最优化第01章线性规划基本
线性规划的基本定理-最优化方法
j 1
j 1
现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
线性规划解的基本定理
定理2：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m个 正分量。
证明：设X=(x1，···xk，0，···，0)T，若k>m，由
z=λx+(1-λ)y
这说明当0 ≤ λ ≤1 时，λx+(1λ)y 表示以x.y为端点的直线段上的所 有点，因而它代表以 x.y为端点的直线 段。
一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则 有如下定义：
如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定 义z=λx+(1-λ)y(0≤λ≤1),z=(z1…zn)T 的点 所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应λ=0， λ=1的点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0<λ<1的点叫做这线段的内点。
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m 若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所 以X是基本解。而已知X是可行解，故X又是基可行 解。
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
B2
B3
70
50 60
A2
60 110 160
[解] 设xij 表示 Ai运往Bj的运量（万块） minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23 S.t. x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≥0, i=1,2、j=1,2,3
2.线性规划问题的几何意义
2.1基本概念 凸集：设k为n维欧氏空间的一点集，任取X,Y∈K,若 连接X,Y的线段仍属于K,则称K为凸集。即任取α ,0<α <1 α X+(1-α )Y∈K 称K为凸集。 顶点（极点）：设K是凸集，X∈K,若X不能用不同的两
点 X(1) ∈K,X2) ∈K 的线性组合表示为 X=α X(1)+(1-α )X(2) (0<α <1) 则称X为极点。
最优化方法-线性规划的基本定理
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所以X是基 本解。而已知X是可行解，故X又是基可行解。
若k<m，由于A的秩为m，比可从A中再挑出m-k个列向 量，与P1,P2,…,Pk ，一起构成一个线性无关极大组，即 为一个基，由此可知X是基可行解。
定义1.7：设集合S是n维欧式空间En中的闭凸 集，d是En中的非零向量。如果对于S的每 个点X，以及一切非负的数λ，都有
X+λd∈S，λ≥0
则称向量d是凸集S的一个方向。如果d1， d2是S的方向，且d1≠αd2， ∀ α>0，则d1， d2是两个不同的方向。
进一步，如果d是凸集S的一个方向，且 不能表示为S的另外两个不同的方向的正组 合，则称d是S的一个极方向。
约定A是行满秩的m行n列矩阵。
2、基、基向量、基变量、基本解、基本可 行解、可行基、最优解、最优基
基：矩阵A中一个m阶非奇异子矩阵 基向量：基的列向量 基变量：基向量对应的变量 基本解：非基变量全为零的解
基本可行解：非基变量为零，基变量都大 于等于零的解
可行基：基可行解对应的基 最优解：基本解中使目标函数最大的解 最优基：最优解对应的基
X=λX（1）+（1-λ）X（2）
上式的分量表达形式为 显然，当j>m时，有
x
j
xj
xj1 xj1x j2
1 0
xj2
,
j
1,
2,
,n
m
再由于X（1），X（2）均是可行点，故可推知 xjiPj b,i 1, 2
两式相减，得
第一章线性规划的基本概念
Pj = (a1 j , a2 j ,⋯, amj ) , j = 1,2,⋯, n
T
三线性规划的标准形式
• LP的标准型： LP的标准型 的标准型： • 1、LP标准型的概念 LP标准型的概念 • （1）什麽是LP的标准型？ 什麽是LP的标准型 的标准型？ • （2）LP标准型的特点 LP标准型的特点 • 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min） 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min）; 约束条件均用等式表示; • 约束条件均用等式表示; • 决策变量限于取非负值; 决策变量限于取非负值; • 右端常数均为非负值 ;
（3）数学表达式: 数学表达式:
有几种形式? 有几种形式? 如何书写? 如何书写?
2、LP问题的标准化 LP问题的标准化 （1）目标函数的标准化 Z’=Z’=-Z
MinZ=CX
MaxZ’=MaxZ’=-CX
目 标 函 数 标 准 化 示 意 图
y’ = -f (x) -3 1 0 -1 2 5 x y 3 y=f (x)
第一步－ 建立平面直角坐标系； 第一步－－建立平面直角坐标系； 第二步－－ －－根据约束条件和非负条件画出 第二步 －－ 根据约束条件和非负条件画出 可行域。 可行域。 第三步－－ 作出目标函数等值线（ －－作出目标函数等值线 第三步 －－ 作出目标函数等值线 （ 至少两 结合目标函数优化要求， 条）， 结合目标函数优化要求，平移目 标函数等值线求出最优解。 标函数等值线求出最优解。
x2
无可行解
⑵ ⑴
x1
做这个题目
• 一个生产家具的公司计划生产两种产品－ 椅子和桌子，其可用资源包括400板英尺的 红木板和450个工时。已知生产每把椅子需 用红木板5板英尺，10个工时，其利润为45 美元，而生产每张桌子需要红木板20板英 尺和15个工时，其利润为80美元，问题是 要确定，在资源约束范围内，公司生产多 少把椅子和多少张桌子，其总利润最大？
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法线性规划与最优化方法（Linear Programming and Optimization Methods）是大学数学中的一门重要知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用，以及常用的最优化方法。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型，利用线性关系来描述问题的约束条件和目标函数，从而找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
1.2 线性规划的基本元素线性规划包括约束条件、目标函数和决策变量三个基本元素。
约束条件描述了问题的限制条件，目标函数描述了问题的优化目标，决策变量表示问题中需要决策的变量。
1.3 线性规划的标准形式线性规划的标准形式可以表示为：```max/min z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，并且x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划的解法与应用2.1 线性规划的解法线性规划有多种解法，常见的有图解法和单纯形法。
图解法适用于二维平面的线性规划问题，通过构建约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
2.2 线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过建立合适的线性规划模型，可以有效地解决这些问题，优化资源的利用，提高生产效率。
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
第1章 线性规划基本性质
1. X1≥0, X2 ≥0 2. 2X1 + 3X2 ≤ 100 3. 4X1 + 2X2 ≤ 120
所有约束条件的的交集为R.
A B R
10 60
现在,问题变为在R内找一点, O 使目标函数值最大.如何找?…
C
20 30 40 50
Ｘ1
§1.2 线性规划的图解法
Ｘ2
（三）目标函数的图形表示 Z = 6X1 + 4X2 将上式改写： X2 ＝－3X1/2 ＋ Z/4 令Z为参量，使其取不同 的值，则得到以－3/2为斜率的 一族平行等值线. 如令: 60, 则经过点(10,0)和(0,15); Z=0, 则经过原点; Z=120,则经过点(20,0)和(0,30);
0.8X1 + X2≥1.6 X1 X2 ≤2 ≤1.4
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
所谓线性规划问题： 就是求一组变量 ( x1 , x2 , , xn ) 的值，它们 在满足一组线性等式或不等式的限制条件下，使某 一线性函数的值达到极大或极小。而线性规划就是 研究并解决这类问题的一门理论和方法。 请问在企业中有哪些问题属于线性规划问题？
§1.2 线性规划的图解法
maxZ = 6X1 + 4X2 2X1 + 3X2 ≤ 100 --① 4X1 + 2X2 ≤ 120 --② X1≥0, X2 ≥0 （一）建立坐标系 （二）约束条件的图形表示
Ｘ2
60 50 40 30 20 10
两个概念:
1.可行解:满足约束条件的点. 2.可行域:全部可行解的集合, 即区域OABCO,用R表示.
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
工程优化方法第1章
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
工程优化方法第1章
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
设 f: D→ R 1( D R)n (D－定义域) (1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 可微; (3) x 为f(x)的极值点;
则: f x 0
工程优化方法第1章
Th3(充分条件) ： 设 f: D→ R(1 D )Rn(D－定义域)
(1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 处二次可微;
2 f
x12
2 f x2x1
2 f
x
n
x1
2 f x1x2
2 f x22
2 f x1x3 2 f x2x3
2 f
2 f
xnx2 xnx3
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
线性函数：f (x) = cTx + b , 2f (x) = 0
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b,
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
第一讲 线性规划与最优化
第一讲线性规划与最优化厦门六中数学教研组杨福海第一课时一：什么是线性规划方法?线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。
线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。
主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。
由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产计划，并不是一件困难的事情。
在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。
该方法的最大优点是可以处理多品种问题。
二：线性规划模型的适用性线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，如石油化工厂等。
对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，有较大的应用价值。
需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来做月度计划。
这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。
三：线性规划模型的结构企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。
如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。
线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。
根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。
（1）变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如X l，X2，X3，X mn等。
（2）目标函数将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。
【最优化】线性规划基本概述
【最优化】线性规划基本概述什么是线性规划：线性规划就是特殊的有约束优化问题，⽬的是通过⼀组线性等式或者不等式下得可⾏集合点，来寻找⼀个⽬标函数的极值；通常来说，极值可以是极⼤极⼩，但是⼀般采⽤极⼩，看到相关的案例，求极⼤值直接前⾯加负号变为极⼩值即可；线性规划的基本问题形式：线性规划问题可以采⽤最基本的数学符号进⾏描述：minimize c T xsubject to Ax=bx>=0;对于上述可以这样理解，对于某个参数向量x，所满⾜的可⾏域条件为Ax=b，也成为约束⽅程，可⾏域内点集由该⽅程组确定，其中值得注意的是可⾏域条件不⼀定为等式，只需要线性即可；c T x为⽬标等式，两个都为向量，所以值为⼀个单值，旨在找到⼀个极⼩值，使得满⾜minimize的要求；因此，对于任何的问题，都可以转为标准的问题形式进⾏求解；其中，⽐较有意思的是约束条件实际定义了求解的维数，也就是如何直观的通过对x的选择，使得c T x最⼤；如果从空间思想来考虑，就可以分为简单⼆维和三位情况下的最优化；如果是简单的⼆维情况：c T x相当于ax1+bx2，相当于⼆维平⾯上的⼀条直线，其中要求的是如何选定x1,x2的值，使得k=ax1+bx2存在最⼤最⼩值（因为向量c相当于已经确定了斜率）；⽽约束条件也为围成的⼀系列可⾏域，在⼆维平⾯内选择点，使得k=ax1+bx2最⼤，也就是和x2轴交点值最⼤；如下图所⽰，书上也给了⼀个很好的例⼦：⽽对于多维情况，则需要涉及凸多⾯体问题：c T x中的c的个数已经限定了多维空间下n的⽬标函数；约束条件Ax=b，其中A为m*n维数向量，定义了m个超平⾯所围成的⼀个凸多⾯体，并且假设该多⾯体⾮空有界；书上讨论了很多种情况，例如多⾯体超平⾯的维数问题；但是这⾥还是说⼀下常规的转换求法；根据c T x得到⼀个超平⾯c T x=0；找到⼀个⽀撑超平⾯c T x=β，使得整个胞体M在半平⾯，且M和超平⾯交集为M'；所以⽆论任何属于负半区的点y，都会有c T y<β；⽽任何属于M’的点y，都有c T y=β；所以可得到⽀撑超平⾯的点是极值点，同样如果⽀撑超平⾯为单点情况下，仍然适⽤；线性规划问题的标准型：对于标准型，和之前谈到的基本形式类似，实对所有⾼维线性规划下的问题做⼀个基本的形式定义；minimize c T xsubject to Ax=bx>=0值得注意的是Ax=b的条件，所有⼤于等于的线性条件都应该转为等于进⾏讨论，个⼈认为是使得所构成的解集范围是多胞体⽽⾮多个超平⾯围成的范围；⽽对于⾮标准形式，往往有Ax>=b或者Ax<=b，所以通过变换来变成⼀般的标准形式；其中注意下不同的说辞，Ax>=b,Ax<=b，⽆⾮就是加减y⽽已，保持y>=0即可，两种情况称之为剩余变量y和松弛变量y，名字记不记住感觉⽆伤⼤雅；基本解：当给出线性规划的基本形式之后，就可以对基本解进⾏构造；总的来说，解和传统的线性齐次、⾮齐次⽅程组不同，主要关注两个类型：1.基本解；2.可⾏解；两者其实有交集，交集的形式为基本可⾏解；基本解求法：可⾏解求法：可⾏解本质就是满⾜标准形式的解，也就是满⾜Ax=b,且x>=0的解，两个条件缺⼀不可；⽽基本可⾏解就是既为基本解满⾜x>=0的解；对于书上，有给出的相关例题，说明怎么求解可⾏解和基本解：基本解的性质：最优可⾏解：能够使得⽬标函数c T x取最⼩值的解；最优基本可⾏解：该最有可⾏解为基本解；其中对于线性规划来说，有挺重要的⼀条性质：1.如果存在可⾏解，则⼀定存在基本可⾏解；2.如果存在最优可⾏解，则必定存在最优基本可⾏解；基本可⾏解的实际意义：如果对于⼀个凸集，求⽬标函数极值，则必定取值点必定是凸集上的极点，对应的就是可⾏基本解；所以最后只需要寻找可⾏基本解中哪⼀个可以使得⽬标函数c T x最⼤(最⼩)，就可以得到最优基本可⾏解；【注意】关于为什么要找极点：根据前⾯⼆维推⼴⾄多维的推导，都是根据⽀撑超平⾯来进⾏极值寻找，所以找极值点也就相当于找使得距离原点超平⾯最远的⽀撑超平⾯；所以有定理：如若存在⼀个可⾏解组成的凸集，集合中的所有n维向量x满⾜Ax=b，x>=0，其中A维m*n维向量，则x是凸集中的极值点当且仅当x是Ax=b，x>=0的基本可⾏解；证明过程如下所⽰：。
第1讲线性规划基本概念.ppt
凸集：设集合 X Rn ，如果 X 中任意两点的凸组合 仍然属于X ，则称 X 为凸集.
定义 1 集合 D Rn称为凸的，如果对于任意 x, y D ,有
x (1 ) y D 0 1
则称 D 是Rn中的凸集（convex set）.
结论： （1） 空集和全空间Rn是凸集. （2） 设a Rn,a 0, R，则超平面（hyper plane）
X
x
Rn
g（i x） h（j x）
0 0
i 1,, p j 1,,q
若X是凸集, f 是D上的凸函数,称(MP)为非线性 凸规划,简称凸规划.
凸规划性质：
定理
线性函数
对于非线性规划(MP),
min f（x）
s.t. g（i x） 0
h（j x） 0
第1讲 基本概念 Basic conceptions
一．最优化问题简介
二．凸集和凸函数
三．非线性规划方法概述
一．最优化问题简介.
定义：在一切可能的方案中选择一个最好的方案，以 达到最优目标.
（凡是准求最优目标的数学问题都属于最优化问题， Optimization Problems,OP）.
三要素： （1）目标； （2）方案； （3）限制条件.
指标集.
解：
c1(x)
2 2
2 ( 2 )2 0, 2
c2 (x) 1 (
2 )2 ( 2
2 )2 0, 2
c3(x)
2 0. 2
A {1,2}. x
x2
c2 (x) 0
c3(x) 0
x
O
c1(x) 0
最优化第01章线性规划基本
1.1线性规划问题及其数学模型 1.1线性规划问题及其数学模型
1.问题的提出： 1.问题的提出： 问题的提出
在生产管理的经营活动中， 通常需要对“ 有限的资源” 在生产管理的经营活动中 ， 通常需要对 “ 有限的资源 ” 寻求“最佳”的利用或分配方式。 寻求“最佳”的利用或分配方式。 有限资源：劳动力、原材料、 有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标， 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达 到最小。 到最小。 有限资源的合理配置有两类 两类问题 有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 最大； 最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 消耗的资源数最少
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 维生素（公斤） 设备（ 设备（台） 单位利润(万元 单位利润 万元) 万元 30 5 5 乙 20 1 ２
每周资源总量 160 15
数学模型为
约束条件：反映了有限 约束条件： 资源对生产经营活动的 种种约束，或者生产经 种种约束， 营必须完成的任务
max z =5x1 +2x2 30x1 + 20x2 ≤ 160 5x + x ≤ 15 2 s.t . 1 x1 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2 100套钢架 例 ３ : 某铁器加工厂要制作 100 套钢架 ， 每套要用长为 2.9 米 ， 2.1 米 米的圆钢各一根。已知原料长为7 问应如何下料， 和 1.5 米的圆钢各一根 。 已知原料长为 7.4 米 ， 问应如何下料 ， 可使 材料最省？ 材料最省？ 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢， 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳 种不同的下料方案： 出8种不同的下料方案：
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
运筹学 第01章 线性规划问题
线性规划建模步骤
设定决策变量 明确约束条件并用决策变量的线性等式或 不等式表示 用变量的线性函数表示要达到的目标，并 确定是求极小还是求极大 根据变量的物理性质确定变量是否具有非 负性 注：其中最关键是设定决策变量这一步
生产计划问题(1)
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的 条件如下表所示，试制订总利润最大的日 生产计划
线性规划问题解的有关概念(2)
基本解：令模型中所有非基变量的值等于零后，由 模型的约束方程组得到的一组解。 基本可行解：满足非负条件的基本解称为基本可行 解。 可行基：对应于基本可行解的基称为可行基。 退化解：基本可行解的非零分量个数小于m时，称 为退化解。 最优基：若对应于基B的基本可行解X是线性规划的 最优解，则称B为线性规划的最优基
人员安排问题(1)
医院护士24小时值班，不同时段需要的护 士人数不等（见下表）。每个护士每天连 续值班8小时，在各时段开始时上班。问最 少需要多少护士？
序号 1 2 3 4 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 最少人数 60 70 60 50
5 6
22—02 02—06
20 30
人员安排问题(2)
设xj为第j时段开始值班的护士人数
目标函数为：使人数最少，则有
min f ( X ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x6 x1 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t. x3 x4 50 x x 20 5 4 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0且为整数
运筹学
第一章 线性规划问题
本章重点
线性规划建模 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 单纯形法 两阶段法 大M法
最优化线性规划 (1)(1)
引进变量构造数学模型 设x1, x2 分别表示在计划期内产品I、II的产 量，则数学模型为 目标函数为max z=2x1+3x2 满足约束条件x1+2x2≤8 4x1≤16 4x2≤12 x1, x2≥0
其一般形式：
max(min) z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n ( , )b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , )b2 ................................................... a m 1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n ( , )bm x1 , x 2 ,..., x n 0
4
解的概念
4）基本可行解
§2线性规划问题的基本定理
2．1基本概念 凸集：设R是n维欧氏空间的一点集，若任意 两点 x(1),x(2)∈R 的连线上的一切点αx(1)+(1α)x(2)∈R，(0≤α≤1)则称R为凸集 凸组合：设 x(1),x(2) ， … ， x(k) 是 n 维欧氏空间 En 的 k 个点，若存在α k 1 ，α2 ， … ，αk ，且 i 1 ,i=1,2,…,k,使 0≤αi≤1， i 1 x=α1x(1)+α2x(2)+…+αkx(k) 则称x为x(1),x(2)，…，x(k)的凸组合
3
线性规划问题的图解法
例2
线性规划问题的图解法
y 例3
max z 4 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 x1 2 x 2 2 x x 5 2 1 x1 , x 2 0
最优化计算方法第1章
性的。
根据函数性质分类 动态与静态 随机与确定 单目标与多目标
路漫漫其悠远
最优化计算方法第1章
优化模型的分类
解法的分类
解析方法:利用函数的分析性质去构造迭代公式，使之收敛 到极值点。
直接方法：按一定的数学原理，用尽量少的计算量，直接比 较函数值的大小。
• 等式约束优化问题
• 不等式约束优化问题
路漫漫其悠远
最优化计算方法第1章
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类 一般的约束优化问题 标准形式
1） 2）
路漫漫其悠远
最优化计算方法第1章
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
路漫漫其悠远
,使得 称 为问题(P)的局部
,使得 称 为问
最优化计算方法第1章
最优解与极值点
严格局部 极小点
• 最优化技术与数学模型所包括的知识点很多，选取了一些 实用的方法。
路漫漫其悠远
最优化计算方法第1章
课程简介
从工程应用的角度出发，注重工程优化的基本思想和 方法的阐述。
内容主要包括: 线性规划、非线性规划、约束优化、无约束优化等， 并对如何建立数学模型、如何选择优化方法和提高优 化效率作了适当的介绍。
足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这 两个工厂处理工业污水的费用最小.
工厂1
工厂2
路漫漫其悠远
500万m3
200万m3
最优化计算方法第1章
最优化问题举例
变量：x1、x2----分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m3)
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最小化或者最大化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数可以表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性等式或者不等式，称为约束条件。
约束条件可以表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≥ b2等。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解集合称为可行域。
4. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数取得最小值或者最大值的解称为最优解。
二、模型建立1. 决策变量的定义：根据问题的特点，定义适当的决策变量。
例如，假设要生产两种产品，可以定义x1为第一种产品的生产量，x2为第二种产品的生产量。
2. 目标函数的建立：根据问题的要求，建立目标函数。
例如，如果要最大化利润，可以将目标函数定义为Z = p1x1 + p2x2，其中p1和p2为单位产品的利润。
3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，建立约束条件。
例如，如果生产资源有限，可以建立生产资源约束条件，如a11x1 + a12x2 ≤ b1，a21x1 + a22x2 ≤ b2等。
4. 模型的完整表达：将决策变量、目标函数和约束条件整合起来，形成完整的线性规划模型。
三、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式和不等式的图形，找到可行域和最优解。
最优解通常浮现在可行域的顶点处。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
最优化设计：第1章 最优化基本要素
第1章 最优化基本要素
求解实际的最优化问题一般要进行两 项工作。第一是将实际问题抽象地用数学 模型来描述，包括选择优化变量，确定目 标函数，给出约束条件；第二是对数学模 型进行必要的简化，并采用适当的最优化 方法求解数学模型。
建立优化数学模型是求解优化问题的 基础，有了正确合理的模型，才能参照选 择适当的方法来求解。数学模型的建立要 求具备与实际问题有关的专业技术知识， 确定优化追求的目标，并推导出相应的目 标函数；
（6）当优化变量中有一个或一些只能取整 数时，称为整数规划；如果只能取0或1时， 称为0-1规划；如果只能取某些离散值时， 称为离散规划。
（7）当优化变量随机取值时，称为随机规 划。
（8）当目标函数为凸函数，可行域为凸集 时，称该优化问题为凸规划问题。
例1-2 已知长方体的表面积为S，试建立 以该长方体的长、宽、高为变量，使该 长方体的体积最大的优化问题的数学模 型。
二维问题的目标函数图形可以在三维
空间表示出来，图1-2所示为某二维问题的 目标函数的曲面。令目标函数的值分别为a、 b、c、d，则与这些函数值相对应的方案点 的集合是x1Ox2坐标平面内的一簇曲线，每 条曲线上的各点都对应相等的目标函数值， 这曲线即为等值线。从图1-2可以看出， 等值线越往里，目标函数值越小。对于有
常用的优化方法主要可分为经典算法、
构造型算法、改进型算法、基于系统动态 演化的算法和混合型算法等。 （1）经典算法包括线性规划、动态规划、 整数规划和分枝定界等运筹学中的传统算 法，算法复杂，只适于求解小规模问题。 （2）构造型算法用构造的方法快速建立问 题的解，优化质量差，难以满足工程需要。 譬如，调度问题中的典型构造型方法有 Johnson法、Palmer法、Gupta法、CDS法、 Daunenbring快速接近法、NEH法等。
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线性规划问题及其数学模型 线性规划的图解法 线性规划问题的标准型 标准型线性规划的解 线性规划的基本原理
1.1线性规划问题及其数学模型 1.1线性规划问题及其数学模型
1.问题的提出： 1.问题的提出： 问题的提出
在生产管理的经营活动中， 通常需要对“ 有限的资源” 在生产管理的经营活动中 ， 通常需要对 “ 有限的资源 ” 寻求“最佳”的利用或分配方式。 寻求“最佳”的利用或分配方式。 有限资源：劳动力、原材料、 有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标， 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达 到最小。 到最小。 有限资源的合理配置有两类 两类问题 有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到 最大； 最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产， 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 消耗的资源数最少
原料 化学成分 A B C 单位成本（ 单位成本（元）
化学成分含量（ 化学成分含量（%） 甲 12 2 3 ３ 乙 3 3 15 ２
产品中化学成分的最低含量（ 产品中化学成分的最低含量（%） 4 2 5
数学模型： 数学模型：
min z = 3 x1 + 2 x2 x1 + x2 = 1 12 x + 3 x ≥ 4 2 1 s.t . 2 x1 + 3 x2 ≥ 2 3 x + 15 x ≥ 0 2 1 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下， 这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下，合 理的组织生，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时， 寻求变量x 满足一组约束条件的同时 ， 寻求变量 1 和 x2 的值使目标函 数取得最小值。 数取得最小值。
某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2 100套钢架 例 ３ : 某铁器加工厂要制作 100 套钢架 ， 每套要用长为 2.9 米 ， 2.1 米 米的圆钢各一根。已知原料长为7 问应如何下料， 和 1.5 米的圆钢各一根 。 已知原料长为 7.4 米 ， 问应如何下料 ， 可使 材料最省？ 材料最省？ 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢， 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳 种不同的下料方案： 出8种不同的下料方案：
•通常称 x1 , x2 ,L , xn 通常称 • 决策变量， 价值系数， 为决策变量， c1 , c2 ,L , cn 为价值系数， 资源限制系数。 b1 , b2 ,L , bm 为资源限制系数。
消耗系数, a11 , a12 ,L , amn 为消耗系数,
1.2 线性规划的图解法
求解两个变量的线性规划问题 适用于求解两个变量 适用于求解两个变量的线性规划问题
维生素（公斤） 公斤） 设备（台）
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2 已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万 元。但根据市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超 但根据市场需求调查的结果， 过4吨。问该厂应如何安排两种药品的产量才能使每周获得 的利润最大？ 的利润最大？
每吨产品的消耗
公斤） 维生素（公斤） 设备（台） 万元) 单位利润(万元 万元
每周资源总量
甲 30 5 5
乙 20 1 ２
160 15
定义: 为生产甲种药品的计划产量数， 定义 x1为生产甲种药品的计划产量数， x2为生产乙种药品的计划产量数。 为生产乙种药品的计划产量数。 目标： z=5x1+2x2 极大化 目标： 要使总利润 约束： 每周资源总量的限制， 约束： 每周资源总量的限制， 30x1+20x2≤160 5x1+ x2 ≤15 甲种药品每周产量不应超过4吨的限制 甲种药品每周产量不应超过 吨的限制 x1≤4 计划生产数不可能是负数， 计划生产数不可能是负数， x1≥0 x2≥0
圆钢（ 圆钢（米） 2．9 2．1 1．5 余料（ 余料（米）
Ⅰ 1 0 3 0
Ⅱ 2 0 1 0.1
Ⅲ 0 2 2 0.2
Ⅳ 1 2 0 0.3
Ⅴ 0 1 3 0.8
Ⅵ 1 1 1 0.9
Ⅶ 0 3 0 1.１ 1.１
Ⅷ 0 0 4 1.4
表示用第j种下料方案下料的原料根数 种下料方案下料的原料根数， 设xj表示用第 种下料方案下料的原料根数，j=1,2…8, 目标：使余料总长度 目标： z=0x1+0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5+0.9x6+1.1x7+1.4x8 极小化 约束： 约束：三种规格圆钢根数 x1+2x2+ x4+ x6 =100 2x3+2x4+x5+ x6+3x7=100 3x1+x2+2x3+3x5+x6+4x8=100 非负取整条件 xj≥0 (j=1,2…8)且取整数 且取整数
这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产， 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产， 使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x 的值,使目标函数取得最 满足一组约束条件的同时，寻求变量 1至x8的值 使目标函数取得最 小值。 小值。
圆钢（ 圆钢（米） 2．9 2．1 1．5 料头（ 料头（米）
Ⅰ 1 0 3 0
Ⅱ 2 0 1 0.1
Ⅲ 0 2 2 0.2
Ⅳ 1 2 0 0.3
Ⅴ 0 1 3 0.8
Ⅵ 1 1 1 0.9
Ⅶ 0 3 0 1.1
Ⅷ 0 0 4 1.4
数学模型 s.t.
min z = 0.1x2 + 0.2 x3 + 0.3 x4 + 0.8 x5 + 0.9 x6 + 1.1x7 + 1.4 x8 x4 + x6 = 100 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 2 x4 + x5 + x6 + 3 x7 = 100 3 x5 + x6 + 4 x8 = 100 3 x1 + x2 + 2 x3 + x j ≥ 0，j = 1, 2 …8 , 且为整数
30x1 + 20x2 ≤160 5x + x ≤15 s.t. 1 2 x1 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
线性规划的模型的一般形式: 线性规划的模型的一般形式:
•目标函数 目标函数
max(min) z = c1 x1 + c2 x2 + LL + cn xn
a11 x1 + a12 x2 +……+ a1n xn ≤ (=, ≥)b1 a x + a x +……+ a x ≤ (=, ≥)b 2n n 2 21 1 22 2 •满足约束条件 s.t. ……………………………………… 满足约束条件 a x + a x +……+ a x ≤ (=, ≥)b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , … xn ≥ 0
2.线性规划的一般数学模型 max z=5x +2x
1
2
线性规划模型的特征： 线性规划模型的特征： •（1）用一组决策变量 1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下，变 决策变量x 表示某一方案，且在一般情况下， （ ）用一组决策变量 ， ， 量的取值是非负的。 量的取值是非负的。 目标函数， •（2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （ ）有一个目标函数 这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 •（3）要求目标函数实现最大化（max）或最小化（min）。 （ ）要求目标函数实现最大化 实现最大化（ ） 最小化（ ） •（4）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线性不 （ ）存在若干个约束条件 约束条件， 等式来表达。 等式来表达。 满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题 满足上述 个特征的规划问题称为线性规划问题。 个特征的规划问题称为线性规划问题。
圆钢（ 圆钢（米） 2．9 2．1 1．5 料头（ 料头（米） Ⅰ 1 0 3 0 Ⅱ 2 0 1 0.1 Ⅲ 0 2 2 0.2 Ⅳ 1 2 0 0.3 Ⅴ 0 1 3 0.8 Ⅵ 1 1 1 0.9 Ⅶ 0 3 0 1.１ 1.１ Ⅷ 0 0 4 1.4
问题归纳为如何混合使用这8种不同的下料方案，来制造100 问题归纳为如何混合使用这8种不同的下料方案，来制造100 如何混合使用这 套钢架，且要使剩余的余料总长为最短。 套钢架，且要使剩余的余料总长为最短。
原料
化学成分
化学成分含量（ 化学成分含量（%） 甲 12 2 3 ３ 乙 3 3 15 ２
产品中化学成分的最低含量 （ %） 4 2 5
A B C 单位成本（ 单位成本（元）
定义 x1，x2分别为每公斤产品中甲，乙两种原料的数量， ， 分别为每公斤产品中甲，乙两种原料的数量， 目标： z=3x1+2x2 极小化 目标：使总成本 约束：配料平衡条件， 约束：配料平衡条件， x1+x2=1 产品中A、 、 三种化学成分的最低含量 产品中 、B、C三种化学成分的最低含量 12x1+3x2≥4 2x1+3x2≥2 3x1+15x2≥5 x1≥0,x2≥0 非负性条件
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 维生素（公斤） 设备（ 设备（台） 单位利润(万元 单位利润 万元) 万元 30 5 5 乙 20 1 ２