2012-2013学年下期第一次月考试卷高二数学(理科)

2012-2013学年下期第一次月考试卷高二数学（理科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（ ）A ．'0()f x B ．'02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．一物体的运动方程为s ＝2t sin t ＋t ，则它的速度方程 s ′为( )A ．v ＝2sin t ＋2t cos t ＋1B ．v ＝2sin t ＋2t cos tC ．v ＝2sin tD ．v ＝2sin t ＋2cos t ＋13．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 4.设函数f （x ）={ EMBED Equation.DSMT4 |2x+lnx 则 （ ） A ．x=为f(x)的极大值点 B ．x=为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 5．函数的极大值是A. －B. 1C.D.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．57．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x ) ＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)8．积分dxx421等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 9．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）10．已知三次函数f (x )＝13|x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长 为（ ）．Ａ． Ｂ． Ｃ． D ． 12.设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－ f (x )g ′(x )<0，则当 a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．) 13.曲线在点处的切线方程为___________________xyO图xyOAxyOBxy OC yODx14.若函数f (x )＝ax 2－1x |的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是___.15．已知二次函数的图象如图所示,则它与x 轴所围成封 闭图形的面积为_______16.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则 a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)求函数的极大值和极小值。

18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12|x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求证：当x >1时，12|x 2＋ln x < 23|x 3.y xO第321．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92|x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ，(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋a x 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23|上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞|上递减，求a 的值；(2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数 a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞|，求 tan θ 的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．参考答案1.[答案] C2.[答案] A[解析] 因为变速运动在t 0的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )在t 0的导数，S ′＝2sin t＋2t cos t ＋1，故选A. 3.[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1， 将(0，b )代入切线方程得b ＝1. 4.【答案】D.5.【解析】D 略6.[答案] D[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax ＋3， ∵f(x)在x ＝－3时取得极值，∴x ＝－3是方程3x2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D. 7.[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，即F ′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0 ∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D. 8.[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x |，所以 ⎠⎛24|1x|dx ＝ln x |42|＝ln4－ln2＝ln2.9.[答案] D[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.10.[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m－7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D. 11. C 12.[答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )g (x )|则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )|<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数 ∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )|>f (b )g (b )|∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C. 13. 2x-y+1=0 14.[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x |′＝a ＋1x2|， 由题意得，a ＋1x 2|≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x 2|，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15. 4/3 16.[答案] －217.略，18.略19.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x |得x 1＝0，x 2＝2. 由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02|(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02|(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02|(2x －x 2)d x －⎠⎛02|(2x 2－4x )d x . 因为⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3|′＝2x －x 2，⎝⎛⎭⎫23x 3－2x 2|′＝2x 2－4x ， 所以S ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3|⎪⎪⎪20|－⎝⎛⎭⎫23x 3－2x 2|⎪⎪⎪20|＝4. 20.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x |，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23|x 3－12|x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x|，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x |>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16|>0，∴当x >1时，12|x 2＋ln x <23|x 3.21.[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34|，即m 的最大值为－34|.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52|－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52|.22.[解析] (1)依题意f ′⎝⎛⎭⎫23|＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝⎛⎭⎫23|2＋2a ·23|＝0，即a ＝1. (2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x －a 3|2＋a23|. 由a ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞|，得a3|∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞|. ①当a 3|∈⎝⎛⎦⎤12，1|，即a ∈⎝⎛⎦⎤32，3|时，f ′(x )max ＝a 23|， f (x )min ＝f ′(0)＝0. 此时0≤tan θ≤a 23|.②当a3|∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0， 显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0| ∴m >－3且m ≠1。