有2个交点,共有3个公共点,当半径等于A到原点的距离=时,共有3个公共点,当半径大于时,⊙A与坐标轴共有4个公共点.故答案为:,3.点评:此题考查的知识点是直线与圆的位置关系及坐标与图形性质,关键是能够正确分析出圆与坐标轴有3个公共点时的位置关系.20.(2005•乌兰察布)如图:半径为2的圆心P在直线y=2x﹣1上运动,当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为(1.5,2)或(﹣0.5,﹣2).考点:直线与圆的位置关系;坐标与图形性质.专题:压轴题;动点型.分析:根据直线和圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,得点P的纵坐标是2或﹣2.当y=2时,则x=1.5;当y=﹣2时,则x=﹣0.5.解答:解:∵P的圆心在直线y=2x﹣1上∴设P(x,2x﹣1)(1)当圆与x正半轴相切时,则2x﹣1=2,x=1.5,∴P(1.5,2);(2)当圆与x负半轴相切时,则2x﹣1=﹣2,x=﹣0.5∴P(﹣0.5,﹣2),∴由(1)(2)可知P的坐标为:(1.5,2)或(﹣0.5,﹣2).点评:此题注意应考虑两种情况.熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键.三.解答题(共2小题)21.(2014•攀枝花)如图,△ABC的边AB为⊙O的直径,BC与圆交于点D,D为BC的中点,过D作DE⊥AC 于E.(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE为⊙O的切线;(3)若AB=13,sinB=,求CE的长.考点:切线的判定;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.专题:几何综合题.分析:(1)连接AD,利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可以得到AB=AC;(2)连接OD,利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°,从而判断DE是圆的切线;(3)根据AB=13,sinB=,可求得AD和BD,再由∠B=∠C,即可得出DE,根据勾股定理得出CE.解答:(1)证明:连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°∴AD⊥BC,又D是BC的中点,∴AB=AC;(2)证明:连接OD,∵O、D分别是AB、BC的中点,∴OD∥AC,∴∠ODE=∠DEC=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;(3)解:∵AB=13,sinB=,∴=,∴AD=12,∴由勾股定理得BD=5,∴CD=5,∵∠B=∠C,∴=,∴DE=,∴根据勾股定理得CE=.点评:本题目考查了切线的判定以及等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质,涉及的知识点比较多且碎,解题时候应该注意.22.(2014•天水)如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由.(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长.考点:切线的判定与性质.专题:几何图形问题.分析:(1)连接OD,根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°,求出∠CDA+∠ADO=90°,根据切线的判定推出即可;(2)根据勾股定理求出DC,根据切线长定理求出DE=EB,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.解答:解:(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切,理由是:连接OD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∵∠CDA=∠CBD,∴∠DAB+∠CDA=90°,∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO,∴∠CDA+∠ADO=90°,即OD⊥CE,∴直线CD是⊙O的切线,即直线CD和⊙O的位置关系是相切;(2)∵AC=2,⊙O的半径是3,∴OC=2+3=5,OD=3,在Rt△CDO中,由勾股定理得:CD=4,∵CE切⊙O于D,EB切⊙O于B,∴DE=EB,∠CBE=90°,设DE=EB=x,在Rt△CBE中,由勾股定理得:CE2=BE2+BC2,则(4+x)2=x2+(5+3)2,解得:x=6,即BE=6.点评:本题考查了切线的性质和判定,勾股定理,切线长定理,圆周角定理,等腰三角形的性质和判定的应用,题目比较典型,综合性比较强,难度适中.。

直线和圆的位置关系练习题附答案

直线和圆的位置关系练习题附答案

直线和圆的位置关系练习题一、选择题:(每小题5分,共50分,每题只有一个正确答案)1.已知⊙O 的半径为10cm ,如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ,那么这条直 线和这个圆的位置关系为( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2.如右图,A 、B 是⊙O 上的两点,AC 是⊙O 的切线, ∠B=70°,则∠BAC 等于( ) A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3.如图,PA 切⊙O 于A ,PB 切⊙O 于B ,OP 交⊙O 于C , 下列结论中,错误的是( ) A. ∠1=∠2 B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4.如图,已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ,PC=5,则⊙O 的半径为( )A.335 B.635 C. 10 D. 55.已知AB 是⊙O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,那么CD ︰AB 等于∠BPD 的( ) A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6.A 、B 、C 是⊙O 上三点,AB ⌒的度数是50°,∠OBC=40°,则∠OAC 等于( )A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°7.AB 为⊙O 的一条固定直径,它把⊙O 分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C ,作弦CD⊥AB ,∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ,当C 点在半圆(不包括A 、B 两点)上移动时,点P ( )A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动第5题图 第6题图 第7题图8.内心与外心重合的三角形是( )A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形CBPB3题图) 4题图)C. 不等边三角形D. 形状不确定的三角形9.AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ,如果AD =20,则△ABC 的周长为( )A. 20B. 30C. 40D. 213510.在⊙O 中,直径AB 、CD 互相垂直,BE 切⊙O 于B ,且BE=BC ,CE 交AB 于F ,交⊙O 于M ,连结MO 并延长,交⊙O 于N ,则下列结论中,正确的是( )A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥MN第9题图 第10题图 第11题图二、填空题:(每小题5分,共30分)11.⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ,已知AP=2cm ,BP=6cm ,CP ︰PD =1︰3,则DP=___________.12.AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,P 是BA 的延长线上的点,连结PC ,交⊙O 于F ,如果PF=7,FC=13,且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1,则CD =_________.13.从圆外一点P 引圆的切线PA ,点A 为切点,割线PDB 交⊙O 于点D 、B ,已知PA=12,PD=8,则=∆∆DAP ABP S S :__________.14.⊙O 的直径AB=10cm ,C 是⊙O 上的一点,点D 平分BC ⌒,DE=2cm ,则AC=_____. 第13题图 第14题图 第15题图 15.如图,AB 是⊙O 的直径,∠E=25°,∠DBC=50°,则∠CBE=________. 16.点A 、B 、C 、D 在同一圆上,AD 、BC 延长线相交于点Q ,AB 、DC 延长线相交于点P ,若∠A=50°,∠P =35°,则∠Q=________.三、解答题:(共7小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)AP DBABCDEO BDACEFABCDEOABC DQPDCBAP17.如图,MN 为⊙O 的切线,A 为切点,过点A 作AP ⊥MN ,交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm ,PB=5cm ,PC=3cm ,求⊙O 的直径.18.如图,AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于B ,AC 交⊙O 于P ,CE=BE ,E 在BC 上. 求证:PE 是⊙O 的切线.19.AB 、CD 是两条平行弦,BE//AC ,交CD 于E ,过A 点的切线交DC 的延长线于P , 求证:AC 2=PC ·CE .20.点P 为圆外一点,M 、N 分别为AB⌒、CD ⌒的中点,求证: PEF 是等腰三角形.21.ABCD 是圆内接四边形,过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点, 求证:BE ·AD=BC ·CD .P22.已知∆ABC 内接于⊙O ,∠A 的平分线交⊙O 于D ,CD 的延长线交过B 点的切线于E .求证:CEDE BC CD 22=.23.如图,⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点,过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C ,直线CB 交⊙O 2于D ,直线DA 交⊙O 1于E ,求证:CD 2 = CE 2+DA ·DE .E A B D C参考答案基础达标验收卷 一、选择题:二、填空题:1. 相交或相切2. 13. 54. 35°5. 251+ 6. 66 7. 2 8. 10 9. 3 10. 6三、解答题:1. 解:如右图,延长AP 交⊙O 于点D .由相交弦定理,知PC PB PD PA ··=. ∵P A =2cm ,PB =5cm ,PC =3cm , ∴2PD =5×3. ∴PD =7.5. ∴AD =PD +P A =7.5+2=9.5.∵MN 切⊙O 于点A ,AP ⊥MN , ∴AD 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证明:如图,连结OP 、BP .∵AB 是⊙O 的直径,∴∠APB =90°. 又∵CE =BE ,∴EP =EB . ∴∠3=∠1. ∵OP =OB ,∴∠4=∠2.∵BC 切⊙O 于点B ,∴∠1+∠2=90°. ∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径, ∴PE 是⊙O 的切线.3.(1)△QCP 是等边三角形.证明:如图2,连结OQ ,则CQ ⊥OQ .∵PQ =PO ,∠QPC =60°, ∴∠POQ =∠PQO =60°. ∴∠C =︒=︒-︒603090.∴∠CQP =∠C =∠QPC =60°. ∴△QCP 是等边三角形. (2)等腰直角三角形. (3)等腰三角形. 4. 解:(1)PC 切⊙O 于点C ,∴∠BAC =∠PCB =30°. 又AB 为⊙O 的直径,∴∠BCA =90°. ∴∠CBA =90°.(2)∵PCB PCBCBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060,∴PB =BC .又362121=⨯==AB BC ,∴9=+=AB PB PA . 5. 解:(1)连结OC ,证∠OCP =90°即可. (2)∵∠B =30°,∴∠A =∠BGF =60°. ∴∠BCP =∠BGF =60°. ∴△CPG 是正三角形.N A∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C ,∴PD ·PE =48)34(22==PC . 又∵36=BC ,∴12=AB ,33=FD ,3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD 、PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .(3)当G 为BC 中点时,OD ⊥BC ,OG ∥AC 或∠BOG =∠BAC ……时,结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立,只要证明△BFC ∽△BGO 即可,凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都可以. 能力提高练习1. CD 是⊙O 的切线;BA DB CD ·2;︒=∠90ACB ;AB =2BC ;BD =BC 等. 2. (1)①∠CAE =∠B ,②AB ⊥EF ,③∠BAC +∠CAE =90°,④∠C =∠F AB ,⑤∠EAB =∠F AB . (2)证明:连结AO 并延长交⊙O 于H ,连结HC ,则∠H =∠B . ∵AH 是直径,∴∠ACH =90°.∵∠B =∠CAE ,∴∠CAE +∠HAC =90°. ∴EF ⊥HA . 又∵OA 是⊙O 的半径, ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的平分线,其交点就是小亭的中心位置.5. 略.6.(1)假设锅沿所形成的圆的圆心为O ,连结OA 、OB . ∵MA 、MB 与⊙O 相切,∴∠OAM =∠OBM =90°.又∠M =90°,OA =OB ,∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA =MA .量得MA 的长,再乘以2,就是锅的直径.(2)如右图,MCD 是圆的割线,用直尺量得MC 、CD 的长,可求得MA 的长.∵MA 是切线,∴MD MC MA ·2=,可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. (1)∵BD 是切线,DA 是割线,BD =6,AD =10,由切割线定理, 得DA DE DB ·2=. ∴6.310622===DA DB DE . (2)设是上半圆的中点,当E 在BM 上时,F 在直线AB 上;E 在AM 上时,F 在BA 的延长线上;当E 在下半圆时,F 在AB 的延长线上,连结BE . ∵AB 是直径,AC 、BD 是切线,∠CEF =90°, ∴∠CAE =∠FBE ,∠DBE =∠BAE ,∠CEA =∠FEB . ∴Rt △DBE ∽Rt △BAE ,Rt △CAE ∽Rt △FBE . ∴AE BE BA DB =,AE BE AC BF =. 根据AC =AB ,得BD =BF .。

第二十九章 直线与圆的位置关系 单元测试 (含答案)冀教版九年级数学下册

第二十九章 直线与圆的位置关系 单元测试 (含答案)冀教版九年级数学下册

第二十九章 直线与圆的位置关系综合素质评价卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知⊙O 的半径为3,当OP =5时,点P 与⊙O 的位置关系为( )A. 点P 在⊙O 内B. 点P 在⊙O 外C. 点P 在⊙O 上D. 不能确定2.已知,⊙O 的半径OE =3,若OF =2,则直线EF 与⊙O 位置关系的图形可能为( )A. B.C. D.3.如图,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,G 是⌢BC 上一点,则∠EGD 的度数为( )(第3题)A. 60∘B. 50∘C. 45∘D. 30∘4.如图,∠BAC =40∘ ,⊙O 的圆心O 在AB 上,且与边AC 相切于点D ,与AB 交于点E ,F ,连接FD ,则∠AFD =( )(第4题)A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘5.如图,⊙O与直线l1相离,圆心O到直线l1的距离OB=2 3,OA=4,将直线l1绕点A逆时针旋转30∘后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C,则OC=()(第5题)A. 1B. 2C. 3D. 46.嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案,已知用六个△ABC纸片按照图①所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形的图案,若用n个△ABC纸片按图②所示的方法拼接,那么得到图案的外轮廓是()(第6题)A. 正十二边形B. 正十边形C. 正九边形D. 正八边形7.如图,EA,ED是⊙O的切线,切点为A,D,点B,C在⊙O上,若∠BAE +∠BCD=236∘,则∠E=()(第7题)A. 56∘B. 60∘C. 68∘D. 70∘8.已知⊙O及⊙O外一点P,过点P作出⊙O的一条切线(只用圆规和三角尺这两种工具),以下是甲、乙两名同学的作业:第 3 页(第8题)甲:①连接OP ,作OP 的垂直平分线l ,交OP 于点A ;②以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧,交⊙O 于点M ;③作直线PM ,则直线PM 即为所求(如图①).乙:①让三角尺的一条直角边始终经过点P ;②调整三角尺的位置,让它的另一条直角边过圆心O ,直角顶点落在⊙O 上,记这时直角顶点的位置为点M ;③作直线PM ,则直线PM 即为所求(如图②).对于两人的作业,下列说法正确的是( )A. 甲、乙都对B. 甲、乙都不对C. 甲对,乙不对D. 甲不对,乙对9.如图,在四边形ABCD 中,AB //CD ,AD ⊥AB ,以点D 为圆心,AD 的长为半径的弧恰好与BC 相切,切点为E ,若AB CD =13,则sin C 的值是( )(第9题)A. 23B. 53C. 34D. 7410.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动,如图是其示意图.点A 在直线l 上往复运动,推动点B 做圆周运动形成⊙O ,AB 与BO 表示曲柄连杆的两直杆,点C ,D 是直线l 与⊙O 的交点.当点A 运动到点E 时,点B 到点C ;当点A 运动到点F 时,点B 到点D .若AB =12,OB =5,则下列结论正确的是( )(第10题)A. FC =3B. EF=12C. 当AB与⊙O相切时,EA=4D. 当OB⊥CD时,EA=AF二、填空题(本大题共3小题,每空4分,共16分.把答案填写在横线上)11.如图,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD =2,△ABC的周长为14,则BC的长为________.(第11题)12.已知⊙O的半径r=5,直线l1//l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为7,则l1与l2的距离为______________.13.如图①的螺丝钉由头部(直六棱柱)和螺纹(圆柱)组合而成,其俯视图如图②所示.小明将刻度尺紧靠螺纹放置,经过点A且交CD于点P,量得PC的长为1 mm,六边形ABCDEF的边长为4 mm.(1)AP长为________mm;(2)Q为圆上一点,则AQ的最小值为______________mm.三、解答题(本大题共4小题,共44分.解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤)14.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC的中点,以D为圆心,DC长为半径作⊙D,求:第 5 页(1) 当BC =8时,点A 与⊙D 的位置关系;(2) 当BC =6时,点A 与⊙D 的位置关系;(3) 当BC =5 2时,点A 与⊙D 的位置关系.15.(9分)如图,在正六边形ABCDEF 中,AM =BN ,连接MF ,AN 交于点P .(1) 求证:△AMF≌△BNA ;(2) 求∠FPN 的度数.16.(10分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,过点C 的切线交AB 的延长线于点F ,连接DF ,OC.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)连接BC,若∠BCF=30∘,BF=2,求CD的长.17.(16分)如图,在四边形ABCD中,AB//DC,∠B=90∘,∠BAD=60∘,BC=4 cm,对角线AC平分∠BAD.点P是BA边上一动点,它从点B出发,向点A 移动,移动速度为1 cm/s;点Q是AC上一动点,它从点A出发,向点C移动,移动速度为1 cm/s.设点P,Q同时出发,移动时间为t s(0≤t≤6).连接PQ,以PQ 为直径作⊙O.(1)求DC的长.(2)当t为何值时,⊙O与AC相切?(3)当t为何值时,线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径?(4)当t为________时,圆心O到直线DC的距离最短,最短距离为____________.第 7 页【答案】一、1. B 2. A 3. D 4. C 5. B 6. C 7.C 8. A 9. B 10.C二、11. 512. 2或1213.(1) 7(2) (4−637)三、14.解:连接AD .(1) ∵ 在△ABC 中,AB =AC =5,BC =8,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC ,CD =4,∴AD =AC 2−CD 2=3.∵3<4,∴ 点A 在⊙D 内.(2) ∵ 在△ABC 中,AB =AC =5,BC =6,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC ,CD =3,∴AD =AC 2−CD 2=4.∵4>3,∴ 点A 在⊙D 外.(3) ∵ 在△ABC 中,AB =AC =5,BC =5 2,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC ,CD =5 22,∴AD =AC 2−CD 2=5 22.∵5 22=5 22,∴ 点A 在⊙D 上.15.(1) 证明:∵ 六边形ABCDEF 是正六边形,∴AF =AB ,∠FAM =∠ABN =120∘ .在△AMF 和△BNA 中,{AF =BA ,∠FAM =∠ABN ,AM =BN ,∴△AMF≌△BNA (SAS).(2) 解:∵△AMF≌△BNA ,∴∠AFM =∠BAN .∴∠APF =∠AMF +∠BAN =∠AMF +∠AFM =180∘−∠FAM =180∘−120∘=60∘ .∴∠FPN =180∘−60∘=120∘ .16.(1) 证明:如图,连接OD .∵CF 是⊙O 的切线,∴∠OCF =90∘ ,∴∠OCD +∠DCF =90∘ .∵AB ⊥CD ,∴CE =ED ,∴OF 为CD 的垂直平分线,∴CF =DF ,∴∠CDF =∠DCF .∵OC =OD ,∴∠CDO =∠OCD ,∴∠CDO +∠CDF =∠OCD +∠DCF =90∘ ,∴OD ⊥DF .∵OD 为⊙O 的半径,∴DF 是⊙O 的切线.(2) 解:如图.∵∠OCF =90∘ ,∠BCF =30∘ ,∴∠OCB =60∘ .∵OC =OB ,∴△OCB 为等边三角形,∴∠COB =60∘ ,∴∠CFO =30∘ ,∴FO =2OC =2OB ,∴FB =OB =OC =2.∵∠COE =60∘ ,∴CE =3,∴CD =2CE =2 3.17.(1) 解:如图①,过点D 作DM ⊥AB 于点M ,则∠DMB =90∘ .∵AB //DC ,∠B =90∘ ,∴∠DCB =90∘=∠B =∠DMB ,∴ 四边形DCBM 是矩形,∴DM =BC =4 cm .∵∠BAD =60∘ ,∠DMA =90∘ ,∴∠ADM =30∘ ,∴AD =2AM ,∴(2AM )2=42+AM 2,∴AM =4 33 cm .∵AC 平分∠BAD ,AB //DC ,∴∠CAD =∠CAB =∠ACD ,∴DC =AD =2AM =8 33cm .(2) 如图②,当⊙O 与AC 相切时,QP ⊥AC .由题意,得AQ =BP =t cm .∵∠BAC =12∠BAD =30∘ ,BC =4 cm ,∴AC =8 cm ,AB =4 3 cm ,∴AP =(4 3−t )cm .∵AQ =32AP ,∴t =32(4 3−t ),解得t =24−12 3,∴ 当t 为24−12 3时,⊙O 与AC 相切.第 9 页(3) 第一种情况:如图③,当∠OQM =60∘ 时满足条件,则∠AQP =120∘ .∵∠QAP =30∘ ,∴ 易得AP =2×32t =3t (cm),由(2)知AB =4 3 cm ,∴4 3−t =3t ,解得t =6−2 3;第二种情况:如图④,当∠OQM =60∘ 时满足条件.∵∠QAP =30∘ .∴∠APQ =90∘ ,∴AP =32t cm ,即4 3−t =32t ,解得t =16 3−24.综上所述,当t 为6−2 3或16 3−24时,线段AC 被⊙O 截得的线段长恰好等于⊙O 的半径.(4) 6 ;52cm。

6.5 直线与圆的位置关系(同步练习)(解析版)

6.5 直线与圆的位置关系(同步练习)(解析版)

6.5 直线与圆的位置关系
同步练习
故C 到:3410l x y +-=的距离为22381
234+-=+,
故所求弦长为2223225-=.
故选:C
1.圆()2211x y ++=与直线230x y ++=的位置关系是( )
A .相交
B .相切
C .相离
D .不能确定
【答案】A
【分析】运用几何法d 与r 的关系判断圆与直线位置关系即可.
【详解】圆()2
211x y ++=的圆心为()0,1-,半径为1, 所以圆心到直线230x y ++=的距离22351512d -+=
=<+, 所以直线与圆的位置关系为相交.
故选:A.
2.直线33
y x =与圆22(1)1x y -+=的位置关系是( ) A .相交但直线不过圆心 B .相切
C .相离
D .相交且直线过圆心
【答案】A
【分析】要判断圆与直线的位置关系,方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d ,和圆的半径r 比较即可得到此圆与直线的位置关系.
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为()1
0,,半径1r =,直线为30x y -=, ∴()1
0,到直线30x y -=的距离112
13d r ==<+, ∴圆与直线的位置关系为相交, 又圆心()1
0,不在直线33y x =上, 故选:A . 能力进阶。

直线与圆的位置关系练习(含参考答案)

直线与圆的位置关系练习(含参考答案)

直线与圆的位置关系习题课班级 学号 姓名-----------------------------------------------------【基础训练】-------------------------------------------------------1.直线y =kx +1与圆x 2+y 2-2y =0的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .取决于k 的值解析 由y =kx +1知直线过定点(0,1),由x 2+y 2-2y =0得x 2+(y -1)2=1.∴直线经过圆的圆心,∴直线与圆相交.答案 A2.若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,-1]B .[-1,3]C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为2,∴|a -0+1|12+(-1)2≤2,即|a +1|≤2,解得-3≤a ≤1. 答案 C3.若直线y =kx 与圆(x -2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x +y +b =0对称,则k ,b 的值分别 为( )A .k =12,b =-4B .k =-12,b =4C .k =12,b =4D .k =-12,b =-4 解析 因为直线y =k x 与圆(x -2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x +y +b =0对称,则y =k x与直线2x +y +b =0垂直,且2x +y +b =0过圆心,所以解得k =12,b =-4. 答案 A4.过点A (2,4)向圆x 2+y 2=4所引切线的方程为 . 解析 显然x =2为所求切线之一;另设直线方程为y -4=k (x -2),即kx -y +4-2k =0,那么|4-2k |k 2+1=2,解得k =34,即3x -4y +10=0. 答案 x =2或3x -4y +10=05.若圆x 2+y 2+2x -4y +m =0(m <3)的一条弦AB 的中点为P (0,1),则垂直于AB 的直径所在直线的方程为 .解析 由圆的方程得该圆圆心为C (-1,2),则CP ⊥AB ,直线CP 的斜率为-1,故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y -1=-x ,即x +y -1=0.6.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C :(x -1)2+y 2=4交于A ,B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为 .解析 由题意得,当CM ⊥AB 时,∠ACB 最小,从而直线方程y -1=-1-120-1⎝⎛⎭⎫x -12,即2x -4y +3=0.答案 2x -4y +3=07.已知直线x -y +a =0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x -4y -4=0相交于A ,B 两点,且AC ⊥BC ,求实数a 的值.解析:圆C ∶x 2+y 2+2x -4y -4=0的标准方程为(x +1)2+(y -2)2=9,所以圆心为C (-1,2),半径为3.因为AC ⊥BC ,所以圆心C 到直线x -y +a =0的距离为322,即|-1-2+a |2=322,所以a =0或6.8.已知:圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l :ax +y +2a =0.(1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.解析 将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0化成标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4+2a |a 2+1=2, 解得a =-34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质, 得⎩⎨⎧ |CD |=|4+2a |a 2+1,|CD |2+|DA |2=|AC |2=22,|DA |=12|AB |= 2.解得a =-7或-1.故所求直线方程为7x -y +14=0或x -y +2=0.-------------------------------------------------------【能力提升】-----------------------------------------------------9.过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )A .x +y -2=0B .y -1=0C .x -y =0D .x +3y -4=0解析 选A 两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为-1,方程为x +y -2=0.10.已知点P (x 0,y 0),圆O :x 2+y 2=r 2(r >0),直线l :x 0x +y 0y =r 2,有以下几个结论:①若点P 在圆O 上,则直线l 与圆O 相切;②若点P 在圆O 外,则直线l 与圆O 相离;③若点P 在圆O 内,则直线l 与圆O 相交;④无论点P 在何处,直线l 与圆O 恒相切,其中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析 根据点到直线的距离公式有d =r 2x 20+y 20,若点P 在圆O 上,则x 20+y 20=r 2,d =r ,相切;若点P 在圆O 外,则x 20+y 20>r 2,d <r ,相交;若点P 在圆O 内,则x 20+y 20<r 2,d >r ,相离,故只有①正确.答案 A11.已知圆O :x 2+y 2=5,直线l :x cos θ+y sin θ=1(0<θ<π2).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k = .解析 圆O 的圆心(0,0)到直线l :x cos θ+y sin θ=1的距离d =1.而圆的半径r =5,且r -d =5-1>1,∴圆O 上在直线l 的两侧各有两点到直线l 的距离等于1.答案:412.已知直线l :y =-3(x -1)与圆O :x 2+y 2=1在第一象限内交于点M ,且l 与y 轴交于点A ,则△MOA 的面积等于 .解析 依题意,直线l :y =-3(x -1)与y轴的交点A 的坐标为(0,3).由2211x y y +==-⎧⎪⎨⎪⎩,得点M 的横坐标x M =12,所以△MOA 的面积为S =12|OA |×x M =12×3×12=34. 答案 3413.过直线x +y -22=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是 .解析 法一 如图所示,|OP |=|OA |sin ∠OP A=2,易得P 为CD 中点,故P (2,2). 法二 设P (x ,y ),由法一可得⎩⎨⎧ x 2+y 2=2,x +y -22=0⇒⎩⎨⎧x =2,y =2,故P (2,2).答案 (2,2)14.半径为5的圆C 过点A )4,2(-,且以)3,1(-M 为中点的弦长为34,求圆C 的方程.解析 设圆方程为22()()25x a y b -+-=,依题意,2222(2)(4)2525a b ⎧--+-=⎪⎨+=⎪⎩,解得10a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩. 所以圆C 方程为:22(1)25x y -+=或22(2)(1)25x y -+-=. 15. 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0,求下列各式的最大值与最小值:(1)y x; (2)y -x ; (3)(x +1)2+y 2.解析 (1)原方程可化为(x -2)2+y 2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆,y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设y x=k ,即y =kx . 当直线y =kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时|2k -0|k 2+1=3,解得k =±3. 所以y x的最大值为3,最小值为- 3. (2)y +x 可看作是直线y =-x +b 在y 轴上的截距,当直线y =-x+b 与圆相切时,纵截距b取得=,解得b =2±6.所以y +x 的最大值为2+6,最小值为2- 6.(3)x 2+y 2表示圆上的一点与点(-1,0)距离的平方,由平面几何知识知,在点(-1,0)与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.3=,所以x 2+y 2的最大值是(3+3)2=12+63,x 2+y 2的最小值是(3-3)2=12-6 3.16.已知圆M :x 2+(y -2)2=1,Q 是x 轴上的动点,QA ,QB 分别切圆M 于A ,B 两点.(1)若Q (1,0),求切线QA ,QB 的方程;(2)求四边形QAMB 面积的最小值;(3)若|AB |=423,求直线MQ 的方程. 解析 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x =my +1,则圆心M 到切线的距离为1,∴|2m +1|m 2+1=1,∴m =-43或0,∴QA ,QB 的方程分别为3x +4y -3=0和x =1.(2)∵MA ⊥AQ ,∴S 四边形MAQB =|MA |·|QA |=|QA |=|MQ |2-|MA |2=|MQ |2-1≥|MO |2-1= 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ,则MP ⊥AB ,MB ⊥BQ ,∴|MP |= 1-⎝⎛⎭⎫2232=13. 在Rt △MBQ 中,|MB |2=|MP ||MQ |,即1=13|MQ |,∴|MQ |=3,∴x 2+(y -2)2=9.设Q (x,0),则x 2+22=9,∴x =±5,∴Q (±5,0),∴MQ 的方程为2x +5y -25=0或2x -5y +25=0.。

直线和圆的位置关系练习题附答案

直线和圆的位置关系练习题附答案

直线和圆的位置关系练习题(附答案问题1:已知直线方程为2x+3y-6=0,圆心坐标为(1,-2),半径为3,求直线和圆的位置关系。

解:首先,我们可以将直线方程转换为一般方程的形式:2x+3y-6=0,即3y=-2x+6,最后得到y=(-2/3)x+2。

接下来,我们可以计算直线与圆心的距离,使用点到直线的距离公式:d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中A、B、C分别代表直线方程的系数,而(x0, y0)是圆心的坐标。

代入直线的方程,我们得到:d = |2(1) + 3(-2) - 6| / √(2^2 + 3^2)= |-1| / √(4 + 9)= 1 / √13= √13 / 13根据圆的半径和直线与圆心的距离,我们可以得出以下结论:1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径,即√13 / 13 > 3,则直线与圆没有交点,且直线与圆外部没有公共点。

2.如果直线与圆心的距离等于圆的半径,即√13 / 13 = 3,则直线与圆相切于一个点。

3.如果直线与圆心的距离小于圆的半径,即√13 / 13 < 3,则直线与圆有两个交点,且直线与圆内部有两个公共点。

综上所述,直线2x+3y-6=0和圆心坐标为(1,-2),半径为3的圆的位置关系为:直线与圆有两个交点,且直线与圆内部有两个公共点。

问题2:已知直线方程为x-2y+3=0,圆心坐标为(2,1),半径为2,求直线和圆的位置关系。

解:将直线方程转换为一般方程的形式:x-2y+3=0。

计算直线与圆心的距离:d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)代入直线的方程,我们得到:d = |1(2) + (-2)(1) + 3| / √(1^2 + (-2)^2)= |2 - 2 + 3| / √(1 + 4)= |3| / √5= 3 / √5根据圆的半径和直线与圆心的距离,我们可以得出以下结论:1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径,即 3 / √5 > 2,则直线与圆没有交点,且直线与圆外部没有公共点。

(完整版)直线和圆的位置关系练习题(带答案)

(完整版)直线和圆的位置关系练习题(带答案)

11.O O 的两条弦 AB 、CD 相交于点 P ,已知 AP=2cm , BP=6cm , CP : PD =1 :3,贝U DP= ________________________________________________________________________________12. AB 是O O 的直径,弦CD 丄AB ,垂足为E , P 是BA 的延长线上的点,FC=13,且 PA : AE : EB = 2 : 4: 1,贝U CD = _______ 13.从圆外一点 P 引圆的切线 PA ,点A 为切点,割线 PDB 交O O 于点D 、B ,已知PA=12 , PD=8,则S ABP : S DAP __________________ .直线和圆的位置关系练习题姓名: ______________ 座号: ________ 成绩: _______________ 、选择题:(每小题5分,共50分,每题只有一个正确答案 ) 班别: 1已知O O 的半径为10cm ,如果一条直线和圆心 O 的距离为10cm ,那么这条直 线和这个圆的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2.如右图,A 、B 是O O 上的两点,AC 是O O 的切线, / B=70°,则/ BAC 等于( )A. 70 °B.35 °C.20 °D. 10 °3 .如图,PA 切O O 于A , PB 切O O 于B , OP 交O O 于C , F 列结论中,错误的是( )4.如图,已知OO O 的半径为( A 5'、3 A. 3 O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于 ) r 5 3B. 6 P , PC=5,贝UC. 10D. 5 5. 已知AB 是O O 的直径,弦 6. A 、 8. AD 、BC 相交于点P ,那么CD : AB 等于/ BPD 的( A.正弦 B.余弦 B C 是O O 上三点,AB 的度数是50° / OBC=40,则/ OAC 等于( A. 15 B.25 ° C.30 C.正切 D.余切 D. 40 内心与外心重合的三角形是( A.等边三角形 B. C.不等边三角形 D. ) 底与腰不相等的等腰三角形 形状不确定的三角形 AD 、AE 和BC 分别切O O 于D 、E 、F ,如果AD =20,则△ ABC 的周长为 1 B. 30 C. 40 D. 35 2二、填空题:(每小题5分,共30分)9. A. 20 连结PC ,交O O 于F ,如果PF=7,14.0 O 的直径 AB=10cm , C 是O O 上的一点,点 D 平分 BC , DE=2cm ,贝V AC= _______17. 如图,MN 为O O 的切线,A 为切点,过点A 作AP 丄MN ,交O O 的弦BC 于点P.若PA=2cm , PB=5cm , PC=3cm ,求O O 的直径.18. 如图,AB 为O O 的直径,BC 切O O 于B , AC 交O O 于P , CE=BE , E 在BC 上.求证:PE 是O O 的 切线.15.如图,AB 是O O 的直径,/ E=25 °16.点A 、B 、C 、D 在同一圆上,AD 、BC 延长线相交于点 Q , AB 、DC 延长线相交于点 P,若/ A=50° / P=35°则/ Q=共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题:(共7小题,19. AB、CD是两条平行弦,BE//AC,交CD于E,过A点的切线交DC的延长线于P, 求证:AC2=PC • CE.22.已知ABC内接于O O ,Z A的平分线交O O于D , CD的延长线交过B点的切线于E.求证:CD2 DEBC2 CEODC20.点M、N分别为A B、C D的中点,求证:PEF是等腰三角形.21. ABCD是圆内接四边形,过点求证:BE • AD=BC • CD .C作DB的平行线交AB的延长线于E点,P为圆外一点,DCA B23.如图,O O i 与O O 2交于A 、B 两点,过A 作O O 2的切线交O O 1于C ,直线CB 交O O 2于D ,直线DA 交。

(完整版)直线与圆练习题(带答案解析)

(完整版)直线与圆练习题(带答案解析)

..直线方程、直线与圆练习1.如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行,那么a 等 A .1 B .-1 C .2 D .23【答案】B 【解析】试题分析:两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩,故选择B考点:两条直线位置关系2. 已知点A (1,1),B (3,3),则线段AB 的垂直平分线的方程是 A .4y x =-+ B .y x = C .4y x =+ D .y x =- 【答案】A 【解析】试题分析:由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2,且31131AB k -==-,所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1,所以直线方程为:()244y x y x -=--⇒=-+,故选择A考点:求直线方程3.如图,定圆半径为a ,圆心为(,)b c ,则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D 【解析】试题分析:由图形可知0b a c >>>,由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点:圆的方程及直线的交点4.若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-,则直线y kx b =+必定经过点 A .(1,2)- B .(1,2) C .(1,2)- D .(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页,总48页试题分析:由中点坐标公式可得2k b +=-,所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+,令10,201,2x y x y -=+=∴==-,定点(1,2)-考点:1.中点坐标公式;2.直线方程5.过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为( ) A .012=-+y x B .052=-+y x C .052=-+y x D .072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析:设直线方程:02=+-c y x ,将点(1,3)P -代入方程,06-1-=+c ,解得7=c ,所以方程是072=+-y x ,故选D . 考点:直线方程 6.设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数,02θπ≤<)上任意一点,则y x 的取值范围是()A .3,3⎡⎤-⎣⎦B .(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C .33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D .33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析:曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数,02θπ≤<)的普通方程为:()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点,则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率, 如图:33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选C .考点:1.直线与圆的位置关系;2.直线的斜率;3.圆的参数方程.7.设点(1,0)A ,(2,1)B ,如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点,那么22a b +..(A )最小值为15 (B )最小值为55 (C )最大值为15 (D )最大值为55【答案】A【解析】试题分析:直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点,则点A(1,0)B(2,1)应分布在直线ax+by-1=0两侧,将(1,0)与(2,1)代入,则(a-1)(2a+b-1)≤0,以a 为横坐标,b 为纵坐标画出区域如下图:则原点到区域内点的最近距离为OA ,即原点到直线2a+b-1=0的距离,OA=55,22a b +表示原点到区域内点的距离的平方,∴22a b +的最小值为15,故选A.考点:线性规划.8.点()11-,到直线10x y -+=的距离是( ). A .21 B .23 C .22D .223【答案】D【解析】试题分析:根据点到直线的距离公式,()221(1)132211d --+==+-,故选D 。

27.4 直线与圆的位置关系(作业)(解析版)

27.4 直线与圆的位置关系(作业)(解析版)

27.4 直线与圆的位置关系(作业)一、单选题1.(2020·上海市建平中学西校九年级月考)下列命题中真命题是()A.平分弦的半径垂直于弦B.垂直平分弦的直线必经过圆心C.相等的圆心角所对的弦相等D.经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据垂径定理,圆心角、弧、弦的关系定理,切线的判定定理判断即可.【详解】A.平分弦(不是直径)的半径垂直于弦,本选项说法是假命题;B.垂直平分弦的直线必经过圆心,本选项说法是真命题;C.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,本选项说法是假命题;D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,本选项说法是假命题;故选:B.【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断,熟练掌握垂径定理,圆心角、弦、弧的关系定理,切线的判定定理等知识是解决本题的关键.2.(2020·上海大学附属学校九年级三模)下列说法中,正确的是()A.垂直于半径的直线是圆的切线;B.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线;C.经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线;D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线.【答案】B【分析】根据切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,逐项分析即可.【详解】由切线的判定定理得:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,得出只有答案B符合,故选:B.【点睛】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,属于基础性题目,难度不大.3.(2020·上海九年级一模)已知在矩形ABCD中,AB=5,对角线AC=13.⊙C的半径长为12,下列说法正确的是( )A.⊙C与直线AB相交B.⊙C与直线AD相切C.点A在⊙C上D.点D在⊙C内【答案】D【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可.【详解】解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=13,AB=5,∴BC=12,∵⊙C的半径长为12,∴⊙C与直线AB相切,故A选项不正确,∵CD=AB=5<12,∴⊙C与直线AD相交,故B选项不正确,∵AC=13>12,∴点A在⊙C外,故C选项不正确,∵CD=5<12,∴点D在⊙C内,故D选项正确,故选:D.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键.4.(2020·上海九年级一模)下列四个选项中的表述,一定正确的是()A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析,从而得到答案.【详解】由切线的判定定理可知:经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线,故A,B,D选项不正确,C选项正确,故选:C.【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定,熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.5.(2020·上海九年级一模)下列四个选项中的表述,一定正确的是()A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线;B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线;C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;D.经过一条弦的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【答案】C【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】A选项中圆的切线不是经过半径上任一点,而是经过半径的非圆心一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故该选项错误;B选项中,必须经过半径的非圆心的一端并且垂直于这条半径的直线,就是这个圆的一条切线.故该选项错误;C选项中经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故该选项正确;D选项中,不是经过任一条弦的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查切线的意义和性质,掌握切线的性质是解题的关键.6.(2020·上海九年级专题练习)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,AB=4,BC=6,点O是边BC上一点,以O为圆心,OC为半径的⊙O,与边AD只有一个公共点,则OC的取值范围是( )A.4<OC≤133B.4≤OC≤133C.4<OC143£D.4≤OC143£【答案】B【分析】作DE⊥BC于E,当⊙O与边AD相切时,圆心O与E重合,即OC=4;当OA=OC时,⊙O与AD交于点A,设OA=OC=x,则OB=6﹣x,在Rt△ABO中,由勾股定理得出方程,解方程得出OC=133;即可得出结论.【详解】作DE⊥BC于E,如图所示:则DE=AB=4,BE=AD=2,∴CE=4=DE,当⊙O与边AD相切时,切点为D,圆心O与E重合,即OC=4;当OA=OC时,⊙O与AD交于点A,设OA=OC=x,则OB=6﹣x,在Rt△ABO中,由勾股定理得:42+(6﹣x)2=x2,解得:x=133;∴以O为圆心,OC为半径的⊙O,与边AD只有一个公共点,则OC的取值范围是4≤x≤133;故选B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握直角梯形的性质,分情况讨论是解题的关键.7.(2020·上海九年级专题练习)在直角坐标平面内,已知点M(4,3),以M 为圆心,r 为半径的圆与x 轴相交,与y 轴相离,那么r 的取值范围为( )A .0r 5<<B .3r 5<<C .4r 5<<D .3r 4<<【答案】D【分析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离,再根据直线和圆的位置关系得出即可.【详解】解:∵点M 的坐标是(4,3),∴点M 到x 轴的距离是3,到y 轴的距离是4,∵点M (4,3),以M 为圆心,r 为半径的圆与x 轴相交,与y 轴相离,∴r 的取值范围是3<r <4,故选:D .【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系,能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键.8.(2020·上海九年级专题练习)已知⊙O 1与⊙O 2内切于点A ,⊙O 1的半径等于5,O 1 O 2=3,那么O 2A 的长等于( )A .2B .3C .8D .2或8【答案】D【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解.【详解】根据题意可知分两种情况讨论:①O 1A >O 2A ,∵O 1A =5,O 1 O 2=3,∴O 2A= O 1A-O 1 O 2=2①O 2A >O 1A ,∵O 1A =5,O 1 O 2=3,∴O 2A= O 1A+O 1 O 2=8故选D.【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系,解题的关键是根据题意分情况讨论.9.(2019·上海江湾初级中学九年级三模)如图,O e 的半径为4,点A ,B 在O e 上,点P 在O e 内,3sin APB 5Ð=,AB PB ^,如果OP OA ^,那么OP 的长为( )A .53B .3C .95D .43【答案】D【分析】如图,连接OB ,作BM OP ^交OP 的延长线于M ,作AN MB ^交MB 的延长线于N.则四边形AOMN 是矩形,推出A 、O 、P 、B 四点共圆,根据圆周角定理得到BOP BAP ÐÐ=,根据三角函数的定义设BM 4k =,OM 3k =,根据勾股定理得到4k (5=负根已经舍弃),根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】解:如图,连接OB ,作BM OP ^交OP 的延长线于M ,作AN MB ^交MB 的延长线于N.则四边形AOMN 是矩形,AOP ABP 90ÐÐ==o Q ,A \、O 、P 、B 四点共圆,BOP BAP ÐÐ\=,3sin APB 5Q Ð=,4tan BAP 3Ð\=,4BM tan BOM tan BAP 3OM ÐÐ===,设BM 4k =,OM 3k =,在Rt OMB V 中,222(4k)(3k)4+=,解得4k (5=负根已经舍弃),16BM 5\=,12OM 5=,4BN MN BM 5=-=,MBP BPM 90o Q ÐÐ+=,MBP ABN 90ÐÐ+=o ,BPM ABN ÐÐ\=,BMP ANB 90ÐÐ==o Q ,BMP \V ∽ANB V ,PB PM AB BN\=,4PM 435\=,16PM 15\=,4OP OM PM 3\=-=.故选D .【点睛】本题考查点与圆的位置关系,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形,特殊四边形解决问题.二、填空题10.(2020·上海市建平中学西校九年级月考)在Rt ABC V 中,∠C =90°,AC =BC ,若以点C 为圆心,以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切,那么BC 的长等于_____.【答案】【分析】如图(见解析),先根据圆的切线的性质可得CD AB ^,再根据等腰直角三角形的判定与性质可得45B Ð=°,然后在Rt BCD V 中,根据等腰直角三角形的判定与性质即可得.【详解】如图,设圆与斜边AB 的切点为点D ,连接CD ,则2CD cm=由圆的切线的性质得:CD AB^90,C AC BCÐ=°=Q Rt ABC \V 是等腰直角三角形,45B Ð=°Rt BCD \V 是等腰直角三角形2,CD BD cm BC \====故答案为:.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质,掌握理解圆的切线的性质是解题关键.11.(2020·上海九年级一模)两圆的半径之比为3:1,当它们外切时,圆心距为4,那么当它们内切时,圆心距为__________.【答案】2【分析】只需根据两圆的半径比以及两圆外切时,圆心距等于两圆半径之和,列方程求得两圆的半径;再根据两圆内切时,圆心距等于两圆半径之差求解.【详解】设大圆的半径为R,小圆的半径为r,则有r:R=1:3;又R+r=4,解,得R=3,r=1,∴当它们内切时,圆心距=3−1=2.故答案为:2.【点睛】此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系.解题的关键是正确的求出两个半径.12.(2020·上海九年级专题练习)已知在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=3,BC=4,⊙C与斜边AB相切,那么⊙C的半径为______.【答案】12 5【分析】首先根据勾股定理求出AB,然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB,CD即为⊙C的半径,然后根据三角形面积列出等式,即可解得CD.【详解】设切点为D,连接CD,如图所示∵∠C=90º,AC=3,BC=4,∴AB5 ===又∵⊙C与斜边AB相切,∴CD⊥AB,CD即为⊙C的半径∴1122ABCS BC AC AB CD =×=×△∴125 CD=故答案为12 5 .【点睛】此题主要考查圆相切的性质以及勾股定理的运用,熟练掌握,即可解题.13.(2019·上海九年级其他模拟)在△ABC中,AB = AC = 5,tanB =43. 若⊙O的半径为,且⊙O经过点B与C,那么线段OA的长等于________.【答案】3或5【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形,且∠A为顶角,根据tanB的值可以得出BC=8,经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上,然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论.【详解】解:分两种情况考虑:(i)如图1所示,∵AB=AC,OB=OC,∴AO垂直平分BC,∴OA⊥BC,D为BC的中点,在Rt△ABD中,AB=5,tan∠ABC=43=ADBD,设AD=4x,BD=3x,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=52,解得x=1,∴BD=3,AD=4,在Rt△BDO中,OD1=,BD=3,则AO=AD+OD=4+1=5;(ii)如图2所示,AO=AD−OD=4−1=3;综合上述,OA的长为3或5.故答案为:3或5.【点睛】此题考查了垂径定理,勾股定理,等腰三角形的性质,以及直角三角形的性质,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.三、解答题14.(2020·上海九年级二模)如图,已知AB、AC是⊙O的两条弦,且AO平分∠BAC.点M、N分别在弦AB、AC上,满足AM=CN.(1)求证:AB=AC;(2)联结OM 、ON 、MN ,求证:MN OM AB OA=.【分析】(1)过点O 作OD ⊥AB 于点D ,OE ⊥AC 于点E ,利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案;(2)联结OB ,OM ,ON ,MN ,首先证明BOM AON @V V ,然后再证明NOM BOA V :V ,根据相似三角形的性质即可得出答案.【详解】证明:(1)过点O 作OD ⊥AB 于点D ,OE ⊥AC 于点E ,如图所示:∵AO 平分∠BAC .∴OD =OE .222222,AD AO OD AE AO OE =-=-Q ,AD AE \=.,OD AB OE AC ^^Q ,2,2AB AD AC AE \==,∴AB =AC ;(2)联结OB ,OM ,ON ,MN ,如图所示,∵AM=CN,AB=AC∴BM=AN.∵OA=OB,∴∠B=∠BAO.∵∠BAO=∠OAN,∴∠B=∠OAN,∴△BOM≌△AON(SAS),∴∠BOM=∠AON,OM=ON,∴∠AOB=∠MON,∴△NOM∽△BOA,∴MN OM AB OA=.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质及圆的有关性质,熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

直线和圆的位置关系练习题班别:____________ 姓名:_____________ 座号:_____ 成绩:_____________一、选择题:(每小题5分,共50分,每题只有一个正确答案)1.已知⊙O 的半径为10cm ,如果一条直线和圆心O 的距离为10cm ,那么这条直 线和这个圆的位置关系为( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离 2.如右图,A 、B 是⊙O 上的两点,AC 是⊙O 的切线, ∠B=70°,则∠BAC 等于( ) A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3.如图,PA 切⊙O 于A ,PB 切⊙O 于B ,OP 交⊙O 于C , 下列结论中,错误的是( ) A. ∠1=∠2 B. PA=PBC. AB ⊥OPD. 2PA PC ·PO4.如图,已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ,PC=5,则⊙O 的半径为( )A.335 B.635 C. 10 D. 55.已知AB 是⊙O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,那么CD ︰AB 等于∠BPD 的( ) A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6.A 、B 、C 是⊙O 上三点,AB ⌒的度数是50°,∠OBC=40°,则∠OAC 等于( )A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°7.AB 为⊙O 的一条固定直径,它把⊙O 分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C ,作弦CD⊥AB ,∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ,当C 点在半圆(不包括A 、B 两点)上移动时,点P ( )A. 到CD 的距离不变B. 位置不变C. 等分DB ⌒D. 随C 点的移动而移动第5题图 第6题图 第7题图BB3题图)4题图)8.内心与外心重合的三角形是( )A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形C. 不等边三角形D. 形状不确定的三角形9.AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ,如果AD =20,则△ABC 的周长为( )A. 20B. 30C. 40D. 213510.在⊙O 中,直径AB 、CD 互相垂直,BE 切⊙O 于B ,且BE=BC ,CE 交AB 于F ,交⊙O 于M ,连结MO 并延长,交⊙O 于N ,则下列结论中,正确的是( )A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥MN第9题图 第10题图 第11题图二、填空题:(每小题5分,共30分)11.⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P ,已知AP=2cm ,BP=6cm ,CP ︰PD =1︰3,则DP=___________.12.AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,P 是BA 的延长线上的点,连结PC ,交⊙O 于F ,如果PF=7,FC=13,且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1,则CD =_________.13.从圆外一点P 引圆的切线PA ,点A 为切点,割线PDB 交⊙O 于点D 、B ,已知PA=12,PD=8,则=∆∆DAP ABP S S :__________.14.⊙O 的直径AB=10cm ,C 是⊙O 上的一点,点D 平分BC ⌒,DE=2cm ,则AC=_____. 第13题图 第14题图 第15题图 15.如图,AB 是⊙O 的直径,∠E=25°,∠DBC=50°,则∠CBE=________. 16.点A 、B 、C 、D 在同一圆上,AD 、BC 延长线相交于点Q ,AB 、DC 延长线相交于点P ,若∠A=50°,∠P =35°,则∠Q=________.APDBABCD E OBDACEFABCDE OABCDQPDCBAP三、解答题:(共7小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图,MN 为⊙O 的切线,A 为切点,过点A 作AP ⊥MN ,交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm ,PB=5cm ,PC=3cm ,求⊙O 的直径.18.如图,AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于B ,AC 交⊙O 于P ,CE=BE ,E 在BC 上. 求证:PE 是⊙O 的切线.19.AB 、CD 是两条平行弦,BE//AC ,交CD 于E ,过A 点的切线交DC 的延长线于P , 求证:AC 2=PC ·CE .20.点P 为圆外一点,M 、N 分别为AB ⌒、CD ⌒的中点,求证:PEF 是等腰三角形.21.ABCD 是圆内接四边形,过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点,求证:BE ·AD=BC ·CD .22.已知∆ABC 内接于⊙O ,∠A 的平分线交⊙O 于D ,CD 的延长线交过B 点的切线于E .求证:CE DE BCCD 22=.23.如图,⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点,过A 作⊙O 2的切线交⊙O 1于C ,直线CB 交⊙O 2于D ,直线DA 交⊙O 1于E ,求证:CD 2 = CE 2+DA ·DE .E A B DC参考答案基础达标验收卷 一、选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BCBDDAABCC二、填空题:1. 相交或相切2. 13. 54. 35°5.251+ 6. 66 7. 2 8. 10 9. 3 10. 6三、解答题:1. 解:如右图,延长AP 交⊙O 于点D . 由相交弦定理,知PCPB PD PA ··=. ∵P A =2cm ,PB =5cm ,PC =3cm , ∴2PD =5×3. ∴PD =7.5. ∴AD =PD +P A =7.5+2=9.5. ∵MN 切⊙O 于点A ,AP ⊥MN , ∴AD 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证明:如图,连结OP 、BP .∵AB 是⊙O 的直径,∴∠APB =90°.又∵CE =BE ,∴EP =EB . ∴∠3=∠1. ∵OP =OB ,∴∠4=∠2. ∵BC 切⊙O 于点B ,∴∠1+∠2=90°.∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径,∴PE 是⊙O 的切线.3.(1)△QCP 是等边三角形.证明:如图2,连结OQ ,则CQ ⊥OQ .∵PQ =PO ,∠QPC =60°, ∴∠POQ =∠PQO =60°. ∴∠C =︒=︒-︒603090.∴∠CQP =∠C =∠QPC =60°. ∴△QCP 是等边三角形. (2)等腰直角三角形. (3)等腰三角形. 4. 解:(1)PC 切⊙O 于点C ,∴∠BAC =∠PCB =30°. 又AB 为⊙O 的直径,∴∠BCA =90°. ∴∠CBA =90°.(2)∵PCB PCB CBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060,∴PB =BC .又362121=⨯==AB BC ,∴9=+=AB PB PA . 5. 解:(1)连结OC ,证∠OCP =90°即可. (2)∵∠B =30°,∴∠A =∠BGF =60°.O P M N AC BD O A B CP E 1 2 34∴∠BCP =∠BGF =60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C ,∴PD ·PE =48)34(22==PC . 又∵36=BC ,∴12=AB ,33=FD ,3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD 、PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .(3)当G 为BC 中点时,OD ⊥BC ,OG ∥AC 或∠BOG =∠BAC ……时,结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立,只要证明△BFC ∽△BGO 即可,凡是能使△BFC ∽△BGO 的条件都可以. 能力提高练习1. CD 是⊙O 的切线;BA DB CD ·2;︒=∠90ACB ;AB =2BC ;BD =BC 等.2. (1)①∠CAE =∠B ,②AB ⊥EF ,③∠BAC +∠CAE =90°,④∠C =∠F AB ,⑤∠EAB =∠F AB .(2)证明:连结AO 并延长交⊙O 于H ,连结HC ,则∠H =∠B . ∵AH 是直径,∴∠ACH =90°.∵∠B =∠CAE ,∴∠CAE +∠HAC =90°. ∴EF ⊥HA .又∵OA 是⊙O 的半径,∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的平分线,其交点就是小亭的中心位置.5. 略.6.(1)假设锅沿所形成的圆的圆心为O ,连结OA 、OB .∵MA 、MB 与⊙O 相切,∴∠OAM =∠OBM =90°.又∠M =90°,OA =OB ,∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA =MA .量得MA 的长,再乘以2,就是锅的直径.(2)如右图,MCD 是圆的割线,用直尺量得MC 、CD 的长,可求得MA 的长.∵MA 是切线,∴MD MC MA ·2=,可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. (1)∵BD 是切线,DA 是割线,BD =6,AD =10,由切割线定理, 得 DA DE DB ·2=.∴6.310622===DA DB DE .(2)设是上半圆的中点,当E 在BM 上时,F 在直线AB 上;E 在AM 上时,F 在BA 的延长线上;当E 在下半圆时,F 在AB 的延长线上,连结BE . ∵AB 是直径,AC 、BD 是切线,∠CEF =90°, ∴∠CAE =∠FBE ,∠DBE =∠BAE ,∠CEA =∠FEB . ∴Rt △DBE ∽Rt △BAE ,Rt △CAE ∽Rt △FBE . ∴AE BE BA DB =,AE BE AC BF =. 根据AC =AB ,得BD =BF .。

相关文档
最新文档