4第四节信号流图

Wednesday, July 17, 2013
13
梅逊公式||例2-13a
P
P
k k 1
n
k
例2-13a：求速度控制系统的总传输 。（不计扰动） u g (s) M c Gm G3 Gu G1 G2 1 1 ua u1 u2 ug ue
(s)

G
f
[解]：前向通道有一条；u g , P1 G1G2G3Gu 有一个回路； La G1G 2 G3Gu G f
u f (s )
Gf
先在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图 M c 如下图所示。 Gm G3 Gu G1 G2 1 1 ua u1 u2 ug ue
G
Wednesday, July 17, 2013
f
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例2: 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。 然后画出信号流图如下图所示。
x
y
G
x
G
y
上图中， 两者都具有关系: y ( s ) G ( s ) x ( s )。支路对节点x来说 是输出支路，对节点y来说是输入支路。
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3
信号流图的术语
X1
G1
X2
X3
G2
H1
G3
H3 G4
X9
G5
X6
H2
G 6X 7 G7
X8
E
-
G1
H1 G4
+
G2
+ -
G3
C
H2
解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，如下：
R
E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
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梅逊公式||例2-14
G4
P
G2
H1H 2
P
k k 1
n
k
R(s) 前向通道有二，分别为: P G1G2G3 , P2 G3G 4 1
Wednesday, July 17, 2013
4
信号流图的术语
X1
G1
X2
X3
G2
H1
G3
H3 G4
X9
G5
X6
H2
G 6X 7 G7
X8
X4
X5
回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终 点为同一节点的通路称为回路。 互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互 不接触回路。 通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通 路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前 向通路增益。 回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回 路增益。 5 Wednesday, July 17, 2013
C
有四个回路，分别是： G2 H 2 ,G1G2 G3G4 H 1 ,G1G2G7 G4 H 1 ,G1G2 G8G4 H 1
它们都是互相接触的。 1 G2 H 2 G1G2 G3G4 H 1 G1G2G7 G4 H 1 G1G2 G8G4 H 1 有九条前向通道，分别是：
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s ) u e (s )
1 R1
I1 ( s ) I (s )
1 C1 s
u (s )
1
1
uo (s )
-
-
R2
I 2 ( s)
C2s
[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如 下： 1
1
1
1
R1C1 R2 C 2 s 2 有三个回路； La 1 1 1 R1C1 s R2 C 2 s R2 C1 s 1 1 1 有两个互不接触回路； Lb Lc R1C1 s R2 C 2 s R1 R2 C1C 2 s 2
1
1
R1C1 s

1
R2 C 2 s
（红线表示）
注意：上面讲 不变，为什么？ 是流图特征式，也就是传递函 数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变 的，可以试着求一下。
P
1 G3 H 2 G3 G 4 H 1 H 2
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梅逊公式注意事项
注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。 而输出对混合节点（中间变量）的增益不能直接应用梅森公式。 也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支 路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其 传递函数： 一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
[几个术语]：
X4
X5
输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。 输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： X8。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。 通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
Ⅰ
h l
Ⅱ
b
V3 k
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ
C
V1 mV1 lV3 bR C V2 gV1 hV2 eV3 fR
V3 dV1 kV2
V1 d
e V2 1
g
按方程可绘制信号流图。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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梅逊公式
二、梅逊增益公式
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到 输出节点之间的总传输。（即总传递函数） 1 n 其表达式为：P Pk k k 1
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
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梅逊公式
P
P
k k 1
1
n
k
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
1

1
R2 C1 s

1
R1 R2 C1C 2 s 2
1
1 1 （因为三个回路都与前向通道接触。）
总传输为：P
1
Pk k
k 1
R1 R2 C1C 2 s 2 ( R1C1 R2 C 2 R1C 2 ) s 1
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第四节 控制系统的信号流图
Wednesday, July 17, 2013
1
信号流图的概念
信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关 系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函 数时较为方便。 一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：
N 1 R 1 E G1 P G2 Q 1
回路有三，分别为： G1 H 1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H 1 H 2 有两个不接触回路，所以：
1 La Lb Lc 1 G1 H 1 G3 H 2 G1G2 G3 H 1 H 2 G1G3 H 1 H 2
1 1, 2 1 G1 H 1 G1G 2 G3 G3G 4 G1G3G 4 H 1 1 2 P Pk k k 1 1 G1 H 1 G3 H 2 G1G 2 G3 H 1 H 2 G1G3 H 1 H 2
求
C (s)
R
：
E G1 H1
G3 H2

C
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梅逊公式||例2-14
E (s) 求 ： R ( s ) G4
P
不变。
P
k k 1
n
k

R
E G1 H1
G2
H1H 2
G3 （兰线表示） C P1 1, 1 1 G3 H 2 H2 P2 G3G4 H 1 H 2 , 2 1
1
C1 s
I2 I1 I 上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。
ui
ue
a 1 b u
1 C2s
R2
uo
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梅逊公式||例2-14
C (s) E (s) , 例2-14：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 R(s) R(s) G4
R
信号流图的等效变换
串联支路合并： a b
ab
x1
x3
x1
x2
a
x3
并联支路的合并：
ab
x2
x1
b
x1
b
x2
回路的消除： a b
x1 x 2
c
x3
a 1 bc x1 x 2 x 3
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信号流图的等效变换
x4 ad b x1 c x2 x3
x1 a c b x3 x4 x
P1 G1G 2 G3G 4
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
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梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
G5
R
G7
1
G2
1
H2
G3 G8
1
G4
1
1
G1 H1
R (s )
C
E (s )
-
G1 ( s )
N (s ) + C (s ) G2 ( s )
H
H (s )
Wednesday, July 17, 2013
2
信号流图的概念
节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点 表示输出信号。 支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示 信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。
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梅逊公式||例2-13
1
1
1
1
R1
1
C 1s
ui
ue
I 1
1
I
a 1 b u
1
1
R2
C 2s
I2
1
uo
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两 点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话， 总传输将不一样。 不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
1
1
1
1
R1
2
混合支路的清除：
x4
ad bd
bc
x1 ac x1
x3 ac
x2
x4
x 2 bc
1
自回路的消除： a b x3
ab
1
b
x1
x2
b
x1 x 3
x4
ab 1 b x1 x 3 x 4
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信号流图的性质
信号流图的性质


节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每 个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而 从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而 变换为另一信号。 信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。 对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
1 La 1 G1G 2 G3Gu G f , 1 1
P (s) u g (s)
P
k k 1
1
1
k

P1 1

G1G 2 G3Gu 1 G1G 2 G3Gu G f
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梅逊公式||例2-13
k m
R (S )
g
V1
b
d l f
V3
e h
C (S ) V2
f m R 1
Ⅰ
h l
Ⅱ
b
V3 k
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ
C
V1 d
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e V2 1
g
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信号流图的绘制
例2: 按微分方程拉氏变换后 的代数方程所表示的变量间 数学关系绘制。如前例所对 应的代数方程为:
f m R 1
R1
1
C 1s
ui
ue
I 1
1
I
a 1 b u
1
1
R2
C 2s
I2
1
uo
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梅逊公式||例2-13
1
1
1
1
R1
1
C 1s
ui
ue
I 1
1
I
a 1 b u
1
1
1
R2
C 2s
P
P
k k 1
n
k
I2
1
uo

P 图中，有一个前向通道； 1
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信号流图的绘制
[信号流图的绘制]： 根据结构图 列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制 例1：速度控制系统的结构图为：
u g (s ) ue (s )
u1 ( s)
G1
G2
M c (s )
Gm
u2 ( s )
G3
ua (s )
Gu
(s )
1 La Lb Lc Ld Le L f ...（正负号间隔）
所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路传输乘积之和；
b c
L L L
d
Le L f 所有互不接触回路中，每次取其中三个 回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个 前向通道接触的回路后的剩余部分。