线性代数PPT课件3.3 向量组的线性相关性
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线性代数第三章第二节向量组的线性相关性-PPT精选文档
1 4 1 4 X 1 3 于是 C BX 1 3 1 2 3 0 3 0 3
即得
a a a , 4 1 2 a 4 a 3 a 3 a 5 1 2 3
重要结论
此例说明：最大无关组 不唯一。
向量组 a ,a , , a 的秩也记作 1 2 m
R ( a , a , , a ) 1 2 m
性质 1 向量组线性无关的充要 条件是它 所向量的个数等于它的 秩。
性质 2 设矩阵 A的某个 r阶子式 D是 A的最 高阶非零子式 ,则 D所在的 r个行向量及 r个 列向量分别是矩阵 A的行向量组和列向量 组的一个最大无关组 .
性质 3 矩阵 A 的秩等于它的行向量组 的秩 (行秩 ) ，也等于它的列向量组 的秩 (列秩 ).
性 4 质 向量 A : 组 , , , 是向 T 的 量组 1 2 r 一 个 最, 大 则无 向 A 向 关 量量 组 T 等 组 .价
n n 例1 全体 n 维向量构成的向量组记 作 R ，求 R 的
2 2 则| A| 0,因 而 行 向 量 A 是 组线 性 相 关 .但 的 C3 C3
9个 二 阶 子 式 都 不 ,由 为 于 零 包含非零子式的 向量线性无关， ,行 因 向 此 量 组 2,3或 1,2或
3,1都 是 线 性 无 关 ,从 的 而 都A 是 的最大无关 . 组
设 B a1,a2,a3 ,C a4,a5 ,则 A B C. 要 满足 方程 C 组 BX , 解这 个矩 阵方 ,可对 程组增
用 a1,a2,a3线性 表示 a4,a5，只需 找到 系数 X 矩阵
B C做行 变换 化为 行最 广矩 阵 矩阵 简形 (*).从
即得
a a a , 4 1 2 a 4 a 3 a 3 a 5 1 2 3
重要结论
此例说明：最大无关组 不唯一。
向量组 a ,a , , a 的秩也记作 1 2 m
R ( a , a , , a ) 1 2 m
性质 1 向量组线性无关的充要 条件是它 所向量的个数等于它的 秩。
性质 2 设矩阵 A的某个 r阶子式 D是 A的最 高阶非零子式 ,则 D所在的 r个行向量及 r个 列向量分别是矩阵 A的行向量组和列向量 组的一个最大无关组 .
性质 3 矩阵 A 的秩等于它的行向量组 的秩 (行秩 ) ，也等于它的列向量组 的秩 (列秩 ).
性 4 质 向量 A : 组 , , , 是向 T 的 量组 1 2 r 一 个 最, 大 则无 向 A 向 关 量量 组 T 等 组 .价
n n 例1 全体 n 维向量构成的向量组记 作 R ，求 R 的
2 2 则| A| 0,因 而 行 向 量 A 是 组线 性 相 关 .但 的 C3 C3
9个 二 阶 子 式 都 不 ,由 为 于 零 包含非零子式的 向量线性无关， ,行 因 向 此 量 组 2,3或 1,2或
3,1都 是 线 性 无 关 ,从 的 而 都A 是 的最大无关 . 组
设 B a1,a2,a3 ,C a4,a5 ,则 A B C. 要 满足 方程 C 组 BX , 解这 个矩 阵方 ,可对 程组增
用 a1,a2,a3线性 表示 a4,a5，只需 找到 系数 X 矩阵
B C做行 变换 化为 行最 广矩 阵 矩阵 简形 (*).从
32向量 3-3 向量组的线性相关性 课件-PPT课件
m 个 n 维列向量所组成的向 组 , , , , 1 2 m
A ( ,2 , ,m ) 1
1 m个n维行向量所组成 T 2 T T T 的向量组 1 , 2 ,m , B 构成一个 m n矩阵 T m
n
T
叫做 n 维向量空间．
x b ( , , , ) x a x a x x x x 2 2 n n 1 2 n a 1 1
n
T
1维超平面． 叫做 n 维向量空间 R 中的n
线性代数课件 hty
8
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角
向量 b 能 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
r ax by cz d ( x , y , z ) ( x , y , z ) ax by cz d
T
P (x ,y ,z )
一 一
对
应
r(x ,y ,z )
T
线性代数课件 hty
7
n维向量没有直观的几何形象． n 3 时，
x , , , R ( , , , ) x x x R x x x 1 2 n 1 2 n
a x a x a x b 1 1 2 2 n n
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
线性代数课件 hty 13
A : , , , ，对于任 定义１ 给定向量组 1 2 m 向量 组实数 k ， k ， , k ， 1 2 m k k k 1 1 2 2 m m
高中数学《向量组的线性相关性》课件
高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。
向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。
二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。
三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。
2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。
• 当 r =m 时，向量组线性无关。
3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。
* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。
四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。
线性代数课件向量组的线性相关性
基变换公式推导及应用
• 基变换公式推导：设α1,α2,...,αn与β1,β2,...,βn是n维线性空间V的两组基，则由基的定义可知，存在一组不全为零的数 k1,k2,...,kn，使得
基变换公式推导及应用
β1=k1α1+k2α2+...+knαn β2=l1α1+l2α2+...+lnαn
基变换公式推导及应用
• ... • βn=m1α1+m2α2+...+mnαn • 将上述n个等式联立起来，即可得到基变换公式。 • 基变换公式的应用：基变换公式在向量空间的坐标变换、线性
方程组求解、矩阵对角化等问题中有着广泛的应用。通过基变 换公式，我们可以将问题在不同基下进行转化，从而简化问题 的求解过程。
05
线性方程组解的结构与性 质分析
证明过程
首先证明充分性，若 $R(A) < n$，则齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解，即存在不全为零的实数 $k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_nalpha_n = 0$，因此向量组线性相关。然后证明必要性， 若向量组线性相关，则存在不全为零的实数 $k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_nalpha_n = 0$，即齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解， 从而 $R(A) < n$。
求解方法举例
观察法
通过直接观察向量组中的向量是否共线或共 面来判断其线性相关性。例如，对于二维向 量组，若两个向量共线，则它们线性相关； 对于三维向量组，若三个向量共量组的秩来判断其线性相关性。 具体步骤包括构造矩阵、进行初等行变换、 计算秩等。例如，对于向量组 $alpha_1 = (1, 2, 3), alpha_2 = (4, 5, 6), alpha_3 = (7, 8, 9)$，可以构造矩阵 $A = (alpha_1, alpha_2, alpha_3)$，然后进行初等行变换得到最简形 式，从而计算出 $R(A)$ 并判断向量组的线性
线性代数PPT
n
T
叫做 n 维向量空间．
x ( x1 , x 2 ,, x n ) a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
T
n维向量空间 Rn中的 n 1 维超平面． 叫做
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角
第三章 向量组的线性相关性
• • • •
n维向量及其运算 向量组的线性相关性 向量组的秩 向量空间简介
第三章 向量组的线性相关性
3.1 n维向量及其运算
3.1.1 n维向量的概念
定义1
n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数
组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
P ( x, y, z )
一 一 对 应
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
n n 3时， 维向量没有直观的几何形象．
R x ( x1 , x 2 ,, x n ) x1 , x 2 ,, x n R
b j k1 j 1 k 2 j 2
k11 k12 k 21 k 22 （ b1 , b2 ,, bs ) 1 , 2 ,, m ) （ k m1 k m 2 矩阵K m s ( k ij )称为这一线性表示的系
k1 s k2s k ms 数矩阵 .
v1 0.
例5. 向量组
T
叫做 n 维向量空间．
x ( x1 , x 2 ,, x n ) a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
T
n维向量空间 Rn中的 n 1 维超平面． 叫做
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角
第三章 向量组的线性相关性
• • • •
n维向量及其运算 向量组的线性相关性 向量组的秩 向量空间简介
第三章 向量组的线性相关性
3.1 n维向量及其运算
3.1.1 n维向量的概念
定义1
n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数
组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
P ( x, y, z )
一 一 对 应
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
n n 3时， 维向量没有直观的几何形象．
R x ( x1 , x 2 ,, x n ) x1 , x 2 ,, x n R
b j k1 j 1 k 2 j 2
k11 k12 k 21 k 22 （ b1 , b2 ,, bs ) 1 , 2 ,, m ) （ k m1 k m 2 矩阵K m s ( k ij )称为这一线性表示的系
k1 s k2s k ms 数矩阵 .
v1 0.
例5. 向量组
《线性代数教学PPT》向量的线性相关性
等价,则向量组1, 2, , t与向量组1,2, ,s等ห้องสมุดไป่ตู้. 代
3) 传递性:若向量组1,2 , ,s与向量组1, 2, , t
等价,向量组1, 2 ,
, t与向量组1, 2 ,
,
等价,则
p
数
向量组1,2 ,
,s与向量组1, 2 ,
,
等价.
p
=
=
二、线性相关性
(B) 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 0,1)
线
显然有,1 1 2 3,2 1 3,3 2 3; 性 1 1 3, 2 1 2 , 3 1 2 3
所以这两个向量组等价.
则有
线
Ak1(1 2 A k Ak1 ) 0
从而
性
1 Ak1 0
代
由于 Ak1 0,所以 1 0,把1 0代入(*)式
再左乘Ak2可得 2 Ak1 0,由Ak1 0, 得 2 0 数
类似可证得3 4 k 0 故向量组 , A , , Ak1线性无关.
=
即k1(1 2 )+k2(2 +3 ) k3(3 +1)=0
=
也就是(k1+k3 )1+(k1+k2 )2 (k2 +k3 )3 0
k1+k3 0
由于1,2,3线性无关,故有 k1+k2 0
k2 +k3 0
线
101
性
由于该线性方程组的系数行列式 1 1 0 2 0
是否线性相关.
数
1 20
解
第四章向量组的线性相关性ppt课件
如果使 k11 k2 2 ... km m o 成立的数，
只有 k1 0, k2 0,...,km 0 ， 则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性无关.
注： 判 , , ..., 断 否 线 性 相 关 ， 只 要 1 2 s是 k k ... k 0 令 ， 1 1 2 2 s s k , k , ...,k 求 解 1 2 s， k , , ..., 如 果 全 为 零 ， 则 性 相 关 。 i不 1 2 s线 k , , ..., 如 果 为 零 ，则 性 无 关 。 i全 1 2 s线
101 即B AK ( b ,b ,b ) ( , , ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1
故 因
a m）
, , , , 1 这m 个数不全为0，
12 m 1
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
1 1 2 2
1 a 0 m 1 m 1 m故Biblioteka , , , 线性相关.
第四章向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
定义 对于已给向量组 A: 1 , 2 , ..., m ，如果存在 一组不全为零的数 k1 , k2 , ..., km ，使关系式
k k ... k o 成立， 1 1 2 2 m m
则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性相关；
（上章定理4）：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解
的充分必要条件是 R(A) < n ．
定理4 n 维列向量组 线性相关
只有 k1 0, k2 0,...,km 0 ， 则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性无关.
注： 判 , , ..., 断 否 线 性 相 关 ， 只 要 1 2 s是 k k ... k 0 令 ， 1 1 2 2 s s k , k , ...,k 求 解 1 2 s， k , , ..., 如 果 全 为 零 ， 则 性 相 关 。 i不 1 2 s线 k , , ..., 如 果 为 零 ，则 性 无 关 。 i全 1 2 s线
101 即B AK ( b ,b ,b ) ( , , ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1
故 因
a m）
, , , , 1 这m 个数不全为0，
12 m 1
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
1 1 2 2
1 a 0 m 1 m 1 m故Biblioteka , , , 线性相关.
第四章向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
定义 对于已给向量组 A: 1 , 2 , ..., m ，如果存在 一组不全为零的数 k1 , k2 , ..., km ，使关系式
k k ... k o 成立， 1 1 2 2 m m
则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性相关；
（上章定理4）：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解
的充分必要条件是 R(A) < n ．
定理4 n 维列向量组 线性相关
最新-线性代数-向量组的线性相关性-PPT文档资料
5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2 来自1x2
0 1
2
，即
3
i k 1 1 k 2 2 k i 1 i 1 k i 1 i 1 k m m
即
k 1 1 k 2 2 k i 1 i 1 ( 1 ) i k i 1 i 1 k m m 0
{PAGE}
2
定义 2：
设1 ,2 ,,m是向量组,若其中至少有一个向量可以 由其余向量线性表出，则称此向量组线性相关，否 则称为线性无关。
{PAGE}
3
方程组的向量表示形式
=x11 x22
b1 a11
a12
xm m
b2
§2 向量组的线性相关性
本节主要内容: 向量组的线性相关性 向量组线性相关性的判定
{PAGE}
1
一 向量组线性相关的概念
定义 1：
1)一组同维的列（行）向量组称为向量组。
2）若向量 k11 k22 ks s ， 则称向量 可由向量1 ,2 ,, s线性表示， 其中k1 ,k2 ,,ks是数， k11 k22 ks s称为1 ,2 ,, s的线性组合。
k i 1 k i 1 k i i 1 k i i 1
k m k i m
所以至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示。
高等代数第二版课件§3.3线性相关性
详细描述
线性相关性可以用于研究几何图形中的向量、线性变换和线性子空间等概念。例如，在 解析几何中，线性相关性可以帮助我们分析平面或空间中的直线、平面和曲面之间的关
系。
在线性方程组中的应用
总结词
线性相关性在解决线性方程组问题中起 着关键作用，它可以提供有效的算法和 技巧来求解线性方程组。
VS
详细描述
03
在学习过程中，我们需要注意线性相关与线性无关的区别。线性相关表示向量 之间存在某种依赖关系，而线性无关则表示向量之间相互独立。理解这两种关 系对于深入理解高等代数的其他概念非常重要。
线性无关性的总结
01
线性无关性是高等代数中的另一个重要概念，它描述了向 量之间的独立关系。在本章中，我们学习了线性无关的定 义、性质以及判定方法。线性无关的应用也十分广泛，例 如在向量空间的基底、矩阵的秩等概念中都有涉及。
2
如果向量组中任何一个向量可以由其他向量线性 表示，则该向量组线性相关。
3
如果向量组的秩小于向量的个数，则该向量组线 性相关。
向量线性无关的推论
如果向量组中的部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性相关的向量，则整 个向量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性无关的向量，则整 个向量组不一定线性无关。
04
线性无关性的概念
向量线性无关的定义
01
向量线性无关的定义：如果向量组中的向量个数大 于向量的维数，则该向量组线性无关。
02
线性无关的向量组中任意向量不能由其他向量线性 表示。
03
线性无关的向量组具有唯一性，即如果存在两个线 性无关的向量组，则它们是等价的。
向量线性无关的判定定理
1
线性相关性可以用于研究几何图形中的向量、线性变换和线性子空间等概念。例如，在 解析几何中，线性相关性可以帮助我们分析平面或空间中的直线、平面和曲面之间的关
系。
在线性方程组中的应用
总结词
线性相关性在解决线性方程组问题中起 着关键作用，它可以提供有效的算法和 技巧来求解线性方程组。
VS
详细描述
03
在学习过程中，我们需要注意线性相关与线性无关的区别。线性相关表示向量 之间存在某种依赖关系，而线性无关则表示向量之间相互独立。理解这两种关 系对于深入理解高等代数的其他概念非常重要。
线性无关性的总结
01
线性无关性是高等代数中的另一个重要概念，它描述了向 量之间的独立关系。在本章中，我们学习了线性无关的定 义、性质以及判定方法。线性无关的应用也十分广泛，例 如在向量空间的基底、矩阵的秩等概念中都有涉及。
2
如果向量组中任何一个向量可以由其他向量线性 表示，则该向量组线性相关。
3
如果向量组的秩小于向量的个数，则该向量组线 性相关。
向量线性无关的推论
如果向量组中的部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性相关的向量，则整 个向量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性无关的向量，则整 个向量组不一定线性无关。
04
线性无关性的概念
向量线性无关的定义
01
向量线性无关的定义：如果向量组中的向量个数大 于向量的维数，则该向量组线性无关。
02
线性无关的向量组中任意向量不能由其他向量线性 表示。
03
线性无关的向量组具有唯一性，即如果存在两个线 性无关的向量组，则它们是等价的。
向量线性无关的判定定理
1
向量组的线性相关性ppt课件
第 三 节 向量组的线性相关性
主要内容
向量组等价 向量组的线性相关性 用定义判别线性相关性 线性相关性的判别定理 极大线性无关组 方程组与向量组的关系的进一步研究
一、向量组等价
以下我们总是在一固定的数域 P 上的 n 维
量空向间中进行，不再每次说明了.
1. 线性表
出定义 10
向量 称为向量组 1, 2, …,
定义 13 一向量组1 , 2 , … , s (s
性相关 ，1)即不没线有不全为零的数 k1 , k2 , … ,
ks , 使
k11 + k22 + ... +kss
= 0.
就称为线性无关；或者说，一向量组 1 ,
s 称为线性无关，如2果,由…,
可以推出
k11 + k22 + ... +kss
则方程组所对应的向量组为
1 (2,1,3,1), 2 (4,2,5,4), 3 (2,1,4,1)
因为 3 =31 - 2 ，则方程组的第三个方程是多
余的，去掉它也不影响方程组的解. 事实上，第三个
方程等于第一个方程的 3 倍减去第二个方程，所
以满足第一、第二个方程的解一定满足第三个方程
1, 2, …, s 线性表则在由向量组 ,1,
出,
s
所确定的线性方程组2中, ，…,
所对应的方程可由
其他方程线性表出，这时 所对应的方程在决定方
程组的解的过程中不起作用，因此它是多余的方
程.
例如，设有方程组
42xx112xx2235xx33
1, 4,
2x1 x2 4x3 1
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量
主要内容
向量组等价 向量组的线性相关性 用定义判别线性相关性 线性相关性的判别定理 极大线性无关组 方程组与向量组的关系的进一步研究
一、向量组等价
以下我们总是在一固定的数域 P 上的 n 维
量空向间中进行，不再每次说明了.
1. 线性表
出定义 10
向量 称为向量组 1, 2, …,
定义 13 一向量组1 , 2 , … , s (s
性相关 ，1)即不没线有不全为零的数 k1 , k2 , … ,
ks , 使
k11 + k22 + ... +kss
= 0.
就称为线性无关；或者说，一向量组 1 ,
s 称为线性无关，如2果,由…,
可以推出
k11 + k22 + ... +kss
则方程组所对应的向量组为
1 (2,1,3,1), 2 (4,2,5,4), 3 (2,1,4,1)
因为 3 =31 - 2 ，则方程组的第三个方程是多
余的，去掉它也不影响方程组的解. 事实上，第三个
方程等于第一个方程的 3 倍减去第二个方程，所
以满足第一、第二个方程的解一定满足第三个方程
1, 2, …, s 线性表则在由向量组 ,1,
出,
s
所确定的线性方程组2中, ，…,
所对应的方程可由
其他方程线性表出，这时 所对应的方程在决定方
程组的解的过程中不起作用，因此它是多余的方
程.
例如，设有方程组
42xx112xx2235xx33
1, 4,
2x1 x2 4x3 1
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量
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